Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fibonacci følgen og Det gyldne snit"

Transkript

1 Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at

2 Fibonacci følgen Fibonacci ( ) Leonardo af Pisa, også kendt som Fibonacci, der er en forkortelse af Figlio di Bonacci, søn af beregninger, f.eks. handelsmænd. Den indeholder den aritmetiske og algebraiske viden man havde på den tid, og kom dermed til at spille en afgørende rolle for matematikkens udvikling i Europa, i de følgende århundreder. Mod den i dag anvender arabertal. Det menes også, at det var Fibonacci, der indførte brøkstregen. Liber abaci indeholder en lang række problemer og deres løsning. Et af problemerne ser, lidt omskrevet, således ud: En kaninbestand består fra begyndelsen af et kønsmodent par. Hver kønsmodent par føder et nyt par hver måned, og kaninerne bliver kønsmodne en måned efter fødslen. Hvordan vokser antallet af kaninpar efterhånden som månederne går? Skemaet nedenfor illustrerer situationen for de første seks måneder Det er løsningen af dette problem, der skaber Fibonaccitallene, og disse er for de første tolv måneder angivet i Liber abaci. Vi vil først bestemme Fibonaccitallene, og senere se på nogle af deres egenskaber, sammenhænge med andre områder. Der er nemlig mange. (Een egenskab, er en tæt sammenhæng med Det gyldne snit. Det gyldne snit defineres og udregnes

3 på side 4, og sammenhængen bevises på side 10). Hvis man fortsætter skemaet, opdager man, at de to talkolonner til højre vokser på samme måde. Hvorfor vi kan nøjes med, at betragte den ene. Det er traditionelt kolonnen under nye par, fra og med måned nr 1: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,.. Det er denne følge af tal, der kaldes Fibonaccifølgen, mens det enkelte tal kaldes et Fibonaccital. Det slår vi fast i en definition. Definition. Ved Fibonaccifølgen forstås den følge af tal,,..., F,... hvor = Fibonaccitallene vokser ret hurtigt, hvilket fremgår af skemaet nedenfor: F = 1 F = 1 F = 2 F = 3 F = 5 F = 8 F = 13 F = 21 F = 34 F = 55 F = 89 F = 144 F = 233 F = 377 F = 610 F = 987 F = 1597 F = 2584 F = 4181 F = 6765 Skal man bestemme f.eks. F er det et ret stort arbejde F = F + Formlen kaldes Binets formel, og er opkaldt efter en fransk matematiker og fysiker, der levede Han fandt i 1843 denne overraskende formel. Senere gives et bevis for Binets formel. Jeg nævnte ovenfor, at der er en tæt sammenhæng mellem Fibonaccitallene og Det gyldne snit. Så nu er det på tide at definere og udregne Det gyldne snit.

4 Det gyldne snit Hvad er det gyldne snit? 1. en måde at dele et linjestykke på. 2. nogle linjer/snit i en billedflade. 3. en form på et rektangel. 4. et tal Der skelnes ikke altid mellem ovenstående tilfælde. Det forhold, linjestykket deles i, mellem snittene i billedfladen, mellem siderne på rektanglet, betegner vi med det græske bogstav (phi) Historisk set stammer det gyldne snit fra de gamle grækere. En konstruktion af snittet findes f.eks. i Euklids Elementer II.11. Og i en anekdote fortælles det, om Eudoxos f.kr., (han var matematiker og elev af Platon), at han en dag gik rundt med en stok, og bad de forbipasserende om at sætte et hak i stokken på det sted, de mente, at stokken ville blive delt på den mest harmoniske måde. Da der var sat en række mærker, kunne han ikke undgå at bemærke, at de samlede sig om ét punkt, nemlig det der senere blev kendt som det gyldne snit. Første gang det fremgår, at man åbenbart synes, der er noget specielt ved det gyldne snit, er i bogen "En beundringsværdig geometrisk frembringelse" af Campus (ca e. Kr.). Senere følger i 1509 en af de oftest citerede bøger om emnet, nemlig "De divina proportione" (Den guddommelige brøk) af Luca Pacioli (ca ). Man regner med, at navnet "Det gyldne snit" stammer fra 1835, hvor en tysk matematiker måske blandede to ting, nemlig: regula aurera (den gyldne regel) [metode fra handelsregning] og secho devina (guddommelige snit). Siden er det i Tyskland og Norden blevet kladt det gyldne snit, mens det andre steder oftest kaldes "den guddommelige brøk" engelsk "the divine proportion". Lad os nu definere det gyldne snit: Definition. Hvis det om linjestykket AB gælder, at det er delt af punktet C, så =, siges C at dele linjestykket AB i det gyldne snit. Lidt mere populært kan definitionen udtrykkes sådan:

5 Forholdet i det gyldne snit udtrykker også, at er mellemproportional til og = 5 (3)

6 Vi betragter nu Fibonaccifølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,..., og tager nu i rækkefølge Fi-tallene og dividerer med det nærmest foregående Fi-tal: Det ser ud til, at følgen konvergerer hurtigt mod ved det 16. element i denne følge, er der en nøjagtighed på 6 decimaler. Men for at være sikre på konvergensen, må vi bevise følgende sætning, helt stringent: Sætning 1 Idet er det n'te Men før vi beviser konvergensen af Fibonaccitallene, må vi bevise Binets formel, da den bruges i beviset for konvergensen.

7 Sætning 2 Binets formel. Det n'te er for alle n 2 ved Vi skal bruge nogle sammenhænge til beviset: For fibonaccifølgen gælder netop, at Fra (3) side 5, har vi, at = og fra (2) side 5, har vi, at (4) Vi vil bevise Sætning 2 ved et induktionsbevis. Beviset udføres i tre trin: 1. Vi viser, at formlen er sand for n = 1 og for n = 2 2. Vi antager så, at formlen er sand for n og (n - 1) 3. Vi viser, at (formlen er sand for n og (n - 1) ) 0 (formlen er sand for (n + 1) 1. er induktionsstarten. 2. er induktionsantagelsen. 3. er induktionsskridtet.

8 Bevis. 1. Ved indsættelse i formlen, får vi: 2. Vi har vist 1., og antager nu at formlen er sand for n og (n - 1) 3. Vi har som forudsætning, fra 2., at formlen er sand for n og (n - 1). Vi skal nu vise, at det medfører, at formlen også er sand for (n + 1): F = = + = = (4) [

9 Binets formel = fortæller os, at F = 55, 55, F = 89, 88, F = 377, 377,

10 Nu kan vi bevise Sætning 1 Sætning 1 Idet er det n'te I beviset får vi brug for nogle sammenhænge: hvilket medfører, at og 0 Bevis = = = = = for

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Skab plads til det gode arbejdsliv!

Skab plads til det gode arbejdsliv! Skab plads til det gode arbejdsliv! Kære medlem! Vi ved det godt. Det talte ord har stor betydning. Vi ved også, at der findes gode og dårlige måder at håndtere for eksempel et problem eller travlhed på.

Læs mere

Hvordan gør de professionelle?

Hvordan gør de professionelle? Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Tid til refleksion. - at opdage dét du tror, du ikke ved...

Tid til refleksion. - at opdage dét du tror, du ikke ved... Tid til refleksion - at opdage dét du tror, du ikke ved... Refleksion er en aktiv vedvarende og omhyggelig granskning af den eksisterende viden, og af forholdet mellem det vi tænker og det der sker i virkeligheden

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL

BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL Lister kan i Excel anvendes til forskellige formål. Her skal vi se på et af disse, nemlig anvendelsen af lister til "databaselignende" funktioner. For at kunne anvende de

Læs mere

Hvis din hest er død - så stå af

Hvis din hest er død - så stå af Roller Individuel øvelse 1. Hvilke roller har du på arbejdet? Jeg er den: 2. Hvilken rolle er du mest træt af, og hvorfor? 3. Er der roller, du føler, du er blevet påduttet af andre? 4. Hvilke roller sætter

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29. Bjørn Grøn. (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen)

Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29. Bjørn Grøn. (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen) Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra Side 1 af 29 Bjørn Grøn Fra græsk geometri til moderne algebra (bearbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen) INDHOLD Oprindelsen... 2 Påvirkninger

Læs mere

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer Notecentralen Mekanik - Indledende niveau - Uden differentialregning Ole Trinhammer. udgave af første 3 kapitler af Amtrup og Trinhammer Obligatorisk Fysik, Gyldendal Indhold Forord 1 Gode råd til eleven

Læs mere

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse 0. Hvad er matematik? Hvad er matematik? C Grundbog Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup L&R Uddannelse 1 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Forord.........................................................

Læs mere

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Statistiknoter til TI-Nspire CAS version 3.1 Bjørn Felsager Revideret November 2011 329 Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Chi-i-anden-testen

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Et katalog over paradokser

Et katalog over paradokser Et katalog over paradokser Hans Hüttel Oktober 2009 Øen i søen har kun én barber Til gengæld så klipper han alt hvad han ser Han klipper sin fætter, sin hund og sit får Han klipper billetter, når færgerne

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere