Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 6, 2009

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 6, 2009"

Transkript

1 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 6, 2009

2 Algorithms and Architectures I 1. Introduction to analysis and design of algorithms 2. Recursive algorithms and recurrences 3. Self study 4. Sorting Algorithms 5. Self study 6. Hash tables, binary search trees 7. Self study 8. Binary search trees, red-black trees 9. Self study 10. Misc + Q&A

3 Dagsorden Introduktion og formål med kursus Introduktion til algoritmer Eksempler Fra problem til algoritme Analyse af algoritmers korrekthed Metode Eksempler Insert sorterings algoritme Merge algoritme Metoder til analyse af algoritmer Notationer Kompleksitet Opsummering og konklusion Opgaver

4 Formål og mål med kursus (taget fra studieordningen) Kursets formål er at understøtte den studerende i at: Forstå og anvende fundamentale algoritmer til organisation af og beregninger på data. Analysere og konstruere hensigtsmæssige repræsentationer af og beregninger på data. Den studerende skal ved den afsluttende prøve kunne: Anvende begreber, teorier og metoder til at analysere og designe algoritmer. Dokumentere forståelse for simple og sammensatte datastrukturer og deres anvendelser. Dokumentere forståelse for algoritmers og datastrukturers effektivitet, og anvende denne forståelse i forbindelse med konstruktion og analyse af algoritmer og datastrukturer. Redegøre for de overvejelser, der er forbundet med at implementere datastrukturer og algoritmer i praksis Benytte korrekt fagterminologi

5 Dagsorden Introduktion og formål med kursus Introduktion til algoritmer Eksempler Fra problem til algoritme Analyse af algoritmers korrekthed Metode Eksempler Insert sorterings algoritme Merge algoritme Metoder til analyse af algoritmer Notationer Kompleksitet Opsummering og konklusion Opgaver

6 Hvad er algoritmer Ordet algoritmer stammer fra den persiske matematiker fra det 9. århundrede: Abu Abdullah Muhammed ibn Musa al-khwarizmi Algoritmer findes overalt i dagligdagen, f.eks. for lyspærer De tidligst kendte algoritmer blev lavet af Babylonerne omkring år 1600 BC til faktorisering af tal og uddragelse af kvadratrødder Et spørgsmål: Hvorfor skal vi studere algoritmer når vi nu har super hurtige computere, der kværner tal en zillion gange hurtigere end vi selv gør? Lamp does not work Lamp plugged In? Bulp burned Out? Buy new lamp Plug in lamp Replace bulp

7 Et spørgsmål om computer kraft? Lommeregner Desktop Mainframe Distribuerede computere Nogle problemer er mere komplekse end andre. Tænk bare på f.eks. Skak og alle de kombinationsmuligheder der findes, valg af næste træk Søgning og organisering af data på Internettet, data baser, billet systemer osv. Rutning af data over store netværk (evt. ad-hoc) Planlægning af kabel nedgravning for fiber udlægning

8 En analogi til kompleksitet Fire rejsende med forskellige transportmidler L rejser x meter på x tid P rejser x^2 meter på x tid E rejser e^x meters på x tid F rejser x! meters på x tid hver tager en lille tur.

9 En analogi til kompleksitet #2 Så de starter hver deres rejse Når L har taget 18 skridt, har E næsten nået sin anden gang rundt om jorden og F vil have været nået til Månen og tilbage igen næsten gange L linear P polynomial E exponential F - factorial E vil have taget 12 ture rundt om jorden før L har taget 20 skridt

10 En analogi til kompleksitet #3 Fortsat Eller hvad med F har taget Solen-Jorden tur/retur ca. 5*10^127 gange mens L stadig mangler 10 meter på 100 m banen? L linear P polynomial E exponential F - factorial Konklusion: Kompleksitet betyder virkelig noget! Overvej hvad i sætter maskinen igang med at lave!

11 Klassifikation af algoritmer efter design metode Del og hersk Nedbrydning af problem til mindre problemer der er lettere at løse Dynamisk programming Genanvendelse af tidligere opnåede resultater Ligner Del-og-hersk men er typisk hurtigere i udførsel pga. genanvendelse af resultater Lineær programming Løsning af lineære uligheder, eks. Ax<b Grådige algoritmer Valg af umiddelbart mest optimal løsning til et givet delproblem Giver ikke nødvendigvis bedste resultat, men typisk et ret godt resultat Reduktion Inkludere problem transformering til et kendt og mindre kompleks løsning Søg og nummerering Til problemer der kan løses som grafer, f.eks. Skak eller kryds og bolle Probabilistiske and heuristiske algoritmer Algoritmer der er baseret på tilfældigheder, f.eks. genetiske algoritmer

12 Klassifikation af algoritmer efter implementationsmetode Rekursion eller iteration Algoritmer der baserer sig på gentagne kald af sig selv Typisk del-og-hersk type algoritme Logiske Anvendelse af logiske aksiomer der leder til kontrollerede, logiske udledninger baseret på input Serielle, parallelle eller distribuerede Serielle algoritmer kræver instruktioner udført en ad gangen Parallelle algoritmer kan dele sine opgaver op i mindre delopgaver (f.eks. del-og-hersk) Distribuerede algoritmer, arbejder ikke bare på en enkelt maskine, men over et helt netværk Deterministiske eller non-deterministiske Deterministiske algoritmer baserer sine beslutninger på et deterministik grundlag Non-deterministiske algoritmer baserer ikke altid sine beslutninger på et deterministisk grundlag, f.eks. probabilistiske algoritmer Præcise eller upræcise Nogen algoritmer (præcise) leverer et eksakt resultat, mens andre algoritmer leverer et næsten, eller ret godt resultat.

13 Fra problem til algoritme hvad kræves der? Hvad er problemet? Hvordan beskriver vi en løsning, der utvetydigt kan forstås af alle? Samling af Ikea møbler Olie kontrol på bilen Madlavning Sortering af og søgning i millioner af data elementer En computer er ikke indforstået med ret mange ting! Den er DUM! Nogle vigtige krav til algoritmer Korrekthed (skal kunne løse problemet tilfredsstillende præcist) Effektivitet (skal kunne løse problemet indenfor given tids/ressource rammer) Let forståelige og vedligeholdelsesvenlig (andre skal også kunne forstå algoritmen og evt. lave opdateringer) Genbrugelighed og generalitet (må gerne kunne genbruges i andre sammenhæng) Nogle gange er det et trade-off mellem køretid og udviklingstid.

14 Dagsorden Introduktion og formål med kursus Introduktion til algoritmer Eksempler Fra problem til algoritme Analyse af algoritmers korrekthed Metode Eksempler Insert sorterings algoritme Merge algoritme Metoder til analyse af algoritmer Notationer Kompleksitet Opsummering og konklusion Opgaver

15 Loop invarianter I familie med matematisk induktion Beskriver egenskaber for variable, og skal leve op til tre egenskaber Initialisering: Skal være sand før første iteration i et loop Vedligheholdelse: Hvis den er sand før loopet, er den også sand efter Slutning: Når loopet afsluttes, skal invarianten have et brugbart egenskab der hjælper med at afgøre hvornår algoritmen sluttes

16 Insertion sort algoritme Et problem simpelt nok til at starte med

17 Insertion sort algoritmen grafisk representation

18 Insertion sort algoritmen pseudo kode - reminder Insertion - sort(a) 1 for j=2 to length(a) 2 do key=a[j] 3 insert A[j] into sorted sequence A[1..j-1] 4 i=j-1 5 while i>0 and A[i]>key 6 do A[i+1]=A[i] 7 i=i-1 8 A[i+1]=key Loop Invariant: I starten af for loopet, indeholder A[1..j-1] de originale elementer i A[1..j-1] men i ordnet rækkefølge!

19 Bevis for loop invariant i insert-sort algoritmen 1. Initialisering: Første iteration, j=2 -> A[1..j-1] kun indeholder A[1] Denne er sorteret og dermed holder punkt 1 i loop invariant kravet 2. Vedligeholdelse: For hvert j, skal A[1..j-1] være ordnet ved start af loop, og A[i..j-1] skal være ordnet ved slut af loop (ikke nødvendigvis samme orden, men stadig i en orden) Det kræver at den indre while loop overholder samme invarians, hvormed samme type analyse bør udføres for dette loop 3. Slutning: Hvad sker der når det ydre loop når j>n? Sæt j=n+1, og indsæt i array A[1..n+1-1] = A[1..n] (hele det originale array) Pga. 2. med j=n+1 er vi sikker på at arrayet er sorteret ved slutning! Konklusion: Algoritmen virker efter hensigten

20 Merge algoritmen - antagelser og parametre Formål med algoritmen er Umiddelbart: At samle et delvist sorteret array A På længere sigt: At fungere i en rekursiv sorteringsalgoritme Parametrene p, q og r angiver steder i et array A[1..N], hvormed algoritmen skal arbejde p: startangivelse q: midterpunkt r: stopangivelse Algoritmen antager at arrayet A er delvist sorteret A[p.. q] er sorteret A[q+1.. r] er sorteret

21 Merge algoritmen grafisk representation

22 Merge algoritmen grafisk representation p q r L R L R L R L R

23 Loop invariant for merge algoritme Nu definerer vi loop invarianten som I starten af loopet ved linje 10, indeholder delarrayet A[p..k-1] k-p mindste elementer af L[1..n1+1] og R[1..n2+1] i ordnet rækkefølge. Derudover, er L[i] og R[j] de mindste elementer i de respektive arrays der endnu ikke er kopieret over i A[]. Så skal vi igen til at vise 1. Loop invarianten holder før den første iteration 2. Hver iteration holder invarianten 3. Invarianten leder til et brugbart egenskab der afgører algoritmens afslutning

24 Dagsorden Introduktion og formål med kursus Introduktion til algoritmer Eksempler Fra problem til algoritme Analyse af algoritmers korrekthed Metode Eksempler Insert sorterings algoritme Merge algoritme Metoder til analyse af algoritmer Notationer Kompleksitet Opsummering og konklusion Opgaver

25 Vurderinger af algoritme kompleksitet Ultimate goal: Determining calculation time for the algorithms design (well, that is if we don t look at usage of other ressources such as memory, network, other kinds of I/O). Challenge: Even in this case the calculation time depends on factors such as hardware, OS, set of instructions and inputs for the algorithm. In any case we would like to make an estimate of runtimes. Usual method: Analyse the worst-case complexity using Big-O notation (asymptotic notation). This is often fine, but be aware that in some situations best-case or averagecase analysis may be more informative.

26 Vurderinger af algoritme kompleksitet Tre forskellige vurderinger af algoritmer Værste tilfælde Det kan i hvert fald ikke blive værre en det Sker for nogle algoritmer ofte, f.eks. Søgealgoritmer i databaser når data ikke findes Bedste tilfælde Det kan ikke blive bedre end det her Gennemsnitlig tilfælde Et billede af typiske tilfælde Minder ofte om værste tilfælde mere end bedste tilfælde

27 Den store O notation (the big-o) O(g(n)): angiver en asymptotisk øvre grænse for kompleksiteten Ω(g(n)): angiver en asymptotisk nedre grænse for kompleksiteten Θ(g(n)): indikere en øvre og nedre grænse, hvor g(n) er den asymptotiske tætte grænse

28 Udspecificerede notation og definition Θ(g(n)) = { f(n): there exist positive constants c 1, c 2 and n 0 such that 0 c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) for all n n 0 } Eksempler på tavlen O(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c and n 0, such that 0 f(n) cg(n) for all n n 0 } Hvis en funktion tilhører Θ(g(n)), så tilhører den også automatisk O(g(n)) I meget andet litteratur benyttes O(g(n)) om hvad bogen/vi opfatter som Θ(g(n)) Ω(g(n)) = {f(n): there exist positive constants c and n 0 such that 0 cg(n) f(n) for all n n 0 } For at en funktion f(n) skal tilhøre Θ(g(n)), skal den også tilhøre O(g(n)) OG Ω(g(n))!!

29 Insertion sort algoritmen pseudo kode Den tager vi lige manuelt på tavlen...

30 Udførselstid T(n)= Σalle bidrag fra hvert led Insert-sort på tavlen I bedste tilfælde ved en allerede sorteret struktur T(n)=an+b I værste tilfælde hvis strukturen er omvendt sorteret T(n)=an 2 +bn+c Men hvad kan vi bruge det til? Vi har jo ikke altid bedst eller værst tilfælde Hvad med merge sort?

31 Algoritme kompleksitet sammenligning. To sorterings algoritmer insertion og merge-sort bruger forskellig tid til at løse samme opgave: Insertion bruger c 1 n 2 til at sortere n elementer Merge-sort bruger c 2 *n*log(n) til at sortere n elementer Computer A er hurtig: 1 mia. instruktioner per sekund Computer B er langsommere: 10 mio. instruktioner per sekund Med c 1 =2 og c 2 =50 bruger Computer A: 2000 sekunder Computer B: 100 sekunder Og det til trods at konstanterne c 1 og c 2 favoriserer den hurtige computer!

32 Algoritme kompleksitet grafisk sammenligning Insertion Merge-sort

33 Konklusion og opsummering Først og fremmest svare på spørgsmålet: Virker min algoritme efter hensigten? Programmøren: Ja, den virker da, jeg har prøvet 20 tilfældige test data Dig: Se her er min loop invariant og her er beviset på papir Det kan betale sig at analysere sin algoritme, eventuelt sammenligne med andre der løser samme opgaver: versus Vi kan godt løse problemet med Algoritme A, men det tager.. År Hmmm. Du ved godt Algoritme B tager. Sekunder?

34 Divide and Conquer: Multiplication of integers

35 Problem: How to multiply two integers X and Y, each of n bits? Solution 1: School method O(n 2 ) Solution 2: Divide-and-conquer algorithm (Yes, that is true). Divide the problem into two subproblems of size n/2: X=AB, X=A2 n/2 +B Y=CD, Y=C2 n/2 +D We can now write: XY=AC2 n + (AD+BC)2 n/2 + BD Calculating this way, we have to perform: 4 multiplications (of n/2 bit integers) 3 additions of integers (at most 2n bits) 2 shifts In total T(1) = 1, T(n)=4T(n/2)+cn. Verify that this is O(n 2 ) Question: Can we do this smarter??

36 We had: XY =AC2 n + (AD+BC)2 n/2 + BD =AC2 n +((A-B)(D-C)+AC+BD)2 n/2 +BD Calculating this way, we have to perform: 3 multiplications (of n/2 bit integers) 6 additions of integers (at most 2n bits) 2 shifts In total T(1) = 1, T(n)=3T(n/2)+cn. Verify that this is 3T(n/2) + cn So, that was smart!

37 More examples: Greedy Algorithms Giving back change Greedy Algorithm Travelling Salesman Dynamic Programming World Series Odds

Algorithms & Architectures I 2. lektion

Algorithms & Architectures I 2. lektion Algorithms & Architectures I 2. lektion Design-teknikker: Divide-and-conquer Rekursive algoritmer (Recurrences) Dynamisk programmering Greedy algorithms Backtracking Dagens lektion Case eksempel: Triple

Læs mere

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 23, 2009

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 23, 2009 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 3, 009 Algorithms and Architectures II. Introduction to analysis and design of

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2014

Rolf Fagerberg. Forår 2014 Forår 2014 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: Format: Programmering og Diskret matematik I (forelæsninger), TE (øvelser), S (arbejde selv og i studiegrupper) Eksamenform: Skriftlig

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Søgning og Sortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Philip Bille Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm8: Hash tables og Hashing - November 10, 2010

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm8: Hash tables og Hashing - November 10, 2010 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm8: Hash tables og Hashing - November 10, 2010 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and design of algorithms (RLO

Læs mere

Beat the Clock Sorteringsnetværk

Beat the Clock Sorteringsnetværk Aktivitet 8 Beat the Clock Sorteringsnetværk Resumé Selvom computer er hurtige, er der en grænse for, hvor hurtigt de kan løse et problem. En måde at speed e det op på er at bruge flere computere til at

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data

Læs mere

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer 1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer på disse. Typer af lister: Array Enkelt linket liste Dobbelt linket Cirkulære lister Typer af køer: FILO FIFO

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign 28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par

Læs mere

Sortering fra A-Z. Henrik Dorf Chefkonsulent SAS Institute

Sortering fra A-Z. Henrik Dorf Chefkonsulent SAS Institute Sortering fra A-Z Henrik Dorf Chefkonsulent SAS Institute Hvorfor ikke sortering fra A-Å? Det er for svært Hvorfor ikke sortering fra A-Å? Hvorfor ikke sortering fra A-Å? Hvorfor ikke sortering fra A-Å?

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Algoritmer og Datastrukturer 1

Algoritmer og Datastrukturer 1 Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Analyseværktøjer [CLRS, 1-3.1] Eksempler på en beregningsprocess Puslespil ved ombytninger Maximum delsum Hvad er udførselstiden for en algoritme? Maskinkode

Læs mere

Algorithms & Architectures II

Algorithms & Architectures II Algorithms & Architectures II Algorithms & Architectures II Jens Myrup Pedersen Hans Peter Schwefel Kursusholdere Dagens lektion Overordnet mål: At etablere en forståelse for hvordan hardware og hardwarearkitekturer

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish

Læs mere

BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt

BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt 1. Kursusintroduktion 2. Java-oversigt (A): Opgave P4.4 3. Java-oversigt (B): Ny omvendings -opgave 4. Introduktion til næste kursusgang Kursusintroduktion:

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Design by Contract. Design and Programming by Contract. Oversigt. Prædikater

Design by Contract. Design and Programming by Contract. Oversigt. Prædikater Design by Contract Design and Programming by Contract Anne Haxthausen ah@imm.dtu.dk Informatics and Mathematical Modelling Technical University of Denmark Design by Contract er en teknik til at specificere

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Projektopgave Rumlige figurer. Matematik & Programmering Lars Thomsen Klasse 3.4 HTX Roskilde Vejledere: Jørn & Karl 05/10-2009

Projektopgave Rumlige figurer. Matematik & Programmering Lars Thomsen Klasse 3.4 HTX Roskilde Vejledere: Jørn & Karl 05/10-2009 Projektopgave Rumlige figurer Lars Thomsen HTX Roskilde Vejledere: Jørn & Karl 05/10-2009 Indholdsfortegnelse 0. Summary:... 4 1. Opgaveanalyse:... 5 1.1 Overordnet:... 5 1.2 Konkrete krav til opgaven:...

Læs mere

Mm5: Counting, probabilities and randomized algorithms - Oktober 24, 2008

Mm5: Counting, probabilities and randomized algorithms - Oktober 24, 2008 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm5: Counting, probabilities and randomized algorithms - Oktober 24, 2008 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Hvad er IT i matematikundervisningen egentlig? Professor, Ph.d. Morten Misfeldt, Aalborg Universitet, København

Hvad er IT i matematikundervisningen egentlig? Professor, Ph.d. Morten Misfeldt, Aalborg Universitet, København Hvad er IT i matematikundervisningen egentlig? Professor, Ph.d. Morten Misfeldt, Aalborg Universitet, København Spørgsmål der afsøges Hvilke udfordringer og muligheder stiller digitale teknologier matematikuddannelsen

Læs mere

how to save excel as pdf

how to save excel as pdf 1 how to save excel as pdf This guide will show you how to save your Excel workbook as PDF files. Before you do so, you may want to copy several sheets from several documents into one document. To do so,

Læs mere

Design til digitale kommunikationsplatforme-f2013

Design til digitale kommunikationsplatforme-f2013 E-travellbook Design til digitale kommunikationsplatforme-f2013 ITU 22.05.2013 Dreamers Lana Grunwald - svetlana.grunwald@gmail.com Iya Murash-Millo - iyam@itu.dk Hiwa Mansurbeg - hiwm@itu.dk Jørgen K.

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 English version further down Den første dag i Bornholmerlaks konkurrencen Formanden for Bornholms Trollingklub, Anders Schou Jensen (og meddomer i TMB) fik

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

Opgave: BOW Bowling. Rules of Bowling. danish. BOI 2015, dag 1. Tilgængelig hukommelse: 256 MB. 30.04.2015

Opgave: BOW Bowling. Rules of Bowling. danish. BOI 2015, dag 1. Tilgængelig hukommelse: 256 MB. 30.04.2015 Opgave: BOW Bowling danish BOI 0, dag. Tilgængelig hukommelse: 6 MB. 30.04.0 Byteasar er fan af både bowling og statistik. Han har nedskrevet resultaterne af et par tidligere bowling spil. Desværre er

Læs mere

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer. Indhold Vejledning til at, komme på nettet. (DANSK)... 2 Gælder alle systemer.... 2 Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.... 2 Windows 7... 2 Windows Vista... 2 Windows XP...

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

MM4. Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning.

MM4. Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning. MM Algoritmiske grundprincipper. Lister, stakke og køer. Hash-tabeller og Træer. Sortering. Søgning. MM MM MM MM MM Sortering Sorteringsalgoritmer : Virkemåde og anvendelser Kompleksitet Algoritmen Sorteringsalgoritmer

Læs mere

Netværk & elektronik

Netværk & elektronik Netværk & elektronik Oversigt Ethernet og IP teori Montering af Siteplayer modul Siteplayer teori Siteplayer forbindelse HTML Router (port forwarding!) Projekter Lkaa Mercantec 2009 1 Ethernet På Mars

Læs mere

Netværk og Algoritmer A215. 28. juni 2010

Netværk og Algoritmer A215. 28. juni 2010 Netværk og Algoritmer Aalborg Universitet 28. juni 2010 Ernö Rubik Født i Ungarn i 1944 Ingeniør med speciale i arkitektur Patent i 1977 Varemærke Rubik s Terningen 26 cubies 6 faces 9 facelets pr. face

Læs mere

Minikursus i C-programmering

Minikursus i C-programmering Thomas Bøgholm Martin Toft {boegholm,mt}@cs.aau.dk Ph.d.-studerende Distribuerede og Indlejrede Systemer Institut for Datalogi Aalborg Universitet 29. marts 2010 Program 12:30 12:40 Velkommen 12:40 13:10

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Løsning af skyline-problemet

Løsning af skyline-problemet Løsning af skyline-problemet Keld Helsgaun RUC, oktober 1999 Efter at have overvejet problemet en stund er min første indskydelse, at jeg kan opnå en løsning ved at tilføje en bygning til den aktuelle

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2

Læs mere

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013 Side 1 af 7 Teknologisk singularitet 24. oktober 2013 Side 2 af 7 Begreberne teknologisk singularitet og accelereret udvikling dukker ofte op i transhumanistiske sammenhænge, idet de beskriver en udvikling,

Læs mere

Status på det trådløse netværk

Status på det trådløse netværk Status på det trådløse netværk Der er stadig problemer med det trådløse netværk, se status her: http://driftstatus.sdu.dk/?f=&antal=200&driftid=1671#1671 IT-service arbejder stadig med at løse problemerne

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension DK - Quick Text Translation HEYYER Net Promoter System Magento extension Version 1.0 15-11-2013 HEYYER / Email Templates Invitation Email Template Invitation Email English Dansk Title Invitation Email

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

SERVICEMÅL OG BOD. Christian Sandbeck, Bid Excellence Executive

SERVICEMÅL OG BOD. Christian Sandbeck, Bid Excellence Executive SERVICEMÅL OG BOD Christian Sandbeck, Bid Excellence Executive MIN BAGGRUND Uddannelse : cand.merc.jur 2 3 DISKUSSIONSSPØRGSMÅL 1 Hvorfor har vi Servicemål? 4 ITIL S SVAR: SLA ER SKAL UNDERSTØTTE KUNDENS

Læs mere

Procedurer og funktioner - iteration og rekursion

Procedurer og funktioner - iteration og rekursion Procedurer og funktioner - iteration og rekursion Procedurer De første procedurer vi så på var knyttet til handlinger, der skulle udføres, fx at klikke på en knap for at lukke en form eller afslutte et

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Panorama billede fra starten den første dag i 2014 Michael Koldtoft fra Trolling Centrum har brugt lidt tid på at arbejde med billederne fra

Læs mere

Som mentalt og moralsk problem

Som mentalt og moralsk problem Rasmus Vincentz 'Klimaproblemerne - hvad rager det mig?' Rasmus Vincentz - November 2010 - Som mentalt og moralsk problem Som problem for vores videnskablige verdensbillede Som problem med økonomisk system

Læs mere

The River Underground, Additional Work

The River Underground, Additional Work 39 (104) The River Underground, Additional Work The River Underground Crosswords Across 1 Another word for "hard to cope with", "unendurable", "insufferable" (10) 5 Another word for "think", "believe",

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 English version further down Der bliver landet fisk men ikke mange Her er det Johnny Nielsen, Søløven, fra Tejn, som i denne uge fangede 13,0 kg nord for

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

Studieordning for diplomuddannelsen i informationsteknologi

Studieordning for diplomuddannelsen i informationsteknologi Studieordning for diplomuddannelsen i informationsteknologi April 2007 [v3] 1 Introduktion... 2 2 Formål... 2 3 Indhold... 2 4 Adgangskrav... 3 5 Eksaminer... 3 6 Studieplan... 3 6.1 Formelle modeller

Læs mere

Rekursion C#-version

Rekursion C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Boligsøgning / Search for accommodation!

Boligsøgning / Search for accommodation! Boligsøgning / Search for accommodation! For at guide dig frem til den rigtige vejledning, skal du lige svare på et par spørgsmål: To make sure you are using the correct guide for applying you must answer

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 7

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 7 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 7 English version further down Så var det omsider fiskevejr En af dem, der kom på vandet i en af hullerne, mellem den hårde vestenvind var Lejf K. Pedersen,

Læs mere

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning?

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? eller knudramian.pbwiki.com www.regionmidtjylland.dkc Indhold Professionsforskning til problemløsning eller som slagvåben? Hvad er forskning? Hvad

Læs mere

Get Instant Access to ebook Udleveret PDF at Our Huge Library UDLEVERET PDF. ==> Download: UDLEVERET PDF

Get Instant Access to ebook Udleveret PDF at Our Huge Library UDLEVERET PDF. ==> Download: UDLEVERET PDF UDLEVERET PDF ==> Download: UDLEVERET PDF UDLEVERET PDF - Are you searching for Udleveret Books? Now, you will be happy that at this time Udleveret PDF is available at our online library. With our complete

Læs mere

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012 Server side Programming Wedesign Forelæsning #8 Recap PHP 1. Development Concept Design Coding Testing 2. Social Media Sharing, Images, Videos, Location etc Integrates with your websites 3. Widgets extend

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

16/04/12 50% 50% Waveform Chart Waveform Graph XY Graph Indicator Graph 33% 17% 88% 13%

16/04/12 50% 50% Waveform Chart Waveform Graph XY Graph Indicator Graph 33% 17% 88% 13% Samuel Alberg Thrysøe, PhD, PostDoc, Kontakt info: Email: sat@iha.dk, Tlf: +45 25533552 2 4. 5 Waveform Chart Waveform Graph XY Graph Indicator Graph 4. 33% Waveform Chart Waveform Graph XY Graph Indicator

Læs mere

Eksamen i softwareudvikling

Eksamen i softwareudvikling Test af hashtabelmodul 8. april 2008 Introduktion Svært at overskue modulet (intet namespace eller opdeling i header og src ler). Brugt lang tid på at oversætte modulet. Masser af todos, memory leaks etc.

Læs mere

17 Søgning og Søgetræer.

17 Søgning og Søgetræer. 17 Søgning og Søgetræer. Lineær og inær søgning i lister. inære søgetræer. Søgning efter knude i træ. Indsættelse af knude i træ. Søgning i og sortering af inært søgetræ. Sletning af knude i inært søgetræ.

Læs mere

Shooting tethered med Canon EOS-D i Capture One Pro. Shooting tethered i Capture One Pro 6.4 & 7.0 på MAC OS-X 10.7.5 & 10.8

Shooting tethered med Canon EOS-D i Capture One Pro. Shooting tethered i Capture One Pro 6.4 & 7.0 på MAC OS-X 10.7.5 & 10.8 Shooting tethered med Canon EOS-D i Capture One Pro Shooting tethered i Capture One Pro 6.4 & 7.0 på MAC OS-X 10.7.5 & 10.8 For Canon EOS-D ejere der fotograferer Shooting tethered med EOS-Utility eller

Læs mere

uprocessorens hardware

uprocessorens hardware uprocessorens hardware 8080 Architecture Kernen i en processor er ALUen. Det er den som kan udfører simple regne operationer. De tal den arbejdermed gemmes i en række registre. Når et tal skal hentes eller

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK 98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Vadehavsforskning 2015

Vadehavsforskning 2015 Vadehavsforskning 2015 Borgere, brugere og lokal sammenhængskraft i Vadehavsområdet v/ Charlotte Jensen Aarhus Universitet Oplæg 1. Faglig baggrund 2. Forskning i Vadehavsområdet indtil nu (vadehavspolitik)

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Talrepræsentation På maskinkodeniveau (Instruction Set Architecture Level) repræsenteres ordrer og operander ved bitfølger

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Orientering om det engelske abstract i studieretningsprojektet og den større skriftlige opgave

Orientering om det engelske abstract i studieretningsprojektet og den større skriftlige opgave Fra: http://www.emu.dk/gym/fag/en/uvm/sideomsrp.html (18/11 2009) November 2007, opdateret oktober 2009, lettere bearbejdet af JBR i november 2009 samt tilpasset til SSG s hjemmeside af MMI 2010 Orientering

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Indholdsfortegnelse:

Indholdsfortegnelse: Dataopsamling Klaus Jørgensen Gruppe. Klaus Jørgensen, Jacob Clausen Og Ole Rud Erhvervs Akademi Fyn Allegade 79 Odense C 5000 fra d 2/12-02 til d 20/12-02 Vejleder: SKH. Forord: Denne rapport omhandler

Læs mere

Improving data services by creating a question database. Nanna Floor Clausen Danish Data Archives

Improving data services by creating a question database. Nanna Floor Clausen Danish Data Archives Improving data services by creating a question database Nanna Floor Clausen Danish Data Archives Background Pressure on the students Decrease in response rates The users want more Why a question database?

Læs mere

PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL

PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL Uge 1 & 2 Det basale: Det primære mål efter uge 1 og 2, er at få forståelse for hvordan AMP miljøet fungerer i praksis, og hvordan man bruger PHP kodesproget til at

Læs mere

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller.

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Flowchart Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Et godt program til at tegne flowcharts med er, EDGE-Diagrammer, eller Smartdraw.

Læs mere