GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER"

Transkript

1 Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave, en re normal hændelse i en afdeling, der fungerede som insiues F&U afdeling. Opgaven var a ransformere mere end punkers Sysem34- koordinaer il UTM-koordinaer med en kræve, beskeden nøjagighed på 1 meer. De var derfor mere analle end nøjagigheden, der var probleme UTM (Universal Transverse Mercaor) UTM er den Gauss-Krüger afbildning, som er (1) konform, (2) afbilder de o punker i ækvaor 90 grader fra cenralmeridianen i o uendelig fjerne punker i planen og (3) har konsan, minimal målesok (0.9996) i cenralmeridianen. Den afbildede ellipsoide er i Europa Hayfords ellipsoide (også kalde den inernaionale 1925 ellipsoide), og ellipsoidens geodæiske daum, som er definere ved hjælp af asronomiske observaioner kaldes European Daum 1950 (ED50). I andre verdensdele findes analoge daums med andre ellipsoider, i Nordamerika findes f. ex. e NAD 27 daum. Transversal mercaor-afbildning kan opfaes som en generalisering af midemeridianens konforme afbildning il en hel kompleks alplan med midemeridianen (opfae som en mea-ækvaor) som den reelle akse og med alle meameridianer afbilde som parallelle linjer. UTM-koordinaerne var ransformaioner af geografiske koordinaer (bredde og længde) funde ved en samle behandling af europæiske ne udjævne i sore blokke i årene op il Danmark er i den nordlige blok. Resulaerne må anses som de beds mulige i Afløseren kom i 1988 med navne ED87, men allerede i 1989 kom de GPSorienerede EUREF89 il afløsning af ED Sysem34 Sysem34 blev foreslåe som e alernaiv il den konforme koniske afbildning der bruges il opografiske kor. Hensigen var a formindske forvanskningen, som var de ord man dileanisk bruge for den målesoksændring, der er den naurlige konsekvens af krave om konformie. Målesoksændringen blev mindre ved a Danmark opdeles i o sysemområder, Jylland-Fyn og Sjælland, hvorved den nødvendige korrekion på en mål afsand kor senere blev beskreve som mindre end 1 mm på en 20 m båndlængde. Afbildningerne var oprindelig planlag som specielle sereografiske afbildninger, men ende med a blive en skrå version af den ransversale mercaor-afbildning, som man havde forkase som uskøn. En regulær daumdefiniion blev aldrig forsøg. Man valge a gå over il Hayfords ellipsoide, selv om fasholdelsen af den danske ellipsoide efer Andræ ikke havde give problemer, men kun fordele med asronomiske daa fra Den Danske Gradmåling. Afbildningen af observaionerne (dvs renings- og afsandskorrekioner) ville være uændrede, fordi de benyede formler var så afkorede (ringe), a der ikke blev nogen forskel på de o ellipsoider. Beregningerne gennemføres i dee sysem siden 1934 og forsaes fremover il år 2000, hvor man indføre den nye korprojekion Løsningsakik Fase 1: Produkion af ransformaionsformel. Nee af 1.orden besod af ca. 60 punker med koordinaer i Sysem34, hvor de ca. 50 havde S34jylland koordinaer og ca. 20 havde S34sjælland koordinaer, ide nogle saioner havde koordinaer i begge sysemer. Heril kom så de UTM32 koordinaerne for 1.ordens nee, som skal bruges il a finde konsanerne i en ransformaionsformel. Med de o konforme koordinasysemer W N ie ; UTM Z Y ix ; S34 forudsæer man i mangel af bedre, a ransformaionen mellem dem kan udrykkes som e kompleks polynomium 2 3 W C0 C1Z C2Z C3Z Med fornufig anbrage pareneser får man den mere bekvemme form, Horner s skema, der anvendes i praksis il summaionen, så man får poensopløfningen grais. W C 3Z C2 Z C1 Z C0 De o sæ af 4 komplekse konsaner for Jylland-Fyn og Sjælland il de o områder af formen C C i C k 0,1,2,3 k k, r k, i besemmes ved hjælp af værdierne for de sammenhørende koordinasæ i de o sysemer, UTM og S34. Der bliver dermed 8 ubekende for hver af de o landsdele. For Jylland vil der blive 100 ligninger il a besemme dem, mens der for Sjælland kun vil være 40 ligninger. I begge ilfælde vil der være rimelig mange overbesemmelser il besemmelsen af konsanerne ved mindse kvadraers meode. Formlerne giver kun en nøjagighed på ca. 1 meer, men de er urealisisk a gå il en højere grad, både fordi der bliver færre overbesemmelser og fordi regnearbejde med de ca punker forøges med en forøge grad af polynomierne. Fase 2: Beregningen. Med e jysk og e sjællandsk sæ på hver 8 koefficiener kunne man nu med brug af Horner s skema ransformere S34-koordinaerne il UTM koordinaer i henholdsvis zone 32 og 33. Under anagelsen af, a 2 personer kan regne og revidere (derfor 2 personer) 10 punker i imen eller punker pr. år vil arbejde age 2-3 år for alle punker. En sammenligning af arbejdslønnen herfor mod lejen af en passende daamaskine moiverede e quadriumvira af fire geodæer, daværende afdelingschef dr. phil. Einar Andersen, souschefen Elvin Kejlsø, Torben Krarup og Bjarner Svejgaard il a argumenere for a leje en IBM 602A Calculaing Punch som en økonomisk forsvarlig løsning.

2 Geodæisk Insiu før og efer GIER En 602A kunne læse og hulle hulkor og med en koblingspanel bringes il a beregne de komplekse polynomier efer Horner s skema. Mag. scien. Torben Krarup og mag. scien Bjarner Svejgaard, der begge neop var ansa ved GA1, var de ree il opgaven, som dermed blev sa i gang. Tidsforbruge il de polynomieberegninger er i dag ukend, men hvis man gæer på 10 sekunder pr punk bliver de af sørrelsesordenen 100 imer i ren regneid. Heril kommer så iden for inddaering af koordinaerne og udskrif af de ransformerede koordinaer. En almindelig PC kan nu (i 1995 eller senere) ransformere punker i sekunde med 6.ordens rigonomeriske rækker med nøjagigheder bedre end 1 mikron. 1.5 GI s førse daama. Quadriumvirae fand ud af a 602A en, der fik kælenavne MOLOK nok kunne bruges il andre af afdelingens opgaver og den var prismæssig rimelig a leje, så deres indsilling il Insiues direkør Professor, dr. phil. N.E. Nørlund om a forsæe lejemåle blev imødekomme. De var e skub il GIER-vognen. Og så blev 602A sa il a lave ande. Der var il forskellige ellipsoider lave abeller med krumningsradier og ande som funkion af bredden, ofes med logarimiske værdier, men man beregnede og udskrev nu il Hayfords ellipsoide værdier af krumninger, eoreisk yngde, Gaussisk bredde (e GI-idiom for en speciel Soldner-bredde), reducere bredde, og Gaussisk krumningsmål for alle bredder mellem 0 og 90 grader med 1 minus inerval, dvs argumener. Regneiden for denne opgave vise sig a være 3½ ime. Udviklingen i maeriel afspejles klar ved a e program skreve i C il den samme opgave bruger ca. 1/7 sekund på en lille billig PC. I dag ville man naurligvis bruge en subruine i si program il a give e enkel al direke i sede for en værdi i en abel. Men beydningen af den ype abeller ses klar når man ænker på a de ovennævne Nordamerikanske daum (NAD27) blev regne på Clarkes 1880 Ellipsoide, hvor man havde abeller, mens abeller for den inernaionale ellipsoide, der var inroducere af amerikaneren John F. Hayford ikke fandes. Koblingspanele på 602A en udgjorde e programlager af en mege beskeden sørrelse. Ved sørre opgaver måe man regne en del af opgaven, hulle mellemresulaer ud, skife paneles programmering ud (eller låne e eksra panel) og regne næse delmængde osv., indil opgaven var løs IBM 602A som primiiv von Neumann-maskine Krarup og Svejgaard fand på a koble e specialpanel, så a 602A fremråde som en von Neumann daamaskine, hvor arbejdslagere simuleredes en sekvens af hulkor med inpudaa og maskinordrer sam blanke hulkor il hulning af resulaer. Maskinen havde de fire almindelige regningsarer og en hopordre. Arimeikken bruge 8-cifrede decimalal (5 cifre før og 3 cifre efer decimalegne). Der var 8 akkumulaorer (der samidig var de enese lagerceller). Beregningssløjfer klaredes ved a man lagde den enkele sløjfe i, minds så mange gange som nødvendig. Man kunne bryde ud af sløjfen med en hopordre il e sjernemærke kor som hopadresse. Resulaer kom ud fra akkumulaor 6, 7, og 8, når der lå e blank kor mellem programkorene. En drejeomskifer gav mulighed for 10 gennemløb af den samme programsak før man skulle sæe nye inpudaa og (blanke) resulakor i. Clock-cyklus var vel ca. 1-2 sekunder (ee kor) så a program på 100 kor og vel 1-2 minuer pr. gennemløb (så man skulle hen og dreje omskiferen). De var spændende dage, men de bedse var, a de var en inrodukion il fremidige daamaskiner. Man begynde a drømme om noge bedre En ide og en mulighed. Ved GA1 bruge man 602A som daamaskine ved flere sørre regnearbejder som løsning af normalligningerne fra Færøernes. Islands og Grønlands nye 1. ordens ne, beregning af både asronomiske sedbesemmelser, (inklusive laplace-azimuer) og direke afsandsmålinger i ovennævne nee. GA1 havde fremsille en del elekronisk maeriel il brug ved asronomiske sedbesemmelser og elekroniske afsandsmåling, men en ide om a konsruere en egenlig geodæisk daamaskine blev heldigvis opgive, selv om man end ikke var klar over hvor sor en sådan opgave ville blive. Men redningen var på vej. Regnecenralen var i gang med a konsruere DASK, som var en eknisk bedrif, og bedre endnu gav den mod på a udvikle og fremsille den næse version af DASK, nu med halvledereknik. 2. Regnecenralen og Geodæisk Insiu. 2.1 E riumvira opsår. Quadriumvira blev nu e riumvira besående af sasgeodæ (senere chefgeodæ) mag. scien Elvin Kejlsø, og de o geodæer, mag. scien Torben Krarup og mag. scien Bjarner Svejgaard, ide Geodæisk Insiu i 1955 fik en ny direkør, professor, dr. phil. Einar Andersen, der var en inernaional kend geodæ og en fremragende forsker indenfor numerisk analyse, (som han selv kalde prakisk maemaik ) Einar Andersen havde som nævn se de muligheder, der var med auomaiseringen af geodæiske beregninger, sådan som han og iniiaiv il med 602A. I 1956 blev han medlem af ATV, hvor professor dr. phil. Richard Peersen også var medlem. Richard Peersen var en akiv søe ved konsrukionen af DASK, der blev udvikle og fremsille af Regnecenralen. Ønske om a forsæe succesen ved a fremsille en SUPER-DASK med halvledere kombinere med GI s ønske om egen daamaskine samordnedes med udviklingen og konsrukionen af en mindre daamaskine, der dels kunne være e sudiearbejde for en SUPER-DASK og dels en dedikere daamaskine for Geodæisk Insiu. Regnecenralen leverede forskning og udvikling af maerielle og Geodæisk Insiu delog i udvikling af programlogikken og ordresrukuren, beale for komponener og ansae den daaekniker, der il sin id skulle vedligeholde GIER, som den ny maskine kom il a hedde som e foreløbig, men senere endelig navn. 2.2 GIER realiseres Professorerne Richard Peersen og Einar Andersen og Regnecenralens direkør Niels Iver Bech drog omsorg for, a der eableredes en effekiv og engagere sab il a gen- 2

3 Geodæisk Insiu før og efer GIER nemføre disse ideer, en fornufig samordning af ineresser og muligheder i kraf af mange menneskers vilje og evne il samarbejde. RC s Ben Scharøe og Henning Isakson og GI s Torben Krarup og Bjarner Svejgaard samarbejdede om GIER s ordresrukur, herunder mikroprogrammeringen. Der var sikker mange andre i denne akivie, men idsafsanden og min manglende viden er årsagen il a jeg ikke får alle med. Professor Chrisian Grams værk: GIER 50 År råder heldigvis bod på denne mangel. Svejgaard gav e indledende programmeringskursus for kommende brugere ved GI Vi bruge som øvelse a lave subruiner il flydende arimeik, heldigvis uden held, ide de lykkedes a lave flydende arimeik i hardware. Prisen var a flydende addiion og subrakion blev runkerende og ikke korrek afrundende. Krarup forsøge a opnå korrek afrunding, men forale a de ikke lykkedes a skaffe plads i mikroprogramme heril. Heldigvis havde han mode il a accepere, a man kunne nøjes med a den flydende arimeik kun blev en næsen perfek 8-cifre arimeik, passende med a vi bruge oecifrede logarime- og rigabeller, når de skulle være fin. Men de bedse var, a den flydende arimeik i hardware vise sig a være en afgørende forudsæning for a Professor, dr. phil. Peer Naur og hans medarbejdere kunne producere en fremragende algol-compiler. En lille dealje var, a Bech forudså a algol ville blive de mes dominerende programmeringssprog i fremiden. Jeg illod mig i min uvidenhed a bevivle de og væddede en pose kaffe herom. Jeg fik aldrig beal gælden, men jeg fik dog syndsforladelse af Peer Naur for min vanro, og de vise sig, a algol blev e afgørende grundlag for udviklingen af geodæisk programmel ved GI. Efer a GIER førs opsilledes il indkøring og officiel indvielse i Telefonhuse med forsvarsminiserens ilsedeværelse og ale, fik den sin endelige plads i GA1 s lokaler i Nr. Farimagsgade 1 som GIER Nr. 0 (ikke Nr. 1). Nu kunne vi begynde. De oe lagerceller i 602A afløses af hele 1024 celler, og hvis denne herlighed ikke slog il havde vi den luksus a kunne bruge de lagerceller på romlen. Hele verden lå åben for os. Da arkieken Marin Nyrop afleverede Københavns rådhus, ville poliikerne have ree en lille fejl i rådhushallens flisegulv, der var lag af indkalde ialienske flisemesre. En flise var lag forker, så man forlange fejlen ree, men Nyrop nægede de, fordi som han sagde, a der var alid fejl i æge arbejde. De skulle få poliikere il a erkende, a alle kunne fejle og sådan var verden alså indree. GIER Nr.0 havde også sin Nyrop-fejl. Flydende division med 0 gav korrek udhop il en rap-adresse, undagen hvis dividenden også var nul, hvor resulae så også blev nul og uden udhop il en rap-adresse. Krarup fand aldrig fejlen i mikroprogramme. Vi levede dog fin med fejlen, som ikke forekom i hele sekvensen af de mange GIER er, der siden produceredes. 3. GIER ved Geodæisk Insiu I ved GI kom således i sand ved ønsker og indsas fra den videnskabelige og ekniske sab og ikke i kraf af a en evenuel adminisraiv ledelse havde funde ud af eller roe på, a der var økonomiske fordele ved a daabehandle opgaverne. Hensigen var a inegrere edb i geodæernes hverdag. Krarup og Svejgaard havde de synspunk a GIER ligesom dens forgænger (602A) skulle være e generel arbejdsredskab for insiues medarbejdere, dvs. køres i open shop og ikke være placere i en edb-afdeling, hvor man kunne få daabehandling. Tanken om, a man skulle aflevere en kasse hulkor il daabehandling og afhene en leporello-lise med resulaer - i ikke dem, man forvenede, ak ja forekom dem absurd. I øvrig mene man a GIER ville være så hurig, a den normal ville være ledig og klar il alle, der kom og skulle regne. De var også rigig i den førse id. 3.1 GIER ages i brug Med algorimerne il ransformaion fra Sysem34 som kerne fremsilledes mere omfaende ransformaionsprogrammel il behandling af de øvrige koordinasysemer i Danmark, Færøerne og Grønland. I saren var de maskinkode Krarups egen programmering var i en yders speciel klasse. Ordrerne blev indsa i okal noaion direke fra konrolpanele. Krarups programmer fylde normal højs enen 40 eller 80 helceller (1 eller 2 romlespor) og indehold ofe overraskende udnyelser af GIERs muligheder. Hvis man suderede Krarups programmer kunne man le få de indryk, a der ikke rigig skee noge med de anvende ordrer, men e par ordrer længere fremme opdagede man, a opgaven nu var løs, fordi den var ilreelag rigig. Vi havde også e par idiomer, (1) aoisisk programmering og (2) orogonal programmering. Taoisisk programmerings ankegang kom fra en mye om den kinesiske kejsers fjerkræ-kok, der var aois. Han forsod a skære fuglene rigig ud som kød og undgå en sikker henreelse som hans forgængere blev de, når de havde sløve eller ødelag knivene ved a skære i knoglerne. Orogonal programmering besod i a nye programmoduler ikke skulle forudsæe ændringer i de allerede programmerede moduler (de lykkedes ikke alid heldigvis). Trods Krarups noge specielle programmeringsform var han også iniiaivager il a age algol i brug, så jeg havde ab mi førnævne væddemål med glans, og algol blev de daglige værkøj il programmering. Visse delopgaver løses med hybridprogrammel, hvor der bruges en kombinaion af algol og maskinkode. Svejgaard indføre en skrivemaskinesyring, så a man kunne sare programmer fra skrivemaskinen og slap for a manipulere programmer i gang fra konrolpanele, der hos os sædvanlig ellers var konaken il vores GIER, som aldrig fik en HELP-knap. Alle sarede ellers med a indlæse spor0 fra konrolpanele. Skrivemaskinsyringen, der 3

4 Geodæisk Insiu før og efer GIER blo var en sarer afløses af HELP3 (en samling af uiliyprogrammer) og en række sadig forbedrede algolcompilere. Der blev hermed en righoldig baggrund for udvikling og anvendelse af geodæisk programmel. Programmelle og naurlig udgangspunk i koordinaransformaioner, som jo var ændgnisen for GIER ved GI. Der var en mange opgaver, som kunne løses med GI- ER, men med iden også opgaver, hvor man ville komme il kor undskyld ordspille, der sammede fra presseomalen da GI ansøge om en afløser for GIER.. 4. Opgaver il GIER. Der var i 1960 erne en sor felakivie, som afføde beydelige daamængder il behandling brug af GIER i en akiv dialog, forsåe som ikke bare en daabehandling i form af en gang haelak smur over informaionen. 4.1 Fysisk geodæsi. E ny gravimeer, der kunne måle yngdekrafen il søs fra e overfladefarøj blev age i anvendelse i farvandene omkring Danmark og Grønland. Udover redukion af de direke målinger var der supplerende behandling af de navigaionsdaa, der bruges il sedfæselse af de måle yngder. Tyngdemålingerne il søs supplerede de omfaende yngdemålinger der var udfør igennem mere end 20 år. Ud fra Krarups arbejder med en raionel udnyelse af yngdemåling ved kollokaion, der bruge samme ype algorimer som ved mindse kvadraers meode blev de mulig a besemme geoiden og lodafvigelserne som en raionel fremsilling af fysisk geodæsi Der var ved fremkomsen af GIER o 1. ordens nivellemensne fra henholdsvis begyndelsen og miden af alle. Disse ne var basere på e konvenionel geomerisk nivellemen udfør med speciel velegnede insrumener i en speciel eknik supplere med yngdemålinger, så a målingerne reel gav differenser af yngdepoeniale. Efer afsluningen af 2. præcisionsnivellemen i DK ( ) påbegyndes bearbejdelsen af daa herfra. De mange observaioner blev inddaere på papirbånd, men den oale behandling med medagelsen de senere ilkommende 3. præcisionsnivellemener kom il a srække sig mege længere end GIER s leveid. 4.2 Geomerisk Geodæsi. En supplerende forsærkning af 1. ordens riangulaionen ved ilføjelse af nye saioner i den jyske polygon og den fynske femkan og elekronisk afsandsmåling af alle rekansider gav behov for programmel il inddaering, evaluering og lagring af daa fra ca enkele disancer fordel over de ca. 70 rekansider. Den 2000 km lange 1. ordens kæde i Grønland blev forsærke med elekronisk afsandsmåling af minds 1 side i hver rekan, ide hele den nordlige del af kæden manglede invar-måle basislinier. Deailriangulaionen på Færøerne forsærkedes med e sor anal elekroniske afsandsmålinger. 4.3 Inegrere Geodæsi De førse forsøg med en oal geodæsi, hvor alle yper af målinger med geodæisk relevans kunne behandles samle blev gjor for a demonsrere mulighederne. Vi så a der var visse fordele hermed, men de var klar a der skulle mere maskinkapacie il. 4.4 Afbildninger ( Korprojekioner ) og Transformaioner. Den oprindelige opgave med ransformaion mellem Sysem34 og UTM, som var saren il de hele blev nu udvikle med 1. Korrekion for resfejlene i de ransformerede koordinaer ved hjælp af 2-dimensional inerpolaion i en abel med resfejlene. Fejlene kunne herved reduceres fra meerniveau il decimeerniveau. De har siden vis sig a være mulig a nå en nøjagighed bedre end 5 cm med komplekse polynomier af 8. grad, men den dileaniske meode der bruges ved definiionen af S34 umuliggør en løsning, der ilgodeser de gode observaionsmaeriales muligheder. 2. Transformaion il andre koordinasysemer blev førs programmere i maskinkode il GIER. Sysem34 havde samme fælles værdi af origo for Jylland-Fyn og Sjælland, så de var uundgåelig, a der blev forvekslinger mellem o områder. Som bodemiddel blev der indfør en koordina-label som skulle læses før ransformaioner udføres, ligesom resulaerne afleveredes med en label il videre brug af daa. I saren var der simple labels som: <s for S34sjælland <j for S34jylland <b for S45bornholm <u32 for UTM zone 32 <u33 for UTM zone 33 <geo for Geografiske koordinaer <dm for Dansk Mercaor Dee labelsysem udbyggedes med en daumbeegnelse som fx <um32_ed50 for UTM 32 i European Daum <geo_wgs84 for geogr. koord. i WGS84 sysem <cr_euref89 for 3-dim. koord. i euref89 sysem Samidig gik man over il a anvende algol i sede for maskinkode. Dee labelsysem gav anledning il, a der defineredes en hel daasrukur (førs e array i algol, senere en srucure i C), som indehold alle nødvendige konsaner il ransformaionen. En videre udvikling blev a ransformaionerne blev duale, så a den samme subruine kunne ransformere både il og fra e sysem, og de var nærliggende a udnye denne mulighed ved a en ransformaion så alid kunne konrolleres ved ilbageransformaion med evenuel fejlmelding på grund af overskridelse af konvergensområde, maskinfejl, ec. Ligeledes kunne en sådan srukur fungere med noge der lignede reenran code, så a den samme subruine kunne bruges il flere sysemer, syre af de forskellige koordina-labels. En ønske ransformaion opnås ved en auomaisk opbyggelse af en kæde af mulige enkele ransformaioner. Ved brug af en sådan fas vangsrue af ransformaioner kunne man 4

5 Geodæisk Insiu før og efer GIER sikre sig, a de ikke akkumuleredes afrundingsfejl dersom koordinaer førs ransformeredes ad én vej og siden ved anden lejlighed ilbageføres ved en anden kombinaion af enkelransformaioner. 5. Neudjævning. Neudjævning var for geodæer en samle produkion af koordinaer ud fra observaioner på en sådan måde a observaionerne med minimale korrekioner kunne sammensæes il en forbedring af koordinaernes nøjagighed og pålidelighed. Implemeneringen af e sysem il disse opgaver vise sig a inducere produkion af mange programmer og funkioner og medføre a mange medarbejdere både fra GA1 og andre afdelinger kom il a delage. Den idligere erfaring med, a opsilling og løsning af normalligninger var de sore problem vise sig ikke a holde sik, og de var egenlig de andre problemer på nasiden som simulerede udviklingen il gavn for både neudjævning og andre geodæiske opgaver. 5.1 Elemenudjævning Udjævning med koordinaerne som ubekende afløse den idligere anvende meode med korrelaer, som gav færre normalligninger, men il gengæld var numerisk og programmæssig mere problemaisk. Normalligningerne i en elemenudjævning opbygges successiv fra observaionsligningerne, således a man simpelhen ager observaionerne enkelvis fra den beholdning, der er kompilere il opgaven. Man sammenligner observaionen med den beregnede værdi besem ved koordinaerne, og kan så ved hjælp af de parielle afledede med hensyn il koordinaerne finde ud af hvordan man nærmer sig den observerede værdi ved a ree på koordinaerne. De er både for eori og praksis bekvem a alle observaioner får vægen 1, opnåe ved division med spredningen ( middelfejlen ) på observaionen. Til eksempel kan observaionen være en afsand og den beregnede værdi findes fra koordinaerne af de o punker hvis afsand måles. De parielle afledede danner en marix, der har én søjle pr. koordina og en række pr observaion. De andre sørrelser er søjlevekorer med ee elemen pr. observaion. Der er normal flere observaioner end ubekende, så alle observaioner må have en minimal korrekion. Herved bliver der i førse omgang for mange ubekende, men krave om minimum kvadrasum af korrekionerne sikrer a de nye eksra ubekende kan besemmes enydig. De indgående variable er: M Observaioner : V F C A Korrekion er il M. C Beregnede Foreløbige værdier Koord. Par. afl. " F / C" c Forbedr. af Koord. Observaionsligningerne er M V F C Ac Korrekionerne kvadrasum minimaliseres ved V V minimum 2dV V 0 dv c A 5 Eliminaion af korrekionsvekoren ved muliplikaion af observaionsligningerne med c A giver c A Ac 0 c A W Heraf følger løsningerne fra normalligningerne A Ac A W Når de er løs, kan koordinaerne opdaeres il e fornye gennemløb ved C c C Da der kun er få ikke-nul elemener i observaionsligningsmaricen, benyes indices il disse ved muliplikaionerne i sede for en subruine il brual marixmuliplikaion, ligesom man i normalligningerne benyer indeksabeller ved adressering af de akuelle elemener. Normalligningerne opbygges dermed successiv eferhånden som observaionerne bruges, og når den sidse er brug, løses ligningerne med Cholesky s algorime. 5.2 Cholesky s Algorime I Cholesky s algorime finder man en generalisere kvadrarod af normalligningsmaricen, der er en symmerisk marix, som herved omdannes il o riangulære maricer, der er hinandens ransponerede, og hvor man blo lagrer den, der kun har nul-elemener under diagonalen, dvs. Den lagres søjlevis fra de førse ikke-nul elemen il og med diagonalelemene. Pladsen heril fås fra normalligningernes elemener, der forbruges når rekanmaricen produceres A A c A W LL c A W 1 mul med L L c L A W Den sidse række har kun e elemen forskellig fra nul. De ubekende kan dermed findes successiv fra bunden og opefer. Cholesky s algorime il løsning a normalligninger blev valg som fordelagig med effekive regneoperaioner og besparende pladsbehov. Kun elemenerne på og over diagonalen fra de førse ikke-nul elemen i hver søjle lagres. I praksis behøves derfor kun 3-20 % af pladsen for en fuld marix. Regneiden kan i være af sørrelsesordenen 1 % eller mindre end iden for en fuld marix, og den relaive gevins vokser med sørrelsen af maricen. Implemeneringen af Cholesky s algorime var i maskinkode i hele GIER s leveid, mens resen af programmeringen var i algol. 5.3 Nasideproblemerne Da de lykkedes a reducere de menneskelige arbejdsindsas ved løsning af normalligninger råde nasiden, de ilsyneladende småing frem: 1. Eksern fleksibilie og inern sandardisering. Vinkelenheder og længdeenheder kan læses og udskrives i sædvanlig form, men er inern alid i henholdsvis radianer og meer. Type og decimalanal lagres i en associere variabel, så a udskrivning reproducerer ype og decimalanal. Der var 10 forskellige vinkelformaer og 7 forskellige længdeformaer, men de var naurligvis le a ændre dem uden a skulle modificere de øvrige programmel (orogonal programmering). Andre daayper behandles på analog måde. Syseme har p.. plads il 14 forskellige inerne daayper. 1 L

6 Geodæisk Insiu før og efer GIER 2. Definiion af e udjævningsjob sker ved en koordinalabel og en lise over de saioner, der skal indgå i udjævningen. Herefer kan programme fra daaliser kompilere (a) koordinaer, givne og foreløbige, (b) observaioner, (c) geoidehøjder og ande il brug for beregningen. 3. Inpu/oupu foreages som en daasrøm uden anden formaering end brug af linjer. Enkel mellemrum alid blind. Daaypen afgøres af erminaor. Fx beyder sx seksagesimale grader, minuer og sekunder. Ukend erminaor behandles normal som forvene erminaor, fx vil en indlæsning, der forvener meer behandle dobbel mellemrum som om der var erminaoren m. Procedurerne il koordinaransformaion fungerede også som en generalisering af inpu/oupu, så a koordinaer kan modages/skrives i e ande sysem end de, der bruges il den akuelle opgave. Brug af labels sikrer den korreke behandling af koordinaerne og andre daa, så. labelsyseme er udvide il også a omfae observaioner, geoidedaa og jobdefiniioner (som er en specifikaion af ypen af udjævningen fulg af en lise med numrene på de saioner, der skal bruges). Da vi kun kunne gemme resulaer som papirbånd, var al oupu fra en udjævning en komple lise af jobdefiniionen, resulerende koordinaer og observaioner med fundne minimaliserede korrekioner ( fejl ). Lisen kunne bruges som oupu, dersom beregningerne skulle revideres. 4. Foreløbige koordinaer er nødvendige, når observaionsligningerne er ulineære, men selv grove sarværdier er ofes ilsrækkelige, så alle kneb gælder. Transformaion fra andre sysemer er fin, men hvis blo en linjes rening er kend eller kan skønnes, kan man lave en grov, men lineær observaionsligning. I nødsfald kan man give nogle sarværdier manuel og ofe få sare en spredning af reningsværdier ud over nee. 5. Normalligningerne kan under beregningen give løbende informaioner om de sysem, der er under behandling. Hvis der mangler observaioner il a besemme koordinaer bliver maricen singulær. I sede for a sandse med en alarm kan algorimen lave en midleridig plombering ved a viruel fjerne enhver søjle, der får e diagonalled som er viruel nul. De er herved mulig i ee gennemløb a signalere alle mangler, så a man får mulighed for a fremskaffe manglende observaioner i en uafslue kørsel uden e uinelligen alarmudhop ved førse fejl. 6. E indledende gennemløb af observaionerne kan med en algorime give en rækkefølge af søjlerne i normalligningsmaricen, så a elemenerne ligger så æ på diagonalen om mulig 7. Fejl i observaionerne vil ofes kunne påvises når man efer førse gennemløb kender sandardafvigelsen. Reparaionen besår i a programme i e næse gennemløb nedsæer vægen på misænkelige observaioner, der afviger med mere end 3 gange sandardafvigelsen. Hvis fejlen sammer fra dårlige foreløbige koordinaer vil den forsvinde, men hvis de er en reel fejl vil den blive værre, og vil efer flere gennemløb viruel være fjerne Grænsen 3 gange kan i øvrig ændres af brugeren under kørslen 8. Hvis de foreløbige koordinaer er grove, vil programme kunne forsæe med resulaerne som nye foreløbige koordinaer, indil alle opdaeringer er viruel nul. Hvis begyndelsesværdierne er for grove, vil løsningerne divergere, så koordinaerne går mod uendelig. En sluelig nulløsning er neop e bevis på løsningernes rigighed. 9. Sandardafvigelsen ( søjen ) på observaionerne, som kommer ud som resula, og kan sammenlignes med søjen på arimeikken som den numeriske præcisionsexponen (også kald Krarups al) 1 ( A W ) ( A W ) enp log10 2 L A W L A W, som normal kan bringes op på ca. 3 med GIER s numeriske muligheder. Kor sag siger enp hvor mange decimale cifre beregningen er nøjagigere end målingerne 5.4 GIER s Kapacie Den maksimale længde af en søjle i normalligningerne var 440 elemener = 11 romlespor og de skulle være plads il minds 2 søjler i lagere, hvorved der blev *440 = 144 celler il programme, som måe hånderes med lagerveksling. Der var således plads il a have op il 439 ubekende (en celle af de 440 gik il indicering). Vi kunne således håndere både de danske og de grønlandske 1. ordens ne, og med brug af Helmer-blokning kom man ud over denne begrænsning i forbindelse med samarbejde om en forbedring af ED50 kalde RETrig. Den senere akik med a nyberegne alle ca saioner i e områder svarende il e 1 cm korblad kunne ikke iværksæes endnu, men beregninger i mindre delne, ofe il specialopgaver i forbindelse med de nye broer, fredningsgrænser, ec overbevise os om a koordinaerne i deailnee kunne besemmes nøjagigere, fordi observaionernes kvalie og kvanie ikke udnyedes med den hidil anvende meode med enkelvis punkindordning. Den raionelle behandling med mange saioner og alle observaioner simulan gav minds en fordobling af nøjagigheden. GIER sparede således mange års felarbejde og jene sig selv ind mange gange. Observaionsmaeriale vise sig a være fremragende, og vi havde nu daa, erfaringer og medarbejdere nok il a fremsille e bedre geodæisk informaionssysem. Der manglede mulighed for a opbygge daaregisre i sede for de papirbånd som var vores enese daabase. Vi bruge eferhånden en sor rulle om dagen. Den oprindelig alid ledige GIER var nu bleve il en GI- ER, som man afale en halv imes kørsel med kollegerne om. De er ingen skuffelse, men en klar indikaion af, a vi kunne lægge flere og flere opgaver ud il daabehandling end vi havde drøm om. 6

7 Geodæisk Insiu før og efer GIER De mange opgaver, som nu blev løs på GIER, blev også forsudier il en fremid med en mere inegrere daabehandling. Vi føle a mulighederne med GIER var ved a blive uilsrækkelige. De romlelager, som engang synes fuld ilsrækkelig, forekom nu generende små og så udslid, a vi befrygede e fysisk sammenbrud. 6. E ny Quadriumvira ( firebande ) Efer e decennium med GIER var på ide a finde en afløser. Quadriumvirae besod af chefen for GA1, mag. scien. Elvin Kejlsø, mag. scien e cand. mag. Ole Bedsed Andersen, mag. scien. Knud Poder og major Preben Møller Thomsen, der mødes én dag hver uge i e år for udarbejdelsen af e forslag om en afløser for GIER. Kravene il GIER s afløser omfaede: 1. Ingen egenlig begrænsning på analle af saioner i en udjævning. (Realisisk saioner). 2. Parallelprocessor il akkumulering af produksummer med dobbel ordlængde (efer Wilkinson). 3. Sørre regnehasighed end med GIER. 4. Fornufig ordlængde for helalsarimeik og flydende al. Gerne 2-komplemens repræsenaion. 5. Pladelager og magnebåndssaion. 6. Operaivsysem il parallel kørsel med erminaladgang. 7. Avancere algol-compiler. 8. Programmel il daaregisre. 9. Teksbehandlingsmuligheder Redegørelsen voksede il e beydelig omfang il belysning af GI s siuaion og som e forslag il videre udvikling. En evaluering fra e rådgivende ingeniørfirma, som miniserie foreslog il en videre undersøgelse, gav en blåsempling af vores forslag som en god ide. Den eferfølgende ansøgning il folkeinges finansudvalg var på 3.5 millioner kroner. Sådan var de, når man skulle invesere i edb (som i hed den gang), og en avis omale den sore sag med, a nu søge GI om penge il en ny daamaskine, fordi man var komme il kor med den gamle. Mellem de fire ilbud, som alle havde posiive og negaive sider valges RC4000, hvormed der også blev vis selvmodsigelse. Meeorologisk insiu skulle flye, bl.a. fordi man ønskede plads il en RC4000, og GI skulle have mere plads il en RC4000, så Meeorologisk insiu fraflyede Gamle Have i Charloenlund, og GI flyede deril, begge insiuer af samme årsag ak ja, men alle var ilfredse RC4000 på Banen Den anskaffede RC4000 besod af følgende komponener 1. RC4000 CPU + vekorprocessor k ferrilager (12 bis byes) 3. 2 disk drives, hver 24 M ord (24 bis) 4. Båndsaion 5. RC2000 papirbåndslæser + punch 6. Linjeskriver 7. 6 Skrivemaskineerminaler+1 skærm 8. Fase linjer il GA2 og Topografisk Afd. Operaivsyseme var BOSS, som den gang illod o simulan kørende job og samidig gav mulighed for ediering fra alle erminaler JOK Så snar RC4000 var besil dannedes en arbejdsgruppe på 4+1 medarbejdere il a implemenere neudjævning. Gruppen besod af 1. Ole Remmer: Inpu af koordinaer og observaioner. 2. Jørgen Eeg: Observaions- og normalligninger. 3. Jon Olsen: Oupu af koordinaer og observaioner med korrekioner og fejlrapporer. 4. Knud Poder: Koordinering og sammenkobling af modulerne. 5. Willy Weng: (Tilkom lid senere): Koordinering og specialfunkioner. Navne JOK blev age fra medlemmernes forbogsaver, men Willy kom senere, og vores fanasi slog ikke il il a sæe W ind gruppenavne. Srukuren af gruppens opgaver, e nedudjævningsprogram var yders enkel: (1) inpu, (2) beregning og (3) oupu som gav simple grænseflader. Programmeringen blev næsen auomaisk blev både orogonal og aoisisk. Gruppens medlemmer var van il afdelingens arbejdsform og havde hver for sig arbejde i andre arbejdsgrupper med andre geodæiske arbejder. Med lån maskinid fra Regnecenralen lykkedes de a få e kørende program færdig il leveringsprøven, så allerede efer de førse 10 minuers kørsel havde vi gennemfør a udjævne e lille ne uden problemer. De kom senere, så der blev noge a forbedre. Gruppen opløses snar efer, ide den jo havde løs si job og alle havde andre opgaver, som venede. 7. Efer GIER. GIER var e cenral redskab for GI i de mere end i år den var i brug Fra a være noge i GA1 brede brugen sig eferhånden ud over hele GI, der hermed fik muligheden for a inegrere brugen af daabehandling i de enkele afdelinger med ny maeriel basere på de erfaringer man fik med GIER. I de næse decennium benyes førs RC4000 og senere RC8000. Linjen med open shop blev fashold, nu med lokale open shops i afdelingerne, hel i ånden med de anker man gjorde sig da GIER skabes. De blev en afgørende forudsæning a Regnecenralen både se som en insiuion og som en personkreds havde evnerne il og hensigen med a fremsille GIER i forening med GI. Alle vi, der havde den oplevelse a delage i arbejde i de år, vil alid mindes iden med venlige anker. 8. Lieraur Til orienering om de GIER og geodæiske ermer, der forekommer her, kan anbefales: 1. Kai Borre: Landmåling. Ins. For Samfundsudvikling og Planlægning, Aalborg Borre er gammel GIER-bruger. 2. Chr. Gram: GIER 50 År. GIER s hisorie. Faka og personer. 3. Cholesky s algorime er rimelig omal i Wikipedia, hvor den Hermie ske marix A her er A A i afsni

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Transparent teknologi. Heat Sink. Kontakt DEFEND. Q1prime. Q3defend. Q1mini. Q7defend. V3air. Q3classic. V3air rechargeable.

Transparent teknologi. Heat Sink. Kontakt DEFEND. Q1prime. Q3defend. Q1mini. Q7defend. V3air. Q3classic. V3air rechargeable. DENMARK Q1 DEFEND Q1prime Q3defend Q1mini Q1 Q7defend Q2 Q2 V3 V3air Q3 Q3classic V3air rechargeable Q3 Q3r V3pro Q4 Q4xr V3pro rechargeable Transparen eknologi Hos Suprabeam er vi besae af a udvikle den

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast FJERNVARME 2 Muffer og fiings af plas INDHOLDSFORTEGNELSE Muffer Lige muffer Side 4 Krympemuffer Side 5 Svejsemuffer Side 6 Skydemuffer Side 7 Redukionsmuffer Side 9 Ballonmuffer Side 4 Slumuffer Side

Læs mere

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark SAM B Samarbejde om borger/paienforløb Samarbejdsafale mellem kommuner og region om borger/paienforløb i Region Syddanmark Forord il medarbejderen 2 3 Denne pjece indeholder en kor version af den regionale

Læs mere

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter Bilag 7 - Indusriel ovfladebehandling Bilag il Arbejdsilsynes bekendgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde kodenume produk 7.1. Bilages område a. Påføring af maling og lak på emn på fase arbejdsplads

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Fra idé til projekt NYMØLLE TEGLVÆRKS HAVN

Fra idé til projekt NYMØLLE TEGLVÆRKS HAVN Fra idé il projek NYMØLLE TEGLVÆRKS HAVN f r a i d é i l p r o j e k I n d l e d n i n g Da Chresen Jensen i 1852 grundlagde Nymølle eglværk, var områdes syrkeposiioner mege anderledes end i dag. Dog er

Læs mere

Fremadrettede overenskomster i byggeriet

Fremadrettede overenskomster i byggeriet B A T k a r e l l e Nr. 2 april 2007 Mange unge i dag ved ikke, hvad fagforeningen sår for, og de er fagforeningens forpligigelse a videregive arven il de kommende generaioner. Side 4 Ny forskning fra

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Hvorfor en pjece til lønmodtagere gift med landmænd?

Hvorfor en pjece til lønmodtagere gift med landmænd? Hvorfor en pjece il lønmodagere gif med landmænd? Fordi 60 pc. af alle landbokvinder er lønmodagere og mange yngre landbokvinder ikke er opvokse på e landbrug, og mange heller ikke på lande. Fordi de kan

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

Landbrugets Byggeblade

Landbrugets Byggeblade Landbruges Byggeblade Love og vedæger Bygninger Teknik Miljø Arkivnr. 95.03-03 Beregning af ilsrækkelig opbevaringskapacie Udgive Mars 1993 Beregning af dyreenheder (DE) jf. bilag il bekendgørelsen om

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning

For lidt efterspørgsel efter viden, innovation og forskning B A T k a r e l l e BAT Nr. 3 maj 2008 Bygningsarbejdernes idéer og opfindelser bliver ikke udnye ilsrækkelig i byggerie. De viser en rappor, som Teknologisk Insiu neop har lag sidse hånd på. Side 3 De

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN BLIV KLOG PÅ NATURSTEN - OG UNDGÅ MISFARVNINGER ARDEX NATURSTENS- SYSTEM E hurig og komple sysem, der sikrer farveæge naursensbelægninger www.ardex.dk Produkoversig Fugfølsomme naursen Fugbesandige naursen

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2016

tegnsprog Kursuskatalog 2016 egnsprg Kursuskaalg 201 4 Hvrdan finder du di niveau? 4 Hvr hldes kurserne? 4 Hvrdan ilmelder du dig? 5 Hvad kser e kursus? Tegnsprg fr begyndere Tegnsprg på mellemniveau 10 Tegnsprg fr øvede 12 Sikker

Læs mere

Billige boliger er vejen frem

Billige boliger er vejen frem B A T BAT Side 4 Eksrem signing i byggebeskæfigelsen på 30.700 personer i løbe af blo e enkel kvaral. Side 6 Siden nyår er EU s nye forskningsbudge bleve åben for ansøgninger. Byggeforskning kan også ilgodeses

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder n IDEKLIMA Overføring af ulrafi e og gasser mellem o Overføring af gasser, og røglug mellem er ofe e problem for beboere i ældre eageejendomme. Derfor har Saens Byggeforskningsinsiu undersøg en ny æningsmeode,

Læs mere

Bilag 1 Kravspecifikation

Bilag 1 Kravspecifikation Bilag 1 specifikaion Indholdsforegnelse 1. Indledning 1 1.1 Baggrund 1 1.2 Formål 1.3 Overordnede rammer for syseme 2 3 1.4 Definiioner og forkorelser 4 1.5 Besvarelse af krav 4 2. 2.1 Funkionelle krav

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Grønne regnskaber 2012

Grønne regnskaber 2012 Grønne regnskaber 2012 Grøn og dynamisk med respek for dig! 1 Udgiver: Forsyningsvirksomhederne Aalborg Forsyning, Renovaion Over Bækken 2 9000 Aalborg Udgivelse: April 2013 Sagsnr.: 2013-8512 Dok. nr.:

Læs mere

Tilføjelse i administrationsgrundlaget for LAR

Tilføjelse i administrationsgrundlaget for LAR oa. augus Sagsnr. Dok. nr. Udarbejde af: va-lil Tilføjelse i adminisraionsgrundlage for LR Erhvervsfirmaer i Svendborg kommune sam Svendborg kommune har forespurg, om de vil kunne lade sig gøre for erhverv

Læs mere

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort!

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort! B A T k a r e l l e BAT Nr. 6 okober 2006 I BAT har vi med ineresse bemærke de 13 nye iniiaiver, som Beskæfigelsesminiseren har iværksa med de formål a gøre de leere for danske virksomheder a få udenlandsk

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark Program il Udviklings- og eferuddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Triniy for almen praksis i Region Syddanmark Praksisdag Syd 2.5.2014 KEU syd Praksisdag Syd 2. maj 2014 Målgruppen for Praksisdag

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Kirkeligt Teater. Underholdende

Kirkeligt Teater. Underholdende Kirkelig Teaer For børn og familier, minikonfirmander, konfirmander, unge og voksne»de er Kirkeeaeres oplevelse, a når børn og unge morer sig under forkyndelsen, husker de mege bedre den bibelske forælling«foredrag

Læs mere

Afmærkning af vejarbejder på statsveje. Tegningsbilag - motorveje

Afmærkning af vejarbejder på statsveje. Tegningsbilag - motorveje Afmærkning af vejarbejder på sasveje Tegningsbilag - moorveje Drifsområde - maj 2008 Indholdsforegnelse DRI nr. Kor beegnelse overskrifer på egningerne 00 Generel il egningsbilage Arbejder i eller fra

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til myndighedspersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail:

Læs mere

Dagpengeskandalen. B A T k a r t e l l e t. r. 5 november 2008

Dagpengeskandalen. B A T k a r t e l l e t. r. 5 november 2008 B A T k a r e l l e BAT N r. 5 november 2008 Regeringen skal udarbejde konkree energi- og CO2 mål for byggerie og for bygninger, ellers ender den danske indsas med a blive en relaiv landingsbane silsand.

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

DFG/TFG 316-435 DFG 316 DFG 320 DFG 425 DFG 430 DFG 435 TFG 316 TFG 320 TFG 425 TFG 430 TFG 435. Driftsanvisning 11.09 - 09.13

DFG/TFG 316-435 DFG 316 DFG 320 DFG 425 DFG 430 DFG 435 TFG 316 TFG 320 TFG 425 TFG 430 TFG 435. Driftsanvisning 11.09 - 09.13 DFG/TFG 316-435 11.09 - Drifsanvisning 51167631 09.13 K DFG 316 DFG 320 DFG 425 DFG 430 DFG 435 TFG 316 TFG 320 TFG 425 TFG 430 TFG 435 Overenssemmelseserklæring Jungheinrich AG, Am Sadrand 35, D-22047

Læs mere

Modellove ved fysiske modelforsøg

Modellove ved fysiske modelforsøg DANSIS emadag om eksperimenel fluid dynamik (EFD) på FORCE Technology, yngby, 8. okober 003 odellove ved fysiske modelforsøg Chrisian Aage Docen, ph.d. Danmarks Tekniske Universie ariim Teknik Absrac:

Læs mere

N O T A T Lønninger i banksektoren en ny analyse af lønpræmier. Kort resumé

N O T A T Lønninger i banksektoren en ny analyse af lønpræmier. Kort resumé N O T A T Lønninger i banksekoren en ny analyse af lønpræmier Kor resumé Konkurrencesyrelsen offenliggør i forbindelse med den årlige konkurrenceredegørelse beregninger på såkalde lønpræmier i danske brancher.

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Betydelig reallønsfremgang i byggeriet

Betydelig reallønsfremgang i byggeriet B A T k a r e l l e BAT N r. 4 j u n i 2 0 0 7 Ifølge generaladvoka ved EF-Domsolen må fagforeninger gennemføre faglige kampskrid med de formål a få en udenlandsk virksomhed, der udfører en opgave i e

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til myndighedspersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail:

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Kirkeligt Teater. Underholdende

Kirkeligt Teater. Underholdende Kirkelig Teaer For børn og familier, minikonfirmander, konfirmander, unge og voksne»de er Kirkeeaeres oplevelse, a når børn og unge morer sig under forkyndelsen, husker de mege bedre den bibelske forælling«foredrag

Læs mere

Med RUT kan myndighederne effektivisere deres kontrolindsats

Med RUT kan myndighederne effektivisere deres kontrolindsats B A T k a r e l l e BAT Nr. 2 april 2008 I indeværende folkeingssamling skal Folkeinge beslue en ændring af Øsafalen med de formål a sramme op omkring regisreringen og konrollen af udsaionerende virksomheder.

Læs mere

Andreasskolen i Holbæk - en kristen friskole

Andreasskolen i Holbæk - en kristen friskole 410 De andre frie grundskoler: Andreasskolen i Holbæk - en krisen friskole Proesskoler De krisne friskoler er ikke blo friskoler, der bygger på e krisen grundlag. De gør kaolske skoler og mange grundvigske

Læs mere

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator En ny mellemfrie holdbarhedindikaor Andrea Øergaard Iveren Danih aional Economic Agen Model, DEAM Peer Sephenen Danih aional Economic Agen Model, DEAM DEAM Arbejdpapir 03: Februar 03 Abrac Arbejdpapire

Læs mere

combimat 300E Brugervejledning

combimat 300E Brugervejledning Bemærk Tag ikke maskinen i brug, før denne brugervejledning er læs og forsåe. Gem og opbevar brugervejledningen omhyggelig, så den alid er le ilgængelig, når behove opsår. combima 3E Brugervejledning Indhold

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed BAT Nr. 4 juli 2008 Miniseren må il lommerne og genåbne voksenlærlingeordningen. De er direke dum a lukke en ordning, som er en ordnende succes for alle parer Side 2 Byggefagene i BAT er mege ilfredse

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Grønne regnskaber 2013

Grønne regnskaber 2013 Grønne regnskaber 2013 Grøn og dynamisk med respek for dig! 1 Udgiver: Miljø- og Energiforvalningen Aalborg Forsyning, Renovaion Over Bækken 2 9000 Aalborg Udgivelse: April 2014 Sagsnr.: 2013-50948 Dok.

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Der er ikke megen hjælp at hente i Dansk Byggeri,

Der er ikke megen hjælp at hente i Dansk Byggeri, B A T k a r e l l e Nr. 7 november 2006 Når Regeringen god søe af De Radikale og diverse arbejdsgiverorganisaioner ønsker a udfase Øsafalen gør de regning uden vær. Side 2 De var en veloplag, ærlig og

Læs mere