Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?

Transkript

1 Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 1 / 19

2 Dagens emner Ud over ankomst- og ekspeditionstidsprocesser Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser? Antal servere, antal ventepladser. Kødisciplin hvordan betjenes kunder? (Kundeopførsel utålmodige kunder etc.) (Flere køer, forbindelse mellem servere (kønetværk)). AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 2 / 19

3 Dagens emner Kødiscipliner FIFO. LIFO. SIRO. First-In-First-Out. Kunder ekspederes i ankomstrækkefølge. Last-In-First-Out. Senest ankomne kunde ekspederes først. Service-In-Random-Order. Tilfældig ekspeditionsrækkeflg. P. Prioritet. Hver kunde tildeles ved ankomst en prioritet og betjenes i rækkefølge efter prioritet. RR. PS. Round-Robin. Hver kunde får en lille del af service, én efter én indtil ekspedition færdiggjort. Processor-Sharing. Kapacitet deles ligeligt ml. kunder samtidig. Disciplin påvirker normalt ikke kvantitative størrelser (gnsnt. kølængde, tid i system etc.). Men kan påvirke variabilitet af ventetid. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 3 / 19

4 Køsystemer notation Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X /Y (m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs. X = M specificerer en Poissonproces. E r : Ventetider er uafhængige og Erlangfordelte af orden r. D: Deterministisk ventetidsfordeling. GI : Uafhængige (independent) ventetider med en fast fordeling. Dvs. ingen nærmere antagelse om fordelingstype. G: Generel (stationær) proces, dvs. ingen antagelser. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 4 / 19

5 Køsystemer notation X /Y /(m, q)-systemer Ekspedienter er parallelforbundne man bliver ekspederet ved højest én ekspedient (modsat serieforbundne ekspedienter). q angiver antallet af køpladser (q = muligt). m angiver antallet af ekspedienter (m = muligt). AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 5 / 19

6 Køsystemer notation Eksempler Notationen M/E 4 (3, ) specificerer følgende køsystem: Ankomstproces er Poisson. Ekspeditionstider er Erlangfordelte af orden 4. Ubegrænset antal køpladser (q = ) 3 ekspedienter. Notationen G/GI (1, 0) specificerer følgende køsystem Ankomstproces er en generel stationær proces. Ekspeditionstider uafhængige fra fast (uspecificeret) fordeling. 0 køpladser. 1 ekspedient. Disciplin fremgår ej af notation FIFO med mindre andet nævnt. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 6 / 19

7 Trafiktilbud og kundespærring Trafiktilbud Betragt et G/G(m, q)-system. Definér a: gennemsnitligt antal ankomster per tidsenhed. 1/b: gennemsnitlig ekspeditionstid. A = a/b kaldes trafiktilbuddet. Enheden ankomster per ekspedition kaldes en Erlang. Vi kan opspalte trafiktilbud som A = afvist trafik + utålmodig trafik + afviklet trafik. Kundespærring E: gennemsnitligt antal optagede ekspedienter. π = 1 E/A er kundespærringen (brøkdel afviste kunder). AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 7 / 19

8 Trafiktilbud og kundespærring Tidsspærring og kundespærring Kundespærring er sandsynlighed (i det lange løb) for afvisning af en kunde, dvs. sandsynligheden for at systemet er optaget til et ankomsttidspunkt. Kan tilsvarende definere tidsspærring som sandsynlighed (i det lange løb) for at systemet er optaget til et arbitrært tidspunkt. Generelt gælder kundespærring tidsspærring. Poissonankomster Hvis ankomstproces er Poisson, er sandsynligheden for et givet antal kunder i systemet uafhængig af, om t er et ankomsttidspunkt. Dvs. M/G(m, q)-køsystem kundespærring = tidsspærring. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 8 / 19

9 Trafiktilbud og kundespærring Eksempel: M/M(1, 0)-system (afvisningssystem) Velkendt fra første forelæsning. Ankomstproces Poisson med intensitet a = 1 per time. Ekspeditionstider eksponentialfordelte med middelværdi 1/b = 1/2 time. Beskrives ved antal kunder i systemet til tid t: N(t) {0, 1}. Trafiktilbud A = a/b = 1/2 Erlang. Ligevægtssandsynligheder p 0 = b/(a + b) = 1/(1 + A) = 2/3. p 1 = 1 p 0 = 1/3. Udnyttelsesgrad af ekspedient E = p1 = A/(1 + A) = 1/3. Kundespærring π = 1 E/A = A/(1 + A) = 1/3. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 9 / 19

10 Little s formel Betragt et G/G(m, q)-system. Definér a: middel (gennemsnitligt) antal ankomster per tidsenhed (intensitet). L q : middel (gennemsnitligt) antal kunder i system. V q : middel (gennemsnitligt) opholdstid i systemet for en vilkårlig kunde. V q er bestemt ved Little s formel: L q = av q, dvs. V q = L q a = middel antal kunder ankomstintensitet Anvendelser Ofte let at beregne gennemsnitligt antal kunder i systemet (fx ud fra ligevægtssandsynligheder). Så kan Little s formel bruges til bestemmelse af gennemsnitlig opholdstid. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 10 / 19

11 Little s formel Eksempel: M/M(1, 0)-system (afvisningssystem) Ankomstproces Poisson med intensitet a = 1 per time. Ekspeditionstider eksponentialfordelte med middelværdi 1/b = 1/2 time (trafiktilbud A = a/b = 1/2). Beskrives ved antal kunder i systemet til tid t: N(t) {0, 1}. Ligevægtssandsynligheder p 0 = b/(a + b) = 1/(1 + A) = 2/3, p 1 = 1 p 0 = 1/3. Gennemsnitligt antal kunder i systemet L 0 = p p 1 1 = p 1 = Little s formel giver gennemsnitlig opholdstid A 1 + A = 1/3. V 0 = L 0 /a = 1/3 time (bemærk < 1/b = 1/2 time, idet en kunde afvises, hvis optaget ). AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 11 / 19

12 Little s formel Mere om Little s formel V q er den gennemsnitlige opholdstid for alle kunder i systemet (afviste, forsinkede, straksekspederede). Vi er normalt mest interesserede i opholdstid for kunder, som ikke straksekspederes, dvs. forsinkede kunder. Hvis brøkdel D, som ej straksekspederes og W q gennemsnitlig opholdstid for disse, så gælder V q = DW q og dermed L q = adw q. Generelt Mange andre lignende formler for sammenhæng mellem gennemsnitligt antal og gennemsnitlig opholdstid. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 12 / 19

13 Little s formel Argument for Little s formel Antal kunder i system til tid t: N(t). Gennemsnitligt antal kunder i [0, t]: Lq = A(t)/t. Hver kunde bidrager i snit med Vq til A(t). Der ankommer i snit at kunder i [0, t]. Dvs. A(t) = atv q atv q = L q t L q = av q. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 13 / 19

14 Reminder Markovprocesser Stationær Markovproces X med tilstandsrum {0, 1,..., n}. Beskrives ved overgangssands. p ij (t). Ligevægtssystemer lim p ij(t) = p j, i, j {0, 1,..., n} (ligevægtssandsynligheder). t Vi kan også beskrive X ved intensiteter c ij = p ij(0) for i j. Beskriver momentan tilbøjelighed til overgang i j (rate). Find ligevægtssandsynligheder ved at løse ligningssystemet { n l=0 p l = 1 (normerende ligning) n l=0 p lc lj = 0, j = 0, 1,..., n hvor c jj = i: i j c ji. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 14 / 19

15 Reminder Markovprocesser M/M(1, N)-kø Poisson ankomstproces med intensitet a og eksponentialfordelte ekspeditionstider med middelværdi 1/b. 1 ekspedient; N køpladser. Antal kunder i system N(t) {0, 1,..., N + 1}. Ligevægtssands. p i = lim t P(N(t) = i), i = 0,..., N + 1. Et eksempel på et fødsels- og dødskøsystem. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 15 / 19

16 Reminder Markovprocesser M/M(1, N)-kø Ligevægtsligninger: Dvs. N+1 i=0 p i = 1 (normerende ligning) samt bp 1 = ap 0 ap 0 + bp 2 = (a + b)p 1.. ap i 1 + bp i+1 = (a + b)p i. ap N = bp N+1. p 1 = (a/b)p 0 = Ap 0 p 2 = (a/b)p 0 + (a/b + 1)p 1 = A 2 p 0. p i+1 = (a/b)p i 1 + (a/b + 1)p i = A i+1 p 0. p N+1 = (a/b)p N = A N+1 p 0. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 16 / 19

17 Reminder Markovprocesser M/M(1, N)-kø Ligevægtssandsynligheder hvis A = a/b 1: p i = 1 A 1 A N+2 Ai, i = 0, 1,..., N + 1. Ligevægtssandsynligheder hvis A = a/b = 1: p i = 1, i = 0, 1,..., N + 1. N + 2 Lad N (uendeligt mange køpladser). Ligevægt i M/M(1, ) eksisterer kun hvis A < 1. Ligevægtsfordelingen er da (kaldes en geometrisk fordeling). p i = A i (1 A), i = 0, 1, 2,... AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 17 / 19

18 Reminder Markovprocesser Karakteristiske størrelser i M/M(1, ) Gennemsnitligt antal kunder i systemet L = ip i = i=0 A 1 A. Gennemsnitlig opholdstid V i systemet L = av V = 1 b 1 1 A (Little s formel). Brøkdel af kunder, som ikke straksekspederes D = 1 p 0 = A. Gennemsnitligt antal optagede ekspedienter E = A (da rent ventesystem, Andersen (2001), p.36ø.). AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 18 / 19

19 Reminder Markovprocesser Karakteristiske størrelser i M/M(1, ) Gennemsnitlig kølængde L (ej straksekspedition) L = (i 1)p i = i=2 ip i p i = L A = i=1 Gennemsnitlig opholdstid V i køen V = L a = 1 b Alternativ beregning her: A 1 A i=1 (også en Little s formel) A2 1 A. samt V = gnsn. systemtid gnsn. eksp. tid = V 1 b = 1 ( 1 ) b 1 A 1 = 1 b A 1 A. L = DL = A A 1 A. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 19 / 19

20 Reminder Markovprocesser Taleksempel I et produktionssystem ankommer emner efter en Poissonproces med en intensitet på a = 3 emner per time. Forarbejdningstid er eksponentialfordelt. Middelværdi 1/b =15 minutter = 1/4 time. 1 ekspedient, uendelig mange køpladser. Beregninger Trafiktilbud A = a/b = Ligevægtssandsynligheder p i = (0.25)(0.75) i for i = 0, 1, 2,.... Sandsynlighed for forsinkelse D = A = Gennemsnitlig kølængde L = = Gennemsnitlig produktionstid V = = 1 time. AGR/PSE (I17) VS7-5. minimodul 20 / 19