Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001"

Transkript

1 Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F Primtallene Gruppen af primiske restklasser Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer Reciprocitetssætningen Primtalstestning RSA, og andre public key systemer Lidt om faktorisering af store tal Lidt om Möbius-funktionen Funktionalligningen for Riemann s zeta-funktion... 77

2 ii

3 1. Primtallene. (1.1 Setup. Et tal p kaldes som bekendt et primtal, hvis p 2 og p kun har trivielle divisorer, dvs hvis de eneste (positive divisorer i p er 1 og p. De første primtal er tallene Som bekendt gælder: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,.... Sætning (Euklid. Der er uendelig mange primtal. Bevis. En drejning af det velkendte bevis er følgende: Betragt den uendelige følge af tal a 1, a 2,..., defineret ved a 1 := 2 og, induktivt, a k = (a 1 a k Øjensynlig gælder, at 2 a 1 < a 2 <. For i < k er a i divisor i a k 1, så a i og a k er primiske. Specielt har hvert tal a k altså sine egne primdivisorer. Da der er uendelig mange tal a k, er der uendelig mange primtal. Korollar. Det k te primtal p k er mindre end eller lig med 2 2k 1. Bevis. Med notationen i beviset ovenfor er tallene a 1,..., a k delelige med k forskellige primtal. Specielt er p k a k. Øjensynlig er, for k 2, a k = (a 1 a k 2 a k = (a k 1 1a k < a 2 k 1. Ved induktion følger det let, at a k 2 2k 1. Alle primtal p k bortset fra det første p 1 = 2 er ulige. Specielt er afstanden mellem 2 på hinanden følgende primtal p k og p k+1 (for k 2 altid mindst 2. Primtalstvillinger er par (p k, p k+1, hvor afstanden er netop 2, fx (3, 5, (5, 7, (11, 13,..., (347, 349,.... Man ved ikke, om der er uendelig mange primtalstvillinger. Derimod er det klart, at der findes par (p k, p k+1 med vilkårlig stor afstand. Fx er tallene l! + 2, l! + 3,..., l! + l en sekvens af l 1 på hinanden følgende tal, der alle er sammensatte. (1.2 Primtalsfunktionen. Med π(x betegnes antallet af primtal p x. Med denne definition, for alle reelle tal x, er π(x en trappefunktion, kontinuert fra højre, og med springet +1 præcis i primtallene. A priori er naturligvis værdierne π(n for naturlige tal n de mest interessante. Af overvejelserne i (1.1 følger: π(n for n, log 2 log 2 n < π(n < n. (1.2.1 Uligheden log 2 log 2 n < π(n medfører naturligvis Euklid s resultat, da log 2 log 2 n går mod for n. Men funktionen log 2 log 2 n vokser uhyrligt langsomt: Fx, for n = , medfører uligheden kun, at der er 9 primtal mindre end Det faktiske antal primtal mindre end er naturligvis(? ikke kendt, men det er større end

4 2 1 (1.3 Primtalssætningen. En optælling af primtal giver tabellen [Funktionen A(n i sidste søjle forklares i (1.12], n π(n n/π(n A(n ,5 0, ,0 0, ,0 0, ,1 1, ,4 1, ,7 1, ,0 1, ,4 1, ,7 1, ,0 1,0 Multiplikation af n med en faktor 10 svarer altså til forøgelse af n/π(n med en konstant, 2, 3. Matematikere genkender (genkendte? naturligvis denne konstant som log 10, og gætter derfor på, at n/π(n kan tilnærmes med log n. Dette resultat er Primtalssætningen: Asymptotisk gælder relationen, π(n n log n, (1.3.1 i den forstand, at vi for kvotienten mellem venstre- og højresiden har π(n n/ log n 1 for n. Ækvivalent betyder Primtalssætningen, at for alle givne positive c<1 og C>1 gælder, for n 0 (dvs når n er tilstrækkelig stor, ulighederne, c log n π(n n C log n. (1.3.2 I det følgende giver vi et elementært bevis for de to uligheder, for alle n 2: 1 3 log n π(n n 3 log n. (1.3.3 Primtalssætningen blev formodet sidst i 1700-tallet, af Legendre og Gauss (som 15-årig i 1792, på basis af tabeller over primtal. Ulighederne (1.3.3 blev vist omkring 1850 af Chebyshev [ ]. Mere præcist viste Chebyshev, at ulighederne (1.3.2 er opfyldt med c := 0, 89 og C := 1, 11 for n n 0. Primtalssætningen blev først bevist i 1896 af Hadamard [ ] og (uafhængigt af de la Vallée Poussin [ ].

5 Primtallene 3 Det skal understreges, at Primtalssætningen, dvs den asymptotiske relation (1.3.1, alene er et udsagn om forholdet mellem de to funktioner π(n og n/ log n; resultatet siger ikke, at forskellen er lille. Defineres ε(n := π(n/(n/ log n 1, har vi øjensynlig π(n n/ log n = ε(n(n/ log n, (1.3.4 og Primtalssætningen er ækvivalent med, at ε(n 0 for n. Funktionen n/ log n går mod uendelig. Primtalssætningen siger altså end ikke, at forskellen (dvs venstresiden af (1.3.4 er begrænset, men snarere, at forskellen går langsommere mod end n/ log n. Primtalssætningen, altså relationen (1.3.1, er øjensynlig ækvivalent med følgende: π(n n 1 log n. For et givet tal n er brøken π(n/n lig med sandsynligheden for, at et tilfældigt tal p n er et primtal. Primtalssætningen udsiger heuristisk, at denne sandsynlighed, når n er stor, er omtrent 1/ log n. Ifølge Chebyshev s ulighed (1.3.3 er sandsynligheden i hvert fald mindre end 3/ log n; specielt går sandsynligheden mod 0 for n, så primtal bliver mere sjældne ude til højre på talrækken. På den anden side er sandsynligheden større end 1 3 / log n, og den er altså ikke forsvindende: sandsynligheden for, at et tilfældigt tal med 100 decimaler er et primtal, er af størrelsesordenen, 1/ log , 004. (1.4 Sætning. For alle n 1 og n/2 k n er ( n k k π(n π(k. Bevis. For binomialkoefficienten har vi udtrykket, ( ( n n = = k n k n (n 1 (k (n k Blandt faktorerne i tælleren er der π(n π(k primtal, og de er alle er større end k. Da k n k, kan ingen af disse primtal gå op i nævneren. Binomialkoefficienten er derfor delelig med produktet af disse primtal. Heraf følger påstanden. (1.5 Korollar. For alle n 1 er n π(n 2 4n. Bevis. Uligheden vises let for n 3, og den vises ved fuldstændig induktion for n > 3. Sæt k := [(n + 1/2]. Specielt er så k (n + 1/2, og n/k 2, og n/2 k < n. Af (1.4 og induktionsantagelsen (og de trivielle vurderinger π(n n 2 og ( n k 2 n får vi derfor, at n π(n = (n/k π(n k π(n π(k k π(k 2 π(n ( n k. 2 4k 2 n 2 2 n 2 4(n+1/2 = 2 4n, som ønsket. [Hvor i induktionsskridtet brugtes, at n 4?]

6 4 1 (1.6 Lemma. For et primtal p og alle n 1 og 0 k n gælder, at hvis potensen p ν er divisor i binomialkoefficienten ( n k, så er p ν n. Bevis. Påstanden vises ved fuldstændig induktion efter n. Lad b være binomialkoefficienten, skrevet som brøk: b := ( n = k n (n 1 (n k k Antag, at p ν b. Det skal vises, at p ν n. Det er trivielt for ν = 0, så vi kan antage, at ν > 0. Specielt er så n > k 1, og i brøken b er mindst én faktor i tælleren delelig med p. Lad b være den brøk, der fremkommer af brøken b ved at fjerne, fra tæller og nævner, alle faktorer, der ikke er multipla af p. Hvis n p og k p er de største multipla af p i henholdsvis tæller og nævner, resterer i nævneren faktorerne 1p, 2p,..., k p. Vi har altså b = n p (n 1p (n 2p 1p 2p 3p k p Både tæller og nævner i brøken b er produkter af k på hinanden følgende hele tal, og det er hver p te faktor, der er delelig med p. I nævneren er der k faktorer, der er delelige med p, og de første p 1 faktorer ikke delelige med p. Heraf følger, at der i tælleren af b er k eller k + 1 faktorer, der er delelige med p. De resterer i tælleren for b. Ved at forkorte k gange med p får vi i det første tilfælde, at ( n b =, (1 og i det andet tilfælde, at ( n b ( n = k (n k ( 1 n p = k n p = k (k + 1p; (2 + 1 de sidste ligninger er blot trivielle omskrivninger af binomialkoefficienten. I begge tilfælde er brøken b altså et helt tal. Da p ν b følger det, at p ν b. I det første tilfælde fås derfor af (1, og induktion, at p ν n, og så er p ν n < n p n. Betragt det andet tilfælde. I de tre udtryk for b i (2 forekommer faktorerne n k, n og k + 1. Mindst én af disse faktorer må være primisk med p. Af det tilsvarende udtryk for b følger derfor, at p ν 1 er divisor i den tilsvarende binomialkoefficient. Ved induktion følger derfor, at p ν 1 n (hvis n er primisk med p følger det endda, at p ν 1 n 1. Altså er p ν n p n, som ønsket. (1.7 Sætning. For alle n 1 og 0 k n er ( n k n π(n. Bevis. Lad p ν 1 1 pν r r være primopløsningen af binomialkoefficienten. Af (1.6 følger så, at p ν i i n. Specielt er p i n, og dermed er r π(n. Altså er ( n = p ν 1 1 k pν r r n r n π(n, hvormed uligheden er eftervist. k..

7 Primtallene 5 (1.8 Korollar. For alle n 2 er π(n log n 1 2 (log 2n. Bevis. Da 2 n = ( n k k, følger det af (1.7, at 2 n (n + 1n π(n, hvoraf ( log(n + 1 π(n log n log 2 n. n Brøken på højresiden konvergerer mod 0 for n, og aftagende for n 2. For n 7 er parentesen på højresiden altså mindst log log 2 = 4 7 log 2. Specielt gælder den påståede ulighed for n 7. Det er let at se, at den gælder for n = 2, 3, 4, 5, 6. Altså gælder uligheden for alle n 2. Bevis for ulighederne ( Af (1.5 og (1.8 følger, for n 2, at vi har ulighederne i (1.3.2 med c = 2 1 log 2 og C = 4 log 2. Da log 2 = 0, , har vi specielt ( (1.9 Konsekvenser. Af Primtalssætningen følger fx, at log p n log n, p n n log n, p n+1 p n, (1.9.1 hvor p n det n te primtal. Af Primtalssætningen følger nemlig først, for n, at og dermed at Efter division med log p n fås, at n log p n p n = π(p n p n / log p n 1, (1 log n log p n p n = log n + log log p n log p n 0. Da (log x/x 0 for x, følger det, at Hermed er den første relation i (1.9.1 bevist. Af (1 og (2 følger, at n log n p n log n log p n + log log p n log p n 1. hvormed den anden relation er bevist. Endelig er p n+1 p n log n log p n 1. (2 = log n log p n n log p n p n 1, (3 = n log n n + 1 log(n + 1 p n n log n p n+1 (n + 1 log(n + 1. På højresiden konvergerer første og sidste brøk mod 1 ifølge (3. De to midterste brøker konvergerer trivielt mod 1. Heraf følger den sidste relation i (1.9.1.

8 6 1 (1.10 Bertrand s Postulat. Mellem n og 2n ligger altid et primtal. Ækvivalent er påstanden, at π(2n > π(n for alle naturlige tal n. Påstanden blev bevist af Chebyshev, essentielt som følger: Antag, for givne 0<c<1<C, at ulighederne (1.3.2 gælder for n N 0. Herefter er, for n N 0, π(2n π(n 2cn log 2 + log n Cn log n. Det er klart, at hvis 2c > C, så er højresiden positiv for n N 1, med et N 1 N 0. Påstanden i Bertrand s postulat gælder altså for n N 1. For at vise påstanden for alle n kræves en explicit bestemmelse af c, C med c/c > 1 2 og et tilhørende N 0; herefter bestemmes N 1 og Bertrands Postulat er så bevist for alle n, når det er eftervist for de endelig mange n N 1. Bemærk, at de værdier af c, C, hvormed vi har vist Chebyshev s uligheder, er utilstrækkelige, idet vi her har c/c = 1 9. (1.11. Det er nærligende at sammenligne fordelingen af primtallene med fordelingen af andre uendelige mængder af tal. Betragt fx kvadrattallene: q k = k 2. For funktionen ν(n, der tæller antallet af kvadrattal mindre end eller lig med n, får vi trivielt den asymptotiske formel, ν(n n; sammenligning med (1.3.1 viser, at kvadrattal er meget mere sjældne end primtal. Der er som bekendt så få kvadrattal, at rækken 1/q, hvor der summeres over kvadrattal, er konvergent (summen er som bekendt π 2 /6. For primtallene gælder modsætningsvis det efterfølgende resultat, der skyldes Euler (1737: Sætning. Rækken 1/p, over primtal p, er divergent. Bevis. I beviset bruger vi følgende vurdering for 0 < x < 1: 1 log 1 x = n 1 1 n xn x + x n = x + n 2 Betragt nu for et naturligt tal N produktet, over primtal p N, p N 1 1 1/p. x2 1 x < x + x 2 (1 x 2. Faktoren svarende til p er summen i 1/pi ; når disse summer multipliceres fremkommer summen af alle brøker 1/n, hvor n har en primopløsning med primfaktorer, der alle er højst N. Heri indgår specielt alle brøker 1/n, hvor n N. Vi har altså vurderingen, n N 1 n p N 1 1 1/p.

9 Primtallene 7 Ved brug af uligheden ovenfor, for x := 1/p, får vi derfor uligheden, log 1 n ( 1 p + 1 (p 1 n N p N 2. For N går venstresiden mod uendelig, fordi den harmoniske række er divergent. På højresiden er rækken p 1/(p 12 konvergent, fordi rækken 1/k 2 er konvergent. Følgelig må rækken 1/p være divergent. (1.12 Andre approksimationer. Primtalssætningen kan formuleres ved hjælp af funktionen A(x defineret ved følgende ligning: π(x = x log x A(x. Herefter er (x/ log x/π(x = 1 A(x/ log x. Primtalssætningen udsiger altså, at kvotienten A(x/ log x 0 for x eller ækvivalent med den såkaldte lille-o-notation, at A(x = o(log x. Funktionen A(x er differensen A(x = log x x/π(x. Dens værdier for de første 10 potenser af 10 kan altså let fås af tabellen i (1.3, idet log 10 = 2, Det er bemærkelsesværdigt, at værdierne er ganske tæt på 1; primtalssætningen forudsiger jo ikke engang, at funktionen A(x er begrænset. Man kan vise, at hvis grænseværdien lim x A(x eksisterer, så må den være lig med 1. I lyset af dette resultat kunne man håbe, at tilnærmelsen, π(n n log n 1, ( i en eller anden forstand er bedre en ( Som anført, dvs som et udsagn om forholdet mellem de to funktioner, er ( trivielt ækvivalent med ( Som nævnt udsiger Primtalssætningen heuristisk, for et stort tal n, at sandsynligheden for at et tal p n er et primtal er lig med 1/ log n. Mere præcist må det forventes, at et lille interval af længde omkring n indeholder / log n primtal. [ lille skal forstås i betydningen lille sammenlignet med n, men stort nok til statistiske betragtninger ; fx n = , = ] Forventningen leder til følgende tilnærmelse, foreslået af Gauss, π(n n 2 dt log t. ( Igen er det let at se, at relationen ( er ækvivalent med Primtalssætningen. Funktionen på højresiden er, bortset fra (addition af en konstant, logaritme-integralet Li(n. Riemann [ ] så, at i tallet / log n, fortolket som antallet af primtal i et interval af længde omkring n, bør også primtalspotenser indgå, således at k te potenser vægtes med 1/k. I stedet for funktionen π(x = p x 1 betragtes altså funktionen, (x = p k x 1 k = k 1 k π( k x.

10 8 1 Ved hjælp af Möbius-funktionen µ(n kan vi omvendt udtrykke π(x ved (x, π(x = µ(k k ( k x. k (Funktionen µ(n har værdien ( 1 r når n er et produkt af r forskellige primtal, og 0 ellers. Specielt er µ(1 = 1, idet jo 1 er produktet af ingen primtal. Riemann s overvejelse leder til approksimationen (n Li(n, og heraf kan formelt udledes, at µ(k π(n Li( k n =: R(n. ( k k=1 Funktionen R(n på højresiden af ( kaldes Riemann s række. I rækkens k te led går faktorenli( k n mod for k, og det er faktisk ækvivalent med Primtalssætningen at vise, at rækken overhovedet er (betinget konvergent. Riemann selv betragtede kun rækkens afsnitssummer. Hvis vi snyder, og tillægger Li(x værdien 0 for 1 < x < 2, er R(n blot en endelig sum, og den asymptotiske relation ( følger let af ( (1.13 Verdens største tal. Man kan bevise, at for n 0 (mere præcist, for n 17 gælder uligheden, n/ log n < π(n. Gauss og Riemann formodede, at der for alle n gælder uligheden, π(n < Li(n. Det skal understreges, at uligheden gælder for alle de n, for hvilke π(n overhovedet er beregnet. Den største (i 1994 beregnede værdi er i øvrigt π(10 18 = Skønt man således kan sige, at der er numerisk evidens for at differensen Li(n π(n altid er positiv, er dette ikke tilfældet: Littlewood viste allerede i 1914, at differensen Li(n π(n skifter fortegn uendelig mange gange. Beviset er ikke konstruktivt, og angiver ikke en værdi n 0, for hvilken Li(n 0 < π(n 0. Skewes viste i 1934, under forudsætning af Riemann s hypotese (se nedenfor, at et sådant tal findes, med n 0 < Højresiden er Skewes tal, verdens største tal. Senere, bl.a. også af Skewes, er der givet øvre grænser for n 0 uden forudsætning af Riemann s hypotese. Det antages i almindelighed, at Riemann s approksimation R(n er bedre end approksimationerne Li(n og n/ log n. Antagelsen understøttes numerisk, men som nævnt ovenfor er numeriske data slet ikke overbevisende. Bemærk, at i approksimationen med det andet led medtaget, π(n Li(n 1 2 Li( n, er leddet Li( n af størrelsesordenen n/ log n. Det er et dybtliggende spørgsmål, også relateret til Riemann s hypotese, om differensen Li(n π(n overhovedet er af denne størrelsesorden.

11 Primtallene 9 (1.14 Riemann s zeta-funktion. I sine undersøgelser indrog Riemann zeta-funktionen ζ(s, defineret ved rækken, ζ(s := 1 n n 1 s. ( Rækken er en såkaldt Dirichlet-række. Det er ikke svært at vise, at rækken er absolut konvergent for alle komplekse tal s i området Re s > 1, og at funktionen ζ(s i dette område er holomorf. Dens sammenhæng med primtallene fremgår af Euler s produktformel, ( lim ζ(s k k ( 1 1 pi s = 1, (* i=1 hvor p 1 < p 2 < p 3 < er følgen af primtal. Vi har nemlig ζ(s(1 2 s = n s (2n s = n s, hvor summen er over tal n 1, der ikke er delelige med 2. Med samme argument er ζ(s(1 2 s (1 3 s = n s, hvor summen nu er over tal n 1, som hverken er delelige med 2 eller 3. Og generelt er ζ(s(1 p s 1 (1 p s k = n s = 1 + n s, hvor den sidste sum er over tal n > 1, som ikke er delelige med et af primtallene p 1,..., p k. Det første af disse tal er p k+1. Idet σ := Re s > 1, får vi vurderingen, 1 1 n s n n p σ, k+1 og her går højresiden mod 0 for k, da rækken n σ er konvergent. Hermed er (* bevist. Det følger, for Re s > 1, at ζ(s 0, at det uendelige produkt k=1 (1 p s k er konvergent, og at vi har ligningen (hvor p gennemløber primtallene, ζ(s = p 1. ( p s Et alternativt bevis for, at ζ(s 0 for Re s > 1 fås ved at bemærke, at rækken n 1 µ(n/ns er absolut konvergent, og at dens produkt med rækken for ζ(s giver konstanten 1. Vi har altså ligningen, 1 ζ(s = µ(n n n 1 s. (1.14.3

12 10 1 Formelt har vi for logaritmerne, log ζ(s = p log(1 p s = p,m 1 m p sm, og her er højresiden absolut (og majoriseret konvergent. Ligningen definerer altså en logaritme til ζ(s. Herefter er det ikke svært at vise ligningen, log ζ(s = 0 (t t s 1 dt, ( der viser sammenhængen mellem Riemann s ζ-funktion og funktionen (x fra (1.12. Riemann viste, at ζ-funktionen kan udvides til en meromorf funktion i hele den komplekse plan, holomorf bortset fra en pol i s = 1. I halvplanen, hvor Re s > 0, kan den udvidede funktion bestemmes som følger: For Re s > 1 gælder øjensynlig, at (1 2 1 s ζ(s = n 1 n s n 2 (2n s = n ( 1 n 1 n s. Rækken på højresiden er betinget konvergent for Re s > 0 (det er i hvert fald klart, når s er reel, og ligningen ovenfor kan derfor essentielt tages som definition af udvidelsen af ζ(s til halvplanen Re s > 0. Bemærk dog, at faktoren s på venstresiden er 0, når s = 1 + 2πia/ log 2 med a Z. For a = 0, dvs for s = 1, har højresiden værdien log 2, og (1 2 1 s 1 = (1 e (1 s log 2 1 = (log 2 1 (s 1 1 +, hvor står for en potensrække i s 1. Heraf ses, at ζ(s har en simpel pol i s = 1, med residuet 1. Endelig beviste Riemann, at den udvidede funktion ζ(s tilfredsstiller følgende funktionalligning: ζ(1 s = 2 1 s π s cos πs Ɣ(sζ(s, ( hvor Ɣ(s er gamma-funktionen. De to argumenter, s og 1 s, i funktionalligningen ligger symmetrisk omkring punktet s = 1 2. Specielt, på linien, hvor Re s = 1 2, er 1 s det konjugerede af s. Af særlig interesse er nulpunkterne for ζ(s. For Re s > 1 har ζ(s som nævnt ingen nulpunkter, og af faktorerne på højresiden af ( er det kun faktoren cos π s/2, der kan være nul, svarende til s = 3, 5, 7,.... I området Re s < 0 har ζ(s derfor kun de trivielle nulpunkter 2, 4, 6,.... Riemann viste, at Primtalsætningen er ækvivalent med, at ζ(s ikke har nulpunkter på de to linier Re s = 0 og Re s = 1. Det var faktisk ved hjælp af denne ækvivalens, at Primtalssætningen blev bevist. Tilbage bliver spørgsmålet om eventuelle nulpunkter i den kritiske strimmel 0 < Re s < 1. Man kan vise, at ζ(s har uendelig mange nulpunkter på symmetrilinien Re s = 1 2. Derimod har man ikke bevist den berømte:

13 Primtallene 11 Riemann s hypotese. Alle nulpunkter s for zeta-funktionen ζ(s i den kritiske strimmel 0 < Re s < 1 ligger på linien, hvor Re s = 1 2. Riemann beviste en eksakt formel for π(n. Med brug af funktionen R(n er formlen ækvivalent med følgende: For alle n > 1 er π(n = R(n ρ R(nρ, ( hvor ρ gennemløber nulpunkterne for ζ(s i den kritiske strimmel. Tallet n ρ er komplekst, n ρ = e ρ log n, og det har som bekendt numerisk værdi n ρ = n r, hvor r = Re ρ. Riemann s hypotese betyder, at alle tallene n ρ har numerisk værdi lig med n 1/2 = n. Man kan i øvrigt vise, at Riemann s hypotese er ækvivalent med relationen, π(n Li(n = O( n log n, ( hvor store-o-notationen indikerer, at differensen π(n Li(n numerisk er begrænset af en konstant gange n log n. Det skal understreges, at de asymptotiske relationer i (1.12 er ækvivalente med Primtalssætningen. Derimod er Riemann s hypotese, og altså (1.14.7, ikke er bevist. (1.15 Logaritme-integral og eksponential-integral. I Riemann s formel ( indgår værdier af R(w, og dermed af Li(w, også for komplekse tal w (af formen w = n ρ. Når x > 1 og ρ 0 definerer vi Li(x ρ := Ei(ρ log x, hvor Ei(z er eksponential-integralet, defineret for komplekse z 0 ved udtrykket, Ei(z = z e t dt t + iπ. ( Når z er negativ reel eller i den øvre halvplan, er kurveintegralet langs en kurve, der begynder i (og ender i z, og som ikke kommer i den nedre halvplan. For reelle positive z kan kurven forløbe langs den negative reelle akse, cirkle rundt om 0 i den øvre halvplan, og fortsætte langs den positive halvakse. For punkter i den nedre halvplan forudsættes, at kurven krydser den reelle akse på den positive del; alternativt kan der integreres langs en kurve i den nedre halvplan, idet konstanten iπ så skal erstattes af iπ. Funktionen Ei(z er holomorf i C opskåret langs den negative reelle akse; værdierne for negative reelle z er grænseværdier for værdierne i den øvre halvplan. Kurveintegralet definerer en funktion, der lokalt er holomorf med den afledede e z /z = 1/z + m 1 zm 1 /m!. Med en konstant γ har vi har altså ligningen, Ei(z = γ + log z + z m /(m m! ( (også når z er negativ reel, hvor vi sætter log z := log z +iπ. Øjensynlig er γ grænseværdien for z 0 af Ei(z log z. Når u er positiv reel, er Ei( u log( u = u e t dt t m=1 log u = u e t dt t + 1 u dt t,

14 12 1 hvoraf γ = 1 0 (1 e t dt t At γ faktisk er Euler s konstant følger af udregningerne, 1 e t dt t. = n n log n = 1 1 (1 t/n n dt t n t dt = u n n 1 u du 1 (1 t/n n dt t 1 1 t dt n 1 (1 t/n n dt ; t Euler s konstant er grænseværdien, for n, af venstresiden, og som bekendt er e t grænseværdien af (1 t/n n. (1.16 Om konvergens af Riemann s række. Med logaritme-integralet defineret via eksponential-integralet får vi følgende udtryk for rækken, der definerer R(n: R(e z = k µ(k k Ei(z/k. Indsæt, i rækken på højresiden, udtrykket ( for Ei(z/k, og brug at γ + log(z/k = (γ + log z log k. Resultatet bliver en sum af tre rækker. De to første er rækkerne, k µ(k k (γ + log z, og k µ(k k log k. ( Man kan vise, at der gælder ligningerne, k µ(k k = 0, µ(k log k k = 1. ( De to venstresider opstår formelt, når man sætter s = 1 i rækken 1/ζ(s = µ(k/k s = 1/ζ(s fra ( og i (1/ζ(s = µ(k log k/k s. Da ζ(s har en simpel pol med residuet 1 i s = 1, gælder, for s 1, at 1/ζ(s 0 og (1/ζ(s 1, og dette kan tages som en vag indikation for ligningerne i (1.16.2, men langtfra som bevis. Det er ikke så svært at vise, at den første ligning i ( er ækvivalent med primtalssætningen. Det følger af ligningerne (1.16.2, at de to rækker i ( blot bidrager med konstanten 1 til R(e z. Det tredie bidrag har formen, k m µ(k k z m k m mm!.

15 Primtallene 13 Det er nemt at se, at denne dobbeltrække er absolut konvergent. Ved ombytning af summationerne bliver den indre sum til rækken k µ(kk m 1 = 1/ζ(m + 1. Vi har således vist, at rækken R(e z er (betinget konvergent, og at vi for summen har udtrykket, R(e z = 1 + z m ζ(m + 1m m!. m 1 (1.17 Opgaver. 1. Vis, at Möbius-funktionen µ(n kan karakteriseres som den eneste funktion µ: N C som opfylder, at µ(1 = 1 og, for n > 1, at d n µ(d = Bevis formlen π(n = k (µ(k/k ( k n, hvor (n er defineret i ( Vis, at de tre asymptotiske formler, π(n Li(n, (n Li(n, π(n R(n, alle er ækvivalente med Primtalssætningen. Her fortolker vi R(n som den (endelige sum der fremkommer af højresiden i (1.12.3, når logaritme-integralet sættes til 0 for 1 < x < Tegn på millimeterpapir graferne for funktionerne 300π(x og 300ν(x på intervallet 0 x N, hvor N := , idet interval-endepunkterne på x-aksen anbringes med en afstand på 10 cm. Du må gerne antage, at π(x = x/ log x for x > 2, og du må gerne tegne med en blyant, hvis spids er ca 1mm tyk. Men du skal kunne forsvare din tegning. [Vink: 300 log ] 5. Vis, at (3, 5, 7 er det eneste sæt primtalstrillinger. 6. Bestem, med A(n fra (1.12, A(10 18 med 2 decimaler. Værdien π(10 18 er givet i ( Fermat-primtallene er (ulige primtal af formen p = 2 k + 1. Vis, at hvis 2 k + 1 (med k > 0 er et primtal, så er k nødvendigvis en potens af 2. Fermat-primtalleneer altså af formen F n = 2 2n + 1. De første 5 Fermat-primtal er F 0 = 3, F 1 = = 5, F 2 = = 17, F 3 = = 257, og F 4 = = Man kender ikke andre Fermat-primtal. Euler beviste, at 641 går op i F 5 : Det er let at se, at 641 = = Modulo 641 gælder derfor, at 2 32 = (2 7 4 ( 1 4 = 1, altså er F 5 = (mod Mersenne-primtallene er primtal af formen p = 2 q 1. Vis, at hvis M q = 2 q 1 er et primtal, så er q et primtal. 9. Vis, at et lige tal n er perfekt, dvs lig med summen af sine ægte divisorer (incl. 1, hvis (ifølge Euklid og kun hvis (ifølge Euler n = 2 q 1 (2 q 1, hvor 2 q 1 er et primtal. 10. Check lige, at definitionen i (1.15, Li(x = Ei(log x, harmonerer med, at logaritmeintegralet er en stamfunktion til 1/ log x, jfr ( Vis, at rækkerne ( og ( er hinandens reciprokke. 12. Vis ligningen ( [Vink: funktionen (x i (1.12 er givet ved (x = 1 p,m m 1 [p m, (x, hvor 1 I (x betegner den karakteristiske funktion for intervallet I.] 13. Det er vel klart, ( at eksponential-integralet Ei(x er reelt, når x er reel og positiv? Og at ε Ei(x = lim ε 0 + x ε e t t 1 dt.

16 14

17 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1 Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative gruppe af primiske restklasser modulo n betegnes (Z/n. Gruppen Z/n er en additiv udgave af den cykliske gruppe af orden n. Gruppen (Z/n har orden ϕ(n, hvor ϕ(n er Euler s ϕ-funktion, dvs ϕ(n er antallet af tal a med 0 a < n og (a, n = 1. For en endelig gruppe G findes eksponenter l 1 således, at g l = 1 for alle g G. Mere præcist betyder ligningen g l = 1, at l er et multiplum af ordenen af g. Ligningen g l = 1 er altså opfyldt for alle g, hvis og kun hvis l er et multiplum af alle elementordener. Heraf ses, mere præcist, at den mindste mulige eksponent l er det mindste fælles multiplum af elementordenerne. Denne mindste eksponent kaldes også gruppens eksponent. Det følger af Lagrange s Indexsætning, at g G = 1 for alle g G. Ordenen G er altså et multiplum af eksponenten. Det er velkendt (men ikke helt trivielt, at for en endelig kommutativ gruppe er enhver elementorden divisor i den maksimale elementorden. Med andre ord: eksponenten for en kommutativ gruppe er netop den maksimale elementorden. Med λ(n betegnes eksponenten for gruppen (Z/n, dvs det mindste positive tal l således, at a l 1 (mod n for alle tal a primiske med n. Det følger af det foregående, at λ(n er divisor i ϕ(n. Fra en primopløsning af n: n = p ν 1 1 pν r r, fås, ved brug af Den kinesiske Restklassesætning, isomorfier, Z/n Z/p ν 1 1 Z/pν r r, (Z/n (Z/p ν 1 1 (Z/p ν r r. Af den sidste isomorfi følger, at ϕ(n = ϕ(p ν 1 1 ϕ(pν r r. For et primtal p har vi ϕ(p = p 1, idet alle tal a = 1,..., p 1 er primiske med p. Mere generelt, for en primtalspotens p ν har vi ϕ(p ν = (p 1p ν 1. Et tal a er nemlig primisk med p ν, netop når p ikke går op i a. Af de p ν tal a med 0 a < p ν er det altså de p ν 1 tal af formen a = bp for 0 b < p ν 1, der ikke er primiske med p. Antallet af resterende, dvs p ν p ν 1, er altså antallet ϕ(p ν. (2.2 Sætning. Den multiplikative gruppe (Z/p ν, af primiske restklasser modulo en ulige primtalspotens, er cyklisk. Bevis. For ν = 1 er påstanden velkendt: Restklasseringen Z/p er et legeme, sædvanligvis betegnet F p, med p elementer, og gruppen (Z/p er den multiplikative gruppe F p bestående 15

18 16 2 af elementerne forskellige fra 0 i dette legeme. Lad l := λ(p være eksponenten for gruppen Fp. Specielt er så l divisor i gruppens orden p 1. Polynomiet Xl 1 i F p [X] har hvert af de p 1 elementer i Fp som rod, så for graden har vi l p 1. Derfor er l = p 1. Tallet p 1 er altså den maksimale elementorden, så der findes i Fp et element af orden p 1. Altså er Fp cyklisk. Antag nu, at ν 2. Betragt ringhomomorfien, Z/p ν Z/p, der afbilder restklassen af a modulo p ν på restklasen af a modulo p. Ringhomomorfien inducerer er gruppehomomorfi mellem grupperne af invertible elementer. Vi får altså en induceret homomorfi, (Z/p ν (Z/p. Denne homomorfi er surjektiv, thi når a er primisk med p (og dermed med p ν vil restklassen af a modulo p på højresiden komme fra restklassen af a modulo p ν på venstresiden. Lad U være kernen for homomorfien. Gruppen (Z/p ν har orden (p 1p ν 1, og billedgruppen har orden p 1. Af Lagrange s Indexsætning følger derfor, at U har orden p ν 1. Det påstås først, at der findes en restklasse z i (Z/p ν af orden p 1. Vælg hertil et tal a, hvis restklasse modulo p frembringer gruppen (Z/p, dvs hvis restklasse modulo p har orden p 1. Restklassen w := [a], af a modulo p ν, har da i gruppen (Z/p ν en orden, der er et multiplum af p 1 og divisor i gruppens orden, dvs i (p 1p ν 1. Ordenen af w er derfor (p 1p µ, med 0 µ ν 1. Det følger, at restklassen z := w pµ har orden p 1. Herefter er det nok at vise, at U er cyklisk, altså at der findes et element u U af orden p ν 1. Med et sådant element har nemlig z og u primiske ordener, og produktet zu har derfor orden (p 1p ν 1. Produktet zu er altså en frembringer for (Z/p ν. Eksistensen af u er klar, hvis ν = 2, idet U så har orden p, og derfor er cyklisk. I det almindelige tilfælde ν 2 viser vi, mere præcist, at restklassen u := [1 + p] i U er brugbar. Først bemærkes, at for µ 1 og alle k gælder kongruensen, (1 + kp pµ kp µ (mod p µ+1. (* Kongruensen er nemlig en lighed for µ = 1. Antag, induktivt, at (* er opfyldt for et µ 1. Venstresiden har altså formen 1 + a, hvor a kp µ (mod p µ+1. Af binomialformlen får vi en ligning, (1 + kp pµ = (1 + a p = 1 + pa + ( p 2 a a p. På højresiden er pa kp µ+1 (mod p µ+2. De efterfølgende led på højresiden er enten delelige med pa 2 eller med a 3 (her udnyttes, at p 3; da p µ a, er leddet i begge tilfælde altså deleligt med p µ+2. Følgelig gælder (* for µ + 1. Betragt nu restklassen u := [1 + p] modulo p ν. Den tilhører gruppen U, som har orden p ν 1. Ordenen af u er altså divisor i p ν 1. Af (*, med k := 1 og µ := ν 1, fremgår, at ordenen af u ikke kan være en ægte divisor i p ν 1. Derfor er ordenen lig med p ν 1. Altså er u brugbar.

19 Primiske restklasser 17 (2.3 Bemærkning. Gruppen (Z/2 ν har orden 2 ν 1. For ν = 1 har vi (Z/2 = {1}, altså den trivielle gruppe. For ν = 2 har vi (Z/4 = {±1}, som er den cykliske gruppe af orden 2. For ν = 3 har vi gruppen (Z/8, med de fire restklasser ±1 og ±3. For hver af de fire restklasser a har vi øjensynlig a 2 = 1. Gruppen (Z/8 er altså Klein s Vier-gruppe C 2 C 2, og specielt er den ikke cyklisk. For ν 3 har vi, som i beviset for (2.2, en surjektiv homomorfi, (Z/2 ν (Z/8. Da højresiden ikke er cyklisk, kan venstresiden heller ikke være cyklisk. Tilsvarende kan vi betragte den surjektive homomorfi, (Z/2 ν (Z/4. Lad U være kernen. Billedgruppen har orden 2, så U har orden 2 ν 2. Som i beviset for (2.2 vises, for alle µ 1, kongruensen, ( µ µ+1 (mod 2 µ+2. (* Øjensynlig ligger restklassen [5] i U, og restklassens orden er derfor divisor i 2 ν 2. Af kongruensen, for µ := ν 2, følger, at restklassens orden ikke er divisor i 2 ν 3. Restklassens orden er derfor 2 ν 2. Gruppen U er derfor cyklisk, frembragt af [5]. Restklassen 1 frembringer den cykliske undergruppe {±1} af orden 2. Øjensynlig er 1 ikke i U, så fællesmængden U {±1} består kun af 1. Da ordenen af (Z/2 ν er produktet af ordenerne af U og {±1} fås: Gruppen (Z/2 ν, for ν 3, er produktet af undergruppen {±1} og undergruppen U frembragt af [5]: {±1} U = (Z/2 ν, altså et produkt af cykliske grupper af orden 2 og 2 ν 2. (2.4 Definition. Af Fermat s lille Sætning følger, når n er et primtal, at (a, n = 1 a n 1 1 (mod n. (2.4.1 Ækvivalent, udtrykt ved eksponenten af (Z/n, betyder betingelsen (2.4.1, at λ(n n 1. Et tal n > 1, der er sammensat og opfylder betingelsen (2.4.1 kaldes et Carmichael-tal. (2.5 Sætning. Et tal n er et Carmichael-tal, hvis og kun hvis n = p 1 p r er et produkt af (mindst tre ulige, forskellige primtal p i, som opfylder, at p i 1 n 1. Bevis. Lad n = 2 ν p ν 1 1 pν r r være primopløsningen af n, hvor primtallene p i er ulige. Antag først, at n er et Carmichael-tal. Hvis n er lige, er n 1 ulige. Betingelsen (2.4.1 medfører derfor, at alle elementer i (Z/n har ulige orden. Gruppens orden, dvs ϕ(n, må derfor være ulige. Af udregningerne af ϕ(n i (2.1 fremgår, at dette kun kan være tilfældet for n = 2. Da et Carmichael-tal er sammensat, følger det, at n er ulige.

20 18 2 For µ ν i kan vi betragte den kanoniske homomorfi, (Z/n (Z/p µ i. Den er surjektiv. Ifølge Den kinesiske Restklassesætning kan vi nemlig, for et givet a primisk med p i, finde et helt tal x således, at x a (mod p ν i i og x 1 (mod pν j j. Restklassen af x modulo n er da en primisk restklasse, og den afbildes på restklassen af a modulo p µ i ved homomorfien. Da n er et Carmichael-tal, har alle elementer på homomorfiens venstreside en orden, der er divisor i n 1. Følgelig har alle elementer på højresiden en orden, der er divisor i n 1. Tag µ := 1. Højresiden er da cyklisk, dvs indeholder et element af orden p i 1. Altså er p i 1 divisor i n 1. Hvis ν i 2, kunne vi tage µ := 2; højresiden indeholder så et element af orden p i, men så er p i n 1 i modstrid med at p i n. Hermed er vist, for primopløsningen af n, at ν = 0 og at ν 1 = = ν r = 1, og at p i 1 n 1. Antallet, r, af primfaktorer er mindst 2, da et Carmichael-tal er sammensat. Hvis r = 2, altså n = p 1 p 2, har vi, n 1 = (p 1 1p 2 + (p 2 1; da p i 1 n 1 følger det, at p 1 1 p 2 1 og (tilsvarende p 2 1 p 1 1. Derfor er p 1 = p 2, en modstrid. Altså er r 3. Antag omvendt, at betingelserne er opfyldt. Da er (Z/n = (Z/p 1 (Z/p r. Da p i 1 n 1, vil den (n 1 te potens af et r-sæt på højresiden være det neutrale element i produktgruppen. Følgelig er a n 1 = 1 for alle a på venstresiden. Altså er n et Carmichael-tal. (2.6 Eksempel. Carmichael tal blev betragtet af Carmichael i Som vi senere skal se, spiller tallene en rolle i forbindelse med primtalstestning. Det er først i 1992 blevet bevist, at der er uendelig mange Carmichael-tal [Alford Granville Pomerance]. For et tal med 3 primfaktorer, n = p 1 p 2 p 3, har vi n 1 = (p 1 1p 2 p 3 + (p 2 p 3 1. Vi har altså p 1 1 n 1, hvis og kun hvis p 1 1 p 2 p 3 1, og tilsvarende betingelser med p 2 og p 3. Betragt et Carmichael-tal af formen 3p 1 p 2, hvor 3 < p 1 < p 2. Betingelsen for primtallet 3 er altid opfyldt, da p 1 p 2 1 er lige. De øvrige betingelser er (i p 1 1 3p 2 1, (ii p 2 1 3p 1 1. Da p 2 > p 1, følger af (ii, at 3p 1 1 = p 2 1 eller 3p 1 1 = 2(p 2 1. Det første tilfælde er udelukket, da p 2 3p 1. Altså er 3p 1 1 = 2(p 2 1, og dermed, (iii 3(p 1 1 = 2p 2 4; specielt er p 1 1 6p At (i følger, at p 1 1 6p 2 2. Altså er p , og da p 1 > 3 er et primtal, får vi p 1 = 11. Af (iii følger nu, at p 2 = 17. Omvendt er det klart, med p 1 = 11 og p 2 = 17, at betingelserne (i og (ii er opfyldt. Tallet n = = 561 er altså et Carmichael tal.

21 Primiske restklasser 19 (2.7 Opgaver. 1. Vis, at 561 er det mindste Carmichael-tal. 2. Vis, at et sammensat tal n > 1 er et Carmichael tal, hvis og kun hvis der for alle hele tal a gælder a n a (mod n. 3. Vis, at et tal n > 1 er et primtal, hvis og kun hvis der for alle a med 1 a < n gælder a n 1 1 (mod n. 4. Bestem alle Carmichael-tal af formen 5p 1 p Vis, at (Z/n er en 2-gruppe, hvis og kun hvis n = 2 ν p 1 p r, hvor p 1,..., p r er indbyrdes forskellige Fermat-primtal. 6. Gruppen (Z/11 4 er cyklisk af orden Vis, at restklassen af 2 er en frembringer. [Vink: Anvend (2.2(* med 1 + kp = 2 10.] 7. Lad p være et ulige primtal, og lad z være et helt tal således, at (z mod p, dvs z s restklasse modulo p, frembringer gruppen (Z/p. Betragt de p tal, z i = z + ip for 0 i < p; de har alle den samme restklasse modulo p, men restklasserne (z i mod p 2, af z i modulo p 2, er forskellige. (i Vis, at af de p restklasser (z i mod p 2 er der p 1, som frembringer den cykliske gruppe (Z/p 2. (ii Vis, at hvis restklassen (z mod p 2 frembringer gruppen (Z/p 2, så vil restklassen (z mod p ν frembringe gruppen (Z/p ν for alle ν.

22 20

23 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer. (3.1 Definition. Lad n være et naturligt tal. Et element ζ i et legeme L kaldes en n te enhedsrod, hvis ζ n = 1 (hvor 1 er et-elementet i L. Ækvivalent er ζ altså en n te enhedsrod, hvis ζ er rod i polynomiet X n 1. Ligningen ζ n = 1 medfører øjensynlig, at ζ 0, og at ζ i legemets muliplikative gruppe L har en orden, der er divisor i n. Hvis ζ har orden n, dvs hvis ζ n = 1 og ζ j 1 for 1 j < n, kaldes ζ en primitiv n te enhedsrod. Hvis legemet er de komplekse tals legeme C, har polynomiet X n 1 netop n rødder. Det er velkendt, at de komplekse n te enhedsrødder er tallene af formen, ζ = e 2πia/n, hvor 0 a < n. Sættes ζ n := exp 2πi/n, er altså ζ = ζn a. De komplekse n te enhedsrødder udgør altså den cykliske gruppe frembragt af den specielle enhedsrod ζ n. Øjensynlig har ζ n orden n. Heraf følger, at ζn a har orden lig med n/(a, n. Specielt ses, at ζ a n har orden n, hvis og kun hvis a er primisk med n. Antallet af primitive komplekse n te enhedsrødder er altså ϕ(n, hvor ϕ er Euler s ϕ-funktion. I legemet R er de eneste enhedsrødder naturligvis 1 og 1 (af ordener 1 og 2. (3.2 Definition. Polynomiet, n := (X ζ, ζ hvor ζ gennemløber de ϕ(n primitive, komplekse n te enhedsrødder, kaldes det n te cirkeldelingspolynomium. Polynomiet n er øjensynligt et normeret polynomium af grad ϕ(n. (3.3 Sætning. Cirkeldelingspolynomierne n tilfredsstiller ligningerne, X n 1 = d n d, (3.3.1 hvor produktet på højresiden er over alle positive divisorer d i n. Bevis. Polynomiet på venstresiden af ligningen kan faktoriseres: X n 1 = ξ (X ξ, hvor ξ gennemløber de n komplekse rødder i polynomiet, dvs de n te enhedsrødder. Grupperes i produktet faktorerne svarende til at ξ har en given orden d, fremkommer polynomiet d. Heraf fås den ønskede formel. Korollar. Cirkeldelingspolynomiet n har koefficienter i Z. Bevis. Formlen i Sætningen kan skrives: X n 1 = n n, hvor n = d n,d<n Heraf ses, at n fremkommer som kvotient, når polynomiet X n 1 divideres med polynomiet n. Polynomiet n er øjensynlig normeret. Idet Korollarets påstand vises ved fuldstændig induktion efter n, kan det antages, at n har hele koefficienter. Heraf følger, at kvotienten n også har hele koefficienter. 21 d.

24 22 3 (3.4 Eksempel. Øjensynlig er 1 = X 1, 2 = X + 1, 4 = X 2 + 1, 3 = X 2 + X + 1 og 6 = X 2 X + 1. Ifølge Sætning (3.3, jfr. beviset for Korollaret, fremkommer n ved at dividere polynomiet X n 1 med produktet af førstegradspolynomierne X ξ, hvor ξ er en n te enhedsrod af orden strengt mindre end n. Hvis n = p r er en primtalspotens, så har en n te enhedsrod ξ orden strengt mindre end n, netop når ξ pr 1 = 1. Følgelig er p r = Xpr 1 X pr 1 1 = Xpr 1 (p 1 + X pr 1 (p X pr Specielt fås for et primtal p, at og for potenser af 2: p = X p 1 + X p X + 1, 2 r = X 2r Betragt n = 48. Hvis ξ 48 = 1, og ξ ikke har orden 48, så har ξ orden d, hvor d er en ægte divisor i 48. Enten er altså d divisor i 24, eller d = 16. Følgelig er 48 = X 48 1 (X 24 = X X = X16 X (3.5 Karakteristik. Betragt et vilkårligt legeme L. Den kanoniske ringhomomorfi Z L er som bekendt afbildningen k k1, der afbilder k på den k te (additive potens af et-elementet 1 i L. For k N er altså k {}}{ k1 = Kernen er et ideal i Z, altså af formen Zp, hvor p 0. Tallet p kaldes som bekendt karakteristikken af L. Karakteristikken kan være 0, svarende til at homomorfien Z L er injektiv; i dette tilfælde kan vi opfatte Z som en delring af L, Z L. Hvis karakteristikken ikke er 0, må den som bekendt være et primtal. I dette tilfælde giver Isomorfisætningen for ringe en naturlig isomorfi mellem kvotienten Z/p og billedringen. Vi kan altså opfatte legemet F p = Z/p (med p elementer som delring af L, F p L.

25 Cirkeldeling 23 Når karakteristikken er et primtal p, er afbildningen x x p en homomorfi af legemet L ind i sig selv. Med andre ord gælder følgende ligninger for x, y L: (x + y p = x p + y p, (xy p = x p y p, 1 p = 1. (3.5.1 De to sidste er blot almindelige potensregler, den første følger ved at anvende binomialformlen; da p er et primtal, er binomialkoefficienterne ( p i for 0 < i < p delelige med p. Et polynomium f i Z[X] giver via den kanoniske homomorfi et polynomium i L[X]. I karakteristik 0 fremkommer det via inklusionen Z[X] L[X]. I positiv karakteristik p reduceres først koefficienterne i f modulo p; det reducerede polonomium opfattes så i F p [X] L[X]. Det fører sædvanligvis ikke til misforståelser, hvis det reducerede polynomium også betegnes med f. I alle tilfælde kan vi, for et element ξ L, indsætte ξ i f, og specielt undersøge, om ξ er rod i f. (3.6 Sætning. Lad p være karakteristikken af legemet L. Da gælder, for ζ L og n N, at ζ har orden n i L, hvis og kun hvis n (ζ = 0 og p ikke går op i n. Bevis. Den sidste betingelse, p n, er naturligvis altid opfyldt, hvis p = 0. Hvis p er et primtal, og n er ordenen af et element ζ i L, er den også opfyldt. Antag nemlig, indirekte, at ζ har orden n, hvor n = dp. Da er 0 = ζ n 1 = ζ dp 1 = (ζ d 1 p, hvor den sidste ligning følger af ( Følgelig er også ζ d = 1, i modstrid med at ordenen n er den mindste positive eksponent med ζ n = 1. Vi kan altså, i resten af beviset, antage, at p n. Af (3.3.3 får vi, eventuelt ved at reducere koefficienterne, følgende ligning i L[X]: X n 1 = d n d. (* Af (* følger umiddelbart, at hvis ζ er rod i n, så er ζ rod i X n 1, altså ζ n = 1, og omvendt, hvis ζ n = 1, så er ζ rod i et af polynomierne d for d n. Antag, at ζ har orden n. Da er ζ n = 1, og ζ er dermed rod i et polynomium d for d n. Specielt er også ζ d = 1. Da ζ har orden n, er det udelukket, at d < n. Altså er ζ rod i n. Antag omvendt, at ζ er rod i n. Da er ζ n = 1, så ζ s orden er en divisor e i n. Da ζ e = 1 fås, ved at betragte (* for n := e, at ζ må være rod i et d, hvor d e. Antag, indirekte, at e < n. Da er d < n, og ζ er altså rod i to forskellige faktorer på højresiden af (*. Vi får derfor en ligning X n 1 = (X ζ 2 g med et polynomium g L[X]. Ved differentiation fås ligningen, nx n 1 = (X ζ ( 2g + (X ζg. Ved indsættelse af ζ fås nζ n 1 = 0, og videre, ved multiplikation med ζ, fås n1 = 0, i modstrid med at karakteristikken p ikke var divisor i n.

26 24 3 (3.7 Bemærkning. Hvis G er en endelig undergruppe af den multiplikative gruppe L, så er G cyklisk. Dette er velkendt (og vi brugte det i (2.2, hvor vi udnyttede, at den multiplikative gruppe Fp er cyklisk. Alternativt kan vi udnytte Sætningen ovenfor. Lad n være ordenen af G. Da er ξ n = 1 for alle elementer ξ G. Polynomiet X n 1 er normeret af grad n, og det har n forskellige rødder i L, nemlig de n elementer ξ 1,..., ξ n i G. Altså gælder i L[X] ligningen, X n 1 = (X ξ 1 (X ξ n. (** Det skal vises, at et af elementerne ξ i i G har orden n. Hertil bruges Sætningen. Ved differentiation og indsættelse af ξ 1 i (** fås ligningnen, nξ n 1 1 = (ξ 1 ξ 2 (ξ 1 ξ n. Højresiden er forskellig fra 0. Altså kan n, som indgår i venstresiden, ikke være delelig med karakteristikken p. Af (** og (* sluttes, at hver faktor d på højresiden af (* må være et produkt af visse af førstegradsfaktorerne X ξ j (lige så mange som graden af d. Specielt må n være et sådant produkt, og heraf fremgår videre, at n har en rod ξ i blandt elementerne ξ j. Ifølge Sætningen har ξ i orden n. Den cykliske undergruppe frembragt af ξ i har altså orden n, og ξ i må derfor være en frembringer for G. Altså er G cyklisk. (3.8 Sætning. Lad L være et legeme af karakteristik p, og antag, at p n. Betragt cirkelsdelingspolynomiet n, og i L[X] en irreducibel divisor f, af grad r, i n. Da er kvotientringen K := L[X]/(f et legeme som indeholder L, og K er et vektorrum af dimension r over L. Yderligere gælder, at restklassen ζ := (X mod f er et element af orden n i K, og ethvert legeme K 1, som indeholder L og et element af orden n, vil også indeholde K. Bevis. Det er velkendt, at kvotienten K omfatter L, og at K herved specielt kan opfattes som vektorrum over L, og at de r første potenser af ζ, altså 1, ζ,..., ζ r 1, udgør en L-basis for K. Da f er irreducibel, er hovedidealet (f et maksimalideal i L[X], og derfor er kvotienten K et legeme. Yderligere gælder, at restklassen ζ er rod i f. I L[X], og dermed også i K[X], har vi en ligning n = fg. Følgelig er ζ rod i n. Af Sætning (3.6 følger derfor, at ζ har orden n. Antag nu, at K 1 er et legeme, der omfatter L som dellegeme og indeholder et element ξ af orden n. Sætningens sidste påstand er (lidt mere præcist, at der findes en (ring-homomorfi K K 1, som på L blot er den identiske afbildning; en sådan homomorfi mellem legemer må som bekendt automatisk være injektiv. Elementet ξ har orden n, så den cykliske undergruppe frembragt af ξ består af n elementer. Af disse har præcis ϕ(n elementer orden n. Disse ϕ(n elementer må være rødder i n. Polynomiet n har altså i K 1 præcis så mange rødder, som sin grad, og det kan derfor skrives som produkt af førstegradspolynomier X α. På den anden side har vi i L[X], og dermed i K 1 [X], en ligning n = fg. Følgelig kan f skrives som produkt af førstegradspolynomier i K 1 [X]. Specielt følger det, at polynomiet f har en rod ζ 1 i K 1. Herefter er det velkendt, at homomorfien L[X] K 1, bestemt ved h h(ζ 1, inducerer en homomorfi L[X]/(f K 1, som ønsket.

27 Cirkeldeling 25 (3.9 Korollar. Under forudsætningerne i (3.8 gælder i L[X], at alle irreducible divisorer i n har den samme grad, og at de forekommer med multiplicitet 1 i primopløsningen af n. Bevis. Betragt to irreducible divisorer f og f 1 i n, af grader r og r 1, og de tilhørende kvotienter K := L[X]/(f og K 1 := L[X]/(f 1. Sætning (3.8 giver en injektiv homomorfi, K K 1. Homomorfien er specielt en lineær afbildning mellem vektorrum over L. Da dimensionerne er r og r 1 følger det, at r r 1. Af symmetrigrunde gælder derfor r = r 1. I K er restklassen ζ rod i f og dermed i n. Altså har ζ orden n. Blandt potenserne af ζ findes derfor ϕ(n, som har orden n, og de er alle rødder i n. Polynomiet n, af grad ϕ(n, har derfor ingen dobbeltrødder. Hvis f indgik med multiplicitet mindst 2 i primopløsningen af n, ville roden ζ i f være dobbeltrod i n, i modstrid med det, vi lige har bevist. (3.10 Sætning. Lad L være et endeligt legeme. Da er karakteristikken af L et primtal p, og elementantallet q i L er en potens, q = p r, af primtallet p. Hvert element i L er rod i polynomiet X q X. Den multiplikative gruppe L er cyklisk af orden q 1. Bevis. Da L kun har endelig mange elementer, kan den kanoniske homomorfi Z L ikke være injektiv. Karakteristikken for L må derfor være et et primtal p. Vi kan altså opfatte legemet F p som dellegeme af L. Specielt kan vi opfatte L som vektorrum over F p, idet addition af vektorer blot er den givne addition i L og multiplikation af en vektor x L med en skalar λ F p L blot er produktet λx i L. Da der kun er endelig mange vektorer i dette vektorrum, har vektorrummet en endelig basis. Vælges en sådan basis, og betegner r antallet af basisvektorer (r er altså dimensionen af vektorrummet L, fås som bekendt en bijektiv forbindelse mellem vektorer x i L og koordinatsæt (λ 1,..., λ r i Fp r. Specielt er q = pr. Den multiplikative gruppe L har orden q 1. For hvert element α 0 i L har vi altså α q 1 = 1, og dermed også α q = α. Den sidste ligning er naturligvis også opfyldt for α = 0. Det er velkendt, at L er cyklisk, jfr Bemærkning (3.7. (3.11 Korollar. Antag, at L er et endeligt legeme med q elementer, og at n er primisk med q. Betragt i L[X] en irreducibel divisor f i n. Da er graden r af f lig med ordenen af q s restklasse i (Z/nZ. Bevis. Som i (3.8 betragtes legemet K := L[X]/(f. Det er et vektorrum over L af dimension r. Det følger specielt, at K indeholder q r elementer. Den multiplikative gruppe K har altså orden q r 1. Restklassen ζ, af X modulo f, er i K et element af orden n. Derfor må n være divisor i gruppens orden, dvs divisor i q r 1. Modulo n gælder derfor, at q r 1. Det skal yderligere vises, at r 1 er den mindste eksponent med denne egenskab. Antag derfor, for s 1, at n q s 1. Da ζ n = 1, følger det, at ζ qs 1 = 1. Heraf følger videre, at ζ qs = ζ, og nu følger, under brug at (3.5.1, at α qs = α for alle α K. Polynomiet X qs X har altså alle de q r elementer α i K som rødder. Specielt er q r q s, og derfor er r s. (3.12 Korollar. For hver primtalspotens q = p r findes et legeme L med q elementer, fx beskrevet som kvotienten, K := F p [X]/(f,

28 26 3 hvor f i F p [X] er en irreducibel divisor i q 1. I denne beskrivelse er ækvivalensklassen ζ := (X mod f en frembringer for den cykliske gruppe K. Yderligere gælder, at alle legemer med q elementer er isomorfe. Bevis. Med n := p r 1 er det klart, at restklassen af p modulo n har orden r i (Z/n. Af (3.11, med L := F p, følger derfor, at f har grad r. Kvotienten K = F p [X]/(f er derfor et legeme med p r = q elementer. Ækvivalensklassen ζ er ifølge konstruktionen rod i f, og dermed i q 1. Af (3.6 følger, at ζ har orden q 1, altså at ζ er en frembringer for den cykliske gruppe K. Lad nu K 1 være et endeligt legeme med q elementer. Den multiplikative gruppe K 1 er cyklisk af orden q 1. Derfor findes i K 1 et element af orden q 1. Sætning (3.8, med L := F p, giver nu en inklusion K K 1. Da begge sider har q elementer, må de være ens. (3.13 Korollar. Lad p være et primtal. Da gælder om primopløsningen af X pr X i F p [X], at faktorerne er samtlige (normerede irreducible polynomier i F p [X] af en grad, som går op i r, og hver af faktorerne forekommer præcis én gang. Bevis. Hvis en primfaktor g indgik to gange, ville vi have en ligning X pr X = g 2 h, og ved differentiation ville vi få: 1 = g(2g h + gh, hvilket er en modstrid, da g ikke kan være konstant. Lad f være et irreducibelt polynomium i F p [X], og lad s betegne graden af f. Det skal vises, at f X pr X s r. Betragt hertil kvotienten K := F p [X]/(f og ækvivalensklassen ξ := (X mod f. Da er K et legeme med p s elementer og ξ er rod i f. Da K = p s gælder ξ ps = ξ. Følgelig er f divisor i X ps X. Antag, at s r. Da er p s 1 p r 1. Følgelig er X ps 1 1 X pr 1 1, og ved multiplikation med X fås X ps X X pr X. Da vi har set, at f X ps X, følger det, at f X pr X. Antag omvendt, at f X pr X. Det skal vises, at s r. Det er klart, hvis s = 1, så vi kan antage, at s > 1. Specielt er så f X, og følgelig er f X pr 1 1. Heraf følger, at ξ pr 1 = 1. Idet n er ordenen af ξ i K, følger det, at n p r 1, altså p r 1 (mod n. På den anden side har vi i (3.11 bestemt s som ordenen af p i gruppen (Z/n. Af p r 1 (mod n følger derfor, at s r. Hermed er det vist, at primfaktorerene i X pr X netop er de irreducible polynomier af grad s med s r. (3.14 Eksempel. For at konstruere et legeme F 16 med 2 4 = 16 elementer, og heri en frembringer for gruppen F 16, betragtes cirkeldelingspolynomiet 15. Man finder: 15 = X 15 1 (X 5 1(X 2 + X + 1 = X10 + X X 2 + X + 1 = X8 X 7 + X 5 X 4 + X 3 X + 1.

2. Gruppen af primiske restklasser.

2. Gruppen af primiske restklasser. Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative

Læs mere

ElmTal Primtallene 1.1

ElmTal Primtallene 1.1 Primtallene.. Primtallene. (.) Setup. Et tal p kaldes som bekendt et primtal, hvis p 2 og p kun har trivielle divisorer, dvs hvis de eneste (positive) divisorer i p er og p. De første primtal er tallene

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Matematik 2AL, vinteren

Matematik 2AL, vinteren EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

A. Appendix: Løse ender.

A. Appendix: Løse ender. Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen

Læs mere

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X]. Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Algebra2 Obligatorisk opgave

Algebra2 Obligatorisk opgave Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Facitliste til nyere eksamensopgaver

Facitliste til nyere eksamensopgaver Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen,

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16 Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

6. RSA, og andre public key systemer.

6. RSA, og andre public key systemer. RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Kommutativ algebra, 2005

Kommutativ algebra, 2005 Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning

Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003 Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske

Læs mere

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Note om endelige legemer

Note om endelige legemer Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på

Læs mere

Omvendingsformler for potensrækker Asymptotiske og svingende asymptotiske potensrækker Riemanns metode og cirkelmetoden

Omvendingsformler for potensrækker Asymptotiske og svingende asymptotiske potensrækker Riemanns metode og cirkelmetoden 1 Omvendingsformler for potensrækker Asymptotiske og svingende asymptotiske potensrækker Riemanns metode og cirkelmetoden Af Niels-Henrik Aphel Indledning 1 De talteoretiske funktioner (n) og (n) 2 Euler-Maclaurins

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere