Partiklers energitab ved passage gennem stof

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Partiklers energitab ved passage gennem stof"

Transkript

1 Partiklers energitab ved passage gennem stof Skrevet af Heidi Lundgaard Sørensen, Shuhab Hussain, Martin Spangenberg og Rastin Matin. Vejleder: Lektor Hans Bøggild. Afleveringsdato: 31. marts 2008.

2 Resumé Med udgangspunkt i billeder fra CERNs 2-meter boblekammer, er det søgt at eftervise Bethe-Bloch ligningen, der beskriver partiklers energitab gennem stof. Der er blevet målt på elektroner, protoner og π + -mesoner, som efter usikkerhedsberegninger er blevet plottet sammen med deres respektive Bethe-Bloch kurver. I rapporten har vi behandlet usikkerheder på energi, passeret stofmængde, cirkelapproksimation og fra multipel spredning. Da usikkerheden på energien var klart den største, er det kun denne, der er taget højde for i plottet af måledata. Endvidere har vi simuleret ovennævnte partiklers passage gennem et boblekammer. Inden for det udsnit af Bethe-Bloch ligningen vi har arbejdet med, kan vi konkludere, at den er en god beskrivelse på partiklers energitab ved passage gennem stof. Indhold 1 Indledning Boblekammer Teori Forstørrelsesfaktor Energi og impuls Bethe-Bloch ligningen Databehandling Analyse af plot Usikkerheder Usikkerheden på energien E Multipel spredning Yderligere usikkerheder Simulering 11 6 Diskussion 11 7 Konklusion 12 A Udregning af forstørrelsesfaktor 13 B Omskrivningen af udtrykket for impuls 14 C Oversigt over Bethe-Bloch variable 15 D Tilbagelagt strækning 16 E Kode til simulering 17 2

3 1 Indledning Når en partikel bevæger sig igennem et stof, taber den energi blandt andet via ionisation ved sammenstød med stoffet. Det viser sig, at det gennemsnitlige energitab med stor nøjagtighed kan beskrives ved Bethe-Bloch ligningen, som i denne rapport søges eftervist eksperimentelt. Dette gøres ved analyse af boblekammerbilleder fra CERNs 2-meter boblekammer taget i 1960 erne. Der fokuseres på protoner, elektroner og π + -mesoner i passage gennem brint. Endvidere simuleres i VPython energitabet for de tre typer partikler samt deres i- deelle baner i boblekammeret, med det formål at sammenligne med måleresultaterne og partiklernes faktiske baner. 1.1 Boblekammer Et boblekammer består af en beholder, der indeholder en væske, hvilket i CERNs 2-meter boblekammer er brint. Et stempel sørger for at trykket i boblekammeret falder hurtigt, hvilket medfører, at brinten befinder sig i en overophedet tilstand; brinten har nu en temperatur på cirka 27 K. I øjeblikket efter denne ustabile tilstand er indtruffet, sender en partikelaccelerator protoner med en impuls på 19 GeV c ind i kammeret, og ved kollision med brinten afgiver protonerne en mængde energi og ioniserer brinten. Grundet brintens overophedede tilstand vil dette resultere i en kogningsproces langs partikelbanen, hvilket gør at partikelbanen bliver visualiserbar [?]. Partikelbanerne fotograferes fra forskellige vinkler, og det er disse billeder vi analyserer. Vi fokuserer kun på billeder taget fra toppen af kammeret. Det er under disse sammenstød nye partikler dannes, og det er den elektriske vekselvirkning under sammenstødene med brinten, der resulterer i partiklernes energitab og dermed hastighedsnedsættelse [?]. 2 Teori 2.1 Forstørrelsesfaktor Vi har benyttet os af en projektor kaldet SHIVA til at vise de film, hvorpå vi opmåler vores partikelbaner med en almindelig lineal. Disse film bliver ikke vist i et perfekt 1:1 forhold, og derfor er det nødvendigt at arbejde med et måleforhold. På projektionen fra SHIVA er det via opmåling muligt at bestemme dette måleforhold. På boblekammerbillederne er indsat forskellige typer kryds, hvis faktiske indbyrdes afstand er opgivet i en tabel [?]. Via disse data om den faktiske længde imellem et par kryds og et selvvalgt koordinatsystem til opmåling, kan vi dermed bestemme vores måleforhold 1. Disse kryds befinder sig både i forgrunden af kammeret og i baggrunden. Ved opmåling af vores koordinatsystem og sammenligning med den faktiske afstand kan vi se, at denne værdi ændrer sig lineært med afstanden til kameraet. For at gøre det simpelt for os har vi valgt at arbejde med et konstant måleforhold. Vi har antaget, at langt de fleste partikelbaner løber gennem midten af kammeret, og har derfor besluttet at benytte forstørrelsesfaktoren på dette sted i alle 1 Se udregning i appendiks A 3

4 vores beregninger. Dette giver en ekstra usikkerhed, der dog i de fleste tilfælde er underordnet. Vi har desuden valgt at måle på de partikelspor der med bedst tilnærmelse ligger i kameraets plan, så vi dermed kan foretage den mest simple måling. Jævnfør appendiks A er forstørrelsesfaktoren bestemt til F = Energi og impuls Partiklerne i CERNs 2-meter boblekammer bevæger sig i et plan ortogonalt på et konstant magnetfelt B, hvorfor partiklernes hastighedsvektor v og B er ortogonale. Lorentzkraften F = q v B har dermed størrelsen F = qbv, og idet denne altid er ortogonal på v, vil Lorentzkraften ikke ændre størrelsen på hastighedsvektoren, men kun dens retning. Dette resulterer i, at elektronerne grundet deres mindre impuls vil følge en spiralbane, mens protonerne og π + -mesonerne vil følge en krum bane 2. Jævnfør Newtons anden lov gælder altså F = qbv = m v2 r, og impulsen kan derfor skrives som p = qbr. Vi vælger dog at skrive impulsen på formen 3 p = 3Br, (2.1) hvor p måles i MeV c, B måles i Tesla og krumningsradien r måles i cm. Protonerne samt de dannede partikler vil altså bremses på grund af elektriske vekselvirkninger med brinten og afbøjes af magnetfeltet, hvilket skaber de føromtalte baner. Partiklernes energi er givet ved E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 [?], og i enheder af ev kan det skrives som E = p 2 + m 2. (2.2) Idet energien er givet ved E = γmc 2 og impulsen er givet ved p = γmv [?], kan følgende udtryk opstilles Idet β = v c, opnår vi følgende udtryk I enheder af ev bliver udtrykket så 2 Disse baner illustreres senere 3 Se omskrivningen i appendiks B p = E c 2 v E = pc2 v. βγ = v c p vm = p mc. βγ = p m. 4

5 2.3 Bethe-Bloch ligningen Bethe-Bloch ligningen 4 beskriver middelenergitabet af helt eller delvis relativistiske ladede partikler ved passage gennem stof. Dette energitab afhænger ikke kun af passagens længde, men også af stoffets tæthed, og derfor definerer vi x = Lρ, hvor L er længden i cm og ρ er g stoffets massefylde målt i. Ligningen beskriver differentialet - de cm 3 som funktion af βγ, og er givet ved de = Z 1 Kz2 A β 2 [ 1 2 ln ( 2me c 2 β 2 γ 2 T max I 2 ) β 2 δ (βγ) ] 2 Vi har valgt at fokusere på partikler med en βγ-værdi i et interval, der medfører, at det ikke er relevant at medtage det sidste korrektionsled δ(βγ) 2, som korrigerer for polarisering ved høje energier, hvorfor udtrykket vi benytter tager formen de = Z 1 Kz2 A β 2 [ 1 2 ln ( 2me c 2 β 2 γ 2 T max I 2 [?] ) β 2 ], (2.3) hvor T max beskriver den maksimale kinetiske energi en fri elektron kan blive tildelt ved T max = 2m e c 2 β 2 γ γ me M + ( ) m e 2 [?] M Ved at betragte plottet i et (βγ, de )-koordinatsystem bemærkes, at grafen har to karakteristiske dele. For værdier af βγ < 1 er grafen stejlt faldende for stigende βγ, idet faktoreren 1 dominerer. For værdier af βγ > 1 dominerer logaritmefunktionen, idet βγ β 2 vokser med en potens i fjerde i tælleren de/ [MeV cm 2 /g] !" Figur 1: Bethe-Bloch kurven for en elektron Forholdet Z A ses at være størst for brint, idet alle andre grundstoffer indeholder neutroner i kernen, der giver et forhold mindre end 1. Ifølge definitionen af x, er brints stopping power dermed klart det største [?]. 4 Se tabel 4 i appendiks C for en liste over variablernes betydning 5

6 3 Databehandling Herunder ses et eksempel på en beregning af E, usikkerheden på E kaldet E, x og βγ for en målt korde og sagita på henholdsvis L = 9.7 cm og s = 1.1 cm for en elektron. Idet vi har antaget, at usikkerheden på vores målinger med lineal er på 0.1 cm, bliver usikkerheden på sagita s efter korrigering for forstørrelsen s = 0.1 cm 1.14 = 0.09 cm For den samlede tilbagelagte strækning 5 L samlet fås ( ) L samlet = L2 4s 4s arcsin = 10.1 cm L r = L2 8s = 11.3 cm p = 3Br = 58.8 MeV c E p E = de dp p = p E x = ρl samlet = 0.6 βγ = p m = s p = 4.9 MeV s g cm 2 De anvendte udtryk for usikkerheder forklares i afsnit 4.1. Lsamlet ½L s ½L r r θ Figur 2: Geometrien af korde L og sagita s Disse beregninger udføres for tre på hinanden følgende banestrækninger, og en gennemsnitlig βγ-værdi findes. Værdierne for x, E og E fittes til en lineær approksimation i Gnuplot, hvilket resulterer i en gennemsnitlig værdi af de denne. 5 Se appendiks D for udledning samt usikkerheden de på 6

7 Efter ovenstående fremgangsmåde kan følgende tabeller opstilles: βγ de de Tabel 1: Måledata for elektronerne βγ de de Tabel 2: Måledata for protonerne βγ de de Tabel 3: Måledata for π + -mesonerne 7

8 3.1 Analyse af plot Vi plotter værdierne for βγ og de i Gnuplot samt de tre Bethe-Bloch grafer for henholdsvis protoner, elektroner og π + -mesoner, hvilket resulterer i følgende plot 1000 Elektron Proton Pi-meson 100 -de/ [MeV cm 2 /g] !" Figur 3: Bethe-Bloch kurverne for henholdsvis protonen, elektronen og π + -mesonen samt vores målte værdier. Kurverne for protonen og π + -mesonen falder sammen (øverst) Det ses på plottet, at alle fire målinger af π + -mesoner ligger på grafen inden for usikkerhederne, og det samme kan siges for langt de fleste elektronmålinger. For elektronmålingerne gælder, at en ud af de ni ikke ligger på grafen. Statistisk set burde en tredjedel af målingerne ligge uden for grafen, men grundet det relativt lille antal målepunkter er det dog ikke foruroligende, at dette ikke er opfyldt til fulde. Protonerne har klart de største usikkerheder, og der kan dermed ikke drages nogen ret sikre konklusioner ud fra disse målinger. Vi vil i det følgende afsnit undersøge, hvad usikkerhederne kan udspringe af, og særligt for protonerne vil vi undersøge effekten af multipel spredning 6. 4 Usikkerheder 4.1 Usikkerheden på energien E I Gnuplot fittes måleværdierne kun ved hjælp af usikkerhederne på E stammende fra p, E p, og vi har dermed udeladt bidraget fra x, E x. Vi vil først betragte usikkerheden E p. Ifølge ligning 2.1 stammer den eneste usikkerhed på impulsen fra krumningsradien. Denne er beregnet ud fra korde og sagita, hvor usikkerheden på sagita vurderes at have 6 Se afsnit 4.2 8

9 størst indflydelse på impulsen. Derfor kan vi opstille s s = p p s p = s p. Usikkerheden på partiklernes energi E p kan skrives som de dp p [?]. Jævnfør ligning 2.2 må der gælde at de dp = 2p = p 2 p 2 +m 2 E, og vi har derfor sammenhængen E p = p E p. Usikkerheden på E stammende fra x er givet ved E x = de x. De største værdier for de vi møder i dette projekt er for π+ -mesoner og protoner, der efter vores erfaring sjældent kommer over 100 MeV cm2 g for målbare krumninger. Idet vi antager at usikkerhederne på vores målinger med lineal er på 0.1 cm, bliver usikkerheden på vores x-værdier x = 0.1 cm g g. Ud fra vores måledata har E cm 3 cm 2 p gennemsnitligt størrelsesordenen 100 MeV og idet E x har størrelsesordenen 0.6 MeV, har x dermed stort set ingen indflydelse, da bidraget er en faktor af bidraget fra p. Grundet dette ræsonnement benytter vi fremover usikkerheden E p E. 4.2 Multipel spredning Når en ladet partikel bevæger sig gennem et stof, vil den tvinges til at afvige fra dens bane grundet kollision med andre partikler. I vores boblekammer kan størstedelen af disse afvigelser tilskrives multipel spredning, mere præcist Coulombspredning, som er kollisioner, hvor Coulombkraften fra det passerede stofs kerner er den dominerende faktor. Den totale afvigelse, i de forsøg vi behandler, ligger i et interval, så den samlede vinkel som banen afviger med, kan beskrives ved en normalfordeling med bredden θ 0 = 13.6 MeV x z βcp X 0 [ ( x ln X 0 )], (4.1) hvor p, βc og z er henholdsvis impuls, hastighed og ladning for den indkommende partikel [?]. Idet vinklen er invers proportional med β, vil protonerne jævnfør ligning 4.1 være de mest udsatte for multipel spredning, af de partikler vi arbejder med, da disse har de laveste hastigheder. Forholdet x X 0 er tykkelsen af stoffet målt i strålingslængder X 0 givet ved X 0 = g cm 2 A ( ). Z (Z + 1) ln 287 Z Strålingslængden X 0 er det gennemsnitlige x-interval inden for hvilket en højenergetisk elektron mister 1 e af sin energi via bremsestråling7 [?]. På baggrund af denne vinkel fås et udtryk for afvigelsen fra den oprindelige partikelbane i tre dimensioner, der videre kan 7 Dette begreb dækker over ladede partikler, der mister energi under acceleration 9

10 projiceres ned i partikelbanens plan. Det endelige resultat for afvigelsen i planen, som kan benyttes til at finde en afvigelse på korden, er givet ved s plan = x θ 0 [?]. Ved at antage, at denne formel også gælder for krumme baner i et magnetfelt, kan vi ud fra typiske værdier for impuls samt x-interval gennemløbet for hver måling af sagita vurdere den ekstra usikkerhed stammende fra multipel spredning. På baggrund af de målte protoner kan vi opstille følgende repræsentative værdier x 2 g cm 2 p 700 MeV c β = p m 0.75 X 0 = 63 g cm 2 θ s plan g 0.02 cm cm2 En ekstra usikkerhed på korden af størrelsesorden 0.02 cm, og dermed en endnu mindre usikkerhed på sagita, vil ikke have nogen registrerbar indflydelse på måleresultaterne, idet vores vurdering af måleusikkerhederne med lineal i forvejen ligger på 0.1 cm. Protoner med lavere impuls og større krumning end dem vi har opmålt kan i værste tilfælde nå op på en usikkerhed stammende fra multipel spredning på ca cm, hvilket nok ville give udslag i en mærkbart større usikkerhed, men generelt må vi konkludere, at multipel spredning ikke er så stor en usikkerhedsfaktor i vores opmålinger. 4.3 Yderligere usikkerheder Vi har undladt at tage højde for visse usikkerheder. Som tidligere nævnt bruger vi ved samtlige beregninger måleforholdet midt i boblekammeret, hvilket giver en ekstra usikkerhed på både sagita og korde. SHIVA projicerer heller ikke helt korrekt, idet måleforholdet ændres svagt fra midten af billedet ud til kanterne. Vores beregninger af krumningsradien bunder i den antagelse, at hvert udsnit af partikelbanen er en cirkelbue, hvilket ikke er helt korrekt, idet krumningen konstant tiltager, efterhånden som partiklen mister energi. Dette giver derfor en systematisk fejl i alle målinger. Figur 4: Eksempel på cirkelbue (stiplet) kontra partikelbane 10

11 5 Simulering For hver type partikel har vi udvalgt en af de opmålte baner, som vi har simuleret 8 ud fra startimpuls og -energi. For elektronen har vi desuden taget et billede af den faktiske partikelbane, og forsøgt at sammenligne dette med simulationen. Det bemærkes, at der er en hældning på billedet vi har taget af elektronspiralen, og at det blandt andet forklarer, hvorfor den simulerede spiral ikke følger den egentlige spiral fuldstændig. Det ses desuden, at der efter første omløb pludselig sker en afvigelse fra simulationen, der efterhånden aftager igen. Dette kan skyldes hældningen af billedet, eller at elektronen ikke ligger helt plant. Ud fra disse forbehold synes simulationen at være korrekt. Figur 5: Simulering af elektron lagt på baggrund af faktiske partikelbane 6 Diskussion Som allerede nævnt ligger en ud af de ni elektronmålinger uden for grafen, men selvom det statistisk set burde være en tredjedel der er tale om, vil vi, jævnfør afsnit 3.1, se bort fra statistikken i dette tilfælde grundet det relativt få antal målinger. Det bemærkes dog, at målingerne generelt ligger under kurven, hvilket kan skyldes korrektionsleddet i Bethe-Bloch formlen, som vi har set bort fra i plottet. I det βγ-interval, som vores elektronmålinger befinder sig i, ligger den korrigerede kurve svagt lavere end den ukorrigerede kurve, som vi opererer med [?]. Hvis vi havde taget højde for korrektionsleddet, ville vores elektronmålinger altså have ligget bedre. De store usikkerheder på protonmålingerne skyldes ikke som ventet multipel spredning, da vi fandt, at usikkerhederne herfra er mindre end den vurderede usikkerhed på målingerne foretaget med lineal af korder og sagita med en faktor to eller mere. Vi kan derfor ikke vurdere Bethe-Bloch formlen alene på baggrund af protonmålingerne. 8 Se koden samt billeder fra simuleringerne i appendiks E 11

12 Idet protonerne krummer langt mindre end elektronerne og π + -mesonerne, er det nødvendigt at opdele banen i større stykker. Derved bliver cirkelapproksimationen dårligere, da energitabet de øges med banestrækningen. Usikkerhederne kommer dermed til udtryk, når tre på hinanden følgende målinger fittes sammen i Gnuplot. Dette kunne være afhjulpet ved at måle på lavenergiprotoner, der krummer mere, hvor usikkerheden fra multipel spredning stadigvæk ikke vil have nogen indflydelse trods lavere hastighed. Alternativt kunne man forsøge at minimere usikkerheden ved at undersøge, hvilken indflydelse det har om der måles med fast korde, fast sagita eller variable længder. Alle målingerne af π + -mesonerne ligger i et meget smalt βγ-interval. Det havde været at foretrække, at intervallet var større, for at få et større udsnit af Bethe-Bloch kurven dækket. Dette kunne være opnået ved at måle på et større energispektrum af π + -mesoner. Ved fit af data i Gnuplot valgte vi at fitte tre målinger ad gangen. Under antagelsen af at energitabsraten de er konstant, ville et fit af det maksimale antal målinger for hele banestrækningen være at foretrække, da usikkerhederne på de enkelte målinger ville få mindre betydning. Men da de ikke er konstant, vil ændringen af den blive for stor i intervallet ved fit af for mange målinger. Derfor valgte vi som kompromis at fitte tre målinger ad gangen, hvor de behandles som en konstant. 7 Konklusion Simulationer af de tre typer partikler ud fra Bethe-Bloch formlen viser, at en partikels bevægelse i boblekammeret kan forudsiges nøjagtigt ud fra viden om magnetfeltets styrke, partiklens startimpuls samt dens energitab. Den store usikkerhed på protonmålingerne kan ikke forklares med multipel spredning, men antages i stedet at have sit udspring i cirkelapproksimationen. Protonmålingerne a- lene kan derfor ikke på tilfredsstillende vis bekræfte Bethe-Bloch formlen, men sammen med de vellykkede målinger på elektronerne og π + -mesonerne, kan vi inden for de fundne usikkerheder konstatere, at ligningen er en god beskrivelse af energitabet af en ladet partikels passage gennem stof i det relevante βγ-interval. 12

13 A Udregning af forstørrelsesfaktor På boblekammerbillederne er der placeret afmærkninger, de såkaldte fiducialer. Idet vi antager, at partiklerne bevæger sig midt i kammeret, er vi interesseret i de afmærkninger, der viser forholdet mellem forsiden og bagsiden af kammeret. Vi har målt afstandene L forside = 48.9 cm L bagside = 47.7 cm For at finde de respektive faktorer, skal vi dele med de faktiske længder [?], hvorfor vi opnår F forside = F bagside = 48.9 cm 39.0 cm = cm 46.0 cm = 1.04 Forstørrelsesfaktoren er gennemsnittet af disse to værdier, hvorfor vi opnår F =

14 B Omskrivningen af udtrykket for impuls Vores udtryk for impulsen p udledt udfra Newtons anden lov er p = qbr med enheden kg m s ækvivalent med J s m. Eftersom vi opererer med partikler med elementarladningen e = C, omskriver vi udtrykket til p = Br. Vi vil nu omregne dette til MeV c. Siden 1 MeV = J, får vi følgende sammenhæng i MeV s m Br = 10 6 Br. Eftersom vi ønsker at udtrykket skal være på formen MeV c, multiplicerer vi udtrykket med c = m s, hvorfor vi opnår det ønskede udtryk p = 3Br, hvor p måles i MeV c, B måles i Tesla og krumningsradien r måles i cm. 14

15 C Oversigt over Bethe-Bloch variable Variabel Definition Enhed eller værdi c Lysets hastighed m s v β Partiklens hastighed ift. lysets hastighed c 1 γ Lorentzfaktor 1 β 2 m e Elektronens masse MeV c 2 T Kinetisk energi MeV A Absorberende stofs molarmasse g mol r e Elektronradius fm z e Indkommende partikes ladning C N A Avogadro s tal mol 1 K Konstant 4πN A rem 2 e c 2 MeV M Indkommende partikels masse c 2 I Gennemsnitlig excitationsenergi 19.2 ev Z Absorberende stofs atomnummer Tabel 4: Oversigt over variable i Bethe-Bloch ligningen 15

16 D Tilbagelagt strækning Jævnfør geometrien på figur 2 opnås følgende udtryk for krumningsradien r 2 = ( ) L 2 + (r s) 2 r = L2 2 8s + s 2 L2 8s. Endvidere gælder, at sin ( ) θ = L ( ) L 2 2r θ = 2 arcsin. 2r Idet L samlet = θr, opnås sammenhængen L samlet = 2r arcsin ( ) L. 2r Substituerer vi udtrykket for krumningsradien r ind, opnås følgende sammenhæng for den tilbagelagte strækning ( ) ( ) L samlet = 2 L2 8Ls 8s arcsin 2L 2 = L2 4s 4s arcsin. L 16

17 E Kode til simulering Nedenstående er koden vi benytter til at simulere elektronens passage gennem brint. Den samme kode er benyttet til at simulere protonen og π + -mesonen, dog har vi ændret på massen, ladningen, startenergien og -impulsen. Billeder af simuleringerne forefindes efter koden. from v i s u a l import e l e k t r o n=sphere ( pos =(14.0, 2.0,0.0), r a d i u s =0.0, c o l o r=c o l o r. green ) #Diverse k o n s t a n t e r og s t a r t v æ r d i e r p =82.4; E=82.4; M=0.511; me=0.511; K= I = ( 6); c =3 (10 10); rho m =0.063 #massefylde a f b r i n t z= 1; Z=1; A=1; B=1.74 Bv=B v e c t o r ( 0, 0, 1 ) ; v e l=v e c t o r ( 0, 1, 0 ) normal = z v e c t o r ( v e l. y, v e l. x ) # normalvektor t i l h a s t i g h e d s v e k t o r e n t h e t a t o t = 0.5 pi path=curve ( r a d i u s =0.08) path. c o l o r=c o l o r. black a u t o s c a l e=0 scene. range =(19,19,19) scene. background=c o l o r. white =0.005 x=3.2 while E>20: r a t e (10000) #Ny e n e r g i og impuls beta=s q r t (1 M 2/E 2) gamma=1/ s q r t (1 beta 2) ds = /rho m Tmax=2 me ( beta 2) (gamma 2)/(1+2 gamma me/m+(me/m) 2) de=(k ( z 2) (Z/A) ( 1 / ( beta 2 ) ) ( 0. 5 l o g (2 me ( beta 2) (gamma 2) Tmax/( I 2)) beta 2)) E=E de ; p=e #f o r protonerne og p i +: p=s q r t (Eˆ2 mˆ2) 17

18 #Krumningsradius og centrum f o r c i r k e l b a n e r=p/(3 B) centrum = e l e k t r o n. pos z normal r #Samlet v i n k e l s t r æ k n i n g theta=ds / r t h e t a t o t = t h e t a t o t z theta #Normalvektor t i l h a s t i g h e d e n v e l = v e c t o r ( cos ( t h e t a t o t ), s i n ( t h e t a t o t ), 0 ) normal = z v e c t o r ( v e l. y, v e l. x ) e l e k t r o n. pos = centrum normal r path. append ( pos=e l e k t r o n. pos ) x=x+ Figur 6: Simulering af proton Figur 7: Simulering af π + -meson 18

Partiklers energitab i boblekammer. Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006

Partiklers energitab i boblekammer. Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006 Partiklers energitab i boblekammer Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006 1 Indhold 1 Indledning 3 2 Boblekammeret 3 2.1 Boblekammeret............................ 3 2.2 SHIVA.................................

Læs mere

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer. 1 Forord 2. 2 Boblekammer 3

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer. 1 Forord 2. 2 Boblekammer 3 Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer Indhold 1 Forord 2 2 Boblekammer 3 3 Energitab 4 3.1 Teori.................................. 4 3.2 Forsøget................................ 5 3.3

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken.

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken. I alle opgaver er der afrundet til det antal betydende cifre, som oplysningen med mindst mulige cifre i opgaven har. Opgave 1 Færdig Spændingsfaldet over varmelegemet er 3.2 V, og varmelegemet omsætter

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

Frie øvelser Fysik 3 Elementarpartiklers Henfald

Frie øvelser Fysik 3 Elementarpartiklers Henfald Frie øvelser Fysik 3 Elementarpartiklers Henfald Alexander S Christensen Asger E. Grønnow Magnus E. Bøggild Peter D. Pedersen xkcd.com Københavns Universitet Forår 2010 Indhold 1 Indledning 2 2 Standardmodellen

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,

Læs mere

Strålingsbeskyttelse ved accelerationsanlæg

Strålingsbeskyttelse ved accelerationsanlæg Medicinsk fysik p.1/21 Medicinsk fysik Strålingsbeskyttelse ved accelerationsanlæg Søren Weber Friis-Nielsen 3. maj 2005 weber@phys.au.dk Indhold Medicinsk fysik p.2/21 Overblik over strålingstyper Doser

Læs mere

Kernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14

Kernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14 Kerneprocesser Side 1 af 14 1. Kerneprocesser Radioaktivitet Fission Kerneproces Fusion Kollisioner Radioaktivitet: Spontant henfald ( af en ustabil kerne. Fission: Sønderdeling af en meget tung kerne.

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Teknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5.

Teknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5. Fysikken bag Massespektrometri (Time Of Flight) Denne note belyser kort fysikken bag Time Of Flight-massespektrometeret, og desorptionsmetoden til frembringelsen af ioner fra vævsprøver som er indlejret

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Opdrift og modstand på et vingeprofil

Opdrift og modstand på et vingeprofil Opdrift og modstand på et vingeprofil Thor Paulli Andersen Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet 1 Vingens anatomi Et vingeprofil er karakteriseret ved følgende bestanddele: forkant, bagkant, korde, krumning

Læs mere

Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt

Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt Forsidebillede: En oplyst plexiglasleder hvorpå gruppens navn er skrevet [1] Titel: Optiske fibre Tema: Lysets fysik Projektperiode: 01/09 18/09 2015 Projektgruppe:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt Atomets partikler: Elektrisk ladning Lad os se på et fysisk stof som kobber: Side 1 Atomets

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter.

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter. Atomer, molekyler og tilstande 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Elektronkonfiguration og båndstruktur. I dag: Bindinger mellem atomer og molekyler, idet vi starter med at se på de fire naturkræfter, som ligger

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Røntgenspektrum fra anode

Røntgenspektrum fra anode Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Tillæg til partikelfysik (foreløbig)

Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,

Læs mere

Strålings vekselvirkning med stof

Strålings vekselvirkning med stof Strålings vekselvirkning med stof Forelæsning (25. februar 2008, 15 15-16 00 ) som del af kurset: Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Med udgangspunkt i: G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement,

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Rumfang af væske i beholder

Rumfang af væske i beholder Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Fysik 3 Førsteårsprojekt

Fysik 3 Førsteårsprojekt Fysik 3 Førsteårsprojekt Arvid Böttiger Nikolaj Korolev Jesper Mathias Nielsen Martin Cramer Pedersen Københavns Universitet Indhold 1 Indledning 2 2 Standardmodellen 2 3 BRAHMS-detektoren 3 3.1 Generelt

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Partikelacceleratorer: egenskaber og funktion

Partikelacceleratorer: egenskaber og funktion Partikelacceleratorer: egenskaber og funktion Søren Pape Møller Indhold Partikelaccelerator maskine til atomare partikler med høje hastigheder/energier Selve accelerationen, forøgelse i hastighed, kommer

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Rækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven

Rækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven Rækkevidde, halveringstykkelse og afstandskvadratloven Eval Rud Møller Bioanalytikeruddannelsen VIA University College Marts 008 Program Indledende kommentarer. Rækkevidde for partikelstråling Opbremsning

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse

Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse Det skrå kåst Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse 19/12-2012 Matematik Opstil stedfunktionen s x (t) og s y (t) for den lodrette og den vandrette bevægelse, som funktion af

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155

Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155 Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155 Rumrejser med 1 g acceleration Ján Beňačka 1 Introduktion Inden for en overskuelig fremtid vil civilisationer som vores være nødt til at fremskaffe

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Kernereaktioner. 1 Energi og masse

Kernereaktioner. 1 Energi og masse Kernereaktioner 7 1 Energi og masse Ifølge relativitetsteorien gælder det, at når der tilføres energi til et system, vil systemets masse altid vokse. Sammenhængen mellem energitilvæksten og massetilvækstener

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi

A KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico, Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Attenuation af røntgenstråling

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Bestemmelse af dispersionskoefficient ved sporstofforsøg

Bestemmelse af dispersionskoefficient ved sporstofforsøg Bestemmelse af dispersionskoeffiient ved sporstofforsøg Formål Der er den 09.09.04 udført et storstofforsøg i Østerå med det formål at bestemme den langsgående dispersionskoeffiient for vandløbet. Dispersionskoeffiienten

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

) ( 75,5 ( -75,5 ) ( 95,4 ( -1 ) (, 1 1. Vand, saltvand og negativt tryk. 60 LMFK-bladet, nr. 4, september 2010. Matematik. Kemi

) ( 75,5 ( -75,5 ) ( 95,4 ( -1 ) (, 1 1. Vand, saltvand og negativt tryk. 60 LMFK-bladet, nr. 4, september 2010. Matematik. Kemi Vand, saltvand og negativt tryk Jens Skak-Nielsen, Marselisborg Gymnasium I bogen Viden om Vand, redigeret af Inge Kaufmann og Søren Rud Keiding, vil jeg kommentere 2 bemærkninger i henholdsvis kapitel

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

Vejledning til Betastrålers afbøjning

Vejledning til Betastrålers afbøjning Vejledning til Betastrålers afbøjning 11.01.11 Aa 5141.05 Figur 1 Drej kildeholderen til 90 og tæl eller lyt igen. Den kollimerede stråle af betapartikler rammer ikke længere GM-røret, og tællehastigheden

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Transienter og RC-kredsløb

Transienter og RC-kredsløb Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et

Læs mere

Måling og modellering af partikelspredning

Måling og modellering af partikelspredning Måling og modellering af partikelspredning Formålet med partikeltransporten er at bestemme partikelspredningen ud fra målinger i strømrenden, og herefter modellere partikelspredningen i en af projektgruppen

Læs mere

Der hænger 4 lodder i et fælles hul på hver side af en vægtstang. Hvad kan du sige med hensyn til ligevægt?:

Der hænger 4 lodder i et fælles hul på hver side af en vægtstang. Hvad kan du sige med hensyn til ligevægt?: 1 At skabe ligevægt Der er flere måder hvorpå man med lodder som hænger i et fælles hul på hver sin side af en vægtstang kan få den til at balancere - at være i ligevægt. Prøv dig frem og angiv hvilke

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi)

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi) Appendiks NMR-teknikken NMR-teknikken baserer sig på en grundlæggende kvanteegenskab i mange atomkerner, nemlig det såkaldte spin som kun nogle kerner besidder. I eksemplerne her benyttes H og 3 C, som

Læs mere

Undersøgelse af lyskilder

Undersøgelse af lyskilder Felix Nicolai Raben- Levetzau Fag: Fysik 2014-03- 21 1.d Lærer: Eva Spliid- Hansen Undersøgelse af lyskilder bølgelængde mellem 380 nm til ca. 740 nm (nm: nanometer = milliardnedel af en meter), samt at

Læs mere