Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X)."

Transkript

1 Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x {x}. Lad g : X P(X) være en injektion, og lad B X være givet ved B = {x X x / g(x)}. Da vil B P(X). Hvis der fandtes y X så g(y) = B, ville y B hvis og kun hvis y / g(y) = B, en modstrid. Altså kan g ikke være surjektiv, og der findes ingen bijektion X P(X). Supplerende opgave 1 Genopfrisk definitionen af følgende begreber fra metriske rum. Lad (M, d) være et metrisk rum, og lad A M være en fast delmængde. (i) Åbne og lukkede (afsluttede) delmængder af et metrisk rum. Vi siger, at A er åben hvis der gælder for alle a A, at der findes r > 0 således at K(a, r) := {x M d(x, a) < r} A. Et punkt x M kaldes et kontaktpunkt for A, hvis der gælder for alle r > 0 at K(x, r) A. Vi siger, at A er afsluttet hvis den indeholder alle sine kontaktpunkter. Afslutningen og det indre af en vilkårlig delmængde af et metrisk rum. Afslutningen af A M er mængden af alle kontaktpunkter for A og betegnes A. Vi lærte i Analyse 1, at A består af alle grænsepunkter for konvergente følger med elementer i A. Det indre A af A er mængden af indre punkter for A, altså de punkter a A hvortil der findes et r > 0 således at K(a, r) A. Vi har dermed, at A = A hvis og kun hvis A er afsluttet (pr. definition), og at A = A hvis og kun hvis A er åben (også pr. definition). (iii) En tæt delmængde af et metrisk rum. A er tæt i (M, d), hvis der gælder A = M. 1

2 (iv) Konvergent følge og Cauchy følge i metriske rum. Fortætningspunkt for en følge i et metrisk rum. Lad (x n ) n N være en følge af elementer i (M, d). Vi siger, at (x n ) = (x n ) n N konvergerer imod a M, hvis der for ethvert ε > 0 findes N N således at d(x n, a) < ε når n N (og dermed, at følgen (x n ) er konvergent med grænsepunkt a). Vi skriver da, at x n a for n. Følgen (x n ) kaldes en Cauchy-følge hvis der for ethvert ε > 0 findes N N således at d(x n, x m ) < ε når n, m N. Et punkt a M kaldes et fortætningspunkt for følgen (x n ) n 1, hvis der for en kugle omkring a findes uendeligt mange elementer fra følgen. Mere formelt skal der for ethvert r > 0 gælde, at {n N x n K(a, r)} er en uendelig delmængde af N. En ækvivalent definition er, at der findes en konvergent delfølge af (x n ) n 1 med a som grænsepunkt. (v) Fuldstændigt metrisk rum. Kompakt metrisk rum. Et metrisk rum (M, d) er fuldstændigt, hvis enhver Cauchy-følge i (M, d) er konvergent. Rummet (M, d) er kompakt, hvis enhver følge har et fortætningspunkt, eller ækvivalent, at enhver følge har en konvergent delfølge. (vi) Kontinuert afbildning mellem to metriske rum. Lad (N, d ) være et andet metrisk rum, og lad f : M N være en afbildning. Vi siger, at f er kontinuert i et punkt x M, hvis der for alle ε > 0 findes et δ > 0 således at f(k(x, δ)) K(f(x), ε). Med andre ord: hvis y K(x, δ) (dvs. d(x, y) < δ) skal f(y) K(f(x), ε) (dvs. d(f(x), f(y)) < ε). Afbildningen f kaldes kontinuert hvis f er kontinuert i alle punkter x M. En ækvivalent formulering (der er bedre fra et topologisk perspektiv) er følgende: f : (M, d) (N, d ) er kontinuert, hvis der for enhver åben delmængde B N gælder, at urbilledet f 1 (B) = {x M f(x) B} er en åben delmængde af M. Supplerende opgave 2 Afgør hvike af nedenstående udsag er sande hhv. falske. Giv et lille argument for din konklusion f.eks. i form af en henvisning til en sætning, et modeksempel eller lignende. (i) Enhver delmængde af en metrisk rum er enten åben eller afsluttet. Dette er noget vrøvl. Delmængden [0, 1) af R med den sædvanlige metrik er hverken åben eller afsluttet. Intervallet [0, 1] er foreningen af tælleligt mange åbne delmængder af R. Også noget vrøvl. Foreningen af tælleligt mange (og vilkårligt mange) åbne delmængder er åben, men [0, 1] er ikke åben (i den sædvanlige metrik), da fx 0 ikke er et indre punkt. 2

3 (iii) Intervallet [0, 1] er fællesmængden af tælleligt mange åbne delmængder af R. Dette er imidlertid sandt: lad A n [0, 1] = A n. = ( 1 n, n ) R for n N. Da er A n åben for alle n, og (iv) Hvis (x n ) n N er en Cauchy-følge i et metrisk rum (X, d) og hvis (x n ) n N har et fortætningspunkt x 0 X, da vil x n x 0. Dette er også sandt. Lad ε > 0. Da findes N N således at d(x n, x m ) < ε 2 for alle n, m N. Da x 0 N vil uendeligt mange punkter x n opfylde x n K(x 0, ε 2 ). Hvis n N, findes et m n således at ( x m K x 0, ε ). 2 Ellers ville der nemlig gælde at x m / K(x 0, ε 2 ) for alle m n, hvilket strider imod, at x 0 er et fortætningspunkt, da x m K(x 0, ε 2 ) så kun ville gælde for endeligt mange x m. Dermed vil så x n x 0 for n. (v) Ethvert fuldstændigt metrisk rum er kompakt. d(x n, x 0 ) d(x n, x m ) + d(x m, x 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε, Dette er falsk. (R, ) er fuldstændigt, men ikke kompakt, da fx følgen (x n ) n N med x n = n ikke har en konvergent delfølge. Vi ved også, at kompakte rum er begrænsede, hvilket R ikke er. (vi) Ethvert kompakt metrisk rum er fuldstændigt. Dette er imidlertid sandt. Lad (x n ) være en Cauchy-følge i (M, d), og lad (x np ) være en konvergent delfølge af (x n ) med grænsepunkt x 0. For ε > 0 findes N 1 N således at d(x np, x 0 ) < ε 2 for p N 1. Endvidere findes N 2 N så d(x n, x m ) < ε 2 for n, m N 2. Sæt N = max{n 1, N 2 }. For m N vil m N 1, hvormed d(x nm, x 0 ) < ε 2. Da n m m N 2, vil også gælde, at d(x m, x nm ) < ε 2, så så x n x 0 for n. (vii) d(x m, x 0 ) d(x m, x nm ) + d(x nm, x 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε, Hvis X er et metrisk rum med endeligt mange elementer, så er X kompakt. Dette er sandt. Lad (x n ) være en følge i X. Vi skal vise, at (x n ) har et fortætningspunkt. Lad X = {a 1,..., a m } være en nummerering af punkterne i X. Lad N i = {n N x n = a i }, i = 1,..., m. Da må m i=1 N i = N, så mindst én N i må være uendelig (ellers var N endelig... bøvs) for et i {1,..., m}. Lad i være et sådant. Da vil for alle r > 0 gælde, at N i = {n N x n = a i } {n N x n K(a i, r)}. Dermed må sidste mængde være uendelig, så a i er et fortætningspunkt for (x n ). 3

4 (viii) Hvis X er et metrisk rum og hvis der om A B X gælder, at A er tæt i B og B er tæt i X, da er A tæt i X. Dette er sandt. Vi har, at A = B og at B = X, og skal vise, at A = X. Vi har trivielt, så lad os vise : Lad x X og r > 0 være givet. Vi skal vise, at K(x, r) A. Da K(x, r 2 ) B, findes y B så d(x, y) < r 2. Da K(y, r 2 ) A, findes z A så d(y, z) < r 2. Dermed vil d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < r, så z A og z K(x, r), hvormed vi har det ønskede. (ix) Hvis X er et metrisk rum, og hvis A og B er tætte delmængder af X, da er A B en tæt delmængde af X. Dette er falsk. Tag fx X = R og lad A = Q og B = R \ Q. Da vil A og B være tætte i X, men A B = er ikke tæt i R. (x) Hvis X er et metrisk rum, og hvis A og B er åbne tætte delmængder af X, da er A B en tæt delmængde af X. Dette er sandt (det følger bl.a. af Baires sætning, som vi viste i Analyse 1). Tag x X og lad r > 0. Da er K(x, r) A åben og ikke-tom (da A er tæt i X), så der findes y K(x, r) A og r > 0 således at K(y, r ) K(x, r) A. Der findes nu et z B således at z K(y, r ) (da B er tæt), hvormed z K(y, r ) B (K(x, r) A) B = K(x, r) (A B). Altså er K(x, r) (A B) ikke tom, hvormed A B er tæt i X. (xi) Hvis X og Y er metriske rum og f : X Y er kontinuert, da gælder: (a) X er kompakt f(x) er kompakt. Dette er sandt. Lad (y n ) være en følge i f(x). Da findes x n X for hvert n så f(x n ) = y n. Da X er kompakt, har (x n ) en konvergent delfølge (x np ) med grænsepunkt x 0 X. Da f er kontinuert, vil y np = f(x np ) f(x 0 ) (dette ved vi fra Analyse 1), så (y n ) har altså en konvergent delfølge. Dermed er f(x) kompakt. (b) Y er kompakt f 1 (Y ) er kompakt. Dette gælder ikke. Hvis Y = {a} og X = R, og vi definerer f(x) = a for alle x R, vil f være kontinuert og Y være kompakt, men R = f 1 (Y ) er ikke kompakt. (c) X er fuldstændig f(x) er fuldstændig. Dette gælder ikke. Hvis X = R og Y = R og vi definerer f(x) = arctan(x), vil f være kontinuert og X være fuldstændig, men f(x) = ( π 2, π 2 ) er ikke fuldstændig (da den ikke er afsluttet). (d) A X f(a) f(a). Dette er sandt. Hvis x A, skal vi vise, at f(x) f(a). Lad derfor r > 0 og definér U = K(f(x), r) Y. Da U er åben, vil f 1 (U) være åben. Da f(x) U, vil x f 1 (U), så der findes s > 0 så K(x, s) f 1 (U). Da x A, vil nu gælde, at K(x, s) A er ikke-tom. Tag derfor y K(x, s) A. Da vil f(y) f(a) og y K(x, s) f 1 (U), hvormed f(y) U. Altså vil f(y) U f(a), så U f(a) = K(f(x), r) f(a) er ikke-tom, hvormed f(x) f(a). 4

5 (e) A X f(a) f(a). Dette gælder ikke. Lad X = R og Y = R og definér f(x) = arctan(x). Hvis A = R, vil f(a) = f(r) = ( π 2, π 2 ), men f(a) = [ π 2, π 2 ]. (Bemærk, at hvis vi havde restringeret Y til ( π 2, π 2 ), ville f være en homeomorfi.) Supplerende opgave 3 og (iii) Vis, at mængden B = {x R x 2 3x + 2 < 0} er overtællelig ( uncountable ). Vi indser hurtigt, at rødderne til x 2 3x + 2 er 1 og 2, hvormed B = (1, 2) (vi har fx, at x 2 3x + 2 er voksende på [ 3 2, ) og aftagende på (, 3 2 ]). Afbildningen g : (0, 1) B givet ved g(x) = x + 1 er bijektiv, så #B = #(0, 1). Hvis der fandtes en injektiv afbildning h: B N, ville h g : (0, 1) N også være injektiv (se Opgave 2.8 længere nede), i modstrid med Theorem 2.7. (iii) Vis, at mængden C = {x R x 2 + (n 1)x n = 0 for et eller andet n N} er tællelig. Bemærk først, at C = n N{x R x 2 + (n 1)x n = 0}. Rødderne for x 2 + (n 1)x n i x er 1 og n, så definerer vi A n = {1, n} for n N, har vi at C = n N A n. Det følger da af Theorem 2.6, at C er tællelig, da C er en tællelig forening af endelige (og dermed tællelige) mængder. 1.1 Se bogen for tegninger. Problemet er her, at de to trekanter i virkeligheden ikke er trekanter. Vi har to trekanter, navnlig en trekant med målene 2 5 og en med målene 3 8. Deres hypotenuser har ikke samme hældning ( ), og hvis vi placerer figuren med det større areal oven på den med det mindre, finder vi, at vi får en lille stribe henover den mindre, hvis areal netop er 1 (arealet af den lille firkant). 2.1 (Vi behøver ikke at besvare alle delspørgsmål i denne opgave.) Lad A, B, C X være mængder. Vis, at (i) A \ B = A B c. Vi har for alle x X, at (A \ B) \ C = A \ (B C). Vi har x A \ B x A og x / B x A og x B c x A B c. (A \ B) \ C = (A \ B) C c = (A B c ) C c = A (B c C c ) = A (B C) c = A \ (B C) som følge af (i) og de Morgans love. 5

6 (iii) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). Vi har A\(B \C) = A (B C c ) c = A (B c (C c ) c ) = A (B c C) = (A B c ) (A C) = (A\B) (A C) som følge af (i), de Morgans og de distributive love. (iv) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Vi har A \ (B C) = A (B C) c = A (B c C c ) = (A B c ) (A C c ) = (A \ B) (A \ C) som følge af (i), de Morgans og de distributive love. (v) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Vi har A \ (B C) = A (B C) c = A (B c C c ) = (A B c ) (A C c ) = (A \ B) (A \ C) som følge af (i) og de Morgans love. 2.2 Lad A, B, C X. Den symmetriske differens af A og B defineres som A B := (A \ B) (B \ A). Vis, at (A B C) \ (A B C) = (A B) (B C). Bemærk først, at A (A B C) c = A (A c B c C c ) = (A A c ) (A B c ) (A C c ) = (A B c ) (A C c ) = (A \ B) (A \ C). Tilsvarende gælder B (A B C) c = (B \ A) (B \ C) osv. Derfor vil (A B C) \ (A B C) = (A B C) (A B C) c Vi har, at = [A (A B C) c ] [B (A B C) c ] [C (A B C) c ] = (A \ B) (A \ C) (B \ A) (B \ C) (C \ A) (C \ B). A \ C = (A C c ) (B B c ) = (A C c B) (A C c B c ) (B C c ) (A B c ) = (B \ C) (A \ B) og tilsvarende C \ A (B \ A) (C \ B), så vi får som ønsket. (A B C) \ (A B C) = (A \ B) (A \ C) (B \ A) (B \ C) (C \ A) (C \ B) = (A \ B) (B \ A) (B \ C) (C \ B) = (A B) (B C), 6

7 2.3 Vis de Morgans love (2.2) og (2.3). Vi nøjes med at vise (2.3), da denne klart medfører (2.2). Lad (A i ) i I være en familie af delmængder af X. Da vil ( x i I A i)c x / i I for ethvert x X. Sidste gælder hvis og kun hvis x / A i for alle i I, thi ellers ville x A i for et eller andet i og dermed x i A i. Altså har vi ( x A c i. i I A i)c x / A i for alle i I x A c i for alle i I x i I Tilsvarende vil x / i I A i hvis og kun hvis der findes et i I så x / A i, thi ellers ville x A i for alle i og dermed x i A i. Altså vil ( x A c i. 2.4 (i) i I A i)c x / A i for et eller andet i I x A c i for et eller andet i I x i I Find eksempler som illustrerer, at f(a B) f(a) f(b) og f(a \ B) f(a) \ f(b). I begge relationer gælder en inklusion eller altid; hvilken? Definér f : {1, 2} {1} ved f(1) = f(2) = 1, og definér A = {1} {1, 2} og B = {2} {1, 2}. Da vil A B =, så f(a B) =. Imidlertid vil f(a) f(b) = {1}. Dette antyder, at f(a B) f(a) f(b) gælder (jf. den ledende formulering), og det er da også rigtigt: hvis y f(a B) for delmængder A, B X og f : X Y, findes x A B så f(x) = y. Da vil y = f(x) f(a) og y = f(x) f(b), så y f(a) f(b). Benytter vi den samme funktion og samme mængder, ser vi, at A \ B = {1}, så f(a \ B) = {1}. Imidlertid vil f(a) \ f(b) =. Man kunne derfor skyde på, at f(a \ B) f(a) \ f(b) gælder, og det gør det! Hvis y f(a)\f(b), findes x A så y = f(x). Hvis der også gjaldt, at x B, ville y = f(x) f(b), hvilket strider imod antagelsen, så x A \ B, hvormed y = f(x) f(a \ B). Vis for en funktion f : X Y og delmængder C, D, (C i ) i I Y, at ( ) f 1 C i = ( ) f 1 (C i ), f 1 C i = f 1 (C i ), f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D). i I i I i I i I A i Vi har, at x f 1 ( i I C i ) f(x) i I C i f(x) C i for et eller andet i I x f 1 (C i ) for et eller andet i I x i I f 1 (C i ), 7

8 samt x f 1 ( i I C i ) f(x) i I C i f(x) C i for alle i I x f 1 (C i ) for alle i I x i I f 1 (C i ) og x f 1 (C \ D) f(x) C \ D f(x) C og f(x) / D x f 1 (C) og x / f 1 (D) x f 1 (C) \ f 1 (D). 2.5 (Vi behøver ikke at besvare alle delspørgsmål i denne opgave.) Indikatorfunktionen for en mængde A X er defineret ved { 1 hvis x A 1 A (x) := 0 hvis x / A. Bemærk derfor for x X at x A hvis og kun hvis 1 A (x) = 1. Vis, at (i) 1 A B = 1 A 1 B. Vi har for x X, at 1 A B (x) = 1 x A B x A og x B 1 A (x) = 1 og 1 B (x) = 1 1 A (x)1 B (x) = 1, da 1 A (x)1 B (x) = 1 medfører, at hverken 1 A (x) = 0 eller 1 B (x) = 0. 1 A B = min{1 A + 1 B, 1}. Bemærk først, at A B = (A B) (A \ B) (B \ A). X er derfor en disjunkt forening af mængderne A B, A \ B, B \ A og (A B) c. Hvis x ligger i en af de tre første, vil 1 A B (x) = 1. Vi har også, at hvis x A B, vil 1 A (x) + 1 B (x) = 2, så min{1 A (x) + 1 B (x), 1} = 1; hvis x A \ B, vil 1 A (x) + 1 B (x) = 1, så min{1 A (x) + 1 B (x), 1} = 1; hvis x B \ A, vil 1 A (x) + 1 B (x) = 1, så min{1 A (x) + 1 B (x), 1} = 1. Altså vil 1 A B (x) = min{1 A (x) + 1 B (x), 1} for x A B. Hvis x / A B, vil x A c B c (de Morgans love), så 1 A B (x) = 0, og 1 A (x) + 1 B (x) = 0, hvormed min{1 A (x) + 1 B (x), 1} = 0. Altså slutter vi den ønskede lighed. (iii) 1 A\B = 1 A 1 A B. Lad os vise for disjunkte delmængder C, D X, at 1 C D = 1 C + 1 D. Vi har, at 1 C (x) + 1 D (x) 2 for alle x X, thi lighed for et x ville medføre, at 1 C (x) = 1 D (x) = 1, hvormed x C D (hvilket er umuligt). Altså må 1 C + 1 D 1, hvormed 1 C D = min{1 C + 1 D, 1} = 1 C + 1 D jf.. Da A \ B og A B er disjunkte med forening A, vil 1 A\B + 1 A B = 1 A, som ønsket. 8

9 (iv) 1 A B = 1 A + 1 B 1 A B. B og A \ B er disjunkte med forening A B. Derfor vil 1 A B = 1 B + 1 A\B = 1 A + 1 B 1 A B. (v) 1 A B = max{1 A, 1 B }. Vi har for x X, at max{1 A (x), 1 B (x)} = 1 hvis og kun hvis enten 1 A (x) = 1 eller 1 B (x) = 1, dvs. hvis og kun hvis x A eller x B og altså hvis og kun hvis x A B. (vi) 1 A B = min{1 A, 1 B }. Vi har for x X, at min{1 A (x), 1 B (x)} = 1 hvis og kun hvis både 1 A (x) = 1 og 1 B (x) = 1, dvs. hvis og kun hvis x A B. 2.6 (i) og Lad A, B, C X og lad A B betegne den symmetriske differens som i Opgave 2.2. Vis, at (i) 1 A B = 1 A + 1 B 2 1 A 1 B = 1 A + 1 B (mod 2). Vi har jf. Opgave 2.5 (iv), (iii) og (i), at 1 A B = 1 A\B + 1 B\A 1 (A\B) (B\A) = 1 A\B + 1 B\A = 1 A 1 A B + 1 B 1 B A = 1 A + 1 B 2 1 A 1 B, da A \ B og B \ A er disjunkte. Sidste udtryk er lig 1 A + 1 B (mod 2), da 2 altid går op i 2 1 A 1 B. (A B) C = A (B C). Vi benytter indikatorfunktioner. Vi har, at imens 1 (A B) C = 1 A B + 1 C 2 1 A B 1 C = 1 A + 1 B 2 1 A 1 B + 1 C 2 (1 A + 1 B 2 1 A 1 B )1 C = 1 A + 1 B + 1 C 2(1 A 1 B + 1 A 1 C + 1 B 1 C ) A 1 B 1 C, 1 A (B C) = 1 A + 1 B C + 1 C 2 1 A 1 B C = 1 A + 1 B + 1 C 2 1 B 1 C 2 1 A (1 B + 1 C 2 1 B 1 C ) = 1 A + 1 B + 1 C 2(1 A 1 B + 1 A 1 C + 1 B 1 C ) A 1 B 1 C. Da mængdernes indikatorfunktioner er lig hinanden, er mængderne lig hinanden. (2.7) Lad f : X Y være en afbildning og lad A X, B Y. Vis, at vi i almindelighed har f(f 1 (B)) B og f 1 (f(a)) A. Hvornår gælder = i ovenstående udtryk? Giv et eksempel, der viser, at ovenstående inklusioner nogle gange er strenge. 9

10 f(f 1 (B)) B: Først og fremmest gælder f(f 1 (B)) B altid. Hvis y f(f 1 (B)) findes x f 1 (B) så f(x) = y. Men da x f 1 (B), vil y = f(x) B. Hvis der gjaldt lighed, ville hele B blive ramt af f, idet vi for ethvert y B ville have x f 1 (B) A så f(x) = y. Et oplagt eksempel til, at der kan gælde streng inklusion, kunne derfor være en ikke-surjektiv funktion. Lad fx f : R R være givet ved f(x) = 1 og lad B = R. Da vil f(f 1 (B)) = f(r) = {1} R. f 1 (f(a)) A: Der gælder altid, at f 1 (f(a)) A. Hvis x A, vil f(x) f(a), hvormed x f 1 (f(a)). Hvis der gjaldt lighed, ville vi fra f(x) f(a) kunne konkludere, at x A. Et oplagt eksempel til, at der kan gælde streng inklusion, kunne derfor være en ikke-injektiv funktion. Lad fx f : R R være givet ved f(x) = x 2 og lad A = {1}. Da vil f 1 (f(a)) = f 1 ({1}) = { 1, 1} {1}. 2.8 Lad f : X Y og g : Y Z være to injektive afbildninger. Vis, at g f er injektiv. Lad x 1, x 2 X så (g f)(x 1 ) = (g f)(x 2 ). Da vil g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )), så da g er injektiv, vil f(x 1 ) = f(x 2 ). Da f er injektiv, vil x 1 = x 2, så g f er injektiv. 2.9 Vis, at følgende mængder har samme kardinalitet som N: A = {m N m er ulige}: Definér en afbildning f : N A ved f(x) = 2x 1. Bemærk, at f er veldefineret, da 2x 1 N for alle x N og at 2x 1 er ulige. Vi har, at f er injektiv, thi hvis 2x 1 1 = 2x 2 1 for x 1, x 2 N, vil klart gælde, at x 1 = x 2. Hvis y A, er y et ulige positivt heltal, så der findes n Z så y = 2n + 1. Da y 1, vil n 0. Sættes x = n + 1 N, vil f(x) = 2(n + 1) 1 = 2n + 1 = y, så f er også surjektiv. Dermed er f en bijektion, og vi slutter, at A og N har samme kardinalitet. N Z: Lad g : Z N være bijektionen fra Example 2.5 (iii). Vi definerer først en afbildning f : N Z N N ved f(m, n) = (m, g(n)). Da er f også en bijektion (hvilket er nemt at tjekke). Lader vi h: N N N være bijektionen fra Example 2.5 (iv), får vi, at h f : N Z N er en bijektion. Q m (m N): Vi ved fra forrige delopgave, at der findes en bijektion f : N Z N. Lad g : Q N Z være givet ved g(y) = (n, k), hvor y = k n og n er valgt mindst muligt, så brøken ikke kan forkortes yderligere. Da er g en injektion, så vi har dermed en injektion h = f g : Q N. Inklusionen N Q giver os en injektion N Q, hvormed vi har en bijektion Q N jf. Schröder-Bernsteins sætning. Lad h 1,..., h m : Q N være m kopier af denne bijektion, og lad p 1,..., p m være de første m primtal. Vi definerer nu j : Q m N ved j(x 1,..., x m ) = p h1(x1) 1 p h2(x2) 2 p hm(xm) m. Vi påstår nu, at j er en injektion. Hvis j(x 1,..., x m ) = j(x 1,..., x m) for (x 1,..., x m ), (x 1,..., x m) Q m, vil p n1 1 pn2 2 pnm m = p n 1 1 pn 2 2 pn m m, hvor n i = h i (x i ) og n i = h i(x i ) for i = 1,..., m. Dermed vil p n2 2 pnm m = p n 1 n1 1 p n 2 2 pn m m. Altså går p n 1 n1 1 op i højresiden og dermed i venstresiden. Dette må nødvendigvis medføre, at p n 1 n1 1 = 1, hvormed n 1 n 1 = 0 og n 1 = n 1. Fortsættes på denne måde med n i og n i for i 2, fås at h i (x i ) = n i = n i = h i(x i ) for alle i = 1,..., m. Da hver h i er bijektiv, følger specielt, at x i = x i for alle i = 1,..., m, så vi slutter, at j er injektiv. 10

11 Vi har altså, at #Q m #N. Da afbildningen N Q m givet ved n (n, 0,..., 0) også er injektiv, følger også, at #N #Q m, hvormed #N = #Q m jf. Schröder-Bernsteins sætning (Theorem 2.7). D = m N Qm : Lad h m : N Q m være en bijektion for m N. Hvis x D, vil der findes ét m N så x Q m (alle Q m er ses som disjunkte), og der findes derpå ét n N så x = h m (n) (da h m er bijektiv). Definér g(x) = (m, n) N N i dette tilfælde. Da er g en bijektion: g er injektiv. Lad x 1, x 2 D og antag, at g(x 1 ) = g(x 2 ). Der findes da entydige m 1, n 1 N så x 1 Q m1 og x 1 = h m1 (n 1 ) og m 2, n 2 N så x 2 Q m2 og x 2 = h m2 (n 2 ). Da (m 1, n 1 ) = (m 2, n 2 ) pr. antagelse, vil x 1 = h m1 (n 1 ) = h m2 (n 2 ) = x 2. g er surjektiv. Lad (m, n) N og betragt x = h m (n) Q m D. Da vil g(x) = (m, n). Da vi har en bijektion f : N N N jf. Example 2.5 (iv), vil f g : D N være en bijektion, så #D = #N Vis, at hvis E F, vil #E #F. Specielt vil delmængder af tællelige mængder være tællelige. Vi har en injektiv afbildning f : E F givet ved f(x) = x. (Og ja, det er alt der er at sige om det.) 2.13 Vis, at mængden R er overtællelig og at #(0, 1) = #R. Vi vil finde en bijektion (0, 1) R. Lad os starte med tangens: f : ( π 2, π 2 ) R givet ved f(x) = tan(x) er en bijektion. Vi laver en bijektion g : (0, 1) ( π 2, π 2 ) ved at definere g(x) = πx π 2. Da er g f : (0, 1) R en bijektion. Dermed er #R = #(0, 1) > #N (hvis der var en bijektion N R, ville der også være en bijektion N (0, 1), i modstrid med Theorem 2.8). (2.21) Hvis A N kan vi identificere indikatorfunktionen 1 A : N {0, 1} med 0-1-følgen (1 A (j)) j N, dvs. 1 A {0, 1} N. Vis, at afbildningen er en bijektion og konkludér, at #P(N) = c. P(N) A 1 A {0, 1} N Først og fremmest er afbildningen injektiv. Hvis 1 A = 1 B for to mængder A, B N, vil x A 1 A (x) = 1 1 B (x) = 1 x B, så A = B. Lad nu f {0, 1} N være en vilkårlig 0-1-følge, dvs. f er en afbildning f : N {0, 1}. Definér A = f 1 ({1}). Da vil 1 A (x) = 1 x f 1 ({1}) f(x) = 1. Altså konkluderer vi, at 1 A = f, hvormed afbildningen er surjektiv. Skal vi vise, at #P(N) = c, er det derfor nok at vise, at #{0, 1} N = c. Sætning 2. Der gælder, at #{0, 1} N = #(0, 1) = c. Bevis. Vi har en injektiv afbildning Φ: {0, 1} N (0, 1) givet ved, at vi for hver f {0, 1} N med x n = f(n) sætter Φ(f) = 0, 1x 1 x 2 x 3... = f(n) 10 n+1. 11

12 Lad os for god ordens skyld vise, at Φ er injektiv. Lad f, g {0, 1} N og antag at Φ(f) = Φ(g). Da vil f(n) g(n) 10 n+1 = 0. Antag, at der findes et n N så f(n) g(n). Lad N være det mindste tal n N således at f(n) g(n); vi kan uden tab af generalitet antage, at f(n) > g(n), hvormed f(n) = 1 og g(n) = 0. Da har vi, at f(n) = g(n) for alle n < N, hvormed n=n f(n) g(n) 10 n = 10 f(n) g(n) 10 n+1 = 0. Da f(n) g(n) = 1 0 = 1, har vi derfor, at f(n) g(n) n=n+1 10 = 1. Imidlertid har vi, at n 10 N 1 10 N = n=n+1 n=n+1 n=n+1 = 1 10 N+1 f(n) g(n) 10 n f(n) g(n) 10 n 1 10 n n= n = 1 10 N = N 10 1 = N, hvilket er en klar modstrid. Altså vil f(n) = g(n) for alle n N, hvormed f = g. Altså er Φ injektiv, og vi har #{0, 1} N #(0, 1). Omvendt findes der for hvert x (0, 1) en entydig følge f {0, 1} N således at x = f(n) 2 n. f kan defineres således: da x (0, 1) findes et entydigt f(1) {0, 1} så f(1) 2x < f(1) + 1. Da må 2f(1) 4x < 2f(1) + 2; bemærk, at [2f(1), 2f(1) + 2) er et interval af længde 2 med heltallige endepunkter. Derfor findes et entydigt f(2) {0, 1} så 2f(1) + f(2) 4x < 2f(1) + f(2) + 1. Nu er 4f(1) + 2f(2) 8x < 4f(1) + 2f(2) + 2. Igen vil [4f(1) + 2f(2), 4f(1) + 2f(2) + 2) være et interval af længde 2 med heltallige endepunkter. Tag det entydige f(3) {0, 1} så 4f(1) + 2f(2) + f(3) 8x < 4f(1) + 2f(2) + f(3) + 1. På denne måde vælges entydige f(n) {0, 1} så 2 n 1 f(1) f(n 1) + f(n) 2 n x < 2 n 1 f(1) f(n 1) + f(n) + 1 eller, ved at dele med 2 n, n i=1 dvs. at x n f(i) i=1 2 < 1 i 2, således at n f(i) 2 i x < x = 12 n i=1 f(n) 2 n. f(i) 2 i n,

13 Vi definerer Ω(x) = f. Hvis x, y (0, 1) og f = Ω(x) = Ω(y) = g, vil x = f(n) 2 n = g(n) 2 n = y, så Ω er injektiv. Altså gælder, at #(0, 1) #{0, 1} N, hvormed Schröder-Bernsteins sætning (Theorem 2.7) giver os det ønskede. 13

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

1: Fundamentale begreber.

1: Fundamentale begreber. Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen. MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Mat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28

Mat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28 Mat2AN Minilex Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dk 6. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl.

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Matematik 2 MA Matematisk Analyse

Matematik 2 MA Matematisk Analyse Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1992 93 Kapitel I. Metriske rum FORORD Efterårsdelen af Matematik 2 MA består af metriske rum og mål og integralteori, og nærværende hæfte omhandler metriske rum. De første

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002

GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002 GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger,

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 8 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed

1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 23. november 2015 1 Punktmængdetopologi I algebra beskæftiger man sig bl.a. med abstrakte strukturer, hvori forskellige regneoperationer

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING

Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING 1999 Indhold Talfølger, rækker og komplekse tal, noter ved Tage Gutmann Madsen, omredigeret til HHK af Gerd Grubb: 1 De reelle tal 1 5 2 Reelle talfølger 6 19 3 Uendelige

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere