Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Binomialfordelingen. Erik Vestergaard"

Transkript

1 Bnomalfordelngen Erk Vestergaard

2 Erk Vestergaard Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner.

3 Erk Vestergaard Indholdsfortegnelse. Indlednng.... Stokastske varable.... Mddelværd, varans og sprednng...8. Ldt kombnatork.... Bnomalfordelngen... Opgaver...9

4 Erk Vestergaard Erk Vestergaard, Haderslev,.

5 Erk Vestergaard Indlednng I denne llle note skal v kgge på bnomalfordelngen, som er en af de vgtgste fordelnger ndenfor sandsynlghedsregnng. Før v går gang med at beskrve bnomalfordelngen, skal v have nogle grundlæggende begreber på plads. For det første er der begrebet en stokastsk varabel, dernæst skal v kgge på et par vgtge formler ndenfor kombnatorkken, der er den gren af matematkken, hvor man ldt løst sagt optæller antallet af kombnatoner af et eller andet.. Stokastske varable Et stokastsk eksperment er et forsøg, hvor man kke på forhånd kan forudsge udfaldet. Der kan forekomme en række udfald, og mængden af dsse udgør udfaldsrummet U. En stokastsk varabel X er en funkton, som tl ethvert udfald u U knytter et tal X ( u ). Man er ofte nteresseret sandsynlghedsfordelngen for den stokastske varabel, dvs. sandsynlghederne for de forskellge værder, som X kan antage. Sandsynlghederne kan angves på ldt forskellg måde. V skal se på nogle eksempler. Eksempel Eksperment: Et kast med to ternnger, en grøn og en rød. Antal øjne betragtes. Udfaldsrum: U = {(,), (, ),, (,), (,), (,),, (,),, (,)}, hvor første koordnaten talparret angver antal øjne for den grønne ternng, mens andenkoordnaten angver antal øjne for den røde ternng. Stokastsk varabel: X angver summen af øjnene af de to ternnger. Rød ternng Grøn ternng Hvs man med ternngerne slår (,) svarende tl, at den grønne ternng vser og den røde ternng vser, har den stokastske varabel X værden + = 7. Af overskuelghedshensyn kan det være hensgtsmæssgt at tegne en fgur som ovenfor tl højre. Ud for på førsteaksen og på andenaksen er anbragt tallet 7. Tlsvarende med alle de øvrge mulge udfald udfaldsrummet. V ser, at den stokastske varabel X kan antage værderne fra tl. Da den kun kan antage endelgt mange værder, kaldes X for en dskret stokastsk varabel. For at fnde sandsynlghedsfordelngen for X skal v beregne sand-

6 Erk Vestergaard synlgheden for hver af dens mulge værder. X har værden for følgende udfald: (,), (,) og (,). Sandsynlgheden for hver af dsse er som bekendt =. Derfor er den ønskede sandsynlghed lg med. V skrver: P( X = ) =. V udtaler det: Sandsynlgheden for at X er lg med er lg med. Sandsynlghederne for de øvrge værder af X udregnes tlsvarende og anbrnges en tabel: x P( X = x ) En kontrol på om man har regnet rgtgt er at alle sandsynlghederne tabellen skal gve tlsammen! Sandsynlghedsfordelngen kan om ønskelgt afbldes et stolpedagram: Sandsynlghedsfordelngen for X Ved hjælp af sandsynlghedsfordelngen kan man løse forskellge opgaver, for eksempel bestemme sandsynlgheden for at summen af ternngernes øjne højst er lg med : P( X ) = P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) = = = 8 I eksempel så v, hvordan v kunne beregne sandsynlgheder, som nvolverer en stokastsk varabel X, som er tlknyttet et bestemt udfaldsrum. Man kan naturlgvs også drekte tale om sandsynlghederne af de enkelte udfald u U, og de betegnes P( u ). Det er oplagt, at der altd gælder at sandsynlghederne lgger mellem og : () P( u ) samt at sandsynlghederne tlsammen gver. At P( u ) + P( u) + + P( u n ) = skrver man ofte på en kompakt måde med et særlgt sumtegn: () n = Det er her underforstået at U { u u u } =,,, n. P( u ) =

7 Erk Vestergaard 7 I forbndelse med udfaldsrum taler man også om begrebet en hændelse. Med en hændelse H menes en delmængde af udfaldsrummet, som skrves H U. Man defnerer naturlgt nok sandsynlgheden for hændelsen H som summen af sandsynlghederne af de en- H = u, u,, u, så sættes kelte udfald H. Altså hvs { } r () P( H ) = P( u ) + P( u ) + + P( u ) r Der skal sges ldt om et par særlge hændelser: Udfaldsrummet er jo en delmængde af sg selv og dermed en hændelse. Det er oplagt, at sandsynlgheden for den er. I den anden boldgade har v den delmængde, som kke ndeholder noget udfald overhovedet, den tomme mængde, betegnet med det særlge symbol. Den har sandsynlgheden. Endelg har v den komplementære hændelse tl H, kaldet H (udtales H bar). Hermed menes den komplementære mængde tl H, der netop består af alle de udfald U, der kke er H. Det er her ndlysende, at sandsynlgheden for den komplementære hændelse fås ved at trække sandsynlgheden for hændelsen H fra. V opsummerer: () P( U ) =, P( ) = og P( H ) = P( H ) Lad os kgge på et eksempel. Eksempel I eksempel kunne man for eksempel betragte den hændelse H, der består af alle de udfald, hvor den grønne ternng vser : H = {(,),(,),(,),(,),(,),(,) }. Da alle udfaldene U har sandsynlgheden, får v af (): P( H ) = P((,)) + P((,)) + P((,)) + P((,)) + P((,)) + P((,)) = = = Den komplementære hændelse tl H består af alle de udfald, hvor den grønne ternng kke vser. Sandsynlgheden for den er følge (): P( H ) = P( H ) = =. I det følgende eksempel skal v se, at man sagtens kan have flere forskellge stokastske varable, der er knyttet tl det samme udfaldsrum. I eksempel var X, som så ofte før set, lg med summen af ternngernes øjne. Nu skal v se et eksempel, hvor kastet med de to ternnger betragtes som et spl og hvor X er gevnsten ved spllet. Eksempel En bankør tlbyder et spl, hvor splleren slår med to ternnger: en grøn og en rød. Hvs der er en er blandt de to ternnger, skal splleren betale kr. tl bankøren. I alle andre tlfælde vnder splleren det beløb kroner, som svarer tl forskellen mellem de to ternngers vsnng. Hvs den ene ternng vser og den anden, vnder splleren altså = kroner. Lad os være systematske gen:

8 8 Erk Vestergaard Eksperment: Et kast med to ternnger, en grøn og en rød. Antal øjne betragtes. Udfaldsrum: U = {(,), (, ),, (,), (,), (,),, (,),, (,)}, hvor første koordnaten talparret angver antal øjne for den grønne ternng, mens andenkoordnaten angver antal øjne for den røde ternng. Stokastsk varabel: X angver det beløb splleren vnder ét enkelt spl. For at bestemme sandsynlghedsfordelngen for X skal v først fnde ud, hvad X gver for de enkelte udfald udfaldsrummet. Det er gjort skematsk på fguren nedenfor tl venstre. Stuatonen er set fra spllerens synspunkt, så et tab anføres som et negatvt tal. V ser, at X kan antage forskellge værder:,,,,, og. Sandsynlgheden for hver af dsse værder fås ved at tælle op, hvor ofte de forekommer skemaet og så gange med /, som er sandsynlgheden for hvert enkelt udfald. Det gver tabellen tl højre: Rød ternng Sandsynlghedsfordelngen for X: x 8 P( X = x ) Grøn ternng. Mddelværd, varans og sprednng Der er specelt to størrelser, som er med tl at sge noget om en stokastsk varabel, og det er mddelværden og varansen eller sprednngen. Mddelværden fås ved at tage det vejede gennemsnt af værderne for den stokastske varabel, mens varansen fås som det vejede gennemsnt af kvadratet på afvgelserne fra mddelværden. Sprednngen er kvadratroden af varansen. Lad os se på eksempel og ovenfor. Eksempel Mddelværden af den stokastske varabel fra eksempel fås ved at betragte tabellen for sandsynlghedsfordelngen og udregne det vejede gennemsnt: () Denne udregnng gver 7. Resultatet er kke overraskende, da fordelngen er symmetrsk omkrng 7. Mddelværden betegnes nogle gange med µ, andre gange med E( X ). Sdstnævnte står for expectaton of X den forventede værd af X. Man skrver udregnngen () på en ldt smart måde ved hjælp af et sumtegn:

9 Erk Vestergaard 9 n () µ = E( X ) = xp( X = x ) = = 7 = Nu tl varansen. På kompakt form skrver v: (7) n Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) = = ( 7) + ( 7) + ( 7) + + ( 7) =,8 V tager altså forskellene mellem den stokastske varabels værder og mddelværden, opløfter tl. potens og vejer med sandsynlghederne. Sprednngen fås ved at tage kvadratroden af varansen: (8) σ = Var( X ) =,8 =, Selv om talværden for sprednngen kke sger noget drekte om fordelngen, så kan man dog sge, at jo større tallet er, jo mere spredte er data. Lad os sammenfatte begreberne ovenfor: Defnton (Mddelværd, varans og sprednng for stokastsk varabel) Gvet en dskret stokastsk varabel X. Mddelværden for X er gvet ved: (9) µ = E( X ) = x P( X = x ) hvor der summeres over de mulge værder x, x,, som X kan antage. Varansen for X er gvet ved: () Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) hvor µ angver mddelværden for X. Sprednngen for X er gvet ved: () σ ( X ) = Var( X ) Eksempel I spllet eksempel får v følgende værder for henholdsvs mddelværd og varans for den stokastske varabel X : E( X ) = x P( X = x ) = = Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) = ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) = ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) 7,

10 Erk Vestergaard V ser, at mddelværden er negatv, hvlket kke er så mærkelgt, da bankører har det med at sørge for, at de selv har de bedste odds! Helt præcst fortæller mddelværden, at splleren gennemsnt vl tabe /9 kr. hvert spl. Talværden for varansen er kke nem at gve en god fortolknng af, men v kan lave ldt om på splreglerne og studere den vrknng, som det har på varansen. Lad os sge, at splleren stadg taber kr. hvs blot en af ternngerne vser, at to ens gver summen af øjnene kr., undtagen hvs de to ens er (,), mens alle andre kombnatoner hverken gver tab eller gevnst. Stuatonen er vst på fguren nedenfor tl venstre. Mddelværden vser sg at være nøjagtg den samme som det oprndelge spl, men varansen kan vses at være vokset tl,87. Det skyldes, at spllet er blevet mere chancebetonet. Der er større præmer, som er fordelt på færre udfald. Men bankøren vl altså gennemsnt få den samme ndtjenng! Rød ternng 8 Grøn ternng. Ldt kombnatork Som hjælperedskab tl næste afsnt får v brug for ldt kombnatork. Kombnatork er den matematske dscpln, som beskæftger sg med at tælle antal kombnatoner. Defnton 7 Antag gvet n forskellge elementer opstllet på en række. Med betegnelsen en permutaton af de n elementer menes en ombytnng af elementerne, så de står en ny (evt. samme) rækkefølge. Antallet af mulge permutatoner af n forskellge elementer betegnes n! og udtales n fakultet. På fguren nedenfor er vst permutatoner af tallene fra tl 7. Da der er alt forskellge permutatoner, kan v kun opskrve nogle af dem. Permutatoner 7! 7 7, 7, 7,..., 7,..., 7

11 Erk Vestergaard Defnton 8 En anden vgtg størrelse er kombnatoner. Med betegnelsen K n, r vl v mene antallet af måder, hvorpå man kan udtage r elementer ud af en mængde på n forskellge elementer (antaget r n). Stuatonen er llustreret nedenfor: Der skal udtages tal fra en krukke med de fre tal,, og. Det kan gøres på forskellge måder som vst. Derfor er K, =. De udtrukne tal er vst poser for at ndkere, at man kke nteresserer sg for, hvlken rækkefølge tallene udtrækkes. Kombnatoner K, Sætnng 9 (Permutatoner og kombnatoner) a) n! = n b) K, n r n! = r!( n r)! Bevs: a) Gvet n forskellge elementer. Den første plads kan besættes på n måder. For hver af dsse tlfælde kan plads besættes på ( n ) måder. For hver af dsse kan plads besættes på ( n ) måder, osv. ndtl den sdste plads, som kun kan besættes på måde. Antallet af mulgheder fås dermed ved at gange dsse tal sammen. De r udtrukne De ( n r) øvrge b) Man kan betragte problemet på følgende måde: Vælg en tlfældg permutaton af de n elementer og lad os vedtage, at de r elementer, som står først, skal være de udtrukne. Der er mdlertd en masse tlfælde, som tælles med flere gange. De første r elementer kan permuteres på r! forskellge måder, men de repræsenterer den samme udtræknng. V må derfor dvdere med r! for at tage høje for de permutatoner, som tælles med flere gange. På samme måde vl permutatoner af de n r øvrge elementer heller kke resul-

12 Erk Vestergaard tere nogen ny udtræknng, hvorfor v må dvdere med ( n r)! for at tage højde for de tlfælde, som tælles med flere gange. Antallet af mulge udtræknnger fås derfor tl: n! Kn, r = r!( n r)! Eksempel I eksemplet på den første fgur afsnt har v, at antallet af permutatoner af de 7 elementer er 7! = 7 =. I eksemplet på den anden fgur har v, at man kan udtage elementer ud af en krukke med forskellge elementer på måder: K,!! = = = =!( )!!! Fakultet og kombnatoner Maple og på TI-X lommeregneren Man behøver kke udregne fakultet og kombnatoner manuelt ved hjælp af formlerne sætnng 9. De fleste lommeregnere har funktonerne ndbygget. I TI-X kan man for eksempel benytte en knap med navnet PRB, så vl der vse sg nogle mulgheder. I den fremkomne menu er udråbstegnet! den såkaldte fakultetsfunkton, mens ncr er kombnatons-funktonen. Angående sdstnævnte, så udregnes K, ved at trykke ncr og derefter ENTER. I Maple udregnes K, ved hjælp af kommandoen bnomal(,). For at udregne størrelsen! Maple skrver man blot! - nemmere blver det kke! Eksempel Terne skal arrangere en badmnton turnerng med personer, hvor alle skal splle mod alle to og to. Hvor mange kampe skal der arrangeres? Svar: Det er klart, at det svarer tl antallet af mulge måder at udtrække personer ud af personer, hvlket er K, =. Eksempel Hvor mange forskellge hænder med kort kan man få ud af et kortspl med kort? Svaret er, 9 K =. Bemærknng I stedet for K n, r bruges ofte betegnelsen n r, og sdstnævnte udtales: n over r

13 Erk Vestergaard Bnomalfordelngen En af de mest anvendte sandsynlghedsfordelnger er den såkaldte bnomalfordelng. At den anvendes så ofte, har sn årsag, at den er defneret ud fra nogle abstrakte krterer, som gør den så generel, at den passer på mange stuatoner. En bnomalfordelt stokastsk varabel X er defneret ved følgende: Eksperment: Et basseksperment udføres n gange. n kaldes for længden af ekspermentet. Et basseksperment kan lykkes eller mslykkes. Udfaldene af hver af bassekspermenterne skal være ndbyrdes uafhængge. Sandsynlgheden for, at et enkelt basseksperment lykkes betegnes p, hvormed sandsynlgheden for at det mslykkes er p. Udfaldsrum: Et udfald u kan beskrves ved en vektor med n koordnater. Den te koordnat er lg L, hvs det te basseksperment lykkes og M, hvs det mslykkes. Eksempel: Hvs n =, er (L, M, M, L, M) det udfald, at første og fjerde basseksperment lykkes, mens de øvrge tre mslykkes. Mængden af alle udfald udgør udfaldsrummet. Stokastsk varabel: X angver det antal gange, som bassekspermentet lykkes. Det generelle defntonen gør som sagt, at fordelngen fnder anvendelse vdt forskellge stuatoner: Det kan være, at man slår 8 gange med en ternng og vl undersøge sandsynlgheden for at få femmere. Det kan være, at man ønsker at fnde sandsynlgheden for at få højst pger ved fødsler, eller måske vl man undersøge uskkerheden af stkprøver forbndelse med folketngsvalg. V skal senere se, hvorfor dsse eksempler opfylder krtererne. Først skal v dog opstlle en formel for sandsynlgheden for, at bassekspermentet lykkes r gange: Sætnng (Bnomalfordelngen) Lad X være en bnomalfordelt stokastsk varabel. Sandsynlgheden for, at X antager værden r er gvet ved følgende udtryk: r () P( X = r) = Kn, r p ( p) n r Bevssktse: Af hensyn tl overskuelgheden vl v argumentere for ovenstående formel ved hjælp af et eksempel: Lad os antage, at v slår gange med en ternng og ønsker at fnde sandsynlgheden for at få netop frere. Bassekspermentet er da at slå én gang med en ternng. V vedtager, at bassekspermentet lykkes, hvs man får en frer. Det gver en basssandsynlghed på p =. Sandsynlgheden for at bassekspermentet mslykkes, dvs. at resultatet kke er en frer, er dermed p =. Den stokastske varabel X skal angve antallet af gange bassekspermentet lykkes, dvs. hvor mange gange man får en frer n = kast. Netop frere kan fremkomme på forskellg vs: Det er hensgtsmæssgt at dele op en række hændelser. På fguren nedenfor symbolserer skrvemåden (,,,, ), at man fk frere de to første kast, og kke-frere de næste tre kast. Man kan også tænke, at man fk frere første og tredje kast og kke-frere de øvrge, etc.

14 Erk Vestergaard Netop frere (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) (,,,,) Der er alt mulgheder, kan v se, og de udelukker ndbyrdes hnanden samtdgt med, at de udgør alle tlfælde med netop frere. Sandsynlgheden for netop to frere kan da fndes ved at lægge sandsynlgheden for hver af de mulgheder sammen. Lad os først bestemme sandsynlgheden for (,,,, ) : ( ) ( ) P (,,,, ) = = Hvor v har benyttet, at de enkelte kast er uafhængge af hnanden, så v får sandsynlgheden for hele kombnatonen ved at gange deres ndbyrdes sandsynlgheder sammen. V kan gøre det samme med hændelsen (,,,, ) : ( ) ( ) P (,,,, ) = = V ser, at resultatet er det samme som før. Man overbevser sg hurtgt om, at alle dsse sandsynlgheder er ens, nemlg ( ) ( ). Derfor fås sandsynlgheden for netop frere med antallet af kombnatoner: ved at gange ( ) ( ) ( ) ( ) K, ( ) ( ) P( X = ) = = det K, = er antallet af kombnatoner, svarende tl antallet af måder, hvorpå man kan udpege de to pladser, hvorpå frerne skal stå. Resten af pladserne skal ndeholde kke-frere. V ser, at resultatet stemmer med () for n =, r =, p =. Eksempel Bestem sandsynlgheden for ved 8 kast med en ternng at få netop femmere. Angv desuden hele sandsynlghedsfordelngen for den stokastske varabel X, som angver antal femmere ved de 8 kast. Løsnng: Bassekspermentet er ét kast med en ternng, og det udføres n = 8 gange. Udfaldene af de enkelte bassekspermenter er klart uafhængge. Dermed kan v benytte bnomalfordelngen. Basssandsynlgheden er p =. Ved brug af formel () fås: ( ) ( ) ( ) ( ) 8, P( X = ) = K = =,

15 Erk Vestergaard Så den søgte sandsynlghed er altså,%. Opgaven kan løses hurtgere Maple: Man skal kalde pakken Statstcs. Herefter har man rådghed over en række funktoner. RandomVarable er det engelske ord for stokastsk varabel. I tredje lnje defneres således en bnomalfordelt stokastsk varabel med n = 8 og p =. Bemærk at kommafdusen med at skrve et af tallene som et kommatal her et sat et punktum efter - tallet brøken / skrer at v får svarene kommatal og kke eksakte brøker! Dette var P( X = ). På helt tlsvarende måde kan man udregne sandsynlgheden for alle de øvrge mulge værder, som den stokastske varabel kan antage, og anbrnge resultaterne et skema. Hermed haves den såkaldte sandsynlghedsfordelng for X : x 7 8 P(X = x),,7,,,,,,, Eksempel Det er en udbredt opfattelse blandt folk, at hvs man får mange børn af samme køn, så er det en ekstrem hændelse. Men er det nu det? Lad os se på eksempler. Hvad er sandsynlgheden for ved fødsler at få: a) fre pger?, b) mndst en pge?, c) højst to pger? Løsnng: Bassekspermentet er en fødsel. Det oplyses, at det at få en pge eller en dreng kan betragtes som uafhængge hændelser. Hermed menes, at sandsynlgheden for at få en dreng eller pge er helt uafhænggt at hvad kønnet på eventuelt tdlgere børn måtte have været. Statstkker vser, at pger forekommer en smule sjældnere end drenge, nemlg 9% af tlfældene. Lad os vedtage, at bassekspermentet lykkes, hvs det blver en pge, dvs. basssandsynlgheden er p =, 9. Lad X angve antallet af pger. Det er klart at n =, da bassekspermentet udføres gange. a),, P( X = ) = K, 9 (, 9) = K, 9, =, 9 =, 7, så fre pger ved fødsler sker altså trods alt knap % af alle tlfælde!

16 Erk Vestergaard b) Hvs der skal være mndst én pge, skal X altså være lg med,, eller. Problemet kan dermed løses ved at udregne P( X = ) + P( X = ) + P( X = ) + P( X = ). ønskes X Der er mdlertd en nemmere måde: Det modsatte af at få mndst pge er, at man ngen pger får (komplementære hændelse). Derfor kan opgaven også løses ved:, P( X ) = P( X = ) = K, 9, =, =,9 så sandsynlgheden for at få mndst én pge ved fødsler er altså 9,%. c) Hvs man skal have højst pger, så skal X være lg med, eller. Opgaven kan altså løses ved at udregne P( X ) = P( X = ) + P( X = ) + P( X = ). ønskes X Det er dog hurtgere at bruge Maples facltet for kumulerede bnomal-sandsynlgheder: Cumulatve Dstrbuton Functon, forkortet CDF, tl at udregne sandsynlgheden drekte. Med den kan man udregne summen af alle sandsynlgheder fra en værd og nedefter. Her er det fra og nedefter: Så sandsynlgheden for at få højst pger er altså 7,%. Eksempel 7 Op tl folketngsvalg foretages mange valgprognoser. Typsk udspørges mellem og personer om, hvlket part de vl stemme på. I dette eksempel skal v forsøge at få en fornemmelse for, hvor uskre sådanne stkprøver er. V vl antage, at man udspørger helt tlfældgt udvalgte personer. Lad os antage, at et part A på landsplan har % af stemmerne, uden at man kender tallet. Hvad er da sandsynlgheden for, at en stkprøve på vl gve et resultat, som afvger med mere end procentpont fra det rgtge tal?

17 Erk Vestergaard 7 Løsnng: V kan benytte bnomalfordelngen: Bassekspermentet er, at man udspørger én person. Bassekspermentet lykkes, hvs personen stemmer på A. V kan antage, at personerne stemmer uafhænggt, og basssandsynlgheden er p =,. Den stokastske varabel X angver, hvor mange af de personer, som stemmer på partet. Lad os først prøve at bestemme sandsynlgheden for det modsatte af det der spørges om, dvs. at stkprøvens resultat afvger med højst % pont fra det rgtge, som er %. V skal altså fnde sandsynlgheden for at stkprøvens resultat er mndst 8% og højst %. Ud af svarer det tl at bestemme sandsynlgheden for at der er mndst og højst 8, som stemmer på A, altså P( X 8). De redskaber, v har tl rådghed, stller os kke stand tl at bestemme denne værd drekte. V må gøre det to trn: Først bestemmes sandsynlgheden for at X er lg med 8 eller derunder. Så har v fået for meget med, nemlg sandsynlgheden for at X er lg med eller derunder. Dette er llustreret på fguren herunder. V har: P( X 8) = P( X 8) P( X ). for meget med ønsker udregner først 8 8 X I Maple kan udregnngen klares således: V har altså P( X 8) =,877. V blev mdlertd spurgt om det modsatte: Sandsynlgheden for at stkprøven afvger med mere end % pont fra den rgtge procent (populatonens) er altså,877 =, =,%. Man skal med andre ord være forsgtg med at konkludere for håndfast ud fra stkprøver. Her gk v endda ud fra, at gruppen på var helt tlfældgt udvalgt. Er der en skævhed sammensætnngen, vl det forøge uskkerheden. Bemærknng 8 Tl den opmærksomme læser skal det lge tlføjes, at man egentlgt prncpelt kke kan anvende bnomalformlen eksempel 7, hvs man skal være nøjeregnende: Når en person har afgvet en stemme, så er sandsynlgheden for, at den næste person stemmer på partet A kke helt %, for en person er jo fjernet fra gruppen! Ud af en stor populaton, som den danske befolknng er, har dette dog ngen praktsk betydnng. Denne problematk er årsagen tl, at man undertden sger, at bnomalfordelngen gælder for stuatoner med tlbagelægnng.

18 8 Erk Vestergaard I det følgende skal v kgge på mddelværden og varansen for en bnomalfordelt stokastsk varabel. Netop dette tlfælde gælder der nogle ekstra smple og smukke formler, så v undgår at skulle gå tlbage tl de generelle defntoner (9) og (): Sætnng 9 Lad X være en bnomal-fordelt stokastsk varabel med antalsparameter n og basssandsynlghed p. Da er mddelværden og varansen gvet ved følgende formler: a) E( X ) = n p b) Var( X ) = n p ( p) Bevs: Oversprnges, da de er ldt teknske. Eksempel I eksempel, hvor der kastes 8 gange med en ternng, fås E( X ) = n p = 8 =,. Der vl altså gennemsnt forekomme, femmere ved 8 kast med en ternng. Varansen udregnes tl Var( X ) = n p ( p) = 8 =,. Eksempel Betragt eksempel 7: I stkprøver á respondenter er mddeltallet for antallet af stemmer på part A kke overraskende gvet ved: E( X ) = n p =, =, hvlket netop svarer tl % af! Bemærknng (Uafhængghed) Som nævnt er uafhænggheden af de enkelte bassekspermenter en vgtg forudsætnng for, at v har at gøre med en bnomalfordelng. Derfor skal man være påpasselg med at overveje, om denne forudsætnng kan sges at være opfyldt den enkelte stuaton. Ved man statstsk over en lang perode, at Brøndbys fodboldhold plejer at vnde 7% af deres kampe, og man vl vurdere sandsynlgheden for, at holdet vnder to af de næste tre kampe, så skal man passe på. For er holdet nde en god stme, så ved man godt, at sandsynlgheden for gevnst øges næste kamp, ford selvtllden er top. Udfaldene er med andre ord kke uafhængge!

19 Erk Vestergaard 9 Opgaver Nedenstående opgaver er nummereret, så første cffer angver det afsnt, som opgaven hører tl. Således er opgave opgave afsnt. Opgave Betragt følgende eksperment: Et kast med to ternnger, en grøn og en rød. Antal øjne betragtes. Lad den stokastske varabel X angve forskellen på øjnene af de to ternnger. Benyt déerne eksempel tl at løse følgende opgaver: a) Bestem P( X = ). b) Hvlke værder kan X antage? Bestem sandsynlghedsfordelngen for X. c) Bestem sandsynlgheden for at ternngernes dfferens højst er, dvs. P( X ). Opgave Ekspermentet er et kast med tre mønter. Man nteresserer sg for, om en mønt vser plat eller krone. Det er en pædagogsk hjælp at tænke på, at mønterne er nummererede. Lad for eksempel ( k, p, k ) betyde, at mønt vser krone, mønt vser plat og mønt krone. a) Opskrv de 8 mulge udfald. Overvej hvorfor de er lge mulge? I det følgende lader v X være den stokastske varabel, som angvet antallet af plat ved det pågældende kast med tre mønter. b) Angv de mulge værder for X og bestem sandsynlghedsfordelngen for X. Opgave Bestem sandsynlgheden for en sum på mndst og højst ved ét kast med to ternnger? Opgave En stokastsk varabel X kan antage værderne,,,, og og har følgende sandsynlghedsfordelng: x P(X = x ),,,,,, a) Bestem mddelværden E( X ). b) Bestem varansen Var( X ) og sprednngen σ ( X ).

20 Erk Vestergaard Opgave En bookmaker foreslår følgende spl tl en spller: Ét spl består at kaste tre gange med en mønt. Hvs splleren udelukkende får plat, skal han betale kr. Hvs splleren får krone to gange lge efter hnanden, vnder han kr. I alle andre tlfælde vnder splleren kr. Er det et fornuftgt spl for splleren det lange løb? Hjælp: Opskrv først de 8 mulge udfald ved ét spl, dvs. tre kast husk at rækkefølgen er væsentlg! Indfør en stokastsk varabel X, som skal være gevnsten ved ét spl. Hvlke værder kan X antage? Bestem sandsynlgheden for hver af dsse værder ved at betragte lsten med de 8 mulge udfald. Da du således har sandsynlghedsfordelngen for X, kan du afgøre spørgsmålet ved at udregne mddelværden E( X ). Opgave Nogle børn laver en spllebule. Spllet består at kaste med to ternnger som eksempel 8. Det vedtages, at boden vl udbetale 8 kr. hvs summen af øjnene er mndst 8, kr., hvs summen er eller 7, mens splleren må punge ud med kr., hvs summen af øjnene er og derunder. a) Udregn en sandsynlghedsfordelng for X. b) Bestem mddelværden for X, dvs. E( X ). c) Er spllet fordelagtg for boden eller splleren? Opgave I en fodboldtrup er der spllere. Der ses det følgende bort fra de specfkke pladser, som spllerne kan splle. a) På hvor mange måder kan man udtage de spllere, som skal splle den dag? (man tager kke hensyn tl spllernes placerng på banen). b) Samme spørgsmål, hvor man tager hensyn tl spllernes placerng på banen. Opgave Lotto er et spl, hvor en spller kan afkrydse 7 tal på en lste med tallene fra tl. Ved udtræknng udtrækkes 7 numre tlfældgt fra en tromle. a) På hvor mange måder kan man udtrække 7 numre ud af? Hvad er sandsynlgheden dermed for at få 7 rgtge? b) Hvor mange måder er der at få rgtge på? (Benyt multplkatonsprncppet!) Opgave Hvor mange måder kan man udtage kort af et spl på kort?

21 Erk Vestergaard Opgave Løs nedenstående to blandede opgaver. a) Bestem sandsynlgheden for at få netop toere ved slag med en ternng. b) Hvad er sandsynlgheden for at få mndst rgtge på en tpskupon, hvs man benytter sypgetps, dvs. man sætter krydset tlfældgt? Det oplyses, at der er alt kampe på kuponen. Hjælp: Benyt bnomalformlen: Hvad er bassekspermentet og basssandsynlgheden? Opgave Man regner med, at % af drengene Danmark er farveblnde. Benyt bnomalfordelngen tl at løse nedenstående opgaver. Redegør samtdgt for, hvorfor fordelngen kan benyttes den aktuelle stuaton. V betragter en klasse med drenge. a) Hvad er sandsynlgheden for, at der netop er farveblnd dreng klassen? b) Hvad er sandsynlgheden for, at der klassen fndes mndst én dreng, som er farveblnd? c) På hele skolen er der drenge. Hvad er sandsynlgheden for, at der er mere end farveblnde drenge på skolen? d) Hvad er det gennemsntlge antal farveblnde drenge på en skole af den nævnte størrelse? Opgave I den danske befolknng er der følgende fordelng af blodtyper: Rhesus postv Rhesus negatv A 7% 7% B 8% % % % AB % % Der udtages en tlfældg gruppe på personer fra den danske befolknng. a) Hvad er sandsynlgheden for, at der netop er fem B Rhesus postve gruppen? b) Hvad er mddelværden for antallet af B Rhesus postve gruppen? c) Bestem sandsynlgheden for, at der er mndst seks med blodtype Rhesus negatv. Opgave (svær) Hvor mange gange skal man kaste en mønt for at være 99% skker på at få mndst én krone? Hjælp: Hvad er det modsatte af at få mndst én krone? Hvad skal sandsynlgheden for at dette forekommer da være?

22 Erk Vestergaard Opgave (Chevaler de Mérés problem) Den franske adelsmand og gambler Chevaler de Méré studerede følgende to hændelser: ) At få mndst én sekser ved fre kast med en ternng. ) Mndst én gang at få en dobbelt-sekser ved kast med to ternnger. Selv om han havde en anelse om, hvlken hændelse, der var den mest sandsynlge, kunne de Méré kke redegøre for det. Derfor henvendte han sg tl den store franske matematker Blase Pascal ( ). Pascals svar bekræftede Mérés formodnng. I det følgende skal du prøve selv at bestemme de to sandsynlgheder. Hjælp: Se på den omvendte eller modsatte hændelse og benyt: P( X ) = P( X = ). Opgave På en fabrk produceres der en komponent tl en bl. Det vdes erfarngsmæssgt, at % af komponenterne har en defekt. Der udtages på tlfældg vs komponenter. a) Hvad er sandsynlgheden for, at netop 7 komponenter har defekten? b) Hvad er sandsynlgheden for at få mndst og højst 8 defekte komponenter? c) Hvad er sandsynlgheden for at mndst komponenter er defekte? d) Hvad er det gennemsntlge antal defekte komponenter stkprøven? e) Hvor stor er sprednngen? Opgave I en multple-choce prøve er der spørgsmål med hver mulge svar. Antag, at du kke ved et klap om emnet og svarer helt tlfældgt. Hvad er da sandsynlgheden for at få mndst rgtge prøven? Hvad er mddeltallet for antal rgtge svar?

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Beregning af strukturel arbejdsstyrke

Beregning af strukturel arbejdsstyrke VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)? Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.

Læs mere

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets

Læs mere

Husholdningsbudgetberegner

Husholdningsbudgetberegner Chrstophe Kolodzejczyk & Ncola Krstensen Husholdnngsbudgetberegner En model for husholdnngers daglgvareforbrug udarbejdet for Penge- og Pensonspanelet Publkatonen Husholdnngsbudgetberegner En model for

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36. Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles

Læs mere

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat.

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat. Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Kaptel 14 IVERS MODELLERIG Torben Obel Sonnenborg Geologsk Insttut, Københavns Unverstet Anker Laer Høberg Hydrologsk Afdelng, GEUS øglebegreber:

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introdukton Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn skrdt-for-skrdt gude tl den nye Onlne Rapport (OLR) Vgtg nformaton tl alle krker og organsatoner Ikke flere paprlster Sangrapporten går nu onlne

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger

Læs mere

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh Mary Rays Mary Rays Mary Ray Andrea McHugh Træn lydghed, aglty og trcks med klkkertrænng Ateler An Hachette Lvre UK Company Frst publshed n Great Brtan n 2009 by Hamlyn, a dvson of Octopus Publshng Group

Læs mere

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 > MfA V Udstyr Trafkspejle Vejregler for trafkspejles egenskaber og anvendelse Vejdrektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 Vejreglernes struktur I henhold tl 6, stk. 1 lov om offentlge veje (Trafkmnsterets

Læs mere

Marco Goli, Ph.D, & Shahamak Rezaei. Den Sociale Højskole København & Roskilde Universitetscenter

Marco Goli, Ph.D, & Shahamak Rezaei. Den Sociale Højskole København & Roskilde Universitetscenter Marco Gol, Ph.D, & Shahamak Rezae Den Socale Højskole København & Rosklde Unverstetscenter Folkelg opnon Folkelg opnon Kaptel 1: tdernes morgen Folkelg opnon Folkelg opnon Kaptel 2 : Den ratonelle ndvandrer

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2012. Og den gennemsntlge startløn er fortsat på den pæne sde af 31.500

Læs mere

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet.

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet. BLÅ MEMOSERIE Memo nr. 208 - Marts 2003 Optmal adgangsregulerng tl de vderegående uddannelser og elevers valg af fag gymnaset Karsten Albæk Økonomsk Insttut Købenavns Unverstet Studestræde 6, 1455 Købenavn

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2013. Og den gennemsntlge startløn er nu på den pæne sde af 32.000 kr.

Læs mere

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Dansk Journalstforbund Februar 2011 BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Jobs og lønkroner er kke lgelgt fordelt blandt mandlge og kvndelge forbunds. Derfor har v her samlet fre oversgter, der sger

Læs mere

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 Aftale om generelle vlkår for tlldsrepræsentanter -^ Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 1. Aftalens parter Mellem parterne Århus Kommune, Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg og FOA,

Læs mere

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74 DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 211 74 Johan Gustav Kaas Jacobsen Danmarks Natonalbank Søren Truels Nelsen Danmarks Natonalbank Betalngsvaner Danmark September 211 The Workng Papers of Danmarks Natonalbank

Læs mere

Validering og test af stokastisk trafikmodel

Validering og test af stokastisk trafikmodel Valderng og test af stokastsk trafkmodel Maken Vldrk Sørensen M.Sc., PhDstud. Otto Anker Nelsen Cv.Ing., PhD, Professor Danmarks Teknske Unverstet/ Banestyrelsen Rådgvnng 1. Indlednng Trafkmodeller har

Læs mere

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte ½ års evaluerng projekt Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte Der forelgger her en evaluerng beskrvelse projektstllngen Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte efter et halvt års vrke. Tl forskel fra 3 måneders evaluerngen

Læs mere

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann Gulvvarmeanlæg en ntrodukton af Peter Wetzmann Sde 1 Indholdsfortegnelse 1 Forord... 3 2 Introdukton tl gulvvarme... 4 2.1 Hstorsk gennemgang...4 2.2 Fyssk beskrvelse...4 3 Typer... 6 3.1 Tung gulvvarme...6

Læs mere

Motivationseffekten af aktivering

Motivationseffekten af aktivering DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Kanddatspecale Bran Larsen Motvatonseffekten af aktverng Vejleder: Anders Holm Afleveret den: 03/03/06 Indholdsfortegnelse 1. Indlednng... 1 2.

Læs mere

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíiin. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx. FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.

Læs mere

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Blag 365 Offentlgt Notat Kemkaler J.nr. MST-652-00099 Ref. Doble/lkjo Den 5. maj 2010 GRUNDNOTAT TIL FOLKETINGETS EUROPAUDVALG Kommssonens forslag om tlpasnng tl den

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315..

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315.. Monterngsvejlednng Indbygnngsrado 0315.. 1 Betjenng Fgur 1: Betjenngselement Indbygnngsradoens funktoner styres va knapperne på betjenngselementet: Med et kort tryk tændes/slukkes radoen; med et langt

Læs mere

Kunsten at leve livet

Kunsten at leve livet Kunsten at leve lvet UNGE - ADFÆRD - RUSMIDLER 3. maj 2011 Hvad er msbrug? Alment om den emotonelle udvklng Hvem blver msbruger? Om dagnoser Om personlghedsforstyrrelser Mljøterap, herunder: - baggrund

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan. Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel

Læs mere

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3 Sde : 1/3 1. Anvendelsesområde 1.1 Denne akkredterngsbestemmelse gælder ved DANAK s akkredterng af kalbrerngslaboratorer. 1. Akkredterede kalbrerngslaboratorer skal ved estmerng af uskkerhed, rapporterng

Læs mere

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014 Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young 26. februar 2014 Bass- og ex ante-målng af de admnstratve konsekvenser ved forslag tl lov om autorsaton af vrksomheder el-, vvs- og kloaknstallatonsområdet Indholdsfortegnelse

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

porsche design mobile navigation ß9611

porsche design mobile navigation ß9611 porsche desgn moble navgaton ß9611 [ DK ] Indholdsfortegnelse 1 Indlednng ---------------------------------------------------------------------------------------------- 07 1.1 Om denne manual -------------------------------------------------------------------------------------------

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

Fakta om Erhvervet. Af. Cand. Oecon. Finn Christensen, kilde: Fakta om Erhvervet 2012, udgivet af Landbrug & Fødevarer 1995-99 2008 2009 2010 2011

Fakta om Erhvervet. Af. Cand. Oecon. Finn Christensen, kilde: Fakta om Erhvervet 2012, udgivet af Landbrug & Fødevarer 1995-99 2008 2009 2010 2011 Fakta om Erhvervet Af. Cand. Oecon. Fnn Chrstensen, klde: Fakta om Erhvervet 0, udgvet Landbrug & Fødeer Landbrug & Fødeer udgav november 0 den seneste udgave publkatonen Fakta om Erhvervet 0, Notatder

Læs mere

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet

Læs mere

SåDAn GØR VI KLASSELEDELSE. Hvad skal eleverne lære?

SåDAn GØR VI KLASSELEDELSE. Hvad skal eleverne lære? SåDAn GØR VI Februar 2014 KLASSELEDELSE Hvad skal eleverne lære? Fagudvalgene har fået en central rolle Sofendalskolens arbejde med klasseledelse og struktur relaton tl folkeskolereformen. Klasserumsledelse

Læs mere

1. Beskrivelse af opgaver inden for øvrig folkeskolevirksomhed

1. Beskrivelse af opgaver inden for øvrig folkeskolevirksomhed Bevllngsområde 30.32 Øvrg folkeskolevrksomhed Udvalg Børne- og Skoleudvalget 1. Beskrvelse opgaver nden for øvrg folkeskolevrksomhed Området omfatter aktvteter tlknytnng tl den almndelge folkeskoledrft

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

Organisationsmanual. Organisationen bag SIKA Rengøring A/S

Organisationsmanual. Organisationen bag SIKA Rengøring A/S Organsatonsmanual Organsatonen bag SIKA Rengørng A/S SIKA Rengørng A/S ejes af Bent & Elsabeth Hansen. 1 En robust organsaton SIKA Rengørng blev grundlagt 2001 af Bent Hansen, som enkeltmandsvrksomhed.

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng

Læs mere

econstor zbw www.econstor.eu

econstor zbw www.econstor.eu econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publkatonsserver der ZBW Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft The Open Access Publcaton Server of the ZBW Lebnz Informaton Centre for Economcs Jacobsen, Johan Gustav

Læs mere

Indledning ELEVPLAN FOR [NAVN] CPR [123456-9876]

Indledning ELEVPLAN FOR [NAVN] CPR [123456-9876] Kontaktoplysnn Indlednng For elever specalskoler, gruppeordnnger, specalklasser og elever, der modtager særlg støtte tl nkluson almndelge klasser, skal der udarbejdes en ndvduel elevplan, der tager udgangspunkt

Læs mere

Vejledning om kontrol med krydsoverensstemmelse 2007

Vejledning om kontrol med krydsoverensstemmelse 2007 Vejlednng om kontrol med krydsoverensstemmelse 007 Maj 007 Mnsteret for Fødevarer, Landbrug og Fsker Drektoratet for FødevareErhverv Kolofon Vejlednng om kontrol med krydsoverensstemmelse 007 Maj 007 Denne

Læs mere

Overgangen i geografiundervisningen fra folkeskolen til gymnasiet - et analyse projekt

Overgangen i geografiundervisningen fra folkeskolen til gymnasiet - et analyse projekt Overgangen geografundervsnngen fra folkeskolen tl gymnaset - et analyse projekt The transton n geography from elementary school to secondary school - an analytcal project Den Naturvdenskabelge bassuddannelse,

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389..

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Betjenngsvejlednng Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Indholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet... 3 Grundlæggende betjenng af rumtemperaturregulatoren... 3 Vsnnger og knapper detaljer... 3 Om denne

Læs mere

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC da Brugervejlednng 3 da Indholdsfortegnelse Centralkontrolenhed Indholdsfortegnelse 1 Tl nformaton 8 1.1 Illustraton af trnnene 8 1.2 Vse startmenuen 8 1.3

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Personfnidder blokerer for politiske reformer

Personfnidder blokerer for politiske reformer Personfndder blokerer for poltske reformer Danskernes dom er klar: mededæknng Danmark blver for høj grad domneret af personspørgsmål. En ny Cevea-undersøgelse vser, at de mange personsager dansk poltk

Læs mere

Insttut for samfundsudvklng og planlægnng Fbgerstræde 11 9220 Aalborg Øst Ttel: Relatv Fasepostonerng Med bllge håndholdte GPS-modtagere Projektperode: Februar 2006 Jul 2006 Semester: 10. Projektgruppe:

Læs mere

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri)

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri) for Myndghed (Handcap og Socalpsykatr) Baggrund Økonomudvalget besluttede den 17. maj 2010, at der bl.a. på Myndghedsområdet for Handcap og Socalpsykatr skal udarbejdes en handleplan som følge den konstaterede

Læs mere

ipod/iphone/ipad Speaker

ipod/iphone/ipad Speaker Pod/Phone/Pad Speaker ASB8I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 16 FR 30 ES 44 DE 58 EL 73 DA 87 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21 Vestbyskolen... 2 Samlet vurderng af skolen... 3 Rammebetngelser... 5 Budget... 5 Personaletal... 5 Pædagogske processer... 6 Indsatsområder og resultater... 6 Opfølgnng og nye ndsatsområder... 10 Udfordrnger...

Læs mere

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning Pod/Phone speaker ALD1915H ASB4I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 13 FR 25 ES 37 DE 49 EL 62 DA 75 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Bjarne Vogt, Lars Provstgaard,

Læs mere

Ligeløn-stilling blandt dimittender

Ligeløn-stilling blandt dimittender Lgeløn-stllng blandt dmttender For fjerde år træk vser DJs dmttendstatstk, at der prakss stort set er lønmæssg lgestllng blandt nyuddannede. Lge mange mænd og kvnder får næsten det samme løn. Startløn

Læs mere

Figur 3: Illustration af hvordan en børsteløs DC-motor kan betragtes rent magnetisk.

Figur 3: Illustration af hvordan en børsteløs DC-motor kan betragtes rent magnetisk. Opstlnng af oel for en børsteløs D-otor Danel R. Peersen & Jesper. Larsen 4. aprl 2003 I ette arbejsbla vl er blve opstllet en oel af en børsteløs D otor (LDM). Moellen er opstllet e et forål at kunne

Læs mere

Når klimakteriet tager magten Fokus

Når klimakteriet tager magten Fokus Når klmakteret tager magten Fokus For Bente Skytthe var det en lang og opsldende proces at komme gennem klmakteret, der blandt andet bød på hjertebanken, hedeture og voldsomme blødnnger. Overgangsalder

Læs mere

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne.

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne. Dette dokument beskrver overordnet de væsentlge ændrnger tl verson 2.6. I dokumentet er kun medtaget de ændrnger, der har medført ændrnger tl revsonsrapporten. I det omfang der er behov for uddybnng af

Læs mere

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang 2. Kort beskrvelse HR92 Trådløs elektronsk radatortermostat. Leverngens omfang I radatortermostatens emballage er der: 2 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.baccertfceret. Honeywell HR92 er en trådløs elektronsk

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Tage Rasmussen, Kresten Bundgaard, Maranne Dderksen, Bjarne Vogt, Vggo Kofod Fraværende: Ingen Dagsorden for mødet

Læs mere

VEDTÆGTER. Advokatfirmaet Espersen 171-1676 Tordenskjoldsgade 6 9900 Frederikshavn TIL 98 4334 ii LE/UJ. for. Andeisforeningen Feddet

VEDTÆGTER. Advokatfirmaet Espersen 171-1676 Tordenskjoldsgade 6 9900 Frederikshavn TIL 98 4334 ii LE/UJ. for. Andeisforeningen Feddet Advokatfrmaet Espersen 171-1676 Tordenskjoldsgade 6 9900 Frederkshavn TIL 98 4334 - LE/UJ Mv. Sekr. Vestermarksve 38 9900 Frederkshavn VEDTÆGTER for Andesforenngen Feddet 1. Navn og hjemsted 1.1- Forenngens

Læs mere

Medarbejderhåndbog. Velkommen som medarbejder i SIKA Rengøring A/S

Medarbejderhåndbog. Velkommen som medarbejder i SIKA Rengøring A/S Medarbejderhåndbog Velkommen som medarbejder SIKA Rengørng A/S SIKA Rengørng A/S ejes af Bent & Elsabeth Hansen. 1 Det bedst mulge ansættelsesforløb SIKA Rengørng A/S blev grundlagt 2001 af Bent & Elsabeth

Læs mere

Nim Skole og Børnehus

Nim Skole og Børnehus Nm Skole og Børnehus... 2 Samlet vurderng af skolen... 2 Rammebetngelser... 4 Budget... 4 Personaletal... 4 Pædagogske processer... 4 Indsatsområder og resultater... 4 Opfølgnng og nye ndsatsområder...

Læs mere