hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i"

Transkript

1 Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret, som løber fra til stikprøvestørrelse, X i er de i te observatio, μ er middelværdie, og σ er variase. Normalfordelige er til forskel fra de hypergeometriske fordelig, biomial- og poissofordelige kotiuert, hvilket betyder, at observatioere ka atage alle værdier. De tre adre fordeliger kaldes diskrete, og de tæller alle tre et atal gage, oget idtræffer. Normalfordelige er e empirisk fordelig, dvs. de har ige forudsætiger. Ma ka blot vise, at mage observatioer følger dee fordelig. Dette vises ved at afbilde de ordede observatioer imod fraktiler fra de stadardiserede ormalfordelig. Dette kaldes et ormalfordeligsdiagram, fraktilplot eller et probitdiagram. Hvis puktere i diagrammet tilærmelsesvis følger e ret liie med e kocetratio af pukter omkrig midte af liie, har ma godtgjort, at det er rimeligt at atage, at observatioere stammer fra e ormalfordelig. Der fides e lieær sammehæg mellem to vilkårlige ormalfordeliger, hvilket betyder, at ma ku behøver at tabellægge é ormalfordelig. Ma kommer således ikke ud for, at skulle approksimere fra e ormalfordelig til oget adet. Ma har valgt at tabellægge ormalfordelige med middelværdi og varias. Dee kaldes de stadardiserede ormalfordelig, og fordeligsfuktioe fides i Erlag S på side og 3. Middelværdie μ kaldes også forvetige eller geemsittet (selvom det ikke er helt korrekt, og de fortæller oget om observatioeres værdi. Det er derfor ofte middelværdie, der bliver spurgt om, og som skal estimeres, testes osv. Spredige (eller stadardafvigelse σ eller variase σ fortæller oget om variatioe i data, altså hvor forskellige værdiere er. Dette er i virkelighede midst lige så iteressat, f.eks. ved kvalitetskotrol, hvor ma skal have e esartet produktio (dvs. lille varias og er ligeglad med iveauet (altså middelværdie. COMPLET A/S SIDE 7 OPGAVESAMLING I STATISTIK

2 E ormalfordelt stikprøve I et større vekselerfirma i Købehav har ma lavet e udersøgelse af forskellige ivesterigsobjekter. For forskellige aktier blev det procetvise udbytte i 995 registreret. Resultatet blev: 6,; 3,; 7,8; 9,8; 6,8;,9;,; 9,;,9;,; 5,; 6,7; 4,; 9,4; 7,; 6,; 9,;,4; 8,7 og, hvor Σaktieudbytte = 6,4 og Σaktieudbytte = 5,8 Grudlæggede spørgsmål. Opstil e model til beskrivelse af det foreliggede materiale, og kotrollér de.. Aflæs de grafiske estimater på modelles parametre, og beyt disse i de to efterfølgede spørgsmål. 3. Estimér sadsylighede for, at e tilfældigt udvalgt aktie giver et udbytte på midst 3%. 4. Estimér sadsylighede for, at e tilfældigt udvalgt aktie giver et udbytte mellem % og 5%. Middelsvære spørgsmål 5. Pukt- og itervalestimér modelles parametre. 6. E ivestor øsker at ivestere mio. kr., som hu skal låe i bake. Omkostigere i forbidelse med etablerige og forretige af lået i det første år skøes til.,- kr. Opstil et kofidesiterval for de forvetede fortjeeste det første år. 7. Udersøg, om det bedre kue betale sig at ivestere i obligatioer, der i samme periode havde et udbytte på %. 8. Udersøg, om usikkerhede ved udersøgelse (dvs. stadardafvigelse ka være 4. Svære spørgsmål 9. Bereg styrke til teste i spørgsmål 7 i %.. Fastlæg e y stikprøvestørrelse, hvis styrke skal være midst 97%. COMPLET A/S SIDE 7 OPGAVESAMLING I STATISTIK

3 Løsig til Grudlæggede spørgsmål Der er her tale om måliger, og ma ka se, at observatioere ikke er heltallige. Ma ka forestille sig, at der er e middelforretig, og at observatioere vil fordele sig symmetrisk omkrig dee. De adre spørgsmål omhadler middelværdi og varias (eller spredig, som jo etop er ormal-fordeliges parametre.. Lad X i være uafhægige stokastiske variable, der agiver forretige af aktie i. Da må der gælde: X i ~ N( μ, σ hvor i løber fra til. Ma ka opstille følgede skema, hvor observatioere er ordet efter størrelse, og der er udreget hjælpestørrelse (i-,5/. Vha. disse værdier ka ma ete slå u- fraktilere op ved at gå baglæs id i ormalfordelige eller bruge fuktioe stadardormiv i Excel på værdiere. Observatiosr. i Ordede observatioer (i-,5 u-fraktiler 6,,5 -,96 6,7,75 -, ,,5 -,53 4 7,8,75 -, ,7,5 -, ,,75 -, ,,35 -, ,4,375 -, ,8,45 -,89,,475 -,67,9,55,67,9,575,89 3,,65,386 4,,675,4538 5,4,75, ,,775, ,,85, ,,875,53 9 6,,95,4395 6,8,975,96 Afbilder ma så u-fraktilere mod de ordede observatioer, skal puktere gere fordele sig omkrig e ret liie. På grafe ligger puktere fit omkrig e ret liie, så ma ka atage, at observatioere stammer fra e ormalfordelig. COMPLET A/S SIDE 73 OPGAVESAMLING I STATISTIK

4 4 Normalfraktildiagram Udbytte. Det grafiske estimat på middelværdie μ ka aflæses, som x-værdie til skærigspuktet mellem de rette liie og x-akse. Ma ka aflæse estimatet til ca.,5. Det grafiske estimat på middelværdie μ plus spredige σ ka aflæses, som x- værdie til puktet med y-værdi. y = er idteget, og ma ka aflæse estimatet til ca. 4. Trækker ma herfra estimatet på middelværdie μ, som lige blev aflæst til,5, får ma 3,5, hvilket er estimatet på spredige σ. Variase σ estimeres så til ca.,5. Note om trasformatioer Hvis puktere i ormalfraktildiagrammet udviser e tydelig krum tedes (svarede til e højreskæv fordelig, som ka ses i et histogram, bør ma trasformere data vha. e logaritmefuktio. Normalfraktildiagram Histogram Logaritmefuktioer uderpresser store observatioer, hvilket vil få ormalfraktildiagrammet til at blive mere lieært og histogrammet mere symmetrisk. Højreskæve fordeliger ses ofte, f.eks. år ma betragter acieitet, alder og omsætig, da ige af disse størrelser ka blive egative. COMPLET A/S SIDE 74 OPGAVESAMLING I STATISTIK

5 3. Når ma skal berege sadsyligheder i e ormalfordelig, skal ma først trasformere si værdi og så slå op i de stadardiserede ormalfordelig. Dette gøres vha. regereglere for sadsyligheder på side Fejl! Ukedt argumet for parameter.: x μ P(X x = Φ( og σ x μ P(X x = Φ( σ Aderse m.fl. s., Newbold s., Løborg s. 5 Bemærk, at da ormalfordelige er kotiuert, skal ma ikke som i de adre fordeliger trække fra si værdi x. Ved idsættelse får ma: 3,5 P (X 3 = Φ( = Φ(,743 = -,765 =,3885 3,5 Dvs. ca. 4% af aktiere giver et udbytte på midst 3%. 4. På ligede måde fider ma: P(x X x x μ x μ = Φ( Φ( σ σ Aderse m.fl. s., Newbold s., Løborg s. 5 Ved idsættelse får ma: 5,5,5 P( X 5 = Φ( Φ( = Φ(,857 - Φ( -,49 3,5 3,5,947 -,44433 =,4574 Dvs. kap 46% af aktiere giver et udbytte mellem % og 5%. = COMPLET A/S SIDE 75 OPGAVESAMLING I STATISTIK

6 Løsig til Middelsvære spørgsmål 5. I dette spørgsmål skal ma fide de umeriske estimater, og altså ikke aflæse værdiere på ormalfordeligsdiagrammet. Estimatere bereges ved: μ ˆ = x = x i og i= Aderse m.fl. s. 67, Newbold s. 7, Løborg s. 44 σ ˆ = s = i= (x i x = ( i= Aderse m.fl. s. 68, Newbold s. 44, Løborg s. 45 x i x = ( i= x i ( i= x i x kaldes geemsittet, og s kaldes de empiriske varias. Ved idsættelse får ma: μ ˆ = x = 6,4 =,8 og σ ˆ = s = 6,4 (5,8 = 9,469 (--itervalestimat (eller kofidesiterval for μ med =,5: μˆ ± u σ hvis de sade varias σ er kedt, hvad de sjældet er. Aderse m.fl. s., Newbold s. 78, Løborg s. 58 Husk, at Newbold kalder u-fraktilere for z. Dette kofidesiterval ka også bereges ved at vælge fuktioe kofidesiterval i Excel. Når de sade varias σ ikke er kedt og derfor estimeret vha. de empiriske varias s, skal ma i stedet beytte følgede formel: μˆ ± t ( s hvor t ( er e fraktil i t-fordelige. Aderse m.fl. s. 4, Newbold s. 86, Løborg s. 58 COMPLET A/S SIDE 76 OPGAVESAMLING I STATISTIK

7 Ved idsættelse får ma: μ ˆ ± t ( s,8 ±,4354 = =,8 ± t,5 [ 9,3846;,554] ( 9,469 =,8 ±,93,6858 = hvor ( = t (9 =, 93 er aflæst i tabelle på side 54 i Erlag S. t,5, 975 Itervallet agiver, at middelforretige med 95% sikkerhed vil være mellem ca. 9,4% og ca.,3%. Hvis det er store stikprøver (dvs. >, bliver det midre og midre vigtigt at skele mellem de to typer kofidesitervaller for middelværdie. (--itervalestimat (eller kofidesiterval for σ med =,5: ( s ( s ; hvor χ ( χ ( χ ( Newbold s. 98, Løborg s. 9 er e fraktil i χ -fordelige. Ved idsættelse får ma: ( s ( s ( 9,469 ; ( ( = χ χ,5 ( χ 78,73 78,73 ; = [ 5,448;,596] 3,85 8,9 ; ( 9,469 78,73 78,73 = ; = χ,5 ( χ,975 (9 χ,5 (9 hvor χ -fraktilere er fudet på side 38 og 39 i Erlag S. Itervallet agiver, at variase på forretige med 95% sikkerhed ligger mellem ca. 5,4% og ca.,%. Ehedere for variase skal være opløftet i ade potes, da ma har kvadreret observatioere. Tager ma kvadratrode til disse tal fider ma kofidesitervallet for spredige eller stadardafvigelse σ: ( s χ ( ; ( s χ ( COMPLET A/S SIDE 77 OPGAVESAMLING I STATISTIK

8 Ved idsættelse får ma: [ 5,448 ;,596] = [,336; 4,4788] dvs. med 95% sikkerhed ligger spredige på forretige mellem ca.,3% og ca. 4,5%. 6. Lad Y være e y stokastisk variabel, der agiver fortjeeste det første år. Der må da gælde: Y =.. X%. Dette er e lieær trasformatio, og for disse gælder: E(Y =.. E(X%. Aderse m.fl. s. 97, Newbold s. 88 Når ma så skal fide kofidesitervallet for de forvetede fortjeeste E(Y, ka ma i oveståede formel idsætte edre og øvre kofidesgræse for de forvetede forretig E(X. Ved idsættelse får ma: [.. 9,3846%.;..,554%.] = [ ;.5.54] dvs. med 95% sikkerhed vil de forvetede fortjeeste det første år være mellem ca. 84.,- kr. og ca..3.,- kr. 7. Ma skal her afgøre e påstad om, at det bedre ka betale sig at ivestere i obligatioer. Ma skal altså teste e hypotese: Hypotese: H : μ = H : μ < Aktier og obligatioer er lige gode. Det ka bedre betale sig at ivestere i obligatioer. Bemærk, at μ er middeludbyttet for aktiere. Teststørrelse: Ligesom ved kofidesitervallet har ma også to teststørrelser for middelværdie afhægig af, om de sade varias er kedt eller ukedt og derfor estimeret. Som regel er de sade varias ukedt, og de empiriske varias er udreget. COMPLET A/S SIDE 78 OPGAVESAMLING I STATISTIK

9 X μ X μ U = = σ σ N(, hvis de sade varias er kedt Aderse m.fl. s. 83, Newbold s. 33 X μ X μ T = = s s t( hvis de sade varias σ er ukedt. Aderse m.fl. s. 87, Newbold s. 339, Løborg s. 54 Observeret værdi: Da de sade varias er ukedt, beyttes T-teststørrelse. t = x μ s =,8 9,469 =,76 Kritisk værdi: t ( hvis H er ekeltsidet t ( hvis H er dobbeltsidet Da H er ekeltsidet, og med =,5, får ma ved tabelopslag på side 54 i Erlag S: t ( = t,5 ( = t, 95 (9 =,79 t-fordelige er symmetrisk lige som ormalfordelige, så dee værdi skal forstås både positivt og egativt. COMPLET A/S SIDE 79 OPGAVESAMLING I STATISTIK

10 t-fordelige Observeret værdi -, Kritisk værdi Kritisk værdi Koklusio: Da de umeriske værdi af de observerede værdi af teststørrelse er midre ed de kritiske værdi for teststørrelse, ka ma ikke forkaste hypotese, dvs. obligatioere er ikke sigifikat bedre at ivestere i. Det skal dog bemærkes, at de observerede værdi og de kritiske værdi æste er idetiske, og derfor er koklusioe meget iveaufølsom. Det betyder, at med et adet iveau havde ma ok fået e ade koklusio. De samlede koklusio må derfor være, at ma ikke rigtigt ka kokludere oget. Hvis ma hellere vil berege sigifikassadsylighede, får ma et problem pga. tabelles opbygig. I e t-fordelig ka ma ikke umiddelbart fide sadsyligheder, me ku fraktiler. Vha. disse ka ma så tilærmelsesvis bestemme sigifikas-sadsylighede. Alterativt ka ma berege sigifikassadsylighede i Excel vha. fuktioe tfordelig. Sigifikassadsylighed: p = P(T t hvis H : μ < μ p = P(T t hvis H : μ > μ p = P(T t hvis H : μ μ Aderse m.fl. s. 88, Newbold s. 339, Løborg s. 68 Alle T-teststørrelser behadles på samme måde. Her skal ma beytte de første: p = P(T t COMPLET A/S SIDE 8 OPGAVESAMLING I STATISTIK

11 Ved idsættelse får ma: p = P(T,7 T ~ t( I tabelle på side 54 i Erlag S uder 9 frihedsgrader ka ma aflæse, at,7 ligger mellem 9%-fraktile (=,38 og 95%-fraktile (=,79. Da t-fordelige er symmetrisk, må det betyde, at sigifikassadsylighede ligger mellem - 95% = 5% og -9% = %. I Excel skal ma idsætte fuktioe tfordelig, agive x-værdie til,76, at der er 9 frihedsgrader, og at sadsylighede skal bereges e-sidet. Herved får ma værdie,58, som viser, hvor iveaufølsom koklusioe er. Da sigifikassadsylighede p er større ed iveauet, bliver koklusioe stadig, at obligatioere ikke er sigifikat bedre at ivestere i ed aktiere. 8. På samme måde som før rummer spørgsmålet e påstad. Dee gag om stadard-afvigelse ka være 4. Ma skal altså teste e hypotese: Hypotese: H : σ = 4 Stadardafvigelse ka godt være 4. H : σ 4 Stadardafvigelse er sigifikat forskellig fra 4. Teststørrelse: ( s Q = σ χ ( Aderse m.fl. s. 9, Newbold s. 344, Løborg s. 85 Observeret værdi: ( 9,469 78,73 q = = =, Kritisk værdi: χ ( hvis H : σ < σ χ ( hvis H : σ > σ χ ( og χ ( hvis H : σ σ Newbold s. 345, Løborg s. 88 Da hypotese er dobbeltsidet, og χ -fordelige ikke er symmetrisk, skal ma både fide e edre og e øvre kritisk værdi som i de tredje formel. Med =,5 får ma ved tabelopslag på side 38 i Erlag S: COMPLET A/S SIDE 8 OPGAVESAMLING I STATISTIK

12 Nedre værdi: ( = χ ( = 8, 9 χ χ,5 Øvre værdi: ( = χ ( = 3, 85,975 Chi -fordelig med 9 frihedsgrader Observeret værdi, Kritisk værdi Kritisk værdi Koklusio: Da de observerede værdi af teststørrelse ligger mellem de edre og de øvre kritiske værdi for teststørrelse, ka ma ikke forkaste hypotese, dvs. stadardafvigelse er ikke sigifikat forskellig fra 4. Det skal dog bemærkes, at de observerede værdi og de edre kritiske værdi er sammeligelige og derfor er der måske baggrud for at hævde, at koklusioe er iveaufølsom. Dee koklusio er i øvrigt i overesstemmelse med kofidesitervallet for variase eller stadardafvigelse fudet i spørgsmål 5. Hvis ma hellere vil berege sigifikassadsylighede, får ma ige et problem pga. tabelles opbygig. I e χ -fordelig ka ma ikke umiddelbart fide sadsyligheder, me ku fraktiler. Vha. disse ka ma så tilærmelsesvis bestemme sigifikassadsylighede. Alterativt ka ma berege sigifikassadsylighede i Excel vha. fuktioe chifordelig. Sigifikassadsylighed: p = P(Q q hvis H : σ < σ p = P(Q q hvis H : σ > σ p = mi{p(q q;p(q q} hvis H : σ σ Aderse m.fl. s. 9, Løborg s. 9 Da hypotese er dobbeltsidet, skal ma beytte de tredje formel. Her er det e fordel først at overveje, hvilke sadsylighed, der er midst. På figure med χ -fordelige, de kritiske værdier og de observerede værdi ka ma se, at det må være P(Q q, der er de midste. COMPLET A/S SIDE 8 OPGAVESAMLING I STATISTIK

13 Ved idsættelse får ma: p = P(Q,77 Q ~ χ ( I tabelle på side 38 i Erlag S uder 9 frihedsgrader ka ma aflæse, at,77 ligger mellem 5%-fraktile (=, og %-fraktile (=,65. Dette må betyde, at sigifikassadsylighede ligger mellem 5% = % og % = %. I Excel skal ma agive x-værdie til,77, og at der er 9 frihedsgrader. Herved får ma værdie,98, som agiver P(Q q. Dee værdi skal så trækkes fra og gages med. Hermed får ma sigifikassadsylighede til,64. Koklusioe er selvfølgelig de samme, at ma ikke ka forkaste H, me at ma ka se, at de ikke er særlig iveaufølsom. Løsig til Svære spørgsmål 9. Dette spørgsmål skal forstås i sammehæg med spørgsmål 7. Styrke er sadsylighede for at afvise, at middelværdie er, hvis de faktisk er. Styrke i μ = ka bereges vha. følgede formel: μ μ η( μ = Φ u hvis H s : μ < μ eller μ > μ μ μ μ μ η( μ + Φ = Φ u u hvis H s s : μ μ Aderse m.fl. s. 95, Newbold s. 369 Da hypotese er ekeltsidet, skal ma beytte første formel. Ved idsættelse får ma: η ( = Φ(,645 = Φ(,7 =, ,469 Dvs. med ca. 9% sadsylighed ville ma kue afvise, at middelværdie er, hvis de faktisk ku er.. Hvis ma vil have e større styrke, må ma have e større stikprøvestørrelse, som ka bereges vha. følgede formel: (uη ( μ + u μ s hvis H : μ < μ eller μ > μ COMPLET A/S SIDE 83 OPGAVESAMLING I STATISTIK

14 (u + u η ( μ μ Aderse m.fl. s. 96 s hvis H : μ μ Da hypotese er ekeltsidet, skal ma beytte første formel. Ved idsættelse får ma: (u,97 + u,5 ( 9,469 = (,885 +, ,469 = 9,3 hvor u,97 er aflæst baglæs i tabelle på side 3 i Erlag S. Da stikprøvestørrelse skal være heltallig, ruder ma op til 3. Uder forudsætig af at alt adet er rimeligt kostat, betyder dette, at hvis ma udtager e stikprøve på 3 objekter, vil ma have e sadsylighed på midst 97% for at opdage, at middelværdie ikke er, hvis de faktisk er. Omvedt betyder det, at der højst er 3% sadsylighed for fejlagtigt at acceptere, at middelværdie er, hvis de faktisk er. COMPLET A/S SIDE 84 OPGAVESAMLING I STATISTIK

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Bent Willum Hansen. Vejledende løsninger S2 S1

Bent Willum Hansen. Vejledende løsninger S2 S1 Bet Willum Hase Vejledede løsiger 6 5 4 3 3 4 5 6 S S Sæt U Sæt U Opgave. a) A = Turist tilhører de primære kudegruppe P(A) =,9 b) B = Turist bor i et sommerhus med havudsigt P(B) =,8 c) A = Turist tilhører

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Bent Willum Hansen. Vejledende løsninger S2 S1

Bent Willum Hansen. Vejledende løsninger S2 S1 Bet Willum Hase Vejledede løsiger 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 S S1 Opgavesæt Vejledede løsiger Sæt 1 Vejledede løsiger Sæt 1 Opgave 1 1.1 Det oplses at de tre hædelser A = A-bakterie i e pakke B = B-bakterie i

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Statistik Lektion 8. Test for ens varians Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere