Fibonacci følgen og Det gyldne snit
|
|
- Søren Kristoffersen
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at
2 Fibonacci følgen Fibonacci ( ) Leonardo af Pisa, også kendt som Fibonacci, der er en forkortelse af Figlio di Bonacci, søn af beregninger, f.eks. handelsmænd. Den indeholder den aritmetiske og algebraiske viden man havde på den tid, og kom dermed til at spille en afgørende rolle for matematikkens udvikling i Europa, i de følgende århundreder. Mod den i dag anvender arabertal. Det menes også, at det var Fibonacci, der indførte brøkstregen. Liber abaci indeholder en lang række problemer og deres løsning. Et af problemerne ser, lidt omskrevet, således ud: En kaninbestand består fra begyndelsen af et kønsmodent par. Hver kønsmodent par føder et nyt par hver måned, og kaninerne bliver kønsmodne en måned efter fødslen. Hvordan vokser antallet af kaninpar efterhånden som månederne går? Skemaet nedenfor illustrerer situationen for de første seks måneder Det er løsningen af dette problem, der skaber Fibonaccitallene, og disse er for de første tolv måneder angivet i Liber abaci. Vi vil først bestemme Fibonaccitallene, og senere se på nogle af deres egenskaber, sammenhænge med andre områder. Der er nemlig mange. (Een egenskab, er en tæt sammenhæng med Det gyldne snit. Det gyldne snit defineres og udregnes
3 på side 4, og sammenhængen bevises på side 10). Hvis man fortsætter skemaet, opdager man, at de to talkolonner til højre vokser på samme måde. Hvorfor vi kan nøjes med, at betragte den ene. Det er traditionelt kolonnen under nye par, fra og med måned nr 1: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,.. Det er denne følge af tal, der kaldes Fibonaccifølgen, mens det enkelte tal kaldes et Fibonaccital. Det slår vi fast i en definition. Definition. Ved Fibonaccifølgen forstås den følge af tal,,..., F,... hvor = Fibonaccitallene vokser ret hurtigt, hvilket fremgår af skemaet nedenfor: F = 1 F = 1 F = 2 F = 3 F = 5 F = 8 F = 13 F = 21 F = 34 F = 55 F = 89 F = 144 F = 233 F = 377 F = 610 F = 987 F = 1597 F = 2584 F = 4181 F = 6765 Skal man bestemme f.eks. F er det et ret stort arbejde F = F + Formlen kaldes Binets formel, og er opkaldt efter en fransk matematiker og fysiker, der levede Han fandt i 1843 denne overraskende formel. Senere gives et bevis for Binets formel. Jeg nævnte ovenfor, at der er en tæt sammenhæng mellem Fibonaccitallene og Det gyldne snit. Så nu er det på tide at definere og udregne Det gyldne snit.
4 Det gyldne snit Hvad er det gyldne snit? 1. en måde at dele et linjestykke på. 2. nogle linjer/snit i en billedflade. 3. en form på et rektangel. 4. et tal Der skelnes ikke altid mellem ovenstående tilfælde. Det forhold, linjestykket deles i, mellem snittene i billedfladen, mellem siderne på rektanglet, betegner vi med det græske bogstav (phi) Historisk set stammer det gyldne snit fra de gamle grækere. En konstruktion af snittet findes f.eks. i Euklids Elementer II.11. Og i en anekdote fortælles det, om Eudoxos f.kr., (han var matematiker og elev af Platon), at han en dag gik rundt med en stok, og bad de forbipasserende om at sætte et hak i stokken på det sted, de mente, at stokken ville blive delt på den mest harmoniske måde. Da der var sat en række mærker, kunne han ikke undgå at bemærke, at de samlede sig om ét punkt, nemlig det der senere blev kendt som det gyldne snit. Første gang det fremgår, at man åbenbart synes, der er noget specielt ved det gyldne snit, er i bogen "En beundringsværdig geometrisk frembringelse" af Campus (ca e. Kr.). Senere følger i 1509 en af de oftest citerede bøger om emnet, nemlig "De divina proportione" (Den guddommelige brøk) af Luca Pacioli (ca ). Man regner med, at navnet "Det gyldne snit" stammer fra 1835, hvor en tysk matematiker måske blandede to ting, nemlig: regula aurera (den gyldne regel) [metode fra handelsregning] og secho devina (guddommelige snit). Siden er det i Tyskland og Norden blevet kladt det gyldne snit, mens det andre steder oftest kaldes "den guddommelige brøk" engelsk "the divine proportion". Lad os nu definere det gyldne snit: Definition. Hvis det om linjestykket AB gælder, at det er delt af punktet C, så =, siges C at dele linjestykket AB i det gyldne snit. Lidt mere populært kan definitionen udtrykkes sådan:
5 Forholdet i det gyldne snit udtrykker også, at er mellemproportional til og = 5 (3)
6 Vi betragter nu Fibonaccifølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,..., og tager nu i rækkefølge Fi-tallene og dividerer med det nærmest foregående Fi-tal: Det ser ud til, at følgen konvergerer hurtigt mod ved det 16. element i denne følge, er der en nøjagtighed på 6 decimaler. Men for at være sikre på konvergensen, må vi bevise følgende sætning, helt stringent: Sætning 1 Idet er det n'te Men før vi beviser konvergensen af Fibonaccitallene, må vi bevise Binets formel, da den bruges i beviset for konvergensen.
7 Sætning 2 Binets formel. Det n'te er for alle n 2 ved Vi skal bruge nogle sammenhænge til beviset: For fibonaccifølgen gælder netop, at Fra (3) side 5, har vi, at = og fra (2) side 5, har vi, at (4) Vi vil bevise Sætning 2 ved et induktionsbevis. Beviset udføres i tre trin: 1. Vi viser, at formlen er sand for n = 1 og for n = 2 2. Vi antager så, at formlen er sand for n og (n - 1) 3. Vi viser, at (formlen er sand for n og (n - 1) ) 0 (formlen er sand for (n + 1) 1. er induktionsstarten. 2. er induktionsantagelsen. 3. er induktionsskridtet.
8 Bevis. 1. Ved indsættelse i formlen, får vi: 2. Vi har vist 1., og antager nu at formlen er sand for n og (n - 1) 3. Vi har som forudsætning, fra 2., at formlen er sand for n og (n - 1). Vi skal nu vise, at det medfører, at formlen også er sand for (n + 1): F = = + = = (4) [
9 Binets formel = fortæller os, at F = 55, 55, F = 89, 88, F = 377, 377,
10 Nu kan vi bevise Sætning 1 Sætning 1 Idet er det n'te I beviset får vi brug for nogle sammenhænge: hvilket medfører, at og 0 Bevis = = = = = for
Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse
ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse
Læs mereHvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser
Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereMATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE
MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereDet vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne
Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse
1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,
Læs mereOversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal
Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over
Læs mereDet binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker
Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7
Læs mereSkab plads til det gode arbejdsliv!
Skab plads til det gode arbejdsliv! Kære medlem! Vi ved det godt. Det talte ord har stor betydning. Vi ved også, at der findes gode og dårlige måder at håndtere for eksempel et problem eller travlhed på.
Læs mereHvordan gør de professionelle?
Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision
Læs mereLøs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.
Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes
Læs mereDen lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3
Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereRentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu
Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine
Læs mereMatematik i AT (til elever)
1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereTid til refleksion. - at opdage dét du tror, du ikke ved...
Tid til refleksion - at opdage dét du tror, du ikke ved... Refleksion er en aktiv vedvarende og omhyggelig granskning af den eksisterende viden, og af forholdet mellem det vi tænker og det der sker i virkeligheden
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereBRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL
BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL Lister kan i Excel anvendes til forskellige formål. Her skal vi se på et af disse, nemlig anvendelsen af lister til "databaselignende" funktioner. For at kunne anvende de
Læs mereHvis din hest er død - så stå af
Roller Individuel øvelse 1. Hvilke roller har du på arbejdet? Jeg er den: 2. Hvilken rolle er du mest træt af, og hvorfor? 3. Er der roller, du føler, du er blevet påduttet af andre? 4. Hvilke roller sætter
Læs mere1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.
M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod
Læs mereBjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29. Bjørn Grøn. (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen)
Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29 Bjørn Grøn Fra græsk geometri til moderne algebra (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen) INDHOLD Oprindelsen... 2 Påvirkninger
Læs mereMekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer
Notecentralen Mekanik - Indledende niveau - Uden differentialregning Ole Trinhammer. udgave af første 3 kapitler af Amtrup og Trinhammer Obligatorisk Fysik, Gyldendal Indhold Forord 1 Gode råd til eleven
Læs mereHvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse
0. Hvad er matematik? Hvad er matematik? C Grundbog Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup L&R Uddannelse 1 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Forord.........................................................
Læs mereUafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken
Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Statistiknoter til TI-Nspire CAS version 3.1 Bjørn Felsager Revideret November 2011 329 Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Chi-i-anden-testen
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereEt katalog over paradokser
Et katalog over paradokser Hans Hüttel Oktober 2009 Øen i søen har kun én barber Til gengæld så klipper han alt hvad han ser Han klipper sin fætter, sin hund og sit får Han klipper billetter, når færgerne
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mere