EL 1 formelsamling 2015 version 20 Side 1 af 19

Transkript

1 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 1 af 19 Ohm DC lov U = I Ohm AC lov U = I, hvor Z = + X Joule lov P = U I Effekttab P = I Indhold SI systemet, de syv grundenheder ( Système International d Uniés )... 3 SI systemet, de afledede enheder (afledet af de syv SI grundenheder)... 3 Spændingsdeling... 5 Kirchov strømlov (KCL)... 5 Kirchov spændingslov (KVL)... 5 Maskeligninger ud fra KVL... 5 Vi vil bestemme strømmen i et kredsløb vha. KVL og KCL: først anvendes KVL på et antal masker i kredsløbet (alle spændingskilder og alle modstande skal indgå i mindst en maske) derefter opstilles KCL ligninger indtil der er lige så mange ligninger som ubekendte strømme... 5 Ex KVL 1 E1 E = I1 1 I... 5 KVL E = I + I KCL 3 I1 + I = I KVL = I1 10 I KVL 4 = I 15 + I KCL 3 I1 + I = I Indtastes på TI-nspire (lommeregner) menu/3/7/1 og ender med at se således ud solve 1 4 = i1 10 i 15 4 = i 15 + i3 0 i1 + i = i3, i1, i, i Indtaster i TI-nspire (PC) Dukumentværktøjslinje/dokumentværktøjer/6/3/ Effekt (power) Joule lov... 6 Kondensatoren og elektrisk felt... 7 Energien i en Kondensator... 8 Serie-furbundne kondensatorer... 8 Parallel-forbundne kondens Magnetisme... 9

2 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side af 19 Permanent magneter (magneter)... 9 Induktion Induceret elektromotorisk kraft i en lukket sløjfe/spole Selvinduktion i en sløjfe eller spole Parallel og seriekobling af spoler: Vektorer Ohm lov for vekselstrøm Impedans Z = Ω Faseforskydningsvinklen Induktiv reaktans XL = Ω Kapacativ reaktans XC = Ω Komplekse tal De to notationsformer for komplekse tal, sumform z = (x + iy) og Produktform z = (z φ) Beregning af effekt Tilsyneladende effekt/skineffekt Effekt/Virkeeffekt eaktiv effekt (Watt-løse effekt) Vektordiagram for 1-fatet parallelforbindelse (serieforbindelse næste side) Vektordiagram for 1-faset serieforbindelse Trekant til stjerne ækvivalent ved symmetrisk belastning Fasekompensering på et 1-fase kredsløb... 19

3 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 3 af 19 I 1977 tilsluttede Danmark sig til SI enhedssystemet ( Système International d Uniés ), som er et internationalt system med ens betegnelse for størrelser og enheder. SI systemet beskrives i bogen elektronik 1 (EL1) side 11-5, læs og gør notater i nedestående tabel. SI systemet, de syv grundenheder ( Système International d Uniés ) størrelse Enhed Definition l længde m meter m masse Kg kilogram t tid s sekunder I Elektrisk strøm A ampere 1 A = 1 C s 1 6, elektroner s 1 T temperatur K Kelvin 73,15 = 0 n stofmængde mol mol 6, molekyler pr mol (Avogadros konstant) lysstyrke cd candela SI systemet, de afledede enheder (afledet af de syv SI grundenheder) størrelse Enhed Definition f frekvens Hz Hertz 1 Hz = s 1 perioder per sekund F kraft N newton 1 N = 1 kg m s p tryk Pa pascal 1 Pa = 1 N m W arbejde, energi, J joule 1 J = 1 N m = 1 W s termisk energi effekt, reaktiv effekt tilsyneladende effekt P, Q, S W Watt DC: P = U I AC: P = u i cos (φ) VAr DC: eksister ikke AC: Q = u i sin (φ) VA DC: eksistere ikke AC: S = u i q elektrisk ladning C coulomb 1 C = 1 A s E, U elektromotorisk kraft, V Volt 1 V = 1 W A 1 elektrisk spænding C kapacitans F farad 1 F = 1 A s V 1 resistans, modstand Ω Ohm 1 Ω = 1 V A 1 = ρ l S tvær G konduktans, ledningsevne S siemens 1 S = 1 Ω 1 G = Υ S tvær l 1 φ magnetisk flux, magnetisk Wb weber 1 Wb = 1 V s induktion B fluxtæthed T tesla 1 T = 1Wb m L Induktans H henry 1 H = 1 V s A 1 ρ esistivitet, specefik se tabel side 39 resistans γ Konduktivitet, S m m = S m 1 ledningsevne J Strømtæthed A mm

4 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 4 af 19 esistivitet (Specific resistans) ρ = S tvær l [ρ] = Ω m m = Ω m [ρ] = Ω mm m esistans (modstand) = ρ l S tvær [] = Ω m m m = Ω Konduktivitet (Specifik Ledningsevne) γ = 1 ρ = G l = 1 l [γ] = 1 Ω m Konduktansen (ledningsevne) Beregn opgave (dog ikke 1.8) G = γ l = 1 = I U [G] = 1 l = 1 = 1 Ω m V = A = S V A esistans som funktion at temperaturen T = T1 + T1 (T T 1 ), OBS (T T 1 ) = T Ex. beregn temp. af en Cu tråd ud fra følgende data: T 1 = 0, 1 = 5Ω, = 6Ω, Cu = (s 39) Løses på TI-nspire vha. solve funktionen (menu/3/1) solve(6 = (T 0), T ) Beregn opgave Strømstyrke I = Q t [I] = C s = A Spænding (Ohm lov) U = I [U] = Ω A = V A = V A Elektromotorisk kraft (EMK) E = W Q [E] = J C = V Klemmespænding (spændingen over et element/batteri) U kl = E U ri U kl = E I r i Indre resistans (et element /batteri indre modstand) r i = E U kl I Beregn opgave Erstatningsresistansen for en serieforbindelse s = n Erstatningsresistansen for en parallelforbindelse p = ( n ) 1

5 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 5 af 19 I Spændingsdeling U = I 1 U 1 U = U 1 + U U U = 1 + U Kirchov strømlov (KCL) ΣI til = ΣI fra Summen af strømme til et knudepunkt = summen af strømme fra knudepunktet Kirchov spændingslov (KVL) ΣE EMK = Σ( I) Summen af Elektromotoriske kræfter = summen af spændingsfald i en lukket sløjfe Maskeligninger ud fra KVL Vi vil bestemme strømmen i et kredsløb vha. KVL og KCL: 1. først anvendes KVL på et antal masker i kredsløbet (alle spændingskilder og alle modstande skal indgå i mindst en maske). derefter opstilles KCL ligninger indtil der er lige så mange ligninger som ubekendte strømme Ex. I 1 I 3 KVL 1 E 1 E = I 1 1 I E 1 = 1 V KVL E = I + I 3 3 KCL 3 I 1 + I = I 3 KVL = I 1 10 I 15 KVL 4 = I 15 + I 3 0 I 1 KVL 1 KVL 3 E 1 E E = 4 V 1 = 10 Ω = 15 Ω 3 = 0 Ω KCL 3 I 1 + I = I 3 Indtastes på TI-nspire (lommeregner) menu/3/7/1 og ender med at se således ud solve ({ 1 4 = i1 10 i 15 4 = i 15 + i3 0, {i1, i, i3}) i1 + i = i3 Indtaster i TI-nspire (PC) Dukumentværktøjslinje/dokumentværktøjer/6/3/7

6 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 6 af 19 Effekt (power) Joule lov P = U I [P] = V A = (enheden W står for watt) P = I P = U [P] = W [P] = W Elektrisk energi W = P t [W] = W s = J s s = 3,6 106 J = 1 kwh Arbejde energi (work) W = F s [W] = N m = J Moment M = F r [M] = N m = J (kraft gange arm) Arbejde pr omdrejning W = F = F omkreds = F r = M da M = F r Arbejde udført på n omdr. W = M n Arbejde pr sekund = Drejningsmoment (P ) P = W t = M f t = M n t t = M, da f = n t Virkningsgrad η = W nyttet W tilført = P nyttet t P tilført t = P nyttet P tilført

7 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 7 af 19 Kondensatoren og elektrisk felt Kapacitans (kapacitet) C = Q U C = A ε a [C] = C = F F er Farad ("et udtryk for hvor mange elektroner kondensatoren kan lager") V A er hver plades areal, ε se nedenfor, a er afstanden i mellem pladerne Ladning på kondensatoren Q = U C = U A ε a Heraf ses at større permittivitet (ε) (materialet mellem pladerne) gør, at ladningen på kondensatoren øges (og dermed øges den energi som kondensatoren kan lager) Permittivitet ε = ε 0 ε r = 8, ε r [ε] = F m ε 0 er permittivitet i vacuum = 8, F m ε r elativ Permittivitet, findes i tabel s 38 (større ε r gør at kondensatoren kan lager flere elektroner og modstå en højere spænding) Kraftlinietæthed (fluxtæthed) Antal feltlinjer Elektrisk felt (feltstyrke) ψ = Q ε E felt = ψ A E felt = (Q ε ) E felt = U a E felt = F Q A = Q ε A [ψ] = C ( F m ) = C m = C m F ( C ) = m 1 V V [E felt ] = V m m [E felt ] = ( C ( F m ) ) m = V m = (C m F ) = V m = ( C F ) ( = m m C ( C V ) ) [E felt ] = V m = (J C ) m = J C m = N m C m = N C [E felt ] = N C = N m C m = m J = ( J C ) = V C m m m = (C V C ) = V m m Elektrisk kraft F = E felt Q [F] = N C = N C F = Elektrisk kraft (Coulomb lov) F to punktladninger = Q 1 Q ε A kugle Q ε A plade Q = Q 1 Q ε A plade for en kondensator er Arealet konstant, da alle feltlinjer går i samme retning fra + til For punktformede ladninger vil feltlinjerne være fordelt over et større areal, når afstanden (a) mellem ladningerne øges (A kugle = 4 a ) Løs opgave

8 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 8 af 19 Kondensators-spænding U c (t) = (U start U slut ) e ( t C ) + U slut Kondensator-spændingen som fkt. Af tiden (Gælder både for op- og af-ladning af en kondensator) U start er spændingen over kondensatoren for t = 0 sekunder U slut er spændingen over kondensatoren for t Tidskonstanten τ = C for t = τ vil kondensatoren være hhv 63, % opladet eller 63, % afladet t = 0 i i t = 0 er sjældent ens ved opladning og afladning E C C Eksempel på opladningskredsløb Eksempel På afladningskredsløb U C U C i C t t i C Løs opgave om op og afladning Energien i en Kondensator W = 1 C U W = 1 Q C da U = Q C Serie-furbundne kondensatorer U = U C1 + U C Q C S = Q C 1 + Q C da U = Q C U C C U C1 U C U C s 1 C S = 1 C C ladningen Q vil være ens på C1 og C, da det er samme strøm der løber gennem dem ved opladning, og dermed samme antal elektroner/ladning, der er fjernet fra + pladen Serie erstatnings kapacitansen C s = ( 1 C C C n ) 1 Parallel-forbundne kondens. Q p = Q 1 + Q U C p = U C 1 + U C Parallel erstatnings kapacitansen C p = C 1 + C + + C n ) U C _ + C U C p _ Løs opgave om parallel og serie-forbindelse af kondensatorer, beregn desuden hvor meget energi der er lageret i en kondensator på 1 μf opladet til 1 V

9 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 9 af 19 Magnetisme Proprtækker-reglen : Spolereglen: Skru i strømmens retning og de magnetiske feltlinjer (flux) om lederen vil have samme retning som proptrækkerens gevind Højre hånd, grib om spolen med fingrene i strømmens retning, tommelfingeren angiver retningen på fluxene Magnetisk flux (magnetisk feltlinjer) φ [φ] = V s = Wb (Weber) Magnetisk flux danner altid en lukket sløjfe og går fra N til S eksternt Fluxtæthed (flux pr m ) B = φ A = μ H [B] = Wb m = T (Tesla) Permeabiliteten μ = μ 0 μ r μ 0 = Wb A m μ r,luft = 1 og μ r,jern = 100 μ et udtryk for hvor godt et materiale er til at lede magnetisk flux Magnetomotorisk kraft (ampære vindingstal) F m = I N = m φ eluktans (magnetisk modstand) m = l μ A [ m ] = m A = = A = A = ( V s ) m V s Wb V s H 1 A m Henry 1 Sammenligning med strømkredsløb E ELK = I svare i magnetisme til F m = m φ Feltstyrke (H-felt) H = F m l = B μ [H] = A v m v = vindinger For en cirkulær ring er middellængden: l middel = (d ydre + d indre ) For en cirkulær ring er tværsnitsarealet: A= 16 (d ydre d indre ) Permanent magneter (magneter) En permanent magnet et stof/legering, som kan forbliver magnetisk efter magnetiserieng (kan være Fe, Al, Ni, Co og Nb) kaldes ferromagnetiske materiale En permanent magnet vil altid have en Nord- og Syd-pol Feltlinjerne (magnetisk flux) går eksternt fra N til S (og dermed internt fra S til N) og danner altid en lukket sløjfe. Curie- temperaturen er den temp. Hvorved magneten vil begynde at miste sin magnetisering (er materiale afhængig, men starter ved ) emanansen r ~B permanentmagnet er magnetens fluxtæthed som er tilbage i spoles jernkerne, når den er strømløs (det B-felt som huskes remember ) Coercitivfeltstyrken er den feltstyrke (B) som skal til for at afmagnitisere magneten Det maksimale energiprodukt (BH) max (et mål for magnetens styrke i forhold til dens rumfang) [BH] = kj N og S-poler tiltrækker hinanden, hvor i mod to ens poler frastøder hinanden m 3

10 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 10 af 19 Induktion Hvis der løber en strøm i en leder, vil der genereres et magnetisk felt om lederen (retningen bestemmes ved proptrækker-reglen). Formes lederen som en lukket sløjfe, vil alle de genererede magnetiske flux gå i gennem sløjfen (nu kan spolereglen bruges til at bestemme fluxens retning). Omvendt vil der blive induceret en strøm i en leder, der føres gennem et magnetisk felt og derved bryde/skærer feltlinjerne. Vigtigt: for at der induceres en strøm i en sløjfe/spole, kræver det at antal af flux gennem sløjfen ændre sig. Denne strøm opstår fordi sløjfen/spolen vil forsøge at modvirke en ændring af flux ene genne sløjfen/spolen. Induceret elektromotorisk kraft i en lukket sløjfe/spole Induceret elektromotorisk kraft E pr vinding = dφ dt [E] = Wb s = V fluxændring per tid = spænding E pr vinding = φ φ 1 t E pr vinding = B l v = Δφ Δt, hvor Δφ = B A = B l Δs = B l v Δt (fluxtæthed) (længde på leder som passere feltet) (hastig hvormed lederen føres igennem feltet) E spole = N E pr vinding Højrehåndsreglen (generatorreglen): Hold højre hånd langs lederen, så feltlinjerne går ind igennem håndfladen og tommelfingeren peger i lederens bevægelsesretning. Fingrene vil da være i den inducerede spændings retning. Spolereglen kan også bruges (tænk selv over hvorfor) Selvinduktion i en sløjfe eller spole Induktans (selvinduktion) L = N μ A = N l m N er vindinger, μ er kernens permabilitet, A er tværsnitsarealet, l er spolens middel længde Induceret spænding i en spole Induceret spænding i N vindinger e s = di dt L I N = m I N = m φ N e s = dφ dt N I N m = φ N I L = φ N Kraften fra et B-felt på en leder F = B I l B er fluxtætheden, I er strømmen i lederen, l er længden af den del af lederen som skære feltlinjer Arbejdet fra et B-felt på en leder W = F s Kraft gange vej [W] = N m = J Effekten fra B-felt overført til leder P = W t [P] = J s = W Kraftens retning (F retning) Hold venstre hånd langs lederen, så feltlinjerne (φ) går gennem håndfladen og I er i fingrenes retning. Kraftpåvirkningen (F) på lederen vil da være i tommelfingerens retning (se evt. figur side 91 i #1) Strømmen i en spole i(t) = (i start i slut ) e ( t τ ) + i slut i start er strømmen i spolen til t = 0 E t = 0 i L i L t = 0 i slut er strømmen i spolen for t Eksempel på opladningskredsløb Eksempel På afladningskredsløb τ = L, husk at når t = 1τ er spolen er spolen er hhv. 63, % opladet eller 63, % afladet er sjældent ens ved op og af ladning i L u L t i L u L t Energien i en spole W = 1 L i [W] = J Løs , side 34 Parallel og seriekobling af spoler: Spoler i serie L s = L 1 + L + + L n U s = U L1 + U L + U L3 di dt L s = di dt L 1 + di dt L + di dt L 3 L s = L 1 + L + L 3 Spoler i parallel L p = ( 1 L L L n ) 1 di p dt = di L1 dt + di L + di L3 dt dt U p L p = U p L 1 + U p L + U p L 3 1 Lp = 1 L L + 1 L 3

11 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 11 af 19 Vekselstrøms (AC) regler Ohms AC lov U = I Z Der regnes ALTID med effektivværdier i vekselstrøm, med mindre andet er angivet (så det er underforstået at Ohms AC lov er U eff = I eff Z) Sinusformet vekselstrøm i = I max sin(ω t) husk at regne i radianer: doc/7//vinkel i radian Sinusformet vekselspænding Vinkelhastighed i radianer u = U max sin (ω t) ω = f Omregning fra tid (t) til vinkel i radianer α rad = t = ft = ω t T Omregning fra tid (t) til vinkel i grader α grader = 360 t T Omregning fra radianer til grader α grader = α rad 360 Effektivværdien af en sinusspænding Effektivværdien af en sinusstrøm U eff = U max i eff = I max se evt. udledning på næste side Middelværdien af en sinusspænding U m = U max se evt. udledning på næste side Middelværdien af en sinusstrøm I m = I max Effektivværdien af en savtakspænding Effektivværdien af en savtakstrøm U eff,savtak = U max 3 i eff,savtak = I max 3 Middelværdien af en savtakspænding Middelværdien af en savtakstrøm U m,savtak = U max I m,savtak = I max Formfaktor Løs ξ = U eff U mid ξ udtales xi

12 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 1 af 19 Udledning af Um for en vekselspænding: U m = 1 u d(α) 0 vi integrere fra 0 til og skal derfor dividere med for, at få middelværdien af spændingen (U m) U m = 1 U max sin ( α) d(α) 0 da u = U max sin (α) U m = U max U m = U max U m = U max U m = U max U m = U max sin ( α) d(α) 0 [ cos(α)] 0 ( cos() ( cos(0))) (1 ( 1)) Middelværdien af en vekselspænding U m = U max Middelværdien, hvis noget af sinuskurven mangler U m = U max (cos(α 1 ) cos(α )) husk at vinklen α er i radianer Effektivværdi er den værdi vi regner med i vekselstrøm. Eksempel: effektivværdien af en vekselspænding er lig med den DC-spænding, som vil afsætte den samme effekt i den samme modstand(p DC = U DC = U eff ). Dvs U eff = u m Effektivværdien af en vekselspænding Effektivværdien af en vekselspænding i. potens U m = 1 u d( ) vi integrere fra 0 til og skal derfor dividere med for, at få 0 middelværdien af spændingen (U m) U eff = u m = 1 u d(α) U eff U eff 0 0 = 1 (U max sin (α)) d(α) = U max U eff sin (α) d(α) 0 U eff = U max [ 1 α 1 4 sin (α)] 0 da stamfunktionen til sin(α) er 1 α 1 sin (α) 4 = U max U eff = U max U eff U eff = U max (( 1 1 sin ()) 4 (1 0 1 sin ( 0))) 4 (( 1 0) (0 0)) U eff = U max Effektivspændingen af en vekselspænding U eff = U max Effektivspændingen hvis noget af kurven mangler U eff = U max (( 1 α 1 4 sin (α )) ( 1 α sin ( α 1)))

13 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 13 af 19 Vektorer Hvis der er en spole eller en kondensator i et kredsløb, vil strømmene og spændingerne ikke være i fase. Når spændingerne ikke er i fase, skal de opdeles i vektorer for, at kunne adderes (summeres). NB. Spændingerne skal dog have samme frekvens. Vektorer lægges sammen ved, at tegne dem i forlængelse af hinanden, se eksempler nedenfor. v 1 v 3 v v 1 v v sum v 3 Generelt kan den summerede vektor (v sum ) bestemmes ved, at tegne vektorerne i forlængelse af hinanden, evt. med start i origo (0, 0). y I En vektor består af en længde og en vinkel: I = (I α) α x En vektor kan udtrykkes ved længderne af dens x- og y-komposanter I = ( I x I y ) y I I y X-komposanten I x = I x = I cos (α) α Y-komposanten I y = I y = I sin (α) I x x Længden af en vektor I = I = (I x ) + (I y ) udledt ud fra Pythagoras sætning Vinklen (fasedrejningen) for en vektor α = tan 1 ( I y I x ) husk at vælge om I vil have vinklen i grader eller radianer Vinklen i radianer ud fra tid (t) og frekvens(f) α = f t = t T, giver vinklen i radianer ( 1 = + 1 ) Vinklen i grader ud fra tid (t) og frekvens (f) α = 360 f t = 360 t T, giver vinklen i grader (90 = ) Omregning i mellem radianer og grader α rad = α grader 360 y Addition af to strømmevektorer I 1+ = I 1 + I = ( I 1,x) + ( I 1,x) = ( I 1,x+I,x I 1,y I 1,y I 1,y+I,y) I 1,y y I I,x I,y I 1,x I 1 I 1,y x I 1+ I 1,x I,x I,y I 1,y x y Spændingsforskel (fx i mellem to faser) U L L3 = u u 3 = ( u,x) ( u 3,x) = ( u,x u 3,x ) u,y u 3,y u,y u 3,y I 3,y I 3,x I,x I,y x Løs opgave U 3 U

14 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 14 af 19 Ohm lov for vekselstrøm U = I Z hvor Z er impedansen (samlet ac modstand) Impedans [Z] = Ω Z = U I Z er AC-modstanden Z = Z = X + Z = Z = (X L ) + () i X L U XL U ZUXL ~ U Z U U Z U XL U Z = I Z UXL = I XL I Z I X L Z X L U I U U = I I Faseforskydningsvinklen φ = tan 1 ( X ) (φ er vinklen i mellem strøm og spændin) Cosinus phi Cos(φ) = Z Elektricitetsudbyderne vil gerne have at Cos(φ) = 1 (tænk selv hvorfor eller spørg) I U esistans [] = Ω = Z x U L X L Induktiv reaktans [X L ] = Ω X L = fl = ω L I L I C Kapacativ reaktans [X C ] = Ω X C = 1 f C = 1 ω C X C U C Huskeregel: ELICE spændingen (E) over en spole (L) er foran strømmen (I), strømmen (I) i en kondensator (C) er foran spændingen (E) En spole virker som en afbrydelse ved f idet det medfører at X L, Prøv selv at udføre et beregningseksempel En kondensator virker som en kortslutning for f idet det medfører at X L 0, Prøv selv at udføre et beregningseksempel esistans () i en spole måles ved at tilslutte en jævnspænding til kredsløbet, hvorefter kan beregnes vha. Ohm lov (U = I)

15 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 15 af 19 Komplekse tal Opsætning af TI-nspire til komplekse tal I menuen Generelle indstillinger (tast >doc</7//1) skal følgende vælges Vis cifre: Flydende6 Vinkel: Grader Eksponentielt format: Teknisk eel eller kompleks: polær nu retuneres resultater af et komplekst tal på polær form ȁz ȁ θ Beregningsstandart: Auto Vektorformat: ektangulær Talsystem: Decimal Enhedssystem: SI Husk at taste >enter< to gange for at gemme de nye opsætninger i menuen indstillinger Omregning til x + i y (rektangulær/sumform) Konverter fra produktform (z φ) til rektangulær form (x + iy) tast >bogtasten< og vælg ect i findes under tasten argumentet findes ved at taste >ctrl< >bogtasten< og vælge De to notationsformer for komplekse tal, sumform z = (x + iy) og Produktform z = (ȁzȁ φ) Sumform/rektangulær zҧ = (x + iy) hvor x er den reelle del (e) og y er den imaginære del (Im) zҧ = ȁz ȁ cos(φ) + i ȁz ȁ sin (φ) y = ȁzҧȁ sin(θ) Summen af to vektorer zҧ1 + zҧ =(x 1 + iy 1 ) + (x + iy ) = (x 1 + x ) + i(y 1 + y ) x = ȁzҧȁ cos(θ) Ex) z for og L i serie zҧ = + ix L Ex) z for og C i serie zҧ = ix C X L Ex) z for, L og C i serie zҧ = + i(x L X C ) Produktform/polær zҧ = ȁzȁ φ bruges når vektorer adderes (ȁz 1 ȁ φ 1 ) (ȁz ȁ φ ) = (ȁz 1 ȁ ȁz ȁ) (φ 1 + φ ) zҧ = x + y tan 1 ( y x ) Produktet af to vektorer U = Zҧ Iҧ = (ȁzȁ φ Z ) (ȁiҧȁ φ I ) = (ȁzҧȁ ȁiҧȁ) (φ U + φ I )

16 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 16 af 19 Beregning af effekt Ved effektberegninger regnes der altid i effektivværdier (fx U = U eff = U max ) Vær opmærksom på at i effektberegninger regnes strømmen kompleks konjugeret (S = U I ), da det ikke er summen af vinklerne, men der i mod vinkel differensen (vinklen mellem spændingen og strømmen), der skal regnes med. Dette er eneste tilfælde hvor kompleks konjugeret optræder i EL1. Tilsyneladende effekt/skineffekt S = U I = (ȁu ȁ θ U ) (ȁiҧȁ θ I ) = (ȁu ȁ ȁiҧȁ) (θ U θ I ) = S φ UI Størrelsen (længden) af den tilsyneladende effekt S = U I fremgår af den polære beregning ovenfor Størrelsen (længden) af den tilsyneladende effekt S = P + Q idet P og Q er komposanter til S Effekt/Virkeeffekt eaktiv effekt (Watt-løse effekt) P = S cos(φ) hvilket er den reelle del af S (x komkusanten) Q = S si n(φ) hvilket er den imaginære del afs (y komposanten) Q = S sin(φ) φ = θ U θ I P = S cos(φ) Husk: P og Q er komposanter til S, og kan dermed ikke udtrykkes ved en vektor, kun en længde (størrelse) Løs opgave 6.98, og tegn vektordiagrammer til alle opgaver (til næste gang) Løs opgave 10-1, 6.14 og tegn vektordiagrammer til alle opgaver (til næste næste gang)

17 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 17 af 19 Vektordiagram for 1-fatet parallelforbindelse (serieforbindelse næste side) a a U U ab 1 U U ab 1 I 1 U C 1mm = 1 V 1mm = 1 ma I 1 I c U L c U cd U L d φ I φ I1 I d U φ I φ I1 b b Vektordiagram med strømme og spændingerne i gren 1 Vektordiagram med alle strømme og spændinger 1. Spændingen over parallelforbindelsen vælges som reference (U ab = U ab 0 ) og tegnes lodret. Vektordiagrammet tegnes bagfra, dvs. vektor U ab skal gå fra b til a 3. Hvis spændingen U ab er 100 V, kan længden fx vælges til 100 mm, hvormed spændings/længde-forholdet skal være 1V pr mm for alle spændingsvektorer 4. Beregn strømmene i hver gren af parallelforbindelsen. Fx strømmen i gren 1: Iҧ1 = U ab Z tot gren 1 5. Tegn strømmene fra hver gren ind på vektordiagrammet med start i punktet b med samme størrelsesforhold, fx 1 mm = 1 ampere (husk at 0 er lodret og + 90 er vandret mod venstre mens -90 er vandret mod højre) 6. Tegn en cirkel som indeslutter vektoren U parallel 7. Tegn spændingen over den sidste impedans i gren 1, som skal gå fra punktet b til et sted på cirklen (punkt c). Spændingens retning afhænger af om impedansen er en resistor, kondensator eller spole: U i fase med Iҧ1, U C er 90 foran Iҧ1 eller U Ler 90 efter Iҧ1 8. Tegn spændingen over den første impedans i gren 1, som går fra punkt c til punkt a. 9. Punkt 7 og 8 foretages for de resterende grene i parallelforbindelsen Vektordiagram for 1-faset serieforbindelse a I b c d X L X C d U XC c φ U ad U a U XL b I 1) Strømmen vælges som reference, da den er fælles (Iҧ = I 0 ) ) Strømmen tegnes vandret med start fra sidste punkt i kredsløbet (her punkt d) 3) Beregn spændingen over hver komponent Fx U XC = I X C (læg mærke til at det ikke er nødvendigt at regne med vektorer) 4) Kondensatoren er sidst, hvormed vi skal starte med at tegne denne spændingsvektor, som er 90 efter strømmen (ELICE) 5) Spændingsvektorerne tegnes i forlængelse af hinanden, med samme indbyrdes størrelsesforhold (fx 1 = 1 mm) 6) Tegn den samlede spænding over kredsløbet U ad (summen af vektorspændingerne i kredsløbet) 7) Kontroller at længden og vinklen for den tegnede U ad er lig med den beregnede længde og vinkel for U ad, og kommenter dette

18 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 18 af 19 Trekant til stjerne ækvivalent ved symmetrisk belastning ~ U 1 = U f ~ U = U f ~ U 1 = U n U 3 = U n I 10 = I n I 0 = I n U 31 = U n I 30 = I n I 3 = I f I 1 = I f I 31 = I f Trekant til stjerne ækvivalentkredsløb ~ U 1 = U f ~ U = U f ~ U 1 = U n U 3 = U n I 10 = I n I 0 = I n U 31 = U n I 30 = I n U 3 = U f U 3 = U f For at der er tale om to ækvivalente kredsløb, kræver det at der er samme effektafsættelse i 1 og 10 osv. Effektafsættelse i 1: P 1 = (I 1 ) 1 = ( I 10 3 ) 1 = (I 10 ) ( 3) 1 = (I 10 ) 1 3 Effektafsættelse i 10: P 10 = (I 10 ) 10 Der skal afsættes lige meget effekt i 1 og 10: P 1 = P 10 => (I 10 ) 1 3 = (I 10 ) 10 => 1 3 = 10 => 1 = 3 10 I 10 = I 1 - I 31 I f er fase-fase strømmen*: I f = I 1 = I 3 = I 31 = U n Z = I n 3 I 1 -I 31 φ I n er fase-nul strømmen*: I n = I 10 = I 0 = I 30 = U f Z = 3 I f U1 1 cm = 58 V U f er fase (fase-nul) spændingen*: U f = U 10 = U 0 = U 30 = U n 3 U 10 1 cm = 1 A U n er net (fase-fase) spændingen*: U n = U 1 = U 3 = U 31 = 3 U f * ved symmetrisk belastning (ved usymmetrisk belastning er der selvsagt ikke ens strømme, hvormed der ikke kan sættes fælleudtryk op for If, In) -I 3 I 30 = I 31 - I 3 φ U 31 I 31 U 30 U 0 U 3 -I 1 φ I 3 I 0 = I 3 - I 1 Nedestående formler er gældende uanset om der er tale om stjerne - trekant ækvivalente kredsløb ( 1 = 3 10 ), eller stjerne trekant direkte omkobling (med samme modstandsværdier i begge koblinger). Dog vil I n,trekant = 3 I n,stjerne ved direkte omkobling. samlet effekt ved symmetrisk belastning i stjernekobling: Tilsyneladende effekt: S = 3 U 10 I 10 = 3 U f I n = 3 U n I 3 n Effekt (virke-effekt): P = 3 U 10 I 10 cos (φ UI ) = 3 U f I n cos (φ UI ) eaktiv effekt: Q = 3 U 10 I 10 sin (φ UI ) = 3 U f I n sin (φ UI ) = 3 U n I n Samlet effekt ved symmetrisk belastning i trekantkobling: Tilsyneladende effekt: S = 3 U 1 I 1 = 3 U n I f = 3 U n I n 3 Effekt (virke-effekt): P = 3 U 1 I 1 cos (φ UI ) = 3 U n I f cos (φ UI ) eaktiv effekt: Q = 3 U 1 I 1 sin (φ UI ) = 3 U n I f sin (φ UI ) = 3 U n I n

19 EL 1 formelsamling 015 version 0 Side 19 af 19 Fasekompensering på et 1-fase kredsløb I 1 I I C U I C = I WL1 I WL + I Z + I Z I WL I WL1 G Z G Z C I I 1 I W1 = I W φ φ 1 I C Der ønskes fasekompenseret, så faseforskydningsvinke reduceres fra φ 1 til φ (se vektordiagram) Det er nødvendigt at indføre en kondensator: I kondensatoren løber ingen watt-strøm watt-strømmen ikke ændrer sig: I W1 = I W I 1 cosφ 1 = I cosφ I = I 1 cosφ 1 cosφ Strømmen i kondensatoren: I C = I WL1 I WL = I 1 sinφ 1 I sinφ Kondensatorens reaktans: X C = U C I C Kondensatorens kapacitans: C = 1 f X C