Noter til elektromagnetisme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Noter til elektromagnetisme"

Transkript

1 Noter til elektromagnetisme Martin Sparre Elektrostatik Coloumbs lov F Q = 1 qq r r 4πε 0 r r 2 r r Det elektriske felt: F Q (r) = QE(r), E(r) = 1 q i r r i 4πε 0 r r i i 2 r r i (punktladninger) E(r) = 1 4πε 0 E(r) = 1 4πε 0 E(r) = 1 4πε 0 ρ(r ) r r r r 2 r r dτ (rumfordeling) σ(r ) r r r r 2 r r ds (fladefordeling) λ(r ) r r r r 2 r r dl (liniefordeling) Gauss lov: Φ S E da = Q ENC ε 0, E = ρ ε 0, E = 0 1

2 Potentiale med referencepoint O V (r) V (b) V (a) = r O b a E = V 2 V = ρ ε 0 E dl E dl (Poissonligning) Potentiale af ladningsfordelinger: 2 Elektriske felter i materialer 2.1 Polarisation V (r) = 1 q i 4πε 0 r r i i (punktladninger) V (r) = 1 ρ(r ) 4πε 0 r r dτ (rumfordeling) V (r) = 1 σ(r ) 4πε 0 r r ds (fladefordeling) V (r) = 1 4πε 0 λ(r ) r r dl (linieordeling) Ved at rækkeudvikle potentialet af en ladningsfordeling til anden orden fås V (r) Q 4πε 0 r + r 4πε 0 r 3 r ρdτ = Q 4πε 0 r + p r 4πε 0 r 3, hvor p r ρdτ kaldes dipolmomentet. Hvis en fysisk dipol placeres i et uniformt elektrisk felt, vil den totale kraft på dipolen være 0, men der vil være et kraftmoment N = p E. Hvis det elektriske felt ikke er uniformt, bliver den resulterende kraft og kraftmomentet F = (p )E, N = p E + r F. Det sidste led i udtrykket for kraftmomentet forsvinder, hvis man udregner kraftmomentet omkring dipolens centrum. Energien af en ideel dipol i et elektrisk felt er U = p E. 2

3 2.2 Elektriske felter for polariserede objekter I stedet for dipolmomentet p er det ofte smartere at anvende porisationen P, som angiver dipolmomentet pr. volumenenhed af en ladningsfordeling således, at p = Pdτ. Potentialet af en neutral ladningsfordeling bliver derfor V (r) = 1 4πε 0 (r r ) P(r ) r r 3 dτ. Ved at indføre overfladeladningstætheden, σ b (Subscriptet b står for bundet), og ladningstætheden, ρ b, kan potentialet skrives som V (r) = 1 σ b 4πε 0 r r da + 1 ρ b 4πε 0 r r dτ, σ b P ˆn, S ρ b P. 2.3 Gauss lov og dielektriske objekter Den totale ladningstæthed kan skrives som ρ = ρ b + ρ f, hvor ρ f angiver ladningstætheden, som ikke stammer fra polarisation (f står for fri). Gauss lov giver V ε 0 E = ρ b + ρ f = P + ρ f (ε 0 E + P) = ρ f Ved at indføre D ε 0 E + P kan dette skrives som D = ρ f. Man kan fortolke D som summen af det totale elektriske felt og polarisationen 1. Ved at omskrive til integralform fås D da = Q fenc, hvor højresiden angiver den totale frie ladning i det givne volumen. Hvis man betragter et system med symmetri kan cirkelintegralet ofte let udregnes vha. symmetriargumenter. 2.4 Randbetingelser Ved en overflade gælder følgende: D above D below = σ f, D above D below = P above P below. 1 Hvis man definerer ε 0 = 1 er denne opfattelse helt korrekt. 3

4 2.5 Lineære dielektrika I et lineært dielektrisk materiale er P = ε 0 χ e E, hvor χ e kaldes den elektriske susceptibilitet og E er det totale elektriske felt dvs., summen af det pårtykte elektriske felt og feltet, der skyldes polarisationen. D-feltet bliver Ofte anvendes også følgende størrelser: D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e )E. ε ε 0 (1 + χ e ) ε r 1 + χ e = ε/ε 0 (Relativ Permittivitet) 3 Magnetostatik 3.1 Den magnetiske kraft Den magnetiske kraft på en testpartikel med hastigheden v i et elektrisk felt B er givet ved F mag = Q(v B). Hvis der både er et elektrisk felt og et magnetfelt, er den totale kraft givet ved 3.2 Strøm Liniestrøm F = Q(E + v B). I en ledning defineres strømmen til at være ladningen, der går igennem ledningen, per tidsenhed. Hvis en linieladning λ har hastigheden v så er strømmen I λv, eller I = λv. Den magnetiske kraft på en ledning er F mag = (v B)dq = I(dl B), hvor l er en tangentvektor for et givet punkt på ledningen. Fladestrøm Fladestrømningstætheden er defineret ved K di dl, 4

5 hvor dl er et infitesimalt linielement, som er nymodens vinkelret på strømmen. Der gælder, at K = σv, og at den magnetiske kraft på fladen er F mag = (K B)da Rumstrømme Strømmen i et 3D-område defineres som J di da, hvor da er et arealelement vinkelret på strømmen. Der gælder, at J = ρv og I = (J B)dτ. For elektriske strømme gælder kontinuitetsligningen desuden 3.3 Biot-Savarts lov og Ampéres lov J = ρ t Det magnetiske felt fra en stationær liniestrøm dvs., en strøm som ikke ændrer sig i tiden er givet ved B(r) = µ 0 di (r r ) 4π r r 3 dl = µ 0 dl 4π I (r r ) r r 3. For stationære strømme gælder B = µ 0 J, B = 0. (Ampéres lov) Af Ampéres lov følger B dl = µ 0 I ENC, hvor I ENC er strømmen, som den lukkede kurve indeslutter. 5

6 3.4 Det magnetiske vektorpotential Efterdi divergens af magnetfeltet er nul, eksisterer der et vektorpotential A med egenskaben, Rotationen af magnetfeltet kan derfor omskrives til B = A. (3.1) B = ( A) = ( A) 2 A = µ 0 J Man kan altid addere en størrelse, hvis rotation er 0, til A ifølge (3.1). Hvis man vælger denne størrelse (kaldet gauge) således, at A = 0, fås 3.5 Det magnetiske dipolmoment B = µ 0 J. Ved at rækkeudvikle vektorpotentialet til anden orden får man følgende: hvor A(r) µ 0 m r 4π r 3, m I da = Ia. Her angiver a vektorarealet af kurven, der integreres over. 4 Magnetfelter i materialer 4.1 Bundne strømme I et uniformt magnetfelt er kraftmomentet på en magnetisk dipol givet ved N = m B. Den totale kraft på dipolen er 0. I et ikke-uniformt magnetfelt er kraften på en lille dipol givet ved F = (m B). Magnetiseringen af et materiale angiver det magnetiske dipolmoment per enhdedsvolumen. Følgende formler gælder: hvor A(r) = µ 0 4π = µ 0 4π m (r r ) r r 3 dτ Jb (r ) r r dτ + µ 0 4π Kb (r ) r r da, J b = M, K b = M ˆn. 6

7 4.2 H-feltet Den totale strøm gennem en flade kan skrives som Ved at definere fås På integralform bliver dette hvor I ENC er den strøm, som C indeslutter. 4.3 Magnetiske materialer 1 µ 0 B = J = J f + J b = J f + M. H 1 µ 0 B M C H = J f. H dl = I ENC, Der findes forskellige grupper af magnetiske materialer: Paramagnetiske materialer danner et magnetfelt i samme retning som B, Diamagnetiske materialer danner et magnetfelt modsat B, Ferromagnetiske materialer er ikke-lineære og magnetfeltet afhænger af materialets fortid. I lineære materialer gælder M = χ m H, hvor χ m er den magnetiske susceptibilitet, som er positiv for paramagneter og negativ for diamagneter. B-feltet er givet ved Permeabilitet defineres som og ved brug af denne fås B = µ 0 (H + M) = µ 0 H(1 + χ m ). µ = µ 0 (1 + χ m ), B = µh. Der gælder i øvrigt, at lysets hastighed i et materiale er givet ved c = 1 εµ. 7

8 5 Elektrodynamik 5.1 Ohms lov For mange stoffer er strømmen gennem stoffet proportionalt med kraften pr. enhedsladning: J = σf, hvor σ kaldes konduktiviteten af det givne materiale. ρ 1/σ kaldes for resistiviteten af materialet. For perfekte ledere (som Asger Aamund) er σ =. Hvis f er en elektromagnetisk kraft er f = σ(e + v B). Hvis v er lille gælder Ohms lov kan også skrives som og effekten afsat i en resistor er 5.2 Elektromotorisk kraft J = σe. V = IR, P = V I = RI 2. For et kredsløv defineres den elektromotoriske kraft (EMF) til ξ f dl, (Ohms lov) hvor f er den kraft (pr. ladningsenhed), som driver strømmen rundt. Hvis strømmen i et kredsløb drives af et batteri udøver batteriet en kraft f s, når elektronerne løber igennem batteriet. Så bliver ξ = f s dl, da alle andre elektriske kræfter intet bidrag giver, da der er tale om et cirkelintegrale (som jo er 0 for et statisk elektrisk felt). 5.3 Bevægelses EMF Det magnetiske flux gennem en overfalde er defineret ved Φ B da. Der gælder, at den EMF, som dannes, af et ændret magnetisk felt er givet ved ξ = dφ dt. At denne EMF er blevet dannet skyldes, at det ændringen i magnetfeltet har induceret en elektrisk strøm. Hvis magnetfeltet er konstant i tiden, men kredsløbet derimod er i bevægelse, gælder samme lov. Den store forskel er bare, at det ikke er magnetfeltet, der inducerer en strøm, men derimod er det en magnetisk kraft, der er årsag til den givne EMF (i dette tilfælde kaldes motional EMF). Faradays induktionslov kan generelt skrives som E = db dt. 8

9 Bemærkning angående potential Hvis E = 0 er E et konservative vektorfelt, og det følger derfor, at man kan skrive E på som E = V, hvor b a E dl = V (b) V (a)). Hvis magnetfeltet varierer i tiden er E 0 og derfor kan man ikke længere tilknytte et potentiale til E. 5.4 Induktans I det følgende betragtes to kredsløb. Fluxen af magnetfeltet fra det første kredsløb gennem det andet kredsløb er hvor Φ 2 = M 21 I 1, M 21 = µ 0 dl1 dl 2 4π r 2 r 1. Da dette integral ikke ændres ved at ombytte 1 og 2 er M 21 = M 12. Bemærk i øvrigt, at dette er en størrelse, som kun er bestemt af systemets geometri. Selvinduktans Hvis strømmen ændres i et kredsløb, har det givne kredsløb en selvinduktans L, som opfylder Φ = LI Den inducerede elektromotriske kraft er derfor ξ = L di dt 9

10 A Maxwells ligninger Maxwells ligninger i vakuum: E = ρ ε 0, E = B t, B = 0, B = µ 0 J + ε 0 µ 0 E t. I stof: D = ρ f, E = B t, B = 0, H = J f + D t. Definitioner: D ε 0 E + P, H = 1 µ 0 B M. For lineære medier: P = ε 0 χ e E, D = εe, M = χ m H, H = 1 µ B. 10

11 B Vektoranalyse m.m. Vigtige sætninger ( v)dτ = V ( v) da = V v da, v dl. Partiel integration: f ( A)dτ = A ( f)dτ + f A da Definition af Diracs δ-funktion: { 0 for x 0 δ(x) for x = 0, og δ(x)dx = 1. Der gælder, at Den 3-dimensionale delta-funktion er givet ved f(x)δ(x a)dx =f(a). δ 3 (x) = δ(x)δ(y)δ(z). En vigtig sammenhæng: 2 ( 1 r ) ( ) ˆr = r 2 = 4πδ 3 (r). 11

Formelsamling. Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme

Formelsamling. Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme Formelsamling Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird...

Læs mere

Fysik 21 Formeloversigt

Fysik 21 Formeloversigt Fysik 21 Formeloversigt Henrik Dahl 18. januar 2004 Indhold 1 Betegnelser og enheder 2 2 Formler 4 2.1 Elektrostatik............................. 4 2.1.1 Generelt............................ 4 2.1.2 Kraft,

Læs mere

Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen

Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen 31. januar 2005 Indhold 1 Kapitel 2 - Electrostatics 3 2 Kapitel 3 - Special Techniques 5 2.1 Separation af variable.......................

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares

Læs mere

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1 Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I

Læs mere

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm Elektromagnetisme 7 Side 1 af 1 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,

Læs mere

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,

Læs mere

Noter til EM1 på KU (Elektromagnetisme 1)

Noter til EM1 på KU (Elektromagnetisme 1) Noter til EM1 på KU (Elektromagnetisme 1) af Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.0 13. juni 2016 Introduktion Dette er min samling af noter til kurset EM1 (Normalt bare kaldt EL). I kurset bruges

Læs mere

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 11 Magnetisme. Magnetisering

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 11 Magnetisme. Magnetisering Elektroagnetise 10 Side 1 af 11 Magnetisering Magnetfelter skabes af ladninger i bevægelse, altså af elektriske strøe. I den forbindelse skelnes elle to typer af agnetfeltskabende strøe: Frie strøe, der

Læs mere

AARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

AARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen AARHUS UNIVERSITET Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 5 Eksamensdag: fredag dato:

Læs mere

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Ordliste Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Afladning Atom B-felt Dielektrika Dipol Dosimeter E-felt Eksponering Elektricitetsmængde Elektrisk elementarladning Elektrisk felt Elektrisk

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En cylinderkapacitor

Læs mere

Noter til EM2 på KU (Elektrodynamik og Bølger)

Noter til EM2 på KU (Elektrodynamik og Bølger) Noter til EM2 på KU (Elektrodynamik og Bølger) af Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.0 Indhold I Kredsløbsregning 6 1 Grundlæggende elektronik (Noter kapitel 2) 7 1.1 Passive komponenter.......................................

Læs mere

AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 6 Eksamensdag: fredag dato: 11.

Læs mere

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2. 2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En massiv metalkugle

Læs mere

SPOLER (DC) Princippet (magnetiske felter) Induktion og selvinduktion Induktans (selvinduktionskoefficient)

SPOLER (DC) Princippet (magnetiske felter) Induktion og selvinduktion Induktans (selvinduktionskoefficient) SPOLER (DC) Princippet (magnetiske felter) Induktion og selvinduktion Induktans (selvinduktionskoefficient) Princippet Hvis vi betragter kredsskemaet her til højre, og fokuserer på delen med sort stregfarve,

Læs mere

Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger

Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger 26. oktober 212 Dennis Hansen E = ρ ɛ B = E = B B = µ J + µ ɛ E E da = Q enc ɛ E dl = Φ B Ei = L i di i dt + Q i C i + R i Ẽ i = iωl i Ĩ i + i ωc i Ĩ i

Læs mere

Elektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært elektrisk felt. Molekylært E-felt i et dielektrikum. mol

Elektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært elektrisk felt. Molekylært E-felt i et dielektrikum. mol lektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært -felt i et dielektrikum Det ekylære elektriske felt, som et enkelt ekyle i et dielektrikum oplever, er ikke det samme som det makroskopiske -felt defineret i

Læs mere

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 12 Magnetisme. Magnetisering

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 12 Magnetisme. Magnetisering Elektroagnetise 10 Side 1 af 12 Magnetisering Magnetfelter skabes af ladninger i bevægelse, altså af elektriske strøe. I den forbindelse skelnes elle to typer af agnetfeltskabende strøe: Frie strøe, der

Læs mere

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2. Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fyik 4 (Elektromagnetime) 26. juni 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må bevare med

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt Atomets partikler: Elektrisk ladning Lad os se på et fysisk stof som kobber: Side 1 Atomets

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Magnetisme. Ladede partikler i bevægelse kan mærke et magnetfelt. Lorentzkraften: F = ee + ev x B

Magnetisme. Ladede partikler i bevægelse kan mærke et magnetfelt. Lorentzkraften: F = ee + ev x B Magnetisme Ladede partikler i bevægelse kan mærke et magnetfelt Lorentzkraften: F = ee + ev x B Magnetiske feltlinier Magnetfelt kan repræsenteres ved feltlinier Retning angiver feltets retning Størrelse

Læs mere

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse?

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Det faktum, at lyset har en endelig hastighed er en forudsætning for at en antenne udstråler, og at den har en ohmsk udstrålingsmodstand. Den

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME. Polyteknisk Forlag

Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME. Polyteknisk Forlag Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME Polyteknisk Forlag FORORD Denne bog er en stærkt revideret og omarbejdet udgave af noter og kompendier, der siden 1984 har været anvendt ved kurser i elektromagnetisme

Læs mere

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5. Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g

Læs mere

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget

Læs mere

3.3 Andre spørgsmål... 12

3.3 Andre spørgsmål... 12 e k s ame nso p g av e r Contents Første spørgsmål. Opgave 4.3........................................ E-feltet udenfor et dielektrikum......................... E-feltet indeni et dielektrikum.......................

Læs mere

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive

Læs mere

Teknologi & kommunikation

Teknologi & kommunikation Grundlæggende Side af NV Elektrotekniske grundbegreber Version.0 Spænding, strøm og modstand Elektricitet: dannet af det græske ord elektron, hvilket betyder rav, idet man tidligere iagttog gnidningselektricitet

Læs mere

Bevægelse i (lineære) magnetfelter

Bevægelse i (lineære) magnetfelter Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 3 Lineær Beam Optik - betafunktion Wille kapitel 3.7 til og med 3.13 Repetition Betafunktion og betatron bevægelse Faserum Beam størrelse og emmitans

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Elektronikkens grundbegreber 1

Elektronikkens grundbegreber 1 Elektronikkens grundbegreber 1 B/D certifikatkursus 2016 Efterår 2016 OZ7SKB EDR Skanderborg afdeling Lektions overblik 1. Det mest basale stof 2. Både B- og D-stof 3. VTS side 21-28 4. Det meste B-stof

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 6

Matematik F2 Opgavesæt 6 Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er

Læs mere

Fysikkens store teorier fra Newton til nu

Fysikkens store teorier fra Newton til nu Fysikkens store teorier fra Newton til nu Elektromagnetisme og lidt QED 20. marts 2014 Jesper Mygind Emeritus Institut for Fysik Danmarks Tekniske Universitet E-mail: myg@fysik.dtu.dk URL: http://dcwww.fys.dtu.dk/~myg/

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

1. Synopsis. 2. Forord

1. Synopsis. 2. Forord Forside 1. Synopsis Formålet med dette projekt er at fremstille en afstandsmåler baseret på en Lineær Variabel Differential Transformer, herefter LVDT. Princippet bag dette instrument bygger på elektromagnetisme.

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Longitudinal dynamik: Indledning. Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter til acceleration

Longitudinal dynamik: Indledning. Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter til acceleration Moderne acceleratorers ysik og anvendelse 5 Forelæsning 9a Longitudinal Dynamik Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Transitionsenergien Synkrotron bevægelse Longitudinal

Læs mere

Formelsamling Noter til MatF 1

Formelsamling Noter til MatF 1 Formelsamling Noter til MatF 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird...o let s look at the

Læs mere

Energitæthed i et elektrostatisk felt

Energitæthed i et elektrostatisk felt Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe i et ektrostatisk ft I utryk (5.0) er en ektrostatiske energi E af en laningsforing utrykt ve ennes laningstæthe ρ, σ og tilhørene ektrostatiske

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

C16 1 Knud Aage Thorsen: Magnetiske materialer. En detaljeret beskrivelse af de magnetiske materialers struktur og egenskaber

C16 1 Knud Aage Thorsen: Magnetiske materialer. En detaljeret beskrivelse af de magnetiske materialers struktur og egenskaber 1 C16 1 Knud Aage Thorsen: Magnetiske materialer. En detaljeret beskrivelse af de magnetiske materialers struktur og egenskaber 1. Introduktion...3 2. Den mekaniske effekt af magnetisme...3 2.1. Felter

Læs mere

Velkommen til. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand. EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus

Velkommen til. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand. EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus Velkommen til EDR Frederikssund Afdelings Joakim Soya OZ1DUG Formand 2012-09-01 OZ1DUG 1 Kursus målsætning Praksisorienteret teoretisk gennemgang af elektronik Forberedelse til Certifikatprøve A som radioamatør

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 8 Elektromotorsk kraft Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m) Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede

Læs mere

Formelsamling og noter. Elektromagnetisme

Formelsamling og noter. Elektromagnetisme Formelsamling og noter. Elektromagnetisme 3. august 2 Dennis Hansen Generelt E = ρ ɛ E = B t B = B = µ J + µ ɛ E t I stof E da = Q enc ɛ D = ɛ E + P D = ɛe E dl = Φ B H = B M H = µ µ B B da = D = ρ free

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Termodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system

Termodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Synopsis: Titel: Automobil Permanent Magnet generator med buck/boost konverter

Synopsis: Titel: Automobil Permanent Magnet generator med buck/boost konverter Titel: Automobil Permanent Magnet generator med buck/boost konverter Semester: 4. semester Energiteknik Semester tema: Regulering af energiomsættende systemer ECTS: 17 Projektperiode: Fra 02.02.09 til

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 6 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter

Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 6 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 6 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Dispersion Transitionsenergien Synkrotron

Læs mere

Kapitel 8. Magnetiske felter - natur, måleenheder m.v. 1 Wb = 1 Tesla = 10.000 Gauss m 2 1 µt (mikrotesla) = 10 mg (miligauss)

Kapitel 8. Magnetiske felter - natur, måleenheder m.v. 1 Wb = 1 Tesla = 10.000 Gauss m 2 1 µt (mikrotesla) = 10 mg (miligauss) Kapitel 8 Magnetiske felter - natur, måleenheder m.v. Natur Enhver leder hvori der løber en strøm vil omgives af et magnetfelt. Størrelsen af magnetfeltet er afhængig af strømmen, der løber i lederen og

Læs mere

Indre modstand og energiindhold i et batteri

Indre modstand og energiindhold i et batteri Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Dielektrisk forskydning

Dielektrisk forskydning Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes

Læs mere

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf+ R. (.) U R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,

Læs mere

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger.

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger. Magnetisk resonansspektroskopi Protoners magnetfelt I 1820 lavede HC Ørsted et eksperiment, der senere skulle gå over i historiebøgerne. Han placerede en magnet i nærheden af en ledning og så, at når der

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009

Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 21. september 2009 Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Øvelse nr. 10: Solen vor nærmeste stjerne Solens masse-lysstyrkeforhold meget stort. Det vil sige, at der

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Termodynamikkens første hovedsætning

Termodynamikkens første hovedsætning Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på

Læs mere

Coulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0

Coulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0 Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 (12/13) Københavns

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Torben Laubst. Grundlæggende. Polyteknisk Forlag

Torben Laubst. Grundlæggende. Polyteknisk Forlag Torben Laubst Grundlæggende Polyteknisk Forlag Torben Laubst Grundlæggende Polyteknisk Forlag DIA- EP 1990 3. udgave INDHOLDSFORTEGNELSE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Indledning Transformeres principielle

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Magnetisme og harddisk-teknologi

Magnetisme og harddisk-teknologi Magnetisme og harddisk-teknologi 10030 Fysik og Nanoteknologi Februar 010 af Claus Schelde Jacobsen (DTU Fysik) csj@fysik.dtu.dk Mikkel Fougt Hansen (DTU Nanotech) mikkel.hansen@nanotech.dtu.dk 010 Version:

Læs mere

a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole

a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole 3.1.2. a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole Udført d. 15.04.08 Deltagere Kåre Stokvad Hansen Max Berg Michael Ole Olsen 1 Formål: Formålet med øvelsen er at måle/beregne

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 (14/15)

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Partikelacceleratorer: egenskaber og funktion

Partikelacceleratorer: egenskaber og funktion Partikelacceleratorer: egenskaber og funktion Søren Pape Møller Indhold Partikelaccelerator maskine til atomare partikler med høje hastigheder/energier Selve accelerationen, forøgelse i hastighed, kommer

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Forklaring. Størrelsesforhold i biologien DIFFUSION. Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8) Mindste organisme: 0.3 :m = m (mycoplasma)

Forklaring. Størrelsesforhold i biologien DIFFUSION. Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8) Mindste organisme: 0.3 :m = m (mycoplasma) Størrelsesforhold i biologien Forklaring Mindste organisme: 0.3 :m = 3 10-7 m (mycoplasma) Største organisme: 3 10 1 m (blåhval) Største Organismer : 10 Mindste = Enkelte celler: 0.3 :m - 3 :m Største

Læs mere