Det skrå kast uden luftmodstand

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Det skrå kast uden luftmodstand"

Transkript

1 Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale kendsgerninger, at hastigheden ( t) fås ed at differentiere stedfunktionen r ( t), og accelerationen a( t) fås ed at differentiere hastighedsfunktionen ( t). Som bekendt diffe- rentierer man en ektorfunktion ed blot at differentiere her koordinat for sig. y y max y F t m g x y x x 1 x max Udgangspunktet er, at en bold kastes skråt op i en inkel på α i forhold til andret. Farten i det øjeblik, hor bolden forlader personens hånd, er. Hastighedsektorens koordinater til tiden t= fås ed at projicere på her af de to akser: (1) x cos( α) = = y sin( α) Bemærk, at når i skrier en størrelse både med og uden ektorpil, så betyder den uden ektorpil længden af ektoren. I dette tilfælde er hastighedsektoren og er længden af hastighedsektoren, også kaldet farten! På trods af at bolden beæger sig til siden, så er den resulterende kraft på bolden lig med en lodret rettet tyngdekraft af størrelsen Ft = m g. Accelerationen i beægelsen er altså g = 9,8 m/s og den er rettet nedad. Derfor kan i angie den ed ektoren: () a( t) g Vi kan nu regne baglæns: For at finde hastigheden, skal i finde en ektorfunktion, der differentieret er lig med accelerationsektoren. Vi skal altså finde stamfunktioner. Første koordinaten er, så her er stamfunktionen en konstant. Vi kalder den c 1. Stamfunktionen til g er g t+ c, hor c er en ny konstant. Vi har altså (3) ( t) c1 g t+ c

2 Erik Vestergaard Vi kan imidlertid finde konstanterne ed at indsætte t= og bruge startbetingelserne: ( 4) x c1 x () = c og c = = = y g c + y 1 x y Indsættes ærdierne for c 1 og c i (3) fås: (5) ( t) x = g t + y Vi skal nu idere til stedfunktionen og finder igen stamfunktioner for her koordinat: (6) r ( t) x t+ c3 = 1 g t y t c Igen kan de to konstanter findes ed at indsætte t = og udnytte, at boldens startposition er r () = (, y). Det oerlades til læseren at ise, at det gier følgende: c 3= og c = y. Dermed haes: 4 (7) r ( t) x t = 1 g t y t y + + His i indsætter udtrykket for starthastigheden (1) i (7), fås: (8) r( t) x( t) cos( α) t = 1 y( t) = g t + sin( α) t+ y Tilsarende fås følgende for indsættelse af (1) i (5): (9) cos( α) ( t) g t+ sin( α) His man tegner banekuren for stedfunktionen r ( t) får man en parabel, deraf udtrykket kasteparablen. Med udtrykkene for stedfunktionen og hastighedsfunktionen kan man løse en masse spørgsmål: Hornår rammer bolden jorden, hornår når bolden sit højeste punkt, etc. En igtig erkendelse i udtrykket (9) er, at hastigheden i x-aksens retning er konstant. His man deler beægelsen op i en andret og en lodret beægelse, så er beægelsen i andret retning altså jæn, i pæn oerensstemmelse med at der ingen kraft er i den retning husk Newtons 1. lo!

3 Erik Vestergaard 3 Opgaer Nedenfor et par tilhørende opgaer til emnet det skrå kast. Det er oplagt at anende et CAS-ærktøj, for eksempel Maple. Opgae1 En frygtet tank fra. erdenskrig er den tyske Tigertank. Den hade en kanon med betegnelsen 8,8 cm KwK 36 L/56. Projektilets mundingshastighed ar 81 m/s. Vi antager, at løbets højde oer jorden er meter og at løbet indstilles, så det danner en inkel på 1 grader med andret. I det følgende ser i også bort fra luftmodstand på trods af, at det er urealistisk i dette tilfælde. (NB! Figuren er ikke et billede af omtalte tank). a) Hor langt ude er projektilet i andret retning, og hor højt oer jorden er projektilet efter 1 sekund? Bestem også partiklens fart til dette tidspunkt. b) Bestem stighøjden, altså den maksimale højde projektilet opnår. Bestem desuden, hor langt ude (andret), projektilet opnår den maksimale højde samt tidspunktet, hor det sker. c) Bestem kastelængden, altså den afstand projektilet når ud på samt tidspunktet for nedslaget. d) Bestem hastighedsektoren samt farten umiddelbart før nedslaget. e) Tegn banekuren for projektilet. Oerej at sørge for at 1 meter på x- og y-akse ises lige store. Hjælp til opgae 1 Under løsningen er det fornuftigt at definere nogle funktioner: Kald stedfunktionens første koordinat for x( t ) og dens anden koordinat for y( t ). Dermed kan hastighedsektorens koordinater defineres ed x( t) : = x ( t) og y( t) : = y ( t). Normalt regnes med enheder, men når man har at gøre med funktioner, er det fornuftigst at undlade enheder og lade det ære underforstået, at størrelserne er i SI-enheder. Farten er defineret som længden af hastighedsektoren: ( t) : = ( x( t)) + ( y ( t)). I delspørgsmål b) og c): Had er det, som karakteriserer de to punkter? Man kan sige noget om enten stedfunktionen eller hastighedsfunktionen

4 4 Erik Vestergaard Opgae Basketball spilleren Michael Jordan skal sende et straffekast i kuren. Hans andrette afstand til kuren er 3,96 m og kurens kant befinder sig 3,5 m oer jorden. Michael Jordan kaster med en inkel på 35 grader i forhold til andret (eleationen) og bolden forlader hans hånd i en højde af,3 m. Hor meget fart skal han gie bolden, så den lige netop rammer ned i kuren? Igen ses der bort fra luftmodstand. Hjælp til opgae Man kan opstille to ligninger med to ubekendte og på CAS-ærktøjet til at løse dem.

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik

En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Af (f. 1970) er cand.scient i fysik fra Niels Bohr Institutet i 2000. Artiklen bygger på hans speciale. I dag arbejder han som softwareudikler på Danmarks

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer

Mekanik. Notecentralen. - Indledende niveau - Uden differentialregning. Ole Trinhammer Notecentralen Mekanik - Indledende niveau - Uden differentialregning Ole Trinhammer. udgave af første 3 kapitler af Amtrup og Trinhammer Obligatorisk Fysik, Gyldendal Indhold Forord 1 Gode råd til eleven

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk.

I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk. I dette tillæg skal vi se på almindelig procentregning. Der er forskellige typer opgaver, der kan stilles, og vi vil behandle dem systematisk. 0B1. Omregning mellem procenter og kommatal Ordet procent

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Vinkelmåling med sekstant

Vinkelmåling med sekstant Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt

Læs mere

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger.

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger. Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen At bestemme kvartilsæt Indhold - At finde kvartilsæt i ikke-grupperet datamateriale (link til dokumentet her) - At bestemme kvartilsæt ved hjælp af Excel (link til

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Afstande Afstande i universet

Afstande Afstande i universet Side 1 Til læreren i universet Her får man en fornemmelse af rummeligheden i universet at stjernerne ikke, som antaget i Middelalderen, sidder på indersiden af en kugleflade, men i stedet er spredt i rummet

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Introduktion til den specielle relativitetsteori

Introduktion til den specielle relativitetsteori Introduktion til den specielle relativitetsteori Mogens Dam Niels Bohr Institutet 18. september 2007 7. udgave Denne tekst søger for at dokumentet printer som tiltænkt Forord Denne indføring i den specielle

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Word-5: Tabeller og hængende indrykning

Word-5: Tabeller og hængende indrykning Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da

Læs mere

Trådløst LAN hvordan sikrer man sig?

Trådløst LAN hvordan sikrer man sig? Trådløst LAN hvordan sikrer man sig? Trådløse acces points er blevet så billige, at enhver der har brug for en nettilsluttet computer et andet sted end ADSL modemmet står, vil vælge denne løsning. Det

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere