Om sandhed, tro og viden
|
|
- Lucas Ebbesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet topsoe med mange manuskripter se specielt topsoe/sandhednatfest09.pdf Naturvidenskabsfestival september, 2009
2 Verden Det hele er verden, V. Situationer fra verden vedrører Naturen og dig, Iagttageren. Naturen bærer (gemmer!) sandheden, Du søger sandheden, men er henvist til tro. Med erfaring opnår du viden. Viden er syntesen af udstrakt erfaring.
3 situationer Naturfænomener: solopgang, vejret i morgen,... Fra fysikkens verden: tilstanden af en gas i et varmebad,... Sundhedssektoren: virker pillen? kommer der en epedemi?... Samfund, økonomi: kursernes udsving... Den religiøse sfære: forholdet mellem Vorherre og dig,... Personlige forhold: elsker hun mig?... Spil: er terningen ægte?...
4 Naturen og dig Naturen har ingen bevidsthed, er ikke kreativ - det er du! Konkretiserede størrelser (instanser) i specifikke situationer: sandhed: x tro: y viden: z En lidt anden (?) fortolkning af viden (z): sådan opfatter du sandheden! (perception) Fundamental og kritisk antagelse: viden afledes af sandhed og tro tilsammen dvs. der findes en funktion, interaktoren Π, således at z = Π(x, y). Interaktoren karakteriserer verden: V = V Π.
5 Eksempler på verdener Den klassiske verden V 1 er karakteriseret ved interaktoren Π 1 : Π 1 (x, y) = x, så her er z = x. Her kan sandheden erfares: det, du ser, er det, der er sandt. (DDSDDS) Et sort hul V 0 er karakteriseret ved interaktoren Π 0 : Π 0 (x, y) = y, så her er z = y, med andre ord: det, du ser, er det, du tror. (DDSDDT) Blandinger, f.eks V 1 4, V 1 2, V 3, generelt: 4 Tsallis verden V q, karakteriseret ved Π q (x, y) = qx +(1 q)y.
6 noget at tænke over Opgave 1: Diskuter situationer, hvor de opstillede filosofiske betragtninger virker interessante, måske fordi de peger på forhold, du selv har iagttaget. Du bør forholde dig kritisk til de fremførte tanker. Der er masser af spørgsmål, man kan stille, f.eks. omkring begrebet virkelighed - findes virkeligheden og, i sammenhæng hermed, er der mening i et begreb som den absolutte sandhed? Hvordan passer begreberne sandhed, tro og viden ind i en religiøs kontekst? Er det det rene vås og misforstået videnskabelighed, hvis man prøver at fortolke begreberne i en anden sammenhæng end en rent videnskabelig? Og, lidt omvendt, kan forhold vi møder som almindelige mennesker hjælpe os, når vi søger efter modeller til forklaring af rent naturvidenskabelige forhold?
7 Verdener baseret på sandsynlighed Verdener, hvor situationer er bestemt ved sandsynligheder over et alfabet. Skematisk: (f.eks i V 1 4 A sandhed tro viden i x i y i z i er z i = 1 4 x i y i). Et konkret eksempel: A sandhed tro viden iv 1 viden iv 0 viden iv 3 viden iv
8 score funktioner En score-funktion Φ er en funktion, der i enhver situation angiver dit besvær med at opnå viden (omkostning, pris, nødvendig energi...). Afhænger af x og af y: Φ(x, y). Normalt har Iagttager flere score-funktioner at vælge imellem. Princip: Vælg Φ, så besværet er mindst, når der foreligger en perfekt match, dvs. y = x. Altså: sørg for at Φ(x, y) Φ(x, x) og for at = kun gælder når y = x. En sådan funktion hedder en ren score-funktion. Vi kan opfatte Φ som prisen på viden (aktiv fortolkning, aktiv fordi der typisk skal handles, f.eks. udføres forsøg, for at indhente viden) eller som information, der kan vindes; mere præcist som et kvantitativt mål for den informationsmængde, der kan vindes (passiv fortolkning).
9 score-funktioner i stokastiske modeller A x y z besvær (pris, energi...) i x i y i z i = π(x i, y i ) φ(x i, y i ) = z i κ(y i ) = π(x i, y i )κ(y i ) Det totale besvær er så Φ(x, y) = i A π(x i, y i )κ(y i ). Her er κ : [0, 1] [0, ], en funktion, der til en given værdi t (sandsynlighed, du tror, et udfald har), angiver det besvær, κ(t), du er villig til, eller nødt til, at acceptere for at finde frem til udfaldet [uddybning gives!]. Vi forlanger om en κ-funktion, at den er glat (differentiabel), at κ(1) = 0 og at κ (1) = 1. Det sidste krav er en normeringsbetingelse og svarer til et valg af enhed. Vores valg giver naturlige enheder, nats. Havde vi valgt normeringen κ (1) = ln , havde vi fået binære enheder (bits). 1 nat= 1 ln 2 bit bit.
10 ... fortsat... Opsummering: To funktioner er centrale: π og κ: π(s, t) angiver den vægt (sandsynlighed) et udfald opfattes at have i din verden, når udfaldet har sand sandsynlighed s og du tror, sandsynligheden er t. Typisk er π = π q svarende til en Tsallis verden, men der er andre muligheder (skal kræve, at π(s, s) = s for alle s). Du vælger κ. Når κ er valgt, kan du tilrettelægge observationer således, at ethvert udfald, du tror har sandsynlighed t, medfører et besvær for dig af størrelsen κ(t) (OBS: afhænger ikke af den sande sandsynlighed!). Mulig fortolkning: κ angiver besværet med at beskrive udfald. Sætning: For enhver verden V π er der masser af acceptable score-funktioner, nemlig svarende til forskellige valg af κ, men højst eet valg, der giver en ren score funktion! Beviset er lidt omstændeligt. Jeg springer det over!
11 Vi gætter en ren score fkt. i klassiske verden V 1 Skal finde κ, så det for alle sandsynlighedsvektorer x og y gælder, at summen Φ(x, x) er summen Φ(x, y), se skema: A x y bidrag til Φ(x, x) bidrag til Φ(x, y) 1 x 1 y 1 x 1 κ(x 1 ) x 1 κ(y 1 ) 2 x 2 y 2 x 2 κ(x 2 ) x 2 κ(y 2 ) i x i y i x i κ(x i ) x i κ(y i ) sum 1 1 Φ(x, x) Φ(x, y) Et trick: Vis i stedet, at summen Φ(x, x) + 1 er summen Φ(x, y) + 1, se skema:
12 ... fortsat... A x y bidrag til Φ(x, x) + 1 bidrag til Φ(x, y) x 1 y 1 x 1 κ(x 1 ) + x 1 x 1 κ(y 1 ) + y 1 2 x 2 y 2 x 2 κ(x 2 ) + x 2 x 2 κ(y 2 ) + y 2 i x i y i x i κ(x i ) + x i x i κ(y i ) + y i sum 1 1 Φ(x, x) + 1 Φ(x, y) + 1 Satser på at dette endog gælder ledvist, dvs. at uligheden sκ(s) + s sκ(t) + t (1) gælder for alle 0 s 1 og alle 0 t 1. Hold først s fast. Højre-siden i (1) er en funktion af t med mindsteværdi for t = s; derfor er der stationært punkt for t = s, dvs. sκ (s) + 1 = 0. Dette gælder alle s og bestemmer dermed en differentialligning. Løsningen med κ(1) = 0 er funktionen κ(t) = ln 1 t.
13 ... fortsat... Vi har gættet en κ-funktion og dermed en score funktion! Men er det en ren score funktion? Vi checker: Er sκ(s) + s sκ(t) + t? eller: er eller: er s ln 1 s + s s ln 1 t + t? s ln t s t s? JA! det følger af den velkendte ulighed ln x x 1! Vi konkluderer: I V 1 er κ : t ln 1 t den entydigt bestemte rene score funktion!
14 Entropi og divergens Se på abstrakt model med en ren score funktion Φ. Entropien af x, der betegnes H(x) defineres som den minimale værdi af score funktionen, altså det minimale besvær for dig. Det opnås, når der er en perfekt match, dvs. H(x) = Φ(x, x). Overskudsværdien sv.t. et givet y kaldes divergensen mellem x og y og betegnes D(x, y), altså D(x, y) = Φ(x, y) H(x). Opgave 2: Bestem entropi og divergens i V 1.
15 score-funktioner i V q Opgave 3: Se på Tsallis verden V q med et q mellem 0 og 1 (0 < q < 1). Der er kun een PMP-score funktion i denne verden. Bestem den og opskriv en formel for den tilhørende entropi, den såkaldte Tsallis entropi. Vejledning: Gå frem helt som i V 1 og gæt dig frem. Tricket, vi så før, fører til differentialligningen sκ (s) + (1 q)κ(s) + 1 = 0. Du finder let en konstant-funktion κ 0 som løsning og så ses, at er κ en løsning, opfylder funktionen f = κ κ 0 en noget simplere differentialligning, som du kan løse. Husk så at pil den løsning ud, der opfylder κ(1) = 0. Du kan stille dig tilfreds med dette, men bør checke, at uligheden sκ(s) + s sκ(t) + t virkelig er opfyldt. Advarsel: Opgaven er ikke let! Vil du vide mere om Tsallis entropi, spørg evt. Google eller Wikipedia.
16 Hvordan sikrer man sig et ærligt svar? Tilbage til abstrakt set-up. Ny fortolkning: Naturen kan kommunikere! Så taler vi om en ekspert. Du spørger eksperten om råd. Ekspertens viden er x, det afgivne råd er y. Men hvad nu, hvis eksperten er fristet til at give et råd mod bedre vidende (y x)? Med en ren score funktion kan man sikre sig mod dette: Strategi: Betal eksperten et beløb for overhovedet at få et råd. Indgå en slags forsikring med eksperten, således, at eksperten betaler dig en straf af størrelsen Φ(x, y) såsnart x er kendt. Det bør afholde eksperten fra at vælge et råd y forskellig fra x. Opgave 4: Overvej selv dette nærmere, foreslå evt. konkrete situationer, hvor modellen er rimelig.
17 0 er og 1 er i V 1 (kodning!), binære enheder (bits) I V 1 giver kodning operationel fortolkning af Φ mv. Eksempler: A sandh. tro din kode bidr. t. bidr. t. bidr. t. i x i y i kode lgd. Φ(x, y) H(x) D(x, y) sum A sandh. tro din kode bidr. t. bidr. t. bidr. t. i x i y i kode lgd. Φ(x, y) H(x) D(x, y) sum
18 ... fortsat Opgave 5: Prøv selv et forklare nærmere! Det bør føre dig ind på spændende ting omkring kodning. Du kan let finde ting herom på nettet. Desuden vil din lærer kunne låne/give dig et eksemplar af en lille bog om informationsteori, der indeholder meget, meget mere om koder etc., men altsammen i den klassiske verden V 1. Bemærkning: Det er uvist om der findes en lignende operationel kodningsteoretisk fortolkning af entropi mv. i andre verdener, specielt i en af Tsallis verdener, V q. Hvis du finder en sådan fortolkning, vil mange forskere være ekstremt interesserede i at høre nærmere! Tak for nu!
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n Slide 1/26
Slide 1/26 Faculty of Science Om Sandhed, Tro og Viden i Naturvidenskaberne Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Foredrag under Forskningens Døgn, 23-24
Læs mereMatematikkens filosofi filosofisk matematik
K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereFormål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1
Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereAnalyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereAnalyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset
Læs mereDen vanskelige samtale
Den vanskelige samtale Et arbejdsmateriale til den vanskelige samtale 1 Hvorfor er samtalen vanskelig? Din selvtillid Metoden Din fantasi Manglende tro på, at tingene bliver ændret Ingen klare mål for,
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereTro, Viden & Vished. Erik Ansvang.
1 Tro, Viden & Vished Erik Ansvang www.visdomsnettet.dk 2 Tro, Viden & Vished Af Erik Ansvang Ethvert menneske, der ønsker at finde sin egen livskilde sin indre sol må søge lyset i sit indre. Åndeligt
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereIteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber
Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereKædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.
Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereHypotesetests, fejltyper og p-værdier
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 25, 2018 Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Hypotesetests, Universitet
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mereRektangulær potentialbarriere
Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereFoto: Lars Kruse, Aarhus Universitet
Professor Torben M. Andersen fra Aarhus Universitet er tidligere overvismand og var formand for den kommission, den tidligere regering havde nedsat for at kule grave problemerne i det danske pensionssystem.
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereMikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed
Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereAT og elementær videnskabsteori
AT og elementær videnskabsteori Hvilke metoder og teorier bruger du, når du søger ny viden? 7 begrebspar til at karakterisere viden og måden, du søger viden på! Indholdsoversigt s. 1: Faglige mål for AT
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereSelvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMenn. har i sig en Trang til Sandhed, til at vide, hvordan det egentlig forholder sig.
Menn. har i sig en Trang til Sandhed, til at vide, hvordan det egentlig forholder sig. En prædiken af Kaj Munk Kaj Munk Forskningscentret, Aalborg Universitet 1 Udgivet i 2015 Udgivet i 2015. Teksten må
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereKøbenhavns åbne Gymnasium
Københavns åbne Gymnasium Info om AT -Almen studieforberedelse Redaktion Nina Jensen Almen studieforberedelse Generel og overordnet beskrivelse. AT er et tværfagligt fag, hvor man undersøger en bestemt
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereKøbenhavns åbne Gymnasium
Københavns åbne Gymnasium Generel information om AT Almen studieforberedelse - 2016 Redaktion Nina Jensen Almen studieforberedelse Hvad er AT? AT er en arbejdsmetode, hvor man undersøger en bestemt sag,
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereForberedelse. Forberedelse. Forberedelse
Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereIndivider er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme
Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereStatistik II 4. Lektion. Logistisk regression
Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereInvarianter og kombinatoriske beviser
Invarianter og kombinatoriske beviser Anders Nedergaard Jensen Institut for Matematik, Aarhus Universitet Matematiklærerdag, Aarhus, 24. Marts 2017 En invariant er en værdi/udsagn der forbliver konstant
Læs mereEn statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen
Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mere