Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative
|
|
- Adam Carstensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative a) algebraisk introduktion b) tableau form c) opstilling af initialt tableau d) opdatering af tableauer e) identifikation af optimal løsning
2 Derefter: uligheder af typen ˆ eller é -> Big-M metoden negative højresider minimeringsproblemer identifikation af infeasibility unboundedness alternative optimalløsninger degenererede løsninger Endelig tilfældet med frie variable (ej i lærebog)
3 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x, x2 ˆ 0 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x, x Ç s, s, s ˆ Tegn mulighedsområdet og løs grafisk!
4 Ligningssystemet ()-(3) består af 3 ligninger i 5 ubekendte. Et ligningssystem med flere ubekendte end antallet af ligninger har sædvanligvis uendeligt mange løsninger. Men vi ved fra den grafiske metode, at optimum til LP findes i et hjørnepunkt. Og hjørnepunktsløsninger svarer til såkaldte basisløsninger. H/033>39 En basisløsning til et ligningssystem bestående af 7ligninger i ubekendte med ˆ7findes ved at fixere ( 7) ubekendte til 0 og løse det resulterende ligningssystem bestående af 7 ligninger i 7 ubekendte. De ( 7) fixerede variable betegnes ikkebasisvariable og de resterende 7 variable basisvariable.
5 I det foreliggende problem findes således potentielt î ü x 5ô4ô3ô2ô é é (2 ) (3 2 ) é 0 basisløsninger. 7 7¹xô7x ô ô ô ô x, " x, 2 s " (og s2 é s3 é 0) x, " x, 2 s 2 (og s é s3 é 0) x, " x, 2 s 3 (og s é s2 é 0) x ", s, s 2 (og x2 é s3 é 0) x ", s, s 3 (og x2 é s2 é 0) x ", s 2, s 3 (og x2 é s é 0) x 2, s, s 2 (og x é s3 é 0) x 2, s, s 3 (og x é s2 é 0) x 2, s 2, s 3 (og x é s é 0) s, s, s (og x é x é 0) " Find disse grafisk! Identificer nogle af basisløsningerne! Bemærk: Kun 5 af de ialt 0 potentielle basisløsninger er brugbare.
6 Betragt igen problemet i standard form: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x, x Ç s, s, s ˆ Bemærk: I enhver række findes netop 'en variabel med koefficient '' i pågældende række og koefficient '0' i alle øvrige rækker - nemlig slackvariablen i rækken. Det er derfor meget let at finde en initial basisløsning ved at sætte (x, x 2) é (0, 0) og løse det resulterende ligningssystem (s, s 2, s 3) é (50, 20, 300)
7 Denne løsning kan findes ved opstilling af første del af det initiale simplex tableau: x x2 s s2 s3 Basis cb s s s Er den aktuelle basisløsning bestående af (s, s, s ) 2 3 optimal? Observation: En basisløsning er optimal, hvis der ikke findes en nabobasis, der kunne give en bedre objektivfunktionsværdi. En nabobasis findes ved at fixere en aktuel basisvariabel til værdi 0 og frigøre en aktuel ikke-basisvariabel fra dens p.t. fixerede værdi 0. Vi skal altså undersøge, om en tilvækst i enten x eller x 2 (de aktuelle ikke-basisvariable) kan indebære en stigning i z.
8 Lad os først se på ligningssystemet for x : s é 50 3x () s 2 é 20 (2) s é 300 x (3) 3 Heraf følger at hvis x øges med enhed så ) falder s med 3 enheder, 2) s 2 er uændret, og 3) s 3 falder med enheder. Hvordan påvirker dette objektivfunktionen? s 3 ² fald i z på 0 ô3 s 2 uændret ² fald i z på 0 ô0 s3 ² fald i z på 0 ô hvilket indebærer at nettoændringen i z fremkaldt af ændringen i de aktuelle basisvariable som følge af en tilvækst på en enhed i x er 0. Denne ændring betegnes z. Men en tilvækst på en enhed i x indebærer også en tilvækst i z på 50 enheder, fordi x har en kriteriekoefficient c" på 50. Den samlede ændring i objektivværdien er derfor c z é 50 0 é 50
9 Lad os dernæst se på ligningssystemet for x : 2 s é 50 5x 2 () s 2 é 20 x 2 (2) s é 300 5x (3) 3 2 Heraf følger at hvis x øges med enhed så 2 ) falder s med 5 enheder, 2) s 2 falder med enhed, og 3) s 3 falder med 5 enheder. Hvordan påvirker dette objektivfunktionen? s 5 ² fald i z på 0 ô5 s2 ² fald i z på 0 ô s3 5 ² fald i z på 0 ô5 hvilket indebærer at nettoændringen i z fremkaldt af ændringen i de aktuelle basisvariable som følge af en tilvækst på en enhed i x 2 er 0. Denne ændring betegnes z 2. Men en tilvækst på en enhed i x 2 indebærer også en tilvækst i z på 40 enheder, fordi x 2 har en kriteriekoefficient c2 på 40. Den samlede ændring i objektivværdien er derfor c2 z2 é 40 0 é 40
10 Vi kan i princippet gøre det samme for sættet af basisvariable. Her vil z 4 selvfølgelig altid være lig med den pågældende variabels egen kriteriekoefficient og c4 z 4 derfor altid lig 0. Disse informationer kan nu gengives i simplextableauet: x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z Det stærkt optrukne angiver objektivfunktionens aktuelle værdi og findes ved $!cbbi é 0ô 50 0ô 20 0ô300 é 0 i 3é" Tallene i c z rækken viser, at objektivværdien vil vokse med 50 enheder hver gang x øges med enhed, og at objektivværdien vil vokse med 40 enheder hver gang x 2 øges med enhed.
11 Den aktuelle basis er derfor ikke optimal, fordi en nabobasis omfattende enten x eller x 2 forventes at give en bedre objektivfunktionsværdi. Observation: Vi vælger at introducere den p.t. ikke-basisvariabel i basen, der giver den størst mulige tilvækst pr. enhed. Derfor introduceres x i basen.
12 Hvis x skal ind i basen, d.v.s. frigøres fra den p.t. fixerede værdi 0, skal en af de aktuelle basisvariable ud, d.v.s. fixeres til værdi 0. En tilvækst på en enhed i x øger z med 50 enheder. Vi ønsker derfor at lade x vokse så meget som overhovedet muligt. Men x kan kun vokse, indtil den første aktuelle basisvariabel når sit lower bound på 0 - en yderligere tilvækst i x vil indebære at denne basisvariabel bliver negativ og dermed infeasibility. Observation: Den udgående basisvariabel er den, der først falder til værdi 0, når den indgående variabels værdi øges. Den maximale tilvækst i x er derfor defineret ved det minimal ratio mellem de aktuelle højresider og de positive elementer i x søjlen. Husk at et 0 element betyder, at den modsvarende basisvariabel ikke ændres, og at et negativt element vil betyde, at den stiger! Det mindste ratie er derfor minimum( é 50, é 37.5) s vil derfor først antage værdien 0, når x vokser, og 3 det vil ske når x antager værdien Vi betegner x søjlen som pivotsøjlen, fordi x er indgående p.t. ikke-basisvariabel, og s rækken som 3 pivotrækken, fordi s er udgående variabel. Og 3 elementet i snittet mellem pivotsøjle og pivotrække betegnes pivotelementet.
13 Problemet består nu i at finde den nye basisløsning svarende til sættet af basisvariable (s, s 2, x ). Dette gøres ved at lade x overtage s 3's rolle. Betragt det nye ligningssystem: 3x s é 50 5x 2 () s 2 é 20 x 2 (2) x é 300 5x2 s 3 (3) der skal løses med x og s fixeret til 0. Dette kan ske v.h.a. 2 3 elementære rækkeoperationer med udgangspunkt i simplex tableauets pivot række. Elementære rækkeoperationer består af: ) Multiplikation af en række med et tal 0. 2) Addition eller subtraktion af (evt. multiplicerede) rækker. Bemærk, at elementære rækkeoperationer ikke påvirker ligningssystemets løsning, fordi der hele tiden skaleres, adderes eller subtraheres det samme på højre- og venstresider. At lade x overtage s 3's rolle betyder, at den aktuelle x søjle 3 ¹ 0 ¹ 0 ¹ skal transformeres fra 0 til 0, idet 0 er s º º º 3 søjlens aktuelle værdi. Dette sker ved elementære rækkeoperationer, der altid startes med at transformere pivotelementet til værdi, d.v.s. division med i pivotligningen:
14 x é (300 5x2 s 3) (3C) x é x2 s 3 (3C) x 's koefficient på 3 i ligning () skal nu konverteres til et 0 med udgangspunkt i (3C). Det sker ved at multiplicere (3C) med 3 og trække dette fra (): ( ) é () 3 ô(3 ) C C 3x s é 50 5x 2 () 5 3 3x é 2.5 x2 s 3 3 ô(3 C ) 25 3 s é 37.5 x2 s 3 (C) x skal også have koefficienten 0 i ligning (2). Men det har x allerede, så en elementær rækkeoperation er ej nødvendig. Vi har dermed fundet den nye basisløsning: 25 3 s é 37.5 x2 s 3 (C) s 2 é 20 x 2 (2C) 5 x é 37.5 x2 s 3 (3C) d.v.s. basisvariable (s, s 2, x ) é (37.5, 20, 37.5) og ikkebasisvariable (x 2, s 3) é 0. _ De 3 ligninger i det opdaterede system betegnes (), (2), (3). Den modsvarende objektivfunktionsværdi beregnes let til 0 ô ô ô37.5 é 75.
15 Disse beregninger kunne lige så let være foretaget med udgangspunkt i simplextableauet: x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z x x2 s s2 s3 Basis cb s s x z 50 4 c z Dette er det opdaterede simplex tableau. Her er også beregnet z 4 og c4 z 4. z 4 findes som ovenfor ved at tage summen af elementerne i cb-søjlen ganget med de modsvarende elementer i hhv. x-, x 2, s-, s2- og s3-søjlen. z for x -søjlen beregnes således som 4 2
16 (0ô 0ô 50 ô ) é. Det betyder, at ændringen i de aktuelle basisvariable fremkaldt af en tilvækst på enhed i x 2 vil indebære et fald i 250 objektivfunktionsværdien på enheder. Men en tilvækst i x 2 på en enhed vil samtidig give en tilvækst i objeltivfunktionsværdien svarende til x 2's egen kriteriekoefficient på 40. Nettoeffekten ved at løfte x 2 fra aktuel værdi 0 til er derfor 40 é som anført i c4 z4i x2-søjlen. Øvrige elementer i c4 z4-rækken fortolkes tilsvarende. Er tableauet optimalt, d.v.s. er den aktuelle basisløsning optimal? Vi checker, om der i c4 z 4 rækken er strengt positive elementer. x 2 har som den eneste p.t. ikkebasisvariabel et positivt element i denne række og skal derfor bringes til basis. Vi ønsker selvsagt at øge x 2 så meget som muligt, fordi enhver tilvækst på en enhed giver en 70 2 tilvækst i objektivfunktionsværdien på enheder. x kan kun øges, indtil den første p.t. basisvariabel antager værdien 0. Denne identificeres ved rækken, hvor ratiet mellem en aktuel højreside og et positivt element i x -søjlen er minimalt. Husk at tallene (,, ) i x -søjlen angiver den negative ændring i basisvariablene s, s 2 og x ved en tilvækst på en enhed i x min(, 20, ) é min(2, 20, 60) é 2 2
17 Vi finder altså mindste ratiet i s-rækken. x2-søjlen er derfor 25 pivotsøjle, s2-rækken er pivotrække, og elementet pivotelement. x 2 skal således introduceres i basis og s gøres til ikke-basisvariabel. Det betyder, at x -søjlen skal konverteres 2 til den aktuelle s -søjle v.h.a. elementære rækkeoperationer med udgangspunkt i pivotrækken. _ (C) é () 25 _ (2 ) é 2) ( ) C C _ (3C) é (3) 5 (C) Disse rækkeoprationer fører til følgende opdaterede simplextableau: x x2 s s2 s3 Basis cb x s x z c z Dette tableau er optimalt, fordi alle elementer i c er mindre end eller lig med 0. z rækken
18 Algoritme: En algoritme er en systematisk procedure, der med udgangspunkt i en initial situation i et antal såkaldte iterationer terminerer i en optimal situation. Simplex algoritmen for LP i standard form, d.v.s. et maximeringsproblem, alle uligheder af typen ì, alle højre-sider ikke-negative, og alle variable ikke-negative: ) Formuler LP. 2) Introducer slack variable -> slacks identificerer initial basisløsning. 3) Konstruer initialt simplex tableau. 4) Vælg p.t. ikke basis-variabel med maximal ikke-negativ værdi i c4 z4-rækken. Hvis intet element i denne række er strengt positivt, STOP; aktuel basis er optimal. ELLERS introducer pågældende variabel i basis; den hertil svarende søjle betegnes pivot søjlen. 5) Identificer udgående p.t. basisvariabel ved mindste ratiet mellem de aktuelle højresider og de ikke negative elementer i pivotsøjlen. Rækken hvori dette mindste ratio findes betegnes pivotrækken. Den aktuelle basis variabel i denne række er den første basis variabel, der antager værdi 0, når værdien af den indgående p.t. ikke-basis variabel øges. Denne basis variabel betegnes udgående. 6) Opdater basisløsningen ved elementære rækkeoperationer. Den indgående variabels søjle skal transformeres til en enhedssøjle med''-tallet i pivotrækken. Gå til 4). 4)-6) udgør en simplexiteration. 4) definerer et optimalitetstest.
19 Observation: 7 max! c x!! s 3 4é" 3é" s.t.! a x s é b Ç 3 é "Ç ÆÆÆÆÇ 7 4é" x Ç s ˆ!Ç 4 é "Ç ÆÆÆÆÇ Ç 3 é "Ç ÆÆÆÆÇ Initialt simplextableau i generel form: x. x4 Æ xn x n+. x n+ 3. xn+m Basis cb c. c4 Æ c n s 0 a. a 4 Æ a b..... Æ s 0 a. a Æ a n b Æ Æ Æ Æ. Æ Æ Æ Æ.. Æ Æ s 0 a. a Æ a b n m m m4 mn m z! c a.! c a.! c a ! c b 4 B3 3 B3 34 B3 3n B3 3 3é" 3é" 3é" 3é" c z c-! c a. c-! c a. c-! c a B3 3 4 B3 34 n B3 3n 3é" 3é" 3é" Her svarer x n+ til s, x n+ 3 til s 3, og x n+m til s m. Bemærk at alle elementer i z 4 rækken i det initiale tableau er 0, fordi cb 3 é!ç 3 é "Ç ÆÆÆÆÇ 7, idet enhver basisvariabel er en slack med z rækken er derfor kriteriekoefficient 0. Alle elementer i c lig med c 4. Lad os nu se på det opdaterede tableau i en vilkårlig iteration:
20 . xb Æ x. i Nj Basis c B. cb Æ c. i Nj xb c B. 0 Æ a. b Nj.... Æ... xb c B. Æ a. b 3 3 3Nj 3 Æ Æ Æ. Æ Æ Æ Æ xb c B. 0 Æ a mn. b m m j m 7 _ 7 z. c.! c a.!c _ b 4 B3 B3 3Nj B3 3é" 3é" 7 _ c z. 0. c -! c a. j j N B3 3N 3é" 3 Her svarer xb 3 -søjlen til den opdaterede søjle for den variabel, der er i basis i den 3'te række; det kan enten være en af de oprindelige x-variable eller en slack. Søjlen er i princippet en enhedssøjle med ''-tallet i 3'te række. xn 4 -søjlen svarer til den opdaterede søjle for den 4'te ikkebasis variabel; det kan enten være en af de oprindelige x-variable eller en slack. z4-indgangen i denne søjle måler her effekten på objektivfunktionen fremkaldt af den nødvendige ændring i sættet af basis variable ved en tilvækst fra 0 til i den pågældende ikke-basis variabel. Tilsvarende måler indgangen i c4 z4rækken nettoændringen i objektivfunktionsværdien ved en tilvækst fra 0 til i den pågældende ikke-basis variabel. Endelig angiver b-søjlen de opdaterede højresider, d.v.s. - ligningssystemets basisløsning givet sættet af aktuelle basisvariable.
21 x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z x x2 s s2 s3 Basis cb s s x z c z x x2 s s2 s3 Basis cb x s x z c z 0 0 0
22 Håndtering af LP i ikke-standard form: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x x 2 ˆ 25 x, x2 ˆ 0 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x x 2 s 4 é 25 (4) x, x Ç s, s, s, s ˆ Bemærk: Nu er en initial basis bestående af slack- og surplusvariable ikke længere brugbar, fordi
23 (x, x 2) é (0, 0) ² (s, s2çs 3, s 4) é (50, 20, 300, 25) hvilket betyder, at s er negativ. Problemet undgås ved en 4 kunstig udvidelse af mulighedsområdet. max 50x 40x 2 Ma4 s.t. 3x 5x 2 s é 50 () x 2 s 2 é 20 (2) x 5x 2 s 3 é 300 (3) x x 2 s4 a 4 é 25 (4) x, x Ç s, s, s, s, a ˆ En initial basis bestående af (s, s, s, a ) er brugbar i ovenstående model, idet (x, x 2, s 4) é (0, 0) ² (s, s2çs 3, a 4) é (50, 20, 300, 25) Men en løsning til modellen er kun brugbar i den oprindelige model, hvis kunstvariablen a 4 antager værdien 0. Dette opnås ved at sætte M lig med et meget stort positivt tal, idet a 4 dermed aldrig kan indgå i en optimal basis (hvis det oprindelige problem har brugbare løsninger). Lad os herefter bruge simplex algoritmen på vanlig vis:
24 x x2 s s2 s3 s4 a4 Basis cb M s s s a4 M z4 M M M M 25M c z 50 M 40 M M 0 x x2 s s2 s3 s4 a4 Basis cb M s s s x z c z M 50 x x2 s s2 s3 s4 Basis cb s s s x z c z x x2 s s2 s3 s4 Basis cb x s s x z c z
25 Bemærk: Tableau no. 2 definerer en brugbar løsning til det oprindelige problem, fordi kunstvariablen antager værdien 0. a 4 vil aldrig indgå i basis igen, fordi værdien i c4 z 4 rækken altid vil nære negativ. Vi kan derfor i de følgende tableauer ignorere a4- søjlen. Sammenlign bevægelserne fra basis til nabobasis grafisk!
26 Håndtering af negative højre-sider: -> multiplicer med på begge sider. Håndtering af ligheder: ->! a x é b ² 4é" 3 3 Â Å Ã Å Ä! a x 4é"! a x 4é" ì b 3 3 ˆ b 3 3 Sammenfatning af procedurer til etablering af LP i tableau form: ) Hvis problem indeholder ligninger eller uligheder med negative højresider multipliceres på både venstre- og højreside med (husk at vende uligheder!). Alle højresider er nu ikke-negative. 2) ì uligheder: Transformer til lighed ved addition af ikke-negativ slack på venstre-siden med kriteriekoefficient 0. 3) ˆ uligheder: Transformer til lighed ved subtraktion af ikkenegativ surplus på venstre-siden med kriterie koefficient 0. Introducer artificial variabel med koef ficient '' i begræsningen selv og '0' i alle andre begræsninger. Eliminer denne fra enhver optimal løsning ved at give den kriteriekoefficient M, hvor M i princippet er et meget stort tal. 4) é relationer: Introducer artificial variabel med koefficient '' i begræsningen selv og '0' i alle andre begræsninger. Eliminer denne fra enhver optimal løsning ved at give den kriteriekoefficient M, hvor M i princippet er et meget stort tal.
27 Håndtering af lighedsbetingelser og negative højresider: max 6x 3x 2 4x 3 x4 s.t. 2x.5x 2 x 3 6x 4 é x x x ì 20 x 2 5x 3 ì 50 x, x,x, 2 3 x4 ˆ 0 Negative højresider konverteres til positive højresider ved multiplikation med på begge sider af relationen: max 6x 3x 2 4x 3 x4 s.t. 2x.5x 2 x 3 6x 4 é x x x ì 20 x, x,x, 2 3 x4 ˆ 0 x 2 5x 3 ˆ 50
28 I ligning ) introduceres en kunst-variabel, i ulighed 2) en slack-variabel og i ulighed 3) en surplus- og en kunst-variabel: max 6x 3x 2 4x 3 x 4 Ma Ma 3 s.t. 2x.5x 2 x 3 6x 4 a é x x x s é 20 x 2 5x 3 s3 a 3 é 50 x, x 2, x 3, x 4, s 2, s 3, a, a3 ˆ 0 Bemærk: Nu er en initial basis bestående af slack- og surplusvariable ikke brugbar, fordi surplusvariable antager negativ værdi. Vi starter derfor med en kunstig basis bestående af slack- og kunstvariable. Men kunstvariable drives ud af basen qua deres kriteriekoefficient.
29 Løsning af minimeringsproblemer: Betragt følgende LP: min! c x 4é" s.t.! a x ì b, 3 é,..., 7 4é" x 4 ˆ! 3 3 ù Lad (x 4) betegne en optimal basisløsning til dette LP. ù Så er (x ) også en optimal basisløsning til følgende LP: 4 max! c x 4é" s.t.! a x ì b, 3 é,..., 7 4é" x 4 ˆ! 3 3 Et minimeringsproblem kan derfor løses ved transformation til maximering af den negative objektivfunktion. Alternativt: Vi kunne have ændret reglen for identifikation af indgående variabel til mængden af p.t. ikke-basisvariable med en negativ indgang i c z -rækken. Eksempel p
30 Specialtilfælde: ) Infeasibility 2) Unboundedness 3) Alternative løsninger 4) Degenererede basis løsninger 5) Håndtering af frie variable
31 max x x 2 s.t. x 2x 2 ˆ 0 x x 2 ì 4 x, x2 ˆ 0 x x2 s s2 a Basis c B 0 0 M a M s z 4 M 2M M 0 M 0M c z M 2M M 0 0 x x2 s s2 a Basis c B 0 0 M a M x z4 M M 2M M 4 2M c z M 0 M 2M 0 Dette tableau er optimalt, men indeholder en kunstvariabel på niveau større end nul. Det betyder, at det underliggende problem ikke besidder brugbare løsninger, fordi kunstvariablen aldrig vil kunne antage en værdi lig nul. Et infeasible LP kendes derfor ved, at det indeholder mindst en kunstvariabel på niveau større end nul i en optimal basis.
32 Unbounded solutions: max x x 2 s.t. x x ì 2 x, x2 ˆ 0 x x2 s Basis c B 0 s 0 z c z 0 x x2 s Basis c B 0 x z 4 c z 0 2 Heraf ses, at en tilvækst i p.t. ikke-basis variabel x indebærer en 2 tilvækst i objektivfunktionsværdien på 2 enheder. Men x kan bringes 2 til at vokse uendelig meget, fordi en tilvækst i x indebærer en 2 tilvækst i samtlige aktuelle basisvariable (her altså i x ). Dette følger af, at alle elementer i pivotsøjlen i x -rækkerne (her B3 altså x -rækken) er mindre end eller lig med nul. Det betyder, at det underliggende problem ikke besidder en endelig optimal løsning, men karakteriseres som unbounded. Et unbounded LP kendes derfor ved, at det indeholder en opdateret søjle for en p.t. ikke basisvariabel med positiv indgang i c4 z4 rækken og ikke-positive indgange i samtlige x -rækker, så ingen B3 aktuel basis variabel aftager i værdi, når pågældende ikke-basis variabel bringes til at antage en større værdi.
33 Alternative optimalløsninger: max x x 2 s.t. 2x 2x 2 ì 4 x, x2 ˆ 0 x x2 s Basis c B 0 s z c z 0 x x2 s Basis c B 0 x 2 2 z 4 2 c z Tableauet er optimalt, fordi ingen indgang i c4 z4-rækken er positiv. Men aktuel ikke-basis variabel x 2 har værdien 0 i c4 z4 rækken. Heraf følger, at x 2 kan introduceres i basis uden at den optimale objektivfunktionsværdi ændres. En basis med x2 é er derfor også optimal. Problemet har altså flere optimale basisløsninger. Et LP med alternative løsninger kendes ved, at et optimalt tableau indeholder en opdateret søjle for en p.t. ikke basisvariabel med 0-indgang i c z -rækken.
34 Degenererede basisløsninger: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 75 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x, x2 ˆ 0 x x2 s s2 s3 Basis cb s s s z c z x x2 s s2 s3 Basis cb s 0 0 Ã s x z c z x x2 s s2 s3 Basis cb x s x z c z 0 0 0
35 Den optimale basis løsning er degenereret, fordi en basis variabel antager værdien 0. Det betyder, at vi ikke kan se forskel på denne basis variabel og sættet af ikke-basis variable, der også har værdi 0. Degenererede løsninger etableret i løbet af simplex algoritmen er problematiske, fordi de kan betyde, at algoritmen cykler. Et basis skift indebærer ikke en forbedring af objektivfunktionsværdien, hvis udgående basis variabel har værdi 0 og indgående variabel bringes i basis med værdi 0. Degenererede løsninger opstår, hvis et hjørnepunkt er overdetermineret. I eksempler som ovenfor med 2 beslutningsvariable x og x 2 er et hjørnepunkt defineret ved skæringen mellem 2 begrænsninger. Men i det aktuelle eksempel skærer alle 3 begrænsninger hinanden i det samme punkt, som derfor er overdetermineret. mellem 2 begrænsninger
36 Beslutningsvariable, som kan være negative: max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x ˆ 50 x2 ˆ 0 Introducer komplementær variabel til x : w w x ˆ 50 ² x x é 50, x ˆ0 Heraf følger w x é x 50 LP kan derfor omskrives: max w 50(x 50) 40x2 s.t. w 3(x 50) 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 w (x 50) 5x 2 ì 300 w x, x ˆ 0 2
37 eller max w 50x 40x 2 ( 2500) s.t. w 3x 5x 2 ì 300 x 2 ì 20 w x 5x 2 ì 700 w x, x ˆ 0 2 Dette LP er i standardform og løses på sædvanlig måde.
38 max 50x 40x2 s.t. 3x 5x 2 ì 50 x 2 ì 20 x 5x 2 ì 300 x2 ˆ 0 Omskriv den frie variabel x til differensen mellem to ikke negative variable: x é x x Ç x, x ˆ 0 Reformuler herefter modellen 2 max 50x 50x 40x 2 s.t. 3x 3x 5x ì 50 2 x 2 ì 20 x x 5x ì 300 x, x x2 ˆ 0 Dette problem er i standardformat og ækvivalent til det oprindelige problem.
Simplex metoden til løsning af LP
Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle
Læs mereChapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP
Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation
Læs mereSamtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereChapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mere4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold
4.1. Geometrisk hovedindhold 4. Simplexmetoden 4.1. Geometrisk hovedindhold 4.2. Opstart 4.3. Algebraisk form 4.4. Tableauform 4.5. Løse ender 4.6. Kunstige variabler og tofasemetoden 4.7. Postoptimale
Læs mereKapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mereOperationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2
Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereNoter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ
Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereKapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereProjekt Planlægning: PERT/CPM
Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereVideregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereLineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen
Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereOptimering i Moderne Portefølje Teori
Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereOperationsanalyse. Hans Keiding
Operationsanalyse Hans Keiding Forord 7 Kapitel 1. Hvad er Operationsanalyse? 9 1. Indledning 9 2. Operationsanalysens historie 10 3. Operationsanalytiske problemer og metode 10 4. Litteratur 12 Kapitel
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereOperationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye
OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereOptimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115
Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereTabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret på søjlegenerering
Institut for Regnskab, Finansiering og Logistik Kandidatafhandling Forfattere: Anders K. Knudsen Jutta J. Jørgensen Vejleder: Jens Lysgaard Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereLinear Programming ١ C H A P T E R 2
Linear Programming ١ C H A P T E R 2 Problem Formulation Problem formulation or modeling is the process of translating a verbal statement of a problem into a mathematical statement. The Guidelines of formulation
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereG r u p p e G
M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b
Læs mereMASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mereKapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000
Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...
Læs mereUdvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder
Læs mereUGESEDDEL 12 LØSNINGER. x
UGESEDDEL 2 LØSNINGER Opgave Betragt ligningssystemet af formen Ax = b: ( ) 2 x ( ) x 2 2 =. 4 x Der eksisterer ingen løsning x = (x, x 2, x ) 0, thi venstresiden i første ligning er da 0, medens højresiden
Læs mereHvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?
CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereOperationsanalyse, Ordinær Eksamen 2017I Rettevejledning
Operationsanalyse, Ordinær Eksamen 207I Rettevejledning Opgave A Ifølge de givne oplysninger skal der ialt udbringes 000 kg gødning i årets løb. Det fremgår videre af teksten, at der ønskes udbragt en
Læs mereMikro II, Øvelser 1. a 2bx = c + dx. 2b + d
Mikro II 2018I Øvelser 1, side 1 Mikro II, Øvelser 1 Det præcise forløb af øvelsestimerne aftales på holdene. Det gælder dog generelt, at der kræves aktiv deltagelse fra de studerende. Bemærk, at sidste
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs meredynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:
Læs mereOperationsanalyse MØK
Operationsanalyse MØK 2015II Eksamensopgave, Rettevejledning, side 1 Operationsanalyse MØK Eksamensopgave, 4. januar 2016 Rettevejledning 1. Vi har at gøre med et transportproblem, der kan skrives på formen
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mere