Spil- og beslutningsteori

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Spil- og beslutningsteori"

Transkript

1 Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2

2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst hr været fuldstændigt estem f fktorer vi kendte eller vi hr hft kontrol over. Her skl vi se på situtioner, hvor der indgår usikkerhed. Her er lidt eksempler på hvordn usikkerhed kn komme ind i illedet. Måleusikkerhed Selvom vi prøver t lve præcise oservtioner f den verden, som omgiver os, vil selve oservtions- eller måleprocessen give nledning til større eller mindre usikkerhed. Tilfældighed Verden, som omgiver os, er delvis styret f fktorer som i prksis er umulige t forudsige. I spil kn det være terningkst. Andres eslutninger Ofte vil vi live påvirket f ndre personers eslutninger. Disse personer hr somme tider en direkte interesse i t holde deres eslutninger hemmelige længst muligt. Der findes forskellige måder t træffe eslutninger i situtioner med usikkerhed. I Mt A er forskellige eslutningskriterier eskrevet men uden t der kommer nogle interessnte konklusioner ud f det. Her er de vigtigste: Mximx-kriteriet Optimisten vælger den eslutning, som potentielt giver størst fkst. Mximin-kriteriet Pessimisten vælger den eslutning, hvor risikoen er mindst. Lplce-kriteriet Hvis mn kender en sndsynlighedsfordeling over de usikre hændelser, som influerer på vores eslutning, så kn mn mksimere sin middelgevinst. Hvis der tges eslutninger mnge gnge på dette grundlg vil den med stor sndsynlighed give den største smlede gevinst. Vi skl se t i de såkldte to-personers nulsumsspil, vil en lnding f de to sidste kriterier i en helt præcis forstnd være det optimle. Definition En strtegi siges t dominere en nden strtegi, hvis den ldrig er dårligere. En strtegi siges t dominere en nden strtegi strengt, hvis den ltid er decideret edre. Det første vi vil gøre, hvis vi får forelgt et eslutningsprolem, vil være t fjerne lle dominerede strtegier. Unset hvilket f ogens eslutningskriterie mn enytter, vil strengt dominerede strtegier ldrig spille nogen rolle. 2 Flerpersoners spil Beslutningsteori liver først rigtigt interessnt i situtioner, hvor flere skl træffe eslutninger smtidigt, hvilket vi nu skl se på. Vi tænker os et ntl personer,

3 som hver kn træffe en eslutning. Disse personer vil vil klde spillere. Hver spiller hr sin egen kriteriefunktion og værdien f kriteriefunktionen fhænger f hvd hver enkelt spillers strtegi (vi vil i lmindelighed klde de forskellige mulige eslutninger for strtegier). Eksempel 2 (Fngernes Dilemm) To mistænkte, Anders og Børge, er levet nholdt f politiet. Anders og Børge holdes dskilt, så de ikke kn kommunikere. Politiet hr ikke eviser nok til t få dem dømt for deres grove forrydelse, men politiet kn få de mistænkte fængslet i et hlvt år for en mindre forrydelse. D historien foregår i USA, vil politiet slå en hndel f med de mistænkte: hver f dem kn vælge t forråde den nden eller holde mund. Hvis egge holder mund, får de hver et hlvt års fængsel. Hvis den ene forråder den nden og den nden holder mund, slipper forræderen fri og den nden får ti års fængsel. Hvis de forråder hinnden, får de hver fem års fængsel. Skl de mistænkte forråde hinnden, eller skl de holde tæt? Pyoff for Anders Børge holder tæt Børge synger Anders holder tæt /2 Anders synger 5 Pyoff for Børge Børge holder tæt Børge synger Anders holder tæt /2 Anders synger 5 For Anders er det t holde tæt domineret f t forråde Børge. For Børge er det t holde tæt domineret f t forråde Anders. Derfor vælger de egge t forråde den nden og de får egge 5 års fængsel. Hvis de kunne smrejde om t holde tæt ville de hver slippe med /2 års fængsel. For mere komplicerede spil kn det være nødvendigt t fjerne dominerede strtegier i flere omgnge. Eksempel 3 (Gæt et tl) Et ntl personer skl hver eslutte sig for et reelt tl i intervllet [; ]. Mn udregner gennemsnittet f de vlgte tl. Den hvis gæt er tættest på 2 /3 f gennemsnittet, vinder en præmie. De ndre vinder ikke noget. D gennemsnittet f nogle tl i intervllet [; ] selv må ligge i dette intervl må 2 /3 f gennemsnittet ligge i [ ; 66 3] 2. Hvis mn er rtionel kn lle tl over udelukkes idet de som strtegier er domineret f tllet Hvis lle er rtionelle, vil lle derfor vælge tl fr intervllet [ ; 66 3] 2. Hvis mn ved, t de ndre er rtionelle ved mn også t gennemsnittet må ligge i [ ; 66 3] 2, så 2/3 f gennemsnittet må ligge i [ ; ] 2. D vil lle lle tl over = være domineret og kn udelukkes. Hvis lle ved t de ndre er rtionelle derfor kun vælge tl fr intervllet [ ; 44 9] 4. Sådn kn mn live ved, så hvis lle er rtionelle og lle ved t de ndre er rtionelle og lle ved t lle ved t de ndre er rtionelle osv. så vil lle tl over kunne udelukkes og der er så kun tilge t lle vælger. 2

4 Figur : John F. Nsh (f. 928) omkring 994, hvor hn modtog Noel-prisen. Definition 4 Et sæt (s, s 2, s 3,..., s n ) f strtegier for Spiller, Spiller 2,..., Spiller n siges t udgøre en Nsh-ligevægt, dersom inges spiller ville vinde noget ved t ændre sin strtegi forudst t de øvrige holdt fst i deres strtegier. I Fngernes Dilemm udgør (syng,syng) en Nsh-ligevægt. I Gæt et Tl udgør (,,,...,) en Nsh-ligevægt. Hvis et spil hr en entydigt estemt Nshligevægt, vil det mest rtionelle for lle spillere være t spille denne strtegi. Eksempel 5 Hver dg skl et stort ntl pendlere fr Avnstrup til Bjergy. Der er to store veje mellem yerne. Den ene går gennem Nørre Mellemy og den nden går gennem Sønder Mellemy. Der er en red vej fr Avnstrup til Nørre Mellemy som det tger en time t køre. Tilsvrende er der en red vej fr Sønder Mellemy til Bjergy som det også tger time t køre. Fr Avnstrup til Sønder Mellemy er der en sml men mere direkte vej. Det tger 3 + 3x minutter t tge denne rute hvor x er den procentvise ndel f iler, som tger denne vej. Tilsvrende er der fr Nørre Mellemy til Bjergy en sml men mere direkte vej, hvor det også tger 3 + 3x minutter t tge denne rute, hvor x er ntllet f iler der tger denne vej. Nørre og Sønder Mellemy er imidlertid i prksis én y, og der er en gnske kort forindelsesvej mellem de to yers vejnet. Tiden for t tge forindelsesvejen vil vi sætte til. En Nsh-ligevægt estår i t lle pendlere tger fr Avnstrup til Sønder Mellemy, videre til Nørre Mellemy 3

5 og derfr til Bjergy. Trnsportiden liver d 2 timer. Det emærkelsesværdige i dette eksempel er, t en spærring f forindelsesvejen mellem Nørre og Sønder Mellemy ændrer Nsh-ligevægten, så det optimle for lle liver t hlvdelen skl tge den nordlige rute og hlvdelen den sydlige. Herved liver den gennemsnitlige trnsporttid reduceret til time og 45 min. Spærring f vejen resulterer således i kortere trnsporttid for lle! I stedet for helt t spærre forindelsesvejen kn med lve vejump og tilsvrende trfikhindringer lot de gør t det kommer til t tge mindst 5 minutter t køre mellem Nørre og Sønder Mellemy. Eksempel 6 Vi etrgter et spil med to spillere, Alice og Bo, som hver hr 4 strtegier. Deres py-off mtricer er givet ved og Py-off for Alice Py-off for Bo Ved skiftevis t fjerne dominerede strtegier fr Alice og Bo ender vi med, t Alice skl vælge strtegi 3 og t Bo skl vælge strtegi 2. Komintionen ( 3, 2 ) er en Nsh-ligevægt, idet det ikke kn etle sig for nogen f spillerne t ændre deres strtegi. Der findes kun denne ene Nsh-ligevægt, så hvis åde Alice og Bo er fuldstændigt rtionelle, vil de vælge denne komintion f strtegier. Eksempel 7 Vi etrgter et spil med to spillere, Alice og Bo, som hver hr 4 strtegier. Deres py-off mtricer er givet ved Py-off for Alice og Py-off for Bo

6 Ved skiftevis t fjerne dominerede strtegier fr Alice og Bo ender mn med strtegierne og 2. Det er igen let t checke t strtegiprret (, 2 ) er en Nsh-ligevægt. Strtegiprret ( 4, ) er imidlertid også en Nsh-ligevægt og den er lngt mere fordelgtig for åde Alice og Bo. Grunden til t denne komintion forsvndt d vi fjernede dominerede strtegier vr, t 4 er domineret f 2 men t den ikke vr strengt domineret. Nshligevægten (, 2 ) er en slgs loklt mksimum, hvor ingen f spillerne føler noget incitment til selv t ændre sin strtegi. Alice og Bo skl ændre strtegier smtidigt for t det nytter noget. Dette kræver en form for forpligtende smrejde. I nogle spil kn det etle sig t smrejde, og d er det en fordel t fortælle de øvrige spillere hvd ens egen strtegi er. I ndre spil modrejder mn hinnden og d kn det være edst t hemmeligholde sin strtegi. Eksempel 8 (Sten, Sks, Ppir) Alice og Bo spiller Sten, Sks, Ppir. Alice hr følgende pyoff-mtrix, idet vi regner vundet for og tt for -. Py-off for Alice Sten Sks Ppir Sten - Sks - Ppir - Bos pyoff-mtrix fås ved t skifte fortegn. Py-off for Bo Sten Sks Ppir Sten - Sks - Ppir - Vi ser t i dette tilfælde er der ingen strtegier, som er dominerede. Både Alice og Bo vil prøve t hemmeligholde deres egen strtegi indtil modspilleren hr vlgt sin. Spillet hr ingen Nsh-ligevægt. Det vi hr set på hidtil, er såkldte rene strtegier. Vi vil nu indføre såkldte lndede strtegier. I spillet Sten, Sks, Ppir er der tre rene strtegier og Alice ør ikke røe sin sttegi til Bo. Dette kn opnås ved t Alice lnder de tre rene strtegier i forholdet ( /3, /3, /3), hvor /3 skl opfttes som en sndsynlighed. Alice kster derfor en terning og hvis der kommer eller 2 øjne vælger hun sten, hvis der kommer 3 eller 4 øjne vælger hun sks, og hvis der kommer 5 eller 6 vælger hun ppir. Denne lndede strtegi kn Alice nu fortælle Bo. D vil Bos middelgevist være unset hvd hn gør. Tilsvrende kn Bo ruge den lndede strtegi ( /3, /3, /3). Herved liver komintionen f de to lndede strtegier en Nsh-ligevægt. Sætning 9 I et spil med endeligt mnge spillere, som hver hr endelig mnge rene strtegier, findes ltid (mindst) en Nsh-ligevægt f lndede strtegier. Beviset for denne sætning er vnskeligt og vi udelder det derfor. Sætningen lev evist f John Nsh i 95 og hn modtog senere Noelprisen i økonomi for resulttet. 5

7 Figur 2: John von Neumnn (93-957) eviste minimx-sætningen i 928 og regnes smmen med O. Morgenstern som grundlægger f spilteorien in 933. Hn vr iøvrigt også en f computerens fædre og må nses for en f de vigtigste vidensksmænd i det 2. århundrede. 3 To-personers nulsum-spil I dette fsnit skl vi se på en særlig type f spil, som dels er lette t nlysere og dels hr mnge vigtige nvendelser. Spillene er krkteriseret ved t der kun deltger to spillere, som vi vælger t klde Alice og Bo. Endvidere vil vi ntge, t hvd, der er godt for Alice, er tilsvrende skidt for Bo. Der gælder med ndre ord t f Alice (s, s 2 ) = f Bo (s, s 2 ). I denne type spil vil de to spillere ldrig hve noget incitment for t smrejde. I stedet for t mksimere f Bo kn vi sige t Bo ønsker t minimere f Alice. Vi kn med ndre ord nøjes med t interessere of for Alices kriteriefunktion, som vi lot vil etegne f. Strtegier for Alice vil vi etegne, 2,... og Bos strtegier vil vi etegne, 2,.... Sætning I et to-personers nulsumsspil vil lle Nsh-ligevægte hve smme værdi. Bevis. Ld (, ) og ( 2, 2 ) etegne to Nsh-ligevægte. D gælder t f (, ) f ( 2, ), 6

8 idet strtegi er optiml for Alice hvis Bo spiller strtegi. Vi hr også t f ( 2, ) f ( 2, 2 ), idet 2 er optiml for Bo hvis Alice spiller 2, idet Bo ønsker t minimere f. Vi hr således vist t f (, ) f ( 2, 2 ). Den modstte ulighed vises tilsvrende og vi hr derfor t f (, ) = f ( 2, 2 ). Sætning kunne give det indtryk, t lle Nsh-ligvægte er lige gode. Det er også rigtigt, hvis egge spillere spiller fuldstændigt rtionelt. I følgende spil er åde (, ) og ( 2, ) Nshligevægte og egge hr værdi. Pyoff for Alice Vi ser imidlertid t dominerer 2, så hvis Bo ikke er rtionel hr Alice chnce for en gevinst på 4 frem for. Det er et eksempel på t mximin strtegien grnterer os et vist pyoff, men t den sgtens kn give os et højere pyoff. Sætning I et to-personers nulsumsspil gælder mx min f (, ) min Proof. I et to-personers nulsumsspil gælder f (, ) = f (, ) og dermed min f (, ) f (, ). Vi tger nu mximum over Alices strtegier og får mx min f (, ) mx f (, ). mx f (, ). () Dette gælder for lle Bos strtegier o så vi kn tge minimum over på højre side hvilket giver mx min f (, ) min mx f (, ). Sætning 2 (Minimx-sætningen) Et to-personers nulsums-spil hr en Nshligevægt, netop hvis mx min f (, ) = min mx f (, ). (2) Specielt gælder (2), hvis egge personer tilldes t ruge lndede strtegier. 7

9 Bevis. Antg t mx min f (, ) = min mx f (, ). D findes og så Derfor gælder min f (, ) min f (, ) = mx f (, ) f (, ) = mx f (, ) f (, ) og dermed t min f (, ) = mx f (, ) = f (, ). Det viser t (, ) er en Nsh-ligevægt. Antg omvendt t (, ) er en Nsh-ligevægt. D gælder f (, ) f (, ) for lle idet Alice ikke får noget ud f t ændre sin strtegi. Derfor gælder mx f (, ) f (, ) og dermed også Tilsvrende vises, t Tilsmmen får vi, t min mx f (, ) f (, ). mx min f (, ) f (, ). min mx f (, ) f (, ) mx min f (, ), hvilket viser t min mx f (, ) = mx min f (, ). Hvis de spillere tilldes t ruge lndede strtegier, findes ifølge Sætning 9 en Nshligevægt og d er minimx lig mximin. Hvis lndede strtegier tilldes, er minimx lig mximin og den fælles værdi kldes spillets værdi. Med disse resultter er vi i stnd til t lve en vigtig klssifiktion f to-personers nul-sumsspil, hvor de to spillere tilldes t ruge lndede strtegier. Spil med positiv værdi Disse er fvorle for Alice. Hun hr en lndet strtegi, som giver positivt middelpyoff unset hvd Bo gør. Spil med negtiv værdi Disse er fvorle for Bo. Hn hr en lndet strtegi, som giver Alice en negtiv middelpyoff (og dermed sig selv en positiv middelpyoff) unset hvd hun gør. Spil med værdi nul Disse er hverken fvorle for Alice eller Bo. Både Alice og Bo hr en lndet strtegi, som vil give dem egge en middelpyoff på nul unset hvd den nden gør. 8

10 2.5 f ( s, ).5 s Med dette resultt i ghovedet kunne det jo være rrt t kunne udregne et spils værdi smt de optimle strtegier. Det foregår ved en form for lineær optimering. For t kunne illustrere metoden vil vi holde os til eksempler, hvor Alice hr 2 rene strtegier, efter t lle dominerede strtegier er levet fjernet. Vi vil i første omgng ntge t Bo også kun hr 2 strtegier. I de følgende illustrtioner tges der udgngspunkt i følgende pyoff mtrix for Alice Py-off for Alice,5 2 Alice og Bo tilldes, t ruge lndede strtegier. Vi tænkler os, t Alice lnder strtegierne og i forholdet s og s, hvor s [; ]. Denne lndede strtegi vil vi etegne s. Bos strtegier klder vi og. Hvis Bo vælger strtegien liver middelværdien f kriteriefunktionen f ( s, ) = ( s) f (, ) + sf (, ). Vi emærker, t dette er en lineær funktion f s. Vi tegner grfen for denne funktion. Hvis Bo vælger strtegien is stedet får mn en nden ret linje. Hvis den ene linje lå over den nden ville det etyde t den ene f Bos strtegier ville dominere den nden. Det hr vi ntget ikke er tilfældet. Derfor vil de to linjer skære hinnden. Bo ønsker t minimere kriteriefunktionen og vil derfor ltid vælge den nederste kurve. Det optimle lndingsforhold for Alice svrer derfor til skæringspunktet for de rette linjer, som vi vil klde P. Ld os etegne det tilsvrende lnd- 9

11 2 f ( s, ).5 f ( s, ) P.5 s min{f ( s, ), f ( s, )}.5 P.5 s

12 2 f ( s, ).5 f ( s, ) P.5 s ingsforhold s. På figuren liver s = /3. Den lndede strtegi med denne lndingsforhold etegner vi s. D gælder, t f( s, ) = f( s, ). Hvis Alice lver den optimle lnding for t mksimere den minimle py-off, så gælder der med ndre ord t Bos rene strtegier giver smme middelpyoff. Hvis lot den ene spiller vælger den optimle strtegi vil middelgevinsten være f (, ) unset hvd den nden spiller foretger sig. Antg t Bo lnder sine strtegier og i forholdet ( t) og t, og vi klder denne lndede stregi for t. For et givet t kn vi filde middelværdien som funktion f s og få f ( s, t ) = ( s) f (, t ) + sf (, t ), hvilket igen er en ret linje. Hvis vi indsætter s = s får vi f ( s, t ) = ( t) f ( s, ) + tf ( s, ) = ( t) f ( s, ) + tf ( s, ) = f ( s, ). Det etyder t unset vlget f t vil den rette linje ( s) f (, t ) + sf (, t ) gå gennem punktet P. Hvis Alice ved t Bo vælger den lndede strtegi t, så vil Alice vælge den rene strtegi, som svrer til det højeste endepunkt. Bo ønsker, t det højeste endepunkt ligger så lvt som muligt og vælger derfor t så den rette linje er

13 vndret. Denne strtegi for Bo vil vi klde t. Hvis Bo vælger denne strtegi, vil middelpyoff for Alice ikke fhænge f hendes vlg f strtegi. Vi ser, t ( s, t ) er en Nsh-ligevægt. Hvis lot den ene spiller vælger den optimle strtegi, vil middelgevinsten være f ( s, t ) unset hvd den nden spiller foretger sig. 4 Hndel med sndsynligheder Hvis vi i en eslutningssitution skl ruge Lplce-kriteriet, skl vi ruge en sndsynlighedsfordeling. Hvis det drejer sig om et emne, hvorom vi ingen særlig indsigt hr, kn det være klogt t kontkte en ekspert og få ekspertens ud på en sndsynlighedsfordeling. Hvis vi f.eks. ønsker t vide noget om sndsynligheden for regn i morgen, kn vi kontkte en meteorolog, som så kn give sit ud på hvilket tl vi skl ruge som sndsynligheden for regn i morgen. Hvis mn i stedet forestiller sig, t en generl ønsker sig viden om nolndets forsvr, vil hn kontkte sin efterretningstjeneste. Mn kunne også forestille sig en person, som ønsker t foretge en ktiehndel og derfor gerne vil høre en ekspertvurdering f sndsynligheden for t en estemt ktie går op eller ned. Men kn vi stole på ekspertens udtlelser? Hr eksperten sin egen dgsorden, som hn kn forfølge ved t fejlinformere os? Det ønsker vi nturligvis t undgå, så vi vil etle eksperten svrende til kvliteten f ekspertens forudsigelser. Spørgsmålet er lot hvordn vi skl gøre. Vi vil først præcisere prolemet. Vi etler en spåmnd for t give os en sndsynlighedfordeling for t en størrelse X ntger en f værdierne x, x 2,... Spåmnden liver elønnet som følger. Vi venter med t elønne spåmnden indtil vi hr set hvilken værdi X får. Hvis X ntger værdien x i og spåmnden hr sgt, t X = x i indtræffer med sndsynlighed q i, så vil spåmnden modtge eløet f (q i ), hvor f er en pssende vlgt differentilel funktion med definitionsmængde [; ]. Ideen er t vælge f som en voksende funktion, så hvis spåmnden hr forudsgt det som rent fktisk indtræffer med stor sndsynlighed, så tjener hn meget og hvis der sker noget som spåmnden sgde hvde lv sndsynlighed, så skl hn ikke hve meget i løn. Definition 3 Funktionen f siges t give en ægte score-regel dersom den motiverer spåmnden til ltid t være ærlig. Denne definition kræver lidt forklring. Hvis spåmnden selv udregner sndsynligheder med sndsynlighedsfordelingen p, p 2,... og vælger t give os sndsynlighedsfordelingen q, q 2,... så vil middelværdien f spåmndens score være p f (q ) + p 2 f (q 2 ) + + p n f (q n ). Funktionen f er derfor en ægte scorefunktion, hvis middelscore er mksiml når q i = p i. Sætning 4 Funktionen f (x) = ln x giver en ægte score-funktion. 2

14 Proof. Vi skl vise t p ln (p ) + p 2 ln (p 2 ) + + p n ln (p n ) p ln (q ) + p 2 ln (q 2 ) + + p n ln (q n ). Dette er det smme som t vise t (p ln (q ) + p 2 ln (q 2 ) + + p n ln (q n )) (p ln (p ) + p 2 ln (p 2 ) + + p n ln (p n )) = p ln q p + p 2 ln q 2 p p n ln q n p n er negtiv. Det pproksimerende førstegrdspolynomium for den nturlige logritmefunktion omkring er ln x x. D den nturlige logritmefunktion er konkv ligger grfen under sin tngent og der gælder derfor ln x x og lighedstegn gælder kun for x =. Det viser t p ln q p + p 2 ln q 2 p p n ln q n p ( q p ) p n + p 2 ( q2 p 2 ) ( ) qn + + p n p n = (q + q q n ) (p + p p n ) = =. Sætning 5 Hvis f er en differentiel funktion med definitionsmængde ]; ], giver en ægte score-regel, så findes konstnter ]; [ og k R, så f (x) = ln x + k. Proof. For enhver sndsynlighedsfordeling p, p 2,... er middelgevinssten for spåmnden p f (p ) + p 2 f (p 2 ) + + p n f (p n ) hvis hn giver os sndsynlighedsfordelingen (p, p 2,..., p n ) og p f (p + x) + p 2 f (p 2 x) + + p n f (p n ) hvis spåmnden i stedet giver os sndsynlighedsfordelingen (p + x, p 2 x,..., p n ). D det edst skl kunne etle sig for spåmnden t give os den sndsynlighedsfordeling hn selv ruger til t udregne sin middelpyoff, gælder der p f (p ) + p 2 f (p 2 ) + + p n f (p n ) p f (p + x) + p 2 f (p 2 x) + + p n f (p n ) og dermed p f (p ) + p 2 f (p 2 ) p f (p + x) + p 2 f (p 2 x). 3

15 Vi indfører funktionen g (x) = p f (p + x) + p 2 f (p 2 x) og ser t g hr mksimum for x =. Den fledte t g eregnes som g (x) = p f (p + x) p 2 f (p 2 x). D g () = hr vi p f (p + ) p 2 f (p 2 ) = og dermed p f (p ) = p 2 f (p 2 ). Dette gælder for lle p og p 2 i ]; ] så der findes en konstnt så pf (p) =. Derfor gælder f (p) = p. Derfor er f en stmfunktion til funktionen /p og dermed må der gælde f (p) = ln p + k for en konstnt k. 4

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 23. novemer 20 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori og dermed p f (p ) + p 2 f (p 2 ) p f (p + x) + p 2 f (p 2 x). Først ser vi t hvis x = p p 2 så får vi og dermed p f (p ) + p 2 f (p 2 ) p f (p 2 ) + p 2 f (p ) (p 2 p ) (f (p 2 ) f (p )), hvilket viser

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

SLRTV Beretning 2009. Dagsorden side 2. Forslag til forretningsorden side 3. Politisk beretning side 4. Organisatorisk beretning side 12

SLRTV Beretning 2009. Dagsorden side 2. Forslag til forretningsorden side 3. Politisk beretning side 4. Organisatorisk beretning side 12 Indhold Dgsorden side 2 Forslg til forretningsorden side 3 Politisk eretning side 4 Orgnistorisk eretning side 12 Vedtægter side 13 1 Dgsorden 1 Vlg f dirigent(er) og referent(er) 2 Godkendelse f forretningsorden

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Det rå mod det løde, det vrme mod det kolde - og den smukke løende forndring når tingene lndes. Det er ofte mest tydeligt, der hvor hvet møder lndet - og

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Brugervejledning til Windows Fejlfinding f instlltionsprogrmmet En kontrolliste til rug ved løsning f lmindelige instlltionsprolemer. Printeroversigt Lær om printerdelene og

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Forelæsningsnote 5. Om store tynde ( sparse ) matricer og LAPACK

DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Forelæsningsnote 5. Om store tynde ( sparse ) matricer og LAPACK øenhvns niversitet et nturvidenskelige kultet TO ntroduktion til cientific omputing orelæsningsnote Om store tynde sprse ) mtricer og P fter stndrdmetoden for generelle mtricer dvs fktorisering med prtiel

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker Ekstrktion f spektre og chromtogrmmer vh kemometriske teknikker Nogle kemometriske teknikker til seprtion f spektre og chromtogrmmer er undersøgt mhp utomtisering f dtehndlingen f NMR-chromtogrmmer Teknikkerne

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery ANALYSEOPGAVE Feelgood Bkery Kommuniktion: Helene, Loiuse, Pernille og Ndi Gruppe 14 Hvem er fsenderen? - Glutenfri bgerbrød - Christine og Louise Krogh Hvem er målgruppen? - Gluten llergikere og helsefreks

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center Arhus Universitet, Lortoriekompleks inno Center Skitseprojekt. 16. septemer 2010 Beskrivelse se fde udsnit nord Udsmykningen indeftter: 2 stk. udsmykkede glsprtier á 2 x 12,62 x 4,40 m. 3 stk. emlede srør

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4 Indhold Dgsorden..side 2 Forslg til forretningsorden...side 3 Politisk eretning...side 4 - Lex Osen og dens konsekvenser...side 4 - De ikke-kommercielle medier konference..side 10 - Forstærket smrejde...side

Læs mere

Center for Kvalitet Region Syddanmark

Center for Kvalitet Region Syddanmark Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Installatørvejledning

Installatørvejledning Instlltørvejledning Dikin Altherm jordvrmepumpe Instlltørvejledning Dikin Altherm jordvrmepumpe Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Generelle sikkerhedsfornstltninger 3 1.1 Om dokumenttionen...

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere