Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Transkript

1 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema Esempel: Esamesaraterer og sted Esempler på variasaalyse domster iddelt efter boligstørrelse Forbrug iddelt efter husstadsstørrelse Vægt iddelt efter produtiosserie Omostiger iddelt efter tidsput Varepriser iddelt efter produtiosvirsomhed telligesvotieter iddelt efter socialgruppe Blodtry iddelt efter behadligsform Vægt af svi iddelt efter foderbladig Atal ørte m./00 l. bezi iddelt efter biltype Atal ørte m./00 l. bezi iddelt efter vetype

2 Model, otatio og hypoteser Givet: stoastis uafhægige stiprøver x,x,...,x i,...,x på hhv.,,,,, observatioer, i alt = observatioer af e stoastis variabel X i. =,,..., Model: X i er sto. uafh. variable N(µ, σ ) i =,, ; =,, eller ævivalet hermed X i = µ i + E i hvor E i ere er sto. uafh. og N(0, σ ). = i =,, ; =,, Modelle har altså + parametre: µ,,µ og σ. De udtryer, at hver observatio a betragtes som e sum af e systematis og e stoastis ompoet emlig de uedte middelværdi µ i i de populatio fra hvile observatioe er udtaget samt afvigelse E i fra dee middelværdi. De µ i er arateriserer de systematise forselle mellem populatioere, dvs. virige af de årsager eller behadliger svarede til de give opdelig i populatioer, grupper. Formålet med aalyse er at fide estimatorer for de + parametre at fide fordelige af estimatorere at teste hypoteser om parametrees værdi, heruder specielt

3 H 0 : µ = = µ = µ dvs vi vil teste om de stiprøver a betragtes som stiprøver fra samme populatio : N(µ, σ ). Kotrol af modelles forudsætiger Ved hælp af ML-metode fås de middelrette estimatorer µ= ˆ X = X =,..., i i= i i= ( ) σ ˆ = = X X =,..., sidstævte er dog orrigeret med fatore /( -). Variasestimatet for σ daes herefter som det veede geemsit af 'ere: σ ˆ = = = = ( ) = ( ) = ( Xi X ) = i = Estimatio af σ ræver e udersøgelse af modelles forudsætiger. Ved fratildiagram (eller Q-test, se AJKM ap. 6.6) udersøges om hver af de stiprøver a atages udvalgt fra 3

4 e ( ) N µ, σ fordelig. Atag dette ie a forastes. Modelles forudsætig om at σ = = σ =σ a grafis testes ved at sammelige hældigere på liiere i fratildiagrammet. Hvis liiere foreommer parallelle, afvises hypotese ie. modsat fald må et umeris test for variashomogeitete udføres. Test af hælpehypotese Nulhypotese H 0 H 0 : µ = = µ = µ testes u hvis hælpehypotese H 0 H:σ 0 = =σ =σ a accepteres. Til det formål a Bartletts test avedes. Teststørrelse er ( ) ( ) ( ) ( ) B= log log = B er approximativt ( ) B 0 og tæt på 0, hvis alle χ fordelt er cira lige store Altså : B er stor, hvis et eller flere er er lagt fra 4

5 α ( ) R:b>χ ( ( )) p = P B b B χ Hvis Kolusio af test og opdaterig af variasestimat p 0.05 accepteres Xi N ( µ, σ ) =,, H 0,dvs. der er variashomogeitet. Estimatore for de fælles varias bliver som allerede aført σ ˆ = = = X X ( ) ( ) i = = i= De er et mål for variatioe idefor grupper. Hvis p < 0.05 : H 0 forastes, og aalyse afsluttes, således at H 0 ie testes. 5

6 Atag Opspaltig af vadratsummer H 0 ie forastes, så Xi N ( µ, σ ) at µ= ( µ σ ) = at ( ) ( ) / σ = Q χ ( ). ˆ X N, /,..., (sætig 6.) (,da 'ere er sto. uafh. ) (sætig 6.9) ( / ) σ = Q ( ) = Q( ( ) ) = Q ( ) = = = idet additiossætige for χ fordelige beyttes. dsættes i udtryet for ovefor fås ( ( )) ( ) σ ˆ = = σ Q / Variase idefor grupper er altså ( ) /( ) σ χ -fordelt er derfor e middelret og osistet estimator for σ. Nu er vi imidlertid primært iteresseret i at teste H 0 : µ = = µ = µ overfor H :mi dst to µ 'er forsellige Vi må derfor have fat i e estimator, hvis fordelig afhæger af om H 0 er rigtig eller e. Hvis H 0 : µ = = µ = µ er rigtig, er Xi N (, ) Ui = ( X i µ )/ σ µ σ 6

7 Heraf følger videre ved vadrerig og summerig af U ere (se AJKM s. 337 f.) hvor Q Q Q Q = + + σ σ σ σ M 3 ( i ) ( ) Q= X µ σ χ = i= ( ) ( ) ( ) Q = X X = σ χ i = i= M = ( ) ( ) Q = X X σ χ samt 3 ( ) () Q = X µ χ i = = i= X= X = X, = + + følge spaltigssætige for χ - fordelige er Q M fordelt som agivet ovefor og Q ere er stoastis uafhægige. Dvs. hvis H 0 er rigtig, a vi dae e varias mellem grupper = X X M = ( ) 7

8 der er ( )/( ) σ χ -fordelt og uafhægig af variase idefor grupper. Da har samme fordeligstype som M er det ærliggede at dae votiete mellem dem, således at et test opås, der er uafhægig af σ, me som u er F-fordelt uder H 0. Altså Da ma a vise at ( ) ( ) Q / M M V= = F, Q / ( ) E ( ) E bliver forastelsesområdet M =σ + µ µ > =σ = M α ( ) R: v= s / s > F, varede hertil bliver sigifiassadsylighede p = P(V > v H 0 ) Variasaalysesema Hvis H 0 ie a forastes sal e fælles estimator ( ) ( ) =σ Q / σ T bestemmes. Ved brug af additiossætige for fås, idet χ -fordelige 8

9 ( ) ( ) ( ) M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M σχ / / σ = Q σχ / / σ = Q ( ) + ( ) / σ = Q( ) + Q( ) = Q( ) M dsættes dette i Q( )/( ) T =σ fås T= ( ) M+ ( ) = ( X X) + ( Xi X) = = = i= ( Xi X) = i = σ idstævte lighedsteg udtryer at Q M + Q = Q T se AJKM side 340. De totale variatio Q T a altså opspaltes i e variatio mellem grupper Q M og e variatio idefor grupper Q, se AJKM tabel 0.5. Ka hypotese om µ eres idetitet ie afvises, a ma teste H 0 : µ = µ 0 overfor H : µ µ 0 ved et t-test X µ 0 ( ) = T idet X N ( µ 0, σ /) / uder H 0 : µ = µ 0. T 9

10 Opsummerig Esidet variasaalyse Observatioere iddelt i grupper - es middelværdier? Først test af hælpehypotese om es varias i de grupper Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier i de grupper Variasaalysesema To uafhægige stiprøver pecialtilfælde af esidet variasaalyse : = grupper implere teststørrelser 0