OM BEVISER. Poul Printz

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "OM BEVISER. Poul Printz"

Transkript

1 OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De ogaver, man træffer å alle trin af matematikundervisningen, kan stort set inddeles i to kategorier: bevisogaver og beregningsogaver. I de første ofordres man til - ud fra visse forudsætninger - at bevise en åstand om en geometrisk figur, en talmængde, en funktion eller en anden matematisk begrebsdannelse. I de andre skal man foretage en beregning, der f.eks. resulterer i en talværdi, men også her indgår der rinciielt et bevis - nemlig et bevis for, at det fundne resultat er korrekt og udtømmende. Beviser indtager altså en helt central lads i matematikken. 1 Hvad er et matematisk bevis Der er mange andre end matematikere, der taler om beviser. Politiet kan have beviser for, at en bestemt erson har begået en forbrydelse. Klimatologer kan hævde at have leveret et bevis for, at freongasser er i færd med at nedbryde luftens ozonlag. Medicinske forskere kan bevise, at AIDSviruset har sin orindelse i Afrika, og sociologer kan bevise, at der er en sammenhæng mellem socialt miljø og antallet af forbrydelser. Men alle disse beviser adskiller sig afgørende fra matematikkens beviser. Først og fremmest kan man aldrig føle sig absolut sikker å de ovennævnte tyer af beviser, men må slå sig til tåls med forskellige grader af sandsynlighed for deres rigtighed. Et matematisk bevis er en række overbevisende argumenter, der ud fra nøje definerede forudsætninger fører frem til rigtigheden af et bestemt udsagn. Hvis man fuldt ud forstår og acceterer de logiske rincier, der indgår i beviset, vil man aldrig være i tvivl om den absolutte sandhed af det beviste. I det følgende vil der blive givet er række eksemler å matematiske beviser med fremhævelse af en række vigtige bevismetoder og -teknikker. Det direkte bevis Et bevis vil oftest formuleres således. Bevis, at for det eller det gælder dette eller hint. Eller med en lidt andet formulering: Hvis noget er sandt, så er noget 1

2 andet også sandt. En sætning af formen Hvis A, så B, hvor A og B er to udsagn, kaldes en imlikation. For at vise dens rigtighed skal man godtgøre, at i alle tilfælde, hvor A er sand, da er B det også. Derimod kræves der ingen redegørelse for, hvad der sker, når A er falsk. Eksemel.1. Den retvinklede trekant XY Z med sidelængder x, y og z har arealet 1 4 z, hvor z er trekantens hyotenuse. Bevis, at trekantens øvrige vinkler er 45. Her er udsagnene A og B åbenbart: A: Trekanten er retvinklet, og dens areal er 1 4 z (z er hyotenusen) og B: X = Y = 45. For at føre et bevis af denne art, vil det oftest være hensigtsmæssigt at analysere begge udsagnene A og B. Vi ved, at hvis trekanten er ligebenet - altså x = y - så er vinklerne X og Y begge 45. Vi kan derfor gennemføre beviset ved at godtgøre, at x = y eller, hvad der er det samme, at x y = 0. Det er en vigtig omskrivning af roblemet, for ud fra olysningerne om trekanten kan vi sige noget om længden af x og y. Da trekanten er retvinklet, kan arealet T udtrykkes ved 1 xy, og desuden gælder Pythagoras, så x + y = z. Heraf fås imidlertid ved brug af olysningen T = 1 4 z, at Den sidste ligning kan omskrives til T = 1 4 z = 1 4 (x + y ) = 1 xy. x + y = xy eller (x y) = 0 hvoraf vi endelig slutter, at x = y. Bemærk, at vi ved denne tilbage frem slutningsmåde har arbejdet som tunnelbyggere, der starter fra hver sin side om at mødes. I bevissituationen kan man beskrive rocessen således: Analysér udsagnet B og find ud fra analysen et nyt udsagn B 1 med den egenskab, at hvis B 1 er sand, så er B det også. Gå eventuelt videre til B, B 3, osv. Afvekslende analyseres udsagnet A, og man kan finde et udsagn A 1, der følger af A og dernæst eventuelt udsagn A, A 3 osv., til de to slutningskæder mødes i et fælles udsagn. Hvor lange de to slutningskæder bliver, afhænger naturligvis af roblemet, men også af den bevisvej, man vælger at følge, og der kan ofte være valg mellem forskellige muligheder. Når de to slutningskæder mødes, er det væsentlige arbejde overstået, men det egentlige bevis består i åvisning af en matematisk slutningskæde og matematikere foretrækker den kortest mulige der fører fra A til B. I matematiske værker og i facitlister til ogavesamlinger ræsenteres dette færdige arbejde, og det kan komme til at tage sig mirakuløst ud. Derved kan sådanne fremstillinger

3 komme til at skræmme læsere med en sirende interesse for matematiske roblemer bort. Og det er synd. For de orindelige løsere af ogaverne har ofte haft de samme roblemer med dem, som begynderen nu står over for, og de færdige løsninger afslører ikke den arbejdsroces, der ligger bag. Og det er denne roces med overvinding af roblemer, der gør det sændende og indsigtsgivende at beskæftige sig med matematikogaver. Eksemel 1 fortsat. Ovenfor indså vi, at vi kunne gennemføre beviset. I sin færdige form vil det f.eks. kunne se således ud: Da trekanten er retvinklet, er x + y = z. Tillige er trekantens areal T givet ved T = 1 xy = 1 4 z, hvoraf xy = z. Heraf følger, at x + y = xy eller (x y) = 0 eller x = y. Derfor er trekanten ligebenet og vinklerne ved grundlinjen lige store. Beviset kan naturligvis udformes mere eller mindre kortfattet afhængigt af det ublikum, man skriver for. For at kunne gennemføre et bevis må man have en vis matematisk baggrundsviden. I eksemel 1 må man således kende den ythagoræiske læresætning, formlen for arealet af en retvinklet trekant, og man må kunne foretage nogle simle algebraiske omskrivninger. Desuden må man kende sætningen, at i en ligebenet trekant er vinklerne ved grundlinjen lige store. Det er klart, at jo mere omfattende ens matematiske viden er, og jo mere ofindsomt man er i stand til at kombinere dens enkelte elementer, jo bedre er man i stand til at føre matematiske beviser. Eksemel.. Bevis, at i en vilkårlig trekant ABC gælder uligheden m a + m b + m c > 3 (a + b + c), 4 hvor m a, m b og m c er medianernes længder, og a, b og c er sidelængderne. Udsagnet A udsiger her blot, at unkterne A, B og C danner en trekant. Vi må derfor benytte vor viden om trekanters sider og medianer. I trekanter gælder nogle simle uligheder om sidelængderne kaldet trekantsulighederne. Det vil derfor være hensigtsmæssigt at betragte assende trekanter, hvori medianerne indgår. Betragter vi trekant ACM, hvor M er midtunktet af linjestykket BC, fås: m a + a > b Vi må kunne udlede ganske lignende udtryk for m b og m c : m b + b > c m c + c > a 3

4 Adderer vi disse uligheder, får vi m a + m b + m c > 1 (a + b + c) Det er en ulighed, der minder om det ønskede. Men det er ikke godt nok. Vi har kun fået vist, at medianernes sum er større end den halve omkreds. Den skulle vises at være større end tre fjerdedele af omkredsen. Der må åbenbart inddrages mere viden om medianerne. Vi kan skæve til, at der fremkommer en ulighed, hvori tallet 3 indgår. En kendt sætning siger, at medianerne i en trekant deler hinanden i forholdet til 1. Betragter vi AOC, hvor O er medianernes skæringsunkt, er AO = 3 m a og CO = 3 m c, så det gælder, at 3 m a + 3 m c > b Ved at betragte COB og BOA fås å samme måde 3 m b + 3 m c > a 3 m a + 3 m b > c Ved addition af disse uligheder fås 4 3 (m a + m b + m c ) > a + b + c og dermed den forlangte ulighed. Øvelse.3. Bevis uligheden m a + m b + m c < a + b + c. (Vink: Bestem assende trekanter, hvori to af siderne indgår.) 3 Det indirekte bevis Ikke sjældent kan det være vanskeligt eller uoverskueligt at gennemføre et direkte bevis for en sætning å formen: Hvis A så B. Man bør så overveje, om det er bekvemmere at gennemføre et indirekte bevis Eksemel 3.1. Bevis, at hvis n 1 er et rimtal, så er n et rimtal. Umiddelbart er det ikke let at se, hvordan man skal gennemføre et direkte bevis. Vi antager derfor omvendt, at n ikke er et rimtal, altså n er et sammensat tal, så vi kan skrive n = n 1 n. Så er imidlertid n 1 = n1n 1 = ( n1 ) n 1. Men ( n1 ) n 1 er delelig med n1 1, så n 1 er et sammensat tal. Vi ser altså, at antagelsen af, at n er sammensat, fører til, at n 1 er sammensat. Så må vi omvendt kunne slutte, at hvis n 1 er et rimtal, så er også n et rimtal. Eksemel 3 viser et indirekte bevis. I stedet for at vise sætningen: Hvis A så B eller udtrykt ved imlikationsil A B, vises i stedet: Hvis B ikke gælder, så gælder A heller ikke, eller imlikationen nonb nona. Ofte udtrykker man det således, at man går ud fra, at B ikke gælder, og ved logiske slutninger når man frem til en modstrid med, at A er gyldig. 4

5 Eksemel 3.. Bevis, at brøken 1n+4 14n+3, hvor n er et naturligt tal, ikke kan forkortes for nogen værdi af n. Lad os antage, at brøken kan forkortes for en asssende værdi af n. Så vil brøken (1n + 4) 3(14n + 3) = 4n + 8 4n + 9 også kunne forkortes. I den fremkomne brøk er tælleren imidlertid neto én mindre end nævneren, og den kan derfor ikke forkortes. Dermed er vi nået til en modstrid, og vi indser, at den orindelige brøk ikke kan forkortes. Øvelse 3.3. Vi antager, at n er et helt ositivt tal (et naturligt tal). Bevis under denne forudsætning, at hvis n er lige, så er n også lige. Kan beviset gennemføres, hvis vi stryger forudsætningen om, at n er et naturligt tal? Øvelse 3.4. I en by kan man komme med bus fra A til B, men man kan ikke komme med bus fra A til C. Bevis, at man ikke kan komme med bus fra B til C. Øvelse 3.5. Vis, at hvis n kan deles med 3 (hvor n er et naturligt tal), så er n deleligt med 3. Vink: Et tal, der ikke er deleligt med 3 kan skrives som enten 3m + 1 eller 3m 1. Øvelse 3.6. Bevis, at ligningen x y = ikke har heltallige løsninger. Det indirekte bevis er overordentlig meget anvendt i matematik. Mange af matematikkens store sætninger bevises indirekte. Det gælder således Euklids berømte bevis for, at der er uendelig mange rimtal, og Cantors bevis for, at reelle tal ikke er tællelige, der begge er medtaget i de fleste elementære lærebøger. Vi vil her give et bevis for en berømt sætning, som normalt ikke ses i sådanne bøger. Sætning 3.7 (Aritmetikkens fundamentalsætning). Ethvert helt tal kan å én og kun én måde oløses i rimfaktorer. Bevis. For de fleste uden dybere indsigt i matematikken lyder sætningen ret indlysende, og det er også rigtigt for første del af den. Det er let at vise, at et tal kan oløses i rimfaktorer, altså kan skrives n = r, hvor 1,,..., r er ikke nødvendigvis forskellige rimtal. Vi ræsonnerer således: Hvis n selv er et rimtal, er sagen klar. Hvis n ikke er et rimtal, findes der rimtal, der går o i n. Det kan højst være endelig mange, da intet tal større end n kan gå o i n. Vi betegner det mindste rimtal, der går o i n med 1. Så er n = 1 m 1. På denne måde fortsættes til vi har n = r, og vi så endda har onået, at erne otræder efter størrelse. 5

6 Eksemel 3.8. Denne oløsning vil f.eks. for tallet 100 foregå således: 100 = 1050 = 55 = = = Det kan se ud, som om vi samtidig har fået bevist den anden del af hovedsætningen, at denne oløsning (naturligvis å nær faktorernes rækkefølge) kun kan foregå å én måde. Vi har fået rimfaktorerne frem i rækkefølge. Så simelt er det imidlertid ikke. For at belyse dette nærmere vil vi betragte alle hele tal, der kan skrives å formen 3n + 1, dvs tallene 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,, 5, 8,... eller med andre ord de tal, der giver resten 1 ved division med 3. Vi tænker os, at vi kun kender disse tal og ikke har kendskab til de mellemliggende tal af den naturlige talfølge. Så vil vi kalde alle de tal i rækken, som ikke er delelige med andre tal end 1 og tallet selv, for rimtal, mens de resterende tal er sammensatte. Efter denne definition er tallene 4, 7, 10, 13, 19,, 5 osv. rimtal, mens 16, 8, 40, 49 osv. er sammensatte. Vi kan nu å samme måde som ovenfor bevise, at rimtalsoløsning er mulig blandt disse tal. Betragt f.eks. tallet 100. Det mindste tal, der går o, er tallet 4, så 100 = 4 5 er en rimtalsoløsning. Men vi kan også oløse 100 = Tallet 100 har altså to forskellige rimtalsoløsninger, og der er intet i beviset ovenfor, der garanterer, at noget sådant ikke også er muligt blandt de naturlige tal. Eksemel 3.8 viser, at man meget let snydes af lausible argumenter. Vi kan åbenbart ikke uden videre tillade os at sige, at når vi for et naturligt tal finder rimfaktorerne 1,, 3 osv. i rækkefølge nede fra, så har vi fundet samtlige rimfaktorer. For at ræsentere et bevis må der altså inddrages egenskaber ved de naturlige tal, som talrækken 1, 4, 7, 10,... ikke besidder. Vi vil give et bevis for rimtalsoløsningens entydighed. Beviset føres indirekte. Vi tænker os altså, at der findes tal med to forskellige rimtalsoløsninger. Findes der sådanne tal, må der også være et mindste sådant tal. Lad det være tallet a, hvor altså a = r = q 1 q q 3... q m, og alle tallene 1,, 3,..., r, q 1, q, q 3,..., q m er rimtal. Vi kan nu slutte, at alle erne er forskellige fra alle q erne, for ellers kunne vi forkorte den fælles faktor bort og dermed finde et mindre tal end a med to rimtalsoløsninger. Vi tænker os erne og q erne ostillet efter størrelse, og vi tænker os, at 1 < q 1. Så er 1 det mindste rimtal, der fremkommer i de to rimfaktoroløsninger. Dividerer vi 1 o i q 1, q, q 3,..., q m, fås en række divisionsligninger med rest q 1 = s r 1, q = s 1 + r,, q m = s m 1 + r m. Her er alle r erne mindre end 1. Multilicerer vi de fremkomne ligninger, får vi a = q 1 q q 3 q m = (s r 1 )(s 1 + r ) (s m 1 + r m ) = 1 3 r. 6

7 Ganges arentserne ud, fås en række led, der alle indeholder 1, ånær leddet r 1 r r 3 r m. Samles disse led til leddet 1 S har vi eller a = r 1 r r 3 r m + 1 S = 1 3 r R = r 1 r r 3 r m = 1 ( 3 r S) Tallet R er mindre end a. Oløser vi r erne i rimfaktorer, kan ingen af disse være 1, da alle r er er mindre end 1. I 1 ( 3 r S) fremkommer imidlertid 1 som faktor. Dermed har vi bevist, at tallet R har to forskellige rimtalsoløsninger, og det er i modstrid med, at a var det mindste tal med denne egenskab. Øvelse 3.9. Overvej å hvilket unkt argumenterne i beviset ovenfor for rimtalsoløsningens entydighed svigter for talmængden 1, 4, 7, 10,... 4 Induktion For nylig blev der sat verdensrekord i dominobrikvæltning, og rekordsætteren sikrede sig en lads i Guiness rekordbog. Han havde stillet i tusindvis af dominobrikker å højkant og omhyggeligt sørget for, at det for hver eneste brik gjaldt, at hvis den væltede, så væltede dens nabo også. Da alle brikker efter flere dages arbejde var stillet o, væltede han den første brik, og efter 13 minutters forløb var alle brikker væltet. En række dominobrikker, der vælter, illustrerer udmærket grundideen i det matematiske induktionsbevis. Kun behøver matematikere ikke som dominosilleren at nøjes med et et endeligt antal brikker. Eksemel 4.1. Bevis, at for ethvert helt ositivt tal gælder formlen n (n 1) = 1 n(n + 1)(4n 1) 6 Beviset skal føres for alle n - altså for uendelig mange værdier - og det lyder jo ret uoverkommeligt. Men vi kan jo røve for nogle værdier og se, om det lyder rimeligt. For n = 1 har vi 1 1 = 1 = = 1 For n = har vi = 7 = = 7 For n = 3 har vi = = = Formlen asser altså i begyndelsen, men der er jo langt til uendelig, så det er åbenbart uoverkommeligt at røve alle værdier af. Man kan imidlertid nå til et almengyldigt bevis ved at gennemføre et bevis for det n te skridt. Det forløber således: Vi antager, at formlen er gyldig for n =, dvs ( 1) = 1 ( + 1)(4 1). 6 7

8 For n = + 1 gælder da ( 1) + ( + 1)(( + 1) 1) = 1 6 ( + 1)(4 1) + ( + 1)(( + 1) 1) = 1 6 ( + 1)( ) = 1 6 ( + 1)( + )(4 + 3) = 1 ( + 1)( + )(4( + 1) 1) 6 Det sidste er imidlertid formlen, vi ønsker at bevise, for n = + 1. Formlen gælder altså for n = + 1, hvis den gælder for n =. Dermed er induktionsskridtet udført og formlens almengyldighed bevist. Et induktionsbevis består altså af to dele: Man beviser, at formlen gælder i begyndelsen. Dernæst beviser man, at når den gælder for en tilfældig værdi, så gælder den altid for den næste værdi. Ganske som ved analogien med dominobrikkerne har man dermed sikret sig, at den gælder for alle værdier. Eksemel 4.. Man vil måske være tilbøjelig til uden bevis at tro å gyldigheden af en sætning, hvis den gælder for et stort antal n, men man kan naturligvis aldrig føle sig sikker. Matematikeren Goldbach fremsatte i 175 den hyotese, at ethvert ulige tal større end 1 kan skrives som en sum af et rimtal og gange et kvadrat tal, altså n = + a. Han kunne ikke bevise det, men det stemte så højt o i talrækken, han orkede at røve efter. Det viser sig, at antagelsen holder for ulige tal o til For 5777 gælder den imidlertid ikke, hvad man relativt let kan afgøre selv, da man kan afrøve kvadrattallene o til 53. Det viser sig imidlertid, at 5777 og 5993 er de eneste undtagelser fra reglen o til I 1919 fremsatte matematikeren Polya en anden formodning. Når man oløser et tal i rimfaktorer - f.eks. 84 = er der enten et lige antal faktorer eller et ulige antal. Når man røver talrækken nedefra, odager man, at der hele tiden er flest tal med et ulige antal rimfaktorer, og Polya fremsatte den formodning, at dette ville gælde vilkårligt højt o i talrækken. I 1960 lykkedes det ved forenet brug af avanceret talteori og store comutere at vise, at af tallene o til har ræcis halvdelen et lige antal rimfaktorer, så Polyas formodning er altså forkert. Eksemel 4.3. En følge af ositve hele tal a 1, a,, a n, er givet ved, at a 1 = 0, a = 6 og a n+ = a n+1 + a n. Vis, at det almindelige element a n kan udtrykkes ved formlen a n = n + ( 1) n. Dette vises ved induktion. I begyndelsen finder man, at a 1 = 1 + ( 1) 1 = 0 og a = + ( 1) = 6, så formlen asser der. Antages formlen at være rigtig for n = og n = + 1, 8

9 fås a + = a +1 + a = +1 + ( 1) +1 + ( + ( 1) ) = +1 + ( 1) +1 4 ( 1) +1 = + ( 1) +1 = + + ( 1) +. Hermed er induktionsskridtet gennemført; formlen er altså rigtig for n = +, hvis den er rigtig for n = og n = + 1. Da den tillige er rigtig for n = 1 og n =, er den gyldig for alle n. Øvelse 4.4. Formlen a n+ = a n+1 +a n siges at bestemme følgen a 1, a,, a n, ved rekursion. Et eksemel af lignende art er den berømte Fibonaccifølge, der dukker o mange steder i matematikken. Her er a 1 = a = 1 og a n+ = a n+1 + a n. Bevis ved induktion, at det almindelige led kan skrives a n = αr n + βs n, hvor r og s er rødderne i andengradsolynomiet x = 1 + x. Vis dernæst, at α = 5/5 og β = 5/5. Øvelse 4.5. Overvej, om følger givet ved en rekursionsformel af tyen a n+ = m 1 a n+1 + m a n, hvor m 1 og m er vilkårlige hele tal, altid har det almindelige led bestemt ved en formel af tyen αr n + βs n. Eksemel 4.6. Det er ved et induktionsbevis vigtigt, at man foruden induktionsskridtet sikrer sig gyldigheden i begyndelsen. Vi betragter formlen ( n ) n n! Vi antager, at formlen er gyldig for n og har derefter ( ) n+1 n + 1 = n + 1 ( ) n n + 1 = n + 1 ( n ) ( ) n n n + 1 n n + 1 n!(1 + 1 n )n = (n + 1)! 1 (1 + 1 n )n (n + 1)! hvor vi ved den sidste vurdering har benyttet, at for ethvert n er ( n) n, der let kan bevises ved differentialregning (eller binomialformlen) og kendes fra de fleste lærebøger. Induktionsskridtet lader sig altså gennemføre, men for n = 1, n = og n = 3 har vi, at ( ) 1 1 1! ; 1! ; ( ) 3 3 3! der alle er falske. Det samme gælder for n = 4 og n = 5. Det lover jo ikke godt, men for n = 6 har vi, at 3 6 = 79 > 6! = 70. 9

10 Sætningen gælder altså for n = 6, og vi har derfor bevist, at den gælder for alle n 6. Også for formlen (n/3) n n! kan man gennemføre induktionsskridtet, men alligevel er denne formel falsk for alle n. Eksemel 4.7. Vi vil med induktion bevise, at enhver tællelig mængde a 1, a,..., a n,... består af lige store tal. For n = 1 er der kun ét tal, så her er sætningen rigtig. Antag dernæst, at enhver talmængde å n = elementer består af lige store tal, så vi vil vise, at enhver talmængde med n = + 1 elementer også består af lige store tal. Vi betragter hertil illustrationen nedenfor: { }} { { }} { a 1 a... a a +1 og a 1 a a 3... a +1 Hver af de markerede mængder å elementer indeholder lige store tal ifølge induktionsantagelseen. Men disse mængder laer over hinanden, derfor må alle tallene være lige store. Dermed er induktionsskridtet gennemført og beviset tilendebragt. Resultatet er åbenlyst forkert, så der må være noget galt i ræsonnementet. Fejlen er, at man ikke har sikret sig, at induktionsargumentet gælder for hvert n. For skridtet fra n = 1 til n = gælder det ikke, da de to mængder i dette tilfælde ikke laer over hinanden. 1 1 {}}{ {}}{ a 1 a og a 1 Det svarer til, at den anden dominobrik ikke vælter, når den første gør det, og så nytter det naturligvis ikke noget, at alle de følgende ville vælte, hvis den foregående gjorde det. Hvis vi om en talmængde ved, at to vilkårlige af dens tal er lige store, kan vi derimod slutte, at alle tallene er lige store. En af talteoriens grundiller er den såkaldte Fermats lille sætning. Den siger, at for ethvert rimtal og for ethvert naturligt tal n er n n deleligt med. Med kendskab til binomialformlen kan vi bevise denne sætning ved induktion (den er ellers ikke nem at bevise uden nærmere kendskab til talteori). For n = 1 fås = 0, hvori selvfølgelig går o. Vi antager dernæst at n n er delelig med og betragter dernæst (n + 1) (n + 1). Ifølge binomialformlen er ( ) ( ) ( ) (n + 1) = n + n 1 + n + + n + 1, 1 1 hvor alle binomialkoefficienterne ( ( 1), ) (,..., 1) er delelige med. Vi kan derfor skrive (n + 1) = n f(n) hvor f(n) er et olynomium med heltallige koefficienter. Men dermed er a (n + 1) (n + 1) = n n + f(n). 10

11 Her går o i f(n) og ifølge induktionsantagelsen også i n n. Dermed er induktionsskridtet fuldført, og sætningen er bevist. Det er måske ikke klart, at vi i ovenstående bevis har benyttet, at er et rimtal. ( Det har vi imidlertid i bemærkningen om, at binomialkoefficienterne q) =! q! ( q)!, 0 < q <, alle er delelige med. Binomialkoefficienten! q! ( q)! er et helt tal, og er større end q. Derfor kan faktoren i tælleren ikke forkortes væk af nogen faktor i nævneren. Den må derfor indgå som faktor i binomialkoefficienten. Beviset kan således ikke bruges for et sammensat tal. F.eks. er ( ) 6 = 6! 4!! = 15 ikke delelig med 6. Øvelse 4.8. Vis ved induktion, at for alle naturlige tal n gælder a) 3 n+1 + n+ er delelig med 7 b) 3 n + 4 n+3 er delelig med 13. Øvelse 4.9. Vis, at for n > 1 gælder n < 1 n Øvelse Vis, at for ethvert naturligt tal n gælder n (n + 1) = n n + 1. Øvelse En talfølge er bestemt ved a 1 = og a n = a n 1 for n. Vis, at for n > 1 gælder 1 < a n < n 1. 11

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple

Læs mere

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015 FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere