Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1"

Transkript

1 Her i nærheden 1 af Christian Marinus Taisbak. En lille dialog om store emner, τὸ ἄπειρον og τὸ ἄτοπον, det endeløse og det hjemløse. En dialog i platonisk ånd i anledning af en tresårsdag. Nu var runde dage næppe noget grækere og romere gik op i som vi danske af i dag, men 60-året var alligevel noget særligt: om ikke før, geront og senex var man fra den dag. Og 60-tallet var alle dage genstand for den opmærksomhed som et udstrakt brugt talmål må være: den foretrukne enhed (bortset fra eneren selv) siden alle tællingers begyndelse ved Babylons floder, uundværlig for astrologer, såvel de regnende som de gættende, åbent for utallige divisorer (2, 3, 4, 5, 6 næsten dem alle sammen). Denne lille dialog markerer en Ener. De samtalende er Euklid fra Alexandria, Στοιχειωτής, Elementsamleren fra det fjerde århundrede før Tidens Midte, og Gorm fra Heliopagos, aktiv philologus og interpres fra det tyvende efter. Euklid har valgt at inkarnere sig på Det fredensborgske Akademi, og selv om samtalen føres på dét alexandrinske græsk der falder dem begge naturligt, har formidleren valgt at oversætte den, ikke til angelsaxisk, det i øjeblikket definerede lingua franca, men til Gorms gode nordsjællandske mål. Euklid har omhyggeligt valgt en af de sjældnere hjemmemorgener, en søndag i juli, hvor Gorm ikke har foden ude af døren på vej mod sine mange forpligtelser i ånd og rige. Scenen er akademiets førstesal med det store arbejdsbord, papir og blyant, og måske en passer og lineal, skønt Euklid helst er fri for disse håndgribeligheder. Her skal tænkes, og kun tegnes hvis tanken går i stå. * * * E: Du har jo gået i skole, Gorm, både den teoretiske og den praktiske, og véd at nogle rette linjer er parallelle. Hvordan er det nu man kender dem? 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel AIGIS - Suppl. Gorm 60 1

2 G: For det første skal de jo tegnes på samme skrivebord, eller som I matematikere siger: i samme plan, og så skal det gælde at de ikke skærer hinanden selv om man forlænger dem i det uendelige. E: Pas nu på, Gorm; Aristoteles vores fælles lærer og forbillede advarer jo mod at bruge det uendelige i argumentationen, og med god grund. Hvorfor nu det? G: Næh, hvorfor egentlig? Det lyder da så flot og overbevisende. Men lad os så sige at parallelle linjer ikke skærer hinanden hvor langt man end forlænger dem. E: Godt, så siger vi det. Men også det udsagn er da lidt vidtløftigt, for hvordan vil du overkomme at godtgøre at disse to linjer (tegner og peger) er parallelle? Der er jo ret langt i begge retninger, hvis jeg nu tænker dem forlænget så langt det skal være. Det bliver da vistnok hverken i dag eller inden din næste fødselsdag, rund eller kantet. G: Næh, det har du såmænd ret i, Euklid. Det har jeg nok ikke tænkt længe nok over. E: Det skal du ikke være så ked af, for du er ikke alene i den kø. Men nu skal jeg vise dig hvordan vi kan klare opgaven her i nærheden, lige her på bordet. Men for at det skal blive helt overbevisende, må vi lige snakke lidt om trekanter og vinkler. G: Er du nu ikke ved at tale uden om? Hvad har trekanter og vinkler med parallelle linjer at gøre? Når de er parallelle, og altså ikke skærer hinanden, danner de jo ikke vinkler og kan derfor heller ikke danne en trekant. E: Véd du godt at du er lige ved at have fat i det rigtige dèr? For lad os nu antage at disse to rette linjer alligevel skærer hinanden og ikke er parallelle, så kan vi jo få en trekant ud af det ved at skære dem med en tredje linje, fx lige her. Og lad os så gøre os klart hvad vi har lært om vinklerne i en trekant jeg har skrevet det ned i første bog af Elementerne, sætning 16 og 17, 2 som du muligvis husker: det er dèr hvor det går op for os at forholdene udenom 2. se Q.E.D. side 62, Thyra Eibe side 24 ff AIGIS - Suppl. Gorm 60 2

3 trekanten er vigtige. Den udvendige vinkel til en trekantsvinkel er nemlig større end enhver af de to andre vinkler inde i trekanten, og deraf kan man slutte at summen af to trekantsvinkler er mindre end 2 rette vinkler (det som din tid, Gorm, kalder 180 grader men grader overlod vi dengang til astronomerne og deres cirkler). G: Ja, de sætninger husker jeg godt og det gælder jo uanset hvilke to vinkler vi betragter. Jeg var godtnok forbavset over at trekantens omgivelser betyder så meget; er der ikke også noget om at denne sætning ikke gælder for trekanter på kuglen? E: Lad nu bare det vente, og lad os vende tilbage til de parallelle linjer. Altså: Hvis linjerne ikke er parallelle, men danner en trekant sammen med den linje vi har tegnet lige her, så må de vinkler som denne tredje linje danner med de to første på denne side (peger i retning af skæringen) være mindre end to rette. Så har vi da et middel til her i stuen at afgøre at de er parallelle. Vi behøver altså ikke løbe til verdens ende, men kan afgøre det her i nærheden. G: Ja, jeg forstår at vi nu kan fastslå at hvis de nævnte vinkler tilsammen er præcis lig med to rette vinkler, så er linjerne parallelle. For hvis de mødtes til en af siderne, ville vi stå med en trekant hvor summen af to vinkler er for stor. E: Det er netop hvad jeg har bevist i sætning 27 og 28 i første bog. 3 Der er altså ingen tvivl om at der findes parallelle linjer, for vi kan konstruere dem ved hjælp af rette vinkler. Men gælder også den omvendte sætning? G: Den omvendte sætning? Forstår jeg helt hvad du mener? E: Det må du da have lært af Aristoteles? Udsagnet hvis B så A er den omvendte sætning til hvis A så B. Du husker vel at hvis en trekant er ligebenet, er vinklerne ved grundlinjen ligestore? Hvorledes lyder den omvendte sætning? G: Hvis vinklerne ved grundlinjen i en trekant er ligestore, er trekanten ligebenet. 3. Q.E.D. side 68 f. Thyra Eibe side 40 ff AIGIS - Suppl. Gorm 60 3

4 E: Flot! De to sætninger har du måske set som nr. 5 og 6 i første bog. 4 Kan du også huske hvordan den omvendte sætning (nummer 6) er bevist? G: Var det ikke noget med at benytte resultatet fra nr. 5 på en særlig måde? E: Særlig? Ja, det må du nok sige det er den metode der fører til et udsagn som er ret hjemløst; vi matematikere kalder det ἄτοπον. I sætning 6 ender det med at en bestemt trekant er både mindre og større end én og samme trekant, og det har jo ingen steder hjemme. G: Åh ja, det er det latinerne kalder ad absurdum, og andre taler om et indirekte bevis. Der er vist nogle matematikere der ikke er så glade for den type? E: Jeg synes nu det er ret effektivt til at standse diskussionen såvidt jeg har læst, var Sokrates rigtig god til at lokke folk i modstridende udsagn. Men tilbage til vort emne: Hvordan må så den omvendte parallel-sætning lyde? Noget i retning af: Hvis to rette linjer er parallelle og overskæres af en tredje, er de indvendige vinkler på samme side tilsammen lig med to rette. G: Ja, det er da indlysende, omtrent sådan må den omvendte sætning lyde. E: Pas nu på jeg må nok hellere tilstå at vi skal gå stille med dørene, for der er et problem her. Det bliver nu nok lettere for dig at følge hvis du lige husker at den omvendte sætning til Hvis A så B også kan lyde Hvis ikke A, så ikke B. Er du med? G: Er det ikke den form logikerne kalder kontrapositionen til Hvis B, så A? 4. Q.E.D. side 57. Thyra Eibe side 10 ff AIGIS - Suppl. Gorm 60 4

5 E: Det lyder som latin, så det er nok rigtigt. Det er i hvert fald en meget nyttig form, og ofte mere overbevisende end den ligefremme. Det kunne jo være at vi skulle formulere den omvendte sætning således: Hvis et system (det er sådan et godt græsk ord) af tre linjer (som det vi har tegnet her) danner indvendige vinkler hvis sum er mindre end 2 rette, danner de en trekant, og der er altså ikke tale om parallelle linjer. G: Ja, det lyder som en rigtig god formulering, den skulle ikke være til at tage fejl af. E: Kære Gorm, det kan vi strengt taget ikke vide; det kunne jo være at de ikke var mindre nok, så at linjerne alligevel ikke når sammen. Jeg skal dog ikke skjule at jeg er overbevist om at sætningen er sand, men vi er indtil videre nødt til at fremsætte den som en påstand, et αἴθηµα, og jeg bruger den til at bevise sætning G: Ja, det ord betyder vel noget vi beder om eller forlanger? Latinerne oversatte det til postulatum, så det kan vi også bruge. Er det ikke netop det udsagn du har anført som nummer 5 i din samling af postulater? Hvis en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på samme side tilsammen er mindre end to rette, så mødes de to linjer hvis de forlænges ubegrænset, på den side (af den skærende linje) hvor de to vinkler ligger som er mindre end to rette. E: Godt husket, Gorm der er er ikke noget så nyttigt som paratviden. G: Men så kan jeg nu ikke skjule for dig at dine efterfølgere har brugt megen tid på at bevise dette axiom, og at det faktisk lykkedes for et par matematikere et par tusind år efter dig at vise at der findes parallelle linjer der ikke respekterer postulatet. Derved fik de opdaget en geometri der er forskellig fra din men det behøver du nu ikke være ked af, for den bærer stadig dit navn ikkeeuklidisk geometri. 5. Q.E.D. side 70. Thyra Eibe side 43 AIGIS - Suppl. Gorm 60 5

6 E: Det glæder mig og tro mig: det anede mig at der kunne være tvivl om 5. postulat blot ikke i min plane og ubegrænsede verden af rette linjer og cirkler Men lad os vende tilbage til det der var anledning til denne samtale, begrebet uendelig. Og mærk dig at vi altså løste de parallelle linjers problem uden at bevæge os ud af stuen. Jeg kan godt lide at løse problemer her i nærheden. Jeg har da for resten endnu et eksempel på et endeløst problem der kan afklares her på bordet. G: Mere geometri? Eller hvad? E: Nej, dette eksempel drejer sig om tal jeg har jo skrevet tre bøger om forhold mellem tal, og har især interesseret mig for dem mine lærere kaldte πρῶτοι ἀριθµοί, første tal. G: Vi kender dem bedst med det latinske navn, numeri primi, primtal. I grunden et underligt navn når man tænker over det? E: Aldeles ikke: de hedder således fordi de kun kan stå forrest i multiplikationstabellerne, altid i randen og aldrig nede eller inde i tabellerne. Fx 2, 3, 5, 7,, 37, 41, 43, 97, 101 Ja, vi kan fortsætte til det bliver både mørkt og lyst igen, for der er faktisk uendeligt mange af dem. Til gengæld kan ingen af dem divideres, intet andet tal går op i et primtal, undtagen 1, som jo ikke er et rigtigt tal i min teori. G: Hvor véd du fra at der er uendeligt mange primtal, Euklid? E: Det har jeg da selv bevíst, Gorm, - og med så få hjælpemidler som muligt. 6 Jeg kan vise at hvis du bare giver mig to nej lad os sige tre primtal, kan jeg vise at der findes mindst ét og måske to til, altså: at der er flere primtal end du kan komme med. I dette tilfælde ganger jeg de tre primtal sammen og lægger 1 til. Så vil ingen af de primtal du gav mig, gå op i produktet, men give 1 til rest. Altså er resultatet enten selv et nyt primtal eller kan divideres med et fjerde primtal. Enkelt, ikke sandt? Og med små midler, selvom jeg bruger det hjemløse udsagn s bevis, τὸ ἄτοπον. Og læg mærke til at jeg for det første ikke bruger ordet 6. se appendix 1, eller Thyra Eibe, bind IV, sætning IX.20, side 105 AIGIS - Suppl. Gorm 60 6

7 uendelig, ἄπειρον, og for det andet klarer beviset lige her ved at jonglere med kun tre primtal.. G: Smukt, må jeg indrømme. Men helt slippe uden om uendelig kan du vel ikke? E: Du kan, såvidt jeg husker, ikke finde noget sted i mine Elementer hvor ordet optræder, selvom begrebet som i disse to tilfælde er effektivt til stede. Derimod kan du jo more dig med, i en ledig stund, at finde flere eksempler på de hjemløse udsagn i omvendte sætninger. Men lad være med at spilde for mange tanker på Achilleus og Skildpadden, du véd: Zenons grinagtige eventyr om den hurtigste der ikke kan indhente den langsomste, men må løbe i det uendelige. Herre Zeus, du kan jo selv regne ud hvornår og hvor Achilleus indhenter og overhaler skildpadden, som vi jo véd at han gør. Vogt dig for Paradoxerne, Gorm. 7 Og så må du hellere passe din runde fødselsdag og demonstrere for gratulanterne at du er til at træffe som altid når der er bud efter dig. Hvem vil ikke gerne hilse på dig i dag, du ἑξηκονταέτης? Til lykke med Den Store Ener. G: Hjertelig tak. Skal jeg ikke følge dig til stationen og Lille Nord? E: Nej tak, bliv du hellere her i nærheden, jeg har andre muligheder, så jeg tror jeg evaporerer nu. Lev vel og længe endnu, jeg hilser fra dig i Elysium. Litteraturhenvisninger: Q.E.D. Platon & Euklid tegner og fortæller. Gyldendal 2006, 2. udg Thyra Eibe, Euklids Elementer. Bind I, Bind IV, Thomas Heath, The thirteen books of Euclid s Elements. Dover, mange udgaver. 7. se appendix 2 AIGIS - Suppl. Gorm 60 7

8 Appendix 1 Elementerne IX.20: Der findes flere primtal end ethvert forelagt antal primtal. Lad de foreliggende primtal være A, B og C. Min påstand er at der findes flere primtal end A, B og C. A B C E D Z H Bevis: Lad DE være det mindste fælles mangefold af A, B og C [dvs. produktet A x B x C], og læg enheden DZ til. Så er EZ enten et primtal eller ej. Antag først at det er et primtal; der er da fundet primtallene A, B, C og EZ, som er flere end A, B og C. Men antag så at EZ ikke er et primtal; så kan det måles af et eller andet primtal [dvs: et eller andet primtal går op i EZ]. Antag at det måles af primtallet H. Min påstand er nu at H ikke er det samme som et af tallene A, B eller C. Thi hvis det er muligt så lad det være tilfældet. Men A, B og C går op i DE [deres produkt]. Og H går altså også op i DE, samtidig med at H går op i EZ. Følgelig går H op i resten DZ, altså enheden, skønt H er et tal større end enheden. Men det har ingen steder hjemme. Altså er H ikke det samme som et af tallene A, B og C. Og det var forudsat at H er et primtal; altså er der fundet primtallene A, B, C og H, som er flere end A, B og C. Hvilket skulle bevises. AIGIS - Suppl. Gorm 60 8

9 Appendix 2 Paradox: (En) tilsyneladende fornuftstridig påstand som i virkeligheden indeholder en sandhed (Dansk Fremmedordbog Gyldendal). Det var Zenon fra Elea der i et anfald af paradoxitis, som stadig kan smitte sendte den fodrappe Achilleus ud i det håbløse kapløb med den sløveste sløvskildpadde. Den lader sig ikke indhente såfremt den har et forspring for når Achilleus når frem til Skildpaddens startpunkt, er den jo foran, og så må han først lige løbe det stykke osv osv ad infinitum. Han må da have været en gevaldig komiker, ham Zenon hvis det da er ham selv der har indført skildpadden, Aristoteles nævner den ikke. Hvor må de have grinet ad den scene, hans tilhørere og venner, og vel ikke mindst ad filosofferne, der stod og måbede (ja, måbede i halvtredje tusind år, den dag endnu). Matematikerne var mere pragmatiske, i det omfang de overhovedet gad interessere sig: de regnede simpelthen ud hvorlangt de to har løbet når Achilleus overhaler, som vi jo véd at han gør. Antag, for nemheds skyld, men lidt absurd, at Achilleus løber 10 m/s (36 km/h, ca dobbelt så hurtigt som man kan cykle i København), mens Skildpadden løber 1 cm/sek (36 m/h), og lad S få en kilometers forspring, 1000 meter eller cm. I stedet for at ræsonnere over de enkelte intervaller kan vi koncentre os om at beregne hvornår A indhenter S. Lad os sige efter x sekunders løb. Så har A løbet 10 x meter (= 1000 x cm), og S har vandret x cm. Idet As løb indeholder S s forspring på cm, har vi følgende ligning: 1000x = x, hvoraf x = / 999 sekunder = 100, = 100 sekunder + en bagatel mere end en tiendedel sekund, altså 1 minut 40,1 sekunder. Skildpadden nåede lidt mere end 100 cm, dvs. én meter plus én millimeter, og blev overhalet da Achilleus havde løbet én km plus skildpaddens lange meter. AIGIS - Suppl. Gorm 60 9

10 Selvom vi ikke intuitivt kan fatte det, lærer vi heraf at en uendelig sum af stedse aftagende intervaller (konvergerende, kalder vi de intervaller) har en endelig sum (at vi ikke kan udtrykke 100/999 som en endelig decimalbrøk, har jo kun noget med 10-talsystemet at gøre). Paradoxet er ikke så meget matematisk som psykologisk dog fik matematikken ikke afgørende styr på det før Cauchy ( ) opfandt grænseværdi-definitionen. AIGIS - Suppl. Gorm 60 10

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Aristoteles om uendelighed

Aristoteles om uendelighed Aristoteles om uendelighed Af Charlotte Stefansen En af de stridigheder man møder inden for matematik vedrører, om man kan tillade brugen af uendeligheder. Groft sagt kan man dele opfattelser af matematik

Læs mere

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet er. Den kan være rund eller kantet eller ensfarvet eller prikket, det er ikke essentielt. Det essentielle er derimod det centrale uforanderlige, det som enten er eller ikke er. Koppen, der går i stykker,

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Studieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen

Studieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen Studieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen Kilde: Den store danske encyklopædi reto rik Men det er, som Aristoteles også fremhæver, ikke ligegyldigt, om man siger tingene

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Evaluering af matematik 2. klasse

Evaluering af matematik 2. klasse Evaluering af matematik 2. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på

Læs mere

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C Trøjborg 29. juni 2009 Kære 9. årgang. En tøjklemme. Ja, sådan ser den ud den er blevet lidt gammel og grå lidt angrebet af vejr og vind den er blevet brugt meget. I kender alle sammen tøjklemmer, nogle

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det

Læs mere

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning 1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Stil ind på et foto af en afdød

Stil ind på et foto af en afdød Kapitel Stil ind på et foto af en afdød Du er på besøg hjemme hos en af dine venner, og går forbi et billede, der hænger i entréen. På billedet ses en nydelig dame og lige da du passerer billedet, tænker

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 1 0101 Beregn uden hjælpemidler: a) 2 9 4 6+5 3 b) 24:6+4 7 2 13 c) 5 12:4+39:13 d) (1+4 32) 2 55:5 0102 Beregn uden hjælpemidler: a) 3 6+11 2+2½ 10 b) 49:7+8 11 3 12 c) 4 7:2+51:17 d) (5+3 2) 3 120:4

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod?

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod? Paradigmer Fastlåst eller innovativ? Hvem er lyst til det første? Vi vil vel alle gerne være innovative? Alligevel kan vi opleve, at vi også selv sidder fast i nogle mønstre og har svært ved at komme ud

Læs mere

En dialogisk undervisningsmodel

En dialogisk undervisningsmodel 8 Lær e r v e j l e d n i n g En dialogisk undervisningsmodel Helle Alrø gør i artiklen En nysgerrigt undersøgende matematikundervisning 6 rede for en måde at samtale på, som kan være et nyttigt redskab,

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Aristoteles og de athenske akademier

Aristoteles og de athenske akademier lige geometriske genstande, som var evige og foranderlige størrelser i en abstrakt verden. Erkendelse var således ikke erkendelse af sansernes verden, men af en anden verden, kun tilgængelig for ånden.

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +LVWRU\RI6FLHQFH'HSDUWPHQW 8QLYHUVLW\RI$DUKXV MICHEL THOMSEN spekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +RVWD1R :RUNLQ3URJUHVV Hosta

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Transskription af interview Jette

Transskription af interview Jette 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Transskription af interview Jette I= interviewer I2= anden interviewer P= pædagog Jette I: Vi vil egentlig gerne starte

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Syv veje til kærligheden

Syv veje til kærligheden Syv veje til kærligheden Pouline Middleton 1. udgave, 1. oplag 2014 Fiction Works Aps Omslagsfoto: Fotograf Steen Larsen ISBN 9788799662999 Alle rettigheder forbeholdes. Enhver form for kommerciel gengivelse

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

11. søndag efter trinitatis søndag II. Sct. Pauls kirke 31. august 2014 kl. 10.00. Salmer: 15/434/436/151//582/439/681/122

11. søndag efter trinitatis søndag II. Sct. Pauls kirke 31. august 2014 kl. 10.00. Salmer: 15/434/436/151//582/439/681/122 1 11. søndag efter trinitatis søndag II. Sct. Pauls kirke 31. august 2014 kl. 10.00. Salmer: 15/434/436/151//582/439/681/122 Åbningshilsen Vi er i kirke på sensommerens sidste dag. Festugen er begyndt,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

ibelong Er vi fælles om at være alene?

ibelong Er vi fælles om at være alene? ibelong Er vi fælles om at være alene? Formål: Teenagerne skal se, at de ikke står alene midt i deres liv med både op- og nedture. De er en del af et kristent fællesskab på flere måder. Forslag til programforløb:

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm

Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm KOM-rapporten Prøvevejledning Fælles Mål http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf http://qa.uvm.dk/uddannelser-og-dagtilbud/folkeskolen/afsluttendeproever/om-afsluttende-proever/proevevejledninger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Uddannelse VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg STK Fag og niveau Matematik 0-A

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Etik og ledelsesfilosofi

Etik og ledelsesfilosofi Etik og ledelsesfilosofi - når filosofi bliver til praksis Man bliver mere sikker men mindre skråsikker Et dialogisk foredrag DSR den 3. november 2010 Af Civilingeniør Master fra DPU (Filosofi og ledelse)

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

natur / teknik sjove forsøg med kroppen

natur / teknik sjove forsøg med kroppen Folde hånd og fod Papir, blyant og saks Prøv at folde hånd og fod Tag sko og strømper af Hold om fodsålen (undersiden af foden) og stik forsigtigt fingerspidserne ind mellem tæerne Prøv at slappe af i

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Tal i det danske sprog, analyse og kritik

Tal i det danske sprog, analyse og kritik Tal i det danske sprog, analyse og kritik 0 Indledning Denne artikel handler om det danske sprog og dets talsystem. I første afsnit diskuterer jeg den metodologi jeg vil anvende. I andet afsnit vil jeg

Læs mere

Tre måder at lyve på

Tre måder at lyve på Tre måder at lyve på Skrevet af Ghita Makowska Rasmussen Sted: Café Blomsten i Nyhavn Personer: Et forhold fra fortiden Tid: ns fødselsdag 1 Scene En mand ankommer på en café. Tjekker. Går igen. Kommer

Læs mere

Triangulering af Danmark.

Triangulering af Danmark. Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Analyser og vurdér Elementernes indflydelse i den sene middelalder og overgangen til renæssancen.

Analyser og vurdér Elementernes indflydelse i den sene middelalder og overgangen til renæssancen. Opgaveformulering Redegør for perioden 340 280 f.kr. med særligt fokus på forholdene for Euklid i Alexandria, ligesom også centrale elementer i græsk videnskab inddrages. Indfør Euklids Elementer. Du skal

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF

Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF AT 2 ligger lige i foråret i 1.g. AT 2 er det første AT-forløb, hvor du arbejder med et skriftligt produkt. Formål Omfang Produktkrav Produktbedømmelse Opgavens

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

21. søndag efter trinitatis

21. søndag efter trinitatis 21. søndag efter trinitatis Sneum kirke, søndag den 9. november kl.10.15-21.søndag efter trinitatis Gud Fader, Søn og Helligånd, du som er i himlen og på jorden, alle menneskers liv tilhører dig. Tak fordi

Læs mere

Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu

Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu Side 1 af 8 Tunnelen på Samos udgravning af tunneler før og nu Projektet handler om udgravning af tunneler og drejer sig om følgende enkle spørgsmål:

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

LÆRER (35) PATRICIA: Oh my god! Tascha, du bliver nødt til at se det her. TASCHA: Fuck den so! som om hun kan få en som Mads.

LÆRER (35) PATRICIA: Oh my god! Tascha, du bliver nødt til at se det her. TASCHA: Fuck den so! som om hun kan få en som Mads. Manuskript Engstrandskolen 10.com 3.gennemskrivning mobbet i døden SCENE 1. KLASSEVÆRELSE. DAG ELISA (16) sidder i et klasselokale og tegner hjerter rundt om mads navn. Elisa kigger op og får øjenkontakt

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere