Noter til elektromagnetisme

Transkript

1 Noter til elektromagnetisme Martin Sparre Elektrostatik Coloumbs lov F Q = 1 qq r r 4πε 0 r r 2 r r Det elektriske felt: F Q (r) = QE(r), E(r) = 1 q i r r i 4πε 0 r r i i 2 r r i (punktladninger) E(r) = 1 4πε 0 E(r) = 1 4πε 0 E(r) = 1 4πε 0 ρ(r ) r r r r 2 r r dτ (rumfordeling) σ(r ) r r r r 2 r r ds (fladefordeling) λ(r ) r r r r 2 r r dl (liniefordeling) Gauss lov: Φ S E da = Q ENC ε 0, E = ρ ε 0, E = 0 1

2 Potentiale med referencepoint O V (r) V (b) V (a) = r O b a E = V 2 V = ρ ε 0 E dl E dl (Poissonligning) Potentiale af ladningsfordelinger: 2 Elektriske felter i materialer 2.1 Polarisation V (r) = 1 q i 4πε 0 r r i i (punktladninger) V (r) = 1 ρ(r ) 4πε 0 r r dτ (rumfordeling) V (r) = 1 σ(r ) 4πε 0 r r ds (fladefordeling) V (r) = 1 4πε 0 λ(r ) r r dl (linieordeling) Ved at rækkeudvikle potentialet af en ladningsfordeling til anden orden fås V (r) Q 4πε 0 r + r 4πε 0 r 3 r ρdτ = Q 4πε 0 r + p r 4πε 0 r 3, hvor p r ρdτ kaldes dipolmomentet. Hvis en fysisk dipol placeres i et uniformt elektrisk felt, vil den totale kraft på dipolen være 0, men der vil være et kraftmoment N = p E. Hvis det elektriske felt ikke er uniformt, bliver den resulterende kraft og kraftmomentet F = (p )E, N = p E + r F. Det sidste led i udtrykket for kraftmomentet forsvinder, hvis man udregner kraftmomentet omkring dipolens centrum. Energien af en ideel dipol i et elektrisk felt er U = p E. 2

3 2.2 Elektriske felter for polariserede objekter I stedet for dipolmomentet p er det ofte smartere at anvende porisationen P, som angiver dipolmomentet pr. volumenenhed af en ladningsfordeling således, at p = Pdτ. Potentialet af en neutral ladningsfordeling bliver derfor V (r) = 1 4πε 0 (r r ) P(r ) r r 3 dτ. Ved at indføre overfladeladningstætheden, σ b (Subscriptet b står for bundet), og ladningstætheden, ρ b, kan potentialet skrives som V (r) = 1 σ b 4πε 0 r r da + 1 ρ b 4πε 0 r r dτ, σ b P ˆn, S ρ b P. 2.3 Gauss lov og dielektriske objekter Den totale ladningstæthed kan skrives som ρ = ρ b + ρ f, hvor ρ f angiver ladningstætheden, som ikke stammer fra polarisation (f står for fri). Gauss lov giver V ε 0 E = ρ b + ρ f = P + ρ f (ε 0 E + P) = ρ f Ved at indføre D ε 0 E + P kan dette skrives som D = ρ f. Man kan fortolke D som summen af det totale elektriske felt og polarisationen 1. Ved at omskrive til integralform fås D da = Q fenc, hvor højresiden angiver den totale frie ladning i det givne volumen. Hvis man betragter et system med symmetri kan cirkelintegralet ofte let udregnes vha. symmetriargumenter. 2.4 Randbetingelser Ved en overflade gælder følgende: D above D below = σ f, D above D below = P above P below. 1 Hvis man definerer ε 0 = 1 er denne opfattelse helt korrekt. 3

4 2.5 Lineære dielektrika I et lineært dielektrisk materiale er P = ε 0 χ e E, hvor χ e kaldes den elektriske susceptibilitet og E er det totale elektriske felt dvs., summen af det pårtykte elektriske felt og feltet, der skyldes polarisationen. D-feltet bliver Ofte anvendes også følgende størrelser: D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e )E. ε ε 0 (1 + χ e ) ε r 1 + χ e = ε/ε 0 (Relativ Permittivitet) 3 Magnetostatik 3.1 Den magnetiske kraft Den magnetiske kraft på en testpartikel med hastigheden v i et elektrisk felt B er givet ved F mag = Q(v B). Hvis der både er et elektrisk felt og et magnetfelt, er den totale kraft givet ved 3.2 Strøm Liniestrøm F = Q(E + v B). I en ledning defineres strømmen til at være ladningen, der går igennem ledningen, per tidsenhed. Hvis en linieladning λ har hastigheden v så er strømmen I λv, eller I = λv. Den magnetiske kraft på en ledning er F mag = (v B)dq = I(dl B), hvor l er en tangentvektor for et givet punkt på ledningen. Fladestrøm Fladestrømningstætheden er defineret ved K di dl, 4

5 hvor dl er et infitesimalt linielement, som er nymodens vinkelret på strømmen. Der gælder, at K = σv, og at den magnetiske kraft på fladen er F mag = (K B)da Rumstrømme Strømmen i et 3D-område defineres som J di da, hvor da er et arealelement vinkelret på strømmen. Der gælder, at J = ρv og I = (J B)dτ. For elektriske strømme gælder kontinuitetsligningen desuden 3.3 Biot-Savarts lov og Ampéres lov J = ρ t Det magnetiske felt fra en stationær liniestrøm dvs., en strøm som ikke ændrer sig i tiden er givet ved B(r) = µ 0 di (r r ) 4π r r 3 dl = µ 0 dl 4π I (r r ) r r 3. For stationære strømme gælder B = µ 0 J, B = 0. (Ampéres lov) Af Ampéres lov følger B dl = µ 0 I ENC, hvor I ENC er strømmen, som den lukkede kurve indeslutter. 5

6 3.4 Det magnetiske vektorpotential Efterdi divergens af magnetfeltet er nul, eksisterer der et vektorpotential A med egenskaben, Rotationen af magnetfeltet kan derfor omskrives til B = A. (3.1) B = ( A) = ( A) 2 A = µ 0 J Man kan altid addere en størrelse, hvis rotation er 0, til A ifølge (3.1). Hvis man vælger denne størrelse (kaldet gauge) således, at A = 0, fås 3.5 Det magnetiske dipolmoment B = µ 0 J. Ved at rækkeudvikle vektorpotentialet til anden orden får man følgende: hvor A(r) µ 0 m r 4π r 3, m I da = Ia. Her angiver a vektorarealet af kurven, der integreres over. 4 Magnetfelter i materialer 4.1 Bundne strømme I et uniformt magnetfelt er kraftmomentet på en magnetisk dipol givet ved N = m B. Den totale kraft på dipolen er 0. I et ikke-uniformt magnetfelt er kraften på en lille dipol givet ved F = (m B). Magnetiseringen af et materiale angiver det magnetiske dipolmoment per enhdedsvolumen. Følgende formler gælder: hvor A(r) = µ 0 4π = µ 0 4π m (r r ) r r 3 dτ Jb (r ) r r dτ + µ 0 4π Kb (r ) r r da, J b = M, K b = M ˆn. 6

7 4.2 H-feltet Den totale strøm gennem en flade kan skrives som Ved at definere fås På integralform bliver dette hvor I ENC er den strøm, som C indeslutter. 4.3 Magnetiske materialer 1 µ 0 B = J = J f + J b = J f + M. H 1 µ 0 B M C H = J f. H dl = I ENC, Der findes forskellige grupper af magnetiske materialer: Paramagnetiske materialer danner et magnetfelt i samme retning som B, Diamagnetiske materialer danner et magnetfelt modsat B, Ferromagnetiske materialer er ikke-lineære og magnetfeltet afhænger af materialets fortid. I lineære materialer gælder M = χ m H, hvor χ m er den magnetiske susceptibilitet, som er positiv for paramagneter og negativ for diamagneter. B-feltet er givet ved Permeabilitet defineres som og ved brug af denne fås B = µ 0 (H + M) = µ 0 H(1 + χ m ). µ = µ 0 (1 + χ m ), B = µh. Der gælder i øvrigt, at lysets hastighed i et materiale er givet ved c = 1 εµ. 7

8 5 Elektrodynamik 5.1 Ohms lov For mange stoffer er strømmen gennem stoffet proportionalt med kraften pr. enhedsladning: J = σf, hvor σ kaldes konduktiviteten af det givne materiale. ρ 1/σ kaldes for resistiviteten af materialet. For perfekte ledere (som Asger Aamund) er σ =. Hvis f er en elektromagnetisk kraft er f = σ(e + v B). Hvis v er lille gælder Ohms lov kan også skrives som og effekten afsat i en resistor er 5.2 Elektromotorisk kraft J = σe. V = IR, P = V I = RI 2. For et kredsløv defineres den elektromotoriske kraft (EMF) til ξ f dl, (Ohms lov) hvor f er den kraft (pr. ladningsenhed), som driver strømmen rundt. Hvis strømmen i et kredsløb drives af et batteri udøver batteriet en kraft f s, når elektronerne løber igennem batteriet. Så bliver ξ = f s dl, da alle andre elektriske kræfter intet bidrag giver, da der er tale om et cirkelintegrale (som jo er 0 for et statisk elektrisk felt). 5.3 Bevægelses EMF Det magnetiske flux gennem en overfalde er defineret ved Φ B da. Der gælder, at den EMF, som dannes, af et ændret magnetisk felt er givet ved ξ = dφ dt. At denne EMF er blevet dannet skyldes, at det ændringen i magnetfeltet har induceret en elektrisk strøm. Hvis magnetfeltet er konstant i tiden, men kredsløbet derimod er i bevægelse, gælder samme lov. Den store forskel er bare, at det ikke er magnetfeltet, der inducerer en strøm, men derimod er det en magnetisk kraft, der er årsag til den givne EMF (i dette tilfælde kaldes motional EMF). Faradays induktionslov kan generelt skrives som E = db dt. 8

9 Bemærkning angående potential Hvis E = 0 er E et konservative vektorfelt, og det følger derfor, at man kan skrive E på som E = V, hvor b a E dl = V (b) V (a)). Hvis magnetfeltet varierer i tiden er E 0 og derfor kan man ikke længere tilknytte et potentiale til E. 5.4 Induktans I det følgende betragtes to kredsløb. Fluxen af magnetfeltet fra det første kredsløb gennem det andet kredsløb er hvor Φ 2 = M 21 I 1, M 21 = µ 0 dl1 dl 2 4π r 2 r 1. Da dette integral ikke ændres ved at ombytte 1 og 2 er M 21 = M 12. Bemærk i øvrigt, at dette er en størrelse, som kun er bestemt af systemets geometri. Selvinduktans Hvis strømmen ændres i et kredsløb, har det givne kredsløb en selvinduktans L, som opfylder Φ = LI Den inducerede elektromotriske kraft er derfor ξ = L di dt 9

10 A Maxwells ligninger Maxwells ligninger i vakuum: E = ρ ε 0, E = B t, B = 0, B = µ 0 J + ε 0 µ 0 E t. I stof: D = ρ f, E = B t, B = 0, H = J f + D t. Definitioner: D ε 0 E + P, H = 1 µ 0 B M. For lineære medier: P = ε 0 χ e E, D = εe, M = χ m H, H = 1 µ B. 10

11 B Vektoranalyse m.m. Vigtige sætninger ( v)dτ = V ( v) da = V v da, v dl. Partiel integration: f ( A)dτ = A ( f)dτ + f A da Definition af Diracs δ-funktion: { 0 for x 0 δ(x) for x = 0, og δ(x)dx = 1. Der gælder, at Den 3-dimensionale delta-funktion er givet ved f(x)δ(x a)dx =f(a). δ 3 (x) = δ(x)δ(y)δ(z). En vigtig sammenhæng: 2 ( 1 r ) ( ) ˆr = r 2 = 4πδ 3 (r). 11