Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2
|
|
- Sven Møller
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x = x i, i =,...,. Og opskriver så det duale problem (D): Maximize W = y y + y subject to y + y + y y y + y y + y y y y y Vi ser umiddelbart, at en dual feasible basis kunne være B = {4, 5, } (slackvariablene fra (P )). I denne er vores dual basic solution y B = (,, ), og vores basic solution til (P ) bliver så x B = (,,,,, ), som er infeasible! Vi skulle så gerne bevæge os hen mod en feasible solution i stedet, når vi optimerer. (ii) Da y B = (,, ), er s B = (,,,,, ), dvs. B er dual feasible iflg. Definition, Lecture. For at løse (P ) med dual simplex opskriver vi vores simplextableau som i noterne, idet vi anvender koefficienterne fra (P ) og ganger
2 alle koefficienter med - (hvilket medfører, at vi får nogle negative RHS og enhedsvektorer under vores basisvektorer fra (D)): B Z x x x x 4 x 5 x RHS R Z R x 4 R x 5 R4 x Vi identificerer nu største negative RHS, som bliver den variabel, det bedst kan betale sig at tage ud af basis og ser, at dette er x 4 med -. Vi skal så finde mindste δ som følgende: δ = min }, sb, sb ā, ā, { sb ā, { = min,, } =, dvs. vi pivoterer x 4 ud af basen og x ind i stedet for og får så vores nye basis B = {, 5, } med y B = (,, ), x B = (,,,,, ). Vores nye simplextableau fremkommer så ved følgende rækkeoperationer, der udføres for at skaffe og en enhedsvektor under x : R, R R, R R, R R4 : B Z x x x x 4 x 5 x RHS R Z R x R x 5 4 R4 x 5 Vi identificerer nu største negative RHS, som bliver den variabel, det bedst kan betale sig at tage ud af basis og ser, at dette er x 5 med -. Vi skal så finde mindste δ som følgende: δ = min { sb ā, ā,, sb } { = min 4, } = 5, dvs. vi pivoterer x 5 ud af basen og x ind i stedet for og får så vores nye basis B = {,, } med = (5, 5, ), x B = (, /, /,,, /). Vores nye simplextableau fremkommer så ved følgende rækkeoperationer, der udføres for at skaffe og en enhedsvektor under x : / R, R R, R R, R R4 : B Z x x x x 4 x 5 x RHS R Z R x / / / R x / / / R4 x / / / Vi ser nu, at da vi ingen negative RHS har tilbage, er vores basis B = {,, } optimal med x B = (, /, /,,, /), = (5, 5, ) og W (x B ) = Z(x B ) = 5. Dette gælder både for (P ) og (D), da løsningen er feasible for både (P ) og (D) (jævnfør svag dualitet). (???)
3 (iii) Sensitivitetsanalyse - Ændringer i right hand sides: Vi anvender metoden fra noterne (Lecture 7, Example ) og opstiller nogle nødvendige størrelser (mht. (P )): A B = A B = / / / / / /, b = Vi ser nu på ændringer på RHS en af gangen fra toppen ved at tilføje et δ (en vilkårlig ændring) til værdien i RHS og skal løse j B a j x j = b, hvor b er de ændrede RHS, for at finde vores nye basic solution, som vi derefter skal tjekke, om stadig er feasible: δ x δ x δ x : Vi regner: A B x x x x B x B x B = b + = δ x / / / x B x B x B + δ x / / / = A = B b + δ x A B / + δ x / / + δ x / / + δ x /., dvs. når δ x (δ x [ ; [), er vores basis B stadig optimal. : Samme fremgangsmåde (derfor viser vi blot resultatet): x B x B x B = A B b + δ x A B = / δ x / / + δ x / / δ x / dvs. når δ x, er vores basis B stadig optimal. : Igen samme fremgangsmåde: x B x B x B = A B b + δ x A B = / + / + / δ x,, dvs. når δ x / (δ x ] ; /]), er vores basis B stadig optimal. - Ændringer i objektfunktionens koefficienter: Vi skynder os her at bemærke, at objektfunktionens værdier i (P ) svarer til RHS i (D), derfor kan vi uden videre anvende ovenstående på (D) s RHS med følgende størrelser (hentet fra (D)): Ã B = Ã B = / / / / / /, c =.
4 δ y : Vi regner: δ y à B y y y = = c + / 7/ / δ y + δ y / / / = à = dvs. når 55 δ y, er vores basis B stadig optimal. : Samme fremgangsmåde (derfor viser vi blot resultatet): B c + δ y à B / + δ y / 7/ + δ y /, / δ y / = à B c + δ y à B = / δ y / 7/ + δ y / / + δ y /, δ y dvs. når δ y, er vores basis B stadig optimal. : Igen samme fremgangsmåde: = à B c + δ y à B = / + 7/ + / + δ y, dvs. når δ y / (δ y [ /; [), er vores basis B stadig optimal. - Ændringer i ikke-basiskoefficienter: Vi følger igen et eksempel fra noterne (Lecture 7, Example ), dog vil vi se generelt på ændringer i ikke-basisvariable én for én i stedet for en konkret ændring. Vi vil anvende følgende notation: j (ændring af objektfunktionskoefficient c j for variabel j), δ i,j (ændring af variabel j, koefficient i i søjlen a j). Altså skal vi jævnfør eksemplet opstille udtrykkene a j + δ,j δ,j δ,j c i + j, j N = {, 4, 5}. Ud fra disse udtryk kan man så ændre en eller flere δ/ -variable (og sætte de andre til ) og se, om udtrykket på venstresiden er mindre end eller lig højresiden. I bekræftende fald forbliver x B optimal, i afkræftende fald kan det betale sig at skifte basis, hvorved løsningen kan optimeres. x : + δ, + δ, + δ, (5, 5, ) + 5δ, + 5δ,. x 4 : + δ,4 + δ,4 + δ,4 (5, 5, ) + 4 5δ, + 5δ,
5 x 5 : + δ,5 + δ,5 + δ,5 (5, 5, ) + 5 5δ, + 5δ, 5 5. Opgave (a) Vi formulerer transportproblemet (P ): Minimize (, 7, 45, 55,,...,, 47)(x,, x,,..., x,5 ) T = Z subject to x, x, x, =. x,5 med x i,j, i {,, }, j {,..., 5}. Og dets duale (D): 5 5 9, Maximize (5,, 5,,, 9,, )(u, u, u, v, v, v, v 4, v 5 ) T = W subject to 7 u 45 u 55 u =,. v med u i, v j, i {,, }, j {,..., 5}. (b) For at identificere en dual basic solution, anvender vi North-West -reglen: 5
6 B 4 5 Supply: Demand: 9 Z = 7 Ud fra dette tableau får vi vores initiale basis og basic feasible solution: B = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 4), (, 5)} x B = (, 4,,,,,, 9,,,,,, 7, ). (c) Nedenstående er en tegning af vores initiale basic solution (dens spanning tree): s s d d Figur : Spanning tree hørende til initial basis B (d)-(h) For at finde den tilhørende dual basic solution, sætter vi de korresponderende uligheder i det duale problem til ligheder, og eftersom det er et transportproblem, vi har med at gøre, kan vi sætte én af variablene til og så løse mht. de andre. I vores tilfælde vælger vi u =. Dette giver følgende ligninger: u + v = u + v = 7 u + v = 7 u + v = u + v 4 = 49 u + v 4 = u + v 5 = 47 u B = (,, ) og v B = (7, 7,, 49, 5). Vores reduced costs er givet ved ri,j B nedenfor: = c i,j u B i v B j B 4 5 u i v j og kan ses i tabellen
7 Vi ser nu, at variablen x, har største negative reduced cost (-4), altså tages denne ind i basis. For at finde ud af, hvilken vi skal have ud, tegner vi den cykel, der nu er opstået (se Figur ): s δ δ d d s 4 9 d d s + δ 7 δ s 7 Figur : Pivoteringscykel til B Figur : Spanning tree til B Vi ser nu, at for at få størst mulige δ, vælger vi δ = 7 og sender variablen x,4 ud af basis. Med de rette opdateringer får vi vores nye basis B og basic solution x B : B = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, 5)} x B = (, 4,,,,,, 9,,,, 7,,, ), som er illustreret i Figur, hvilket giver følgende tableau: B 4 5 Supply: Demand: 9 Z = 95 For at finde den tilhørende dual basic solution, sætter vi igen de korresponderende uligheder i det duale problem til ligheder, sætter én af variablene til og løser mht. de andre. Vi vælger igen u = : u + v = u + v = 7 u + v = 7 u + v = u + v 4 = 49 u + v = u + v 5 = 47 u B = (,, ) og v B = (7, 7,, 49, 59). Vores reduced costs er givet ved ri,j B nedenfor: = c i,j u B i v B j og kan ses i tabellen B 4 5 u i v j
8 Vi ser nu, at variablen x, har største negative reduced cost (-9), altså tages denne ind i basis. For at finde ud af, hvilken vi skal have ud, tegner vi den cykel, der nu er opstået (se Figur 4): s 4 δ + δ δ 9 δ d d s d d s s 7 Figur 4: Pivoteringscykel til B Figur 5: Spanning tree til B Vi ser nu, at for at få størst mulige δ, vælger vi δ = 4 og sender variablen x, ud af basis. Med de rette opdateringer får vi vores nye basis B og basic solution x B : B = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, 5)} x B = (,, 4,,,, 5, 5,,,, 7,,, ), som er illustreret i Figur 5, hvilket giver følgende tableau: B 4 5 Supply: Demand: 9 Z = 9 For at finde den tilhørende dual basic solution, sætter vi igen de korresponderende uligheder i det duale problem til ligheder, sætter én af variablene til og løser mht. de andre. Vi vælger igen u = : u + v = u + v = 45 u + v = 7 u + v = u + v 4 = 49 u + v = u + v 5 = 47 u B = ( 5,, ) og v B = (7, 7,, 49, 59). Vores reduced costs er givet ved ri,j B nedenfor: = c i,j u B i v B j og kan ses i tabellen B 4 5 u i v j
9 Vi ser nu, at variablen x, har største negative reduced cost (-7), altså tages denne ind i basis. For at finde ud af, hvilken vi skal have ud, tegner vi den cykel, der nu er opstået (se Figur ): s δ δ 4 + δ 5 δ d d s d d s s 7 Figur : Pivoteringscykel til B Figur 7: Spanning tree til B 4 Vi ser nu, at for at få størst mulige δ, vælger vi δ = 5 og sender variablen x, ud af basis. Med de rette opdateringer får vi vores nye basis B 4 og basic solution x B4 : B 4 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, 5)} x B4 = (,, 9,,, 5, 5,,,,, 7,,, ), som er illustreret i Figur 7, hvilket giver følgende tableau: B Supply: Demand: 9 Z = 4 For at finde den tilhørende dual basic solution, sætter vi igen de korresponderende uligheder i det duale problem til ligheder, sætter én af variablene til og løser mht. de andre. Vi vælger igen u = : u + v = u + v = 45 u + v = 7 u + v = 9 u + v 4 = 49 u + v = u + v 5 = 47 u B4 = (,, ) og v B4 = (9, 7, 5, 49, 59). Vores reduced costs er givet ved ri,j B4 nedenfor: = c i,j u B4 i v B4 j og kan ses i tabellen B u i v j
10 Vi ser nu, at variablen x,5 har største negative reduced cost (-), altså tages denne ind i basis. For at finde ud af, hvilken vi skal have ud, tegner vi den cykel, der nu er opstået (se Figur ): s s 5 δ 7 + δ δ δ d d s s d d Figur : Pivoteringscykel til B 4 Figur 9: Spanning tree til B 5 Vi ser nu, at for at få størst mulige δ, vælger vi δ = 5 og sender variablen x, ud af basis. Med de rette opdateringer får vi vores nye basis B 5 og basic solution x B5 : B 5 = {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, ), (, 5)} x B5 = (,, 9,,, 5,,,, 5,,,,, ), som er illustreret i Figur 9, hvilket giver følgende tableau: B Supply: Demand: 9 Z = 9 For at finde den tilhørende dual basic solution, sætter vi igen de korresponderende uligheder i det duale problem til ligheder, sætter én af variablene til og løser mht. de andre. Vi vælger igen u = : u + v = u + v = 45 u + v 5 = 5 u + v = 9 u + v 4 = 49 u + v = u + v 5 = 47 u B5 = (,, 9) og v B5 = (9, 75, 5, 49, 5). Vores reduced costs er givet ved ri,j B5 nedenfor: = c i,j u B5 i v B5 j og kan ses i tabellen B u i v j
11 Vi ser nu, at variablen x, har største negative reduced cost (-), altså tages denne ind i basis. For at finde ud af, hvilken vi skal have ud, tegner vi den cykel, der nu er opstået (se Figur ): s s 5 δ δ 5 + δ d d s s 9 d d δ Figur : Pivoteringscykel til B 5 Figur : Spanning tree til B Vi ser nu, at for at få størst mulige δ, vælger vi δ = og sender variablen x,5 ud af basis. Med de rette opdateringer får vi vores nye basis B og basic solution x B : B = {(, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, ), (, )} x B = (,, 9,,,,,,,,,,,, ), som er illustreret i Figur, hvilket giver følgende tableau: B 4 5 Supply: Demand: 9 Z = For at finde den tilhørende dual basic solution, sætter vi igen de korresponderende uligheder i det duale problem til ligheder, sætter én af variablene til og løser mht. de andre. Vi vælger igen u = : u + v = u + v = 45 u + v 5 = 5 u + v = 9 u + v 4 = 49 u + v = u + v = 59 u B = (,, ) og v B = (9, 7, 5, 49, 5). Vores reduced costs er givet ved ri,j B nedenfor: = c i,j u B i v B j og kan ses i tabellen B 4 5 u i v j
12 Vi ser nu, at da vi ingen negative reduced costs har tilbage, er B optimal med optimal løsning x B og Z(x B ) =.
Ugeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mereChapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative
Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mere4. Simplexmetoden. Basisløsning. x Geometrisk hovedindhold
4.1. Geometrisk hovedindhold 4. Simplexmetoden 4.1. Geometrisk hovedindhold 4.2. Opstart 4.3. Algebraisk form 4.4. Tableauform 4.5. Løse ender 4.6. Kunstige variabler og tofasemetoden 4.7. Postoptimale
Læs mereSimplex metoden til løsning af LP
Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereNoter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ
Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang
Læs mereChapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP
Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation
Læs mereChapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereSamtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereMASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært
Læs mereNoter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ
Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 4. november 013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang
Læs merematematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Læs mereDM559/DM545 Linear and integer programming
Department of Mathematics and Computer Science University of Southern Denmark, Odense June 10, 2017 Marco Chiarandini DM559/DM545 Linear and integer programming Sheet 12, Spring 2017 [pdf format] The following
Læs mereOperationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye
OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereOperationsanalyse. Hans Keiding
Operationsanalyse Hans Keiding Forord 7 Kapitel 1. Hvad er Operationsanalyse? 9 1. Indledning 9 2. Operationsanalysens historie 10 3. Operationsanalytiske problemer og metode 10 4. Litteratur 12 Kapitel
Læs mereOptimering i Moderne Portefølje Teori
Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT
Læs mereLineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen
Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereDM559/DM545 Linear and integer programming
Department of Mathematics and Computer Science University of Southern Denmark, Odense June 10, 2017 Marco Chiarandini DM559/DM545 Linear and integer programming Sheet 12, Spring 2017 [pdf format] The following
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereM=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant
M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)
Læs mereOptimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115
Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereLinear Programming ١ C H A P T E R 2
Linear Programming ١ C H A P T E R 2 Problem Formulation Problem formulation or modeling is the process of translating a verbal statement of a problem into a mathematical statement. The Guidelines of formulation
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereG r u p p e G
M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereOperationsanalyse MØK
Operationsanalyse MØK 2015II Eksamensopgave, Rettevejledning, side 1 Operationsanalyse MØK Eksamensopgave, 4. januar 2016 Rettevejledning 1. Vi har at gøre med et transportproblem, der kan skrives på formen
Læs mereKapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000
Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL 2018 MATEMATIK. Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 1p MATEMATIK tirsdag den 10. april 2018 Kl. 09.00 12.00 Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 1 time kun med den centralt udmeldte formelsamling. Delprøve 2: 2 timer med alle
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereForløb om undervisnings- differentiering. Elevark
Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet
Læs mereMatematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.
Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.
Læs mereArbejdsudbudsrelationen II
Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Steen Bocian 8. september 1994 Arbejdsudbudsrelationen II Resumé: Dette papir bygger direkte på et tidligere modelgruppepapir om samme emne. Ideen med dette
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereTabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret på søjlegenerering
Institut for Regnskab, Finansiering og Logistik Kandidatafhandling Forfattere: Anders K. Knudsen Jutta J. Jørgensen Vejleder: Jens Lysgaard Tabusøgning til effektivisering af eksakt VRP algoritme baseret
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mereØkonomisk Kandidateksamen Makro 1, 2. årsprøve, efterårssemestret 2006
Økonomisk Kandidateksamen Makro 1, 2. årsprøve, efterårssemestret 2006 (Tre-timers prøve uden hjælpemidler) Alle spørgsmål ønskes besvaret. Ved vurderingen vægter alle delspørgsmål lige meget. Opgave 1
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereForbrug og selskabernes formue
Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Ralph Bøge Jensen 5. juli 213 Dan Knudsen Forbrug og selskabernes formue Resumé: Dette papir behandler en af de udfordringer, der er opstået ved at opsætte
Læs mereStart Excel Du skal starte med at åbne Excel. I Excel åbner du herefter en tom projektmappe.
Lineær programmering i Excel Version for PC I lærebogens kapitel 29 afsnit 4 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere knappe
Læs mereOperationsanalyse, Ordinær Eksamen 2017I Rettevejledning
Operationsanalyse, Ordinær Eksamen 207I Rettevejledning Opgave A Ifølge de givne oplysninger skal der ialt udbringes 000 kg gødning i årets løb. Det fremgår videre af teksten, at der ønskes udbragt en
Læs mereVejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken
- 1 - Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken Introduktion Input-output tabellerne er konsistente med nationalregnskabet og udarbejdes i tilknytning hertil. De opdateres årligt i december
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereVideregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereHvede Byg Rug Roer Kløver 3500 2000 2500 4000 1000
Opgave En landmand dyrker et areal på 35 ha. Af disse er højst 80 ha. egnede til dyrkning af hvede; 00 ha. til byg; 75 ha. til rug; 90 ha. til roer og 45 ha. til kløver. På grund af begrænset maskinkapacitet
Læs mereLINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL
LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere
Læs mereRegneeksempel for forholdet mellem enkeltkøbspriser og pakkepriser
3. november 0 Regneeksempel for forholdet mellem enkeltkøbspriser og pakkepriser I notatet gennemgås en beregningsmodel, der kan give en fornemmelse af de prismæssige konsekvenser af at gå fra et tv-marked
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved hver opgave. Den skriftlige
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mere2. Funktioner af to variable
. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum
Læs mereEksportørgevinst i eksportrelationen
Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Ivanna Blagova 4. maj 2016 Eksportørgevinst i eksportrelationen Resumé: Nogle muligheder for at inkludere eksportørgevinst i eksportrelationen er undersøgt.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mere