Matematikprojekt. Svingninger. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 17 September 2010

Transkript

1 Matematikprojekt om Svingninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 17 September 2010

2 Del I Radianer Når man arbejder med vinkelstørrelser, kan man beskrive afstanden imellem to punkter på en cirkeloverflade ud fra to metoder. Man kan beskrive denne afstand ud fra antal grader, hvor 360 udgør hele cirklens omkreds og afstanden imellem de to punkter da vil være en del af disse grader. En vinkel på 360 vil betyde at man har bevæget sig en hel omkreds på cirklen. Vi betegner også omkredsen for en cirkel ud fra tallet π. Da cirklens omkreds kan defineres som 2π radianer 1 vil en radian være givet ved 1rad = 360 2π = 180 = 57, 30 π Tager man udgangspunkt i enhedscirklen, kan man udvælge en bestemt vinkel. Denne vil da udgøre afstanden i grader mellem linjestykkerne a og b. På figuren ses denne vinkel som α = 20. Man kan også måle den del af cirkelperiferien, som punkterne B og B udgør. På figuren ses denne som cirkelstykket d og det er denne afstand som vi måler i radianer. Figur 1: Enhedscirklen Man kan også finde hvad en grad er i radianer ved 1 = 2π 360 = π = 0, Definitionen af radian er: Radiantallet for en vinkel V, er længden af cirkelbuen på enhedscirklen, som vinklen udspænder Man kan altså sige at antallet af grader er den afstand mellem to linjer, som går imellem enhedscirklens centrum og to punkter på periferien. Antallet af radianer er den afstand som de to punkter udspænder på cirkelperiferien. 1 Radian er en sammentrækning af radius og angle. 1

3 Grundrelationen x 2 + y 2 = 1 Grundrelationen for sammenhængen imellem sin(v) og cos(v), er givet ved udtrykket x 2 + y 2 = 1 Bevis: Hvis man kigger på enhedscirklen (figur 2) igen kan man se at afstanden AP kan findes som afstanden c i en retvinklet trekant, ved at benytte Pytagoras sætning a 2 + b 2 = c 2 Figur 2: Enhedscirklen med punktet P Linjestykket a er da givet som sin(v) og linjestykket b er da givet som cos(v) og linjestykket c er givet som afstanden AP. Men denne afstand kender vi allerede, da vi ved at afstanden AP er lig med cirklens radius og vi ved at cirklens radius er 1, da denne er radiussen for enhedscirklen. Vi kan da samle vores udtryk til a 2 + b 2 = c 2 sin 2 (v) + cos 2 (v) = 1 Men da vi kan se ud fra figur(2) at afstanden sin(x) udgør, er længden på y aksen og afstanden cos(x) udgør, er afstanden på x aksen, kan vi omformulere vores udtryk til sin 2 (v) + cos 2 (v) = 1 y 2 + x 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 da rækkefølgen imellem 2 led er vilkårlig i forhold til resultatet. Sætningen er hermed bevist. 2

4 Vi vil nu give et udregnet eksempel. Som det ses på figur(2), er vinklen P AC = 43, 48. Ud fra vores udtryk må dette betyde at sin 2 (43, 48 ) + cos 2 (43, 48 ) = 1 Dette understøtter udtrykkets rigtighed. Trigonometiske funktioner (0, ) + (0, 52686) = 1 En trigonometrisk funktion er kort fortalt en funktion hvor sinus, cosinus eller tangens indgår. Vi tænker normalt på disse udtryk som en mulighed for at arbejde med vinkler, men de kan også beskrives som selvstændige funktioner og det viser sig ydermere, at de kan bruges til at beskrive mange fænomener. især indenfor matematik, men også fysik, biologi, medicin og flere. Når man arbejder med trigonometriske funktioner, så er der en del variabler man kan indføre og stille på. Vi vil her lave en kort gennemgang af de forskellige variable og løbende forklare deres betydning. Vi tager udgangspunkt i sinus funktionen, men viderefører vores viden til de andre trigonometriske funktioner. Den mest enkle sinus funktion er f(x) = sin(x + c) og den mest simple vil derfor være sin(x + 0) = sin(x). Således vil funktionenerne f(x) = sin(x); f(x) = sin(x + 2); f(x) = sin(x 2) se således ud(fig.3). Man ser at den røde graf, som er sin(x) har skæringspunkt Figur 3: sin(x), sin(x+2) og sin(x-2) med x aksen ved x = 0. Man ser at grafen for sin(x + 2) (den blå graf) har skæring med x aksen ved x = 2 og slutteligt ser man at grafen for sin(x 2) (den grønne graf) har skæring med x aksen ved x = 2. Af dette kan vi udlede at formuleringen x + 2 hentyder til den værdi som lagt til 2 giver 0. sin( 2 + 2) = sin(0) og sin(2 2) = sin(0). Altså betyder variablen c i sin(x + c) hvorhenne i koordinatsystemet, man starter sin kurve. Dog ser man at funktionen både løber negativt og postivt ad x aksen. Denne variation kaldes også for vandret forskydning eller faseforskydning. Man kan indføre en ny variabel, således at ens udtryk bliver f(x) = sin(bx + c). Vi har valgt følgende funktioner f(x) = sin(x + 1); f(x) = sin(2x + 1); f(x) = sin(3x + 1) 3

5 Figur 4: Funktionerne f(x) = sin(x + 1); f(x) = sin(2x + 1); f(x) = sin(3x + 1) og kurverne kommer til at se således ud(fig.4). Man ser her at graferne nu starter omtrendt samme sted, hvilket passer fint overens med at c er den samme. For at forstå det der sker på kurven, bliver vi nødt til at indføre begrebet periodicitet. Dette betyder at under en hel periode er der foregået en svingning. Dette forklares ganske enkelt med at hvis man starter et vilkårligt sted på kurven så vil en periode være når man har fulgt kurven indtil man er i det samme sted på kurven igen. Måler man i forhold til y aksen, så vil perioden være givet ved p = x+ x, hvor x er en værdi på x aksen og x er den x værdi man skal lægge til, for at havne på grafen igen, ved samme y værdi. Dette forudsætter dog at man ikke ændrer y-værdi undervejs. Det er som regel lettest at vælge sin y 0 til toppunktet på kurven. Dette kan også forklares ud fra enhedscirklen, som man så på figur.(1), da vil en periode udgøre en rejse hele vejen rundt om enhedscirklen, altså 2π. Hvis man i stedet beskriver denne tur om cirklen som en funktion af tiden, så vil man opnå en trigonometrisk kurve. Man ser nu at tallet b bestemmer kurvens periodicitet. Man ser at inden for sin(x + 1) har sin(2x + 1) 2 perioder og sin(3x + 1) 3 perioder. Derfor kan vi udlede at tallet b i f(x) = sin(bx + c) bestemmer kurvens periode. Denne variation kan også kaldes svingningstiden eller frekvensen Den næste variabel vi gerne vil indføre er a, således at udtrykket for sin(x) bliver f(x) = a sin(bx + c). Igen har vi udvalgt en række funktioner at præsentere som grafer f(x) = sin(2x + 2); f(x) = 2 sin(2x + 2); f(x)3 sin(2x + 2) og de kommer til at se såldes ud. Man ser nu på figur 5 at perioden for funktio- Figur 5: Funktionerne f(x) = sin(2x + 2); f(x) = 2 sin(2x + 2); f(x)3 sin(2x + 2) nerne er helt ens og deres startpunkter er også helt ens. Det der nu ændrer sig 4

6 er toppunktet for kurven. Man ser sammenhængen imellem sin(2x + 2) og toppunktet y = 1, 2 sin(2x + 2) og toppunktet y = 2 og slutteligt sammenhængen imellem 3 sin(2x + 2) og toppunktet y = 3. Derfor er det tydeligt at variablen a definerer både den højeste og laveste værdi langs y aksen. Derfor kaldes denne variation amplituden eller bølgestørrelsen. Det sidste tal vi vil indføre er konstanten k, sådan at udtrykket for sinus bliver f(x) = a sin(bx + c) + k. Selvom k er en konstant, så dækker det alligevel over et tilfældigt tal. Dette kan bedre forklares ud fra de funktioner vi har valgt til at beskrive. f(x) = 2 sin(2x + 2) + 1; f(x) = 2 sin(2x + 2) + 2; f(x) = 2 sin(2x + 2) + 3 De ser således ud og man ser tydeligt at både perioden og startpunktet er Figur 6: Funktionerne f(x) = 2 sin(2x+2)+1; f(x) = 2 sin(2x+2)+2; f(x) = 2 sin(2x + 2) + 3. ens. Toppunkterne er forskellige, men til forskel fra f(x) = a sin(bx + c), så er forskellen imellem den højeste og laveste værdi, for hver enkelt kurve, den samme. Derfor er amplituden er den samme. Man ser her at det der varierer er startpunktet for kurven på y aksen. Man ser sammenhængen imellem at 2 sin(2x+2)+1 starter ved y = 1, 2 sin(2x+2)+2 starter ved y = 2 og 2 sin(2x+ 2) + 3 starter ved y = 3. Denne forskydning kalder man lodret forskydning eller forskydning på y aksen. I forhold til cosinus og tangens funktionerne, så er den eneste forskel imellem sinus og cosinus, faseforskydnigen, som ses på figur 7. Men det gøres ganske Figur 7: Funktionerne f(x) = 2 cos(2x + 2) + 2 og f(x) = 2 sin(2x + 2) + 2. tydeligt på figur 8, hvor vi har forskudt sinus funktionen med 3 2. Her ses det tydeligt at de to kurver følger hinanden fuldstændig. 5

7 Figur 8: Funktionerne f(x) = 2 cos(2x + 2) + 2 og f(x) = 2 sin(2x ) + 2. Figur 9: Funktionerne f(x) = tan(x); f(x) = tan(x 1); tan(x + 1) Den funktion der adskiller sig væsentlig i forhold til kurverne, er tangens funktionen. Man ser på figur 9 at tangens funktionen stadig repræsenterer periodicitet, men denne viser sig i form af pludselige ændringer i y værdierne. Dog ser man også at de samme regler, som vi lige har udledt for sinus funktionen, også gælder for tangens funktionerne. Man ser på figur 9 at hvis den røde kurve er udgangspunktet, så er den grønne kurve forskudt 1 på x aksen og den blå kurve er forskudt +1 en på x aksen. Det samme som vi fandt for sinus kurven. På figur 10 ses et plot af funktionerne f(x) = 2 tan(2x + 1) + 1; f(x) = 2 tan(2x + 2) + 2 og her ser man ved at skalere grafen ned til samme y værdier som figur 9, at Figur 10: Funktionerne f(x) = 2 tan(2x + 1) + 1; f(x) = 2 tan(2x + 2) + 2 svingningstiden og faseforskydningen har ændret sig. Dog er det svært at sige noget om både amplituden og den lodrette forskydning (figur 11). Hvor møder vi trigonometriske funktioner? De trigonometriske funktioner møder vi alle steder i verden, hvor der forekommer periodicitet og/eller svingninger. De mest almindelige steder er i forbindelse med 6

8 Figur 11: Funktionerne f(x) = 2 tan(2x+1)+1; f(x) = 2 tan(2x+2)+2 tættere på. trykbølger (eks. lyde), elektromagnetiske bølger (eks. lys) eller mekaniske bølger (eks. den harmoniske oscillator). Især i forbindelse med den klassiske mekanik indenfor fysikken lærer man om den periodiske svingning af en fjeder. Her kan svingningen frem og tilbage beskrives ud fra en sinus kurve. Faktisk er de fleste af de svingninger vi normalt beskæftiger os med, beskrevet ud fra sinus funktioner. Et meget nærliggende eksempel ses også når man studerer et ekg 2. Da vil vil QRS komplekset kunne beskrives som en skarp sinus svingning(fig.12). Dette er dog ikke forklaringen på hvorfor denne hjerterytme kaldes for sinus-rytme. Figur 12: EKG med QRS kompleks Et nærmere kig på perioden Vi vil her give en kort, men mere dybdegående forklaring på hvad der menes med en periode. En periode kan kort og godt beskrives som den tid det tager et element 3 at udføre en svingning. Og for at komme begrebet svingning lidt mere præcist til værks, har vi valgt at kigge nærmere på den harmoniske oscillator. På figur 13 kan man se et eksempel på hvordan en harmonisk oscillator kunne beskrives. Man ser en kasse hængt op i en fjeder. Kassen står i ligevægtspositionen. Hvis kassen nu trækkes ud til punktet 3 på x aksen og slippes, så vil kassen bevæge sig tilbage mod ligevægtspositionen. Men da tyngdekraften trækker tilbage i 2 ElektroKardioGram 3 Da en svingning kan udføre af både fysiske objekter, lydbølger og EM bølger, har vi valgt ordet element. 7

9 Figur 13: Den harmoniske oscillator kassen, så vil kassen stoppe kort op og falde ned igen og denne bevægelse vil gentage sig. Hvis vi nu forestiller os at kassen ikke bliver hæmmet af friktion, så vil denne kasse netop være en harmonisk oscillator. Nu skal denne bevægelse sættes i sammenhæng med en trigometrisk kurve. Og her viser det sig at sinus kurven er det mest anvendelige, selvom cosinus også kan lade sig gøre. På figur 14 kan man se, at når fjederen er strukket har Figur 14: Harmonisk oscillator som sinusfunktion sinusfunktionen y-værdien y = 0. Når man så slipper fjederen, så farer kassen opad imod fjederen, indtil den når grænsen y = 10 og herefter falder kassen ned igen, indtil y-værdien igen er y = 0 og så kører vi forfra. Man kan se på hældningen af sinuskurven, at den ses som funktion af den potentielle energi og tiden. Havde dette nu været en ægte oscillator, så ville funktionen gradvist aftage, indtil kassen ville hænge i ligevægtspositionen, som det ses på figur Dette skyldes at systemet mister energi i fjederen, som bliver omsat til varme, og en lille smule energi ved luftmodstand Vi vil nu kort kigge på hvordan perioden for funktionerne sin(x), cos(x) og tan(x) vil udfolde sig, men da vi allerede har haft fat i de forskellige kurver vil vi ikke bruge så meget tid på det. Man ser på figur 16 at sinus og cosinus har samme periode og amplitude, men cosinus er blot forskudt vandret i forhold til sinus. Man ser også her hvorfor cosinus er differentialkvotient til sinus. Når sinus kurven stiger mest, ligger cosinus på 1 og når sinus har en flad kurve, 4 Da denne type svingning er givet ud fra en anden-ordens differentialligning, vil vi ikke komme dette nærmere i dette projekt. 8

10 Figur 15: Aftagende oscillator ligger cosinus på 0. Vi kommer senere nærmere ind på differentialerne af cosinus, sinus og tangens. Tangens opfører sig markant anderledes. Man ser at tangens Figur 16: Grafer for sin(x), cos(x), tan(x). funktionen har den dobbelte periode af sinus kurven (og dermed også cosinus). Man ser tydeligt det interessante fænomen at tangens har nogenlunde samme hældning som sinuskurven i intervallet [ 4; 2], indtil den går mod og derefter går mod i x = 1.6. Sidst vil vi gerne nævne at tangens for hvert andet har hhv. samme hældning og modsatte hældning, som sinus. Sinus og cosinus værdimængde går fra [1; 1]. Tangens værdimængde går fra ] ; [. På dette led adskiller tangens sig markant, fra de to andre funktioner. Tangens kan ligesom de andre trigonometriske funktioner beskrives ud fra enhedscirklen. Man ser på figur 17 at når vinklen er 45 og 135 så vil tan(v) = 1 og når v = 225 og v = 315 så vil tan(v) = 1. 5 Man ser ligeledes at når vinklen er 0, vil tan(v) = 0. Man ser at når v 90 så vil tan(v) og når v 270 så vil tan(v). Dette bliver i radianer x π 2 tan(x) x 3π 2 tan(x) ligeledes x = 2π tan(x) = 0 x = π tan(x) = 0 Sammenligner man med figur 16 ser man, at fordi π 2 = 1.57, passer dette fint i overenstemmelse med at det er dette punkt, hvorpå tan(x). 5 På figuren stå der ikke 45 lige ud, men når man regner efter, passer udtrykket 9

11 Figur 17: Enhedscirklen for tangensfunktionen. Vi vil afslutningsvis redegøre for en række overgangsformler for sinus og cosinus funktionerne. For at gøre dette bliver vi nødt til at finde enhedscirklen (figur.18) frem igen. Dog vil vi, da vi har valgt enhederne på vores enhedscirkel i radianer, også udføre redegørelsen i radianer. Figur 18: Enhedscirklen cos( x) = cos(x) Man ser på figuren at afstanden cos(x) udgører er det samme, hvad enten man vælger x eller x. Dette skyldes at vi måler i det område x ligger. sin( x) = sin(x) Man ser på figuren at afstanden sin(x) skifter fortegn, når vi går fra x til x. Dette skyldes at vi måler i det område hvor x ligger. cos(π + x) = cos(x) 10

12 Man ser at når man går fra x til π + x, så skifter cos(x) fortegn. Dette skyldes at vi måler i det område hvor π + x ligger. sin(π + x) = sin(x) Man ser at når man går fra x til π + x, så skifter sin(x) fortegn. Dette skyldes at vi måler i det område hvor π + x ligger. cos(π x) = cos(x) Man ser at når man går fra x til π x, så skifter cos(x) foretegn. Dette skyldes at vi måler i det område hvor π x ligger. sin(π x) = sin(x) Man ser at når man går fra x til π x, så skifter sin(x) ikke fortegn. Dette skyldes at vi måler i det område hvor π x ligger. ( π ) cos 2 + x = sin(x) Vi kan se på dette udtryk at vi springer π 2 op langs enhedscirklen, hvilket er en kvart omgang. Da vil vi måle sinus værdierne langs x aksen, som her er negativ. ( π ) sin 2 + x = cos(x) Vi kan igen ser her at vi springer en kvart omgang op på enhedscirklen. Da vil vi måle cosinus værdierne langs den positive y akse. ( π ) cos 2 x = sin( x) og ( π ) sin 2 x = cos( v) skyldes begge at vi først springer den kvarte enhedscirkel. Dernæst tager vi en negativ x, hvilket betyder en omløbsretning med uret. Da vores resultat bliver at vi får en negativ x til en i forvejen negativ x, bliver resultatet at vi bevæger os med uret. Gør man dette ses det at sin( v) får negative værdier og cos( v) får positive værdier. Dette ses på figuren. 11

13 Del 2 - Differentation af trignometriske funktioner Vi skal finde grænseværdien 1) Bevis at sin k k 1 for k 0 Trekant OPkA er retvinklet, da P = 90oC og OPk =1 og PkA =tangens t Derudover kan vi se, at: PkB < PkE < PkA PkE er markeret med rødt på tegningen. PkE ligger mellem de to sider sin k 1 for k 0 Sætning k 0; π der gælder altså for k tilhører 2 sin(k) < k < tan(k) (tan(k) omskrives til sinus(k) og cosinus(k)) sinus(k) er større end k og tan(k)er størst Vi har en retvinklet trekant O P k B og kender h og skal vinde vinkel K sin k <k og k< sin k cos k sin k k <1 og sin k k cos k < sin k <1 k cos k < sin k <1 k > cos k Da cos(k) er kontinuert gælder det, at når k går mod 0 fra højre vil begge sider af uligheden gå mod 1, således at: sin k k Brøken 1 for k 0+ sin k k ligger mellem cos(k) og 1, hvor cos(0)=1 For k<0 får vi tilsvarende: 12

14 sin k 1 for k 0- k Denne sætning bruger man til at bevise følgende sætning om differentiabiliteten af sinusfunktionen: Funktionen f(x)=sin(x) er differentiabel for alle reelle tal x0 og f'(x0) = cos(x0), dvs. sin'(x)=cos(x) f x - f x 0 x - x 0 = sin x - sin x 0 x - x 0 Vi bruger en logaritmisk formel, nemlig: sin x - sin y = 2 cos x + y sin x - y 2 2 og får: sin x - sin x 0 = 2 cos x + x 0 2 sin x - x 0 2 Vi indsætter i ovenstående udtryk: 2 cos x + x 0 sin x - sin x 0 sin x - x = x - x 0 x - x 0 sin x - sin x 0 = x - x cos x + x sin x - x 0 2 x - x 0 2 Vi undersøger nu, om grænseværdien for udtrykket eksisterer for x gående mod x0 : Cosinusfunktionen er kontinuer, derfor vil: cos x+x 0 2 cos x 0 for x x 0 x - x 0 Derudover vil 2 gå mod nul for x gående mod x0. Nu anvender vi, at 13

15 sin k k 1 for k 0 som vi beviste før. sin x-x 0 2 x-x for x x 0 Vi har nu: f x -f x 0 1*cos x-x 0 x 0 =cos x 0 for x x 0 b) Da vi lige har benyttet tre-trins-reglen i beviset fra før bruges ti-89-lommeregneren nu til at bevise 1. f(x)=f'(x) Taster: d(x,x) og får 1 2. sin(x)=cos(x) Taster: d(sin(x), x) og får cos(x) 3. cos(x)=-sin(x) Taster d(cos(x),x) = -sin(x) 4. tan x =1+ta 2 n x = Taster: d tan x,x = 1 cos 2 x 1 cos x 2 = 1 co 2 s x Del 3 - Trigonometriske ligninger Vi skal se på tre opgaver, som alle går ud på, at vi løser ligningerne til cos(x), sin(x) og tan(x). Hver af disse udtryk har respektive regler, som vi skal gennemgå efter at have regnet hver opgave. 14

16 a) For at løse sin x =0.7, x 0;2π benyttes solve-funktionen: solve sin x = 0.7, x 0 < x and x < 2 π x = or x = Når man gør dette på lommeregneren skal manbruge piletasterne for at se den anden løsning, og det står for et helt tilfældigt tal. De fundne x-værdier fortæller os, atnår vores sin(x)=0.7 i intervallet [0;2 π ], så er x-værdierne de ovennævnte. Men der findes i realiteten uendeligt mange x-værdier. Kan også løses således: x = arcsin v x = π b) Vi benytter samme fremgangsmåde som i opgave a. Vi tager blot udgangspunkt i cosinus mv. solve cos x = -0.6, x 0 < x and x < 2 π x = or x = c) solve 3 sin x - 1 = 0.5, x x = or x = Del 4 - Harmoniske svingninger Opgave 1 Funktionen for lungerne hos et bestemt dyrs rumfang som funktion af tiden defineres (vi kalder t for x): V x := 0.8 sin 0.2 π x + 3 "Done" Differentialkvotienten, Vm(x), for V(x) defineres: Vm x := x V x "Done" a) For at bestemme, hvor meget luft der maksimalt kan være i lungerne, må vi finde ved hvilken x-værdi den differentierede funktion = 0, altså hvor den er vandret. Det er nemlig her funktionens ekstrema optræder. For at afgrænse intervallet, hvori der findes x-værdier bestemmes perioden: 15

17 2 π 0.2 π 10. Nu kan vi finde x-værdierne i perioden [0;10]: solve Vm x = 0, x 0 < x and x < 10 x = 7.5 or x =

18 Grafisk illustration: For at bestemme, hvilken af de fundne x-værdier der definerer toppunktet, bestemmes fortegnsvariationen i intervallerne mellem de fundne nulpunkter ved at indsætte udvalgte punkter i differentialkvotienten: Vm dvs. funktionen er voksende for x 2.5 Vm dvs. funktionen er aftagende for 2.5 x 7.5 Vm dvs. funktionen er voksende for x 7.5 Altså, har funktionen toppunkt ved x = 2.5 for perioden [0;10] Vi kan nu endeligt bestemme den maksimale mængde luft der kan være i dyrets lunger: V Altså kan der maksimalt være 3,8 liter i lungerne. b) For at bestemme, hvor meget luft dyret indånder ved én indånding, må vi trække maksimum og minimum fra hinanden. Maksimum- og minimumværdierne bestemmes på baggrund af nulpunkterne vi fandt før (x = 7.5 og x = 2.5): V Altså er minimumværdien 2,2 V

19 Altså er maksimumværdien 3,8 Vi kan nu endeligt bestemme, hvor meget luft dyret indånder ved én indånding: I løbet af indånding indånder dyret altså 1,6 liter luft c) For at bestemme, hvor lang tid en vejrtrækning bestående af en indånding og en udånding varer, henviser vi til den tidligere beregning af perioden: 2 π 0.2 π 10. Altså varer en vejrtrækning 10 sek. d) Vi antager, at ind- og udåndingsfasen er lige lange, hvormed vi på baggrund af vores kendskab til længden af en vejrtrækning (se ovenstående opgave), siger at en indånding varer 5 sek. Vi ved desuden, at dyret indånder 1,6 liter luft i løbet af en indånding (se del b). Det vil altså sige, at dyret pr. 10. sek indånder 1,6 liter luft. Ergo: Dyret indånder altså 9,6 liter luft pr. min. Opgave 2 Funktionen for "Busy Bird"'s svingningsmønster defineres (vi kalder t for x): h x := sin 3 π x "Done" Grafisk illustration: 18

20 a) For at bestemme, hvor langt fuglen er fra gulvet, når den er højet, lavest og i ligevægtsstilling, må vi bestemme, hvor differentialkvotienten for funktionen er = 0, idet det er her der kan optræde ekstrema. Differentialkvotienten defineres: hm x := x h x "Done" For at afgrænse intervallet, hvori der findes x-værdier bestemmes perioden: 2 π 3 π Nu kan vi finde x-værdierne i perioden [0; ]: solve hm x = 0, x 0 < x and x < x =.5 or x = For at bestemme, hvad der er minimum og hvad der er maksimum bestemmes fortegnsvariationen ved at indsætte udvalgte punkter i differentialkvotienten: hm dvs. funktionen er voksende for x hm dvs. funktionen er aftagende for x 0.5 hm dvs. funktionen er voksende for x 0.5 Altså ved vi nu, at ved x= er der et maksimum, mens der ved x=0.5 er et minimum. 19

21 Vi kan nu bestemme afstanden til gulvet i fuglens forskellige stillinger Højest: h Altså er fuglen 2,7 meter fra gulvet, når den er højest Lavest: h Altså er fuglen 0,7 meter fra gulvet, når den er lavest Ligevægtsstilling: Altså er fuglen 1,7 meter fra gulvet, når den er i ligevægtsstilling T = 2 π b) Svingningstiden er defineret ved b og er altså det vi før kaldte perioden: 2 π π Svingningstiden for fuglen er altså 0,66667 sek. F = c) Først bestemmes frekvensen, som er defineret ved 3 π π Fuglen svinger altså med 1,5 svingning i sekundet, dvs svingninger i minuttet. b 2 π : I løbet af én svingning bevæger fuglen sig fra minimum til maksimum og fra maksimum til minimum. Ergo: Fuglen bevæger sig altså 4 m i løbet af en svingning Vi kan nu endeligt bestemme, hvor mange meter fuglen bevæger sig pr. minut:

22 Fuglen bevæger sig altså 360 m pr. minut d) Tidligere fandt vi, at fuglen er 1,7 m fra gulvet, når den er i ligevægtstillingen. Vi bestemmer nu ved hvilke x-værdier i perioden [0;0,6667] dette er: solve h x = 1.7, x 0 < x and x < x = or x = Nu kan vi bestemme hastigheden for fuglen, når den passerer ligevægtsstilingen: hm I ligevægtsstillingen bevæger fuglen sig altså 9,425 m/sek. e) Vi fandt tidligere, at en af yderstillingerne er ved x = 0,5, som er et maksimum. Vi kan på forhånd sige, at hastigheden vil være = 0 m/sek, idet denne er defineret ved differentialkvotienten, som i yderpunkterne er = 0, dvs. hældningen er vandret. For god ordens skyld foretager vi dog en beregning af hastigheden. hm Vi finder altså, at fuglen i en yderstilling bevæger sig med 0,00003 m/sek, hvilket må siges at kunne betragtes som 0 m/sek. 21

23 Litteraturliste Matematik 2 for obligatorisk niveau 1989 af Jens Carstensen, Jesper Frandsen og forlaget Systime A/S Herning. 1. udgave, 3. oplag, DK 1990 Matematik Teori og redskab, en lærebog for b-niveau Af Steffen Jensen og Karin Sørensen, 1983, 3. oplag Mat B HF niveau 2007 af Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard. Forlaget Systime. 1. udgave. 2. oplag, DK 2007 Mat A Stx niveau 2007 af Jens Carstensen, Jesper Frandsen og Jens Studsgaard. Forlaget Systime. 1. udgave. 2. oplag, DK 2007 Vektorer, geometri og differentialregning 1998 af Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk. Gyldendal Uddannelser. 1. udgave. 2. oplag. DK 1999