TØ-opgaver til uge 45

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TØ-opgaver til uge 45"

Transkript

1 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. : Sætning 3.1, ligning (3.4) på side 7. [5]: Sætning 3.1, ligning (3.5) på side 7. [6]: Ligning (4.2) på side 13. [7]: Ligningen øverst på side 125. [8]: Ligning (A.3) på side 126. [9]: Ligning (A.4) på side 126. [10]: Implikation (A.8) på side 127. [11]: Ligning (B.3) på side 131. Opgave 1 Lad A og B være hændelser, således at P (A) 0,6, P (B) 0,5 og P (A B) 0,8. Vi skal nu have bestemt sandsynligheden for hver af hændelserne A B, A, B, A B og A B. Vi finder følgende: P (A B) [5] P (A) + P (B) P (A B) 0,6 + 0,5 0,8 0,3; P A 1 P (A) 1 0,6 0,4; P B 1 P (B) 1 0,5 0,5; P A B [8] P (A B) 1 P (A B) 1 0,8 0,2; P A B [9] P (A B) 1 P (A B) 1 0,3 0,7. Opgave 2 Betragt spillet kast med 3 mønter (m 1, m 2 og m 3 ), hvor der er tale om perfekte mønter i den forstand, at sandsynligheden for at slå plat (p) henholdsvis krone (k) begge er 50 %. Vi har nu et sandsynlighedsrum (E, F, P ), hvor E {(m 1, m 2, m 3 ) (p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (k, p, p), (p, k, k), (k, p, k), (k, k, p), (k, k, k)}, F er en σ-algebra, bestående af samtlige delmængder af E, P : F [0, 1] er et uniformt sandsynlighedsmål på F. 1

2 Spørgsmål (i) En simpel optælling viser, at #E 8, så der er altså 8 mulige udfald. Spørgsmål (ii) Betragt hændelserne være hændelser, der er givet ved A {(m 1, m 2, m 3 ) Alle mønter viser plat} {(p, p, p)}, B {(m 1, m 2, m 3 ) Mindst én mønt viser krone} {(p, p, p)} C, C {(m 1, m 2, m 3 ) Netop én mønt viser krone} {(p, p, k), (p, k, p), (k, p, p)}. Vi bemærker, at #A 1, #B #E #A 7 og #C 3, så P (A) [1] #A #E 1 [1] ; P (B) #B 8 #E 7 [1] ; P (C) #C 8 #E 3 8. Spørgsmål (iii) Se nu på spillet kast med n N mønter (m 1,..., m n ), og betragt sandsynlighedsrummet (E, F, P ), hvor P og F er givet som i Spørgsmål (ii), hvorimod der nu gælder, at E {Samtlige permutationer af n-tuplet (m 1,..., m n )}. Lad yderligere A, B, C F været givet som ovenfor. Igen ønsker vi at finde P (A), P (B) og P (C), så først husker vi på, at n n 2 n. k k0 Af [11] har vi nu, at (a + b) n n n a k b n k, k k0 hvor vi kan betragte k som antallet af mønter, der viser krone (eller plat), med koefficienterne ( n k) som antallet af muligheder for, at k af de n mønter viser krone (eller plat). Dette gør det ganske nemt at løse opgaven, thi så har vi nemlig, at P (A) [1] #A ( n 0) #E 2 n 2 n, P (B) [1] #B #E P (C) [1] #C #E 1 P (A) 1 2 n, ( n 1) 2 n n 2 n. 2

3 Spørgsmål (iv) Som det sidste i denne opgave, skal vi have afgjort hvor mange mønter vi skal have, før sandsynligheden for at få mindst én krone er større end 95 %. Af Spørgsmål (ii) ser vi, at dette svarer til at finde det mindste n N, der opfylder uligheden 1 2 n > 0,95. Dette er nemt klaret, for om følgen S n : {1 2 n } n0 gælder der, at så svaret er 5 mønter. S S ,9375 < 0,95, 0,96875 > 0,95, Opgave 4 Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på E [0, 10]. Da E er et interval, vælger vi F B(E). Vi har nu hændelserne A, B, C F, hvor A [0, 5], B [1, 7] og C [4, 9]. Nu skal vi have undersøgt, hvorvidt (A og B), (A og C) og (B og C) er uafhængige. Altså skal vi undersøge, hvilke af de tre kombinationer, der opfylder [6]. Først fås, at hvilket giver følgende: A B [1, 5], A C [4, 5], B C [4, 7], A 5 0 5, B 7 1 6, C 9 4 5, A B 5 1 4, A C 5 4 1, B C Da E , er P (A B) [2] P (A C) [2] P (B C) [2] A B E A C E B C E 4 [2], P (A)P (B) A B 10 E E [2], P (A)P (C) A C 10 E E [2], P (B)P (C) B 10 E C E Af [6] fås så, at A og B er ikke uafhængige, A og C er heller ikke uafhængige, hvorimod B og C er uafhængige. 3

4 Opgave 12 Vi ser nu på spillet en mønt kastes 2 gange (m 1 og m 2 ), hvor der er tale om perfekte mønter; sandsynligheden for at slå plat (p) henholdsvis krone (k) er 1/2 for hver. Betragt sandsynlighedsrummet (E, F, P ), hvor E {(m 1, m 2 ) (p, p), (p, k), (k, p), (k, k)}, F er en σ-algebra, bestående af samtlige delmængder af E, P : F [0, 1] er et uniformt sandsynlighedsmål på F. Som det næste, definerer vi nu to hændelser A, B F ved A {(m 1, m 2 ) Plat i første kast} {(p, p), (p, k)}, B {(m 1, m 2 ) Krone i andet kast} {(p, k), (k, k)}. Da A B {(p, k)}, ser vi af [7], at A og B ikke er disjunkte hændelser. Opgave 14 Lad (E, F, P ) være et sandsynlighedsrum og lad A F være en hændelse. Vi skal have vist følgende biimplikation: A er uafhængig af sig selv P (A) 0 eller P (A) 1. Først beviser vi -delen. Antag derfor, at A er uafhængig af sig selv. Da A A A, er P (A) P (A A) [6] P (A)P (A) (P (A)) 2. Dette er tydeligvis kun opfyldt, såfremt P (A) 0 eller P (A) 1. Lad os dernæst bevise -delen, så antag derfor, at P (A) 0. Af Opgave 13 har vi, at P (A A) 0, så P (A A) [5] P (A) + P (A) P (A A) Eftersom P (A A) (P (A)) 2, følger det af [6], at A er uafhængig af sig selv. Antag nu, at P (A) 1. Ifølge Opgave 13 har vi så, at P (A A) 1. Altså er P (A A) (P (A)) 2, og igen bruger vi [6] til at konkludere, at A er uafhængig af sig selv. Opgave 15 Lad (E, F, P ) være et sandsynlighedsrum, hvor F er en σ-algebra, og lad A 1, A 2 F være uafhængige hændelser. Af [10] har vi, at A 1, A 2 F. 4

5 Spørgsmål (i) Vi skal nu have vist, at A 1 og A 2 er uafhængige hændelser. Det første man bemærker er, at A 1 A 2 A 1 \ (A 1 A 2 ). Da A 1 A 2 A 1, har vi følgende: P A 1 A 2 P (A 1 \ (A 1 A 2 )) [3] P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) [6] P (A 1 ) P (A 1 )P (A 2 ) P (A 1 )(1 P (A 2 )) P (A 1 )P ( A 2). Af [6] følger det nu, at A 1 og A 2 er uafhængige. Spørgsmål (ii) Som det næste skal vi vise, at A 1 og A 2 er uafhængige hændelser. En direkte udregning viser, at P A 1 A [9] 2 P ( (A 1 A 2 ) ) 1 P (A 1 A 2 ) [5] 1 ( P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) ) [6] 1 P (A 1 ) P (A 2 ) + P (A 1 )P (A 2 ) (1 P (A 1 ))(1 P (A 2 )) P ( A 1) P ( A 2 ). Igen bruger vi [6] til at konkludere, at A 1 og A 2 er uafhængige hændelser. Opgave 48 Betragt spillet kast med 4 terninger (t 1, t 2, t 3 og t 4 ). Terningerne er perfekte i den forstand, at der er lige stor sandsynlighed for at en terning viser en af øjentallene 1,..., 6. Slås fire ens, får man en gratis øl, og ellers koster øllen det samlede antal øjne på de fire terninger. Vi har et sandsynlighedsrum (E, F, P ), hvor E {(t 1, t 2, t 3, t 4 ) t i 1,..., 6 for i 1,..., 4}, F er en σ-algebra, bestående af samtlige delmængder af E, P : F [0, 1] er et uniformt sandsynlighedsmål på F. 5

6 Spørgsmål (i) Betragt nu de to hændelser A, B F, hvor A Man får en gratis øl {(t 1, t 2, t 3, t 4 ) Alle fire terninger viser det samme antal øjne} {(1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3), (4, 4, 4, 4), (5, 5, 5, 5), (6, 6, 6, 6)}, B Man skal betale for sin øl A C. Vi har nu, at #E og #A 6. Altså er P (A) [1] #A #E , P (B) 1 P (A) Spørgsmål (ii) Lad nu C F være givet ved C Summen af de viste øjne, på de fire terninger. Analogt Opgave 2 fås, at 4 #{C 23} 4, #{C 22} 1 Dette giver så følgende: P ({C 23}) [1] P ({C 22}) [1] #{C 23} #E #{C 22} #E ; Litteratur [IPT] Preben Blæsild og Jan Pedersen. An Introduction to Probability Theory, 3. udgave. Aarhus Universitet, Danmark

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5. Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993.

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Københavns Universitet Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Opgave 1 (50%) Det bemærkes, at en række af nedenstående spørgsmål kan besvares uafuængigt af de Øvrige spørgsmål (resultaterne,

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Statistik og sandsynlighed Statistik handler om at beskrive og analysere en stor mængde data. som I eller andre har indsamlet. Det kan fx være tal, der fortæller om, hvor mange lynnedslag der er i Danmark

Læs mere

Sandsynlighed og kombinatorik

Sandsynlighed og kombinatorik Sandsynlighed og kombinatorik Indholdsfortegnelse... 1 Simpel sandsynlighed... 2 Kombinatorik... 4 Sandsynlighed ved hjælp af kombinatorik... 7 Udregningsark... 8 side 1 Simpel sandsynlighed 1: Du kaster

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 4. Udgave Michael Sørensen 26. juni 2003 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Uafhængighed af hændelser

Uafhængighed af hændelser Uafhængighed af hændelser Uafhængighed af to hændelser A og B kaldes uafhængige hændelser hvis P A B P A P B Kaldes også den specielle multiplikationsregel. Så gælder både P A B P A og P B A P B. Bemærk

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Modul 3: Sandsynlighedsregning

Modul 3: Sandsynlighedsregning Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Sandsynlighedsregning 3.1 Sandsynligheder................................... 1 3.2 Tilfældig udtrækning fra en mængde........................

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:

Læs mere

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med

Læs mere

Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument

Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument Sandsynlighedsteori Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (, E, ν). Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål,

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b vil have samme chance for at få eller 7 skilling i et retmæssigt spil, som det senere vil blive vist. Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Indhold. Servicesider. Testsider

Indhold. Servicesider. Testsider Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................

Læs mere

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) Gamle eksamensopgaver Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM54) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

OPGAVER 3.g SANDSYNLIGHEDSREGNING KOMBINATORIK STATISTIK KOMPLEKSE TAL. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

OPGAVER 3.g SANDSYNLIGHEDSREGNING KOMBINATORIK STATISTIK KOMPLEKSE TAL. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium OPGAVER 3.g SANDSYNLIGHEDSREGNING KOMBINATORIK STATISTIK KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 KOMBINATORIK... 4 STATISTIK... 30 KOMPLEKSE TAL...

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Sandsynlighed og kombinatorik

Sandsynlighed og kombinatorik Sandsynlighed og kombinatorik Simpel sandsynlighed... 94 Kombinatorik... 95 Sandsynlighed og kombinatorik... 97 Kombinatorik og kugletrækning... 97 Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 93 Sandsynlighedsregning

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere