hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i"

Transkript

1 Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret, som løber fra til stikprøvestørrelse, X i er de i te observatio, μ er middelværdie, og σ er variase. Normalfordelige er til forskel fra de hypergeometriske fordelig, biomial- og poissofordelige kotiuert, hvilket betyder, at observatioere ka atage alle værdier. De tre adre fordeliger kaldes diskrete, og de tæller alle tre et atal gage, oget idtræffer. Normalfordelige er e empirisk fordelig, dvs. de har ige forudsætiger. Ma ka blot vise, at mage observatioer følger dee fordelig. Dette vises ved at afbilde de ordede observatioer imod fraktiler fra de stadardiserede ormalfordelig. Dette kaldes et ormalfordeligsdiagram, fraktilplot eller et probitdiagram. Hvis puktere i diagrammet tilærmelsesvis følger e ret liie med e kocetratio af pukter omkrig midte af liie, har ma godtgjort, at det er rimeligt at atage, at observatioere stammer fra e ormalfordelig. Der fides e lieær sammehæg mellem to vilkårlige ormalfordeliger, hvilket betyder, at ma ku behøver at tabellægge é ormalfordelig. Ma kommer således ikke ud for, at skulle approksimere fra e ormalfordelig til oget adet. Ma har valgt at tabellægge ormalfordelige med middelværdi og varias. Dee kaldes de stadardiserede ormalfordelig, og fordeligsfuktioe fides i Erlag S på side og 3. Middelværdie μ kaldes også forvetige eller geemsittet (selvom det ikke er helt korrekt, og de fortæller oget om observatioeres værdi. Det er derfor ofte middelværdie, der bliver spurgt om, og som skal estimeres, testes osv. Spredige (eller stadardafvigelse σ eller variase σ fortæller oget om variatioe i data, altså hvor forskellige værdiere er. Dette er i virkelighede midst lige så iteressat, f.eks. ved kvalitetskotrol, hvor ma skal have e esartet produktio (dvs. lille varias og er ligeglad med iveauet (altså middelværdie. COMPLET A/S SIDE 7 OPGAVESAMLING I STATISTIK

2 E ormalfordelt stikprøve I et større vekselerfirma i Købehav har ma lavet e udersøgelse af forskellige ivesterigsobjekter. For forskellige aktier blev det procetvise udbytte i 995 registreret. Resultatet blev: 6,; 3,; 7,8; 9,8; 6,8;,9;,; 9,;,9;,; 5,; 6,7; 4,; 9,4; 7,; 6,; 9,;,4; 8,7 og, hvor Σaktieudbytte = 6,4 og Σaktieudbytte = 5,8 Grudlæggede spørgsmål. Opstil e model til beskrivelse af det foreliggede materiale, og kotrollér de.. Aflæs de grafiske estimater på modelles parametre, og beyt disse i de to efterfølgede spørgsmål. 3. Estimér sadsylighede for, at e tilfældigt udvalgt aktie giver et udbytte på midst 3%. 4. Estimér sadsylighede for, at e tilfældigt udvalgt aktie giver et udbytte mellem % og 5%. Middelsvære spørgsmål 5. Pukt- og itervalestimér modelles parametre. 6. E ivestor øsker at ivestere mio. kr., som hu skal låe i bake. Omkostigere i forbidelse med etablerige og forretige af lået i det første år skøes til.,- kr. Opstil et kofidesiterval for de forvetede fortjeeste det første år. 7. Udersøg, om det bedre kue betale sig at ivestere i obligatioer, der i samme periode havde et udbytte på %. 8. Udersøg, om usikkerhede ved udersøgelse (dvs. stadardafvigelse ka være 4. Svære spørgsmål 9. Bereg styrke til teste i spørgsmål 7 i %.. Fastlæg e y stikprøvestørrelse, hvis styrke skal være midst 97%. COMPLET A/S SIDE 7 OPGAVESAMLING I STATISTIK

3 Løsig til Grudlæggede spørgsmål Der er her tale om måliger, og ma ka se, at observatioere ikke er heltallige. Ma ka forestille sig, at der er e middelforretig, og at observatioere vil fordele sig symmetrisk omkrig dee. De adre spørgsmål omhadler middelværdi og varias (eller spredig, som jo etop er ormal-fordeliges parametre.. Lad X i være uafhægige stokastiske variable, der agiver forretige af aktie i. Da må der gælde: X i ~ N( μ, σ hvor i løber fra til. Ma ka opstille følgede skema, hvor observatioere er ordet efter størrelse, og der er udreget hjælpestørrelse (i-,5/. Vha. disse værdier ka ma ete slå u- fraktilere op ved at gå baglæs id i ormalfordelige eller bruge fuktioe stadardormiv i Excel på værdiere. Observatiosr. i Ordede observatioer (i-,5 u-fraktiler 6,,5 -,96 6,7,75 -, ,,5 -,53 4 7,8,75 -, ,7,5 -, ,,75 -, ,,35 -, ,4,375 -, ,8,45 -,89,,475 -,67,9,55,67,9,575,89 3,,65,386 4,,675,4538 5,4,75, ,,775, ,,85, ,,875,53 9 6,,95,4395 6,8,975,96 Afbilder ma så u-fraktilere mod de ordede observatioer, skal puktere gere fordele sig omkrig e ret liie. På grafe ligger puktere fit omkrig e ret liie, så ma ka atage, at observatioere stammer fra e ormalfordelig. COMPLET A/S SIDE 73 OPGAVESAMLING I STATISTIK

4 4 Normalfraktildiagram Udbytte. Det grafiske estimat på middelværdie μ ka aflæses, som x-værdie til skærigspuktet mellem de rette liie og x-akse. Ma ka aflæse estimatet til ca.,5. Det grafiske estimat på middelværdie μ plus spredige σ ka aflæses, som x- værdie til puktet med y-værdi. y = er idteget, og ma ka aflæse estimatet til ca. 4. Trækker ma herfra estimatet på middelværdie μ, som lige blev aflæst til,5, får ma 3,5, hvilket er estimatet på spredige σ. Variase σ estimeres så til ca.,5. Note om trasformatioer Hvis puktere i ormalfraktildiagrammet udviser e tydelig krum tedes (svarede til e højreskæv fordelig, som ka ses i et histogram, bør ma trasformere data vha. e logaritmefuktio. Normalfraktildiagram Histogram Logaritmefuktioer uderpresser store observatioer, hvilket vil få ormalfraktildiagrammet til at blive mere lieært og histogrammet mere symmetrisk. Højreskæve fordeliger ses ofte, f.eks. år ma betragter acieitet, alder og omsætig, da ige af disse størrelser ka blive egative. COMPLET A/S SIDE 74 OPGAVESAMLING I STATISTIK

5 3. Når ma skal berege sadsyligheder i e ormalfordelig, skal ma først trasformere si værdi og så slå op i de stadardiserede ormalfordelig. Dette gøres vha. regereglere for sadsyligheder på side Fejl! Ukedt argumet for parameter.: x μ P(X x = Φ( og σ x μ P(X x = Φ( σ Aderse m.fl. s., Newbold s., Løborg s. 5 Bemærk, at da ormalfordelige er kotiuert, skal ma ikke som i de adre fordeliger trække fra si værdi x. Ved idsættelse får ma: 3,5 P (X 3 = Φ( = Φ(,743 = -,765 =,3885 3,5 Dvs. ca. 4% af aktiere giver et udbytte på midst 3%. 4. På ligede måde fider ma: P(x X x x μ x μ = Φ( Φ( σ σ Aderse m.fl. s., Newbold s., Løborg s. 5 Ved idsættelse får ma: 5,5,5 P( X 5 = Φ( Φ( = Φ(,857 - Φ( -,49 3,5 3,5,947 -,44433 =,4574 Dvs. kap 46% af aktiere giver et udbytte mellem % og 5%. = COMPLET A/S SIDE 75 OPGAVESAMLING I STATISTIK

6 Løsig til Middelsvære spørgsmål 5. I dette spørgsmål skal ma fide de umeriske estimater, og altså ikke aflæse værdiere på ormalfordeligsdiagrammet. Estimatere bereges ved: μ ˆ = x = x i og i= Aderse m.fl. s. 67, Newbold s. 7, Løborg s. 44 σ ˆ = s = i= (x i x = ( i= Aderse m.fl. s. 68, Newbold s. 44, Løborg s. 45 x i x = ( i= x i ( i= x i x kaldes geemsittet, og s kaldes de empiriske varias. Ved idsættelse får ma: μ ˆ = x = 6,4 =,8 og σ ˆ = s = 6,4 (5,8 = 9,469 (--itervalestimat (eller kofidesiterval for μ med =,5: μˆ ± u σ hvis de sade varias σ er kedt, hvad de sjældet er. Aderse m.fl. s., Newbold s. 78, Løborg s. 58 Husk, at Newbold kalder u-fraktilere for z. Dette kofidesiterval ka også bereges ved at vælge fuktioe kofidesiterval i Excel. Når de sade varias σ ikke er kedt og derfor estimeret vha. de empiriske varias s, skal ma i stedet beytte følgede formel: μˆ ± t ( s hvor t ( er e fraktil i t-fordelige. Aderse m.fl. s. 4, Newbold s. 86, Løborg s. 58 COMPLET A/S SIDE 76 OPGAVESAMLING I STATISTIK

7 Ved idsættelse får ma: μ ˆ ± t ( s,8 ±,4354 = =,8 ± t,5 [ 9,3846;,554] ( 9,469 =,8 ±,93,6858 = hvor ( = t (9 =, 93 er aflæst i tabelle på side 54 i Erlag S. t,5, 975 Itervallet agiver, at middelforretige med 95% sikkerhed vil være mellem ca. 9,4% og ca.,3%. Hvis det er store stikprøver (dvs. >, bliver det midre og midre vigtigt at skele mellem de to typer kofidesitervaller for middelværdie. (--itervalestimat (eller kofidesiterval for σ med =,5: ( s ( s ; hvor χ ( χ ( χ ( Newbold s. 98, Løborg s. 9 er e fraktil i χ -fordelige. Ved idsættelse får ma: ( s ( s ( 9,469 ; ( ( = χ χ,5 ( χ 78,73 78,73 ; = [ 5,448;,596] 3,85 8,9 ; ( 9,469 78,73 78,73 = ; = χ,5 ( χ,975 (9 χ,5 (9 hvor χ -fraktilere er fudet på side 38 og 39 i Erlag S. Itervallet agiver, at variase på forretige med 95% sikkerhed ligger mellem ca. 5,4% og ca.,%. Ehedere for variase skal være opløftet i ade potes, da ma har kvadreret observatioere. Tager ma kvadratrode til disse tal fider ma kofidesitervallet for spredige eller stadardafvigelse σ: ( s χ ( ; ( s χ ( COMPLET A/S SIDE 77 OPGAVESAMLING I STATISTIK

8 Ved idsættelse får ma: [ 5,448 ;,596] = [,336; 4,4788] dvs. med 95% sikkerhed ligger spredige på forretige mellem ca.,3% og ca. 4,5%. 6. Lad Y være e y stokastisk variabel, der agiver fortjeeste det første år. Der må da gælde: Y =.. X%. Dette er e lieær trasformatio, og for disse gælder: E(Y =.. E(X%. Aderse m.fl. s. 97, Newbold s. 88 Når ma så skal fide kofidesitervallet for de forvetede fortjeeste E(Y, ka ma i oveståede formel idsætte edre og øvre kofidesgræse for de forvetede forretig E(X. Ved idsættelse får ma: [.. 9,3846%.;..,554%.] = [ ;.5.54] dvs. med 95% sikkerhed vil de forvetede fortjeeste det første år være mellem ca. 84.,- kr. og ca..3.,- kr. 7. Ma skal her afgøre e påstad om, at det bedre ka betale sig at ivestere i obligatioer. Ma skal altså teste e hypotese: Hypotese: H : μ = H : μ < Aktier og obligatioer er lige gode. Det ka bedre betale sig at ivestere i obligatioer. Bemærk, at μ er middeludbyttet for aktiere. Teststørrelse: Ligesom ved kofidesitervallet har ma også to teststørrelser for middelværdie afhægig af, om de sade varias er kedt eller ukedt og derfor estimeret. Som regel er de sade varias ukedt, og de empiriske varias er udreget. COMPLET A/S SIDE 78 OPGAVESAMLING I STATISTIK

9 X μ X μ U = = σ σ N(, hvis de sade varias er kedt Aderse m.fl. s. 83, Newbold s. 33 X μ X μ T = = s s t( hvis de sade varias σ er ukedt. Aderse m.fl. s. 87, Newbold s. 339, Løborg s. 54 Observeret værdi: Da de sade varias er ukedt, beyttes T-teststørrelse. t = x μ s =,8 9,469 =,76 Kritisk værdi: t ( hvis H er ekeltsidet t ( hvis H er dobbeltsidet Da H er ekeltsidet, og med =,5, får ma ved tabelopslag på side 54 i Erlag S: t ( = t,5 ( = t, 95 (9 =,79 t-fordelige er symmetrisk lige som ormalfordelige, så dee værdi skal forstås både positivt og egativt. COMPLET A/S SIDE 79 OPGAVESAMLING I STATISTIK

10 t-fordelige Observeret værdi -, Kritisk værdi Kritisk værdi Koklusio: Da de umeriske værdi af de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi for teststørrelse, ka ma ikke forkaste hypotese, dvs. obligatioere er ikke sigifikat bedre at ivestere i. Det skal dog bemærkes, at de observerede værdi og de kritiske værdi æste er idetiske, og derfor er koklusioe meget iveaufølsom. Det betyder, at med et adet iveau havde ma ok fået e ade koklusio. De samlede koklusio må derfor være, at ma ikke rigtigt ka kokludere oget. Hvis ma hellere vil berege sigifikassadsylighede, får ma et problem pga. tabelles opbygig. I e t-fordelig ka ma ikke umiddelbart fide sadsyligheder, me ku fraktiler. Vha. disse ka ma så tilærmelsesvis bestemme sigifikas-sadsylighede. Alterativt ka ma berege sigifikassadsylighede i Excel vha. fuktioe tfordelig. Sigifikassadsylighed: p = P(T t hvis H : μ < μ p = P(T t hvis H : μ > μ p = P(T t hvis H : μ μ Aderse m.fl. s. 88, Newbold s. 339, Løborg s. 68 Alle T-teststørrelser behadles på samme måde. Her skal ma beytte de første: p = P(T t COMPLET A/S SIDE 8 OPGAVESAMLING I STATISTIK

11 Ved idsættelse får ma: p = P(T,7 T ~ t( I tabelle på side 54 i Erlag S uder 9 frihedsgrader ka ma aflæse, at,7 ligger mellem 9%-fraktile (=,38 og 95%-fraktile (=,79. Da t-fordelige er symmetrisk, må det betyde, at sigifikassadsylighede ligger mellem - 95% = 5% og -9% = %. I Excel skal ma idsætte fuktioe tfordelig, agive x-værdie til,76, at der er 9 frihedsgrader, og at sadsylighede skal bereges e-sidet. Herved får ma værdie,58, som viser, hvor iveaufølsom koklusioe er. Da sigifikassadsylighede p er større ed iveauet, bliver koklusioe stadig, at obligatioere ikke er sigifikat bedre at ivestere i ed aktiere. 8. På samme måde som før rummer spørgsmålet e påstad. Dee gag om stadard-afvigelse ka være 4. Ma skal altså teste e hypotese: Hypotese: H : σ = 4 Stadardafvigelse ka godt være 4. H : σ 4 Stadardafvigelse er sigifikat forskellig fra 4. Teststørrelse: ( s Q = σ χ ( Aderse m.fl. s. 9, Newbold s. 344, Løborg s. 85 Observeret værdi: ( 9,469 78,73 q = = =, Kritisk værdi: χ ( hvis H : σ < σ χ ( hvis H : σ > σ χ ( og χ ( hvis H : σ σ Newbold s. 345, Løborg s. 88 Da hypotese er dobbeltsidet, og χ -fordelige ikke er symmetrisk, skal ma både fide e edre og e øvre kritisk værdi som i de tredje formel. Med =,5 får ma ved tabelopslag på side 38 i Erlag S: COMPLET A/S SIDE 8 OPGAVESAMLING I STATISTIK

12 Nedre værdi: ( = χ ( = 8, 9 χ χ,5 Øvre værdi: ( = χ ( = 3, 85,975 Chi -fordelig med 9 frihedsgrader Observeret værdi, Kritisk værdi Kritisk værdi Koklusio: Da de observerede værdi af teststørrelse ligger mellem de edre og de øvre kritiske værdi for teststørrelse, ka ma ikke forkaste hypotese, dvs. stadardafvigelse er ikke sigifikat forskellig fra 4. Det skal dog bemærkes, at de observerede værdi og de edre kritiske værdi er sammeligelige og derfor er der måske baggrud for at hævde, at koklusioe er iveaufølsom. Dee koklusio er i øvrigt i overesstemmelse med kofidesitervallet for variase eller stadardafvigelse fudet i spørgsmål 5. Hvis ma hellere vil berege sigifikassadsylighede, får ma ige et problem pga. tabelles opbygig. I e χ -fordelig ka ma ikke umiddelbart fide sadsyligheder, me ku fraktiler. Vha. disse ka ma så tilærmelsesvis bestemme sigifikassadsylighede. Alterativt ka ma berege sigifikassadsylighede i Excel vha. fuktioe chifordelig. Sigifikassadsylighed: p = P(Q q hvis H : σ < σ p = P(Q q hvis H : σ > σ p = mi{p(q q;p(q q} hvis H : σ σ Aderse m.fl. s. 9, Løborg s. 9 Da hypotese er dobbeltsidet, skal ma beytte de tredje formel. Her er det e fordel først at overveje, hvilke sadsylighed, der er midst. På figure med χ -fordelige, de kritiske værdier og de observerede værdi ka ma se, at det må være P(Q q, der er de midste. COMPLET A/S SIDE 8 OPGAVESAMLING I STATISTIK

13 Ved idsættelse får ma: p = P(Q,77 Q ~ χ ( I tabelle på side 38 i Erlag S uder 9 frihedsgrader ka ma aflæse, at,77 ligger mellem 5%-fraktile (=, og %-fraktile (=,65. Dette må betyde, at sigifikassadsylighede ligger mellem 5% = % og % = %. I Excel skal ma agive x-værdie til,77, og at der er 9 frihedsgrader. Herved får ma værdie,98, som agiver P(Q q. Dee værdi skal så trækkes fra og gages med. Hermed får ma sigifikassadsylighede til,64. Koklusioe er selvfølgelig de samme, at ma ikke ka forkaste H, me at ma ka se, at de ikke er særlig iveaufølsom. Løsig til Svære spørgsmål 9. Dette spørgsmål skal forstås i sammehæg med spørgsmål 7. Styrke er sadsylighede for at afvise, at middelværdie er, hvis de faktisk er. Styrke i μ = ka bereges vha. følgede formel: μ μ η( μ = Φ u hvis H s : μ < μ eller μ > μ μ μ μ μ η( μ + Φ = Φ u u hvis H s s : μ μ Aderse m.fl. s. 95, Newbold s. 369 Da hypotese er ekeltsidet, skal ma beytte første formel. Ved idsættelse får ma: η ( = Φ(,645 = Φ(,7 =, ,469 Dvs. med ca. 9% sadsylighed ville ma kue afvise, at middelværdie er, hvis de faktisk ku er.. Hvis ma vil have e større styrke, må ma have e større stikprøvestørrelse, som ka bereges vha. følgede formel: (uη ( μ + u μ s hvis H : μ < μ eller μ > μ COMPLET A/S SIDE 83 OPGAVESAMLING I STATISTIK

14 (u + u η ( μ μ Aderse m.fl. s. 96 s hvis H : μ μ Da hypotese er ekeltsidet, skal ma beytte første formel. Ved idsættelse får ma: (u,97 + u,5 ( 9,469 = (,885 +, ,469 = 9,3 hvor u,97 er aflæst baglæs i tabelle på side 3 i Erlag S. Da stikprøvestørrelse skal være heltallig, ruder ma op til 3. Uder forudsætig af at alt adet er rimeligt kostat, betyder dette, at hvis ma udtager e stikprøve på 3 objekter, vil ma have e sadsylighed på midst 97% for at opdage, at middelværdie ikke er, hvis de faktisk er. Omvedt betyder det, at der højst er 3% sadsylighed for fejlagtigt at acceptere, at middelværdie er, hvis de faktisk er. COMPLET A/S SIDE 84 OPGAVESAMLING I STATISTIK

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Sadsylighedsregig og statistisk J. C. F. Gauss 777 855) Peter Haremoës Niels Brock 2. april 23 Idledig Dette hæfte er lavet som supplemet til 2. udgave af boge Mat B. Der er lagt vægt på at give e bedre

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER Hadligspla for FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER 2016-2018 LYNGBY-TAARBÆK KOMMUNE 2015 Lygby-Taarbæk Kommue Trykt på Rådhustrykkeriet Grafik Layout: Ole Lud Aderse, Iter Service INDHOLD Rotte - dyret

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Sammenfatninger, analyser og anbefalinger fra FOAs sundhedspolitiske udspil. Sundhed for alle. FOA Fag og Arbejde 1

Sammenfatninger, analyser og anbefalinger fra FOAs sundhedspolitiske udspil. Sundhed for alle. FOA Fag og Arbejde 1 F O A f a g o g a r b e j d e Sammefatiger, aalyser og abefaliger fra FOAs sudhedspolitiske udspil Sudhed for alle FOA Fag og Arbejde 1 Politisk asvarlig: Deis Kristese Redaktio: Kasper Maiche og Peter

Læs mere

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011 Aalborg Uiversitet Ladsbyer i storkommue Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørge Publicatio date: 2011 Documet Versio Tidlig versio også kaldet pre-prit Lik to publicatio from Aalborg Uiversity Citatio for published

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD FRA 1985 TIL 2006

ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD FRA 1985 TIL 2006 ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD FRA TIL Empirisk modellerig Faglig rapport fra DMU r. 733 DANMARKS MILJØUNDERSØGELSER AU AARHUS UNIVERSITET [Tom side] ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Dansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Dansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik enote 3: Kofidesitervaller for é gruppe/stikprøve Egelsk Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN VELKOMMEN Tilskudsreglere beskriver hvorda Faaborg-Midtfy Kommue støtter det frivillige folkeoplysede foreigsarbejde med økoomisk tilskud og avisig

Læs mere