OM BEVISER. Poul Printz

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "OM BEVISER. Poul Printz"

Transkript

1 OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De ogaver, man træffer å alle trin af matematikundervisningen, kan stort set inddeles i to kategorier: bevisogaver og beregningsogaver. I de første ofordres man til - ud fra visse forudsætninger - at bevise en åstand om en geometrisk figur, en talmængde, en funktion eller en anden matematisk begrebsdannelse. I de andre skal man foretage en beregning, der f.eks. resulterer i en talværdi, men også her indgår der rinciielt et bevis - nemlig et bevis for, at det fundne resultat er korrekt og udtømmende. Beviser indtager altså en helt central lads i matematikken. 1 Hvad er et matematisk bevis Der er mange andre end matematikere, der taler om beviser. Politiet kan have beviser for, at en bestemt erson har begået en forbrydelse. Klimatologer kan hævde at have leveret et bevis for, at freongasser er i færd med at nedbryde luftens ozonlag. Medicinske forskere kan bevise, at AIDSviruset har sin orindelse i Afrika, og sociologer kan bevise, at der er en sammenhæng mellem socialt miljø og antallet af forbrydelser. Men alle disse beviser adskiller sig afgørende fra matematikkens beviser. Først og fremmest kan man aldrig føle sig absolut sikker å de ovennævnte tyer af beviser, men må slå sig til tåls med forskellige grader af sandsynlighed for deres rigtighed. Et matematisk bevis er en række overbevisende argumenter, der ud fra nøje definerede forudsætninger fører frem til rigtigheden af et bestemt udsagn. Hvis man fuldt ud forstår og acceterer de logiske rincier, der indgår i beviset, vil man aldrig være i tvivl om den absolutte sandhed af det beviste. I det følgende vil der blive givet er række eksemler å matematiske beviser med fremhævelse af en række vigtige bevismetoder og -teknikker. Det direkte bevis Et bevis vil oftest formuleres således. Bevis, at for det eller det gælder dette eller hint. Eller med en lidt andet formulering: Hvis noget er sandt, så er noget 1

2 andet også sandt. En sætning af formen Hvis A, så B, hvor A og B er to udsagn, kaldes en imlikation. For at vise dens rigtighed skal man godtgøre, at i alle tilfælde, hvor A er sand, da er B det også. Derimod kræves der ingen redegørelse for, hvad der sker, når A er falsk. Eksemel.1. Den retvinklede trekant XY Z med sidelængder x, y og z har arealet 1 4 z, hvor z er trekantens hyotenuse. Bevis, at trekantens øvrige vinkler er 45. Her er udsagnene A og B åbenbart: A: Trekanten er retvinklet, og dens areal er 1 4 z (z er hyotenusen) og B: X = Y = 45. For at føre et bevis af denne art, vil det oftest være hensigtsmæssigt at analysere begge udsagnene A og B. Vi ved, at hvis trekanten er ligebenet - altså x = y - så er vinklerne X og Y begge 45. Vi kan derfor gennemføre beviset ved at godtgøre, at x = y eller, hvad der er det samme, at x y = 0. Det er en vigtig omskrivning af roblemet, for ud fra olysningerne om trekanten kan vi sige noget om længden af x og y. Da trekanten er retvinklet, kan arealet T udtrykkes ved 1 xy, og desuden gælder Pythagoras, så x + y = z. Heraf fås imidlertid ved brug af olysningen T = 1 4 z, at Den sidste ligning kan omskrives til T = 1 4 z = 1 4 (x + y ) = 1 xy. x + y = xy eller (x y) = 0 hvoraf vi endelig slutter, at x = y. Bemærk, at vi ved denne tilbage frem slutningsmåde har arbejdet som tunnelbyggere, der starter fra hver sin side om at mødes. I bevissituationen kan man beskrive rocessen således: Analysér udsagnet B og find ud fra analysen et nyt udsagn B 1 med den egenskab, at hvis B 1 er sand, så er B det også. Gå eventuelt videre til B, B 3, osv. Afvekslende analyseres udsagnet A, og man kan finde et udsagn A 1, der følger af A og dernæst eventuelt udsagn A, A 3 osv., til de to slutningskæder mødes i et fælles udsagn. Hvor lange de to slutningskæder bliver, afhænger naturligvis af roblemet, men også af den bevisvej, man vælger at følge, og der kan ofte være valg mellem forskellige muligheder. Når de to slutningskæder mødes, er det væsentlige arbejde overstået, men det egentlige bevis består i åvisning af en matematisk slutningskæde og matematikere foretrækker den kortest mulige der fører fra A til B. I matematiske værker og i facitlister til ogavesamlinger ræsenteres dette færdige arbejde, og det kan komme til at tage sig mirakuløst ud. Derved kan sådanne fremstillinger

3 komme til at skræmme læsere med en sirende interesse for matematiske roblemer bort. Og det er synd. For de orindelige løsere af ogaverne har ofte haft de samme roblemer med dem, som begynderen nu står over for, og de færdige løsninger afslører ikke den arbejdsroces, der ligger bag. Og det er denne roces med overvinding af roblemer, der gør det sændende og indsigtsgivende at beskæftige sig med matematikogaver. Eksemel 1 fortsat. Ovenfor indså vi, at vi kunne gennemføre beviset. I sin færdige form vil det f.eks. kunne se således ud: Da trekanten er retvinklet, er x + y = z. Tillige er trekantens areal T givet ved T = 1 xy = 1 4 z, hvoraf xy = z. Heraf følger, at x + y = xy eller (x y) = 0 eller x = y. Derfor er trekanten ligebenet og vinklerne ved grundlinjen lige store. Beviset kan naturligvis udformes mere eller mindre kortfattet afhængigt af det ublikum, man skriver for. For at kunne gennemføre et bevis må man have en vis matematisk baggrundsviden. I eksemel 1 må man således kende den ythagoræiske læresætning, formlen for arealet af en retvinklet trekant, og man må kunne foretage nogle simle algebraiske omskrivninger. Desuden må man kende sætningen, at i en ligebenet trekant er vinklerne ved grundlinjen lige store. Det er klart, at jo mere omfattende ens matematiske viden er, og jo mere ofindsomt man er i stand til at kombinere dens enkelte elementer, jo bedre er man i stand til at føre matematiske beviser. Eksemel.. Bevis, at i en vilkårlig trekant ABC gælder uligheden m a + m b + m c > 3 (a + b + c), 4 hvor m a, m b og m c er medianernes længder, og a, b og c er sidelængderne. Udsagnet A udsiger her blot, at unkterne A, B og C danner en trekant. Vi må derfor benytte vor viden om trekanters sider og medianer. I trekanter gælder nogle simle uligheder om sidelængderne kaldet trekantsulighederne. Det vil derfor være hensigtsmæssigt at betragte assende trekanter, hvori medianerne indgår. Betragter vi trekant ACM, hvor M er midtunktet af linjestykket BC, fås: m a + a > b Vi må kunne udlede ganske lignende udtryk for m b og m c : m b + b > c m c + c > a 3

4 Adderer vi disse uligheder, får vi m a + m b + m c > 1 (a + b + c) Det er en ulighed, der minder om det ønskede. Men det er ikke godt nok. Vi har kun fået vist, at medianernes sum er større end den halve omkreds. Den skulle vises at være større end tre fjerdedele af omkredsen. Der må åbenbart inddrages mere viden om medianerne. Vi kan skæve til, at der fremkommer en ulighed, hvori tallet 3 indgår. En kendt sætning siger, at medianerne i en trekant deler hinanden i forholdet til 1. Betragter vi AOC, hvor O er medianernes skæringsunkt, er AO = 3 m a og CO = 3 m c, så det gælder, at 3 m a + 3 m c > b Ved at betragte COB og BOA fås å samme måde 3 m b + 3 m c > a 3 m a + 3 m b > c Ved addition af disse uligheder fås 4 3 (m a + m b + m c ) > a + b + c og dermed den forlangte ulighed. Øvelse.3. Bevis uligheden m a + m b + m c < a + b + c. (Vink: Bestem assende trekanter, hvori to af siderne indgår.) 3 Det indirekte bevis Ikke sjældent kan det være vanskeligt eller uoverskueligt at gennemføre et direkte bevis for en sætning å formen: Hvis A så B. Man bør så overveje, om det er bekvemmere at gennemføre et indirekte bevis Eksemel 3.1. Bevis, at hvis n 1 er et rimtal, så er n et rimtal. Umiddelbart er det ikke let at se, hvordan man skal gennemføre et direkte bevis. Vi antager derfor omvendt, at n ikke er et rimtal, altså n er et sammensat tal, så vi kan skrive n = n 1 n. Så er imidlertid n 1 = n1n 1 = ( n1 ) n 1. Men ( n1 ) n 1 er delelig med n1 1, så n 1 er et sammensat tal. Vi ser altså, at antagelsen af, at n er sammensat, fører til, at n 1 er sammensat. Så må vi omvendt kunne slutte, at hvis n 1 er et rimtal, så er også n et rimtal. Eksemel 3 viser et indirekte bevis. I stedet for at vise sætningen: Hvis A så B eller udtrykt ved imlikationsil A B, vises i stedet: Hvis B ikke gælder, så gælder A heller ikke, eller imlikationen nonb nona. Ofte udtrykker man det således, at man går ud fra, at B ikke gælder, og ved logiske slutninger når man frem til en modstrid med, at A er gyldig. 4

5 Eksemel 3.. Bevis, at brøken 1n+4 14n+3, hvor n er et naturligt tal, ikke kan forkortes for nogen værdi af n. Lad os antage, at brøken kan forkortes for en asssende værdi af n. Så vil brøken (1n + 4) 3(14n + 3) = 4n + 8 4n + 9 også kunne forkortes. I den fremkomne brøk er tælleren imidlertid neto én mindre end nævneren, og den kan derfor ikke forkortes. Dermed er vi nået til en modstrid, og vi indser, at den orindelige brøk ikke kan forkortes. Øvelse 3.3. Vi antager, at n er et helt ositivt tal (et naturligt tal). Bevis under denne forudsætning, at hvis n er lige, så er n også lige. Kan beviset gennemføres, hvis vi stryger forudsætningen om, at n er et naturligt tal? Øvelse 3.4. I en by kan man komme med bus fra A til B, men man kan ikke komme med bus fra A til C. Bevis, at man ikke kan komme med bus fra B til C. Øvelse 3.5. Vis, at hvis n kan deles med 3 (hvor n er et naturligt tal), så er n deleligt med 3. Vink: Et tal, der ikke er deleligt med 3 kan skrives som enten 3m + 1 eller 3m 1. Øvelse 3.6. Bevis, at ligningen x y = ikke har heltallige løsninger. Det indirekte bevis er overordentlig meget anvendt i matematik. Mange af matematikkens store sætninger bevises indirekte. Det gælder således Euklids berømte bevis for, at der er uendelig mange rimtal, og Cantors bevis for, at reelle tal ikke er tællelige, der begge er medtaget i de fleste elementære lærebøger. Vi vil her give et bevis for en berømt sætning, som normalt ikke ses i sådanne bøger. Sætning 3.7 (Aritmetikkens fundamentalsætning). Ethvert helt tal kan å én og kun én måde oløses i rimfaktorer. Bevis. For de fleste uden dybere indsigt i matematikken lyder sætningen ret indlysende, og det er også rigtigt for første del af den. Det er let at vise, at et tal kan oløses i rimfaktorer, altså kan skrives n = r, hvor 1,,..., r er ikke nødvendigvis forskellige rimtal. Vi ræsonnerer således: Hvis n selv er et rimtal, er sagen klar. Hvis n ikke er et rimtal, findes der rimtal, der går o i n. Det kan højst være endelig mange, da intet tal større end n kan gå o i n. Vi betegner det mindste rimtal, der går o i n med 1. Så er n = 1 m 1. På denne måde fortsættes til vi har n = r, og vi så endda har onået, at erne otræder efter størrelse. 5

6 Eksemel 3.8. Denne oløsning vil f.eks. for tallet 100 foregå således: 100 = 1050 = 55 = = = Det kan se ud, som om vi samtidig har fået bevist den anden del af hovedsætningen, at denne oløsning (naturligvis å nær faktorernes rækkefølge) kun kan foregå å én måde. Vi har fået rimfaktorerne frem i rækkefølge. Så simelt er det imidlertid ikke. For at belyse dette nærmere vil vi betragte alle hele tal, der kan skrives å formen 3n + 1, dvs tallene 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,, 5, 8,... eller med andre ord de tal, der giver resten 1 ved division med 3. Vi tænker os, at vi kun kender disse tal og ikke har kendskab til de mellemliggende tal af den naturlige talfølge. Så vil vi kalde alle de tal i rækken, som ikke er delelige med andre tal end 1 og tallet selv, for rimtal, mens de resterende tal er sammensatte. Efter denne definition er tallene 4, 7, 10, 13, 19,, 5 osv. rimtal, mens 16, 8, 40, 49 osv. er sammensatte. Vi kan nu å samme måde som ovenfor bevise, at rimtalsoløsning er mulig blandt disse tal. Betragt f.eks. tallet 100. Det mindste tal, der går o, er tallet 4, så 100 = 4 5 er en rimtalsoløsning. Men vi kan også oløse 100 = Tallet 100 har altså to forskellige rimtalsoløsninger, og der er intet i beviset ovenfor, der garanterer, at noget sådant ikke også er muligt blandt de naturlige tal. Eksemel 3.8 viser, at man meget let snydes af lausible argumenter. Vi kan åbenbart ikke uden videre tillade os at sige, at når vi for et naturligt tal finder rimfaktorerne 1,, 3 osv. i rækkefølge nede fra, så har vi fundet samtlige rimfaktorer. For at ræsentere et bevis må der altså inddrages egenskaber ved de naturlige tal, som talrækken 1, 4, 7, 10,... ikke besidder. Vi vil give et bevis for rimtalsoløsningens entydighed. Beviset føres indirekte. Vi tænker os altså, at der findes tal med to forskellige rimtalsoløsninger. Findes der sådanne tal, må der også være et mindste sådant tal. Lad det være tallet a, hvor altså a = r = q 1 q q 3... q m, og alle tallene 1,, 3,..., r, q 1, q, q 3,..., q m er rimtal. Vi kan nu slutte, at alle erne er forskellige fra alle q erne, for ellers kunne vi forkorte den fælles faktor bort og dermed finde et mindre tal end a med to rimtalsoløsninger. Vi tænker os erne og q erne ostillet efter størrelse, og vi tænker os, at 1 < q 1. Så er 1 det mindste rimtal, der fremkommer i de to rimfaktoroløsninger. Dividerer vi 1 o i q 1, q, q 3,..., q m, fås en række divisionsligninger med rest q 1 = s r 1, q = s 1 + r,, q m = s m 1 + r m. Her er alle r erne mindre end 1. Multilicerer vi de fremkomne ligninger, får vi a = q 1 q q 3 q m = (s r 1 )(s 1 + r ) (s m 1 + r m ) = 1 3 r. 6

7 Ganges arentserne ud, fås en række led, der alle indeholder 1, ånær leddet r 1 r r 3 r m. Samles disse led til leddet 1 S har vi eller a = r 1 r r 3 r m + 1 S = 1 3 r R = r 1 r r 3 r m = 1 ( 3 r S) Tallet R er mindre end a. Oløser vi r erne i rimfaktorer, kan ingen af disse være 1, da alle r er er mindre end 1. I 1 ( 3 r S) fremkommer imidlertid 1 som faktor. Dermed har vi bevist, at tallet R har to forskellige rimtalsoløsninger, og det er i modstrid med, at a var det mindste tal med denne egenskab. Øvelse 3.9. Overvej å hvilket unkt argumenterne i beviset ovenfor for rimtalsoløsningens entydighed svigter for talmængden 1, 4, 7, 10,... 4 Induktion For nylig blev der sat verdensrekord i dominobrikvæltning, og rekordsætteren sikrede sig en lads i Guiness rekordbog. Han havde stillet i tusindvis af dominobrikker å højkant og omhyggeligt sørget for, at det for hver eneste brik gjaldt, at hvis den væltede, så væltede dens nabo også. Da alle brikker efter flere dages arbejde var stillet o, væltede han den første brik, og efter 13 minutters forløb var alle brikker væltet. En række dominobrikker, der vælter, illustrerer udmærket grundideen i det matematiske induktionsbevis. Kun behøver matematikere ikke som dominosilleren at nøjes med et et endeligt antal brikker. Eksemel 4.1. Bevis, at for ethvert helt ositivt tal gælder formlen n (n 1) = 1 n(n + 1)(4n 1) 6 Beviset skal føres for alle n - altså for uendelig mange værdier - og det lyder jo ret uoverkommeligt. Men vi kan jo røve for nogle værdier og se, om det lyder rimeligt. For n = 1 har vi 1 1 = 1 = = 1 For n = har vi = 7 = = 7 For n = 3 har vi = = = Formlen asser altså i begyndelsen, men der er jo langt til uendelig, så det er åbenbart uoverkommeligt at røve alle værdier af. Man kan imidlertid nå til et almengyldigt bevis ved at gennemføre et bevis for det n te skridt. Det forløber således: Vi antager, at formlen er gyldig for n =, dvs ( 1) = 1 ( + 1)(4 1). 6 7

8 For n = + 1 gælder da ( 1) + ( + 1)(( + 1) 1) = 1 6 ( + 1)(4 1) + ( + 1)(( + 1) 1) = 1 6 ( + 1)( ) = 1 6 ( + 1)( + )(4 + 3) = 1 ( + 1)( + )(4( + 1) 1) 6 Det sidste er imidlertid formlen, vi ønsker at bevise, for n = + 1. Formlen gælder altså for n = + 1, hvis den gælder for n =. Dermed er induktionsskridtet udført og formlens almengyldighed bevist. Et induktionsbevis består altså af to dele: Man beviser, at formlen gælder i begyndelsen. Dernæst beviser man, at når den gælder for en tilfældig værdi, så gælder den altid for den næste værdi. Ganske som ved analogien med dominobrikkerne har man dermed sikret sig, at den gælder for alle værdier. Eksemel 4.. Man vil måske være tilbøjelig til uden bevis at tro å gyldigheden af en sætning, hvis den gælder for et stort antal n, men man kan naturligvis aldrig føle sig sikker. Matematikeren Goldbach fremsatte i 175 den hyotese, at ethvert ulige tal større end 1 kan skrives som en sum af et rimtal og gange et kvadrat tal, altså n = + a. Han kunne ikke bevise det, men det stemte så højt o i talrækken, han orkede at røve efter. Det viser sig, at antagelsen holder for ulige tal o til For 5777 gælder den imidlertid ikke, hvad man relativt let kan afgøre selv, da man kan afrøve kvadrattallene o til 53. Det viser sig imidlertid, at 5777 og 5993 er de eneste undtagelser fra reglen o til I 1919 fremsatte matematikeren Polya en anden formodning. Når man oløser et tal i rimfaktorer - f.eks. 84 = er der enten et lige antal faktorer eller et ulige antal. Når man røver talrækken nedefra, odager man, at der hele tiden er flest tal med et ulige antal rimfaktorer, og Polya fremsatte den formodning, at dette ville gælde vilkårligt højt o i talrækken. I 1960 lykkedes det ved forenet brug af avanceret talteori og store comutere at vise, at af tallene o til har ræcis halvdelen et lige antal rimfaktorer, så Polyas formodning er altså forkert. Eksemel 4.3. En følge af ositve hele tal a 1, a,, a n, er givet ved, at a 1 = 0, a = 6 og a n+ = a n+1 + a n. Vis, at det almindelige element a n kan udtrykkes ved formlen a n = n + ( 1) n. Dette vises ved induktion. I begyndelsen finder man, at a 1 = 1 + ( 1) 1 = 0 og a = + ( 1) = 6, så formlen asser der. Antages formlen at være rigtig for n = og n = + 1, 8

9 fås a + = a +1 + a = +1 + ( 1) +1 + ( + ( 1) ) = +1 + ( 1) +1 4 ( 1) +1 = + ( 1) +1 = + + ( 1) +. Hermed er induktionsskridtet gennemført; formlen er altså rigtig for n = +, hvis den er rigtig for n = og n = + 1. Da den tillige er rigtig for n = 1 og n =, er den gyldig for alle n. Øvelse 4.4. Formlen a n+ = a n+1 +a n siges at bestemme følgen a 1, a,, a n, ved rekursion. Et eksemel af lignende art er den berømte Fibonaccifølge, der dukker o mange steder i matematikken. Her er a 1 = a = 1 og a n+ = a n+1 + a n. Bevis ved induktion, at det almindelige led kan skrives a n = αr n + βs n, hvor r og s er rødderne i andengradsolynomiet x = 1 + x. Vis dernæst, at α = 5/5 og β = 5/5. Øvelse 4.5. Overvej, om følger givet ved en rekursionsformel af tyen a n+ = m 1 a n+1 + m a n, hvor m 1 og m er vilkårlige hele tal, altid har det almindelige led bestemt ved en formel af tyen αr n + βs n. Eksemel 4.6. Det er ved et induktionsbevis vigtigt, at man foruden induktionsskridtet sikrer sig gyldigheden i begyndelsen. Vi betragter formlen ( n ) n n! Vi antager, at formlen er gyldig for n og har derefter ( ) n+1 n + 1 = n + 1 ( ) n n + 1 = n + 1 ( n ) ( ) n n n + 1 n n + 1 n!(1 + 1 n )n = (n + 1)! 1 (1 + 1 n )n (n + 1)! hvor vi ved den sidste vurdering har benyttet, at for ethvert n er ( n) n, der let kan bevises ved differentialregning (eller binomialformlen) og kendes fra de fleste lærebøger. Induktionsskridtet lader sig altså gennemføre, men for n = 1, n = og n = 3 har vi, at ( ) 1 1 1! ; 1! ; ( ) 3 3 3! der alle er falske. Det samme gælder for n = 4 og n = 5. Det lover jo ikke godt, men for n = 6 har vi, at 3 6 = 79 > 6! = 70. 9

10 Sætningen gælder altså for n = 6, og vi har derfor bevist, at den gælder for alle n 6. Også for formlen (n/3) n n! kan man gennemføre induktionsskridtet, men alligevel er denne formel falsk for alle n. Eksemel 4.7. Vi vil med induktion bevise, at enhver tællelig mængde a 1, a,..., a n,... består af lige store tal. For n = 1 er der kun ét tal, så her er sætningen rigtig. Antag dernæst, at enhver talmængde å n = elementer består af lige store tal, så vi vil vise, at enhver talmængde med n = + 1 elementer også består af lige store tal. Vi betragter hertil illustrationen nedenfor: { }} { { }} { a 1 a... a a +1 og a 1 a a 3... a +1 Hver af de markerede mængder å elementer indeholder lige store tal ifølge induktionsantagelseen. Men disse mængder laer over hinanden, derfor må alle tallene være lige store. Dermed er induktionsskridtet gennemført og beviset tilendebragt. Resultatet er åbenlyst forkert, så der må være noget galt i ræsonnementet. Fejlen er, at man ikke har sikret sig, at induktionsargumentet gælder for hvert n. For skridtet fra n = 1 til n = gælder det ikke, da de to mængder i dette tilfælde ikke laer over hinanden. 1 1 {}}{ {}}{ a 1 a og a 1 Det svarer til, at den anden dominobrik ikke vælter, når den første gør det, og så nytter det naturligvis ikke noget, at alle de følgende ville vælte, hvis den foregående gjorde det. Hvis vi om en talmængde ved, at to vilkårlige af dens tal er lige store, kan vi derimod slutte, at alle tallene er lige store. En af talteoriens grundiller er den såkaldte Fermats lille sætning. Den siger, at for ethvert rimtal og for ethvert naturligt tal n er n n deleligt med. Med kendskab til binomialformlen kan vi bevise denne sætning ved induktion (den er ellers ikke nem at bevise uden nærmere kendskab til talteori). For n = 1 fås = 0, hvori selvfølgelig går o. Vi antager dernæst at n n er delelig med og betragter dernæst (n + 1) (n + 1). Ifølge binomialformlen er ( ) ( ) ( ) (n + 1) = n + n 1 + n + + n + 1, 1 1 hvor alle binomialkoefficienterne ( ( 1), ) (,..., 1) er delelige med. Vi kan derfor skrive (n + 1) = n f(n) hvor f(n) er et olynomium med heltallige koefficienter. Men dermed er a (n + 1) (n + 1) = n n + f(n). 10

11 Her går o i f(n) og ifølge induktionsantagelsen også i n n. Dermed er induktionsskridtet fuldført, og sætningen er bevist. Det er måske ikke klart, at vi i ovenstående bevis har benyttet, at er et rimtal. ( Det har vi imidlertid i bemærkningen om, at binomialkoefficienterne q) =! q! ( q)!, 0 < q <, alle er delelige med. Binomialkoefficienten! q! ( q)! er et helt tal, og er større end q. Derfor kan faktoren i tælleren ikke forkortes væk af nogen faktor i nævneren. Den må derfor indgå som faktor i binomialkoefficienten. Beviset kan således ikke bruges for et sammensat tal. F.eks. er ( ) 6 = 6! 4!! = 15 ikke delelig med 6. Øvelse 4.8. Vis ved induktion, at for alle naturlige tal n gælder a) 3 n+1 + n+ er delelig med 7 b) 3 n + 4 n+3 er delelig med 13. Øvelse 4.9. Vis, at for n > 1 gælder n < 1 n Øvelse Vis, at for ethvert naturligt tal n gælder n (n + 1) = n n + 1. Øvelse En talfølge er bestemt ved a 1 = og a n = a n 1 for n. Vis, at for n > 1 gælder 1 < a n < n 1. 11

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING INDHOLDSFORTEGNELSE A Formler og eksemler... side B Procentregning uddbning (fremlæggelse)... side 6 Grundlæggende færdigheder... side 8 b Omregning mellem rocentændring

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING INDHOLDSFORTEGNELSE A Formler og eksemler... side B Procentregning uddbning (fremlæggelse)... side 5 Grundlæggende færdigheder... side 7 b Omregning mellem rocentændring

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Sproginddragelse i matematikundervisningen Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Mål og fokusområder der skal indgå i planlægning og gennemførelse

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematiske kompetencer Trinmål efter 3. klassetrin Trinmål efter 6. klassetrin Trinmål efter 9. klassetrin indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere