Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer

Transkript

1 Motivation Definitioner Approximations-algoritme for nudeoverdæning Approximations-algoritme for TSP med treantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme for SET-OVERING Fuldt polynomiel-tids approximations sema (FPTAS for SUBSET-SUM Løsningsmetoder for NP -hårde opt.prolemer Opdelingsriterier løsningsvalitet optimal/ie-optimal eregningstid polynomiel/ie-polynomiel Ie-optimale metoder løsningsvalitet ingen garanti an gives garanti an gives, men det an ie gøres vilårligt godt garanti an gives, og det an gøres vilårligt godt eregningstid ingen garanti an gives polynomiel i inddata polynomiel i inddata og præcision Esempel napsac prolem Heuristi for Knapsac Prolemet s.t. n p j x j j n w j x j c j x j 0 sorter efter aftagende effetivitet p j w j fyld grådigt så længe plads Vilårligt dårlig løsning p w p M w M c M Vi har heuristis løsning optimal løsning forhold M M Esempel nudeoverdæning En nudeoverdæning af en ie orienteret graf G V E er en delmængde af V V så u v E u V eller v V (eller egge Størrelsen af en nudeoverdæning er V. Find den mindste overdæning i grafen. 5 Approximations algoritme Vælg tilfældig ant u v E. Lad V V "$# u% "&# v% Fjern anter fra E som er incidente med u eller v Approximations algoritmen finder en nudeoverdæning V af størrelse som højst er doelt så stor som den optimale nudeoverdæning V ' af størrelse '.

2 Ie-esate løsningsmetoder, der giver garanti for hvor tæt på optimum man ommer. algoritmens løsningsværdi prolemets optimale løsningsværdi Minimeringsprolem Mål gør så lille som muligt Maximeringsprolem Mål gør Generelt rav Gør så lille som mulig. så lille som muligt ρ n hvor ρ n er ratio ound. Bemær ρ n 5 Man an også måle relativ fejl Minimering så Altså ε n Maximering så Altså ε n ε n (dermed ε n approximations sema (smu Input instans, ε 0 Approximations-algoritme træffer valg på asis af n og ε Output Løsning som ie afviger mere end ε i relativ fejl. Sema idet familie af algoritmer polynomiel-tids approx. sema (smuere Approximations sema Algoritme ører i polynomiel tid i størrelsen af n øretid f.es. ε n Betegnelser A Approximations-algoritme PTA Polynoimel-Tids Approximations-algoritme AS Approximations Sema PTAS Polynomiel-Tids Approximations Sema FPTAS Fuldt Polynomiel-Tids Approximations Sema Heuristi Ingen garanti for løsningsvalitet fuldt polynomiel-tids approx. sema (smuest Approximations sema Algoritmen ører i polynomiel tid målt i n og ε øretid f.es. ε n (findes ej for stært NP -hårde prolemer 7 8

3 # Traveling Salesman Prolem Givet graf G V E, omostning c u v for hvert ant u v E. Find illigste Hamilton-reds Approx. algoritme for TSP (treantsulighed APPROX-TSP-TOUR G c select a vertex r V G to e a root vertex grow a minimum spanning tree T for G from root r using MST-PRIM G c r let L e the list of vertices visited in a preorder tree wal of T return the Hamiltonian cycle H that visits the vertices in the order L Esempel 9 5 Treantsulighed u v w V c u w c u v c v w (emær omplet graf Overholdt geometrise prolemer Ej overholdt flypriser Definition pris af antemængde A E c A c u v u v A 9 0 Sætning APPROX-TSP-TOUR er en approximations algoritme med ratio-ound ρ for TSP opfyldende treantsulighed. Dvs Mindste udspændende træ T c T full wal i grafen, esøger hver ant to gange wal W ej Hamilton reds Treantsulighed sirer Totalt c T sletter nuder. c T Approx. algoritme for TSP (generel Hvis NP P findes der ingen polynomieltids approximationsalgoritme for generelt TSP med ratio ound ρ Antag at fandtes polynomiel approximations algoritme A med ratio ound ρ. Dvs finder tur med ρ " Vil vise at HAM-YLE an løses i polynomiel tid $ NP P Givet instans af HAM-YLE defineret på G &% V' E(. Komplet graf G* +% V' E*,( hvor Tildel antvægte E*.-% u' v( u' v / V og u v0 c % if u' v( % u' v( / E ρv if % u' v( / E Løs TSP for % G*5' c(.

4 Approx. algoritme for TSP (generel HAM-YLE Afgør prolem Hvis Hvis ρv TSP ρ V så findes der en Hamilton reds ρ V så findes der ie en Hamilton reds Vi har Hvis der findes en Hamilton reds i G har TSP prolemet optimal løsning V. Hvis der ie findes en Hamilton reds i G vil TSP prolemet vælge mindst en dyr ant c u v ρ V så ρ V Approximations algoritme A finder en løsning med pris opfyldende ρ Set overing Prolem Givet en mængde X og en familie F af delmænger S i X, med i FS i X. Find en mindste delmængde F så X Vi siger at overdæer X i S i Prolemet er NP -hårdt (redution fra VERTEX-OVER A D B E VERTEX-OVER A DE D B E SET-OVER BE Grådig algoritme GREEDY-SET-OVER X F U X /0 while U /0 do select an S F that imizes S U 5 U U S "$# S% 7 return Sætning Den grådige algoritme har ratio-ound & & & & &( H * S & + ' S F * / / 0 hvor H n +-, n lnn Antag S i er i te mængde der tilføjes i grådige algoritme. Lad c x være prisen nyttet til i., c x & +8& S i * S S 5 S i7 Set overing Prolem Siden 9 også dæer X har vi <; Vi vil om lidt vise at hvoraf vi får > S=? x= S > c x > x= X c x > x= S S=? og dermed 9 S=? S A c x x= S c x > S A S=? S A > 9 > S A S A 5

5 & Set overing Prolem Set overing Prolem Der gælder at H n n j j H # H a$ j j # a j j j a% j så for " a j a% ' # a Vil vise at c x H S Lad for enhver mængde S F u i S S S S i være antallet af ie dæede elementer i S efter det i te sridt i den grådige algoritme. c x i u i u i S i S S S i Bemær at S i S S S i S S S S i u i for enhver mængde S, så c x u i u i i 7 u i Dermed får vi c x x( S u i* # u i i u i* H u i* # H u i i H u 0 # H u H u 0 # H 0 da er sidste index H u 0 da H 0+ 0 H, S, 8