VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

Transkript

1 VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette projekt vil vi berøre emnet monotoniforhold, og benytte relevante matematiske formler til at beregne punkter og afstande med udgangspunkt i et vejanlæg samt pumpestation, ved hjælp af en figur af en trekant. Projektet indeholder lidt teori, som skal kunne give læseren lidt viden omkring udregningerne af de relevante stillede opgaver samt forhåbentlig at illustrere, hvordan man kan udnytte de forskellige optimeringsopgaver til at løse virkelige problemstillinger.

2 Indholdsfortegnelse Indledning... 0 Hvordan hænger monotoniforhold sammen med differentialregning?... 2 Opgave 1 - afstande... 4 Opgave 2 - kommunal vej... 7 Opgave 3a - afstand... 9 Opgave 3b - kommunal vej Konklusion

3 Hvordan hænger monotoniforhold sammen med differentialregning? For at få en nemmere forståelse for, hvordan disse begreber, monotoniforhold og differentialregning hænger sammen, handler det egentlig om, hvordan man skal se det an. Antag, at en funktion af følgende: f(x) = x 2 5x + 5 er givet. Dette er blot en andengradspolynomium, som kan differentieres, eller som man siger: Funktionen bliver til en afledt funktion. Funktionen differentieres og den vil se sådan ud: f (x) = 2x 5 Funktionen kommer fra en andengradspolynomium til en førstegradspolynomium. Der er kun en ubekendt, nemlig x. Monotoniforholde kan ikke bruges ved alm. funktioner, hvis vi sætter f(x) = 0. Det kan man kun, hvis funktionen er differentieret. Korrekt vil det se sådan ud: f (x) = 0. Derved vil den afledte funktion se sådan ud: 2x 5 = 0, idet vi sætter vores f (x) imod 0. Monotoniforholde kan findes, ved at lave en monotonilinje. Dette kræver dog, at man kender sin x værdi. I vores tilfælde er det blot en helt almindelig førstegradsligning. Vi finder x. 2x 5 = 0 2x = x 2 = 5 2 x = 2.5 Da man nu kender sin x værdi, kan man tegne en monotonilinje, som ser sådan ud: I dette tilfælde har vi kun en x værdi, idet vi differentierede en andengradspolynomium. Havde det været en tredjegradspolynomium, som var blevet differentieret, vil der havde været to punkter hvor f (x) = 0. Dette kan også gøres med en fjerdegradspolynomium mm. En monotonilinje viser blot, om hvornår funktionen er voksende, aftagende eller om funktionen har en vandret vendetangent. I vores tilfælde kan man finde ud af, hvornår f(x) er voksende, idet vi sætter et tal ind i den differentierede funktion, som enten er > < end 2.5. Her ses nogle eksempler, hvor vi tager tallet 1 og 3 og indsætter i den differentierede funktion. f (1) = = 3 f (3) = = 1 Med et hurtigt øjekast, kan man se, hvad resultatet bliver. Disse tal, angiver hvornår vi kan definere, om funktionen er enten voksende eller aftagende. Her ses, at tallet der er mindre end 2.5 er et negativt tal, hvilket indikerer, at den er aftagende i dette punkt. Tilsvarende gælder det samme for tallet, der er større end 2.5. Her er den blot voksende. Disse informationer kan bruges i vores monotonilinje. 2

4 Dette vil være vores monotonilinje. Ifølge den, vil vores f(x) være aftagende i punktet ] ; 2.5] hvor f(x) vil være voksende i punktet [2.5; [. Dette kan visualiseres i et CAS program som f.eks. Maple eller GeoGebra. Et skærmprint kan bevise vores påstand. Vores påstand passer. Når man taler om monotoniforholde er der også noget, der kaldes for ekstrema. Ekstrema er et begreb for, hvornår en funktion har sin maksimale eller minimale værdi. I vores tilfælde vil den have en global minimum i punktet x = 2.5 med den tilsvarende y værdi på Dette kan aflæses fra grafen, men også udregnes, hvis man indsætter 2.5 i den oprindelige funktion f(x). Hvilket, endnu en gang beviser vores påstand. f(2.5) = = 1.25 Monotoniforholde kan også bruges i forbindelse med virkelige problemstillinger, hvor optimering finder sted. Det kunne f.eks. være en virksomhed, der ville maksimere sit overskud, eller en konservesfabrik, der ville minimere sit metalforbrug. I de følgende opgaver vil man kunne se, hvordan optimering og differentialregning finder sted. I dette tilfælde vil det være en pumpestation, som skal forsyne tre byer. 3

5 Opgave 1 - afstande I denne her delopgave skal man som det første aflæse sin figur, som er angivet samt oplysninger man får af vide. Man kan sætte dem op som følgende: Informationerne for denne opgave er givet ved: AC = BC = 5km AB = 8km Her kan man dele trekanten op, så man har to retvinklede trekanter. Da afstanden for begge sider er ens, så er det lige meget hvilken side man regner først. For at kunne finde ud af hvad højden CH er, kan man tage Pythagoras læresætning: a 2 + b 2 = c 2 Man tager derfor sine oplysninger og indsætter. Da man kender kat 1 og hyp, skal man løse en ligning. Man indsætter det fra figuren. Hvilket altså angiver højden CH. CH 2 + AH 2 = AC 2 CH 2 = AH 2 AC 2 CH 2 = CH = CH = 3 4

6 Da vi nu kender højden, CH som er 3, skal man kunne finde den ønskede afstand fra C til H. Dette kan man gøre ved at sige 3 x idet den ukendte afstand er x, og man kan kalde hyp for y. Dette giver os en ligning Man kan sætte den op sådan: x = y 2 Her kan man reducere på det og indsætte 3 x i funktionen. y 2 = (3 x) y = 9 6x + x y = x 2 6x + 25 Dette er vores funktion, som skrives f(x). Her mangler vi blot den ubekendte og da det er to længder man regner, vil funktionen se sådan ud: f(x) = x + 2 x 2 6x + 25 Den funktion differentieres. Dette gøres via Maple Funktionen vil derved se sådan ud: f 2x 6 (x) = 1 + x 2 6x + 25 Her kan den ubekendte x værdi findes og man kan lave en monotonilinje over den. Dette er vores monotonilinje. Hvis man kiggede i introduktionen til projektet, fik man en idé om, hvad man skulle gøre. I dette tilfælde findes to talværdier, der er hhv. mindre og større end Her kan man f.eks. tage -1 og 2 og indsætte i den afledte funktion. f 2 ( 1) 6 ( 1) = 1 + ( 1) 2 6( 1) + 25 = f (2) = = Nu kender vi tallene mellem Derved kan monotonilinjen færdigøres. 5

7 Dette giver et billede af, hvornår funktionen er voksende og aftagende. Nu kan man finde ud af, hvornår afstanden fra P til C er mindst mulig. Dette gøres på følgende måde: Så nu kan den samlede rørlængde findes Altså = km f(0.6905) = = km ca. Billedet viser lidt, hvordan det vil se ud. Bemærk, at f(x) ikke kan ses på tegningen, idet den er lokaliseret længere oppe af tegningens y akse. 6

8 Opgave 2 - kommunal vej I den her opgave kan man se på sin skitse, og spørge om, hvor det er billigst at placere punktet S i forhold til den nye amtsvej. Skitsen ser sådan ud: I dette tilfælde tager vi vores lille retvinklede trekant (venstre), som angivet nedenfor: Her bliver siderne sat som var det siderne på en alm retvinklede trekant med Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2. Af disse oplysninger, kan man regne lidt på det. y 2 = (4 x) y = x 2 8x + 25 Dette er hypotenusen i den lille trekant. Hvis man udvider sit fokus, og antager, at funktionen gælder for afstanden y. Så skal det ganges med 6, idet at en ny vej koster 6mio. pr. km. For katete 1 gælder det, at prisen er 4mio. pr. km, fordi den allerede ligger på en anlagt vej. Af disse oplysninger kan man lave en funktion. f(x) = 4 x + 6 x 2 8x + 25 Dette giver funktionen for prisen. Så er spørgsmålet bare om hvor det er billigst at placere punktet S. Funktionen differentieres via Maple

9 f 3(2x 8) (x) = 4 + x 2 8x + 25 Tallet x isoleres og sættes = 0. Dette giver resultatet x = Derved tegner vi en monotonilinje. Dette er vores monotonilinje. Hvis man kiggede i introduktionen til projektet, fik man en idé om, hvad man skulle gøre. I dette tilfælde findes to talværdier, der er hhv. mindre og større end Her kan man f.eks. tage 1 & 2 og indsætte i den afledte funktion. f 3(2 1 8) (1) = = f 3(2 2 8) (2) = = Nu kender vi tallene mellem Derved kan monotonilinjen færdigøres. Dette giver et billede af, hvornår funktionen er voksende og aftagende. Da er det totale punkt, hvor den rammer x-aksen, vil det være billigst at placere vejen der. Prisen for vejen kan regnes ved at indsætte ind i f(x). Dette gøres på følgende måde. f(1.316) = Så prisen for vejen vil ramme mio. kr. Punktet S skal placeres ved 2.6km afstand mod punktet H, fordi 4km km = km Billedet viser lidt - på næste side - hvordan det vil se ud. Bemærk, at f(x) ikke kan ses på tegningen, idet den er lokaliseret længere oppe af tegningen. Dette ses næste side. 8

10 Opgave 3a - afstand I denne her delopgave skal man som det første aflæse sin figur, som er angivet samt oplysninger man får af vide. Man kan sætte dem op som følgende: Informationerne for denne opgave er givet ved: AB = 8km CB = 3km Som man gjorde i delopgave 1, skal man næsten gøre det samme her. Betingelserne skal være det samme, så derfor er figuren (ovenfor) bygget op sådan. Den ubekendte længde er P til C. 9

11 For at kunne finde ud af hvad x er, kan man tage Pythagoras læresætning: a 2 + b 2 = c 2 Man tager derfor sine oplysninger og indsætter. Dette ses nedenfor y 2 = x 2 y = 16 + x 2 Her er x udtrykt ved hjælp af Pythagoras. Dette er nemlig rørlængderne AP og BP. Denne her skal ganges med 2, idet den gælder for begge sider. Her tages kun den ene side. Nu kan man kigge på sin store figur og lave en hjælpetrekant, som er det sidste led i forbindelse med at finde sin f(x). For at gøre det mere overskueligt, splittes trekanten op i mindre dele. Bemærk, at et nyt punkt, Q er tilføjet, for at gøre det lettere at overskue. Grundlinjen er 4km, da grundlinjen for den store trekant har den samme længde. CQ er 3 x, da x var længderne nede, som også blev udtrykt før, fra C til H. Her skal man igen bruge Pythagoras læresætning. Dette sættes op som følgende: 10

12 Dette løses sådan: PC 2 = PQ 2 + CQ 2 PC 2 = (3 x) 2 PC = x 2 6x + 25 Grunden til dette resultat er, at (3 x) 2 bliver lagt sammen. Derved er afstanden P til C udtrykt. Opgaven lød på, at man skulle finde den mindste pris for afstanden. + den samlede længde fra C til P. Nu tages: Og Som sættes sammen følgende: y = 16 + x 2 PC = x 2 6x + 25 f(x) = x 2 6x x 2 Dette er vores funktion, Her mangler vi blot den ubekendte og da det er to identiske længder og en anden længde, vil funktionen være, som angivet før. Den funktion differentieres. Dette gøres via Maple Et skærmbillede viser, hvordan det udføres. Funktionen vil derved se sådan ud: f (x) = ( 1 2 ) 2x 6 (x 2 6x + 25) + 2x (x ) Her kan den ubekendte x værdi findes dette gøres ved hjælp af Maple x = Hvilket kan indsættes i en monotonilinje. 11

13 Dette er vores monotonilinje. Hvis man kiggede i introduktionen til projektet samt opgave 1, fik man en idé om, hvad man skulle gøre. I dette tilfælde findes to talværdier, der er hhv. mindre og større end 0, Her kan man f.eks. tage 1 og 2 og indsætte i den afledte funktion. f ( 1) = ( 1 2 ) 2( 1) 6 (( 1) 2 6( 1) + 25) + 2( 1) (( 1) ) = f (2) = ( 1 2 ) ( ) ( ) = Nu kender vi tallene mellem Derved kan monotonilinjen færdigøres. Dette giver et billede af, hvornår funktionen er voksende og aftagende. Nu kan man finde ud af, rørets samlet længde. Dette gøres på følgende måde: Altså f(0.9404) = km ca. Som altså er den samlede længde. Nu skal den korteste afstand findes. Dette gøres på følgende måde, ved hjælp af Pythagoras = CP CP = Som altså vil være den korteste afstand fra C til P. Visualisering af figuren ses ved hjælp af GeoGebra. 12

14 Opgave 3b - kommunal vej I den her opgave kan man se på sin skitse, og spørge om, hvor det er billigst at placere punktet S i forhold til den nye amtsvej. Skitsen ser sådan ud: I dette tilfælde skærer vi alle de unødvendige trekanter væk, så vi har de relevante for opgaven: Her bliver siderne sat som var det siderne på en alm retvinklede trekant med Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2. Af disse oplysninger, kan man regne lidt på det. y 2 = (8 x) y = x 2 16x + 73 Dette er hypotenusen i den lille trekant. Hvis man udvider sit fokus, og antager, at funktionen gælder for afstanden y. Så skal det ganges med 6, idet at en ny vej koster 6mio. pr. km. For katete 1 (grundlinjen) gælder det, at prisen er 4mio. pr. km. Af disse oplysninger kan man lave en funktion. f(x) = 4 x + 6 x 2 16x

15 Dette giver funktionen for prisen. Så er spørgsmålet bare om hvor det er billigst at placere punktet S. Funktionen differentieres via Maple 2015 f 3(2x 16) (x) = 4 + x 2 16x + 73 Tallet x isoleres. Dette giver resultatet x = En monotonilinje tegnes. Dette er vores monotonilinje. Hvis man kiggede i introduktionen til projektet, fik man en idé om, hvad man skulle gøre. I dette tilfælde findes to talværdier. Her kan man f.eks. tage 4 & 8 som er fra og indsætte i den afledte funktion. f 3(2 4 16) (1) = = 0.8 f 3(2 8 16) (2) = = 4 Nu kender vi tallene mellem Derved kan monotonilinjen færdigøres. Dette giver et billede af, hvornår funktionen er voksende og aftagende. Da er det totale punkt, hvor den rammer x aksen, vil det være billigst at placere vejen der. Prisen for vejen kan regnes ved at indsætte ind i f(x). Dette gøres på følgende måde. f( ) = = Så prisen for vejen vil ramme 45.41mio. kr. Punktet S skal placeres ved 2.6km mod punktet B, fordi 8km km = Visualisering ses nedenfor i GeoGebra: 14

16 Konklusion På vegne af indledningen, kan vi i projektet konkludere, at virkelige problemstillinger kan løses ved hjælp af optimering i forbindelse med monotoniforholde og differentiering. Dette viser, hvad man kan opstille af matematikske modeller, ud fra en givet tegning omkring de anlagte byer på de forskellige områder. Projektet har tildeles også givet erfaring. Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Februar