Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Transkript

1 Bnomalfordelngen Erk Vestergaard

2 Erk Vestergaard Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner.

3 Erk Vestergaard Indholdsfortegnelse. Indlednng.... Stokastske varable.... Mddelværd, varans og sprednng...8. Ldt kombnatork.... Bnomalfordelngen... Opgaver...9

4 Erk Vestergaard Erk Vestergaard, Haderslev,.

5 Erk Vestergaard Indlednng I denne llle note skal v kgge på bnomalfordelngen, som er en af de vgtgste fordelnger ndenfor sandsynlghedsregnng. Før v går gang med at beskrve bnomalfordelngen, skal v have nogle grundlæggende begreber på plads. For det første er der begrebet en stokastsk varabel, dernæst skal v kgge på et par vgtge formler ndenfor kombnatorkken, der er den gren af matematkken, hvor man ldt løst sagt optæller antallet af kombnatoner af et eller andet.. Stokastske varable Et stokastsk eksperment er et forsøg, hvor man kke på forhånd kan forudsge udfaldet. Der kan forekomme en række udfald, og mængden af dsse udgør udfaldsrummet U. En stokastsk varabel X er en funkton, som tl ethvert udfald u U knytter et tal X ( u ). Man er ofte nteresseret sandsynlghedsfordelngen for den stokastske varabel, dvs. sandsynlghederne for de forskellge værder, som X kan antage. Sandsynlghederne kan angves på ldt forskellg måde. V skal se på nogle eksempler. Eksempel Eksperment: Et kast med to ternnger, en grøn og en rød. Antal øjne betragtes. Udfaldsrum: U = {(,), (, ),, (,), (,), (,),, (,),, (,)}, hvor første koordnaten talparret angver antal øjne for den grønne ternng, mens andenkoordnaten angver antal øjne for den røde ternng. Stokastsk varabel: X angver summen af øjnene af de to ternnger. Rød ternng Grøn ternng Hvs man med ternngerne slår (,) svarende tl, at den grønne ternng vser og den røde ternng vser, har den stokastske varabel X værden + = 7. Af overskuelghedshensyn kan det være hensgtsmæssgt at tegne en fgur som ovenfor tl højre. Ud for på førsteaksen og på andenaksen er anbragt tallet 7. Tlsvarende med alle de øvrge mulge udfald udfaldsrummet. V ser, at den stokastske varabel X kan antage værderne fra tl. Da den kun kan antage endelgt mange værder, kaldes X for en dskret stokastsk varabel. For at fnde sandsynlghedsfordelngen for X skal v beregne sand-

6 Erk Vestergaard synlgheden for hver af dens mulge værder. X har værden for følgende udfald: (,), (,) og (,). Sandsynlgheden for hver af dsse er som bekendt =. Derfor er den ønskede sandsynlghed lg med. V skrver: P( X = ) =. V udtaler det: Sandsynlgheden for at X er lg med er lg med. Sandsynlghederne for de øvrge værder af X udregnes tlsvarende og anbrnges en tabel: x P( X = x ) En kontrol på om man har regnet rgtgt er at alle sandsynlghederne tabellen skal gve tlsammen! Sandsynlghedsfordelngen kan om ønskelgt afbldes et stolpedagram: Sandsynlghedsfordelngen for X Ved hjælp af sandsynlghedsfordelngen kan man løse forskellge opgaver, for eksempel bestemme sandsynlgheden for at summen af ternngernes øjne højst er lg med : P( X ) = P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) = = = 8 I eksempel så v, hvordan v kunne beregne sandsynlgheder, som nvolverer en stokastsk varabel X, som er tlknyttet et bestemt udfaldsrum. Man kan naturlgvs også drekte tale om sandsynlghederne af de enkelte udfald u U, og de betegnes P( u ). Det er oplagt, at der altd gælder at sandsynlghederne lgger mellem og : () P( u ) samt at sandsynlghederne tlsammen gver. At P( u ) + P( u) + + P( u n ) = skrver man ofte på en kompakt måde med et særlgt sumtegn: () n = Det er her underforstået at U { u u u } =,,, n. P( u ) =

7 Erk Vestergaard 7 I forbndelse med udfaldsrum taler man også om begrebet en hændelse. Med en hændelse H menes en delmængde af udfaldsrummet, som skrves H U. Man defnerer naturlgt nok sandsynlgheden for hændelsen H som summen af sandsynlghederne af de en- H = u, u,, u, så sættes kelte udfald H. Altså hvs { } r () P( H ) = P( u ) + P( u ) + + P( u ) r Der skal sges ldt om et par særlge hændelser: Udfaldsrummet er jo en delmængde af sg selv og dermed en hændelse. Det er oplagt, at sandsynlgheden for den er. I den anden boldgade har v den delmængde, som kke ndeholder noget udfald overhovedet, den tomme mængde, betegnet med det særlge symbol. Den har sandsynlgheden. Endelg har v den komplementære hændelse tl H, kaldet H (udtales H bar). Hermed menes den komplementære mængde tl H, der netop består af alle de udfald U, der kke er H. Det er her ndlysende, at sandsynlgheden for den komplementære hændelse fås ved at trække sandsynlgheden for hændelsen H fra. V opsummerer: () P( U ) =, P( ) = og P( H ) = P( H ) Lad os kgge på et eksempel. Eksempel I eksempel kunne man for eksempel betragte den hændelse H, der består af alle de udfald, hvor den grønne ternng vser : H = {(,),(,),(,),(,),(,),(,) }. Da alle udfaldene U har sandsynlgheden, får v af (): P( H ) = P((,)) + P((,)) + P((,)) + P((,)) + P((,)) + P((,)) = = = Den komplementære hændelse tl H består af alle de udfald, hvor den grønne ternng kke vser. Sandsynlgheden for den er følge (): P( H ) = P( H ) = =. I det følgende eksempel skal v se, at man sagtens kan have flere forskellge stokastske varable, der er knyttet tl det samme udfaldsrum. I eksempel var X, som så ofte før set, lg med summen af ternngernes øjne. Nu skal v se et eksempel, hvor kastet med de to ternnger betragtes som et spl og hvor X er gevnsten ved spllet. Eksempel En bankør tlbyder et spl, hvor splleren slår med to ternnger: en grøn og en rød. Hvs der er en er blandt de to ternnger, skal splleren betale kr. tl bankøren. I alle andre tlfælde vnder splleren det beløb kroner, som svarer tl forskellen mellem de to ternngers vsnng. Hvs den ene ternng vser og den anden, vnder splleren altså = kroner. Lad os være systematske gen:

8 8 Erk Vestergaard Eksperment: Et kast med to ternnger, en grøn og en rød. Antal øjne betragtes. Udfaldsrum: U = {(,), (, ),, (,), (,), (,),, (,),, (,)}, hvor første koordnaten talparret angver antal øjne for den grønne ternng, mens andenkoordnaten angver antal øjne for den røde ternng. Stokastsk varabel: X angver det beløb splleren vnder ét enkelt spl. For at bestemme sandsynlghedsfordelngen for X skal v først fnde ud, hvad X gver for de enkelte udfald udfaldsrummet. Det er gjort skematsk på fguren nedenfor tl venstre. Stuatonen er set fra spllerens synspunkt, så et tab anføres som et negatvt tal. V ser, at X kan antage forskellge værder:,,,,, og. Sandsynlgheden for hver af dsse værder fås ved at tælle op, hvor ofte de forekommer skemaet og så gange med /, som er sandsynlgheden for hvert enkelt udfald. Det gver tabellen tl højre: Rød ternng Sandsynlghedsfordelngen for X: x 8 P( X = x ) Grøn ternng. Mddelværd, varans og sprednng Der er specelt to størrelser, som er med tl at sge noget om en stokastsk varabel, og det er mddelværden og varansen eller sprednngen. Mddelværden fås ved at tage det vejede gennemsnt af værderne for den stokastske varabel, mens varansen fås som det vejede gennemsnt af kvadratet på afvgelserne fra mddelværden. Sprednngen er kvadratroden af varansen. Lad os se på eksempel og ovenfor. Eksempel Mddelværden af den stokastske varabel fra eksempel fås ved at betragte tabellen for sandsynlghedsfordelngen og udregne det vejede gennemsnt: () Denne udregnng gver 7. Resultatet er kke overraskende, da fordelngen er symmetrsk omkrng 7. Mddelværden betegnes nogle gange med µ, andre gange med E( X ). Sdstnævnte står for expectaton of X den forventede værd af X. Man skrver udregnngen () på en ldt smart måde ved hjælp af et sumtegn:

9 Erk Vestergaard 9 n () µ = E( X ) = xp( X = x ) = = 7 = Nu tl varansen. På kompakt form skrver v: (7) n Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) = = ( 7) + ( 7) + ( 7) + + ( 7) =,8 V tager altså forskellene mellem den stokastske varabels værder og mddelværden, opløfter tl. potens og vejer med sandsynlghederne. Sprednngen fås ved at tage kvadratroden af varansen: (8) σ = Var( X ) =,8 =, Selv om talværden for sprednngen kke sger noget drekte om fordelngen, så kan man dog sge, at jo større tallet er, jo mere spredte er data. Lad os sammenfatte begreberne ovenfor: Defnton (Mddelværd, varans og sprednng for stokastsk varabel) Gvet en dskret stokastsk varabel X. Mddelværden for X er gvet ved: (9) µ = E( X ) = x P( X = x ) hvor der summeres over de mulge værder x, x,, som X kan antage. Varansen for X er gvet ved: () Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) hvor µ angver mddelværden for X. Sprednngen for X er gvet ved: () σ ( X ) = Var( X ) Eksempel I spllet eksempel får v følgende værder for henholdsvs mddelværd og varans for den stokastske varabel X : E( X ) = x P( X = x ) = = Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) = ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) = ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) 7,

10 Erk Vestergaard V ser, at mddelværden er negatv, hvlket kke er så mærkelgt, da bankører har det med at sørge for, at de selv har de bedste odds! Helt præcst fortæller mddelværden, at splleren gennemsnt vl tabe /9 kr. hvert spl. Talværden for varansen er kke nem at gve en god fortolknng af, men v kan lave ldt om på splreglerne og studere den vrknng, som det har på varansen. Lad os sge, at splleren stadg taber kr. hvs blot en af ternngerne vser, at to ens gver summen af øjnene kr., undtagen hvs de to ens er (,), mens alle andre kombnatoner hverken gver tab eller gevnst. Stuatonen er vst på fguren nedenfor tl venstre. Mddelværden vser sg at være nøjagtg den samme som det oprndelge spl, men varansen kan vses at være vokset tl,87. Det skyldes, at spllet er blevet mere chancebetonet. Der er større præmer, som er fordelt på færre udfald. Men bankøren vl altså gennemsnt få den samme ndtjenng! Rød ternng 8 Grøn ternng. Ldt kombnatork Som hjælperedskab tl næste afsnt får v brug for ldt kombnatork. Kombnatork er den matematske dscpln, som beskæftger sg med at tælle antal kombnatoner. Defnton 7 Antag gvet n forskellge elementer opstllet på en række. Med betegnelsen en permutaton af de n elementer menes en ombytnng af elementerne, så de står en ny (evt. samme) rækkefølge. Antallet af mulge permutatoner af n forskellge elementer betegnes n! og udtales n fakultet. På fguren nedenfor er vst permutatoner af tallene fra tl 7. Da der er alt forskellge permutatoner, kan v kun opskrve nogle af dem. Permutatoner 7! 7 7, 7, 7,..., 7,..., 7

11 Erk Vestergaard Defnton 8 En anden vgtg størrelse er kombnatoner. Med betegnelsen K n, r vl v mene antallet af måder, hvorpå man kan udtage r elementer ud af en mængde på n forskellge elementer (antaget r n). Stuatonen er llustreret nedenfor: Der skal udtages tal fra en krukke med de fre tal,, og. Det kan gøres på forskellge måder som vst. Derfor er K, =. De udtrukne tal er vst poser for at ndkere, at man kke nteresserer sg for, hvlken rækkefølge tallene udtrækkes. Kombnatoner K, Sætnng 9 (Permutatoner og kombnatoner) a) n! = n b) K, n r n! = r!( n r)! Bevs: a) Gvet n forskellge elementer. Den første plads kan besættes på n måder. For hver af dsse tlfælde kan plads besættes på ( n ) måder. For hver af dsse kan plads besættes på ( n ) måder, osv. ndtl den sdste plads, som kun kan besættes på måde. Antallet af mulgheder fås dermed ved at gange dsse tal sammen. De r udtrukne De ( n r) øvrge b) Man kan betragte problemet på følgende måde: Vælg en tlfældg permutaton af de n elementer og lad os vedtage, at de r elementer, som står først, skal være de udtrukne. Der er mdlertd en masse tlfælde, som tælles med flere gange. De første r elementer kan permuteres på r! forskellge måder, men de repræsenterer den samme udtræknng. V må derfor dvdere med r! for at tage høje for de permutatoner, som tælles med flere gange. På samme måde vl permutatoner af de n r øvrge elementer heller kke resul-

12 Erk Vestergaard tere nogen ny udtræknng, hvorfor v må dvdere med ( n r)! for at tage højde for de tlfælde, som tælles med flere gange. Antallet af mulge udtræknnger fås derfor tl: n! Kn, r = r!( n r)! Eksempel I eksemplet på den første fgur afsnt har v, at antallet af permutatoner af de 7 elementer er 7! = 7 =. I eksemplet på den anden fgur har v, at man kan udtage elementer ud af en krukke med forskellge elementer på måder: K,!! = = = =!( )!!! Fakultet og kombnatoner Maple og på TI-X lommeregneren Man behøver kke udregne fakultet og kombnatoner manuelt ved hjælp af formlerne sætnng 9. De fleste lommeregnere har funktonerne ndbygget. I TI-X kan man for eksempel benytte en knap med navnet PRB, så vl der vse sg nogle mulgheder. I den fremkomne menu er udråbstegnet! den såkaldte fakultetsfunkton, mens ncr er kombnatons-funktonen. Angående sdstnævnte, så udregnes K, ved at trykke ncr og derefter ENTER. I Maple udregnes K, ved hjælp af kommandoen bnomal(,). For at udregne størrelsen! Maple skrver man blot! - nemmere blver det kke! Eksempel Terne skal arrangere en badmnton turnerng med personer, hvor alle skal splle mod alle to og to. Hvor mange kampe skal der arrangeres? Svar: Det er klart, at det svarer tl antallet af mulge måder at udtrække personer ud af personer, hvlket er K, =. Eksempel Hvor mange forskellge hænder med kort kan man få ud af et kortspl med kort? Svaret er, 9 K =. Bemærknng I stedet for K n, r bruges ofte betegnelsen n r, og sdstnævnte udtales: n over r

13 Erk Vestergaard Bnomalfordelngen En af de mest anvendte sandsynlghedsfordelnger er den såkaldte bnomalfordelng. At den anvendes så ofte, har sn årsag, at den er defneret ud fra nogle abstrakte krterer, som gør den så generel, at den passer på mange stuatoner. En bnomalfordelt stokastsk varabel X er defneret ved følgende: Eksperment: Et basseksperment udføres n gange. n kaldes for længden af ekspermentet. Et basseksperment kan lykkes eller mslykkes. Udfaldene af hver af bassekspermenterne skal være ndbyrdes uafhængge. Sandsynlgheden for, at et enkelt basseksperment lykkes betegnes p, hvormed sandsynlgheden for at det mslykkes er p. Udfaldsrum: Et udfald u kan beskrves ved en vektor med n koordnater. Den te koordnat er lg L, hvs det te basseksperment lykkes og M, hvs det mslykkes. Eksempel: Hvs n =, er (L, M, M, L, M) det udfald, at første og fjerde basseksperment lykkes, mens de øvrge tre mslykkes. Mængden af alle udfald udgør udfaldsrummet. Stokastsk varabel: X angver det antal gange, som bassekspermentet lykkes. Det generelle defntonen gør som sagt, at fordelngen fnder anvendelse vdt forskellge stuatoner: Det kan være, at man slår 8 gange med en ternng og vl undersøge sandsynlgheden for at få femmere. Det kan være, at man ønsker at fnde sandsynlgheden for at få højst pger ved fødsler, eller måske vl man undersøge uskkerheden af stkprøver forbndelse med folketngsvalg. V skal senere se, hvorfor dsse eksempler opfylder krtererne. Først skal v dog opstlle en formel for sandsynlgheden for, at bassekspermentet lykkes r gange: Sætnng (Bnomalfordelngen) Lad X være en bnomalfordelt stokastsk varabel. Sandsynlgheden for, at X antager værden r er gvet ved følgende udtryk: r () P( X = r) = Kn, r p ( p) n r Bevssktse: Af hensyn tl overskuelgheden vl v argumentere for ovenstående formel ved hjælp af et eksempel: Lad os antage, at v slår gange med en ternng og ønsker at fnde sandsynlgheden for at få netop frere. Bassekspermentet er da at slå én gang med en ternng. V vedtager, at bassekspermentet lykkes, hvs man får en frer. Det gver en basssandsynlghed på p =. Sandsynlgheden for at bassekspermentet mslykkes, dvs. at resultatet kke er en frer, er dermed p =. Den stokastske varabel X skal angve antallet af gange bassekspermentet lykkes, dvs. hvor mange gange man får en frer n = kast. Netop frere kan fremkomme på forskellg vs: Det er hensgtsmæssgt at dele op en række hændelser. På fguren nedenfor symbolserer skrvemåden (,,,, ), at man fk frere de to første kast, og kke-frere de næste tre kast. Man kan også tænke, at man fk frere første og tredje kast og kke-frere de øvrge, etc.

14 Erk Vestergaard Netop frere (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) Der er alt mulgheder, kan v se, og de udelukker ndbyrdes hnanden samtdgt med, at de udgør alle tlfælde med netop frere. Sandsynlgheden for netop to frere kan da fndes ved at lægge sandsynlgheden for hver af de mulgheder sammen. Lad os først bestemme sandsynlgheden for (,,,, ) : ( ) ( ) P (,,,, ) = = Hvor v har benyttet, at de enkelte kast er uafhængge af hnanden, så v får sandsynlgheden for hele kombnatonen ved at gange deres ndbyrdes sandsynlgheder sammen. V kan gøre det samme med hændelsen (,,,, ) : ( ) ( ) P (,,,, ) = = V ser, at resultatet er det samme som før. Man overbevser sg hurtgt om, at alle dsse sandsynlgheder er ens, nemlg ( ) ( ). Derfor fås sandsynlgheden for netop frere med antallet af kombnatoner: ved at gange ( ) ( ) ( ) ( ) K, ( ) ( ) P( X = ) = = det K, = er antallet af kombnatoner, svarende tl antallet af måder, hvorpå man kan udpege de to pladser, hvorpå frerne skal stå. Resten af pladserne skal ndeholde kke-frere. V ser, at resultatet stemmer med () for n =, r =, p =. Eksempel Bestem sandsynlgheden for ved 8 kast med en ternng at få netop femmere. Angv desuden hele sandsynlghedsfordelngen for den stokastske varabel X, som angver antal femmere ved de 8 kast. Løsnng: Bassekspermentet er ét kast med en ternng, og det udføres n = 8 gange. Udfaldene af de enkelte bassekspermenter er klart uafhængge. Dermed kan v benytte bnomalfordelngen. Basssandsynlgheden er p =. Ved brug af formel () fås: ( ) ( ) ( ) ( ) 8, P( X = ) = K = =,

15 Erk Vestergaard Så den søgte sandsynlghed er altså,%. Opgaven kan løses hurtgere Maple: Man skal kalde pakken Statstcs. Herefter har man rådghed over en række funktoner. RandomVarable er det engelske ord for stokastsk varabel. I tredje lnje defneres således en bnomalfordelt stokastsk varabel med n = 8 og p =. Bemærk at kommafdusen med at skrve et af tallene som et kommatal her et sat et punktum efter - tallet brøken / skrer at v får svarene kommatal og kke eksakte brøker! Dette var P( X = ). På helt tlsvarende måde kan man udregne sandsynlgheden for alle de øvrge mulge værder, som den stokastske varabel kan antage, og anbrnge resultaterne et skema. Hermed haves den såkaldte sandsynlghedsfordelng for X : x 7 8 P(X = x),,7,,,,,,, Eksempel Det er en udbredt opfattelse blandt folk, at hvs man får mange børn af samme køn, så er det en ekstrem hændelse. Men er det nu det? Lad os se på eksempler. Hvad er sandsynlgheden for ved fødsler at få: a) fre pger?, b) mndst en pge?, c) højst to pger? Løsnng: Bassekspermentet er en fødsel. Det oplyses, at det at få en pge eller en dreng kan betragtes som uafhængge hændelser. Hermed menes, at sandsynlgheden for at få en dreng eller pge er helt uafhænggt at hvad kønnet på eventuelt tdlgere børn måtte have været. Statstkker vser, at pger forekommer en smule sjældnere end drenge, nemlg 9% af tlfældene. Lad os vedtage, at bassekspermentet lykkes, hvs det blver en pge, dvs. basssandsynlgheden er p =, 9. Lad X angve antallet af pger. Det er klart at n =, da bassekspermentet udføres gange. a),, P( X = ) = K, 9 (, 9) = K, 9, =, 9 =, 7, så fre pger ved fødsler sker altså trods alt knap % af alle tlfælde!

16 Erk Vestergaard b) Hvs der skal være mndst én pge, skal X altså være lg med,, eller. Problemet kan dermed løses ved at udregne P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) + P( X = ). ønskes X Der er mdlertd en nemmere måde: Det modsatte af at få mndst pge er, at man ngen pger får (komplementære hændelse). Derfor kan opgaven også løses ved:, P( X ) = P( X = ) = K, 9, =, =,9 så sandsynlgheden for at få mndst én pge ved fødsler er altså 9,%. c) Hvs man skal have højst pger, så skal X være lg med, eller. Opgaven kan altså løses ved at udregne P( X ) = P( X = ) + P( X = ) + P( X = ). ønskes X Det er dog hurtgere at bruge Maples facltet for kumulerede bnomal-sandsynlgheder: Cumulatve Dstrbuton Functon, forkortet CDF, tl at udregne sandsynlgheden drekte. Med den kan man udregne summen af alle sandsynlgheder fra en værd og nedefter. Her er det fra og nedefter: Så sandsynlgheden for at få højst pger er altså 7,%. Eksempel 7 Op tl folketngsvalg foretages mange valgprognoser. Typsk udspørges mellem og personer om, hvlket part de vl stemme på. I dette eksempel skal v forsøge at få en fornemmelse for, hvor uskre sådanne stkprøver er. V vl antage, at man udspørger helt tlfældgt udvalgte personer. Lad os antage, at et part A på landsplan har % af stemmerne, uden at man kender tallet. Hvad er da sandsynlgheden for, at en stkprøve på vl gve et resultat, som afvger med mere end procentpont fra det rgtge tal?

17 Erk Vestergaard 7 Løsnng: V kan benytte bnomalfordelngen: Bassekspermentet er, at man udspørger én person. Bassekspermentet lykkes, hvs personen stemmer på A. V kan antage, at personerne stemmer uafhænggt, og basssandsynlgheden er p =,. Den stokastske varabel X angver, hvor mange af de personer, som stemmer på partet. Lad os først prøve at bestemme sandsynlgheden for det modsatte af det der spørges om, dvs. at stkprøvens resultat afvger med højst % pont fra det rgtge, som er %. V skal altså fnde sandsynlgheden for at stkprøvens resultat er mndst 8% og højst %. Ud af svarer det tl at bestemme sandsynlgheden for at der er mndst og højst 8, som stemmer på A, altså P( X 8). De redskaber, v har tl rådghed, stller os kke stand tl at bestemme denne værd drekte. V må gøre det to trn: Først bestemmes sandsynlgheden for at X er lg med 8 eller derunder. Så har v fået for meget med, nemlg sandsynlgheden for at X er lg med eller derunder. Dette er llustreret på fguren herunder. V har: P( X 8) = P( X 8) P( X ). for meget med ønsker udregner først 8 8 X I Maple kan udregnngen klares således: V har altså P( X 8) =,877. V blev mdlertd spurgt om det modsatte: Sandsynlgheden for at stkprøven afvger med mere end % pont fra den rgtge procent (populatonens) er altså,877 =, =,%. Man skal med andre ord være forsgtg med at konkludere for håndfast ud fra stkprøver. Her gk v endda ud fra, at gruppen på var helt tlfældgt udvalgt. Er der en skævhed sammensætnngen, vl det forøge uskkerheden. Bemærknng 8 Tl den opmærksomme læser skal det lge tlføjes, at man egentlgt prncpelt kke kan anvende bnomalformlen eksempel 7, hvs man skal være nøjeregnende: Når en person har afgvet en stemme, så er sandsynlgheden for, at den næste person stemmer på partet A kke helt %, for en person er jo fjernet fra gruppen! Ud af en stor populaton, som den danske befolknng er, har dette dog ngen praktsk betydnng. Denne problematk er årsagen tl, at man undertden sger, at bnomalfordelngen gælder for stuatoner med tlbagelægnng.

18 8 Erk Vestergaard I det følgende skal v kgge på mddelværden og varansen for en bnomalfordelt stokastsk varabel. Netop dette tlfælde gælder der nogle ekstra smple og smukke formler, så v undgår at skulle gå tlbage tl de generelle defntoner (9) og (): Sætnng 9 Lad X være en bnomal-fordelt stokastsk varabel med antalsparameter n og basssandsynlghed p. Da er mddelværden og varansen gvet ved følgende formler: a) E( X ) = n p b) Var( X ) = n p ( p) Bevs: Oversprnges, da de er ldt teknske. Eksempel I eksempel, hvor der kastes 8 gange med en ternng, fås E( X ) = n p = 8 =,. Der vl altså gennemsnt forekomme, femmere ved 8 kast med en ternng. Varansen udregnes tl Var( X ) = n p ( p) = 8 =,. Eksempel Betragt eksempel 7: I stkprøver á respondenter er mddeltallet for antallet af stemmer på part A kke overraskende gvet ved: E( X ) = n p =, =, hvlket netop svarer tl % af! Bemærknng (Uafhængghed) Som nævnt er uafhænggheden af de enkelte bassekspermenter en vgtg forudsætnng for, at v har at gøre med en bnomalfordelng. Derfor skal man være påpasselg med at overveje, om denne forudsætnng kan sges at være opfyldt den enkelte stuaton. Ved man statstsk over en lang perode, at Brøndbys fodboldhold plejer at vnde 7% af deres kampe, og man vl vurdere sandsynlgheden for, at holdet vnder to af de næste tre kampe, så skal man passe på. For er holdet nde en god stme, så ved man godt, at sandsynlgheden for gevnst øges næste kamp, ford selvtllden er top. Udfaldene er med andre ord kke uafhængge!

19 Erk Vestergaard 9 Opgaver Nedenstående opgaver er nummereret, så første cffer angver det afsnt, som opgaven hører tl. Således er opgave opgave afsnt. Opgave Betragt følgende eksperment: Et kast med to ternnger, en grøn og en rød. Antal øjne betragtes. Lad den stokastske varabel X angve forskellen på øjnene af de to ternnger. Benyt déerne eksempel tl at løse følgende opgaver: a) Bestem P( X = ). b) Hvlke værder kan X antage? Bestem sandsynlghedsfordelngen for X. c) Bestem sandsynlgheden for at ternngernes dfferens højst er, dvs. P( X ). Opgave Ekspermentet er et kast med tre mønter. Man nteresserer sg for, om en mønt vser plat eller krone. Det er en pædagogsk hjælp at tænke på, at mønterne er nummererede. Lad for eksempel ( k, p, k ) betyde, at mønt vser krone, mønt vser plat og mønt krone. a) Opskrv de 8 mulge udfald. Overvej hvorfor de er lge mulge? I det følgende lader v X være den stokastske varabel, som angvet antallet af plat ved det pågældende kast med tre mønter. b) Angv de mulge værder for X og bestem sandsynlghedsfordelngen for X. Opgave Bestem sandsynlgheden for en sum på mndst og højst ved ét kast med to ternnger? Opgave En stokastsk varabel X kan antage værderne,,,, og og har følgende sandsynlghedsfordelng: x P(X = x ),,,,,, a) Bestem mddelværden E( X ). b) Bestem varansen Var( X ) og sprednngen σ ( X ).

20 Erk Vestergaard Opgave En bookmaker foreslår følgende spl tl en spller: Ét spl består at kaste tre gange med en mønt. Hvs splleren udelukkende får plat, skal han betale kr. Hvs splleren får krone to gange lge efter hnanden, vnder han kr. I alle andre tlfælde vnder splleren kr. Er det et fornuftgt spl for splleren det lange løb? Hjælp: Opskrv først de 8 mulge udfald ved ét spl, dvs. tre kast husk at rækkefølgen er væsentlg! Indfør en stokastsk varabel X, som skal være gevnsten ved ét spl. Hvlke værder kan X antage? Bestem sandsynlgheden for hver af dsse værder ved at betragte lsten med de 8 mulge udfald. Da du således har sandsynlghedsfordelngen for X, kan du afgøre spørgsmålet ved at udregne mddelværden E( X ). Opgave Nogle børn laver en spllebule. Spllet består at kaste med to ternnger som eksempel 8. Det vedtages, at boden vl udbetale 8 kr. hvs summen af øjnene er mndst 8, kr., hvs summen er eller 7, mens splleren må punge ud med kr., hvs summen af øjnene er og derunder. a) Udregn en sandsynlghedsfordelng for X. b) Bestem mddelværden for X, dvs. E( X ). c) Er spllet fordelagtg for boden eller splleren? Opgave I en fodboldtrup er der spllere. Der ses det følgende bort fra de specfkke pladser, som spllerne kan splle. a) På hvor mange måder kan man udtage de spllere, som skal splle den dag? (man tager kke hensyn tl spllernes placerng på banen). b) Samme spørgsmål, hvor man tager hensyn tl spllernes placerng på banen. Opgave Lotto er et spl, hvor en spller kan afkrydse 7 tal på en lste med tallene fra tl. Ved udtræknng udtrækkes 7 numre tlfældgt fra en tromle. a) På hvor mange måder kan man udtrække 7 numre ud af? Hvad er sandsynlgheden dermed for at få 7 rgtge? b) Hvor mange måder er der at få rgtge på? (Benyt multplkatonsprncppet!) Opgave Hvor mange måder kan man udtage kort af et spl på kort?

21 Erk Vestergaard Opgave Løs nedenstående to blandede opgaver. a) Bestem sandsynlgheden for at få netop toere ved slag med en ternng. b) Hvad er sandsynlgheden for at få mndst rgtge på en tpskupon, hvs man benytter sypgetps, dvs. man sætter krydset tlfældgt? Det oplyses, at der er alt kampe på kuponen. Hjælp: Benyt bnomalformlen: Hvad er bassekspermentet og basssandsynlgheden? Opgave Man regner med, at % af drengene Danmark er farveblnde. Benyt bnomalfordelngen tl at løse nedenstående opgaver. Redegør samtdgt for, hvorfor fordelngen kan benyttes den aktuelle stuaton. V betragter en klasse med drenge. a) Hvad er sandsynlgheden for, at der netop er farveblnd dreng klassen? b) Hvad er sandsynlgheden for, at der klassen fndes mndst én dreng, som er farveblnd? c) På hele skolen er der drenge. Hvad er sandsynlgheden for, at der er mere end farveblnde drenge på skolen? d) Hvad er det gennemsntlge antal farveblnde drenge på en skole af den nævnte størrelse? Opgave I den danske befolknng er der følgende fordelng af blodtyper: Rhesus postv Rhesus negatv A 7% 7% B 8% % % % AB % % Der udtages en tlfældg gruppe på personer fra den danske befolknng. a) Hvad er sandsynlgheden for, at der netop er fem B Rhesus postve gruppen? b) Hvad er mddelværden for antallet af B Rhesus postve gruppen? c) Bestem sandsynlgheden for, at der er mndst seks med blodtype Rhesus negatv. Opgave (svær) Hvor mange gange skal man kaste en mønt for at være 99% skker på at få mndst én krone? Hjælp: Hvad er det modsatte af at få mndst én krone? Hvad skal sandsynlgheden for at dette forekommer da være?

22 Erk Vestergaard Opgave (Chevaler de Mérés problem) Den franske adelsmand og gambler Chevaler de Méré studerede følgende to hændelser: ) At få mndst én sekser ved fre kast med en ternng. ) Mndst én gang at få en dobbelt-sekser ved kast med to ternnger. Selv om han havde en anelse om, hvlken hændelse, der var den mest sandsynlge, kunne de Méré kke redegøre for det. Derfor henvendte han sg tl den store franske matematker Blase Pascal ( ). Pascals svar bekræftede Mérés formodnng. I det følgende skal du prøve selv at bestemme de to sandsynlgheder. Hjælp: Se på den omvendte eller modsatte hændelse og benyt: P( X ) = P( X = ). Opgave På en fabrk produceres der en komponent tl en bl. Det vdes erfarngsmæssgt, at % af komponenterne har en defekt. Der udtages på tlfældg vs komponenter. a) Hvad er sandsynlgheden for, at netop 7 komponenter har defekten? b) Hvad er sandsynlgheden for at få mndst og højst 8 defekte komponenter? c) Hvad er sandsynlgheden for at mndst komponenter er defekte? d) Hvad er det gennemsntlge antal defekte komponenter stkprøven? e) Hvor stor er sprednngen? Opgave I en multple-choce prøve er der spørgsmål med hver mulge svar. Antag, at du kke ved et klap om emnet og svarer helt tlfældgt. Hvad er da sandsynlgheden for at få mndst rgtge prøven? Hvad er mddeltallet for antal rgtge svar?