Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Her i nærheden 1. af Christian Marinus Taisbak. 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel. AIGIS - Suppl. Gorm 60 1"

Transkript

1 Her i nærheden 1 af Christian Marinus Taisbak. En lille dialog om store emner, τὸ ἄπειρον og τὸ ἄτοπον, det endeløse og det hjemløse. En dialog i platonisk ånd i anledning af en tresårsdag. Nu var runde dage næppe noget grækere og romere gik op i som vi danske af i dag, men 60-året var alligevel noget særligt: om ikke før, geront og senex var man fra den dag. Og 60-tallet var alle dage genstand for den opmærksomhed som et udstrakt brugt talmål må være: den foretrukne enhed (bortset fra eneren selv) siden alle tællingers begyndelse ved Babylons floder, uundværlig for astrologer, såvel de regnende som de gættende, åbent for utallige divisorer (2, 3, 4, 5, 6 næsten dem alle sammen). Denne lille dialog markerer en Ener. De samtalende er Euklid fra Alexandria, Στοιχειωτής, Elementsamleren fra det fjerde århundrede før Tidens Midte, og Gorm fra Heliopagos, aktiv philologus og interpres fra det tyvende efter. Euklid har valgt at inkarnere sig på Det fredensborgske Akademi, og selv om samtalen føres på dét alexandrinske græsk der falder dem begge naturligt, har formidleren valgt at oversætte den, ikke til angelsaxisk, det i øjeblikket definerede lingua franca, men til Gorms gode nordsjællandske mål. Euklid har omhyggeligt valgt en af de sjældnere hjemmemorgener, en søndag i juli, hvor Gorm ikke har foden ude af døren på vej mod sine mange forpligtelser i ånd og rige. Scenen er akademiets førstesal med det store arbejdsbord, papir og blyant, og måske en passer og lineal, skønt Euklid helst er fri for disse håndgribeligheder. Her skal tænkes, og kun tegnes hvis tanken går i stå. * * * E: Du har jo gået i skole, Gorm, både den teoretiske og den praktiske, og véd at nogle rette linjer er parallelle. Hvordan er det nu man kender dem? 1. Tak til Martha Christensen for lån af titel AIGIS - Suppl. Gorm 60 1

2 G: For det første skal de jo tegnes på samme skrivebord, eller som I matematikere siger: i samme plan, og så skal det gælde at de ikke skærer hinanden selv om man forlænger dem i det uendelige. E: Pas nu på, Gorm; Aristoteles vores fælles lærer og forbillede advarer jo mod at bruge det uendelige i argumentationen, og med god grund. Hvorfor nu det? G: Næh, hvorfor egentlig? Det lyder da så flot og overbevisende. Men lad os så sige at parallelle linjer ikke skærer hinanden hvor langt man end forlænger dem. E: Godt, så siger vi det. Men også det udsagn er da lidt vidtløftigt, for hvordan vil du overkomme at godtgøre at disse to linjer (tegner og peger) er parallelle? Der er jo ret langt i begge retninger, hvis jeg nu tænker dem forlænget så langt det skal være. Det bliver da vistnok hverken i dag eller inden din næste fødselsdag, rund eller kantet. G: Næh, det har du såmænd ret i, Euklid. Det har jeg nok ikke tænkt længe nok over. E: Det skal du ikke være så ked af, for du er ikke alene i den kø. Men nu skal jeg vise dig hvordan vi kan klare opgaven her i nærheden, lige her på bordet. Men for at det skal blive helt overbevisende, må vi lige snakke lidt om trekanter og vinkler. G: Er du nu ikke ved at tale uden om? Hvad har trekanter og vinkler med parallelle linjer at gøre? Når de er parallelle, og altså ikke skærer hinanden, danner de jo ikke vinkler og kan derfor heller ikke danne en trekant. E: Véd du godt at du er lige ved at have fat i det rigtige dèr? For lad os nu antage at disse to rette linjer alligevel skærer hinanden og ikke er parallelle, så kan vi jo få en trekant ud af det ved at skære dem med en tredje linje, fx lige her. Og lad os så gøre os klart hvad vi har lært om vinklerne i en trekant jeg har skrevet det ned i første bog af Elementerne, sætning 16 og 17, 2 som du muligvis husker: det er dèr hvor det går op for os at forholdene udenom 2. se Q.E.D. side 62, Thyra Eibe side 24 ff AIGIS - Suppl. Gorm 60 2

3 trekanten er vigtige. Den udvendige vinkel til en trekantsvinkel er nemlig større end enhver af de to andre vinkler inde i trekanten, og deraf kan man slutte at summen af to trekantsvinkler er mindre end 2 rette vinkler (det som din tid, Gorm, kalder 180 grader men grader overlod vi dengang til astronomerne og deres cirkler). G: Ja, de sætninger husker jeg godt og det gælder jo uanset hvilke to vinkler vi betragter. Jeg var godtnok forbavset over at trekantens omgivelser betyder så meget; er der ikke også noget om at denne sætning ikke gælder for trekanter på kuglen? E: Lad nu bare det vente, og lad os vende tilbage til de parallelle linjer. Altså: Hvis linjerne ikke er parallelle, men danner en trekant sammen med den linje vi har tegnet lige her, så må de vinkler som denne tredje linje danner med de to første på denne side (peger i retning af skæringen) være mindre end to rette. Så har vi da et middel til her i stuen at afgøre at de er parallelle. Vi behøver altså ikke løbe til verdens ende, men kan afgøre det her i nærheden. G: Ja, jeg forstår at vi nu kan fastslå at hvis de nævnte vinkler tilsammen er præcis lig med to rette vinkler, så er linjerne parallelle. For hvis de mødtes til en af siderne, ville vi stå med en trekant hvor summen af to vinkler er for stor. E: Det er netop hvad jeg har bevist i sætning 27 og 28 i første bog. 3 Der er altså ingen tvivl om at der findes parallelle linjer, for vi kan konstruere dem ved hjælp af rette vinkler. Men gælder også den omvendte sætning? G: Den omvendte sætning? Forstår jeg helt hvad du mener? E: Det må du da have lært af Aristoteles? Udsagnet hvis B så A er den omvendte sætning til hvis A så B. Du husker vel at hvis en trekant er ligebenet, er vinklerne ved grundlinjen ligestore? Hvorledes lyder den omvendte sætning? G: Hvis vinklerne ved grundlinjen i en trekant er ligestore, er trekanten ligebenet. 3. Q.E.D. side 68 f. Thyra Eibe side 40 ff AIGIS - Suppl. Gorm 60 3

4 E: Flot! De to sætninger har du måske set som nr. 5 og 6 i første bog. 4 Kan du også huske hvordan den omvendte sætning (nummer 6) er bevist? G: Var det ikke noget med at benytte resultatet fra nr. 5 på en særlig måde? E: Særlig? Ja, det må du nok sige det er den metode der fører til et udsagn som er ret hjemløst; vi matematikere kalder det ἄτοπον. I sætning 6 ender det med at en bestemt trekant er både mindre og større end én og samme trekant, og det har jo ingen steder hjemme. G: Åh ja, det er det latinerne kalder ad absurdum, og andre taler om et indirekte bevis. Der er vist nogle matematikere der ikke er så glade for den type? E: Jeg synes nu det er ret effektivt til at standse diskussionen såvidt jeg har læst, var Sokrates rigtig god til at lokke folk i modstridende udsagn. Men tilbage til vort emne: Hvordan må så den omvendte parallel-sætning lyde? Noget i retning af: Hvis to rette linjer er parallelle og overskæres af en tredje, er de indvendige vinkler på samme side tilsammen lig med to rette. G: Ja, det er da indlysende, omtrent sådan må den omvendte sætning lyde. E: Pas nu på jeg må nok hellere tilstå at vi skal gå stille med dørene, for der er et problem her. Det bliver nu nok lettere for dig at følge hvis du lige husker at den omvendte sætning til Hvis A så B også kan lyde Hvis ikke A, så ikke B. Er du med? G: Er det ikke den form logikerne kalder kontrapositionen til Hvis B, så A? 4. Q.E.D. side 57. Thyra Eibe side 10 ff AIGIS - Suppl. Gorm 60 4

5 E: Det lyder som latin, så det er nok rigtigt. Det er i hvert fald en meget nyttig form, og ofte mere overbevisende end den ligefremme. Det kunne jo være at vi skulle formulere den omvendte sætning således: Hvis et system (det er sådan et godt græsk ord) af tre linjer (som det vi har tegnet her) danner indvendige vinkler hvis sum er mindre end 2 rette, danner de en trekant, og der er altså ikke tale om parallelle linjer. G: Ja, det lyder som en rigtig god formulering, den skulle ikke være til at tage fejl af. E: Kære Gorm, det kan vi strengt taget ikke vide; det kunne jo være at de ikke var mindre nok, så at linjerne alligevel ikke når sammen. Jeg skal dog ikke skjule at jeg er overbevist om at sætningen er sand, men vi er indtil videre nødt til at fremsætte den som en påstand, et αἴθηµα, og jeg bruger den til at bevise sætning G: Ja, det ord betyder vel noget vi beder om eller forlanger? Latinerne oversatte det til postulatum, så det kan vi også bruge. Er det ikke netop det udsagn du har anført som nummer 5 i din samling af postulater? Hvis en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på samme side tilsammen er mindre end to rette, så mødes de to linjer hvis de forlænges ubegrænset, på den side (af den skærende linje) hvor de to vinkler ligger som er mindre end to rette. E: Godt husket, Gorm der er er ikke noget så nyttigt som paratviden. G: Men så kan jeg nu ikke skjule for dig at dine efterfølgere har brugt megen tid på at bevise dette axiom, og at det faktisk lykkedes for et par matematikere et par tusind år efter dig at vise at der findes parallelle linjer der ikke respekterer postulatet. Derved fik de opdaget en geometri der er forskellig fra din men det behøver du nu ikke være ked af, for den bærer stadig dit navn ikkeeuklidisk geometri. 5. Q.E.D. side 70. Thyra Eibe side 43 AIGIS - Suppl. Gorm 60 5

6 E: Det glæder mig og tro mig: det anede mig at der kunne være tvivl om 5. postulat blot ikke i min plane og ubegrænsede verden af rette linjer og cirkler Men lad os vende tilbage til det der var anledning til denne samtale, begrebet uendelig. Og mærk dig at vi altså løste de parallelle linjers problem uden at bevæge os ud af stuen. Jeg kan godt lide at løse problemer her i nærheden. Jeg har da for resten endnu et eksempel på et endeløst problem der kan afklares her på bordet. G: Mere geometri? Eller hvad? E: Nej, dette eksempel drejer sig om tal jeg har jo skrevet tre bøger om forhold mellem tal, og har især interesseret mig for dem mine lærere kaldte πρῶτοι ἀριθµοί, første tal. G: Vi kender dem bedst med det latinske navn, numeri primi, primtal. I grunden et underligt navn når man tænker over det? E: Aldeles ikke: de hedder således fordi de kun kan stå forrest i multiplikationstabellerne, altid i randen og aldrig nede eller inde i tabellerne. Fx 2, 3, 5, 7,, 37, 41, 43, 97, 101 Ja, vi kan fortsætte til det bliver både mørkt og lyst igen, for der er faktisk uendeligt mange af dem. Til gengæld kan ingen af dem divideres, intet andet tal går op i et primtal, undtagen 1, som jo ikke er et rigtigt tal i min teori. G: Hvor véd du fra at der er uendeligt mange primtal, Euklid? E: Det har jeg da selv bevíst, Gorm, - og med så få hjælpemidler som muligt. 6 Jeg kan vise at hvis du bare giver mig to nej lad os sige tre primtal, kan jeg vise at der findes mindst ét og måske to til, altså: at der er flere primtal end du kan komme med. I dette tilfælde ganger jeg de tre primtal sammen og lægger 1 til. Så vil ingen af de primtal du gav mig, gå op i produktet, men give 1 til rest. Altså er resultatet enten selv et nyt primtal eller kan divideres med et fjerde primtal. Enkelt, ikke sandt? Og med små midler, selvom jeg bruger det hjemløse udsagn s bevis, τὸ ἄτοπον. Og læg mærke til at jeg for det første ikke bruger ordet 6. se appendix 1, eller Thyra Eibe, bind IV, sætning IX.20, side 105 AIGIS - Suppl. Gorm 60 6

7 uendelig, ἄπειρον, og for det andet klarer beviset lige her ved at jonglere med kun tre primtal.. G: Smukt, må jeg indrømme. Men helt slippe uden om uendelig kan du vel ikke? E: Du kan, såvidt jeg husker, ikke finde noget sted i mine Elementer hvor ordet optræder, selvom begrebet som i disse to tilfælde er effektivt til stede. Derimod kan du jo more dig med, i en ledig stund, at finde flere eksempler på de hjemløse udsagn i omvendte sætninger. Men lad være med at spilde for mange tanker på Achilleus og Skildpadden, du véd: Zenons grinagtige eventyr om den hurtigste der ikke kan indhente den langsomste, men må løbe i det uendelige. Herre Zeus, du kan jo selv regne ud hvornår og hvor Achilleus indhenter og overhaler skildpadden, som vi jo véd at han gør. Vogt dig for Paradoxerne, Gorm. 7 Og så må du hellere passe din runde fødselsdag og demonstrere for gratulanterne at du er til at træffe som altid når der er bud efter dig. Hvem vil ikke gerne hilse på dig i dag, du ἑξηκονταέτης? Til lykke med Den Store Ener. G: Hjertelig tak. Skal jeg ikke følge dig til stationen og Lille Nord? E: Nej tak, bliv du hellere her i nærheden, jeg har andre muligheder, så jeg tror jeg evaporerer nu. Lev vel og længe endnu, jeg hilser fra dig i Elysium. Litteraturhenvisninger: Q.E.D. Platon & Euklid tegner og fortæller. Gyldendal 2006, 2. udg Thyra Eibe, Euklids Elementer. Bind I, Bind IV, Thomas Heath, The thirteen books of Euclid s Elements. Dover, mange udgaver. 7. se appendix 2 AIGIS - Suppl. Gorm 60 7

8 Appendix 1 Elementerne IX.20: Der findes flere primtal end ethvert forelagt antal primtal. Lad de foreliggende primtal være A, B og C. Min påstand er at der findes flere primtal end A, B og C. A B C E D Z H Bevis: Lad DE være det mindste fælles mangefold af A, B og C [dvs. produktet A x B x C], og læg enheden DZ til. Så er EZ enten et primtal eller ej. Antag først at det er et primtal; der er da fundet primtallene A, B, C og EZ, som er flere end A, B og C. Men antag så at EZ ikke er et primtal; så kan det måles af et eller andet primtal [dvs: et eller andet primtal går op i EZ]. Antag at det måles af primtallet H. Min påstand er nu at H ikke er det samme som et af tallene A, B eller C. Thi hvis det er muligt så lad det være tilfældet. Men A, B og C går op i DE [deres produkt]. Og H går altså også op i DE, samtidig med at H går op i EZ. Følgelig går H op i resten DZ, altså enheden, skønt H er et tal større end enheden. Men det har ingen steder hjemme. Altså er H ikke det samme som et af tallene A, B og C. Og det var forudsat at H er et primtal; altså er der fundet primtallene A, B, C og H, som er flere end A, B og C. Hvilket skulle bevises. AIGIS - Suppl. Gorm 60 8

9 Appendix 2 Paradox: (En) tilsyneladende fornuftstridig påstand som i virkeligheden indeholder en sandhed (Dansk Fremmedordbog Gyldendal). Det var Zenon fra Elea der i et anfald af paradoxitis, som stadig kan smitte sendte den fodrappe Achilleus ud i det håbløse kapløb med den sløveste sløvskildpadde. Den lader sig ikke indhente såfremt den har et forspring for når Achilleus når frem til Skildpaddens startpunkt, er den jo foran, og så må han først lige løbe det stykke osv osv ad infinitum. Han må da have været en gevaldig komiker, ham Zenon hvis det da er ham selv der har indført skildpadden, Aristoteles nævner den ikke. Hvor må de have grinet ad den scene, hans tilhørere og venner, og vel ikke mindst ad filosofferne, der stod og måbede (ja, måbede i halvtredje tusind år, den dag endnu). Matematikerne var mere pragmatiske, i det omfang de overhovedet gad interessere sig: de regnede simpelthen ud hvorlangt de to har løbet når Achilleus overhaler, som vi jo véd at han gør. Antag, for nemheds skyld, men lidt absurd, at Achilleus løber 10 m/s (36 km/h, ca dobbelt så hurtigt som man kan cykle i København), mens Skildpadden løber 1 cm/sek (36 m/h), og lad S få en kilometers forspring, 1000 meter eller cm. I stedet for at ræsonnere over de enkelte intervaller kan vi koncentre os om at beregne hvornår A indhenter S. Lad os sige efter x sekunders løb. Så har A løbet 10 x meter (= 1000 x cm), og S har vandret x cm. Idet As løb indeholder S s forspring på cm, har vi følgende ligning: 1000x = x, hvoraf x = / 999 sekunder = 100, = 100 sekunder + en bagatel mere end en tiendedel sekund, altså 1 minut 40,1 sekunder. Skildpadden nåede lidt mere end 100 cm, dvs. én meter plus én millimeter, og blev overhalet da Achilleus havde løbet én km plus skildpaddens lange meter. AIGIS - Suppl. Gorm 60 9

10 Selvom vi ikke intuitivt kan fatte det, lærer vi heraf at en uendelig sum af stedse aftagende intervaller (konvergerende, kalder vi de intervaller) har en endelig sum (at vi ikke kan udtrykke 100/999 som en endelig decimalbrøk, har jo kun noget med 10-talsystemet at gøre). Paradoxet er ikke så meget matematisk som psykologisk dog fik matematikken ikke afgørende styr på det før Cauchy ( ) opfandt grænseværdi-definitionen. AIGIS - Suppl. Gorm 60 10

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Om primtal og forhold i opgangene

Om primtal og forhold i opgangene Om primtal og forhold i opgangene af Christian Marinus Taisbak Tilegnet en 70 år gammel mager karl, som spiser ene sin målte mad (J.V. Jensen, Holberg) For 45 år siden skrev jeg i forordet til min disputats,

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Aristoteles om uendelighed

Aristoteles om uendelighed Aristoteles om uendelighed Af Charlotte Stefansen En af de stridigheder man møder inden for matematik vedrører, om man kan tillade brugen af uendeligheder. Groft sagt kan man dele opfattelser af matematik

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet er. Den kan være rund eller kantet eller ensfarvet eller prikket, det er ikke essentielt. Det essentielle er derimod det centrale uforanderlige, det som enten er eller ikke er. Koppen, der går i stykker,

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Læs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

Læs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Logik Sandt eller falsk? Lyver han? Taler hun sandt? Det ville

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Uddrag af (kilde: http://aigis.igl.ku.dk/2005,1/cgtmen.pdf): Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Kapitel 16: SOKRATES: Sig mig så dreng, ved du, at et kvadratisk areal ser sådan

Læs mere

S: Mest for min egen. Jeg går i hvert fald i skole for min egen.

S: Mest for min egen. Jeg går i hvert fald i skole for min egen. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Notater fra pilotinterview med Sofus 8. Klasse Introduktion af Eva.

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

LÆRER (35) PATRICIA: Oh my god! Tascha, du bliver nødt til at se det her. TASCHA: Fuck den so! som om hun kan få en som Mads.

LÆRER (35) PATRICIA: Oh my god! Tascha, du bliver nødt til at se det her. TASCHA: Fuck den so! som om hun kan få en som Mads. Manuskript Engstrandskolen 10.com 3.gennemskrivning mobbet i døden SCENE 1. KLASSEVÆRELSE. DAG ELISA (16) sidder i et klasselokale og tegner hjerter rundt om mads navn. Elisa kigger op og får øjenkontakt

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Tre måder at lyve på

Tre måder at lyve på Tre måder at lyve på Skrevet af Ghita Makowska Rasmussen Sted: Café Blomsten i Nyhavn Personer: Et forhold fra fortiden Tid: ns fødselsdag 1 Scene En mand ankommer på en café. Tjekker. Går igen. Kommer

Læs mere

Studieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen

Studieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen Studieretningsprojekter i matematik og dansk? v/ Morten Overgård Nielsen Kilde: Den store danske encyklopædi reto rik Men det er, som Aristoteles også fremhæver, ikke ligegyldigt, om man siger tingene

Læs mere

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?

Læs mere

Transskription af interview Jette

Transskription af interview Jette 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Transskription af interview Jette I= interviewer I2= anden interviewer P= pædagog Jette I: Vi vil egentlig gerne starte

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C Trøjborg 29. juni 2009 Kære 9. årgang. En tøjklemme. Ja, sådan ser den ud den er blevet lidt gammel og grå lidt angrebet af vejr og vind den er blevet brugt meget. I kender alle sammen tøjklemmer, nogle

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Stil ind på et foto af en afdød

Stil ind på et foto af en afdød Kapitel Stil ind på et foto af en afdød Du er på besøg hjemme hos en af dine venner, og går forbi et billede, der hænger i entréen. På billedet ses en nydelig dame og lige da du passerer billedet, tænker

Læs mere

Hjælp Mig (udkast 3) Bistrupskolen 8B

Hjælp Mig (udkast 3) Bistrupskolen 8B Hjælp Mig (udkast 3) Af Bistrupskolen 8B SCENE 1 INT. KØKKENET MORGEN (15) går ind af døren til køkkenet og sætter sig ned ved køkkenbordet. åbner sit hæfte hvor der står Line på alle siderne. (16) sidder

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

En dialogisk undervisningsmodel

En dialogisk undervisningsmodel 8 Lær e r v e j l e d n i n g En dialogisk undervisningsmodel Helle Alrø gør i artiklen En nysgerrigt undersøgende matematikundervisning 6 rede for en måde at samtale på, som kan være et nyttigt redskab,

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Fonden En god start i livet har fået lov til at genoptrykke bogen såvel af forlaget som af forfatteren.

Fonden En god start i livet har fået lov til at genoptrykke bogen såvel af forlaget som af forfatteren. KROGHS FORLAG A/S eksisterer ikke mere. Fonden En god start i livet har fået lov til at genoptrykke bogen såvel af forlaget som af forfatteren. FORORD En kombination af to ting er årsagen til denne bog.

Læs mere

Etik og ledelsesfilosofi

Etik og ledelsesfilosofi Etik og ledelsesfilosofi - når filosofi bliver til praksis Man bliver mere sikker men mindre skråsikker Et dialogisk foredrag DSR den 3. november 2010 Af Civilingeniør Master fra DPU (Filosofi og ledelse)

Læs mere

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Evaluering af matematik 2. klasse

Evaluering af matematik 2. klasse Evaluering af matematik 2. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analyse af Skyggen. Dette eventyr er skrevet af H. C. Andersen, så derfor er det et kunsteventyr. Det er blevet skrevet i 1847.

Analyse af Skyggen. Dette eventyr er skrevet af H. C. Andersen, så derfor er det et kunsteventyr. Det er blevet skrevet i 1847. Analyse af Skyggen Man kan vel godt sige, at jeg har snydt lidt, men jeg har søgt på det, og der står, at Skyggen er et eventyr. Jeg har tænkt meget over det, og jeg er blevet lidt enig, men jeg er stadig

Læs mere

11. søndag efter trinitatis søndag II. Sct. Pauls kirke 31. august 2014 kl. 10.00. Salmer: 15/434/436/151//582/439/681/122

11. søndag efter trinitatis søndag II. Sct. Pauls kirke 31. august 2014 kl. 10.00. Salmer: 15/434/436/151//582/439/681/122 1 11. søndag efter trinitatis søndag II. Sct. Pauls kirke 31. august 2014 kl. 10.00. Salmer: 15/434/436/151//582/439/681/122 Åbningshilsen Vi er i kirke på sensommerens sidste dag. Festugen er begyndt,

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Prædiken til Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 1 dåb

Prædiken til Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 1 dåb Prædiken til Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 1 dåb 240 - Dig være ære 448 Fyldt af glæde 236 - Påskeblomst 224 Stat op min sjæl Nadververs: 245 v, 5 Opstandne herre du vil gå 218 Krist stod op af døde Jeg

Læs mere

vederfarelser. overtro.

vederfarelser. overtro. Prædiken 10 søndag efter Trinitatis, 2. tekstrække, Matth. 11,16-24. bemærket vistnok ikke fordi, der er lagt op til, at det skal gå Sodoma særligt tåleligt. Kanske at sådanne udsagn skurrer noget i ørene.

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

I vores lykke-fikserede verden, er det så nemt som fod i hose at få dagens fortælling om Jesus galt i halsen og brække troens ben på den.

I vores lykke-fikserede verden, er det så nemt som fod i hose at få dagens fortælling om Jesus galt i halsen og brække troens ben på den. Gudstjeneste i Skævinge & Lille Lyngby Kirke den 21. februar 2016 Kirkedag: 2.s.i fasten/b Tekst: Mk 9,14-29 Salmer: SK: 402 * 388,1-4 * 299 * 643 * 388,5 * 609,4-5 LL: 402 * 388 * 643 * 609,4-5 I vores

Læs mere

Prædiken 4. søndag efter Hellig Tre Konger 2014, 2. Tekstrække, Matth 14,22-

Prædiken 4. søndag efter Hellig Tre Konger 2014, 2. Tekstrække, Matth 14,22- Prædiken 4. søndag efter Hellig Tre Konger 2014, 2. Tekstrække, Matth 14,22-33. Se om mennesker, der tilsyneladende kan overkomme alt og som ikke løber ind i modgang siger man undertiden, at de kan gå

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Gud har en plan -3. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning minutter

Gud har en plan -3. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning minutter Gud har en plan -3 Plan nr. 3: Jeg giver dig evigt liv! Mål: Fortæl børn om Guds plan nr. 3: At give mennesker evigt liv. Gud giver sig selv, for at intet nogensinde vil kunne stå i vejen for et evigt

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Bilag 4 Transskription af interview med Anna

Bilag 4 Transskription af interview med Anna Bilag 4 Transskription af interview med Anna M: Først og fremmest kunne vi godt tænke os at få styr på nogle faktuelle ting såsom din alder bl.a.? A: Jamen, jeg er 25. M: Og din kæreste, hvor gammel er

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Din lærer skal spørge, hvordan du gjorde, og han skal bede dig gøre det igen. Du opdager din fejl og laver ikke fejl denne gang.

Din lærer skal spørge, hvordan du gjorde, og han skal bede dig gøre det igen. Du opdager din fejl og laver ikke fejl denne gang. Du giver op. Jeg kan ikke eller Jeg ved ikke, hvad jeg skal. Din lærer skal spørge, om han kan hjælpe dig, fx ved at låne dig sine fingre. Du skal give op igen. Du laver en fejl. Du tror, du kan svaret

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Hvad sker der med kærligheden efter brylluppet?

Hvad sker der med kærligheden efter brylluppet? 1 Hvad sker der med kærligheden efter brylluppet? I en højde af 30.000 fod et eller andet sted mellem Buffalo og Dallas stak han bladet i stolelommen foran mig, vendte sig mod mig og spurgte:»hvad arbejder

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence Normat 2/1998 71 Jeg er den største Vagn Lundsgaard Hansen Institut for Matematik Danmarks Tekniske Universitet Bygning 303 DK 2800 Lyngby V.L.Hansen@mat.dtu.dk Optimalitetsbetragtninger optræder i næsten

Læs mere

Projekt 3.8. Månens bjerge

Projekt 3.8. Månens bjerge Projekt 3.8. Månens bjerge Introduktion til hvordan man kan arbejde med dette projekt. Det følgende kan integreres i et projekt om verdensbilleder, hvor man både kommer ind på diskussioner om at opnå erkendelse,

Læs mere

Interview med Maja 2011 Interviewet foregår i Familiehuset (FH)

Interview med Maja 2011 Interviewet foregår i Familiehuset (FH) 1 Interview med Maja 2011 Interviewet foregår i Familiehuset (FH) Hej Maja velkommen her til FH. Jeg vil gerne interviewe dig om dine egne oplevelser, det kan være du vil fortælle mig lidt om hvordan du

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Bilag 5 - Transskription af interview med Ella

Bilag 5 - Transskription af interview med Ella Bilag 5 - Transskription af interview med Ella Før interviewet startes, oplyses informanten om følgende: Løs gennemgang af projektets emne. Hvem der får adgang til projektet. Anonymitet. Mulighed for at

Læs mere

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning 1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at

Læs mere

ibelong Er vi fælles om at være alene?

ibelong Er vi fælles om at være alene? ibelong Er vi fælles om at være alene? Formål: Teenagerne skal se, at de ikke står alene midt i deres liv med både op- og nedture. De er en del af et kristent fællesskab på flere måder. Forslag til programforløb:

Læs mere

21. søndag efter trinitatis

21. søndag efter trinitatis 21. søndag efter trinitatis Sneum kirke, søndag den 9. november kl.10.15-21.søndag efter trinitatis Gud Fader, Søn og Helligånd, du som er i himlen og på jorden, alle menneskers liv tilhører dig. Tak fordi

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

KONFIRMATIONSPRÆDIKEN 3.APRIL SEP VESTER AABY KL Tekster: Salme 8, Joh. 21,15-19 Salmer: 749,331,Sin pagt i dag, 441,2

KONFIRMATIONSPRÆDIKEN 3.APRIL SEP VESTER AABY KL Tekster: Salme 8, Joh. 21,15-19 Salmer: 749,331,Sin pagt i dag, 441,2 KONFIRMATIONSPRÆDIKEN 3.APRIL 2016 1.SEP VESTER AABY KL. 10.00 Tekster: Salme 8, Joh. 21,15-19 Salmer: 749,331,Sin pagt i dag, 441,2 Nu sad de der så igen. Det var det samme sted. Men det var så også det

Læs mere

A different kind of love (FINAL DRAFT2) Christianshavns Døttreskole 8. klasse

A different kind of love (FINAL DRAFT2) Christianshavns Døttreskole 8. klasse A different kind of love (FINAL DRAFT2) af Christianshavns Døttreskole 8. klasse A different kind of love SCENE 1: S VÆRELSE Alberte og Lea sidder på Albertes værelse. De hygger sig meget og snakker. (14)

Læs mere

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod?

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod? Paradigmer Fastlåst eller innovativ? Hvem er lyst til det første? Vi vil vel alle gerne være innovative? Alligevel kan vi opleve, at vi også selv sidder fast i nogle mønstre og har svært ved at komme ud

Læs mere

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 1 0101 Beregn uden hjælpemidler: a) 2 9 4 6+5 3 b) 24:6+4 7 2 13 c) 5 12:4+39:13 d) (1+4 32) 2 55:5 0102 Beregn uden hjælpemidler: a) 3 6+11 2+2½ 10 b) 49:7+8 11 3 12 c) 4 7:2+51:17 d) (5+3 2) 3 120:4

Læs mere

Om aftenen den samme dag, den første dag i ugen, mens disciplene holdt sig inde bag lukkede døre af frygt for jøderne, kom Jesus og stod midt iblandt

Om aftenen den samme dag, den første dag i ugen, mens disciplene holdt sig inde bag lukkede døre af frygt for jøderne, kom Jesus og stod midt iblandt Om aftenen den samme dag, den første dag i ugen, mens disciplene holdt sig inde bag lukkede døre af frygt for jøderne, kom Jesus og stod midt iblandt dem og sagde til dem:»fred være med jer!«da han havde

Læs mere

Bilag 2: Interviewguide

Bilag 2: Interviewguide Bilag 2: Interviewguide Tema Læsning og læsevanskeligheder Specialundervisning og itrygsæk Selvtillid/selvfølelse Praksisfællesskaber Spørgsmål 1. Hvordan har du det med at læse og skrive? 2. Hvad kan

Læs mere

Fadervor. b e l e n å b n e r b ø n n e. f o r j u n i o r e r

Fadervor. b e l e n å b n e r b ø n n e. f o r j u n i o r e r Fadervor B I b e l e n å b n e r b ø n n e n b e l e n å b n e r b ø n n e f o r j u n i o r e r f o r j u n i o r e r Bibelen Nu skal du læse i Bibelen. Har du selv en bibel, så kan du bruge den! Hvis

Læs mere

v1 I begyndelsen skabte Gud himlen og jorden. v2 Jorden var dengang tomhed og øde, der var mørke over urdybet, og Guds ånd svævede over vandene.

v1 I begyndelsen skabte Gud himlen og jorden. v2 Jorden var dengang tomhed og øde, der var mørke over urdybet, og Guds ånd svævede over vandene. 1 15 - Op al den ting 448 - Fyldt af glæde 728 - Du gav mig, O Herre 730 - Vi pløjed og vi såe de nadververs 732 v. 7-8 - 729 - Nu falmer skoven 1. Mos. 1, 1ff v1 I begyndelsen skabte Gud himlen og jorden.

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +LVWRU\RI6FLHQFH'HSDUWPHQW 8QLYHUVLW\RI$DUKXV MICHEL THOMSEN spekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +RVWD1R :RUNLQ3URJUHVV Hosta

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Palmesøndag 2016 Johs 12,1-16 Salmer: 403-83-176 149-81-57 Vi fejrer palmesøndag. Den første dag i påsken. Den glade dag, hvor Jesus mødes af en

Palmesøndag 2016 Johs 12,1-16 Salmer: 403-83-176 149-81-57 Vi fejrer palmesøndag. Den første dag i påsken. Den glade dag, hvor Jesus mødes af en Palmesøndag 2016 Johs 12,1-16 Salmer: 403-83-176 149-81-57 Vi fejrer palmesøndag. Den første dag i påsken. Den glade dag, hvor Jesus mødes af en begejstret menneskemængde. Han hyldes som konge. Den længe

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Åbningshistorie. kend kristus: Teenagere

Åbningshistorie. kend kristus: Teenagere Studie 1 Guds ord 9 Åbningshistorie Jeg stod bagerst i folkemængden i indkøbscentret og kiggede på trylleshowet. Men min opmærksomhed blev draget endnu mere mod den lille pige ved siden af mig end mod

Læs mere