Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen"

Transkript

1 Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt. Normalt kan man kun bevæge sig diagonalt, og hoppe over modstanderens brikker, men her ser vi lidt anderledes på det. For det første er der ingen modstander, man kan hoppe over sine egne brikker lodret og vandret og brættet er uendeligt stort. Opgaven er som følger: Vi deler brættet i to med en vandret streg. Man må nu placere sine brikker som man vil under stregen, og de skal placeres således, at man kan komme så langt som muligt op på den anden banehalvdel ved at hoppe over brikker. En brik man hopper over forsvinder ligesom i almindelig dam. Det er ret enkelt at komme ét felt op på den anden banehalvdel - det skal man kun bruge to brikker til. Man skal bruge fire brikker for at komme to felter op det er heller ikke så svært. Sværere er det at komme tre felter op det kræver mindst otte brikker (prøv!). Figur : Sådan kommer man ét felt op over midterlinjen. Den naive matematiker ville nu forvente, at man skal bruge 6 brikker (hvorfor det?) for at komme fire felter op, men nej, det kræver faktisk 20 brikker. Vi viser eksempler på strategier til at gøre dette i appendi til sidst, og vil nu istedet se på følgende spørgsmål: Kan man komme fem felter op?

2 2 Vægtning Figur 2: Sådan kommer man to felter op over midterlinjen. Vi vil nu bevise, at det faktisk er umuligt at komme fem felter op. Lad os først overveje, at hvis man kan komme op til et felt, der er fem felter oppe, ville man også kunne have kommet til et hvilket som helst andet felt, der er fem felter oppe, idet vi jo bare kan rykke vores opstilling til højre og venstre som det passer os Figur 3: Vi udstyrer hvert felt med vægte efter, hvor langt de er fra P. Så lad os antage, at vi har lavet en opstilling, der kan flytte en brik fem felter op kald det felt for P. Lad os nu tilegne hvert eneste felt på brættet et tal det kalder vi feltets vægt. For en given opstilling af brikker, ser vi hvilke felter, der står brikker på, og så lægger vi de tilsvarende vægte sammen. Det kalder vi en opstillings samlede vægt. Lad være et eller andet tal, som vi først vælger senere. Vi giver nu hvert felt vægten n, hvor n er det mindste antal lodrette eller vandrette ryk, man skal lave, for at komme fra feltet til P. Så P selv får vægten 0 =, felterne til højre, venstre, ovenfor eller nedenfor P giver vi vægten. Sådan fortsætter vi, og får så vægtene som på tegningen nedenfor. Eksempel. Lad os se på opstillingen i figur 4. Vi ser at den samlede vægt her er

3 Figur 4: En vilkårlig opstilling. Lad os nu lave et træk, hvor en brik hopper over en anden. Vi får så en opstilling som i figur 5. Nu er vægten = Vi ser at vi har trukket 3 og 4 fra, og så lagt 2 til Figur 5: Efter et træk har vi nu ændret den samlede vægt. 3

4 3 Hvordan ændres den samlede vægt, når vi gør et træk? Som i eksemplet ovenfor, vil vi nu se på, hvordan den samlede vægt ændrer sig, når vi laver et træk. Der er tre muligheder:. Vi rykker tættere på P. 2. Vi rykker længere væk fra P. 3. Brikken vi springer med, ændrer ikke afstand til P. På figur 6 kan vi se eksempler på alle tre typer af træk. Lad os nu se, hvad der sker med den samlede vægt i hvert af de tre tilfælde. Lad os antage, at brikken vi laver vores træk med, står på et felt med vægten n for et eller andet n Figur 6: Tre forskellige træk, hvor vi bevæger os længere væk fra P, tættere på P eller bevarer afstanden.. Hvis vi rykker tættere på P, er vi i en situation, hvor vi springer fra n til n 2, og en brik med vægt n forsvinder, idet vi hopper over den. Så vægten ændres altså med n 2 n n = n 2 ( 2 ). 2. Hvis vi rykker længere væk fra P springer vi fra n til n+2, og vi springer over en brik med vægt n+. Så den samlede vægt ændres nu med n+2 n n+ = n ( 2 ). 4

5 3. Lad os nu se på det sidste tilfælde. Her springer vi fra et felt med vægt n til et felt med samme vægt, og vi hopper over en brik med vægt n. Så alt i alt ændres den samlede vægt med n. Husk på at vi stadig ikke har valgt, hvad vores skal være. Vi vil gerne vælge vores således, at et træk af type ikke ændrer den samlede vægt. Det kan gøres hvis vi vælger så 2 = 0. () Det er en andengradsligning med to rødder, og vi vælger den positive af dem, nemlig = , Vi ved nu, at et træk af type ikke ændrer ved den samlede vægt af en opstilling, for sådan har vi valgt vores. Af () får vi også, at 2 =, så vi ser at et træk at type 2 giver en ændring på n ( 2 ) = n ( ) = n ( 2) = 2 n+ < 0, så et træk af type 2, altså et hvor vi bevæger os længere væk, gør den samlede vægt mindre. Et træk af type 3 ændrer som sagt den samlede vægt med n, så da > 0 reducerer sådan et træk altså også den samlede vægt. Alt i alt kan vi konkludere, at alle typer af træk enten reducerer den samlede vægt, eller også ændres den ikke vi kan ikke øge vægten! Så en opstilling der kan sende en brik på til feltet P, der jo har vægten, må have en samlet vægt, der er større end eller lig med, ellers kan vi aldrig komme derop. Vi vil i næste afsnit vise, at sådan en opstilling er umulig. 4 Uendelige summer Vi får brug for følgende sætning om uendelige summer. Sætning 2 (Den geometriske række). Lad ], [ være givet. Så er =. Den kvikke læser vil her se, at = φ, hvor φ = er det gyldne snit, der dukker op i mange sammenhænge og nu også her. 5

6 Bevis. Ved at gange venstresiden med får vi ( )( ) = ( ) = =, så det ønskede resultat fås ved at dividere med på begge sider. Lad os nu se, hvad den samlede vægt af alle felter under midterlinjen er. Søjlen lige under P bidrager med vægtene = 5 ( ) = De to søjler lige ved siden af bidrager hver med = 6 ( ) = og de to søjler ved siden af dem bidrager hver med = 7 ( ) = 5. 6, 7. Hvis vi fortsætter sådan får vi, at den samlede vægt af den nedeste halvdel af brættet er S = Ved lidt regnerier ser vi, at S = ( 6 ) = ( ) = Husk nu på, at = 2, så vi får at. S = = = ( ) + 2( ) = 2 2 = 2 ( ) =. 6

7 Så hvis vi har brikker på alle felter i den nederste halvdel af brættet, så har de en samlet vægt, der er præcis. Så hvis blot et felt står ledigt, så vil den samlede vægt være mindre end, og så kan vi aldrig kommer op til P, idet et træk aldrig kan øge den samlede vægt. Men hvorfor kan vi så bare ikke placere brikker på alle felter? Det kan man sådan set også godt, men det giver ikke mening at placere brikker, som vi ikke bruger, så vi skal i så fald bruge uendeligt mange træk, så vi kommer aldrig op til P. Det viser det vi ønskede, nemlig at det er umuligt at komme fem felter op. Litteratur [] Honsberger, Ross (976), Mathematical Gems II. 7

8 Appendi Figur 7: En løsning, der bruger otte brikker, og bringer en brik tre felter op. 8

9 Figur 8: En løsning, der bruger 20 brikker, og bringer en brik fire felter op. For at afslutte denne skal du bruge figur 7, idet vi nu er i samme situation som dér men nu ét felt højere oppe. 9

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

koordinatsystemer og skemaer

koordinatsystemer og skemaer brikkerne til regning & matematik koordinatsystemer og skemaer basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik Koordinatsystemer og skemaer, basis 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

om skudøvelser Skud mod mål kan være for enten spillere eller for målmanden eller for både spillere og målmand.

om skudøvelser Skud mod mål kan være for enten spillere eller for målmanden eller for både spillere og målmand. skudøvelser om skudøvelser Skud mod mål kan være for enten spillere eller for målmanden eller for både spillere og målmand. I dette tilfælde koncentrerer vi os om skud, der skal dygtiggøre målmanden i

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright

Skak. Regler og strategi. Version 1.0. 1. september 2015. Copyright Skak Regler og strategi Version 1.0 1. september 2015 Copyright Forord At lære at spille skak er ikke svært. Det tager få minutter. At blive dygtig tager som regel årevis. Om man er dygtig eller ej, er

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Dragværk. På billedet kan du se en pige eller kvinde, der står på ryggen af en hane. Pigen er syet i dragværk. Det er et lille motiv på en knædug.

Dragværk. På billedet kan du se en pige eller kvinde, der står på ryggen af en hane. Pigen er syet i dragværk. Det er et lille motiv på en knædug. Dragværk Fra anden halvdel af 1700-tallet er tekstiler med såkaldt dragværk bevaret. Her trak kvinderne i brede borter tråde ud i hele stoffets bredde og syede derefter figurer som f.eks. dyr og træer

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Modelbanestyring med PC Indholdsfortegnelse

Modelbanestyring med PC Indholdsfortegnelse Modelbanestyring med PC Indholdsfortegnelse Modelbanestyring med PC... 1 Anvend Paint til tegning af skinnesymboler... 1 Start af Paint... 1 Ny tegning i Paint... 1 Tegn et sporskifte... 2 Valg af farve...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Spillebeskrivelse Spillehallen.dk Rev. 10.10.2012

Spillebeskrivelse Spillehallen.dk Rev. 10.10.2012 Indholdsfortegnelse - Spilleregler - Bånd oversigt - Gevinst oversigt - Featurespil Spillebeskrivelse Spillehallen.dk Rev. 10.10.2012 Spilleregler: Indsatsen vælges ved at logge på en automat med den ønskede

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting:

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Tidlig matematik, Workshop 10. februar 2016 Aktiviteter Hvad er matematik? Gæt hvor mange og hvad Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Hvad er i beholderen?

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Undersøgelser i nyere geometri

Undersøgelser i nyere geometri Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Sådan bruger du ereolens app på en Android tablet eller smartphone

Sådan bruger du ereolens app på en Android tablet eller smartphone Sådan bruger du ereolens app på en Android tablet eller smartphone Med ereolens app har du mulighed for at læse bøger online (via stream) og at hente bøger ned til din tablet eller smartphone til offline

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple

Læs mere

Side 1 af 8. Vejledning

Side 1 af 8. Vejledning Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Spilleregler

Spilleregler 3 Spilleregler 4 9 4 4 9 3 HISTORIEN BAG MATRIBUS er opfundet og udviklet af Louise Bang, lærerstuderende på University College Sjælland. Louise har gennem sine jobs som lærer erfaret, at der i vores digitaliserede

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstantens dele Sekstantens enkeltdele. Sekstanten med blændglassene slået til side. Blændglassene skal slås til, hvis man sigter mod solen. Version:

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

PAVILLON TIL GL. HOLTEGAARD 42088

PAVILLON TIL GL. HOLTEGAARD 42088 PAVILLON TIL GL. HOLTEGAARD Modelfoto fra processen PAVILLON TIL GL. HOLTEGAARD Skitser fra processen Proces Barokke skitser og flyvske ideer De første ideer kredser om analyser af havens muligheder, forsøger

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. 2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B

Læs mere

Word-5: Tabeller (2007)

Word-5: Tabeller (2007) Word-5: Tabeller (2007) Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da programmet blev

Læs mere

Brugsanvisning for. Testværktøj på. Naturlegeredskaber

Brugsanvisning for. Testværktøj på. Naturlegeredskaber Gert Olsen Gl. Klausdalsbrovej 481 DK 2730 Herlev Telefon 2177 5048 gertolsen@gertolsen.dk Brugsanvisning for Testværktøj på Naturlegeredskaber Af Gert Olsen Brug af testværktøj 03.10.2004 Side 1 af 9

Læs mere

Kaninhop for begyndere trin 1 10 Læs mere på www.fionas.dk

Kaninhop for begyndere trin 1 10 Læs mere på www.fionas.dk Side 1 Trin 1. Seletræning. Kaninen er minimum 10 uger gammel og du har brugt masser af tid på at oprette et tillidsforhold til den. Den er tryg ved at du tager den ud af buret så nu er tiden kommet hvor

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten. Perspektiv tegning Hjælp til perspektivtegning. Illustrationerne er købt fra Perspektivtegning - Matematik i Billedkunst, billedkunst i matematik. - en kopimappe som er lavet af Jørgen Skourup og Ole Stærkjær.

Læs mere

DesignPro II Side 11. Grupper

DesignPro II Side 11. Grupper DesignPro II Side 11 Grupper Hvis man arbejde helt fra grunden, er det ofte en fordel at kunne samle tekst, billeder og baggrund til en fast gruppe, som så kan flyttes rundt, og ændres i størrelsen. I

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Zhezz. Spillevejledning

Zhezz. Spillevejledning Zhezz Spillevejledning Et bræt opdelt i 264 felter og klodser som gør det muligt fra brættets midte, at opbygge flere felter i en ny dimension og lave et 3D landskab. 1 Zhezz Spillets profil En anderledes

Læs mere

!! Spørgsmål b) Hvad er 1/hældningen af hhv de grønne og røde verdenslinjer? De grønne linjer: Her er!

!! Spørgsmål b) Hvad er 1/hældningen af hhv de grønne og røde verdenslinjer? De grønne linjer: Her er! Logbog uge 41 Laboratorievejledning: http://www.nbi.dk/%7ebearden/beardweb/teaching/fys1l2008/uge41/uge41- vejledning.html I denne uge så vi igen på den specielle relativitetsteori. Vi lagde ud med pole-barn-paradokset,

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Hvordan afspilles/vises materialet i LARM.fm

Hvordan afspilles/vises materialet i LARM.fm Hvordan afspilles/vises materialet i LARM.fm Når du har lært de mange måder, hvorpå det er muligt at søge i LARM.fm s materiale, er det relevant at vide, hvilke muligheder du har for at afspille radio-

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK)

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 3 2 PRØVERNE 3 2.1 Log in 3 2.2 Lydtjek til lytteprøven 5 2.3 Under prøven 5 3 Prøvens opgaver 7 3.1 Lytteopgaver 7 3.2

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1 side 1 Hvis man vil lave en opsætning af rejsebeskrivelse og billeder, kan man også gøre det i DRAW. Denne vejledning vil vise hvordan man indsætter hjælpelinjer så man laver en pæn opstilling med billede

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. Løsninger til 2015 60 minutter Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave 1. 2 3 15 A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

MAG5.dk En brugervejledning

MAG5.dk En brugervejledning MAG5.dk En brugervejledning Indledning Når du ser B&U s løsning til administration af IT-brugere første gang, så ser det sådan her ud: Løsningen er lavet specielt til Børn og Unge og vedligeholdes af BU-IT.

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Digital stemme hjælp. Mikro Værkstedet A/S

Digital stemme hjælp. Mikro Værkstedet A/S Digital stemme hjælp Mikro Værkstedet A/S Digital stemme hjælp: Mikro Værkstedet A/S Revision 1.5, 10. april 2008 Indholdsfortegnelse Forord... v 1. Hvilke programmer kan bruges med den digitale stemme?...

Læs mere

Introduktion til Banedesign / Visio. af Preben Nielsen

Introduktion til Banedesign / Visio. af Preben Nielsen Introduktion til Banedesign / Visio af Preben Nielsen Formål med introduktionen: At give nye brugere en grundlæggende indlærring i brugen af Banedesign og Visio 2013 Meget kort fortalt om Visio og Banedesign:

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Titel Overskrift. Hold den kort og præcis! Som Førtidspension & Skånejob. Andet relevant information skal stå i resumefeltet.

Titel Overskrift. Hold den kort og præcis! Som Førtidspension & Skånejob. Andet relevant information skal stå i resumefeltet. Oprettelse af Indholdsside fra a-z For at oprette en side skal du vælge en indholdstype, som i de fleste tilfælde er en Indholdsside. Herefter skal du udfylde felterne; på en indholdsside skal du koncentrere

Læs mere

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et

Læs mere

GoTalkNow. Beskrivelse:

GoTalkNow. Beskrivelse: GoTalkNow Beskrivelse: I GoTalk NOW kan du lave personlige kommunikationsbøger. Du kan også lave vælgebøger med foto, filmklip eller musik. Eller en kombination mulighederne er mange. En bog kan laves

Læs mere

Kommunikation/IT A: Brætspils Design Amos Iversen og Magnus Espensen. Afleveres 17/02 2015. Princip: Card game übers alle

Kommunikation/IT A: Brætspils Design Amos Iversen og Magnus Espensen. Afleveres 17/02 2015. Princip: Card game übers alle Kommunikation/IT A: Brætspils Design Amos Iversen og Magnus Espensen Afleveres 17/02 2015 Princip: Card game übers alle Information om spillet: Antal spillere er 2 På nuværende tidspunkt er der over 20

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Der er plads til to cykler i skuret, men det kan selvfølgelig laves bredere, så der kan blive plads til flere side om side.

Der er plads til to cykler i skuret, men det kan selvfølgelig laves bredere, så der kan blive plads til flere side om side. LeT Sværhedsgrad: e buede stykker til de to gavle er projektets sværeste del, så vær omhyggelig, når de tegnes op på spærtræet. tidsforbrug: Projektet kan klares på tre arbejdsdage. Pris: Skuret kan laves

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Småspil og volleyspecifikke lege

Småspil og volleyspecifikke lege Småspil og volleyspecifikke lege Småspil i undervisningen er en spændende og udfordrende måde for eleverne at arbejde med tekniske elementer. I dette afsnit præsenteres en masse småspil, der alle bygger

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Før-skoleskak Undervisningsbog

Før-skoleskak Undervisningsbog Før-skoleskak Undervisningsbog Dansk Skoleskak - leg og læring Før-skoleskak - undervisningsbog Dansk Skoleskak 1. udgave, 1. oplag 2013 ISBN: 978-87-87800-88-4 Udgiver Dansk Skoleskak - Skoleskak.dk Før-skoleskak

Læs mere

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Selv om websites er yderst forskellige i deres fremtræden, så kan de stort set alle sammen passes ind i den skabelon som er illustreret herunder:

Selv om websites er yderst forskellige i deres fremtræden, så kan de stort set alle sammen passes ind i den skabelon som er illustreret herunder: Design en praktisk guide. Et design udtrykker dit websites grafiske udseende, lige fra hvilke skrifttyper der anvendes op til hvor navigationen er placeret og hvilke interaktive elementer der skal benyttes.

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

Spil banko. Spil lotto. Række 3. Række 1. Antal rigtige: Række 4. Række 2. skrives tallene på lottokuponen og antallet af rigtige noteres.

Spil banko. Spil lotto. Række 3. Række 1. Antal rigtige: Række 4. Række 2. skrives tallene på lottokuponen og antallet af rigtige noteres. 14 Spil banko 1 5 6 10 11 15 16 20 21 25 26 30 1 5 6 10 11 15 16 20 21 25 26 30 15 Spil lotto Række 1 Række 2 Tal i hverdagen 14. Udfyld de hvide felter på bankopladerne med tal fra 1-30. Har man et af

Læs mere

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.

Læs mere

Word-5: Tabeller og hængende indrykning

Word-5: Tabeller og hængende indrykning Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da

Læs mere