Formelsamling Kaos 2005
|
|
- Sandra Anne Graversen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Formelsamling Kaos 2005 Lykke Pedersen Indhold 1 En dimension Fixpunkter og stabiliet Bifurkationer To dimensioner Lineære systemer Faserum Grænsecykler Bifurkationer Poincaré maps Kaos Lorenz systemer En dimensionale maps Fraktaler Sære attraktorer
2 1 EN DIMENSION 2 1 En dimension 1.1 Fixpunkter og stabiliet Pile: ẋ > 0: mod højre ẋ < 0: mod venstre Logistisk ligning Ṅ = rn ( 1 N ) K hvor K er den bærende kapacitet. N = 0 er ustabilt, og N = K er stabilt. Stabilitet f (x) > 0: ustabilt f (x) < 0: stabilt Eks. og entydighed Betragt begyndelsværdi problemet ẋ = f(x) x(0) = x 0 Antag at f(x) og f (x) er kontinuerte på et åbent interval R på x-alsen og antag, at x 0 er et punkt i R. Så har begyndelsværdi problemet en løsning x(t) på et interval ( τ, τ) om t = 0, og løsningen er entydig. Periodicitet Der er ingen periodiske løsninger til ẋ = f(x). Potentialer Potentialet defineres som f(x) = dv dx med ẋ = f(x) = dv/dt fås ( ) dv dv dt = 0 dt dv = 0: ligevægt; V er konstant dx Lokalt minimum: stabilt fixpunkt. Lokalt maksimum: ustabilt fixpunkt.
3 1 EN DIMENSION Bifurkationer Saddle-node Typisk ligning for saddle-node bifurkation: ẋ = r + x 2 eller ẋ = r x 2 Der opstår to fixpunkter ud af ingenting. Transkritisk Typisk ligning for transkritisk bifurkation: ẋ = rx x 2 Der skiftes stabilitet af fixpunkterne. Superkritisk pithc. Typisk ligning for superkritisk pitchfork bifurkation: ẋ = rx x 3 Invariant under skift fra x til -x. x 3 virker stabiliserende. Et stabilt fixpunkt x = 0 skifter stabilitet ved r = 0, og to nye stabile fixpunkter opstår x = ± r. Subkritisk pithcfork Typisk ligning for superkritisk pitchfork bifurkation: ẋ = rx + x 3
4 2 TO DIMENSIONER 4 x 3 virker destabiliserende. x = 0 er stabilt for r < 0 men skifter stabilitet ved r = 0. x = ± r er ustabile for r > 0 og forsvinder for r 0. Afdimensionalisering Se bogen s.61. Ved højere ordensled kan systemet stabiliseres og stadig være invariant under skift fra x til -x. F.eks stabileres hvis ẋ = rx + x 3 x 5 her kan der opstå hysterese se s. 59. Uperfekte bif. Man kan addere en konstant h 0 til pitchfork bifurkationerne, derved får man en uperfekt bifurkation. F.eks. ẋ = h + rx x 3 Der sker en saddle-node birfurkation for h c (r) = 2r 3 r 3 Der er ét fixpunkt for h < h c (r) og 3 fixpunkter for h > h c (r). Plotter man x over (r,h)-planen får man en cusp katastrofe plan. 2 To dimensioner 2.1 Lineære systemer Mangfoldighed Den stabile mangfoldighed for saddelpunktet x er defineret, som det sæt af begyndelsesværdier x 0 sådan at x(t) x for t. Den ustabile mangfoldighed for saddelpunktet x er defineret, som det sæt af begyndelsesværdier x 0 sådan at x(t) x for t. Tiltrækkende For alle traktorier tæt på x gælder der x(t) x for t Liapunov stabil Fixpunktet x er Liapunov stabilt, hvis alle traktorier som starter tæt på x, forbliver tæt på det hele tiden.
5 2 TO DIMENSIONER 5 Stabilt x er både tiltrækkende og Liapunov stabilt. Center Alle egenværdier er imaginære. Perioden er T = 1 2 2π 4 τ 2 Spiral Komplekse egenværdier optræder. Stabil hvis Re(λ) < 0 og ustabil hvis Re(λ) > Faserum Nullclines Defineres som linier hvor ẋ = 0 eller ẏ = 0. Eks. og entydighed Betragt begyndelsesværdi problemet ẋ = f(x), x(0) = x 0. Antag at f er kontinuert, og at alle dens partielle afledede f i / x j, i, j = 1,..., n er kontinuerte for x i et åbent interval D R n. Så gælder for x 0 D, at begyndelsesværdiproblemet har en løsning x(t) på et tidsinterval ( τ, τ) omkring t = 0, og løsningen er entydig. Poincaré-Bendixson Hvis en traktorie er indesluttet i en lukket, begrænset region, og der ikke er nogen fixpunkter i den region, så vil traktorien nærme sig en lukket kurve. Jacobiant ( f x g x f y g y ) (x,y ) Linearisering ( u v ) = ( f x g x f y g y ) ( u v Kan kun bruges til afgørelse af saddel punkter, knuder eller spiraler. ) Robust Repellers: begge egenværdier har en positiv real del. Attraktorer: begge egenværdier har en negativ real del. Saddles: en egenværdi er negativ den anden er positiv. Marginal Centers: Begge egenværdier er kun imaginære. Higher-order and non-isolated fixedpoints: mindst en egenværdi er nul. Hyperbolsk Re(λ) 0 for begge egenværdier. Linearisering giver den eksakte stabilitet.
6 2 TO DIMENSIONER 6 Basin of attr. Givet et tiltrækkende fixpunkt x, så er sættet af begyndelsesværdier x 0 for hvilke x(t) x for t defineret som the bassin of attraction. Konservativt system Givet et system ẋ = f(x), så er en bevaret størrelse en reel-funktion E(x), som er konstant på traktorier. Et konservativt system kan ikke have nogle tiltrækkende fixpunkter. Centrer bestemt af linearisering er centrer for konservative systemer. Theorem 6.5.1: Betragt et system ẋ = f(x), hvor x = (x, y) R 2 og f er kontinuert differentiabel. Antag at der eksisterer en bevaret størrelse E(x) og antag, at mathbfx er et isoleret fixpunkt. Hvis x er et lokalt minimum for E, så er alle traktorier tæt på x lukkede. Reversible systemer Ethvert system mẍ = F (x) er symmetrisk under tids ombytning. Hvis (x(t),y(t)) er løsninger, så vil (x(-t),-y(-t)) også være det. Definition: Et reversibelt system er et 2. ordens system som er invariant under t t og y y. F.eks. systemet ẋ = f(x, y) og ẏ = g(x, y) med f lige og g ulige. Theorem 6.6.1: Hvis x = 0 er et lineært center for det kontinuerte diff. system ẋ = f(x, y) og ẏ = g(x, y) og hvis systemet er reversibelt, så vil alle traktorier tæt på origo være lukkede kurver. Indeks Indekset for en lukket kurve C er et heltal, der måler krumningen af vektorfeltet på C. Hvis ẋ = f(x) er et glat vektorfelt i faserummet. Betragt da en simpel, lukket kurve C, som ikke løber gennem nogen fixpunkter. Ved hvert punkt x på C, vil vektorfeltet ẋ = (ẋ, ẏ) danne en vinkel med x-aksen φ = tan 1 (ẏ/ẋ) Lad [φ] C være den totale ændring af φ i løbet af en omgang, så er indekset af den lukkede kurve C med respekt til vektorfeltet f I C = 1 2π [φ] C
7 2 TO DIMENSIONER 7 Under deformation af C ændres I C ikke. I C = 0, hvis C ikke omslutter nogen fixpunkter. I C er uændret under t t. Hvis C er en traktorie for systemet, så er I C = +1. Theorem 6.8.1: Hvis en lukket kurve C omslutter n isolerede fixpunkter x 1,..., x n, så er I C = I 1 + I I n hvor I k er indekset for x k for k = 1,..., n. Theorem 6.8.2: Enhver lukket bane i faserummet må omslutte fixpunkter hvor deres indeks summer til Grænsecykler Grænsecykler Kan ikke opstå ved lineære systemer. Dulacs kriterie Lad ẋ = f(x) være et kontinuert differentiabel vektorfelt defineret på et simpelt forbundet underrum R af faserummet. Hvis der eksisterer en kontinuert reel differentiabel funktion g(x), sådan at (gẋ) har samme fortegn i hele R, så er der ingen lukkede kurver, som udelukkende ligger i R. g(x) kan være 1, 1/x a, y b, e ax og e ay. Poincaré-Bendixson Antag at: 1. R er en lukket, begrænset mængde af rummet. 2. ẋ = f(x) er et kontinuert differentiabel vektorfelt på en åben mængde indeholdende R. 3. R indeholder ikke nogen fixpunkter. 4. Der eksisterer en traktorie C, som er begrænset til R. Så er C enten en lukket bane, eller den spiralerer mod en lukket bane når t. I begge tilfælde indeholder R en lukket kurve 2.4 Bifurkationer Saddle-node Typisk system: ẋ = µ x 2 og ẏ = y
8 2 TO DIMENSIONER 8 Trankritisk Typisk system: ẋ = µx x 2 og ẏ = y Superkritisk pitch. Typisk system: ẋ = µx x 3 og ẏ = y Subkritisk pitchfork Typisk system: ẋ = µx + x 3 og ẏ = y Hopf Kan opstå i faserum med dimension 2. To egenværdier, der er hinandens kompleks konjugerede, krydser den imaginærer akse og kommer ind i højre halvplan. Superkritisk Hopf En stabil spiral ændres til en ustabil spiral omringet af en næsten elliptisk grænsecykel. Typisk system: ṙ = µr r 3 θ = ω + br 2 Generelle regler: Subkritisk hopf Typisk system: 1. Størrelsen af grænsecyklen vokser kontinuert fra 0 og forøges proportionelt med µ µ C, for µ tæt på µ C (se systemet s.250). 2. Frekvensen af grænsecyklen er ca. givet ved ω = Im(λ), evalueret ved µ = µ C. Perioden er T = 2π + O(µ µ Im(λ) C). ṙ = µr + r 3 r 5 θ = ω + br 2 r 3 virker nu destabiliserende. Ved µ = 0 sker en subkritisk Hopf bifurkation hvor den mellemliggende ustabile grænsecykel snørres rundt om det stabile fixpunkt, der bliver ustabilt. Hysterese er muligt. 2.5 Poincaré maps Poincaré map Betragt et n dimensionelt system ẋ = f(x). Lad S være en n-1 dimensionel overflade, hvor ALLE traktorier går igennem og ikke langs med. Poincaré map et P er en afbildning fra S til S. Hvis x k S betegner den k te skæring med S, så er Poincaré map defineret ved x k+1 = P (x k ) Antag at x er et fixpunkt for P, så vil en traktorie der starter ved x også ende ved x efter en tid T.
9 3 KAOS 9 3 Kaos 3.1 Lorenz systemer Lorenz lignigner ẋ = σ(y x) ẏ = rx y xz ż = xy bz σ (Prandtl nummer), b,r (Rayleigh nummer) 0. Løsninger er symmetriske da (x, y) ( x, y) ikke ændrer systemet. V (t) = V (0)e (σ+1+b)t, volumener skrumper eksponentielt. Volumen ændring V = V ḟdv Fixpunkter Origo (x, y, z ) = (0, 0, 0) er saddelpunkt hvis r > 1 og stabil knude for r < 1 (egentlig globalt stabilt fixpunkt). C + og C er fixpunkter for r > 1 med x = y ± b(r 1) og z = r 1. De er lineære stabile for 1 < r < r H = σ(σ + b + 3) σ b 1 og mister stabiliteten i en Hopf bifurkation. Kaos Aperiodisk opførelse på lang sigt i et deterministisk system, som afhænger sensitivt af begyndelsesbetingelserne i et faserum med dimension større end eller lig Aperiodisk: Der er traktorier som aldrig går mod fixpunkter, periodiske baner, eller quasiperiodiske baner når t 2. Deterministisk: systemet har ingen tilfældige inputs eller forstyrrende elementer. 3. Sensitiv afh. af beg.bet.: Nærliggende traktorier separeres eksponentielt hurtigt. Attraktor En attraktor er en lukket mængde som har følgende egenskaber: 1. A er invariant 2. A tiltrækker et åbent sæt af begyndelsesværdier 3. A er minimal Sær attraktor En attraktor der er stærkt afhængig af begyndelsesværdierne.
10 3 KAOS En dimensionale maps Stabilitet λ = f (x ) < 1: x er stabilt. λ = f (x ) > 1: x er ustabilt. λ = f (x ) = 0: x er superstabilt. λ < 0 x n konvergerer mod x via dæmpede oscillationer. λ > 0 x n konvergerer monotont mod x. Logistisk map x n = rx n (1 x n ) med x n 0 og r 0. r < 1: x n 0 for n. Periode fordoblinger: Liapunov eksp. r periode 3 Periode 2 fødes 3, , , , , { } 1 n 1 λ = lim ln f (x i ) n n i=0 λ = for superstabile fixpunkter og cykler. λ < 0 for fixpunkter og stabile cykler. λ > 0 for kaotiske attraktorer. U-sekvens De periodiske attraktorer opstår altid i samme sekvens Feigenbaum 1, 2, 2 2, 6, 5, 3, 2 3, 5, 6, 4, 6, 5, 6 δ = lim n r n rn 1 r n+1 r n = 4, hvor r n betegner en værdi for r, hvor der opstår en bifurkation. Dette gælder for alle unimodale maps, dvs alle dem der ligner det logistiske.
11 3 KAOS 11 Lad x m betegne maksimum for f, og lad d n betegne afstanden fra x m til det nærmeste punkt på en periode 2 n -cykel, så vil d n α = lim = 2, n d n+1 Renormalisering Lad f(x, r) betegne et unimodalt map og x m et maksimum for f. Lad desuden r n betegne den værdi for r, hvor der opstår en 2 n -cykel, og lad R n betegne den værdi for r, hvor den 2 n -cykel er superstabil. En super stabil cykel indeholder altid x m. f renormaliseres ved lim n αn f (2n ) ( x n) α, R = g n 0 (x) hvor g 0 er en universel funktion med et superstabilt fixpunkt. 3.3 Fraktaler Cantor mængden C har en struktur selv på meget lille skala. C er selvsimilær. Dimensionen af C er ikke et heltal. (dim 0,63) Similaritets dim Antag at en mængde består af m kopier af sig selv og skaleret ved en faktor r. Så er similartitets dimensionen givet ved d = ln m ln r Topologisk C-sæt En lukket mængde S kaldes en topologisk cantor mængde hvis den opfylder: 1. S er fuldstændig usammenhængende. 2. S indeholder ikke nogen isolerede punkter; givet et punkt p S og enhver lille distance ɛ > 0, så er der et andet punkt q S med afstanden ɛ til p. Box dimension Lad S være en delmængde af det D-dimensionale Euklidiske rum, og lad N(ɛ) være det mindste antal af D-dimensionale terninger med sidelængder ɛ, der kan dække S. Så er box dimensionen d = lim n ln N(ɛ) ln(1/ɛ)
12 3 KAOS 12 Punktvis dimension Fastsæt et punkt x på attraktoren. Lad N x (ɛ) betegne antallet af punkter på A der ligger i en kugle med radius ɛ om x. Når ɛ forøges vil antallet af punkter indenfor kuglen forøges som N x (ɛ) ɛ d hvor d kaldes den punktvise dimension ved x. Korrelation dim. For at få en dimension af hele A tages gennemsnittet af N x (ɛ) fra den punktvise dimension ved flere x er. Den resulterende størrelse er Hénon map C(ɛ) ɛ d hvor d kaldes korrelations dimensionen. Generelt gælder d korrelation d box. 3.4 Sære attraktorer x n+1 = y n + 1 ax 2 n og y n+1 = bx n Hénon map et er invertibelt. Hénon map et er dissipativt; det sammentrækker arealer med samme hastighed overalt i rummet. For specifikke parametre a og b har Hénon map et en trapping region. Nogle traktorier af Hénon map et går mod uendelig. Areal bevarende Hvis det J(x, y) < 1 for alle (x, y), så er map et areal bevarende. Rössler system ẋ = y z ẏ = x + ay ż = b + z(x c) Det undergår en periode fordoblende vej til kaos.
13 Indeks Afdimensionalisering, 4 Areal bevarende, 12 Attraktor, 9 Sær, 9 Basin of attraction, 6 Bifurkation Hopf, 8 Saddle-node, 3, 7 Subkritisk Hopf, 8 Subkritisk pitchfork, 3, 8 Superkritisk Hopf, 8 Superkritisk pitchfork, 3, 8 Transkritisk, 3, 8 Uperfekt, 4 Cantor mængden, 11 Center, 5 Definition af kaos, 9 Dimension Box, 11 Korrelation, 12 Punktvis, 12 Similaritets, 11 Dulacs kriterie, 7 Eksistens og entydigheds sætning 2 dimensioner, 5 Ekstistens og entydigheds sætning 1 dimension, 2 Feigenbaum, 10 Fixpunkt Hyperbolsk, 5 Lorenz systemet, 9 Marginal, 5 Robust, 5 Stabilt, 5 Tiltrækkende, 4 Grænsecykler, 7 Hénon map, 12 Hysterese, 4 Indeks, 6 Jacobiant, 5 Konservativt system, 6 Liapunov Eksponenten, 10 Stabil, 4 Linearisering, 5 Logistisk Ligning, 2 map, 10 Lorenz lignigner, 9 Mangfoldighed Stabil, 4 Ustabil, 4 Nullclines, 5 Periodicitet, 2 Poincaré map, 8 Poincaré-Bendixson theorem, 5, 7 Potentialer, 2 Rössler system, 12 Renormalisering, 11 Reversible systemer, 6 Spiral, 5 Stabilitet, 2, 10 Topologisk Cantor smængde, 11 U-sekvens, 10 Volumen ændring, 9 13
Minikaos - må ikke bruges til noget. Henrik Dahl
Minikaos - må ikke bruges til noget. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. 1 DEFINITIONER 2 1 Definitioner Aperiodisk adfærd Attraktor Der findes baner, der ikke lander i FP eller i periodiske baner eller
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos 11.1 Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mere- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Der er en hestesko i dynamikken Pernille Hviid Petersen September 2010 nr. 473-2010 Roskilde University, Department of Science, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260,
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereDOK DOK-facitliste 1. DOK-facitliste
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereAlmen Matematisk Dannelse
Almen Matematisk Dannelse af De Studerende ved kurset Almen Matematisk Dannelse Foråret 2002 Matematisk Afdeling KU Foråret 2002 Indledning Disse noter er skrevet af de studerende på et kursus med titlen
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereSignalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk
Læs mereLineære systemer med hukommelse.
Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mere