Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
|
|
- Karl Larsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Oversigt 1 Eksempel, Areal af plader 2 Introduction to bootstrap One-sample konfidensinterval for µ for en vilkårlig fordeling 3 One-sample konfidensinterval for µ Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Motivation Mange relevant beregningsstørrelser ("computed features") har komplicerede samplingfordelinger: Et trimmed gennemsnit Medianen Fraktiler generelt, dvs. f.eks. også IQR= Q 3 Q 1 Variationkoefficienten Enhver ikke-lineær function af en eller flere input variable (Spredningen) Data/populations fordelingen kan være ikke-normal, hvilket komplicerer den statistiske teori for selv en simpel gennemsnitsberegning Vi kan HÅBE på the magic of CLT (Central Limit Theorem) MEN men: Vi kan aldrig være helt sikre på om det er godt nok - simulering kan gøre os mere sikre! Kræver: Brug af computer - R er et super værktøj til dette! (Pseudo)tilfældige tal genereret af en computer En tilfældighedsgenerator er en algoritme der kan generere x i+1 ud fra x i En sekvens af tal "ser tilfældige ud Kræver en "start - kaldet "seed.(bruger typisk uret i computeren) Grundlæggende simuleres den uniforme fordeling, og så bruges: Hvis U Uniform(0, 1) og F er en fordelingsfunktion for en eller anden sandsynlighedsfordeling, så vil F 1 (U) følge fordelingen givet ved F Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
2 Eksempel: Exponentialfordelingen med λ = 0.5: I praksis i R Uniforme udfald F (x) = x 0 f(t)dt = 1 e 0.5x Exponentielle udfald De forskellige fordelinger er gjort klar til simulering: rbinom Binomialfordelingen rpois Poissonfordelingen rhyper Den hypergeometriske fordeling rnorm Normalfordelingen rlnorm Lognormalfordelingen rexp Eksponentialfordelingen runif Den uniforme(lige) fordeling rt t-fordelingen rchisq χ 2 -fordelingen rf F-fordelingen Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Eksempel, Areal af plader Eksempel, Areal af plader Eksempel, Areal af plader En virksomhed producerer rektangulære plader. Længden af pladerne (i meter), X, antages at kunne beskrives med en normalfordeling N(2, ) og bredden af pladerne (i meter), Y, antages at kunne beskrives med en normalfordeling N(3, ). Man er interesseret i arealet, som jo så givet ved A = XY. Hvad er middelarealet? Hvad er spredningen i arealet fra plade til plade? Hvor ofte sådanne plader har et areal, der afviger mere end 0.1m 2 fra de 6m 2? Sandsynligheden for andre mulige hændelser? Generelt: Hvad er sandsynlighedsfordelingen for A? Eksempel, Løsning ved simulering set.seed(345) k = # Number of simulations X = rnorm(k, 2, 0.01) Y = rnorm(k, 3, 0.02) A = X*Y mean(a) ## [1] sd(a) ## [1] mean(abs(a-6)>0.1) ## [1] Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
3 Fejlophobning - ved simulering Har brug for at finde: σ 2 f(x 1,...,X n) = Var(f(X 1,..., X n )) Vi kender allerede: σ 2 f(x 1,...,X n) = n a 2 i σi 2, if f(x 1,..., X n ) = i=1 Method 4.6: for ikke-lineære funktioner: n ( ) f 2 σf(x 2 1,...,X n) σi 2 x i i=1 n a i X i i=1 Method 4.7: Error propagation by simulation Assume we have actual measurements x 1,..., x n with known/assumed error variances σ 2 1,..., σ2 n. 1 Simulate k outcomes of all n measurements from assumed error distributions, e.g. N(x i, σi 2 ): X(j) i, j = 1..., k 2 Calculate the standard deviation directly as the observed standard deviation of the k simulated values of f: s sim f(x 1,...,X = 1 k n) (f j k 1 f) 2 where i=1 f j = f(x (j) 1,..., X(j) n ) Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Eksempel, fortsat Eksempel, fortsat Vi har allerede brugt simulerings-metoden i første del af eksemplet. To konkrete målinger for X og Y, er givet: x = 2.05m og y = 2.99m. Hvad er "fejlen" på A = = 6.00 fundet ved den ikke-lineære fejlophobningslov? Varianserne er: σ 2 1 = V ar(x) = og σ 2 2 = V ar(y ) = Funktionen og de afledede er: f(x, y) = xy, f f = y, x y = x Så resultatet bliver: V ar(a) ( ) f 2 σ1 2 + x ( ) f 2 σ2 2 y Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 = y 2 σ x 2 σ 2 2 = = Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
4 Eksempel 1, fortsat Areal-eksempel et summary Faktisk kan man finde variansen for A = XY teoretisk: Var(XY ) = E [ (XY ) 2] [E(XY )] 2 = E(X 2 )E(Y 2 ) E(X) 2 E(Y ) 2 = [ Var(X) + E(X) 2] [ Var(Y ) + E(Y ) 2] E(X) 2 E(Y ) 2 = Var(X)Var(Y ) + Var(X)E(Y ) 2 + Var(Y )E(X) 2 = = = Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Tre forskellige approaches: 1 Simuleringsbaseret 2 Teoretisk udledning 3 Den analytiske, men approksimative, error propagation metode The simulation approach has a number of crucial advantages: 1 It offers a simple tool to compute many other quantities than just the standard deviation (the theoretical derivations of such other quantities could be much more complicated than what was shown for the variance here) 2 It offers a simple tool to use any other distribution than the normal, if we believe such better reflect reality. 3 It does not rely on any linear approximations of the true non-linear relations. Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Introduction to bootstrap One-sample konfidensinterval for µ Bootstrapping Bootstrapping findes i to versioner: 1 Parametrisk bootstrap: Simuler gentagne samples fra den antagede (og estimerede) fordeling. 2 : Simuler gentagne samples direkte fra data. Eksempel: Konfidensinterval for middelværdien i en Antag at vi har observeret følgende 10 opkaldsventetider (i sekunder) i et call center: Vi estimerer fra data: 32.6, 1.6, 42.1, 29.2, 53.4, 79.3, 2.3, 4.7, 13.6, 2.0 ˆµ = x = og dermed er raten: ˆλ = 1/26.08 = Vores fordelingsantagelse: Ventetiderne kommer fra en Hvad er konfidensintervallet for µ? Baseret på tidligere indhold i dette kursus: Det ved vi ikke! Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
5 One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Konfidensinterval for middelværdien i en One-sample konfidensinterval for µ Example: Konfidensinterval for middelværdien i en ## Set the number of simulations: ## 1. Simulate 10 exponentials with the right mean k times: set.seed(9876) simsamples <- replicate(k, rexp(10, 1/26.08)) ## 2. Compute the mean of the 10 simulated observations k times: simmeans <- apply(simsamples, 2, mean) ## 3. Find the two relevant quantiles of the k simulated means: quantile(simmeans, c(0.025, 0.975)) ## hist(simmeans, col="blue", nclass=30) Histogram of simmeans Frequency Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, simmeans Forelæsning 7 Efteråret / 43 Eksempel: Konfidensinterval for medianen i en Antag at vi har observeret følgende 10 opkaldsventetider (i sekunder) i et call center: Vi estimerer fra data: 32.6, 1.6, 42.1, 29.2, 53.4, 79.3, 2.3, 4.7, 13.6, 2.0 Vores fordelingsantagelse: Median = 21.4 og ˆµ = x = Ventetiderne kommer fra en Hvad er konfidensintervallet for medianen? Baseret på tidligere indhold i dette kursus: Det ved vi ikke! Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Eksempel: Konfidensinterval for medianen i en ## Set the number of simulations: ## 1. Simulate 10 exponentials with the right mean k times: set.seed(9876) simsamples <- replicate(k, rexp(10, 1/26.08)) ## 2. Compute the median of the n=10 simulated observations k times: simmedians <- apply(simsamples, 2, median) ## 3. Find the two relevant quantiles of the k simulated medians: quantile(simmedians, c(0.025, 0.975)) ## Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
6 Eksempel: Konfidensinterval for medianen i en hist(simmedians, col="blue", nclass=30) Frequency Histogram of simmedians Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til simmedians Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Konfidensinterval for en vilkårlig beregningsstørrelse Method 4.10: Confidence interval for any feature θ by parametric bootstrap Assume we have actual observations x 1,..., x n and assume that they stem from some probability distribution with density f. 1 Simulate k samples of n observations from the assumed distribution f where the mean a is set to x. 2 Calculate the statistic ˆθ in each of the k samples ˆθ 1,..., ˆθ k. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [ ] q100(α/2)%, q 100(1 α/2)% a And otherwise chosen to match the data as good as possible: Some distributions have more than just a single mean related parameter, e.g. the normal or the log-normal. For these one should use a distribution with a variance that matches the sample variance of the data. Even more generally the approach would be to match the chosen distribution to the data by the so-called maximum likelihood approach Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 for en vilkårlig fordeling Et andet eksempel: 99% konfidensinterval for Q 3 for en normalfordeling ## Read in the heights data: x <- c(168, 161, 167, 179, 184, 166, 198, 187, 191, 179) n <- length(x) ## Define a Q3-function: Q3 <- function(x){ quantile(x, 0.75)} ## Set the number of simulations: ## 1. Simulate k samples of n=10 normals with the right mean and variance: set.seed(9876) simsamples <- replicate(k, rnorm(n, mean(x), sd(x))) ## 2. Compute the Q3 of the n=10 simulated observations k times: simq3s <- apply(simsamples, 2, Q3) ## 3. Find the two relevant quantiles of the k simulated medians: quantile(simq3s, c(0.005, 0.995)) ## 0.5% 99.5% ## Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Two-sample konfidensinterval for en vilkårlig feature sammenligning θ 1 θ 2 (inkl. µ 1 µ 2 ) Method 4.13: Two-sample confidence interval for any feature comparison θ 1 θ 2 by parametric bootstrap Assume we have actual observations x 1,..., x n and y 1,..., y n and assume that they stem from some probability distributions with density f 1 and f 2. 1 Simulate k sets of 2 samples of n 1 and n 2 observations from the assumed distributions setting the means a to ˆµ 1 = x and ˆµ 2 = ȳ, respectively. 2 Calculate the difference between the features in each of the k samples ˆθ x1 ˆθ y1,..., ˆθ xk ˆθ yk. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [ ] q100(α/2)%, q 100(1 α/2)% a As before Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
7 for en vilkårlig fordeling for en vilkårlig fordeling Eksempel: Konfidensinterval for the forskellen mellem to exponentielle middelværdier ## Day 1 data: x <- c(32.6, 1.6, 42.1, 29.2, 53.4, 79.3, 2.3, 4.7, 13.6, 2.0) ## Day 2 data: y <- c(9.6, 22.2, 52.5, 12.6, 33.0, 15.2, 76.6, 36.3, 110.2, 18.0, 62.4, 10.3) n1 <- length(x) n2 <- length(y) Eksempel: Konfidensinterval for the forskellen mellem to exponentielle middelværdier ## Set the number of simulations: ## 1. Simulate k samples of each n1=10 and n2=12 ## exponentials with the right means: set.seed(9876) simxsamples <- replicate(k, rexp(n1, 1/mean(x))) simysamples <- replicate(k, rexp(n2, 1/mean(y))) ## 2. Compute the difference between the simulated ## means k times: simdifmeans <- apply(simxsamples, 2, mean) - apply(simysamples, 2, mean) ## 3. Find the two relevant quantiles of the ## k simulated differences of means: quantile(simdifmeans, c(0.025, 0.975)) ## Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 for en vilkårlig fordeling Parametrisk bootstrap - et overblik - et overblik Vi antager en eller anden fordeling! To konfidensinterval-metodeboxe blev givet: One-sample Two-sample For any feature Method 4.10 Method 4.13 Vi antager IKKE noget om nogen fordelinger! To konfidensinterval-metodeboxe bliver givet: One-sample Two-sample For any feature Method 4.18 Method 4.20 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
8 One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug I et studie undersøgte man kvinders cigaretforbrug før og efter fødsel. Man fik følgende observationer af antal cigaretter pr. dag: før efter før efter Sammenlign før og efter! Er der sket nogen ændring i gennemsnitsforbruget! Et parret t-test setup, MEN med tydeligvis ikke-normale data! x1 <- c(8, 24, 7, 20, 6, 20, 13, 15, 11, 22, 15) x2 <- c(5, 11, 0, 15, 0, 20, 15, 19, 12, 0, 6) dif <- x1-x2 dif ## [1] mean(dif) ## [1] Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug - bootstrapping One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug - de ikke-parametrisk bootstrap resultater: t(replicate(5, sample(dif, replace = TRUE))) ## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] ## [1,] ## [2,] ## [3,] ## [4,] ## [5,] k = simsamples = replicate(k, sample(dif, replace = TRUE)) simmeans = apply(simsamples, 2, mean) quantile(simmeans, c(0.025,0.975)) ## Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
9 One-sample konfidensinterval for en vilkårlig feature θ (inkl. µ) Eksempel: Kvinders cigaretforbrug Method 4.18: Confidence interval for any feature θ by non-parametric bootstrap Assume we have actual observations x 1,..., x n. 1 Simulate k samples of size n by randomly sampling among the available data (with replacement) 2 Calculate the statistic ˆθ in each of the k samples ˆθ 1,..., ˆθ k. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [ ] q100(α/2)%, q 100(1 α/2)% Lad os finde 95% konfidensintervallet for ændringen af median cigaretforbruget k = simsamples = replicate(k, sample(dif, replace = TRUE)) simmedians = apply(simsamples, 2, median) quantile(simmedians, c(0.025,0.975)) ## -1 9 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Eksempel: Tandsundhed og flaskebrug I et studie ville man undersøge, om børn der havde fået mælk fra flaske som barn havde dårligere eller bedre tænder end dem, der ikke havde fået mælk fra flaske. Fra 19 tilfældigt udvalgte børn registrerede man hvornår de havde haft deres første tilfælde af karies. flaske alder flaske alder flaske alder nej 9 nej 10 ja 16 ja 14 nej 8 ja 14 ja 15 nej 6 ja 9 nej 10 ja 12 nej 12 nej 12 ja 13 ja 12 nej 6 nej 20 ja 19 ja 13 Find konfidensintervallet for forskellen! Eksempel: Tandsundhed og flaskebrug - et 95% konfidensinterval for µ 1 µ 2 ## Reading in no group: x <- c(9, 10, 12, 6, 10, 8, 6, 20, 12) ## Reading in yes group: y <- c(14,15,19,12,13,13,16,14,9,12) simxsamples <- replicate(k, sample(x, replace = TRUE)) simysamples <- replicate(k, sample(y, replace = TRUE)) simmeandifs <- apply(simxsamples, 2, mean)- apply(simysamples, 2, mean) quantile(simmeandifs, c(0.025,0.975)) ## Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
10 Two-sample konfidensinterval for θ 1 θ 2 (inkl. µ 1 µ 2 ) med ikke-parametrisk bootstrap Eksempel: Tandsundhed og flaskebrug - et 99% confidence interval for median-forskellen Method 4.20: Two-sample confidence interval for θ 1 θ 2 by non-parametric bootstrap Assume we have actual observations x 1,..., x n and y 1,..., y n. 1 Simulate k sets of 2 samples of n 1 and n 2 observations from the respective groups (with replacement) 2 Calculate the difference between the features in each of the k samples ˆθ x1 ˆθ y1,..., ˆθ xk ˆθ yk. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [ ] q100(α/2)%, q 100(1 α/2)% simxsamples <- replicate(k, sample(x, replace = TRUE)) simysamples <- replicate(k, sample(y, replace = TRUE)) simmediandifs <- apply(simxsamples, 2, median)- apply(simysamples, 2, median) quantile(simmediandifs, c(0.005,0.995)) ## 0.5% 99.5% ## -8 0 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Bootstrapping - et overblik Oversigt Vi har fået 4 ikke så forskellige metode-bokse 1 Med eller uden fordeling (parametrisk eller ikke-parametrisk) 2 For one- eller two-sample analyse (en eller to grupper) Bemærk: Middelværdier(means) er inkluderet i vilkårlige beregningsstørrelser (other features). Eller: Disse metoder kan også anvendes for andre analyser end for means! Hypotesetest også muligt Vi kan udføre hypotese test ved at kigge på konfidensintervallerne! 1 Eksempel, Areal af plader 2 Introduction to bootstrap One-sample konfidensinterval for µ for en vilkårlig fordeling 3 One-sample konfidensinterval for µ Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Efteråret / 43
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereKapitel 4: Statistik ved simulering. Kursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik.
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereForelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereenote 4: Statistik ved simulering Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mere1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereForelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)
Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereBasic statistics for experimental medical researchers
Basic statistics for experimental medical researchers Sample size calculations September 15th 2016 Christian Pipper Department of public health (IFSV) Faculty of Health and Medicinal Science (SUND) E-mail:
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereOversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote 2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Building 303B, Room 017 Danish Technical University 2800 Lyngby
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 16. august 2015 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, 02402 og 02593) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereGeneralized Probit Model in Design of Dose Finding Experiments. Yuehui Wu Valerii V. Fedorov RSU, GlaxoSmithKline, US
Generalized Probit Model in Design of Dose Finding Experiments Yuehui Wu Valerii V. Fedorov RSU, GlaxoSmithKline, US Outline Motivation Generalized probit model Utility function Locally optimal designs
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Oversigt 1 Motiverende eksempel - energiforbrug 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereVina Nguyen HSSP July 13, 2008
Vina Nguyen HSSP July 13, 2008 1 What does it mean if sets A, B, C are a partition of set D? 2 How do you calculate P(A B) using the formula for conditional probability? 3 What is the difference between
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 20. august 2017 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323 og 02402) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 8: Simpel lineær regression. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereDoodleBUGS (Hands-on)
DoodleBUGS (Hands-on) Simple example: Program: bino_ave_sim_doodle.odc A simulation example Generate a sample from F=(r1+r2)/2 where r1~bin(0.5,200) and r2~bin(0.25,100) Note that E(F)=(100+25)/2=62.5
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2013 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs merePARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU
PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU OUTLINE INEFFICIENCY OF ATTILA WAYS TO PARALLELIZE LOW COMPATIBILITY IN THE COMPILATION A SOLUTION
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereR i 02402: Introduktion til Statistik
R i 02402: Introduktion til Statistik Per Bruun Brockhoff DTU Informatik, DK-2800 Lyngby 20. juni 2011 Indhold 1 Anvendelse af R på Databar-systemet på DTU 5 1.1 Adgang......................................
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 10: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereOversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik
Læs mereHvorfor er det lige at vi skal lære det her?
Lektion 8 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereAlmindelige kontinuerte fordelinger
Almindelige kontinuerte fordelinger Den uniforme fordeling Symbol: X Uniform a,b Beskrivelse: Et tilfældigt tal mellem a og b. Støtte: V X a, b. Tæthedsfunktion: f x 1/ b a for x a,b Fordelingsfunktion:
Læs mereBasal statistik. 30. januar 2007
Basal statistik 30. januar 2007 Deskriptiv statistik Typer af data Tabeller Grafik Summary statistics Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereKlasseøvelser dag 2 Opgave 1
Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereIkke-parametriske tests
Ikke-parametriske tests 2 Dagens menu t testen Hvordan var det nu lige det var? Wilcoxson Mann Whitney U Kruskall Wallis Friedman Kendalls og Spearmans correlation 3 t-testen Patient Drug Placebo difference
Læs mereStatistik for MPH: 7
Statistik for MPH: 7 3. november 2011 www.biostat.ku.dk/~pka/mph11 Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: 333-365, 381-383) Per Kragh Andersen 1 Fra den 6. uges statistikundervisning:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereKvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer.
Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. What is a continuous variable? Give two illustrations. 2 Hvorfor kan man bedre drage konklusioner
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereVejledende studieplan for kvantitativ metode og statistik FYS 514 Modul 14 efteråret 2017
Vejledende studieplan for kvantitativ metode og statistik FYS 514 Modul 14 efteråret 2017 Generelle kommentarer. Undervisningen følger lærebogen og det må kraftigt anbefales at anskaffe denne. Bogen koster
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mere