Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
|
|
- Michael Lorenzen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der i gymnasiet kræves af den gode elev, de sværeste er så vanskelige, at kun de færreste vil kunne løse dem uden hjælp. Opgaverne løses ved en blanding af gode ideer og matematisk håndværk. Opgaverne er til dels ordnet efter det sidste, men selv om en overskrift peger på et bestemt matematisk hjælpemiddel, vil der som regel være en del vanskeligheder, der skal overvindes, før løsningen er færdig. Og løsningen er naturligvis først komplet, når samtlige detaljer er klaret. De fleste af beviserne er direkte beviser. For en enkelt opgave føres et indirekte bevis, ligesom induktionsbevis også benyttes. For ca. halvdelen af opgaverne er der anført et bevis. Af hensyn til læsere, som selv først vil prøve kræfter med disse opgaver, er opgavernes ordlyd anført umiddelbart neden for. Med hensyn til opgaverne uden løsning kan det være irriterende ikke at kende den. Prøv evt. så at løse disse opgaver i samarbejde med andre: opgaver man ikke kan løse alene, lader sig da af og til løse i samarbejde med andre. Din matematiklærer (hvis du har sådan en) vil sikkert gerne hjælpe i det omfang, tiden tillader det. Ellers er sidste udvej at kontakte Georg Mohr Arbejdsgruppen. 1
2 Opgaver med bevis Her kommer så opgaverne: Opgave 1. Bevis, at der for positive tal a, b, c og d gælder a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ab + bc + cd + da og vis, at lighed kun gælder for a = b = c = d. Opgave 4. I et koordinatsystem er givet de to punkter A(0, 10) og B(0, 40), som fastlægger et linjestykke AB på andenaksen. Fra hvilket punkt X på førsteaksen med positiv førstekoordinat betragtes linjestykket AB under den største vinkel? Opgave 6. I trekant ABC betegnes længden af højderne h a, h b og h c og r er radius i trekantens indskrevne cirkel. Bevis, at trekanten er ligesidet hvis og kun hvis h a + h b + h c = 9r. Opgave 7. Vis, at blandt alle trekanter med en indskreven cirkel med radius 1, har den ligesidede trekant den mindste omkreds. Opgave 11. Vis, at uanset hvordan 15 punkter afsættes inden for en cirkel med radius 2 (cirkelranden er medregnet), vil der eksistere en cirkel med radius 1 (cirkelranden medregnet), som indeholder mindst 3 af de 15 punkter. Opgave 14. Lad p > 4 være et primtal. Bevis, at 360 går op i tallet Opgave 16. Lad x, y og z være hele tal. Bestem samtlige løsninger til ligningen (p 2)(p 1)p(p + 1)(p + 2). 3 x + 1 = 5 y + 7 z. Opgave 18. Givet n forskellige hele tal a 1, a 2,...,a n, hvor n > 1. Vis, at der ikke findes noget m tegradspolynomium (0 < m < n) med heltallige koefficienter og højestegradkoefficient 1, der går op i polynomiet f(x) = (x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) 1. Opgave 19. Vis, at der for n positive tal a 1, a 2,...,a n altid gælder, at ( 1 (a 1 + a a n ) ) n 2 a 1 a 2 a n og at lighed kun gælder for a 1 = a 2 = = a n. 2
3 Aritmetiske opgaver En del opgaver, ligninger og uligheder, lader sig elegant løse ved at bruge den kendsgerning, at et kvadrat er større end eller lig nul. Som et eksempel ser vi på: Opgave 1. Bevis, at der for positive tal a, b, c og d gælder a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ab + bc + cd + da og vis, at lighed kun gælder for a = b = c = d. Bevis. 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 + 2d 2 2ab + 2bc + 2cd + 2da (a 2 2ab + b 2 ) + (b 2 2bc + c 2 ) + (c 2 2cd + d 2 ) + (d 2 2da + a 2 ) 0 (a b) 2 + (b c) 2 + (c d) 2 + (d a) 2 0 hvor lighed kun gælder for a = b = c = d. Regn evt. selv følgende opgaver: Opgave 2. Vis, at det for alle positive tal x gælder, at og at lighed kun gælder for x = 1. x + 1 x 2 Opgave 3. Lad x og y være positive tal med x + y = 1. Vis, at ( )( ) 9. x y 3
4 Differentialregning Opgaverne 2 og 3 var eksempler på opgaver, som lod sig regne ved at benytte aritmetiske omformninger. Men de kunne naturligvis også være løst ved at benytte differentialregning. Følgende opgave er et typisk eksempel på en opgave, der løses ved differentialregning: Opgave 4. I et koordinatsystem er givet de to punkter A(0, 10) og B(0, 40), som fastlægger et linjestykke AB på andenaksen. Fra hvilket punkt X på førsteaksen med positiv førstekoordinat betragtes linjestykket AB under den største vinkel? B(0, 40) A(0, 10) O u v C(x, 0) w Bevis. Afsæt punkterne O(0, 0), A(0, 10), B(0, 40) og C(x,0), x > 0. OCB = w, OCA = u, ACB = OCB OCA = w u = v. De retvinklede trekanter giver: tanw = 40 x, tan u = 10 x Nu bruges formlen: tan v = tan(w u) = tan w tan u 1 + tanw tanu (Her anvendes en formel, der ikke bruges så ofte. Man kan godt slippe igennem uden denne formel, men regnearbejdet vil så i de fleste tilfælde vokse noget.) tan v = 40 x 10 x x 10 x = 30 x x 2 = 30x x Vinkel v er størst, når tanv = 30x = f(x) er størst: x f (x) = 30(x ) 30x 2x (x ) 2 = 30(400 x2 ) (x ) 2 f (x) = 0 x = 20 og f (x)-fortegnsvariationen viser, at x = 20 er maksimumssted....men opgaven kan også løses sådan: 4
5 B B(0, 40) M(0, 25) Q 15 A v A(0, 10) C C Tegn en cirkel gennem A, B og C. Vinkel v er størst når buen AB eller korden AB er relativt størst, altså når cirklen er mindst. Cirklen skal altså tangere x-aksen i C. Centrum Q ligger i samme højde som midtpunktet M af AB, M = (0, 25). AMQ er retvinklet med AM = 15, AQ = QC = 25 og Pythagoras giver x = OC = MQ = 20. Herefter kunne det være nærliggende at prøve med: Opgave 5. En mand i en robåd befinder sig i punktet A i 2 kilometers afstand fra en retlinet kyststrækning. Ved først at ro ind til punktet P og derefter spadsere langs kysten når han frem til punktet B, som ligger i en afstand af 5 km fra C, der er punktet på kysten nærmest A. Mandens ro-hastighed er 3 km i timen og hans spadsere-hastighed er 5 km i timen. Afgør, hvor P skal placeres mellem C og B, så manden på kortest mulig tid kommer fra A til B. 5
6 Geometriopgaver Opgave 4 kunne opfattes som en overgang fra differentialopgaver til geometriske opgaver, og igen er det naturligvis sådan, at også geometriopgaver ofte løses ved at benytte andre matematiske discipliner. Den følgende geometriopgave regnes ved rent aritmetiske omformninger: Opgave 6. I trekant ABC betegnes længden af højderne h a, h b og h c og r er radius i trekantens indskrevne cirkel. Bevis, at trekanten er ligesidet hvis og kun hvis Bevis. h a + h b + h c = 9r. 2s = a + b + c, rs = T r 2T = 1 2s = 1 a + b + c, h a + h b + h c = 9r h a 2T + h b 2T + h c 2T = 9 r 2T 1 a + 1 b + 1 c = 9 a + b + c a + b + c + a + b + c + a + b + c a b c... en del udregninger... hvoraf det ønskede resultat aflæses. a h a = 2T h a 2T = 1 a. = 9 a(b c) 2 + b(a c) 2 + c(a b) 2 = 0, I forbindelse med geometriopgaver må det varmt anbefales at tegne en brugbar figur. Som et eksempel på en vanskelig geometriopgave, der kan løses ad mange forskellige veje, kommer her: Opgave 7. Vis, at blandt alle trekanter med en indskreven cirkel med radius 1, har den ligesidede trekant den mindste omkreds. Det her benyttede bevis anvender meget elegant Jensens ulighed. Bevis. x + y + z er lig den halve omkreds. O er den indskrevne cirkels centrum. De halve centervinkler (se figuren) kaldes α, β og γ: 0 < α, β, γ < 90, α + β + γ = 180. Fra AOH fås tanα = x 1 = x og analogt fås tanβ = y og tan γ = z. Ved addition fås: tan α + tanβ + tanγ = x + y + z = s. Da tan er konveks på ]0 ; 90 [ (se (*) nedenfor), kan Jensens ulighed benyttes: ( ) 1 α + β + γ (tanα + tanβ + tanγ) tan = tan 60 = hvor lighed kun gælder hvis α = β = γ (= 60 ). Den halve omkreds s og dermed hele omkredsen er altså mindst, hvis trekanten er ligesidet og mindsteværdien er 2s min = 6 3. (*) Bevis for at tan er konveks: tan (x) = (1 + tan 2 x) = 2 tanx(1 + tan 2 x) > 0 for x ]0 ; 90 [. 6
7 C z z x γ γ α α β β y A x H y B Som mere overkommelige geometriopgaver kan nævnes: Opgave 8. I det indre af en ligesidet trekant ABC med sidelængde a er givet et punkt P. Fra dette punkt er den vinkelrette afstand til siderne AB, BC og CA henholdsvis u, v og w. Bevis, at 2(u + v + w) = a 3. Opgave 9. Længden af diameteren AB i en cirkel er et to-cifret halt tal (i titalsystemet). Byttes om på cifrene fås længden af den på AB vinkelrette korde CD. Afstanden fra skæringspunktet mellem AB og CD til cirklens centrum O er et positivt, rationalt tal. Bestem længden af diameteren AB. Og her er en geometriopgave, hvor der faktisk ikke skal regnes overhovedet: Opgave 10. Lad C være en cirkel og P et givet punkt i planen. Enhver linje gennem P, som skærer C i to punkter fastlægger en korde. Vis, at samtlige kordemidtpunkter ligger på en cirkel. 7
8 Skuffeprincippet Populært udtrykt siger skuffeprincippet, at skal nogle ting lægges i skuffer, så vil mindst to ting havne i samme skuffe, hvis der er flere ting, end der er skuffer. I de engelsksprogede lande kaldes dette for the pidgeon-hole principle. Denne ret simple kendsgerning kan føre til løsning af vanskelige matematiske opgaver: Opgave 11. Vis, at uanset hvordan 15 punkter afsættes inden for en cirkel med radius 2 (cirkelranden er medregnet), vil der eksistere en cirkel med radius 1 (cirkelranden medregnet), som indeholder mindst 3 af de 15 punkter. Beviset føres ved at overdække den oprindelige cirkel med 7 cirkler med radius 1. Den første cirkel har samme centrum som den oprindelige. I den oprindelige cirkel indskrives en regulær 6-kant og med denne 6-kants sider som diametre, tegnes de sidste 6 cirkler. Det overlades til læseren at eftervise, at foreningsmængden af de 7 cirkler indeholder den oprindelige. Ifølge skuffeprincippet må en af de 7 cirkler indeholde 3 eller flere af de 15 punkter. Ved en lignende fremgangsmåde kan følgende opgave løses: Opgave 12. I et kvadrat med sidelængde 1 befinder sig 51 punkter. Bevis, at der uanset punkternes placering, findes en cirkel med radius 1 7, så denne cirkel i sit indre indeholder mindst 3 af punkterne. I næste opgave skal der tænkes i lidt andre baner, men igen giver skuffeprincippet en elegant løsning: Opgave 13. Lad n være et naturligt tal. Vis, at når a 1, a 2,...,a n er naturlige tal (ikke nødvendigvis indbyrdes forskellige), så vil der findes en delsum s s = a i1 + a i2 + + a ik, hvor 1 i 1 < i 2 < < i k n således, at s er delelig med n. 8
9 Talteori I talteoretiske opgaver er det ofte en god ide at interessere sig for faktorer eller divisorer, ofte primfaktorer. En ikke alt for vanskelig opgave er følgende: Opgave 14. Lad p > 4 være et primtal. Bevis, at 360 går op i tallet (p 2)(p 1)p(p + 1)(p + 2). Bevis. p > 4 er et primtal. Sæt P = (p 2)(p 1)p(p+1)(p+2). 2 4 = 8 går op i (p 1)(p+1), 3 2 går op, da 3 går op i 2 af faktorerne og desuden må 5 gå op (der er jo 5 på hinanden følgende hele tal i produktet). Produktet = 360 går altså op i P. Herefter kan du selv prøve kræfter med: Opgave 15. Tallet 1980 er interessant. Det viser dig, at 1980 går op i Bevis dette Der findes en del opgaver, hvor argumentationen bliver overskuelig ved at regne med restklasser, altså regne modulo n. Her er et par eksempler: Opgave 16. Lad x, y og z være hele tal. Bestem samtlige løsninger til ligningen 3 x + 1 = 5 y + 7 z. Bevis. Det ses forholdsvis let, at x, y og z må være ikke-negative. Desuden indses, at hvis ét af de tre tal er 0, må alle tre være 0, altså x = y = z = 0 er en løsning. Er x, y og z positive heltal regnes modulo 6: 3 x y + 7 z (mod 6) 3 x + 1 ( 1) y + 1 z (mod 6) Her gælder 3 x 3 (mod 6) og 1 z 1 (mod 6), som giver ( 1) y + 1 (mod 6) ( 1) y 3 (mod 6), som ikke kan løses. Eneste løsning er altså den trivielle x = y = z = 0. Opgave 17. Find alle primtal p, for hvilke det gælder: 2 p + p 2 er et primtal. 9
10 Polynomier Her er en vanskelig (meget svær) opgave, hvor en del af løsningen foretages ved den ret simple konklusion, at hvis et polynomium har alt for mange nulpunkter, så er det nulpolynomiet. Dette er jo ikke nogen heldig matematisk formulering, men beviset for den stillede opgave afslører, hvad argumentationen mere præcist drejer sig om. Opgave 18. Givet n forskellige hele tal a 1, a 2,...,a n, hvor n > 1. Vis, at der ikke findes noget m tegradspolynomium (0 < m < n) med heltallige koefficienter og højestegradkoefficient 1, der går op i polynomiet f(x) = (x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) 1. Bevis. Beviset føres indirekte. Vi antager altså, at der findes et polynomium g(x) af den ønskede art, der går op i f(x). Vi har så f(x) = g(x) h(x) og 1 grad(g) n 1. Det er nu essentielt, at her må også h(x) have heltallige koefficienter. Dette indses f.eks. ved formelt at gange g(x) og h(x) sammen (kald koefficienterne for a i,...,a 0 og b j,...,b 0 med i+j = n) og sammenligne produktets koefficienter med f(x) s koefficienter startende med koefficienterne til x n, derpå koefficienterne til x n 1 osv. Det er desuden klart, at 1 grad(h) n 1. For alle a i gælder f(a i ) = 1 og dermed g(a i ) h(a i ) = 1. De hele koefficienter i g(x) og h(x) sikrer nu, at g(a i ) og h(a i ) er hele tal, og da produktet er 1 må g(a i ) = h(a i ) = ±1. Og nu følger et flot ræsonnement: polynomiet g(x) + h(x) er derfor 0 for alle a i. Samtidig gælder 1 grad(g + h) n 1, og da antallet af nulpunkter dermed er større end graden (her kommer den præcise formulering) må g(x) + h(x) være nulpolynomiet altså identisk 0. g(x) + h(x) = 0 h(x) = g(x), og f(x) = g(x) h(x) = (g(x)) 2. Men hermed er vi nået til en modstrid, idet f(x) går mod uendelig for x gående mod uendelig og (g(x)) 2 klart går mod minus uendelig for x gående mod uendelig. Vores antagelse om eksistens af g(x) må derfor være forkert. 10
11 Induktionsbeviser I hjørnet med talteori er der en del sætninger, der vises ved induktion. Det efterfølgende forudsætter derfor kendskab til induktionsaksiomet (eller til anvendelse af induktionsbeviser). Det er ikke så svært at få fat i en bog, der omtaler dette aksiom. Opgaven kan (selvfølgelig) også løses uden brug at induktion her kommer den: Opgave 19. Vis, at der for n positive tal a 1, a 2,...,a n altid gælder, at ( 1 (a 1 + a a n ) ) n 2 a 1 a 2 a n og at lighed kun gælder for a 1 = a 2 = = a n. Bevis. Det oprindelige udsagn (at påstanden gælder for det naturlige tal n) kaldes P(n). For n = 1 er påstanden P(1): a 1 1 a 1 1 2, som jo er sand. For n = 2 er P(2): ( 1 (a 1 + a 2 ) + 1 ) a 1 + a ( ) 2 a ( 1 ) 2, a 1 a 2 a 2 a 1 a 2 a1 a 2 som er sandt ifølge resultatet fra opgave 2. Lighed gælder her kun for a 1 = a 2. Antag nu, at påstanden er sand for n (at P(n) er et sandt udsagn). Vi ønsker at vise, at under denne forudsætning er også P(n + 1) et sandt udsagn: ( 1 P(n + 1) : (a 1 + a a n + a n+1 ) ) (n + 1) 2 a 1 a 2 a n a n+1 (( 1 ((a 1 + a a n ) + a n+1 ) ) + 1 ) (n + 1) 2 a 1 a 2 a n a n+1 ( 1 (a a n ) ) ( a a ) n a 1 a n a n+1 a n+1 ( an a ) n n 2 + 2n + 1 a 1 a n ( ) 1 (a a n ) ( a1 + + a n+1 a n+1 a 1 ) a 1 a n ( an + a n+1 a n+1 a n ) n 2 + 2n, som er sandt, da det første produkt ( er større) end eller lig med n 2 ifølge induktionsantagelsen, og de efterfølgende parenteser: a1 a n+1 + a n+1 a 1 hver er større end eller lig 2, ifølge opgave 2. Det ses desuden, at lighed kun gælder hvis alle a i er lige store. Ifølge induktionsaksiomet gælder påstanden P(n) for ethvert naturligt tal n. Her er til slut et par induktionsopgaver, så du selv kan prøve teknikken. Prøv at give opgaverne en sådan udformning, at induktionsideen træder klart frem: Opgave 20. Bevis, at 23 går op i T n = 5 2n n+1, hvor n er et positivt helt tal. 11
12 Opgave 21. Om to reelle tal x og y gælder, at x + y = u og xy = v. Vis, at x n + y n kan skrives som en hel rationel funktion af u og v af n te grad i u, hvis koefficienter alle er hele tal (n 2). (x n + y n skal altså skrives på formen 0 i,j n A i,ju i v j, hvor A i,j er hele tal). 12
er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs merePå opdagelse i GeoGebra
På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mere1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAllan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg
Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereGeometri med Geometer II
hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereLille Georgs julekalender 08. 1. december
1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereBaltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger
Baltic Way opgavesæt Sorø 005 Løsninger 1. Lad r > 1 være et reelt tal og lad a n være givet ved a n = 1 ( r n 1 ) n r n for n 1. Bevis at a n+1 > a n for alle n 1. Løsning: Vi har følgende serie af biimplikationer:
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereGeomeTricks Windows version
GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mere