Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative"

Transkript

1 Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative a) algebraisk introduktion b) tableau form c) opstilling af initialt tableau d) opdatering af tableauer e) identifikation af optimal løsning

2 Derefter: uligheder af typen ˆ eller é -> Big-M metoden negative højresider minimeringsproblemer identifikation af infeasibility unboundedness alternative optimalløsninger degenererede løsninger Endelig tilfældet med frie variable (ej i lærebog)

3 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x, x2 ˆ 0 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x, x Ç s, s, s ˆ Tegn mulighedsområdet og løs grafisk!

4 Ligningssystemet ()-(3) består af 3 ligninger i 5 ubekendte. Et ligningssystem med flere ubekendte end antallet af ligninger har sædvanligvis uendeligt mange løsninger. Men vi ved fra den grafiske metode, at optimum til LP findes i et hjørnepunkt. Og hjørnepunktsløsninger svarer til såkaldte basisløsninger. H/033>39 En basisløsning til et ligningssystem bestående af 7ligninger i ubekendte med ˆ7findes ved at fixere ( 7) ubekendte til 0 og løse det resulterende ligningssystem bestående af 7 ligninger i 7 ubekendte. De ( 7) fixerede variable betegnes ikkebasisvariable og de resterende 7 variable basisvariable.

5 I det foreliggende problem findes således potentielt î ü x 5ô4ô3ô2ô é é (2 ) (3 2 ) é 0 basisløsninger. 7 7¹xô7x ô ô ô ô x, " x, 2 s " (og s2 é s3 é 0) x, " x, 2 s 2 (og s é s3 é 0) x, " x, 2 s 3 (og s é s2 é 0) x ", s, s 2 (og x2 é s3 é 0) x ", s, s 3 (og x2 é s2 é 0) x ", s 2, s 3 (og x2 é s é 0) x 2, s, s 2 (og x é s3 é 0) x 2, s, s 3 (og x é s2 é 0) x 2, s 2, s 3 (og x é s é 0) s, s, s (og x é x é 0) " Find disse grafisk! Identificer nogle af basisløsningerne! Bemærk: Kun 5 af de ialt 0 potentielle basisløsninger er brugbare.

6 Betragt igen problemet i standard form: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x, x Ç s, s, s ˆ Bemærk: I enhver række findes netop 'en variabel med koefficient '' i pågældende række og koefficient '0' i alle øvrige rækker - nemlig slackvariablen i rækken. Det er derfor meget let at finde en initial basisløsning ved at sætte (x, x 2) é (0, 0) og løse det resulterende ligningssystem (s, s 2, s 3) é (50, 20, 300)

7 Denne løsning kan findes ved opstilling af første del af det initiale simplex tableau: x x2 s s2 s3 Basis cb s s s Er den aktuelle basisløsning bestående af (s, s, s ) 2 3 optimal? Observation: En basisløsning er optimal, hvis der ikke findes en nabobasis, der kunne give en bedre objektivfunktionsværdi. En nabobasis findes ved at fixere en aktuel basisvariabel til værdi 0 og frigøre en aktuel ikke-basisvariabel fra dens p.t. fixerede værdi 0. Vi skal altså undersøge, om en tilvækst i enten x eller x 2 (de aktuelle ikke-basisvariable) kan indebære en stigning i z.

8 Lad os først se på ligningssystemet for x : s é 50 3x () s 2 é 20 (2) s é 300 x (3) 3 Heraf følger at hvis x øges med enhed så ) falder s med 3 enheder, 2) s 2 er uændret, og 3) s 3 falder med enheder. Hvordan påvirker dette objektivfunktionen? s 3 ² fald i z på 0 ô3 s 2 uændret ² fald i z på 0 ô0 s3 ² fald i z på 0 ô hvilket indebærer at nettoændringen i z fremkaldt af ændringen i de aktuelle basisvariable som følge af en tilvækst på en enhed i x er 0. Denne ændring betegnes z. Men en tilvækst på en enhed i x indebærer også en tilvækst i z på 50 enheder, fordi x har en kriteriekoefficient c" på 50. Den samlede ændring i objektivværdien er derfor c z é 50 0 é 50

9 Lad os dernæst se på ligningssystemet for x : 2 s é 50 5x 2 () s 2 é 20 x 2 (2) s é 300 5x (3) 3 2 Heraf følger at hvis x øges med enhed så 2 ) falder s med 5 enheder, 2) s 2 falder med enhed, og 3) s 3 falder med 5 enheder. Hvordan påvirker dette objektivfunktionen? s 5 ² fald i z på 0 ô5 s2 ² fald i z på 0 ô s3 5 ² fald i z på 0 ô5 hvilket indebærer at nettoændringen i z fremkaldt af ændringen i de aktuelle basisvariable som følge af en tilvækst på en enhed i x 2 er 0. Denne ændring betegnes z 2. Men en tilvækst på en enhed i x 2 indebærer også en tilvækst i z på 40 enheder, fordi x 2 har en kriteriekoefficient c2 på 40. Den samlede ændring i objektivværdien er derfor c2 z2 é 40 0 é 40

10 Vi kan i princippet gøre det samme for sættet af basisvariable. Her vil z 4 selvfølgelig altid være lig med den pågældende variabels egen kriteriekoefficient og c4 z 4 derfor altid lig 0. Disse informationer kan nu gengives i simplextableauet: x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z Det stærkt optrukne angiver objektivfunktionens aktuelle værdi og findes ved $!cbbi é 0ô 50 0ô 20 0ô300 é 0 i 3é" Tallene i c z rækken viser, at objektivværdien vil vokse med 50 enheder hver gang x øges med enhed, og at objektivværdien vil vokse med 40 enheder hver gang x 2 øges med enhed.

11 Den aktuelle basis er derfor ikke optimal, fordi en nabobasis omfattende enten x eller x 2 forventes at give en bedre objektivfunktionsværdi. Observation: Vi vælger at introducere den p.t. ikke-basisvariabel i basen, der giver den størst mulige tilvækst pr. enhed. Derfor introduceres x i basen.

12 Hvis x skal ind i basen, d.v.s. frigøres fra den p.t. fixerede værdi 0, skal en af de aktuelle basisvariable ud, d.v.s. fixeres til værdi 0. En tilvækst på en enhed i x øger z med 50 enheder. Vi ønsker derfor at lade x vokse så meget som overhovedet muligt. Men x kan kun vokse, indtil den første aktuelle basisvariabel når sit lower bound på 0 - en yderligere tilvækst i x vil indebære at denne basisvariabel bliver negativ og dermed infeasibility. Observation: Den udgående basisvariabel er den, der først falder til værdi 0, når den indgående variabels værdi øges. Den maximale tilvækst i x er derfor defineret ved det minimal ratio mellem de aktuelle højresider og de positive elementer i x søjlen. Husk at et 0 element betyder, at den modsvarende basisvariabel ikke ændres, og at et negativt element vil betyde, at den stiger! Det mindste ratie er derfor minimum( é 50, é 37.5) s vil derfor først antage værdien 0, når x vokser, og 3 det vil ske når x antager værdien Vi betegner x søjlen som pivotsøjlen, fordi x er indgående p.t. ikke-basisvariabel, og s rækken som 3 pivotrækken, fordi s er udgående variabel. Og 3 elementet i snittet mellem pivotsøjle og pivotrække betegnes pivotelementet.

13 Problemet består nu i at finde den nye basisløsning svarende til sættet af basisvariable (s, s 2, x ). Dette gøres ved at lade x overtage s 3's rolle. Betragt det nye ligningssystem: 3x s é 50 5x 2 () s 2 é 20 x 2 (2) x é 300 5x2 s 3 (3) der skal løses med x og s fixeret til 0. Dette kan ske v.h.a. 2 3 elementære rækkeoperationer med udgangspunkt i simplex tableauets pivot række. Elementære rækkeoperationer består af: ) Multiplikation af en række med et tal 0. 2) Addition eller subtraktion af (evt. multiplicerede) rækker. Bemærk, at elementære rækkeoperationer ikke påvirker ligningssystemets løsning, fordi der hele tiden skaleres, adderes eller subtraheres det samme på højre- og venstresider. At lade x overtage s 3's rolle betyder, at den aktuelle x søjle 3 ¹ 0 ¹ 0 ¹ skal transformeres fra 0 til 0, idet 0 er s º º º 3 søjlens aktuelle værdi. Dette sker ved elementære rækkeoperationer, der altid startes med at transformere pivotelementet til værdi, d.v.s. division med i pivotligningen:

14 x é (300 5x2 s 3) (3C) x é x2 s 3 (3C) x 's koefficient på 3 i ligning () skal nu konverteres til et 0 med udgangspunkt i (3C). Det sker ved at multiplicere (3C) med 3 og trække dette fra (): ( ) é () 3 ô(3 ) C C 3x s é 50 5x 2 () 5 3 3x é 2.5 x2 s 3 3 ô(3 C ) 25 3 s é 37.5 x2 s 3 (C) x skal også have koefficienten 0 i ligning (2). Men det har x allerede, så en elementær rækkeoperation er ej nødvendig. Vi har dermed fundet den nye basisløsning: 25 3 s é 37.5 x2 s 3 (C) s 2 é 20 x 2 (2C) 5 x é 37.5 x2 s 3 (3C) d.v.s. basisvariable (s, s 2, x ) é (37.5, 20, 37.5) og ikkebasisvariable (x 2, s 3) é 0. _ De 3 ligninger i det opdaterede system betegnes (), (2), (3). Den modsvarende objektivfunktionsværdi beregnes let til 0 ô ô ô37.5 é 75.

15 Disse beregninger kunne lige så let være foretaget med udgangspunkt i simplextableauet: x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z x x2 s s2 s3 Basis cb s s x z 50 4 c z Dette er det opdaterede simplex tableau. Her er også beregnet z 4 og c4 z 4. z 4 findes som ovenfor ved at tage summen af elementerne i cb-søjlen ganget med de modsvarende elementer i hhv. x-, x 2, s-, s2- og s3-søjlen. z for x -søjlen beregnes således som 4 2

16 (0ô 0ô 50 ô ) é. Det betyder, at ændringen i de aktuelle basisvariable fremkaldt af en tilvækst på enhed i x 2 vil indebære et fald i 250 objektivfunktionsværdien på enheder. Men en tilvækst i x 2 på en enhed vil samtidig give en tilvækst i objeltivfunktionsværdien svarende til x 2's egen kriteriekoefficient på 40. Nettoeffekten ved at løfte x 2 fra aktuel værdi 0 til er derfor 40 é som anført i c4 z4i x2-søjlen. Øvrige elementer i c4 z4-rækken fortolkes tilsvarende. Er tableauet optimalt, d.v.s. er den aktuelle basisløsning optimal? Vi checker, om der i c4 z 4 rækken er strengt positive elementer. x 2 har som den eneste p.t. ikkebasisvariabel et positivt element i denne række og skal derfor bringes til basis. Vi ønsker selvsagt at øge x 2 så meget som muligt, fordi enhver tilvækst på en enhed giver en 70 2 tilvækst i objektivfunktionsværdien på enheder. x kan kun øges, indtil den første p.t. basisvariabel antager værdien 0. Denne identificeres ved rækken, hvor ratiet mellem en aktuel højreside og et positivt element i x -søjlen er minimalt. Husk at tallene (,, ) i x -søjlen angiver den negative ændring i basisvariablene s, s 2 og x ved en tilvækst på en enhed i x min(, 20, ) é min(2, 20, 60) é 2 2

17 Vi finder altså mindste ratiet i s-rækken. x2-søjlen er derfor 25 pivotsøjle, s2-rækken er pivotrække, og elementet pivotelement. x 2 skal således introduceres i basis og s gøres til ikke-basisvariabel. Det betyder, at x -søjlen skal konverteres 2 til den aktuelle s -søjle v.h.a. elementære rækkeoperationer med udgangspunkt i pivotrækken. _ (C) é () 25 _ (2 ) é 2) ( ) C C _ (3C) é (3) 5 (C) Disse rækkeoprationer fører til følgende opdaterede simplextableau: x x2 s s2 s3 Basis cb x s x z c z Dette tableau er optimalt, fordi alle elementer i c er mindre end eller lig med 0. z rækken

18 Algoritme: En algoritme er en systematisk procedure, der med udgangspunkt i en initial situation i et antal såkaldte iterationer terminerer i en optimal situation. Simplex algoritmen for LP i standard form, d.v.s. et maximeringsproblem, alle uligheder af typen ì, alle højre-sider ikke-negative, og alle variable ikke-negative: ) Formuler LP. 2) Introducer slack variable -> slacks identificerer initial basisløsning. 3) Konstruer initialt simplex tableau. 4) Vælg p.t. ikke basis-variabel med maximal ikke-negativ værdi i c4 z4-rækken. Hvis intet element i denne række er strengt positivt, STOP; aktuel basis er optimal. ELLERS introducer pågældende variabel i basis; den hertil svarende søjle betegnes pivot søjlen. 5) Identificer udgående p.t. basisvariabel ved mindste ratiet mellem de aktuelle højresider og de ikke negative elementer i pivotsøjlen. Rækken hvori dette mindste ratio findes betegnes pivotrækken. Den aktuelle basis variabel i denne række er den første basis variabel, der antager værdi 0, når værdien af den indgående p.t. ikke-basis variabel øges. Denne basis variabel betegnes udgående. 6) Opdater basisløsningen ved elementære rækkeoperationer. Den indgående variabels søjle skal transformeres til en enhedssøjle med''-tallet i pivotrækken. Gå til 4). 4)-6) udgør en simplexiteration. 4) definerer et optimalitetstest.

19 Observation: 7 max! c x!! s 3 4é" 3é" s.t.! a x s é b Ç 3 é "Ç ÆÆÆÆÇ 7 4é" x Ç s ˆ!Ç 4 é "Ç ÆÆÆÆÇ Ç 3 é "Ç ÆÆÆÆÇ Initialt simplextableau i generel form: x. x4 Æ xn x n+. x n+ 3. xn+m Basis cb c. c4 Æ c n s 0 a. a 4 Æ a b..... Æ s 0 a. a Æ a n b Æ Æ Æ Æ. Æ Æ Æ Æ.. Æ Æ s 0 a. a Æ a b n m m m4 mn m z! c a.! c a.! c a ! c b 4 B3 3 B3 34 B3 3n B3 3 3é" 3é" 3é" 3é" c z c-! c a. c-! c a. c-! c a B3 3 4 B3 34 n B3 3n 3é" 3é" 3é" Her svarer x n+ til s, x n+ 3 til s 3, og x n+m til s m. Bemærk at alle elementer i z 4 rækken i det initiale tableau er 0, fordi cb 3 é!ç 3 é "Ç ÆÆÆÆÇ 7, idet enhver basisvariabel er en slack med z rækken er derfor kriteriekoefficient 0. Alle elementer i c lig med c 4. Lad os nu se på det opdaterede tableau i en vilkårlig iteration:

20 . xb Æ x. i Nj Basis c B. cb Æ c. i Nj xb c B. 0 Æ a. b Nj.... Æ... xb c B. Æ a. b 3 3 3Nj 3 Æ Æ Æ. Æ Æ Æ Æ xb c B. 0 Æ a mn. b m m j m 7 _ 7 z. c.! c a.!c _ b 4 B3 B3 3Nj B3 3é" 3é" 7 _ c z. 0. c -! c a. j j N B3 3N 3é" 3 Her svarer xb 3 -søjlen til den opdaterede søjle for den variabel, der er i basis i den 3'te række; det kan enten være en af de oprindelige x-variable eller en slack. Søjlen er i princippet en enhedssøjle med ''-tallet i 3'te række. xn 4 -søjlen svarer til den opdaterede søjle for den 4'te ikkebasis variabel; det kan enten være en af de oprindelige x-variable eller en slack. z4-indgangen i denne søjle måler her effekten på objektivfunktionen fremkaldt af den nødvendige ændring i sættet af basis variable ved en tilvækst fra 0 til i den pågældende ikke-basis variabel. Tilsvarende måler indgangen i c4 z4rækken nettoændringen i objektivfunktionsværdien ved en tilvækst fra 0 til i den pågældende ikke-basis variabel. Endelig angiver b-søjlen de opdaterede højresider, d.v.s. - ligningssystemets basisløsning givet sættet af aktuelle basisvariable.

21 x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z x x2 s s2 s3 Basis cb s s x z c z x x2 s s2 s3 Basis cb x s x z c z 0 0 0

22 Håndtering af LP i ikke-standard form: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x x 2 ˆ 25 x, x2 ˆ 0 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x x 2 s 4 é 25 (4) x, x Ç s, s, s, s ˆ Bemærk: Nu er en initial basis bestående af slack- og surplusvariable ikke længere brugbar, fordi

23 (x, x 2) é (0, 0) ² (s, s2çs 3, s 4) é (50, 20, 300, 25) hvilket betyder, at s er negativ. Problemet undgås ved en 4 kunstig udvidelse af mulighedsområdet. max 50x 40x 2 Ma4 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x x 2 s4 a 4 é 25 (4) x, x Ç s, s, s, s, a ˆ En initial basis bestående af (s, s, s, a ) er brugbar i ovenstående model, idet (x, x 2, s 4) é (0, 0) ² (s, s2çs 3, a 4) é (50, 20, 300, 25) Men en løsning til modellen er kun brugbar i den oprindelige model, hvis kunstvariablen a 4 antager værdien 0. Dette opnås ved at sætte M lig med et meget stort positivt tal, idet a 4 dermed aldrig kan indgå i en optimal basis (hvis det oprindelige problem har brugbare løsninger). Lad os herefter bruge simplex algoritmen på vanlig vis:

24 x x2 s s2 s3 s4 a4 Basis cb M s s s a4 M z4 M M M M 25M c z 50 M 40 M M 0 x x2 s s2 s3 s4 a4 Basis cb M s s s x z c z M 50 x x2 s s2 s3 s4 Basis cb s s s x z c z x x2 s s2 s3 s4 Basis cb x s s x z c z

25 Bemærk: Tableau no. 2 definerer en brugbar løsning til det oprindelige problem, fordi kunstvariablen antager værdien 0. a 4 vil aldrig indgå i basis igen, fordi værdien i c4 z 4 rækken altid vil nære negativ. Vi kan derfor i de følgende tableauer ignorere a4- søjlen. Sammenlign bevægelserne fra basis til nabobasis grafisk!

26 Håndtering af negative højre-sider: -> multiplicer med på begge sider. Håndtering af ligheder: ->! a x é b ² 4é" 3 3 Â Å Ã Å Ä! a x 4é"! a x 4é" ì b 3 3 ˆ b 3 3 Sammenfatning af procedurer til etablering af LP i tableau form: ) Hvis problem indeholder ligninger eller uligheder med negative højresider multipliceres på både venstre- og højreside med (husk at vende uligheder!). Alle højresider er nu ikke-negative. 2) ì uligheder: Transformer til lighed ved addition af ikke-negativ slack på venstre-siden med kriteriekoefficient 0. 3) ˆ uligheder: Transformer til lighed ved subtraktion af ikkenegativ surplus på venstre-siden med kriterie koefficient 0. Introducer artificial variabel med koef ficient '' i begræsningen selv og '0' i alle andre begræsninger. Eliminer denne fra enhver optimal løsning ved at give den kriteriekoefficient M, hvor M i princippet er et meget stort tal. 4) é relationer: Introducer artificial variabel med koefficient '' i begræsningen selv og '0' i alle andre begræsninger. Eliminer denne fra enhver optimal løsning ved at give den kriteriekoefficient M, hvor M i princippet er et meget stort tal.

27 Håndtering af lighedsbetingelser og negative højresider: max 6x 3x 2 4x 3 x4 s.t. 2x.5x 2 x 3 6x 4 é x x x ì 20 x 2 5x 3 ì 50 x, x,x, 2 3 x4 ˆ 0 Negative højresider konverteres til positive højresider ved multiplikation med på begge sider af relationen: max 6x 3x 2 4x 3 x4 s.t. 2x.5x 2 x 3 6x 4 é x x x ì 20 x, x,x, 2 3 x4 ˆ 0 x 2 5x 3 ˆ 50

28 I ligning ) introduceres en kunst-variabel, i ulighed 2) en slack-variabel og i ulighed 3) en surplus- og en kunst-variabel: max 6x 3x 2 4x 3 x 4 Ma Ma 3 s.t. 2x.5x 2 x 3 6x 4 a é x x x s é 20 x 2 5x 3 s3 a 3 é 50 x, x 2, x 3, x 4, s 2, s 3, a, a3 ˆ 0 Bemærk: Nu er en initial basis bestående af slack- og surplusvariable ikke brugbar, fordi surplusvariable antager negativ værdi. Vi starter derfor med en kunstig basis bestående af slack- og kunstvariable. Men kunstvariable drives ud af basen qua deres kriteriekoefficient.

29 Løsning af minimeringsproblemer: Betragt følgende LP: min! c x 4é" s.t.! a x ì b, 3 é,..., 7 4é" x 4 ˆ! 3 3 ù Lad (x 4) betegne en optimal basisløsning til dette LP. ù Så er (x ) også en optimal basisløsning til følgende LP: 4 max! c x 4é" s.t.! a x ì b, 3 é,..., 7 4é" x 4 ˆ! 3 3 Et minimeringsproblem kan derfor løses ved transformation til maximering af den negative objektivfunktion. Alternativt: Vi kunne have ændret reglen for identifikation af indgående variabel til mængden af p.t. ikke-basisvariable med en negativ indgang i c z -rækken. Eksempel p

30 Specialtilfælde: ) Infeasibility 2) Unboundedness 3) Alternative løsninger 4) Degenererede basis løsninger 5) Håndtering af frie variable

31 max x x 2 s.t. x 2x 2 ˆ 0 x x 2 ì 4 x, x2 ˆ 0 x x2 s s2 a Basis c B 0 0 M a M s z 4 M 2M M 0 M 0M c z M 2M M 0 0 x x2 s s2 a Basis c B 0 0 M a M x z4 M M 2M M 4 2M c z M 0 M 2M 0 Dette tableau er optimalt, men indeholder en kunstvariabel på niveau større end nul. Det betyder, at det underliggende problem ikke besidder brugbare løsninger, fordi kunstvariablen aldrig vil kunne antage en værdi lig nul. Et infeasible LP kendes derfor ved, at det indeholder mindst en kunstvariabel på niveau større end nul i en optimal basis.

32 Unbounded solutions: max x x 2 s.t. x x ì 2 x, x2 ˆ 0 x x2 s Basis c B 0 s 0 z c z 0 x x2 s Basis c B 0 x z 4 c z 0 2 Heraf ses, at en tilvækst i p.t. ikke-basis variabel x indebærer en 2 tilvækst i objektivfunktionsværdien på 2 enheder. Men x kan bringes 2 til at vokse uendelig meget, fordi en tilvækst i x indebærer en 2 tilvækst i samtlige aktuelle basisvariable (her altså i x ). Dette følger af, at alle elementer i pivotsøjlen i x -rækkerne (her B3 altså x -rækken) er mindre end eller lig med nul. Det betyder, at det underliggende problem ikke besidder en endelig optimal løsning, men karakteriseres som unbounded. Et unbounded LP kendes derfor ved, at det indeholder en opdateret søjle for en p.t. ikke basisvariabel med positiv indgang i c4 z4 rækken og ikke-positive indgange i samtlige x -rækker, så ingen B3 aktuel basis variabel aftager i værdi, når pågældende ikke-basis variabel bringes til at antage en større værdi.

33 Alternative optimalløsninger: max x x 2 s.t. 2x 2x 2 ì 4 x, x2 ˆ 0 x x2 s Basis c B 0 s z c z 0 x x2 s Basis c B 0 x 2 2 z 4 2 c z Tableauet er optimalt, fordi ingen indgang i c4 z4-rækken er positiv. Men aktuel ikke-basis variabel x 2 har værdien 0 i c4 z4 rækken. Heraf følger, at x 2 kan introduceres i basis uden at den optimale objektivfunktionsværdi ændres. En basis med x2 é er derfor også optimal. Problemet har altså flere optimale basisløsninger. Et LP med alternative løsninger kendes ved, at et optimalt tableau indeholder en opdateret søjle for en p.t. ikke basisvariabel med 0-indgang i c z -rækken.

34 Degenererede basisløsninger: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 75 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x, x2 ˆ 0 x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z x x2 s s2 s3 Basis cb s 0 0 Ã s x z c z x x2 s s2 s3 Basis cb x s x z c z 0 0 0

35 Den optimale basis løsning er degenereret, fordi en basis variabel antager værdien 0. Det betyder, at vi ikke kan se forskel på denne basis variabel og sættet af ikke-basis variable, der også har værdi 0. Degenererede løsninger etableret i løbet af simplex algoritmen er problematiske, fordi de kan betyde, at algoritmen cykler. Et basis skift indebærer ikke en forbedring af objektivfunktionsværdien, hvis udgående basis variabel har værdi 0 og indgående variabel bringes i basis med værdi 0. Degenererede løsninger opstår, hvis et hjørnepunkt er overdetermineret. I eksempler som ovenfor med 2 beslutningsvariable x og x 2 er et hjørnepunkt defineret ved skæringen mellem 2 begrænsninger. Men i det aktuelle eksempel skærer alle 3 begrænsninger hinanden i det samme punkt, som derfor er overdetermineret. mellem 2 begrænsninger

36 Beslutningsvariable, som kan være negative: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x ˆ 50 x2 ˆ 0 Introducer komplementær variabel til x : w w x ˆ 50 ² x x é 50, x ˆ0 Heraf følger w x é x 50 LP kan derfor omskrives: max w 50(x 50) 40x2 s.t. w 3(x 50) 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 w (x 50) 5x 2 ì 300 w x, x ˆ 0 2

37 eller max w 50x 40x 2 ( 2500) s.t. w 3x 5x 2 ì 300 x 2 ì 20 w x 5x 2 ì 700 w x, x ˆ 0 2 Dette LP er i standardform og løses på sædvanlig måde.

38 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x2 ˆ 0 Omskriv den frie variabel x til differensen mellem to ikke negative variable: x é x x Ç x, x ˆ 0 Reformuler herefter modellen 2 max 50x 50x 40x 2 s.t. 3x 3x 5x ì 50 2 x 2 ì 20 x x 5x ì 300 x, x x2 ˆ 0 Dette problem er i standardformat og ækvivalent til det oprindelige problem.

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=. Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold

4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold 4.1. Geometrisk hovedindhold 4. Simplexmetoden 4.1. Geometrisk hovedindhold 4.2. Opstart 4.3. Algebraisk form 4.4. Tableauform 4.5. Løse ender 4.6. Kunstige variabler og tofasemetoden 4.7. Postoptimale

Læs mere

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Projekt Planlægning: PERT/CPM

Projekt Planlægning: PERT/CPM Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Operationsanalyse. Hans Keiding

Operationsanalyse. Hans Keiding Operationsanalyse Hans Keiding Forord 7 Kapitel 1. Hvad er Operationsanalyse? 9 1. Indledning 9 2. Operationsanalysens historie 10 3. Operationsanalytiske problemer og metode 10 4. Litteratur 12 Kapitel

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Optimering i Moderne Portefølje Teori

Optimering i Moderne Portefølje Teori Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115 Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret på søjlegenerering

Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret på søjlegenerering Institut for Regnskab, Finansiering og Logistik Kandidatafhandling Forfattere: Anders K. Knudsen Jutta J. Jørgensen Vejleder: Jens Lysgaard Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

G r u p p e G

G r u p p e G M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer

Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Operationsanalyse MØK

Operationsanalyse MØK Operationsanalyse MØK 2015II Eksamensopgave, Rettevejledning, side 1 Operationsanalyse MØK Eksamensopgave, 4. januar 2016 Rettevejledning 1. Vi har at gøre med et transportproblem, der kan skrives på formen

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Årsplan for Matematik hold 1. (0. og 1. klasse) Skoleåret 2017/2018

Årsplan for Matematik hold 1. (0. og 1. klasse) Skoleåret 2017/2018 Årsplan for Matematik hold 1. (0. og 1. klasse) Skoleåret 2017/2018 Uger Emne Materialer Evaluering 32-34 Tal fra 0-10 Eleven kan læse og ordne etcifrede naturlige tal Eleverne kan aflæse et tal på en

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:

Læs mere

Opgavebesvarelse - Øvelse 3

Opgavebesvarelse - Øvelse 3 Opgavebesvarelse - Øvelse 3 Opgave 3.2 Lad økonomien være karakteriseret ved følgende adfærdsligninger: a) Løs for ligevægts BNP: derved at vi bruger ligningen. b) Løs for den disponible indkomst: c) Løs

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Phillipskurven: Inflation og arbejdsløshed

Phillipskurven: Inflation og arbejdsløshed Phillipskurven: Inflation og arbejdsløshed Vores udgangspunkt er AS-kurven, dvs. relationen mellem prisniveau og output så der er ligevægt på arbejdsmarkedet, og der har følgende form P = ( + µ) P e F

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere