Partiklers energitab ved passage gennem stof

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Partiklers energitab ved passage gennem stof"

Transkript

1 Partiklers energitab ved passage gennem stof Skrevet af Heidi Lundgaard Sørensen, Shuhab Hussain, Martin Spangenberg og Rastin Matin. Vejleder: Lektor Hans Bøggild. Afleveringsdato: 31. marts 2008.

2 Resumé Med udgangspunkt i billeder fra CERNs 2-meter boblekammer, er det søgt at eftervise Bethe-Bloch ligningen, der beskriver partiklers energitab gennem stof. Der er blevet målt på elektroner, protoner og π + -mesoner, som efter usikkerhedsberegninger er blevet plottet sammen med deres respektive Bethe-Bloch kurver. I rapporten har vi behandlet usikkerheder på energi, passeret stofmængde, cirkelapproksimation og fra multipel spredning. Da usikkerheden på energien var klart den største, er det kun denne, der er taget højde for i plottet af måledata. Endvidere har vi simuleret ovennævnte partiklers passage gennem et boblekammer. Inden for det udsnit af Bethe-Bloch ligningen vi har arbejdet med, kan vi konkludere, at den er en god beskrivelse på partiklers energitab ved passage gennem stof. Indhold 1 Indledning Boblekammer Teori Forstørrelsesfaktor Energi og impuls Bethe-Bloch ligningen Databehandling Analyse af plot Usikkerheder Usikkerheden på energien E Multipel spredning Yderligere usikkerheder Simulering 11 6 Diskussion 11 7 Konklusion 12 A Udregning af forstørrelsesfaktor 13 B Omskrivningen af udtrykket for impuls 14 C Oversigt over Bethe-Bloch variable 15 D Tilbagelagt strækning 16 E Kode til simulering 17 2

3 1 Indledning Når en partikel bevæger sig igennem et stof, taber den energi blandt andet via ionisation ved sammenstød med stoffet. Det viser sig, at det gennemsnitlige energitab med stor nøjagtighed kan beskrives ved Bethe-Bloch ligningen, som i denne rapport søges eftervist eksperimentelt. Dette gøres ved analyse af boblekammerbilleder fra CERNs 2-meter boblekammer taget i 1960 erne. Der fokuseres på protoner, elektroner og π + -mesoner i passage gennem brint. Endvidere simuleres i VPython energitabet for de tre typer partikler samt deres i- deelle baner i boblekammeret, med det formål at sammenligne med måleresultaterne og partiklernes faktiske baner. 1.1 Boblekammer Et boblekammer består af en beholder, der indeholder en væske, hvilket i CERNs 2-meter boblekammer er brint. Et stempel sørger for at trykket i boblekammeret falder hurtigt, hvilket medfører, at brinten befinder sig i en overophedet tilstand; brinten har nu en temperatur på cirka 27 K. I øjeblikket efter denne ustabile tilstand er indtruffet, sender en partikelaccelerator protoner med en impuls på 19 GeV c ind i kammeret, og ved kollision med brinten afgiver protonerne en mængde energi og ioniserer brinten. Grundet brintens overophedede tilstand vil dette resultere i en kogningsproces langs partikelbanen, hvilket gør at partikelbanen bliver visualiserbar [?]. Partikelbanerne fotograferes fra forskellige vinkler, og det er disse billeder vi analyserer. Vi fokuserer kun på billeder taget fra toppen af kammeret. Det er under disse sammenstød nye partikler dannes, og det er den elektriske vekselvirkning under sammenstødene med brinten, der resulterer i partiklernes energitab og dermed hastighedsnedsættelse [?]. 2 Teori 2.1 Forstørrelsesfaktor Vi har benyttet os af en projektor kaldet SHIVA til at vise de film, hvorpå vi opmåler vores partikelbaner med en almindelig lineal. Disse film bliver ikke vist i et perfekt 1:1 forhold, og derfor er det nødvendigt at arbejde med et måleforhold. På projektionen fra SHIVA er det via opmåling muligt at bestemme dette måleforhold. På boblekammerbillederne er indsat forskellige typer kryds, hvis faktiske indbyrdes afstand er opgivet i en tabel [?]. Via disse data om den faktiske længde imellem et par kryds og et selvvalgt koordinatsystem til opmåling, kan vi dermed bestemme vores måleforhold 1. Disse kryds befinder sig både i forgrunden af kammeret og i baggrunden. Ved opmåling af vores koordinatsystem og sammenligning med den faktiske afstand kan vi se, at denne værdi ændrer sig lineært med afstanden til kameraet. For at gøre det simpelt for os har vi valgt at arbejde med et konstant måleforhold. Vi har antaget, at langt de fleste partikelbaner løber gennem midten af kammeret, og har derfor besluttet at benytte forstørrelsesfaktoren på dette sted i alle 1 Se udregning i appendiks A 3

4 vores beregninger. Dette giver en ekstra usikkerhed, der dog i de fleste tilfælde er underordnet. Vi har desuden valgt at måle på de partikelspor der med bedst tilnærmelse ligger i kameraets plan, så vi dermed kan foretage den mest simple måling. Jævnfør appendiks A er forstørrelsesfaktoren bestemt til F = Energi og impuls Partiklerne i CERNs 2-meter boblekammer bevæger sig i et plan ortogonalt på et konstant magnetfelt B, hvorfor partiklernes hastighedsvektor v og B er ortogonale. Lorentzkraften F = q v B har dermed størrelsen F = qbv, og idet denne altid er ortogonal på v, vil Lorentzkraften ikke ændre størrelsen på hastighedsvektoren, men kun dens retning. Dette resulterer i, at elektronerne grundet deres mindre impuls vil følge en spiralbane, mens protonerne og π + -mesonerne vil følge en krum bane 2. Jævnfør Newtons anden lov gælder altså F = qbv = m v2 r, og impulsen kan derfor skrives som p = qbr. Vi vælger dog at skrive impulsen på formen 3 p = 3Br, (2.1) hvor p måles i MeV c, B måles i Tesla og krumningsradien r måles i cm. Protonerne samt de dannede partikler vil altså bremses på grund af elektriske vekselvirkninger med brinten og afbøjes af magnetfeltet, hvilket skaber de føromtalte baner. Partiklernes energi er givet ved E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 [?], og i enheder af ev kan det skrives som E = p 2 + m 2. (2.2) Idet energien er givet ved E = γmc 2 og impulsen er givet ved p = γmv [?], kan følgende udtryk opstilles Idet β = v c, opnår vi følgende udtryk I enheder af ev bliver udtrykket så 2 Disse baner illustreres senere 3 Se omskrivningen i appendiks B p = E c 2 v E = pc2 v. βγ = v c p vm = p mc. βγ = p m. 4

5 2.3 Bethe-Bloch ligningen Bethe-Bloch ligningen 4 beskriver middelenergitabet af helt eller delvis relativistiske ladede partikler ved passage gennem stof. Dette energitab afhænger ikke kun af passagens længde, men også af stoffets tæthed, og derfor definerer vi x = Lρ, hvor L er længden i cm og ρ er g stoffets massefylde målt i. Ligningen beskriver differentialet - de cm 3 som funktion af βγ, og er givet ved de = Z 1 Kz2 A β 2 [ 1 2 ln ( 2me c 2 β 2 γ 2 T max I 2 ) β 2 δ (βγ) ] 2 Vi har valgt at fokusere på partikler med en βγ-værdi i et interval, der medfører, at det ikke er relevant at medtage det sidste korrektionsled δ(βγ) 2, som korrigerer for polarisering ved høje energier, hvorfor udtrykket vi benytter tager formen de = Z 1 Kz2 A β 2 [ 1 2 ln ( 2me c 2 β 2 γ 2 T max I 2 [?] ) β 2 ], (2.3) hvor T max beskriver den maksimale kinetiske energi en fri elektron kan blive tildelt ved T max = 2m e c 2 β 2 γ γ me M + ( ) m e 2 [?] M Ved at betragte plottet i et (βγ, de )-koordinatsystem bemærkes, at grafen har to karakteristiske dele. For værdier af βγ < 1 er grafen stejlt faldende for stigende βγ, idet faktoreren 1 dominerer. For værdier af βγ > 1 dominerer logaritmefunktionen, idet βγ β 2 vokser med en potens i fjerde i tælleren de/ [MeV cm 2 /g] !" Figur 1: Bethe-Bloch kurven for en elektron Forholdet Z A ses at være størst for brint, idet alle andre grundstoffer indeholder neutroner i kernen, der giver et forhold mindre end 1. Ifølge definitionen af x, er brints stopping power dermed klart det største [?]. 4 Se tabel 4 i appendiks C for en liste over variablernes betydning 5

6 3 Databehandling Herunder ses et eksempel på en beregning af E, usikkerheden på E kaldet E, x og βγ for en målt korde og sagita på henholdsvis L = 9.7 cm og s = 1.1 cm for en elektron. Idet vi har antaget, at usikkerheden på vores målinger med lineal er på 0.1 cm, bliver usikkerheden på sagita s efter korrigering for forstørrelsen s = 0.1 cm 1.14 = 0.09 cm For den samlede tilbagelagte strækning 5 L samlet fås ( ) L samlet = L2 4s 4s arcsin = 10.1 cm L r = L2 8s = 11.3 cm p = 3Br = 58.8 MeV c E p E = de dp p = p E x = ρl samlet = 0.6 βγ = p m = s p = 4.9 MeV s g cm 2 De anvendte udtryk for usikkerheder forklares i afsnit 4.1. Lsamlet ½L s ½L r r θ Figur 2: Geometrien af korde L og sagita s Disse beregninger udføres for tre på hinanden følgende banestrækninger, og en gennemsnitlig βγ-værdi findes. Værdierne for x, E og E fittes til en lineær approksimation i Gnuplot, hvilket resulterer i en gennemsnitlig værdi af de denne. 5 Se appendiks D for udledning samt usikkerheden de på 6

7 Efter ovenstående fremgangsmåde kan følgende tabeller opstilles: βγ de de Tabel 1: Måledata for elektronerne βγ de de Tabel 2: Måledata for protonerne βγ de de Tabel 3: Måledata for π + -mesonerne 7

8 3.1 Analyse af plot Vi plotter værdierne for βγ og de i Gnuplot samt de tre Bethe-Bloch grafer for henholdsvis protoner, elektroner og π + -mesoner, hvilket resulterer i følgende plot 1000 Elektron Proton Pi-meson 100 -de/ [MeV cm 2 /g] !" Figur 3: Bethe-Bloch kurverne for henholdsvis protonen, elektronen og π + -mesonen samt vores målte værdier. Kurverne for protonen og π + -mesonen falder sammen (øverst) Det ses på plottet, at alle fire målinger af π + -mesoner ligger på grafen inden for usikkerhederne, og det samme kan siges for langt de fleste elektronmålinger. For elektronmålingerne gælder, at en ud af de ni ikke ligger på grafen. Statistisk set burde en tredjedel af målingerne ligge uden for grafen, men grundet det relativt lille antal målepunkter er det dog ikke foruroligende, at dette ikke er opfyldt til fulde. Protonerne har klart de største usikkerheder, og der kan dermed ikke drages nogen ret sikre konklusioner ud fra disse målinger. Vi vil i det følgende afsnit undersøge, hvad usikkerhederne kan udspringe af, og særligt for protonerne vil vi undersøge effekten af multipel spredning 6. 4 Usikkerheder 4.1 Usikkerheden på energien E I Gnuplot fittes måleværdierne kun ved hjælp af usikkerhederne på E stammende fra p, E p, og vi har dermed udeladt bidraget fra x, E x. Vi vil først betragte usikkerheden E p. Ifølge ligning 2.1 stammer den eneste usikkerhed på impulsen fra krumningsradien. Denne er beregnet ud fra korde og sagita, hvor usikkerheden på sagita vurderes at have 6 Se afsnit 4.2 8

9 størst indflydelse på impulsen. Derfor kan vi opstille s s = p p s p = s p. Usikkerheden på partiklernes energi E p kan skrives som de dp p [?]. Jævnfør ligning 2.2 må der gælde at de dp = 2p = p 2 p 2 +m 2 E, og vi har derfor sammenhængen E p = p E p. Usikkerheden på E stammende fra x er givet ved E x = de x. De største værdier for de vi møder i dette projekt er for π+ -mesoner og protoner, der efter vores erfaring sjældent kommer over 100 MeV cm2 g for målbare krumninger. Idet vi antager at usikkerhederne på vores målinger med lineal er på 0.1 cm, bliver usikkerheden på vores x-værdier x = 0.1 cm g g. Ud fra vores måledata har E cm 3 cm 2 p gennemsnitligt størrelsesordenen 100 MeV og idet E x har størrelsesordenen 0.6 MeV, har x dermed stort set ingen indflydelse, da bidraget er en faktor af bidraget fra p. Grundet dette ræsonnement benytter vi fremover usikkerheden E p E. 4.2 Multipel spredning Når en ladet partikel bevæger sig gennem et stof, vil den tvinges til at afvige fra dens bane grundet kollision med andre partikler. I vores boblekammer kan størstedelen af disse afvigelser tilskrives multipel spredning, mere præcist Coulombspredning, som er kollisioner, hvor Coulombkraften fra det passerede stofs kerner er den dominerende faktor. Den totale afvigelse, i de forsøg vi behandler, ligger i et interval, så den samlede vinkel som banen afviger med, kan beskrives ved en normalfordeling med bredden θ 0 = 13.6 MeV x z βcp X 0 [ ( x ln X 0 )], (4.1) hvor p, βc og z er henholdsvis impuls, hastighed og ladning for den indkommende partikel [?]. Idet vinklen er invers proportional med β, vil protonerne jævnfør ligning 4.1 være de mest udsatte for multipel spredning, af de partikler vi arbejder med, da disse har de laveste hastigheder. Forholdet x X 0 er tykkelsen af stoffet målt i strålingslængder X 0 givet ved X 0 = g cm 2 A ( ). Z (Z + 1) ln 287 Z Strålingslængden X 0 er det gennemsnitlige x-interval inden for hvilket en højenergetisk elektron mister 1 e af sin energi via bremsestråling7 [?]. På baggrund af denne vinkel fås et udtryk for afvigelsen fra den oprindelige partikelbane i tre dimensioner, der videre kan 7 Dette begreb dækker over ladede partikler, der mister energi under acceleration 9

10 projiceres ned i partikelbanens plan. Det endelige resultat for afvigelsen i planen, som kan benyttes til at finde en afvigelse på korden, er givet ved s plan = x θ 0 [?]. Ved at antage, at denne formel også gælder for krumme baner i et magnetfelt, kan vi ud fra typiske værdier for impuls samt x-interval gennemløbet for hver måling af sagita vurdere den ekstra usikkerhed stammende fra multipel spredning. På baggrund af de målte protoner kan vi opstille følgende repræsentative værdier x 2 g cm 2 p 700 MeV c β = p m 0.75 X 0 = 63 g cm 2 θ s plan g 0.02 cm cm2 En ekstra usikkerhed på korden af størrelsesorden 0.02 cm, og dermed en endnu mindre usikkerhed på sagita, vil ikke have nogen registrerbar indflydelse på måleresultaterne, idet vores vurdering af måleusikkerhederne med lineal i forvejen ligger på 0.1 cm. Protoner med lavere impuls og større krumning end dem vi har opmålt kan i værste tilfælde nå op på en usikkerhed stammende fra multipel spredning på ca cm, hvilket nok ville give udslag i en mærkbart større usikkerhed, men generelt må vi konkludere, at multipel spredning ikke er så stor en usikkerhedsfaktor i vores opmålinger. 4.3 Yderligere usikkerheder Vi har undladt at tage højde for visse usikkerheder. Som tidligere nævnt bruger vi ved samtlige beregninger måleforholdet midt i boblekammeret, hvilket giver en ekstra usikkerhed på både sagita og korde. SHIVA projicerer heller ikke helt korrekt, idet måleforholdet ændres svagt fra midten af billedet ud til kanterne. Vores beregninger af krumningsradien bunder i den antagelse, at hvert udsnit af partikelbanen er en cirkelbue, hvilket ikke er helt korrekt, idet krumningen konstant tiltager, efterhånden som partiklen mister energi. Dette giver derfor en systematisk fejl i alle målinger. Figur 4: Eksempel på cirkelbue (stiplet) kontra partikelbane 10

11 5 Simulering For hver type partikel har vi udvalgt en af de opmålte baner, som vi har simuleret 8 ud fra startimpuls og -energi. For elektronen har vi desuden taget et billede af den faktiske partikelbane, og forsøgt at sammenligne dette med simulationen. Det bemærkes, at der er en hældning på billedet vi har taget af elektronspiralen, og at det blandt andet forklarer, hvorfor den simulerede spiral ikke følger den egentlige spiral fuldstændig. Det ses desuden, at der efter første omløb pludselig sker en afvigelse fra simulationen, der efterhånden aftager igen. Dette kan skyldes hældningen af billedet, eller at elektronen ikke ligger helt plant. Ud fra disse forbehold synes simulationen at være korrekt. Figur 5: Simulering af elektron lagt på baggrund af faktiske partikelbane 6 Diskussion Som allerede nævnt ligger en ud af de ni elektronmålinger uden for grafen, men selvom det statistisk set burde være en tredjedel der er tale om, vil vi, jævnfør afsnit 3.1, se bort fra statistikken i dette tilfælde grundet det relativt få antal målinger. Det bemærkes dog, at målingerne generelt ligger under kurven, hvilket kan skyldes korrektionsleddet i Bethe-Bloch formlen, som vi har set bort fra i plottet. I det βγ-interval, som vores elektronmålinger befinder sig i, ligger den korrigerede kurve svagt lavere end den ukorrigerede kurve, som vi opererer med [?]. Hvis vi havde taget højde for korrektionsleddet, ville vores elektronmålinger altså have ligget bedre. De store usikkerheder på protonmålingerne skyldes ikke som ventet multipel spredning, da vi fandt, at usikkerhederne herfra er mindre end den vurderede usikkerhed på målingerne foretaget med lineal af korder og sagita med en faktor to eller mere. Vi kan derfor ikke vurdere Bethe-Bloch formlen alene på baggrund af protonmålingerne. 8 Se koden samt billeder fra simuleringerne i appendiks E 11

12 Idet protonerne krummer langt mindre end elektronerne og π + -mesonerne, er det nødvendigt at opdele banen i større stykker. Derved bliver cirkelapproksimationen dårligere, da energitabet de øges med banestrækningen. Usikkerhederne kommer dermed til udtryk, når tre på hinanden følgende målinger fittes sammen i Gnuplot. Dette kunne være afhjulpet ved at måle på lavenergiprotoner, der krummer mere, hvor usikkerheden fra multipel spredning stadigvæk ikke vil have nogen indflydelse trods lavere hastighed. Alternativt kunne man forsøge at minimere usikkerheden ved at undersøge, hvilken indflydelse det har om der måles med fast korde, fast sagita eller variable længder. Alle målingerne af π + -mesonerne ligger i et meget smalt βγ-interval. Det havde været at foretrække, at intervallet var større, for at få et større udsnit af Bethe-Bloch kurven dækket. Dette kunne være opnået ved at måle på et større energispektrum af π + -mesoner. Ved fit af data i Gnuplot valgte vi at fitte tre målinger ad gangen. Under antagelsen af at energitabsraten de er konstant, ville et fit af det maksimale antal målinger for hele banestrækningen være at foretrække, da usikkerhederne på de enkelte målinger ville få mindre betydning. Men da de ikke er konstant, vil ændringen af den blive for stor i intervallet ved fit af for mange målinger. Derfor valgte vi som kompromis at fitte tre målinger ad gangen, hvor de behandles som en konstant. 7 Konklusion Simulationer af de tre typer partikler ud fra Bethe-Bloch formlen viser, at en partikels bevægelse i boblekammeret kan forudsiges nøjagtigt ud fra viden om magnetfeltets styrke, partiklens startimpuls samt dens energitab. Den store usikkerhed på protonmålingerne kan ikke forklares med multipel spredning, men antages i stedet at have sit udspring i cirkelapproksimationen. Protonmålingerne a- lene kan derfor ikke på tilfredsstillende vis bekræfte Bethe-Bloch formlen, men sammen med de vellykkede målinger på elektronerne og π + -mesonerne, kan vi inden for de fundne usikkerheder konstatere, at ligningen er en god beskrivelse af energitabet af en ladet partikels passage gennem stof i det relevante βγ-interval. 12

13 A Udregning af forstørrelsesfaktor På boblekammerbillederne er der placeret afmærkninger, de såkaldte fiducialer. Idet vi antager, at partiklerne bevæger sig midt i kammeret, er vi interesseret i de afmærkninger, der viser forholdet mellem forsiden og bagsiden af kammeret. Vi har målt afstandene L forside = 48.9 cm L bagside = 47.7 cm For at finde de respektive faktorer, skal vi dele med de faktiske længder [?], hvorfor vi opnår F forside = F bagside = 48.9 cm 39.0 cm = cm 46.0 cm = 1.04 Forstørrelsesfaktoren er gennemsnittet af disse to værdier, hvorfor vi opnår F =

14 B Omskrivningen af udtrykket for impuls Vores udtryk for impulsen p udledt udfra Newtons anden lov er p = qbr med enheden kg m s ækvivalent med J s m. Eftersom vi opererer med partikler med elementarladningen e = C, omskriver vi udtrykket til p = Br. Vi vil nu omregne dette til MeV c. Siden 1 MeV = J, får vi følgende sammenhæng i MeV s m Br = 10 6 Br. Eftersom vi ønsker at udtrykket skal være på formen MeV c, multiplicerer vi udtrykket med c = m s, hvorfor vi opnår det ønskede udtryk p = 3Br, hvor p måles i MeV c, B måles i Tesla og krumningsradien r måles i cm. 14

15 C Oversigt over Bethe-Bloch variable Variabel Definition Enhed eller værdi c Lysets hastighed m s v β Partiklens hastighed ift. lysets hastighed c 1 γ Lorentzfaktor 1 β 2 m e Elektronens masse MeV c 2 T Kinetisk energi MeV A Absorberende stofs molarmasse g mol r e Elektronradius fm z e Indkommende partikes ladning C N A Avogadro s tal mol 1 K Konstant 4πN A rem 2 e c 2 MeV M Indkommende partikels masse c 2 I Gennemsnitlig excitationsenergi 19.2 ev Z Absorberende stofs atomnummer Tabel 4: Oversigt over variable i Bethe-Bloch ligningen 15

16 D Tilbagelagt strækning Jævnfør geometrien på figur 2 opnås følgende udtryk for krumningsradien r 2 = ( ) L 2 + (r s) 2 r = L2 2 8s + s 2 L2 8s. Endvidere gælder, at sin ( ) θ = L ( ) L 2 2r θ = 2 arcsin. 2r Idet L samlet = θr, opnås sammenhængen L samlet = 2r arcsin ( ) L. 2r Substituerer vi udtrykket for krumningsradien r ind, opnås følgende sammenhæng for den tilbagelagte strækning ( ) ( ) L samlet = 2 L2 8Ls 8s arcsin 2L 2 = L2 4s 4s arcsin. L 16

17 E Kode til simulering Nedenstående er koden vi benytter til at simulere elektronens passage gennem brint. Den samme kode er benyttet til at simulere protonen og π + -mesonen, dog har vi ændret på massen, ladningen, startenergien og -impulsen. Billeder af simuleringerne forefindes efter koden. from v i s u a l import e l e k t r o n=sphere ( pos =(14.0, 2.0,0.0), r a d i u s =0.0, c o l o r=c o l o r. green ) #Diverse k o n s t a n t e r og s t a r t v æ r d i e r p =82.4; E=82.4; M=0.511; me=0.511; K= I = ( 6); c =3 (10 10); rho m =0.063 #massefylde a f b r i n t z= 1; Z=1; A=1; B=1.74 Bv=B v e c t o r ( 0, 0, 1 ) ; v e l=v e c t o r ( 0, 1, 0 ) normal = z v e c t o r ( v e l. y, v e l. x ) # normalvektor t i l h a s t i g h e d s v e k t o r e n t h e t a t o t = 0.5 pi path=curve ( r a d i u s =0.08) path. c o l o r=c o l o r. black a u t o s c a l e=0 scene. range =(19,19,19) scene. background=c o l o r. white =0.005 x=3.2 while E>20: r a t e (10000) #Ny e n e r g i og impuls beta=s q r t (1 M 2/E 2) gamma=1/ s q r t (1 beta 2) ds = /rho m Tmax=2 me ( beta 2) (gamma 2)/(1+2 gamma me/m+(me/m) 2) de=(k ( z 2) (Z/A) ( 1 / ( beta 2 ) ) ( 0. 5 l o g (2 me ( beta 2) (gamma 2) Tmax/( I 2)) beta 2)) E=E de ; p=e #f o r protonerne og p i +: p=s q r t (Eˆ2 mˆ2) 17

18 #Krumningsradius og centrum f o r c i r k e l b a n e r=p/(3 B) centrum = e l e k t r o n. pos z normal r #Samlet v i n k e l s t r æ k n i n g theta=ds / r t h e t a t o t = t h e t a t o t z theta #Normalvektor t i l h a s t i g h e d e n v e l = v e c t o r ( cos ( t h e t a t o t ), s i n ( t h e t a t o t ), 0 ) normal = z v e c t o r ( v e l. y, v e l. x ) e l e k t r o n. pos = centrum normal r path. append ( pos=e l e k t r o n. pos ) x=x+ Figur 6: Simulering af proton Figur 7: Simulering af π + -meson 18

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico, Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Attenuation af røntgenstråling

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Rela2vitetsteori (iii)

Rela2vitetsteori (iii) Rela2vitetsteori (iii) Einstein roder rundt med rum og.d Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet Udgangspunktet: Einsteins rela2vitetsprincip Einsteins postulater: 1. Alle iner*alsystemer er ligeværdige for udførelse

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

1 Lysets energi undersøgt med lysdioder (LED)

1 Lysets energi undersøgt med lysdioder (LED) Solceller og Spektre Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 26. august 2010 Formål Formålet med øvelsen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker Udarbejdet af DIOS A/S December 2001 INDHOLDSFORTEGNELSE REGISTRERING AF ANTAL BIBLIOTEKSBESØG...1 BAGGRUNDEN FOR METODENS UDVIKLING...1

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

Kroppens energiomsætning

Kroppens energiomsætning Kroppens energiomsætning Stofskiftet Menneskets stofskifte består af tre dele: Hvilestofskiftet BMR (Basal Metabolic Rate), det fødeinducerede stofskifte FIT (Food Induced Thermogenesis) og stofskiftet

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Efficient Position Updating

Efficient Position Updating Efficient Position Updating Pervasive Positioning, Q3 2010 Lasse H. Rasmussen, 20097778 Christian Jensen, 20097781 12-03-2010 1 Introduktion Denne rapport har til formål at beskrive implementeringen og

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Lærer Asger Spangsberg Christensen

Lærer Asger Spangsberg Christensen Undervisningsbeskrivelse (kan hentes som pdf via dette link): Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Hfe Fag og Fysik B (stx-bekendtgørelse) niveau Lærer Asger Spangsberg Christensen

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Læringsmål i fysik - 9. Klasse

Læringsmål i fysik - 9. Klasse Læringsmål i fysik - 9. Klasse Salte, syrer og baser Jeg ved salt er et stof der er opbygget af ioner. Jeg ved at Ioner i salt sidder i et fast mønster, et iongitter Jeg kan vise og forklare at salt, der

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Gaslovene. SH ver. 1.4. 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser... 2 1.2 Gasligninger... 3

Gaslovene. SH ver. 1.4. 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser... 2 1.2 Gasligninger... 3 Gaslovene SH ver. 1.4 Indhold 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser................... 2 1.2 Gasligninger...................... 3 2 Forsøgene 3 2.1 Boyle Mariottes lov.................. 4 2.1.1 Konklusioner.................

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011/2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Vejle Hf Matematik C Lene Holmgård

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Formål Når solens stråler rammer en vandret flade på en klar dag, består indstrålingen af diffus stråling fra himlen og skyer såvel som solens direkte stråler.

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Fysik niveau B Knud Søgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere