Sandsynlighedsregning i biologi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sandsynlighedsregning i biologi"

Transkript

1 Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6. Hvis vi får at vide, at sadsylighede for, at e mad er rød-grø farveblid, er 5%, er vi også umiddelbart klar over, hvad det betyder. Alligevel er de to sadsyligheder meget forskellig af atur. I tilfældet med terige behøver vi ikke at kaste de for at kue udtale os om sadsylighede for at få e femmer; de er ærmest givet på forhåd. E såda sadsylighed kaldes e a priori sadsylighed. I tilfældet med farveblidhede forholder det sig aderledes. For at vi skal have e chace for at kue udtale os om sadsylighede her, må vi have ogle statistiske oplysiger om rød-grø farveblidhed for mæd. E sadsylighed, der bestemmes på dee måde, kaldes e frekvetiel sadsylighed. Øvelse 1 Hvad er sadsylighede for at få plat ved kast med e møt? Øvelse 2 Vi kaster e tædstikæske på gulvet. Hvad er sadsylighede for, at de lader på svovlet? Øvelse 3 25 ud af kvider er rød-grø farveblide. a) Hvad er sadsylighede for, at e kvide er rød-grø farveblid. b) Hvad ka årsage være til forskelle på farveblidhed hos mæd og kvider? Øvelse 4 a) Overvej i hvert tilfælde i øvelse 1 til 3, om der er tale om e a priori sadsylighed eller e frekvetiel sadsylighed. b) Fid selv ogle eksempler på heholdsvis a priori sadsyligheder og frekvetielle sadsyligheder. Betiget sadsylighed Øvelse 5 Aders og Bet er kokke på restaurat Bayes i heholdsvis 6 dage og 1 dag om uge. Aders mad er god i 90% af tilfældee, mes Bets mad er god i 50% af tilfældee. E afte serverer Bayes et eledigt måltid. a) Syes du umiddelbart, det er rimeligt at kokludere, at det er Bet, der har lavet made de afte? b) I de uge er der blevet serveret måltider på Bayes. Fordel de måltider i følgede skema: Aders Bet Godt Dårligt c) Hvor mage dårlige måltider er der blevet serveret i de uge? d) Hvor mage af dem har Bet lavet? e) Hvad er sadsylighede for, at et dårligt måltid er lavet af Bet? De sadsylighed, vi fider i sidste spørgsmål i øvelse 5 kaldes e betiget sadsylighed. Vi fider emlig sadsylighede for, at det er Bet, der har lavet made, år vi ved, at måltidet er dårligt. Dee sadsylighed vil vi betege P(Bet Dårligt) eller kort P(B D). I skemaet i øvelse 5 bør I have fudet frem til, at Aders har lavet 60 og Bet 50 dårlige måltider. Der er altså i alt lavet 110 dårlige måltider de uge, og sadsylighede for, at et tilfældigt måltid er dårligt, er Sadsylighedsregig i biologi 1

2 således 110/. Dee sadsylighed kalder vi P(D). Sadsylighede for at få et måltid, der både er lavet af Bet og er dårligt, er 50/, og dee sadsylighed kalder vi P(B D). Der gælder u ifølge sidste spørgsmål i øvelse 5, at 50 P(B D) = = P(B D) =. P(D) Vi har altså idført e betiget sadsylighed P(B D) og har fudet e formel, som ka bruges til beregig af de. P(B D) P(B D) =. P(D) Skrivemåde B D svarer til, at vi ser på de måltider, der lavet af Bet og er dårlige. På samme måde svarer A G til de måltider, der er lavet af Aders og er gode. Tallee i skemaet fra øvelse 5 ka oversættes til sadsylighedere eller Godt Dårligt Aders P(A G) P(A D) Bet P(B G) P(B D) Aders Bet Godt Dårligt Øvelse 6 Ligesom P(D) i oveståede er sadsylighede for at få et dårligt måltid, er P(A) sadsylighede for, at et tilfældigt måltid er lavet af Aders. a) Fid P(A). b) Fid også P(B) og P(G) og forklar med ord, hvad disse sadsyligheder betyder. c) Fid P(A D), P(B G).og P(A G) og forklar med ord, hvad disse sadsyligheder betyder. Defiitio Ved de betigede sadsylighed P(A B) forstår vi sadsylighede for, at A sker uder forudsætig af, at B er sket, og P(A B) er givet ved formle P(A B) P(A B) =, hvor det er forudsat, at P(B) > 0. P(B) Eksempel 1 På Miikøbig Gymasium og HF fordelte atallet af elever sig et år således Gymasieelever Hf-elever I alt Drege Piger I alt Med G forstår vi, at e elev er gymasieelev, og med D forstår vi, at e elev er e dreg. Vi ser af skemaet, at P(G) = 135/250, P(D) = 113/250 og P(G D) = 64/250. De betigede sadsylighed P(G D) er så: P(G D) P(G D) = = P(D) = 56,6%. 113 Sadsylighedsregig i biologi 2

3 Tager vi e tilfældigt valgt dreg på Miikøbig Gymasium og HF, er der altså kap 57% chace for, at ha går i gymasiet. Øvelse 7 Udreg P(D G) og beskriv med ord, hvad dee sadsylighed betyder. Øvelse 8 Vis ved hjælp af defiitioe ovefor, at P(A B)P(B) P( B A) =. P(A) Fælles for de idledede eksempler og øvelser er, at der eksisterer e række alterative muligheder, hvis sadsylighed ma udtaler sig om. Disse alterativer kalder ma også for udfald, og alle udfaldee udgør tilsamme udfaldsrummet. Delmægder af udfaldsrummet kaldes hædelser. To hædelser kaldes disjukte, hvis de ikke har oge udfald til fælles. I eksempel 1 udgøres udfaldsrummet af de 250 elever, der går på Miikøbig Gymasium og HF, og G er et eksempel på hædelse, at e tilfældigt valgt elev er e gymasieelev. Hvis H beteger hædelse, at e tilfældigt valgt elev er e Hf-elev, er G og H disjukte. Ma siger også, at G og H udelukker hiade. Ma ka desude se, at G og H tilsamme udgør hele udfaldsrummet. Sætig (Bayes formel) Hvis et udfaldsrum er delt op i hædelser H 1, H 2,, H, som er parvis disjukte, og der er givet e hædelse A med P(A) > 0, så vil P(H i P(A Hi )P(H i ) A) =, P(A H )P(H ) + P(A H )P(H ) + + P(A H )P(H ) for i = 1, 2,, Bevis: Vi ka dele udfaldee i A op i de udfald, der ligger i H 1, de udfald, der ligger i H 2, de udfald, der ligger i H 3 osv. Derfor bliver P(A) = P(A H ) + P(A H ) + + P(A H ). 1 2 Af defiitioe på betiget sadsylighed ka vi omskrive dette til P(A) = P(A H1 )P(H 1) + P(A H2)P(H2) + + P(A H Fra øvelse 8 ved vi, at P(A Hi )P(Hi ) P(H i A) =, P(A) og idsætter ma u udtrykket for P(A) i ævere, fås sætige. )P(H ) Sadsylighedsregig i biologi 3

4 Retsgeetik- case. Case: Alle bør skal have e fader. Biologisk baggrudsstof: - DNA molekylet. - Cellekere med 46 kromosomer. - Meiose (ikke overkrydsig) - Et-gesedarvig: cystisk fibrose, Hutigtos Chorea, blodtyper ABO, rhesus og blødersygdom/farveblidhed Øvelse 9 Hvor mage forskellige køsceller ka daes ved e meiotisk delig ude overkrydsig og ude mutatioer? Hvad er frekvese af cystisk fibrose i de daske befolkig? (fid det evt. på ettet) Et ægtepar har fået to ormale bør og et bar med cystisk fibrose og veter et fjerde bar. Hvilke geotype har fadere og modere? Opskriv et edarvigsskema. Hvad er sadsylighede for, at det vetede bar får cystisk fibrose? Hvorda ka ma udersøge om fosteret har cystisk fibrose? Øvelse 10 E kvide på 25 år veter et bar. Kvides far på 51 år har lige fået kostateret Hutigtos Chorea. Hvad er sadsylighede for at kvide har arvet geet for sygdomme? Vil du råde kvide til e geetisk test? Øvelse 11 Aalyse af stamtræ med blødersygdom f.eks. droig Victorias. Udregig af sadsylighede for udvalgte persoers geotype. Forsøg: - DNA opsamlig f.eks. fra løg + DNA elektroforese. - Et-geedarvig hos byg. - Blodtypebestemmelse. - Farveblidhedsudersøgelse. Øvelse 12 Faderskabssag: Moder har blodtype A, baret har B. Følgede mæd gør krav på faderskabet: e med blodtype A, e med blodtype O, og e med AB. Hvilke geotype har modere og baret? Hvilke mæd ka straks udelukkes? B B B Hvor stor er sadsylighede for barets geotype, givet at fadere har geotype I I, I i og A B I I? Hvor stor er sadsylighede for, at de oveståede mæd er far til baret år edeståede geotypefordelig er gældede? Tabel over geotypefordelige i de daske befolkig: Geotype A A I I A B I I A I i B B I I B I i ii Fæotype A AB A B B 0 Frekves % ,84 0,64 10,24 40,96 Kotroller die resultater på Er det rimeligt at tilkede faderskabet på dette grudlag? Sadsylighedsregig i biologi 4

5 A Avedelse af Bayes formel: (f= farther, c=child, vi skriver A i stedet for I og B i stedet for I B, og c i stedet for cbi på højresidere af ligige). P( fab cbi) = P(fAB c) = P(c fab)p(fab) P(c fbi)p(fbi) + P(c fbb)p(fbb) + P(c fab)p(fab) + P(c f ii)p(fii) + P(c faa)p(faa) + P(c fai)p(fai) Teori: PCR Bruges til at opformere et lille stykke DNA i mage kopier. Stykket udvælges ved at fide to stykker DNA, primers, der ligger på hver side af det øskede stykke DNA. Det svarer til, at ma i de daske sagskat leder efter stykket mellem Mariehøe Evigglad gik tur og Evigglad til madam Segl. Det vil etydigt give de sag, og ikke oget som helst adet. Hvis ma leder mellem viter og vår, så får ma sikkert mage forskellige stykker ud af det. Der fides flere forskellige aimatioer af PCR på ettet, f.eks. (hvis ma har chock wave) (hvor ma dog ikke ka se forskel på korte og halvlage DNA stykker). Øvelse 13 Gør rede for, at efter kopieriger ud fra 1 lagt, dobbeltstregede DNA, er der 2 2 stykker af det søgte (korte) dobbeltstregede DNA. (Hit: Tæl ekeltstregee i stedet for dobbeltstregee, og hold styr på, hvor mage af stregee, der har de opridelige lægde, hvor mage der er halvlage, og hvor mage der er korte, me som sidder på de halvlage.) Teori: STR Ma reger med, at vi bruger 0,5% af vores DNA. Id imellem det livsvigtige DNA er der mage stykker DNA, hvori der ka ske ædriger ude at det får kosekveser for idividet. E af disse typer ædriger er, at et stykke DNA repeteres. Et kopieret stykke kue f.eks. bestå af stykket GAGGCA, der optræder i et helt atal getagelser på et bestemt sted på et bestemt kromosom. STR står for Short Tadem Repeats, og e STR på 8 betyder, at stykket optræder i 8 kopier. Ma har fudet flere steder på det meeskelige kromosom, hvor sådae getagelser optræder. Heraf udvælger ma de steder, hvor meesker varierer meget, og hvor der sker meget få mutatioer fra geeratio til geeratio, idet e høj mutatiosrate vil ødelægge avedelse i faderskabssager. Der er typisk mellem 6 og 30 kopier af e bestemt sekves. Hvis 2 meesker er forskellige i såda et STR sted, vil forskelle derfor være et multiplum af lægde af stykket. Da de stykker DNA, som ma udvider vha. PCR, er baser lage, er ma faktisk i stad til at adskille 2 stykker DNA, der afviger med bare 4 baser. Det DNA, der er daet i PCR, ka evetuelt klippes med restriktiosezymer. Så skal ezymere klippe primer-edere af, me de må ikke klippe i selve STR stedet. Til forskel for adre aalyser, er STR emlig ikke bestemt af, hvor restriktiosezymere klipper, me ku af hvor mage getagelser der er. Ma skal så være sikker på, at restriktiosezymere klipper es hos alle meesker. E persos geotype for e bestemt STR regio agives med et talsæt, f. eks. (8,12), hvor ma har arvet et stykke med 8 sekveser fra de ee forælder og et stykke med 12 sekveser fra de ade forælder. Teori: Elektroforese Da DNA er egativt ladet, vil DNA stykker vadre mod de positive pol i et elektrisk spædigsfelt. I e agarose- eller polyacrylamid-gel, vil små stykker DNA vadre hurtigst, og derfor lægst. Med farvig vil ma derfor kue se forskellige båd af DNA stykker. Ma sætter også e prøve, der ideholder mage forskellige DNA stykker med kedt lægde i elektroforese, så har ma e lieal. På figur 1 er 12 STR sites valgt ud og iddelt i 3 grupper, således at ma laver 4 tests samme i hver elektroforese. På grud af stykkeres størrelser, vil de adskille sig pæt i 4 veldefierede grupper i hver af de 3 elektroforesere. Sadsylighedsregig i biologi 5

6 Figur 1 På hver af de tre elektroforeser ses 4 lodrette liealer. Hver eeste vadret streg er e portio DNA med et bestemt atal getagelser. De øverste til vestre har således mellem 7 og 16 getagelser, de æste er mellem 6 og 13. I de tre mellemrum mellem liealere er der i alt 6 persoer L1 L6. Bemærk, at hver perso har 1 eller 2 streger i hvert STR site. Kilde: New approaches to DNA Figerpritig Aalysis af J.W. Schumm, Notes magazie Number 58, 1996 p. 12. Øvelse 14 Prøv at aflæse STR talsættee for persoere L1 L6 i e af de 12 STR regioer på figure. Klasse ka fordele regioere eller persoere mellem sig, så alle persoere får aflæst deres 12 talsæt. Øvelse 15 Mor er (10,12) i e bestemt STR regio, baret er (12,12), ægtemade er (10,12). Ka ægtemade være far til baret? Ka ma med sikkerhed sige, at ha er far til baret? Øvelse 16 I de daske befolkig er P(10)=0,28425, P(12)=0,25942, P(X)=0,45634 (X er alt adet). Hvad er sadsylighede for, at e tilfældig perso i befolkige er (10,12)? Defiitio: Faderskabskvotiet = P(modere og de give mad får dette bar) P(modere og e tilfældig mad fra populatioe får dette bar) Eksempel 2 I opgave ovefor har baret fået r 12 fra både mor og far. Sadsylighede for at ægtemade giver 12 til baret er 0,5, mes sadsylighede for, at e tilfældig mad giver 12 til baret er 0, Vi defiere så faderskabskvotiet som 0,5 = 1,9274. Det betyder, at ægtemade er 1,92 gage så sadsylig som far til baret ed e 0,25942 tilfældig mad af dask afstamig. Sadsylighedsregig i biologi 6

7 Eksempel 3 Mor er (10,12), baret er (10,12); ægtemade er (12,12). Hvis ægtemade er far giver ha 12 og modere giver 10, me hvis e tilfældig mad er far, ka modere give ete 10 eller 12 og made giver så 12 eller 10. Vi får altså at: 0,5 1 Faderskabskvotiete = = 1, 9 0,5 0, ,5 0,28425 Øvelse 17 Et adet sted på kromosomere sidder e ade STR regio, hvor P(14)=0,508, P(16)=0,373 og P(X)=0,119 =P(alt muligt adet ed 14 og 16) Hvis mor er (14,16), baret er (x,16) og far er (x,16), Hvad er så faderskabskvotiete? Eksempel 4 Hvis to forskellige STR regioer giver faderskabskvotieter på hhv. 1,355 og 1,281, er Faderskabsidekset = 1,355 1,281 = 1, 735 Øvelse 18 Tag resultatere fra øvelse 17 og eksempel 3. Hvad bliver det samlede faderskabsidex for de 3 sites? Øvelse Er der oget, der taler imod, at Peter Jese (skemaet æste side) er far til baret? 2. Bereg faderskabsidekset og overstreg for eller imod og større eller midre i tekste. 3. Kommer made til at betale for baret ifølge retsmedicieres regler? 4. Er et rimeligt tal for faderskabsidekset sammeliget med f.eks. 1000? Fid ud af, hvor mage meesker, der er i di by. Reg med at halvdele er mæd og halvdele af disse er i e attraktiv alder. Giv ud fra faderskabsidekset et skø over, hvor mage af disse mæd, der kue være fader til baret. 5. Hvad er grude til, at beregigere ikke gælder ved sammeligig med e ær slægtig? Sadsylighedsregig i biologi 7

8 Retsgeetisk Afdelig Retsmedicisk Istitut Rekviret: Dommere i Miikøbig Sagstype: Faderskabssag Rekvirets J.r. Kvide: Birte Jese Bar: Lie Jese Mad: Peter Jese Blodprøver fra made: Resultater: Geetisk system Kvide Bar Mad D3s P(11)=0,201 P(14)=0,313 P(18)=0,345 P(X)=0,141 HumVWA P(15)=0,391 P(16)=0,041 P(17)=0, P(X)=0,325 FGA P(20)=0,301 P(21)=0,121 P(22)=0, P(23)=0,386 P(X)=0,146 D8s P(8)=0,156 P(12)=0,388 P(15)=0, P(X)=0,2 D21s P(30)=0,219 P(31)=0,332 P(32)=0, P(X)=0,16 D18s P(12)=0,385 P(14)=0,228 P(15)=0, P(X)=0,178 D5s P(8)=0,276 P(10)=0,391 P(11)=0, P(X)=0,133 D13s P(9)=0,433 P(10)=0,012 P(11)=0, P(12)=0,185 P(X)=0,2 D7s P(9)=0,129 P(10)=0, P(X)=0,579 Faderskabsideks: Resultatere taler for/imod mades faderskab til baret med e vægt større/midre ed til 1. Resultatere taler således for/imod at de udersøgte mad er mere/midre ed gage mere sadsylig som far til baret ed e tilfældig mad af dask afstamig. Beregigere gælder ikke ved sammeligig med e ær slægtig til made. Odds Odds for e hædelse defieres som sadsylighede for hædelse divideret med sadsylighede for de komplemetære hædelse. Faderskabskoefficiete er sadsylighede for de give far divideret med sadsylighede for e hvilke som helst far, altså stort set faderes odds for faderskabet. Selv om fadere ikke specifikt er trukket ud af pulje til beregige af ævere, går vi ud fra, at pulje af mulige fædre er så stor, at det er uderordet om ha er talt med eller ej. Redigeret af Helle Aagaard-Hase, oktober 2004 Sadsylighedsregig i biologi 8

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

BILAG I PRODUKTRESUME

BILAG I PRODUKTRESUME BILAG I PRODUKTRESUME 1 1. LÆGEMIDLETS NAVN Nimerix pulver og solves til ijektiosvæske, opløsig i fyldt ijektiossprøjte Meigokokgruppe A, C, W-135 og Y kojugeret vaccie 2. KVALITATIV OG KVANTITATIV SAMMENSÆTNING

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011 Aalborg Uiversitet Ladsbyer i storkommue Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørge Publicatio date: 2011 Documet Versio Tidlig versio også kaldet pre-prit Lik to publicatio from Aalborg Uiversity Citatio for published

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Sammenfatninger, analyser og anbefalinger fra FOAs sundhedspolitiske udspil. Sundhed for alle. FOA Fag og Arbejde 1

Sammenfatninger, analyser og anbefalinger fra FOAs sundhedspolitiske udspil. Sundhed for alle. FOA Fag og Arbejde 1 F O A f a g o g a r b e j d e Sammefatiger, aalyser og abefaliger fra FOAs sudhedspolitiske udspil Sudhed for alle FOA Fag og Arbejde 1 Politisk asvarlig: Deis Kristese Redaktio: Kasper Maiche og Peter

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet og Biogass Brugertilfredshedsudersøgelse af og Biogasss sagsbehadlig og ydelser bladt ommuer Tabelrapport, telefoudersøgelse December Projetosuleter Asger H. Nielse Coie F. Larse Alle rettigheder til udersøgelsesmaterialet

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram Jauar 2011 Garatibevis DS Trapezprofiler DS Siusprofiler DS Padeplader DS Tagstesprofiler DS Lysplader DS Tagredeprogram GARANTIBEVIS 2 Betigelser for opfyldelse af garativilkår at produktet ikke avedes

Læs mere

Resultatoversigt for Retten på Bornholm

Resultatoversigt for Retten på Bornholm Resultatoversigt for Rette på Borholm BEMÆRK: Spørgsmål markeret med *) er ku stillet til professioelle brugere. Spørgsmål markeret med **) er ku stillet til almidelige brugere. Baggrudsoplysiger Besvarelser

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN VELKOMMEN Tilskudsreglere beskriver hvorda Faaborg-Midtfy Kommue støtter det frivillige folkeoplysede foreigsarbejde med økoomisk tilskud og avisig

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere