Modul 3: Sandsynlighedsregning
|
|
- Caroline Nygaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Sandsynlighedsregning 3.1 Sandsynligheder Tilfældig udtrækning fra en mængde Empiriske sandsynligheder Regneregler for sandsynligheder Kombinationer og permutationer Sandsynligheder Udfaldsrum (sample space) S mængden af alle mulige udfald. Udfald (outcome) s et element i S Hændelse (event) A en delmængde af S. Sandsynligheden (probability) for hændelsen A betegnes P(A). Vi skriver også P(s). En sandsynlighedsfunktion P skal opfylde følgende: 1. 0 P(A) 1 for alle hændelser A 2. P(S) 1 3. Additionsregel: Hvis A og B er disjunkte (intet overlap) gælder: P(A B) P(A) + P(B) Eksempel: Lad A og a være to allele gener Udfaldsrum for genotypen: Tre forskellige udfald S {AA, Aa, aa} s 1 AA, s 2 Aa, s 3 aa
2 3.2 Tilfældig udtrækning fra en mængde 2 Under Hardy-Weinberg ligevægt gælder P(AA) p 2 P(Aa) 2p(1 p) P(aa) (1 p) 2 hvor p er hyppigheden af A i populationen. Hændelsen at individet har genet a er B {Aa, aa} og P(B) 2p(1 p) + (1 p) Tilfældig udtrækning fra en mængde Lad S være en endelig mængde med N elementer N #S hvor #S betyder antal elementer i S. Tilfældig udtrækning fra S betyder P(s) 1 N for alle s i S, dvs. alle udfald har samme sandsynlighed. Sandsynligheden for hændelsen A er så P(A) #A N Eksempel: For kast med almindelig terning er S {1,2,3,4,5,6} så N 6 og P(s) 1 6 for s 1,...,6 For A {1, 3, 5} ( antal øjne er ulige ) fås For B {3,6} ( tal deleligt med 3 ) fås P(A) #A P(B) #B
3 3.3 Empiriske sandsynligheder 3 Bemærk: Udtrækkes flere elementer fra S bør man for lille N skelne mellem Udtrækning med tilbagelægning Udtrækning uden tilbagelægning Lad S være et område med samlet areal hvor S betyder arealet for S. (Bemærk at #S nu er uendelig.) T S Tilfældig udtrækning af et element fra S betyder nu: for enhver hændelse A er P(A) A T Eksempel: Vælges et tilfældigt punkt på danmarkskortet er T Danmarks areal. Tag nu A Fyn, så er sandsynligheden for at det tilfældigt valgte punkt falder på Fyn P(A) A T 3.3 Empiriske sandsynligheder Se på en udtømmende og éntydig klassificering: Fyns areal Danmarks areal S A 1 A 2 A k Antag at den j-te klasse A j er fundet n j gange i en stikprøve på n, så Den empiriske sandsynlighed defineres ved n n 1 + n n k for den j-te klasse. P(A j ) n j n Zar Eksempel 5.7: En tilfældig stikprøve (med tilbagelægning) af hvirveldyr af størrelse n 852 fra en skov fordelte sig sådan: Klasse Antal Hyppighed amfibier skilpadder slanger fugle pattedyr total
4 3.4 Regneregler for sandsynligheder 4 Spørgsmål: Hvordan udvælger man et tilfældigt dyr? Skræmmer observatøren dyrene væk? Er der observeret på alle tider af døgnet? Er der observeret på alle årstider? 3.4 Regneregler for sandsynligheder Generel additionsregel (A og B vilkårlige): P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Hvis A c er komplementærhændelsen til A: P(A c ) 1 P(A) A og B kaldes uafhængige hvis P(A B) P(A)P(B) Den betingede sandsynlighed af A givet B er P(A B) P(A B) P(B) Generel multiplikationsregel: P(A B) P(A B)P(B) Bayes formel P(B A) P(A B)P(B) P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ) Eksempel (kast med terning): For A {1,3,5} er P(A) 1/2 For B {3,6} er P(B) 1/3 Da P(A B) P(3) 1/6 fås P(A B) P(A) + P(B) P(A B)
5 3.4 Regneregler for sandsynligheder 5 Komplementærhændelse: A og B er uafhængige, idet P(B c ) 1 1/3 2/3 Når A og B er uafhængige: P(A B) 1 6 P(A)P(B) P(A B) P(A B) P(B) P(A)P(B) P(B) P(A) Lad C {1,2,3,5} så er hverken A, C eller B, C uafhængige. F.eks. er P(A C) 1 2 P(A)P(C) Den betingede sandsynlighed af A givet C er Eksempel på Bayes formel: Screening for recessivt gen a. AA rask; Aa rask bærer; aa syg Lad B {Aa, aa} ( bærer af a ) og Pos screeningen er positiv. P(A C) P(A C) P(C) 1/2 2/3 3 4 Find P(B Pos) ss for bærer, givet at testen er positiv, hvis vi antager: 1. P(B) (frekvensen af bærere) 2. Testen viser 0.1% falske positive og 1% falske negative. Vi ønsker at bruge Bayes formel: P(B Pos) P(Pos B)P(B) P(Pos B)P(B) + P(Pos B c )P(B c )
6 3.5 Kombinationer og permutationer 6 Vi kender følgende P(B) og dermed P(B c ) P(Pos B) 1 P(Neg B) 0.99 P(Pos B c ) Resultat: P(B Pos) Men: med 1% falske positive fås P(B Pos) Kombinationer og permutationer Optælling af kombinationer: Hvis A har a muligheder B har b muligheder A kan kombineres frit med B, så er det samlede antal muligheder a b F.eks. A {Sort, Hvid, Broget} B {Han, Hun} Giver 6 mulige kombinationer af pels og køn. Tilsvarende med kombination af 3 eller flere ting. Eksempel: Et DNA triplet består af 3 nukleotider. Hver nukleotide har 4 muligheder: Adenine Cytosine Guanine Thymine Hvor mange mulige tripletter er der? Svar: Der er muligheder, nemlig
7 3.5 Kombinationer og permutationer 7 (A,A,A) (A,A,C) (A,A,G) (A,A,T) (A,C,A) (A,C,C) (A,C,G) (A,C,T) (A,G,A) (A,G,C) (A,G,G) (A,G,T) (A,T,A) (A,T,C) (A,T,G) (A,T,T) (C,A,A) (C,A,C) (C,A,G) (C,A,T) (C,C,A) (C,C,C) (C,C,G) (C,C,T) (C,G,A) (C,G,C) (C,G,G) (C,G,T) (C,T,A) (C,T,C) (C,T,G) (C,T,T) (G,A,A) (G,A,C) (G,A,G) (G,A,T) (G,C,A) (G,C,C) (G,C,G) (G,C,T) (G,G,A) (G,G,C) (G,G,G) (G,G,T) (G,T,A) (G,T,C) (G,T,G) (G,T,T) (T,A,A) (T,A,C) (T,A,G) (T,A,T) (T,C,A) (T,C,C) (T,C,G) (T,C,T) (T,G,A) (T,G,C) (T,G,G) (T,G,T) (T,T,A) (T,T,C) (T,T,G) (T,T,T) Lad der være givet n objekter a 1,a 2,...,a n Hvis objekterne opstilles i en bestemt rækkefølge kaldes det en permutation. F.eks. for n 5 a 3 a 2 a 5 a 1 a 4 Hvor mange permutationer af n objekter findes der? Svar: Antal forskellige permutationer er: (kaldet n P n af Zar) Argument: Der er n muligheder på 1. plads; n 1 muligheder på 2. plads; 2 muligheder på næstsidste plads; 1 mulighed på sidste plads. Resultatet fås ved at gange sammen. n! n (n 1) (n 2) 2 1 Eksemple: Hopperne Rikke, Lotte, Anne, Else og Vera skal sættes i 5 forskellige båse. Det kan gøres på 5! måder
8 3.5 Kombinationer og permutationer 8 Cirkulære permutationer: Hvis de 5 hopper stiller sig omkring et cirkulært drikkekar er de mulige rækkefølger: 4! rækkefølger Generelt kan n objekter ordnes på (n 1)! måder langs randen af en cirkel. Hvis k pladser skal besættes med k ud af n objekter er der muligheder (kaldet n P k af Zar). n (n 1) (n 2) (n k + 1) F.eks., hvis 2 af hopperne skal sættes i 2 trailere er der forskellige muligheder n! (n k)! Hvis de k objekter skal ordnes langs randen af en cirkel kan det ske på måder. np k n! k (n k)! Lad der være givet n objekter a 1,a 2,...,a n, og lad os udvælge k af disse objekter. Hvis rækkefølgen er ligegyldig taler vi om en kombination. Antallet af kombinationer (k udvælges fra n muligheder): ( ) n n! k k! (n k)! (kaldet n C k af Zar). Eksempel: Man kan vælge 2 hopper ud af de 5 på ( ) 5 5! 2 2! 3! forskellige måder.
9 3.5 Kombinationer og permutationer 9 Argument: En permutation kan fås ved at vælge k objekter ud ( ( n k) måder) og ordne dem i rækkefølge (k! måder), altså på måder. n! (n k)! ( ) n k! k Bemærk at og ( ) n k ( ) n k n! k! (n k)! ( ) n n k n (n 1) (n 2) (n k + 1) k! n (n 1) (n 2) (k + 1) (n k)! Eksempel (DNA triplet): Hvor mange triplets findes der med netop 3 forskellige nukleotider? Svar: Antallet af kombinationer af 3 nukleotider valgt blandt 4 er ( ) Hvor mange triplets findes der med netop 2 forskellige nukleotider? Svar: Antallet af kombinationer af 2 nukleotider valgt blandt 4 er ( ) Lad der være givet n objekter a 1,a 2,...,a n, og lad os dele dem i k klasser af størrelser n 1, n 2,...,n k (altså n 1 + n n k n). Antallet af forskellige opdelinger er da n! n 1! n 2! n k! Eksempel: På hvor mange måder kan man dele en klasse på 11 ind i 3 hold af størrelse 2, 4 og 5? Svar: måder! 11! 2! 4! 5! 6930
DM01 DM01. 4. Obl. Afl. Jacob Christiansen, 130282, jacob.ch@mail.tdcadsl.dk. D12, Elias 13/5-2003. Side 1 af 7
DM01 DM01 4. Obl. Afl. Jacob Christiansen, 130282, jacob.ch@mail.tdcadsl.dk D12, Elias 13/5-2003 Side 1 af 7 DM01 Indholdsfortegnelse: BILAG:...2 1 FORMÅL:...3 2 KLASSER:...4 2.1 DNA2:...4 2.1.1 METODER:...4
Læs mereSandsynlighedsregning og statistik
og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides
Læs mereSandsynlighedsregning
Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)
Læs mereLandmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1
Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens
Læs mereAsger Hobolth (AU, Matematisk Institut): Kaffe, computere og konveks analyse kan kvantificere kendskabet til kræft
Asger Hobolth (AU, Matematisk Institut): Kaffe, computere og konveks analyse kan kvantificere kendskabet til kræft I tæt samarbejde med Astrid Kousholt (Novo Nordisk), Jens Ledet Jensen (AU, Math) and
Læs mere(19) DANMARK (11) DK B1 (12) PATENTSKRIFT. Ci2. Patent- og Varemærkestyrelsen
(19) DANMARK (11) DK 176903 B1 Ci2 (12) PATENTSKRIFT Patent- og Varemærkestyrelsen (51) Int.CI. 8 : C 12 N 15/31 (2006.01) A 61 K 39/02 (2006.01) A 61 K 48/00 (2006.01) A 61 P 31/04 (2006.01) C 07 K 14/29
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed
Læs mereUafhængighed af hændelser
Uafhængighed af hændelser Uafhængighed af to hændelser A og B kaldes uafhængige hændelser hvis P A B P A P B Kaldes også den specielle multiplikationsregel. Så gælder både P A B P A og P B A P B. Bemærk
Læs mereSandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mere(19) DANMARK (11) DK 175533 B1 ( 1 2) PATENTSKRIFT. Patent- og Varemærkestyrelsen
(19) DANMARK (11) DK 175533 B1 ( 1 2) PATENTSKRIFT Patent- og Varemærkestyrelsen (51) Int.C1 7.: A 61 K 39/295 A 61 K 39/205 A 61 K 39/285 A 61 K 39/42 C 12 N 15/00 (21) Patentansøgning nr: PA 1985 06062
Læs mereNanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/
Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereSandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk
Læs mereSandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk
Læs mereBIOS. Celledeling hos en bananflue KOPIARK 135 GENETIK
KOPIARK 135 GENETIK Celledeling hos en bananflue Her er en celle fra en bananflue. Tegn det rigtige antal kromosomer i cellekernen. Se Grundbog B, s. 106. Hvor mange kromosomer har en bananflue i hver
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mere{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereTØ-opgaver til uge 46
TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereSandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk
Læs mereSandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.
Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereEt eksempel: Blomsterpopulation med to co-dominante gener for kronbladenes farve
Populationsgenetik I populationsgenetik beskæftiger man sig med at undersøge hyppigheden af forskellige gener samt fordeligen af fænotyper og genotyper i forskellige populationer. For en ordens skyld:
Læs mereSandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk
Læs mereJ E T T E V E S T E R G A A R D
BINOMIALT EST J E T T E V E S T E R G A A R D F I P B I O L O G I M A R S E L I S B O R G G Y M N A S I U M D. 1 3. M A R T S 2 0 1 9 K A L U N D B O R G G Y M N A S I U M D. 1 4. M A R T S 2 0 1 9 HVEM
Læs mereEn forsker har lavet et cdna insert vha PCR og har anvendt det følgende primer sæt, som producerer hele den åbne læseramme af cdna et:
F2011-Opgave 1. En forsker har lavet et cdna insert vha PCR og har anvendt det følgende primer sæt, som producerer hele den åbne læseramme af cdna et: Forward primer: 5 CC ATG GGT ATG AAG CTT TGC AGC CTT
Læs mere(19) DANMARK. 2six,l (12) PATENTSKRIFT. Patent- og Varemærkestyrelsen (11) DK 175072 B1
(19) DANMARK (11) DK 175072 B1 2six,l (12) PATENTSKRIFT Patent- og Varemærkestyrelsen (51) Int.C1 7.: C 12 N 15/38 A 61 K 39/245 C 12 N 15/63 G 01 N 33/569 (21) Patentansøgning nr: PA 1987 02888 (22).
Læs mereHvor kommer du fra? Hvordan kan vi bruge data fra projektet i undervisningssammenhæng?
Hvor kommer du fra Hvordan kan vi bruge data fra projektet i undervisningssammenhæng Slutkonference ulaen på arhus Universitet, d. 31 marts 2014 Frank Grønlund Jørgensen Ph.d. i biologi fra U med fokus
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereLarge Scale Sequencing By Hybridization. Tel Aviv University
Large Scale Sequencing By Hybridization Ron Shamir Dekel Tsur Tel Aviv University Outline Background: SBH Shotgun SBH Analysis of the errorless case Analysis of error-prone Sequencing By Hybridization
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereStatistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning
Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)
Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereDagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler
Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment
Læs mereDagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Læs mereKromosomer med genet: Genotype (= arveformel): RR Rr rr Fænotype (= fremtoning): Rød Rød Hvid
Kromosomer med genet: R R R r r r Genotype (= arveformel): RR Rr rr Fænotype (= fremtoning): Rød Rød Hvid P-generation: Kønsceller: RR rr Meiose R R r r Befrugtning F 1-generation: Meiose Rr Rr Kønsceller:
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereProdukt og marked - betinget sandsynlighed
Produkt og marked - betinget sandsynlighed Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 12, 2019 1 / 11 Tænkeboks opgave i Ingeniøren Se webside https://ing.dk/artikel/taenkeboks-sandsynligheden-fejlved-positiv-test-221355
Læs mereProjekt 9.4 Darwins, Mendels og Hardy Weinbergs arvelighedslove
Projekt 9.4 Darwins, endels og Hardy Weinbergs arvelighedslove (Projektet kan indgå som en del af et studieretningssamarbejde. Vores definition af sandsynligheder er enten empirisk begrundet eller eksperimentelt
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereMOLEKYLÆR GENETIK - MCAD DEFICIENS - NEONATAL SCREENING
MOLEKYLÆR GENETIK - MCAD DEFICIENS - NEONATAL SCREENING Brage Storstein Andresen Molekylær Medicinsk Forskningsenhed, Skejby Sygehus og Institut for Biokemi og Molekylær Biologi, Syddansk Universitet Nyfødt
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereGenetiske afstande og afstandsmatricer
Genetiske afstande og afstandsmatricer Denne vejledning indeholder en række små øvelser og opgaver der illustrerer, hvordan man ud fra genetiske sekvenser kan udregne en gennemsnitlig evolutionær afstand
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereFra DNA til protein - lærerens tekst
Fra DNA til protein - lærerens tekst Af sidsel sangild Denne øvelse handler om proteinsyntese og proteiners foldning. Den giver mulighed for at danne nogle andre billeder af fænomenet, end man får ved
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mere2011.09.20 lth@campus.dk
2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.
SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereHvorfor er genfinding et vanskeligt problem?
19th January 2005 Genfinding og skjulte Markov-modeller Af Asger Hobolth og Leif Schauser Indledning I disse år kortlægges en række organismers arvelige materiale. Det humane om blev kortlagt i 2001, og
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereKombinatorik og Sandsynlighedsregning
Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mere11. nationale biologiolympiade 2015. Tirsdag den 11. november 2014 Varighed: 90 minutter
11. nationale biologiolympiade 2015 Tirsdag den 11. november 2014 Varighed: 90 minutter Opgaverne besvares direkte på svararket! Uden hjælpemidler! Husk at overføre alle svar til svararket! Kun svararket
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts Kombinatorik
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Kombinatorik Disse noter er en introduktion til kombinatorik og starter helt fra bunden, så en del af det indledende er sikkert kendt for dig allerede
Læs mereProtein databases Rasmus Wernersson. (Slides af Henrik Nielsen & Morten Nielsen).
Protein databases Rasmus Wernersson (Slides af Henrik Nielsen & Morten Nielsen). Background- Nucleotide databases GenBank, http://www.ncbi.nlm.nih.gov/genbank/ National Center for Biotechnology Information
Læs mereEksempel 1.1: kvalitetskontrol
Idag 1. Introduktion til statistik: Eksempel 1.1 og 1.2 fra WMMY samt andre eksempler. 2. Sandsynlighedsregning: udfaldsrum, hændelser, regning med sandsynligheder. 1/17 Eksempel 1.1: kvalitetskontrol
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative
Læs mereEn Introduktion til Sandsynlighedsregning
En Introduktion til Sandsynlighedsregning 9. Udgave Michael Sørensen 11. juli 2008 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereSandsynlighed og kombinatorik
Sandsynlighed og kombinatorik Simpel sandsynlighed... 94 Kombinatorik... 95 Sandsynlighed og kombinatorik... 97 Kombinatorik og kugletrækning... 97 Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 93 Sandsynlighedsregning
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereSANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155
SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,
Læs mereModul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereCellens livscyklus GAP2. Celledeling
Cellens livscyklus Cellens livscyklus inddeles i to faser, interfase og mitose. GAP1 (G1). Tiden lige efter mitosen hvor der syntetiseres RNA og protein. Syntese fasen. Tidsrummet hvor DNAet duplikeres
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereSandsynlighedregning
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) P(A) P(B) P(A B). 1. udgave 2016 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,
Læs mereSandsynlighedregning
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 1. udgave 2007 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSNP håndtering og datavalidering. Kevin Byskov
SNP håndtering og datavalidering Kevin Byskov Disposition Principperne bag genotypning Kontrolprocedurer: Kontrol af Sample ID Mendel Error Check Kontrol af omtypede dyr Cytosin (C) Guanin (G) Homologe
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereSkjulte Markov Modeller og Genidentifikation 2003
Aarhus Universitet 18. december 2003 Datalogisk Institut Ny Munkegade, Bldg. 540 8000 Århus C Skjulte Markov Modeller og Genidentifikation 2003 Niels Christian Bach 19951570 Torben Lauritzen 19940336 Dette
Læs mereArvelig immundefekt. Helsingør Gymnasium Bioteknologi Side 1 af 9
Arvelig immundefekt a. Hvilken mutation kan føre til den nævnte ændring i aminosyresekvensen? En ændring i basesekvensen kaldes en genmutation, og en genmutationer, hvor et basepar i DNA ændres til et
Læs mere