GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK

Transkript

1

2 GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK

3 GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK Søre Halse Erik Laage-Peterse Jes Peter Touborg GYLDENDAL

4 Gyldedals miilex Matematik. e-udgave, 2007 ISBN Gyldedalske Boghadel, Nordisk Forlag A/S, Købehav Dee bog er beskyttet af lov om ophavsret. Kopierig til adet ed persolig brug må ku ske efter aftale med forlag og forfatter. Forlagsredaktio: Søre Ludberg Omslag: Carste Schiøler Omslagsfoto: Foci/SPL Illustratioer: Ole Straarup: side 3, 233 og 237 Albrecht Dürer: side 79 og 222 Johaes Kepler: side 239 Gyldedals billedbibliotek side 27 De øvrige illustratioer er fremstillet af forfattere (Bogudgave: ISBN )

5 Forord Dette leksiko heveder sig til alle, der beskæftiger sig med eller iteresserer sig for matematik og matematiske begreber. De primære målgruppe er elever på de gymasiale uddaelser og studerede på de videregåede uddaelsers første år. Boges opslag er så vidt muligt udvalgt efter begreber, ma ka forvete at fide i lærebøger på disse uddaelser, me udvælgelse afspejler også forfatteres matematiske iteresser. Derfor vil ogle læsere måske lede forgæves efter e del opslag fra etop deres iteresseområder. De ekelte opslag er søgt skrevet, så læsere hurtigt ka få e præcis forklarig på det matematiske begreb, som behadles det pågældede sted. Opslagee er som hovedregel korte, me fyldestgørede og ofte med illustrerede eksempler; desude føres læsere via hevisiger til beslægtede begreber, hvorved ha ka få e vis idsigt i de sammehæg, der er i matematikke. De fleste opslag er tilstræbt at kue læses selvstædigt ude særlige forkudskaber, me dog baseret på, at læsere har et kedskab til matematik svarede til de gymasiale uddaelsers første år. lærebøger ka præstere; derfor fides der æste ige beviser for påstadee i boge. Vi har i vid udstrækig søgt at poitere, at matematik er resultatet af meeskers bestræbelser; således har mage begreber av efter e eller flere matematikere. Der vil da være e kort beskrivelse af disse persoer og e agivelse af, hvorår de virkede; herved fremtræder også e form for kroologi. Vi håber med dee bog at medvirke til at fastholde et ordforråd, forakret i e faglig traditio, der er tilstrækkeligt omfattede til at behadle matematiske emer af e vis dybde på dask. Bagest i boge er der e kort formelsamlig. Søre Halse Erik Laage-Peterse Jes Peter Touborg Opslag, der umiddelbart ligger ud over de gymasiale uddaelser, er markeret med e stjere (*), og hevisiger til adre opslag er markeret med e pil ( ). Nogle opslag er blevet forholdsvis lage, fordi vi udertide har valgt at hevise e forklarig til et adet opslag. Ekelte gage behadles begreber flere steder, fx er opslaget ikke-euklidisk geometri også forklaret uder det lægere opslag geometri. Det er klart, at et opslagsværk ikke ka give de mere dybtgåede forklarig, som 5

6

7 A abacus, e kugleramme, der har været kedt side oldtide. de positive tal med kompositioe (multiplikatio). Abels test* for koverges af e uedelig række: Hvis { b } er e begræset og mooto talfølge, og hvis række er koverget, så er også række koverget. a = ab = abelsummatio*, se summabilitet. På billedet ses e kiesisk kugleramme, som de bruges i dag i kiesiske supermarkeder. abelsk summatio (partiel summatio)*, for vilkårlige talfølger { a } og { b }, hvor Ak = a i, gælder formle k i= ab k k= Ak( bk bk+ ) + Ab + Am bm k= m k= m Formle har av efter de orske matematiker Niels Herik Abel (802-29), et af matematikkes største taleter. Abel har ydet bidrag til flere områder ide for aalyse og algebra(), bladt adet elliptiske fuktioer (se elliptisk itegral), uedelige rækker, grupper og ligigsløsig. Abel gav i 826 et bevis for, at det ikke i almidelighed er muligt at løse ligiger af femte eller højere grad ved hjælp af roduddragig. abelsk gruppe*, e gruppe, hvor kompositioe er kommutativ. Mægde af hele tal med kompositioe + (additio) udgør e abelsk gruppe, det samme gør abscisse, førstekoordiate x i koordiatsættet ( x, y ) for et pukt i et retviklet koordiatsystem i plae. Førsteakse kaldes abscisseakse eller x-akse. Adekoordiate y kaldes ordiate, og adeakse kaldes ordiatakse eller y-akse. absolut værdi, d.s.s. umerisk værdi. For et komplekst tal er absolutværdie d.s.s. modulus. absolut koverget*, e uedelig række i 2 i= a = a + a a +... siges at være absolut koverget, hvis række af umeriske værdier i 2 i= a = a + a a +... er koverget. Absolut koverges af e række er e tilstrækkelig, me ikke ødvedig betigelse for koverges. Fx kovergerer række (-) +... mod tallet l(2), mes de harmoiske række, 7

8 A er diverget. Se også betiget koverges. acceleratio, se hastighed. acceptmægde, se hypotesetest. added, se additio. additio er e af de elemetære regearter, me additio avedes forude på tal også på fx vektorer og matricer. Ma bruger samme betegelse for disse operatioer, da der gælder de samme regler som for additio af tal. Når størrelser adderes, siger ma, at de pågældede størrelser lægges samme. Størrelsere kaldes addeder eller led, og de forbides med et plusteg +, uaset om der er tale om tal, vektorer, matricer eller adre størrelser. Resultatet af additioe kaldes e sum. Ved additio må ma sætte pareteser og ombytte addeder, som ma vil; det vil sige, at additio er kommutativ og associativ. additiosformler, regeregler der udtrykker fuktioers værdier for sum og differes. Et eksempel fra trigoometri er cos( x y) = cos( x)cos( y) + si( x)si( y ), se i øvrigt formelsamlige. additiospricip, ved e valgproces, hvor der ud af e række mægder skal vælges i alt é gestad, er atallet af valgmuligheder lig med summe af atallet af elemeter i de pågældede mægder. Hvis ma for eksempel på et spisekort ka vælge mellem 3 fiskeretter og 4 kødretter og ku vil have é ret, så er atallet af valgmuligheder 3+ 4= 7. Sammelig multiplikatiospricip. additiv fuktio, e reel fuktio f, der opfylder fuktioalligige f( x+ y) = f( x) + f( y ) for alle x og y. De eeste kotiuerte additive fuktioer er fuktioere f( x) = cx, me der fides ikke-kotiuerte fuktioer, der er additive. Se også homomorfi og multiplikativ fuktio. adjugeret (hermitesk)*, de adjugerede afbildig T til e lieær afbildig T i et edelig-dimesioalt vektorrum med skalarprodukt er e lieær afbildig med de egeskab, at Tx, y = x, T y for alle x og y. Matrice for T fås ved traspoerig af matrice for T og komplekskojugere elemetere, hvis vektorrummet er komplekst (se adjugeret matrix (hermitesk adjugeret)). Hvis fx T er de affie afbildig i plae, der består af e drejig på 30 o mod uret og e multiplikatio med 2 med hesy til (0,0), har T matrice 3 3 Matrice for T er 3 3, og T er e drejig i plae på 30 o med uret og e multiplikatio med 2 ud fra (0,0). I uedelig-dimesioale vektorrum defieres begrebet adjugeret også ved ligige Tx, y = x, T y, som dog ikke ødvedigvis gælder for alle x og y. E lieær afbildig T kaldes selvadjugeret eller hermitesk, hvis T = T (heruder hører, at defiitiosmægdere er es). I visse fremstilliger, ofte i fysisk litteratur, kaldes de adjugerede for de hermitesk kojugerede. adjugeret (i dualrum)*, hvis T er e lieær afbildig af et vektorrum V id i et vektorrum W, er de adjugerede T e lieær afbildig af dualrummet W til W id i dualrummet V til V, defieret 8

9 ved ligige ( T y )( x) = y ( Tx) for alle x i V og alle y i W. I ogle fremstilliger kaldes T for de traspoerede til T (se traspoerig). Hvis V og W er edelig-dimesioale, ka T repræseteres ved e matrix. T repræseteres da af de adjugerede matrix (hermitesk) og ka opfattes som e lieær afbildig af W id i V. adjugeret matrix (hermitesk adjugeret)*, de adjugerede matrix til matrice T med elemetere t ij er de traspoerede matrix T med elemetere t ij = t ji. I det komplekse tilfælde skal elemetere edvidere kompleks kojugeres. Hvis T 2, er T = = De adjugerede til e m matrix er således e m matrix. Hvis e matrix repræseterer e lieær afbildig, repræseterer de adjugerede matrix de adjugerede afbildig. Se de to foregåede opslag om adjugeret. adjugeret matrix (algebraisk adjugeret)*, de adjugerede matrix adj(t) til e kvadratisk matrix T er de traspoerede [ K af matrice ij ] T [ K ij ] af komplemeter til T. Hvis matrice er ivertibel, er adj( ) det( ) T = T T. afbildig (fuktio), e afbildig ka for eksempel være givet ved e forskrift 2 som f( x) = x + 3eller gx ( ) = x 5x + 6. E forskrift avedes ved at erstatte x med et kokret tal. På de måde fremkommer fuktiosværdier som fx f() og g (4) : 2 f () = + 3 = 4 og g (4) = = 2. E fuktio ka også være fastlagt ved e tabel eller e graf som heruder, der viser grafer for de samme to fuktioer f(x) og g(x): f(x) g(x) A Ma beytter ofte forskrifte som betegelse for fuktioe, så ma taler om fuktioe f( x) = x + 3 eller blot om fuktioe x + 3. Mere geerelt er e afbildig af e mægde A id i e mægde B e regel, der til ethvert elemet i A kytter et étydigt bestemt elemet i B. Afbildiger avgives ofte med små bogstaver f, g,.... At f er e afbildig af A id i B skrives symbolsk f : A B. Det elemet i B, der kyttes til et elemet a i A, beteges f( a ) og kaldes for billedet af a ved afbildige f. Elemetet f( a ) udtales f af a. Mægde A kaldes for defiitiosmægde (eller primærmægde) for afbildige f, og beteges ofte med Dm( f ). Mægde B kaldes ofte for sekudærmægde, mes de delmægde af B, der består af billedere af elemetere i A, kaldes værdimægde eller billedmægde for f og beteges Vm( f ) eller f( A ). At elemetet f( a ) er étydigt bestemt, idebærer, at hvert elemet a ku har ét billede ved e afbildig. På grafer som de oveståede betyder dette, at der ku ka være ét pukt på grafe med e bestemt x-værdi. E kurve, der passerer heover sig selv, er således ikke graf for e fuktio. Derimod ka forskellige elemeter i defiitiosmægde have det samme billede. Det gælder fuktioe gx ( ) ovefor, idet fx og 4 begge har billedet 2: g () = 2 og g (4) = 2. E afbildig f kaldes ijektiv, hvis forskellige elemeter i defiitiosmægde 9

10 A altid har forskellige billeder. Dvs. hvis x x 2, så er f( x) f( x 2). E ijektiv afbildig kaldes e ijektio. Fuktioe gx ( ) = x 5x + 6 ovefor er så- 2 ledes ikke ijektiv, hvorimod fuktioe f( x) = x + 3 er ijektiv. Tildelige af et persoummer til ethvert medlem af de daske befolkig ka opfattes som e ijektiv afbildig af mægde af daskere id i mægde af aturlige tal. E surjektio er e afbildig f : A B, hvis værdimægde er hele B, dvs. Vm( f) = B. E afbildig, der både er ijektiv og surjektiv, siges at være bijektiv og kaldes e bijektio. I ogle fremstilliger avedes ordee afbildig og fuktio syoymt, me de fleste steder avedes ordet fuktio især, år primær- og sekudærmægde er talmægder. Afbildigsbegrebet er et cetralt begreb i matematik, og der fides mage typer af afbildiger med særlige egeskaber. Se affi afbildig, homeomorfi, homomorfi, isomorfi, lieær afbildig, samt e række specielle fuktioer. Se også afhægig variabel. affi afbildig, d.s.s. affiitet. E affi afbildig er e afbildig i plae, i rummet eller i et vilkårligt -dimesioalt euklidisk rum med de egeskab, at hvis tre pukter ligger på lije, så gælder dette også billedere af puktere. Sammesætig af to affie afbildiger er ige e affi afbildig. Parallelforskydiger, drejiger, ligedaetheder og spejliger er eksempler på affie afbildiger. I plae betragtes specielt rette og skæve affiiteter. E ret affiitet fastlægges ved e lije l, der kaldes affiitetsakse, og et tal k, forvadligstallet. Lad P være et vilkårligt pukt, og lad Q være projektioe af P vikelret på l. f(p) Billedet f( P ) fremkommer ved at afsætte et lijestykke med lægde k QP ud fra Q lags lije geem P. Lijestykket afsættes i retig mod P, år k er positiv, og i modsat retig, år k som på figure er egativ. På figure er k = 2. E ret affiitet med forvadligstal 0 er e projektio vikelret på affiitetsakse, og e ret affiitet med forvadligstal er e spejlig i affiitetsakse. E skæv affiitet er fastlagt ved tilsvarede operatioer med de forskel, at P ikke projiceres vikelret på l, me i e retig som fx er givet ved e vektor a. Både for e ret og e skæv affiitet er pukter på affiitetsakse fixpukter for affiitete, dvs de flyttes ikke. E affi afbildig f ka betragtes som e vektorafbildig ved at opfatte vektorere som stedvektorer for pukter: Lad p være e vektor og P puktet med stedvektore OP = p. Lad Pf = f ( P ), så defieres f( p ) som stedvektore til P f, altså f( p) = OPf. Ehver affi afbildig f ka opfattes som e lieær afbildig efterfulgt af e parallelforskydig. Hvis p er stedvektor for P, er stedvektore til f(p) givet ved Ap+ q, hvor A er e lieær afbildig og q e vektor. 2 Hvis for eksempel q =, 3 og A er repræseteret af matrice 0 0, vil de affie afbildig afbilde et pukt i plae over i dets spejlbillede i førsteak- Q P I 0

11 A se og derefter forskyde dette 2 eheder i førsteakses retig og 3 eheder i adeakses retig. 0 p P Ap q f(p) Ved determiate af f forstås determiate af de lieære afbildig A (egl. determiate af de matrix, der repræseterer A). Ehver affi afbildig i plae, hvis determiat er forskellig fra ul, ka frembriges ved sammesætig af e ret affiitet efterfulgt af e ligedaethed. E affi afbildig med positiv determiat siges at bevare orieterige. I plae betyder dette at bevare omløbsretige, og i rummet at et højresystem af tre vektorer givet ved fire pukter afbildes i et højresystem, se højre-koordiatsystem. affiitet, se affi afbildig. affiitetsakse, se affi afbildig. afhægige hædelser, se uafhægige hædelser. afhægig og uafhægig variabel, i forskrifte y = f( x ) kaldes x de uafhægige og y de afhægige variabel. Betegelsere afhægig og uafhægig heviser til, at værdie y = f( x ) i værdimægde er etydigt bestemt af valget af x i defiitiosmægde. afledet fuktio, se differetialkvotiet. afrudig, e (evt. uedelig) decimalbrøk afrudes, år ma vælger e tilærmet værdi med et edeligt atal decimaler efter kommaet. Det er sædvae at forhøje sidste decimal i afrudige, hvis de efterfølgede decimal i de opridelige fremstillig er 5 eller derover. Brøke 5/8 = 0,625 vil således afrudet til to decimaler have de tilærmede værdi 0,63. Ved e afrudig vil der kue optræde e afrudigsfejl. Hvis der afrudes til fx to decimaler, er dee fejl højst 0, Ved afrudig til decimaler er afrudigsfejle højst lig med 0,5 0. Hvis e decimalbrøk eder på lutter italler, fx 3, , ka der tilsyeladede ske e vis afrudig ude oge afrudigsfejl, idet 3, = 3,. Me her er slet ikke tale om e afrudig, blot at tallet ka skrives på to måder. afsluttet mægde*, d.s.s. lukket mægde. afsit i e række*, afsitsfølge*, se række. afstad, i euklidisk geometri er afstade mellem to pukter lægde af det lijestykke, der forbider de to pukter. Ved afstade fra et pukt til e lije forstås de vikelrette afstad mellem puktet og lije. lije pukt afstad Afstade mellem to parallelle lijer er afstade fra et vilkårligt pukt på de ee lije til de ade lije. Eksempler fides i formelsamlige. I almidelighed defieres afstade mellem to vilkårlige geometriske objekter som de midste af alle afstade fra et pukt i de ee mægde til et pukt i de ade.