Ortogonale polynomier og Hilbert matricen

Transkript

1 Normat 54:3, 97 (26) 97 Ortogonale polynomier og Hilbert matricen Christian Berg Institut for Matematiske Fag Universitetsparken 5 DK 2 København Ø Danmark berg@mathkudk 2 Mathematics Subject Classification: primary 33C45; secondary 42C5 Keywords: Orthogonal polynomials, Legendre polynomials Indledning I elementær matrixregning møder man Hilbert matricen () H n = 2 n+ 2 n+ 3 n+2 n+2 2n+ hvis ij te element er /(i + j + ), når man nummererer de n + rækker og søjler med tallene,,, n For små værdier af n kan man let udregne determinanten og den inverse matrix For n =, 2 finder man det(h ) = /2, det(h 2 ) = /26 og H = ( ) 4 6, H =, Det overraskende er, at de inverse matricer får heltallige elementer, og at determinanten følgelig bliver en stambrøk, altså en brøk af formen /k for et naturligt tal k Hilbert matricen blev introduceret af Hilbert i [5], hvor der gives en formel for determinanten Hilbert matricen og dens uendelig dimensionale variant har en række interessante egenskaber, som findes behandlet i [2] Hvis man ønsker at udregne den inverse matrix på computer og repræsenterer stambrøkerne ved decimalbrøker opdager man, at der kan ske betydelige afrundingsfejl

2 98 Christian Berg Normat 3/26 Den kendsgerning, at D Hilbert år 9 i + j + = x i+j dx, som kan udtrykkes, at Hilbert matricen er Hankel matricen (s i+j ) hørende til momenterne s n = /(n + ) for Lebesguemålet på enhedsintervallet, jfr detaljerne nedenfor, fik mig til at spekulere på om ikke egenskaber ved de tilhørende ortogonale polynomier, nemlig Legendre polynomierne, skulle kunne forklare, at de reciprokke Hilbert matricer er heltallige, og det viste sig at være tilfældet Dette er motiveringen for nærværende arbejde I de sidste 2 år har der været stor matematisk aktivitet i området ortogonale polynomier og specielle funktioner Der kan fremhæves mange grunde til det og lad mig nævne fem: Med de fantastiske beregningsmuligheder som computerne har givet, har der været behov for at raffinere de eksisterende teoretiske metoder De klassiske ortogonale polynomier har altid spillet en vigtig rolle via Gauss kvadratur Computerne har gjort det meget nemmere end tidligere at teste hypoteser om specielle funktioner Teorien for q-serier eller q-specielle funktioner, der går tilbage til Heine, har fået en renæssance bla på grund af fysiske teorier om kvantedeformation Værket [4] har haft stor betydning og kan opfattes som en statusrapport over vores viden på området Det blev observeret, at adskillige af Ramanujans opdagelser kunne forstås i et nyt lys ved teorien for ortogonale polynomier Her skal henvises til R Askeys vidunderlige artikel [4], hvor han bl a påpeger, at flere af Ramanujans besynderlige formler kan fortolkes som løsninger til indeterminerede momentproblemer, som er momentproblemer, hvor der er forskellige sandsynlighedsmål med de samme momenter Min egen forskning har i en årrække været orienteret mod det indeterminerede momentproblem, se f eks [6] Nyere talteoretiske resultater har kunnet bevises på elegant måde ved inddragelse af polynomial approksimation via ortogonale polynomier Feks kan Apéry s sensationelle resultat om irrationaliteten af værdien af Riemann s zeta-funktion

3 Normat 3/26 Christian Berg 99 for x = 3 ζ(3) = bevises ved udnyttelse af Legendre polynomierne for intervallet ], [, se [5, Afsnit 77] Det er de samme ortogonale polynomier vi skal udnytte i dette arbejde for at indse, at den inverse matrix til Hilbert matricen har heltallige indgange n= n 3 2 Ortogonale Polynomier Vi antager, at der er givet et sandsynlighedsmål µ på den reelle tallinje R, og vi betragter målets momenter (2) s n = s n (µ) = x n dµ(x), n =,,, som antages at eksistere Se eksemplerne i skemaet nedenfor Det er nu muligt at indføre et skalarprodukt på vektorrummet P af polynomier med reelle koefficienter ved (3) p, q = p(x)q(x) dµ(x), p, q P Med til kravet for et skalarprodukt hører, at p = p, p = kun er muligt, når p er nulpolynomiet Af p(x) 2 dµ(x) = skal altså følge, at p er nulpolynomiet Da et egentligt polynomium kun har endeligt mange rødder, må vi kræve, at sandsynlighedsmålet µ ikke er koncentreret i endeligt mange punkter Mængden af sandsynlighedsmål på R med vilkårlige momenter og som ikke er koncentreret i endeligt mange punkter betegnes M Lad der nu være givet µ M Gennemføres Gram-Schmidt ortonormalisering af monomierne, x, x 2, opnås en følge (P n ) n kaldet de ortonormale polynomier knyttet til µ, og som er entydigt bestemt ved kravene (i) P n er et polynomium af grad n med positiv ledende koefficient, (ii) P n (x)p m (x) dµ(x) = δ n,m = {, for n = m, for n m Da µ har masse må P (x) = Hvis (k n ) n er en følge af tal så k =, k n for n, så vil polynomierne p n = k n P n i stedet for (ii) opfylde p n (x)p m (x) dµ(x) = k 2 nδ n,m De ortonormale polynomier P n er især nyttige ved teoretiske overvejelser, men de klassiske ortogonale polynomier er sædvanligvis givet som p n = k n P n med en passende følge k n

4 Christian Berg Normat 3/26 Lad os se på nogle vigtige eksempler i følgende skema: Sandsynlighedsmål Momentfølge Ortogonale polynomier (/ π)e x2 dx { s2n = 3 (2n ) s 2n+ = Hermite polynomier e x ], [ (x) dx s n = n! Laguerre polynomier ],[ (x) dx s n = /(n + ) Legendre polynomier e a k= ak k! δ k s n = e a k= kn a k k! Charlier polynomier I dette skema har de tre første mål tætheder med hensyn til Lebesgue målet, medens det sidste mål er diskret og afhænger af en parameter a >, idet δ k betegner det sandsynlighedsmål, der har massen koncentreret i tallet k For et interval I betegner I indikatorfunktionen for I givet ved I (x) = {, for x I, for x / I Det skal bemærkes, at Legendre polynomierne ofte henføres til intervallet ], [, og at der for dette interval betragtes familien af Jacobi polynomier hørende til målet c(α, β)( x) α ( + x) β ],[ (x) dx, idet konstanten c(α, β) er fastlagt, så målet bliver et sandsynlighedsmål Konstanten kan udtrykkes ved Euler s betaintegral, se feks [5], og man må kræve α, β > Legendre polynomierne (for ], [ ) hører til det specielle valg α = β = Normalt betragtes også mere generelle Laguerre polynomier end ovennævnte, idet man betragter målet Γ(α + ) xα e x ], [ (x) dx, hvor α > er en parameter Ved at have divideret med Euler s Gammaintegral fås et sandsynlighedsmål Laguerre polynomierne fra skemaet hører til α = Hermite, Laguerre og Jacobi polynomierne kaldes under et de klassiske ortogonale polynomier Man kan vise, at der ikke er andre muligheder (bortset fra skalering af intervallerne), hvis man samtidig ønsker, at polynomierne skal være løsninger til en differentialligning af anden orden Dette resultat går tilbage til Bochner (929) Der er også en række andre egenskaber, der karakteriserer de klassiske ortogonale polynomier, se f eks [2] Lad mig nævne nogle vigtige sandsynlighedsmål (også kaldet fordelinger), som ikke fører til ortogonale polynomier i sædvanlig forstand

5 Normat 3/26 Christian Berg For binomialfordelingen µ = N k= ( ) N r k ( r) N k δ k, k hvor < r < er en parameter, vil µ ikke tilhøre M da p = for p(x) = x(x ) (x N) Cauchy fordelingen /(π( + x 2 )) dx tilhører heller ikke M, men det er fordi den ikke har momenter af orden, idet x α er integrabel med hensyn til Cauchy fordelingen netop når α < Vedrørende den generelle teori for ortogonale polynomier henvises til de klassiske værker af Szegő [22] og Akhiezer [], til Chihara s bog [] og til det helt nye monumentale værk af Ismail [6] De vigtigste ortogonale polynomier optræder i det såkaldte Askey skema eller dets q-version Det er de polynomier der kan fremstilles som hypergeometriske funktioner eller q-hypergeometriske funktioner op til niveauet 4 F 3 henholdsvis 4 ϕ 3 Vi henviser også til Kaijsers artikel [7] om de ortogonale polynomier med hensyn til målet µ = 2 cosh( πx 2 ) dx Det er værd at bemærke, at skalarproduktet (3) kun afhænger af momenterne, for hvis m (4) p(x) = a k x k, q(x) = b l x l så finder vi k= (5) p, q = k= l= l= m s k+l a k b l, som fremhæver betydningen af matricerne s s s n s s 2 s n+ H n =, n =,,, s n s n+ s 2n kaldet Hankel matricerne Læg mærke til at det i, j te element i (n + ) (n + ) matricen H n er s i+j, idet der er tradition for at nummerere rækker og søjler fra til n Matricen H n er symmetrisk og den tilhørende kvadratiske form hænger sammen med skalar produktet p, p = (a, a,, a n )H n (a, a,, a n ) t, idet p er som i (4) og (a, a,, a n ) t er en søjlevektor Dette udtryk viser også, at matricen H n er positivt definit, og dermed er D n := det H n > for hvert n En berømt Sætning af Hamburger fra 92 karakteriserer momentfølgerne ved disse egenskaber: Lad (s n) være en reel talfølge med egenskaberne D n := det H n > for alle n og antag s = Så er (s n) momentfølge for et passende µ M

6 2 Christian Berg Normat 3/26 Det er iøvrigt en simpel øvelse i determinantteori at vise, at P n kan udtrykkes på følgende måde (idet vi sætter D = ) s s s n s s 2 s n+ (6) P n (x) = det Dn D n s n s n s 2n x x n Ved at udvikle determinanten efter sidste række ser man nemlig, at formlen (6) definerer et polynomium P n af n te grad og den ledende koefficient er (7) Dn /D n, så (i) er opfyldt For at se (ii) udnyttes også udvikling af determinanten efter sidste række, så for k n er s s s n P n (x)x k s s 2 s n+ dµ(x) = det Dn D n, s n s n s 2n s k s k+ s k+n som er for k < n fordi to rækker er ens, og for k = n er udtrykket lig med Dn D n D n = D n /D n Heraf fås altså, at P n er ortogonal på alle monomier x k med k n og dermed på alle polynomier af grad n Udnyttes dette kan vi skrive P 2 n(x) dµ(x) = D n /D n P n (x)x n dµ(x) =, og vi har vist, at også (ii) gælder 3 Christoffel-Darboux s summationsformel I teorien for Fourier rækker spiller Dirichlets kerne en vigtig rolle, idet den tillader beregning af rækkens afsnit I teorien for ortogonale polynomier spiller kernen (8) K n (x, y) = P k (x)p k (y) k=

7 Normat 3/26 Christian Berg 3 en analog rolle Ortogonaludviklingen for en funktion f med hensyn til (P n ) er den uendelige række c k P k (x), hvor c k = k= f(x)p k (x) dµ(x) Man ser let, at rækkens afsnit S n (x) = n k= c kp k (x) er bestemt ved formlen (9) S n (x) = f(y)k n (x, y) dµ(y) Der vides iøvrigt næsten intet om punktvis konvergens af ovenstående ortogonaludvikling i det generelle tilfælde Som optakt til Christoffel-Darboux s formel for kernen K n (x, y) skal vi først redegøre for et andet nøgleresultat om ortogonale polynomier Ortogonaludviklingen for xp n (x) er den endelige sum n+ () xp n (x) = c(n, k)p k (x), k= hvor c(n, k) = xp n (x)p k (x) dµ(x), k =,,, n + Polynomiet P n er ortogonalt på alle polynomier af grad n og specielt på xp k (x) for k n 2 Dette viser, at der er højst 3 led i summen () Sættes for n =,, () a n = xpn(x) 2 dµ(x), b n = xp n (x)p n+ (x) dµ(x), har vi klart c(n, n) = a n, c(n, n + ) = b n men også (for n ) c(n, n ) = xp n (x)p n (x) dµ(x) = b n Udnyttes, at den ledende koefficient i P n (x) er givet ved (7), så ser man let af (), at b n er givet ved udtrykket i følgende hovedresultat: Sætning 3 (Treleds-rekursionen) Lad følgerne (a n ), (b n ) være defineret ved () Så gælder xp n (x) = b n P n+ (x)+a n P n (x)+b n P n (x), n, xp (x) = b P (x)+a P (x) Videre gælder b n = Dn D n+ D n >, n

8 4 Christian Berg Normat 3/26 Ved at definere P = behøver man ikke huske specialtilfældet n = i treledsrekursionen Ved at udnytte denne 2 gange finder man ved lidt regning (x y)p k (x)p k (y) = b k (P k+ (x)p k (y) P k (x)p k+ (y)) b k (P k (x)p k (y) P k (x)p k (y)) Summeres dette udtryk for k =,,, n og udnyttes, at højresiden teleskoperer fås: Sætning 32 (Christoffel-Darboux s summationsformel) (x y)k n (x, y) = b n (P n+ (x)p n (y) P n (x)p n+ (y)) Vi skal nu give et andet udtryk for K n (x, y), som er afgørende for de talteoretiske aspekter af dette arbejde Det er uden videre klart, at vi kan skrive (2) K n (x, y) = hvor tallene a (n) i,j i= j= er entydigt bestemt og a(n) i,j a (n) i,j xi y j, = a(n) j,i Samles disse tal i en (n + ) (n+)-matrix A n = (a (n) i,j ), så er denne matrix den inverse til Hankel matricen H n: Sætning 33 Der gælder A n H n = H n A n = E n, idet E n er enhedsmatricen af orden n + Bevis For k < m er x k P m (x) dµ(x) =, så for k n er (3) x k K n (x, y) dµ(x) = k m= P m (y) x k P m (x) dµ(x) et polynomium i y af grad k På den anden side har vi x k K n (x, y) dµ(x) = ( s k+i a (n) i,j )yj, j= i= og derfor er i= s k+i a (n) i,j =, når k < j n, og når j = k er summen lig med koefficienten til y k i (3), altså netop lig med Dk /D k x k P k (x) dµ(x) = Pk 2 (x) dµ(x) =

9 Normat 3/26 Christian Berg 5 Da matricen H n A n er symmetrisk, viser ovenstående, at den er enhedsmatricen Selv om det ikke er relevant for denne fremstilling, er der god grund til at gøre opmærksom på, at treleds-rekursionen karakteriserer ortogonale polynomier Sætning 34 (Favard s Sætning) Lad (a n ), (b n ) være to vilkårlige reelle talfølger og antag at b n > for alle n Sæt P =, P = og definér polynomierne (P n ) n successivt ved treleds-rekursionen xp n (x) = b n P n+ (x) + a n P n (x) + b n P n (x), n Med disse forudsætninger findes µ M, så (P n ) er de ortonormale polynomier knyttet til µ Sætningen blev formuleret og bevist af Favard 2 i 935, men det er blevet påpeget, at resultatet har været kendt før i mindre eksplicit form, se [, p 2] 4 Legendre polynomier Vi skal nu studere tilfælde III i skemaet fra paragraf 2 Sætning 4 Polynomierne (4) p n (x) = n! Dn [x( x)] n, n er ortogonale med hensyn til målet µ = ],[ (x) dx, og de tilhørende ortonormale polynomier er givet ved (5) P n (x) = ( ) n 2n + p n (x) Polynomierne p n har heltallige koefficienter og er givet ved formlen (6) p n (x) = ( )( ) n n + k ( ) k x k k n k= Bevis Formel (4) kaldes Rodrigues formel efter den fransk matematiker og bankier O Rodrigues, om hvem der for nylig er udkommet en biografi [3] 2 J Favard(92-65), fransk matematiker Han tilbragte en periode omkring 925 i København for at studere næstenperiodiske funktioner hos Harald Bohr

10 6 Christian Berg Normat 3/26 O Rodrigues (794-85) Ved Leibniz formel for den n te afledede af et produkt af to funktioner følger straks, at polynomiet p n givet ved (4) er af n te grad og givet eksplicit ved (6) For en funktion f : [, ] R som er n gange kontinuert differentiabel på intervallet [, ], finder man ved gentagen partiel integration f(x)p n (x) dx = ( )n n! Anvendes dette på f(x) = x k, k n får vi [x( x)] n f (n) (x) dx x k p n (x) dx =, k < n; x n p n (x) dx = ( ) n [x( x)] n dx, men det sidste integral er let at regne ud til [x( x)] n dx = (n!)2 (2n + )! = (2n + ) ( 2n) Da p n har den ledende koefficient ( ) n( ) 2n n følger, at de ortonormale polynomier er givet ved (5) Bemærk, at p n () = for alle n Da momentfølgen er s n = /(n + ) ser vi, at Hankel matricen H n er en matrix af stambrøker 2 n+ 2 3 n+2 H n =, n+ n+2 2n+ altså Hilbert matricen fra indledningen Den er positivt definit og der gælder (7) D n = [(!)(2!) (n!)]4 (!)(2!) (2n + )! n

11 Normat 3/26 Christian Berg 7 For at se (7) bemærker vi, at den ledende koefficient til P n er Dn /D n = ) 2n 2n + ( n ifølge (7), altså ( ) 2 D n 2n = (2n + ) = D n n (2n + )!(2n)! (n!) 4, og heraf fremgår formel (7), som skyldes Hilbert, se [5] Det fremgår også, at /D n er et helt tal Der gælder imidlertid meget mere som påvist i [2]: Sætning 42 Den inverse matrix til Hilbert matricen har heltallige indgange Bevis Vi skal blot vise, at matricen A n har heltallige indgange Af (5) og (6) fremgår, at K n (x, y) = (2k + )p k (x)p k (y) k= har heltallige koefficienter til x i y j, men det er netop indgangene i matricen A n Bemærkning 43 I Choi s arbejde [2] kan man finde formlen (7), men også en eksplicit formel for elementerne i A n, som klart viser, at de er hele tal: ( )( )( ) 2 (8) a (n) n + + i n + + j i + j i,j = ( )i+j (i + j + ) n j n i i Choi giver ikke et detaljeret bevis for formlen Han nøjes med en bemærkning om, at den kan bevises ved induktion eller alternativt ved udnyttelse af en determinant formel, der går tilbage til Cauchy Hvis vi indsætter formlen (6) i udtrykket ovenfor for K n (x, y) finder vi følgende udtryk: (9) a (n) i,j = ( )i+j k=max (i,j) ( )( )( k k k + i (2k + ) i j k )( k + j Den identitet, der fremgår ved at sammenholde (8) og (9), kan vises ved induktion i n Kaldes den numeriske værdi af højresiden i (8) for R n og leddet i summen (9) for C k, så består induktionsskridtet i formlen R n+ R n = C n+, hvis bevis overlades til læseren k ) 5 Nogle polynomier relateret til Legendre polynomierne Målet µ = 2x ],[ (x) dx tilhører M og det har momenterne og n te Hankel matrix s n (µ) = 2 ( n + 2, H 2 n = i + j + 2 ), n =,, i,j n

12 8 Christian Berg Normat 3/26 Også i dette tilfælde har den inverse matrix A n heltallige indgange, idet de ortogonale polynomier kan udtrykkes ved Legendre polynomierne p n på følgende måde: Sætning 5 Polynomierne (2) r n (x) = p n(x) p n+ (x) 2x er ortogonale med hensyn til målet µ = 2x ],[ (x) dx, og de tilhørende ortonormale polynomier er givet ved (2) R n (x) = ( ) n n + r n (x) Polynomierne r n har heltallige koefficienter og er givet ved formlen (22) r n (x) = ( )( ) n n + k + ( ) k x k k n k= Bevis Da p n () = for alle n, er r n et polynomium af grad n, og det er klart ortogonalt på polynomier af grad n med hensyn til µ Da den ledende koefficient i r n er (23) og da ( ) 2n ( )n n + r n (x)x n dµ(x) = ifølge paragraf 4, ser man at r n (x) 2 dµ(x) = ( ) 2n + = ( ) n, n p n (x)x n ( ) n dx = (2n + ) ( ) 2n n ( 2n+ ) n (2n + ) ( ) 2n = n + n Dette viser, at de tilhørende ortonormale polynomier R n er givet ved (2) En lille regning med binomialkoefficienter leder fra (6) til (22) Bemærkning 52 Ved at udnytte (7) finder man i analogi med (7), at ( (24) det i + j + 2 ) n = (n + )! 2 n+ (!2! n!) 4 (!3! (2n + )!) 2 er en stambrøk, og at den inverse matrix til (/(i + j + 2)) n har det ij te element n ( )( )( )( ) k k k + i + k + j + ( ) i+j (2k + 2) i j k k k=max(i,j) ( )( )( )( ) n + i + 2 n + j + 2 i + j + i + j + = ( ) i+j (i + j + 2), n j n i i j som altid er et lige tal

13 Normat 3/26 Christian Berg 9 Substitutionen x = y i integralet r n (x)r m (x)2x dx = δ n,m n + viser, at polynomierne q n (x) = r n ( x) er ortogonale med hensyn til målet ν = 2( x) ],[ (x) dx M Momenterne er s n (ν) = ( n+2 2 x n 2( x) dx = og de tilhørende ortonormale polynomier Q n (x) er givet ved (25) Q n (x) = n + q n (x) Sætning 33 giver derfor i dette tilfælde, at Hankel matricen af stambrøker H n = ( ( i+j+2 2 ) ) i,j n har en invers med heltallige indgange Dette resultat er også inkluderet i [2] Ovenstående metode kan bruges til at udregne den inverse matrix til (/(α + i + j)) i,j n, α >, og som før ser man, at den har heltallige indgange for α =, 2, Vi henviser til [7] for detaljer ), 6 Mere om momentfølger En følge (s n ) kaldes en Stieltjes resp Hausdorff momentfølge, hvis den er momentfølge for et mål koncentreret på intervallet [, [ resp intervallet [, ] De tre sidste momentfølger i skemaet i paragraf 2 er alle Stieltjes momentfølger, og af dem er kun følgen /(n + ) en Hausdorff momentfølge Stieltjes karakteriserede Stieltjes momentfølgerne i et berømt arbejde [2], som først udkom efter hans alt for tidlige død i 894 Stieltjes karakterisering kan formuleres således: En følge (s n ) er en momentfølge for et mål µ M, som er koncentreret på [, [, hvis og kun hvis s = og der for alle n =,, gælder det(s i+j ) i,j n >, det(s i+j+ ) i,j n > Det er værd at bemærke, at Stieltjes arbejde udkom 25 år før Hamburgers Hvis man ønsker at læse om Stieltjes korte liv og karriere, og om hvorfor han forlod Holland og emigrerede til Frankrig, kan jeg anbefale [3]

14 Christian Berg Normat 3/26 Hausdorffs karakterisering af momentfølgerne for mål på intervallet [, ] udkom i 923 Vi henviser til [] for en formulering af og et bevis for Hausdorffs resultat Inspireret af arbejder om matematisk finansiering fandt Durán og forfatteren nogle nye metoder til at konstruere momentfølger udfra eksisterende Hausdorff momentfølger Sætning 6 Lad (a n ) være en Hausdorff momentfølge så a = og a n > for alle n Så er (26) s n = en Stieltjes momentfølge, og (27) t n = er en Hausdorff momentfølge a a a n, n, a + a + + a n, n, Beviserne findes in [8] og [9] Lad mig nævne, at starter man med Hausdorff momentfølgen s n = /(n+), så giver det første resultat, at s n = (n+)! er en Stieltjes momentfølge, hvilket ikke er overraskende, jfr Laguerre polynomierne Det andet resultat giver, at (28) t n = ( n+ ) er en Hausdorff momentfølge Idet afsnittene i den harmoniske række kaldes de harmoniske tal H n, har vi altså at t n = /H n+ er en Hausdorff momentfølge I [9] har vi bestemt det tilhørende sandsynlighedsmål på intervallet [, ] Konstruktionen i (27) kan itereres, og udføres iterationen ved, at man starter med følgen (/(n + )), kan man vise, at iterationen konvergerer og man får et fikspunkt, som er en Hausdorff momentfølge (m n ) karakteriseret ved den rekursive ligning (29) m =, ( + m + + m n )m n = Man finder m = , m 2 =, 2 4 I manuskriptet [] har vi bestemt det tilhørende sandsynlighedsmål µ på intervallet [, ], og det er mere kompliceret end man umiddelbart skulle tro Det involverer således en del kompleks analyse Funktionen F (x) = t x dµ(t), < x < viser sig at være entydigt bestemt ved betingelserne

15 Normat 3/26 Christian Berg (i) F () = (ii) log F (x) er konveks (iii) Der gælder funktionalligningen F (x) = F (x + ), < x <, F (x + ) hvilket er en formel analogi med Bohr-Mollerups karakterisering af Gamma funktionen I [8] gives en række eksempler på konstruktionen (26) Lad mig her blot nævne, at for givet < q < er a n = q n en Hausdorff momentfølge svarende til sandsynlighedsmålet δ q, og man finder så at (3) s n = (q q 2 q n ) = q (n+ 2 ) er en Stieltjes momentfølge Denne følge er faktisk indetermineret der er uendelig mange forskellige mål i M, som har denne momentfølge Et af dem er tæt forbundet med den logaritmisk normale fordeling i statistik, idet man ved lidt regning kan vise, at q 8 2π log(/q) Det diskrete sandsynlighedsmål x n x 2 exp ( c(q) k= (log x)2 2 log(/q) q (k+ 2 ) δq k ) dx = q (n+ 2 ) har også momentfølgen (3) Konstanten c(q) er bestemt ved formlen c(q) = k= q (k+ 2 ) Jacobi s berømte triple produkt identitet giver værdien for c(q), se [4] I arbejdet [2] har Richardson observeret, at matricen F F 2 F n+ F (3) 2 F 3 F n+2, F n+ F n+2 F 2n+ som indeholder reciprokke Fibonaccital, har en invers matrix med heltallige indgange I analogi med () kalder Richardson (3) for Filbert matricen Fibonaccitallene er givet som F =, F =, F 2 =,, idet de følgende er fastlagt ved rekursionsformlen F n+ = F n + F n, n

16 2 Christian Berg Normat 3/26 Vi henviser til [9] for udførlig information om Fibonaccitallene Richardson angiver en formel for indgangene i den inverse matrix, og beviset for formlen udføres med computeralgebra Formlen er iøvrigt helt analog med Choi s formel (8), men binomialkoefficienterne erstattes af, hvad man kalder fibonomialkoefficienter ( ) n := F nf n F n k+, k n, k F F F 2 F k idet tomme produkter sættes til Der gælder følgende variant af Pascal s trekant ( ) ( ) ( ) n n n = F k + F n k+, n > k, k F k F k F som viser, at fibonomialkoefficienterne er hele tal Fibonomialkoefficienterne omtales i [8] Det fik mig til at tænke på, om ovenstående matrix faktisk er en Hankel matrix hørende til et momentproblem, og om man kan bestemme de tilhørende ortogonale polynomier og opnå Richardsons resultat ved hjælp af Sætning 33 Det viser sig at være tilfældet, og de ortogonale polynomier er et specialtilfælde af de såkaldte Little q-jacobi polynomials, som tilhører q-versionen af Askey skemaet, men det vil føre for vidt at gå i detaljer med det i nærværende arbejde Læseren henvises til manuskriptet [7] Det skal dog nævnes, at matricen (3) ikke er positivt definit for alle n Det viser sig, at matricerne (32) (/F α+i+j ) i,j n er ikke-singulære uanset α =, 2,, og de inverse matricer har heltallige elementer Matricerne (32) er kun positivt definite for alle n, når α er et lige tal, og i dette tilfælde er talfølgen (F α /F α+n ) en momentfølge for sandsynlighedsmålet (33) µ α = ( q α ) hvor q αk δ q /φ, k k= (34) φ = + 5, q = Tallet φ kaldes det gyldne snit Hvis derimod α er ulige, er (F α /F α+n ) ikke en momentfølge i den forstand vi har diskuteret det her, men den er dog stadig momentfølge for udtrykket (33), som i dette tilfælde er et reelt mål med total masse Referanser [] N I Akhiezer, The classical moment problem Oliver and Boyd, Edinburgh, 965

17 Normat 3/26 Christian Berg 3 [2] W A Al-Salam, Characterization theorems for orthogonal polynomials, 24 In: Orthogonal Polynomials: Theory and Practice Ed P Nevai and MEH Ismail Nato ASI Series C, Volume 294 Kluwer, Dordrecht 99 [3] S Altmann, EL Ortiz, Editors, Mathematics and social utopias in France Olinde Rodrigues and His Times History of Mathematics 28, American Mathematical Society 25 [4] R Askey, Ramanujan s extension of the gamma and beta functions, Amer Math Monthly 87 (98), [5] GE Andrews, R Askey and R Roy, Special functions Cambridge University Press, Cambridge 999 [6] C Berg, Indeterminate moment problems and the theory of entire functions, J Comput Appl Math 65 (995), [7] C Berg, Fibonacci numbers and orthogonal polynomials Udkommer i J Comput Appl Math [8] C Berg, A J Durán, A transformation from Hausdorff to Stieltjes moment sequences, Ark Mat 42 (24), [9] C Berg, A J Durán, Some transformations for Hausdorff moment sequences and harmonic numbers, Canad J Math 57 (25), [] C Berg, A J Durán, The fix-point for a transformation of Hausdorff moment sequences and iteration of a rational function Manuskript [] T S Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, New York-London-Paris, 978 [2] Man-Duen Choi, Tricks or Treats with the Hilbert Matrix, Amer Math Monthly 9 (983), 3 32 [3] G van Dijk, Thomas Joannes Stieltjes: Honorary Doctor of Leiden University, The Mathematical Intelligencer 6 no (994), Springer Verlag, New York [4] G Gasper and M Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, Cambridge 99, second edition 24 [5] D Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, Acta Math 8 (894), ( in Gesammelte Abhandlungen II, Berlin 933) [6] M E H Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, Cambridge 25 [7] S Kaijser, Några nya ortogonala polynom, Normat 47 (999), [8] D E Knuth, The Art of Computer Programming Vol, 2nd Ed, Addison-Wesley, 973 [9] T Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers With Applications, John Wiley, New York, 2 [2] T M Richardson, The Filbert matrix, Fibonacci Quart 39 no 3 (2), [2] T J Stieltjes, Recherches sur les fractions continues Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse 8 (894), 22, 9 (895), 5 47 [22] G Szegő, Orthogonal Polynomials, fourth edition American Mathematical Society, Providence, 975