Bestemmelse af Magnetokalorisk Effekt ved 3ω-Metoden

Transkript

1 Bestemmelse af Magnetokalorisk Effekt ved 3ω-Metoden Et internt-fagligt projekt af Adam Rothenberg Lind, Jens Christian Sidney Schönbeck & Martin Olesen IMFUFA, RUC 12. januar 2006 Vejleder: Thomas Schröder

2 Abstract This work investigates the magnetocaloric effect in the lanthanium manganite La 0,67 Ca 0,22 Sr 0,11 MnO 3 by means of the so-called 3ω detection technique. The aim is to determine whether the 3ω detection technique is suitable for measuring the magnetocaloric effect of certain magnetic materials. An experiment is conducted by subjecting the material to an oscillating magnetic field. The oscillating magnetic field is generated by applying a voltage to a solenoid. By means of Fourier transformation, the third harmonic is extracted from the output voltage. It is concluded that the magnetocaloric effect cannot be detected in the conducted experiment, due to fact that the resulting third harmonic is too small to be measurable. However, an improved experimental design might make it possible to enhance the signal to a measurable level. In this case, the 3ω detection technique has some advantages compared to the usual techniques used for measuring magnetocaloric effect. Resùme I denne rapport undersøges den magnetokaloriske effekt i lanthaniummanganitten La 0,67 Ca 0,22 Sr 0,11 MnO 3 ved at benytte en teknik kaldet 3ω-metoden. Det undersøges, hvorvidt 3ω-metoden er brugbar som måleteknik til at måle bestemte magnetiske materialers magnetokaloriske effekt. Eksperimentet udføres ved at påtrykke materialet et harmonisk svingende magnetfelt. Magnetfeltet skabes ved at sætte en spænding over en spole. Ved at fouriertransformere outputspændingen findes det tredie harmoniske spændingssignal. Konklusionen er, at det udførte eksperiment ikke er i stand til at måle den magnetokaloriske effekt, da det tredie harmoniske spændingssignal er for småt. Der er dog mulighed for at et forbedret eksperimentelt design vil kunne gøre signalet tilstrækkelig stort til at være målbart. I det tilfælde det er muligt at måle den magnetokaloriske effekt ved 3ω-metoden, vil der være visse fordele at hente i forhold til de konventionelle målemetoder.

3 Indhold 1 Indledning Introduktion Problemformulering Projektforløbet Metode Teori Mikroskopisk beskrivelse af magnetisk køling Magnetisk køling Makroskopisk termodynamisk beskrivelse af MCE Udledning af den magnetokaloriske effekt Magnetiske materialer Paramagnetisme Ferromagnetisme Faseovergange Susceptibiliteten Struktur af La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO Ionforhold Rumlig struktur Magnetisme i La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO Double-exchange Faktorer der påvirker de magnetiske egenskaber Anvendte metoder til bestemmelse af MCE Beskrivelse af metoder Direkte måling af T Indirekte bestemmelse af S M ved magnetiseringsmålinger Indirekte bestemmelse af S M og T ved måling af varmekapacitet Fordele, ulemper og fejlkilder Direkte måling af T Indirekte bestemmelse af S M ved magnetiseringsmålinger Indirekte bestemmelse af S M og T ved måling af varmekapacitet Afrunding Modellering Modellering af spolen Model af spolen Bestemmelse af C 0, L 0 og R p i

4 ii Beregning af spolens egenskaber ω-metoden Udledning af 3ω- og 2ω-metoden Valg af R f Estimat af αk og Ṽp Estimat af Ṽp3-bidraget fra temperaturafhængigheden af R p Eksperimentet Strategi Krav til eksperimentet Design af den eksperimentelle opstilling Oversigt over benyttet apparatur Materialet Målinger Databehandling Bestemmelse af L m (T ), R p (T ) og α Bestemmelse af L m (T ) Bestemmelse af α Bestemmelse af R p (T ) Undersøgelse af 3ω-signal Bestemmelse af K(T ) Opsummering Diskussion Diskussion af måleresultater Validering af måleresultaterne Problemer med målinger i det ferromagnetiske område Bestemmelse af MCE ved 3ω-metoden Optimering af eksperimentet Ændring af spolens design Højere frekvens Større amplitude på spændingsinputtet ω-metoden kontra 3ω-metoden Vurdering af 3ω- og 2ω-metoderne i forhold til andre metoder Den direkte metode Indirekte metoder Konklusion Referencer 73

5 1 Indledning 1.1 Introduktion Magnetisk køling er en teknik, der i mange år har været kendt og benyttet som en praktisk måde at opnå meget lave temperaturer. På det seneste har teknikken også været genstand for forskning med praktisk anvendelse i køleteknik ved stuetemperatur som målsætning. Visse magnetiske materialer har vist sig at være særligt anvendelige i forbindelse med denne køleteknik. Når disse materialer påtrykkes et magnetfelt, udviser de en stor Magnetokalorisk effekt (MCE) i temperaturområdet omkring deres Curietemperatur, T C. En stor MCE betyder, at der sker en stor temperaturændring som følge af magnetisering og demagnetisering. Det interessante ved denne opdagelse er, at man ved udnyttelse af disse materialers MCE, kan man bygge en kølemaskine, der virker ved stuetemperatur, der kunne have en højere effektivitet end kølemaskiner der benytter konventionel kompressionsteknik (Tishin & Spichkin; 2003). Der er dog mange forhindringer og problemer der skal løses, inden det er praktisk at fremstille almindelige køleskabe der benytter magnetisk køling. Forskning i materialer, der kunne have de nødvendige egenskaber, et skridt på vejen til at løse problemerne. En klasse af materialer der tilhører stofklassen lanthaniummanganitter, har vist sig at have potentiale for at kunne anvendes i magnetisk køleteknik. Sumformlen for en type af disse stoffer er La 0.67 Ca 0.33 x Sr x MnO 3, og det er et stoffer af denne type vi undersøger i dette projekt. Karakteristisk for disse stoffer er en Curietemperatur, der varierer i temperaturområdet fra 260K til 370K, afhængigt af forholdet mellem mængden af Calcium (Ca) og Strontium (Sr). Dette er en vigtig egenskab, da en række af disse stoffer vil kunne dække det relevante køleområde. Den eksisterende forskning på området er i store træk fokuseret på eksperimentelt arbejde, hvor måling af MCE foregår enten indirekte ved måling af magnetiseringen, ved direkte måling af temperaturændringer eller ved måling af varmekapaciteten ved konstant tryk og magnetfelt. Vi har i dette projekt valgt, at studere muligheden for at måle MCE med en metode hvor magnetfeltet varierers med et harmonisk signal. Ved en metode kaldet 3ω-metoden kan man bestemme den magnetokaloriske effekt af et materiale. Projektets motivation er at studere et aspekt af forskningen der kan føre til magnetisk køling ved stuetemperatur. Specifikt har vi valgt at undersøge MCE eksperimentelt ved hjælp af 3ω-metoden. Forhåbentlig viser 3ω-metoden sig at have fordelagtige kvaliteter i bestemmelsen af MCE. Frekvensafhængigheden kan også vise sig at indeholde nyttig information. 1

6 2 Indledning 1.2 Problemformulering Er 3ω-metoden egnet til at undersøge materialer der udviser en stor magnetokalorisk effekt omkring Curie-temperaturen? 1.3 Projektforløbet For at kunne forstå hvordan vi er kommet frem til ovennævnte problemstilling, er det nødvendigt at fortælle om projektets historie. Resultatet af projektarbejdet der har ført til denne rapport, har i høj grad været præget af eksterne omstændigheder. Projektet er baseret på modellering og eksperimentelt arbejde, og begge dele har foregået på forfatternes uddannelsessted: IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Det har dog ikke været idéen ved projektarbejdets begyndelse, da projektet indledtes som et samarbejde med Forskningscenter RISØ. Samarbejdet med RISØ var baseret på en projektidé der omhandlede magnetisk køling. Projektet var på det tidspunkt lagt i rammer der betød at eksperimenterne skulle foregå på RISØ, i samarbejde med en ekstern vejleder, der var tovholder for Risøs projekt om magnetisk køling. Projektdelen der skulle foregå på RUC, handlede om at skabe et projekt der faldt indenfor rammerne af det internt-faglige projektbinding på IMFUFA. Det der kom ud af dette var et projekt der havde til formål at undersøge materialerne som var genstand for forskningen i magnetisk køling på RISØ. Det vi specifikt satte os for at undersøge, var forskellen på MCE ved forskellige blandingsforhold af Ca og Sr. Det ses på figur at der sker et pludseligt dyk i MCE, når Sr indholdet øges. Teorien var at dette kunne forklares ved ændringer i krystalstrukturen, hvilket blev det eksperimentelle plot at undersøge. Den eksperimentelle teknik der skulle bruges til at undersøge dette var røntgendiffraktion, en teknik vi kunne benytte på RISØ. Cirka to måneder inde i forløbet skete dog det uheldige, at den eksterne vejleder på RISØ måtte skifte job. Det var pludseligt ikke muligt at fortsætte projektet som planlagt, da der ikke umiddelbart var andre på stedet der kunne overtage vejlederrollen. Samarbejdet med RISØ blev afbrudt, men da vi allerede havde tilegnet os viden om magnetisk køling og MCE, valgte vi at fortsætte arbejdet på IMFUFA. De planlagte eksperimenter kunne dog ikke udføres med det eksperimentelle udstyr på stedet, hvilket betød at vi måtte finde en ny problemstilling at arbejde med. Vi havde som udgangspunkt magnetisk køling og MCE samt kravet om eksperimentelt arbejde. Vi noterede os at frekvensafhængigheden af MCE ikke var eksperimentelt undersøgt i særligt stort omfang. Og da der på stedet er erfaring med at lave frekvensbaserede målinger, gik vores interesse i netop den retning. Resultatet er den i introduktionen beskrevne problemstilling og problemformulering. Projektet tager dermed udgangspunkt i en problemstilling der er foruden foregående undersøgelser, og uden mulighed for på forhånd at vurdere hvilket resultat der måtte fremkomme ved besvarelsen af problemformuleringen. Vi fortsætter nu med en beskrivelse af metoden der er valgt til at forsøge at løse problemstillingen. 1 Størrelsen S M der angiver MCE i dette tilfælde bliver udledt i afsnit 2.2

7 1.4 Metode 3 Figur 1.1 Magnetokalorisk effekt ved forskellige x. Figuren stammer fra (Dinesen; 2004) 1.4 Metode 3ω-metodens anvendelighed til bestemmelse af MCE undersøges eksperimentelt og sammenlignes med andre kendte metoder. Der designes et eksperiment og 3ω-metoden testes på en lanthaniummanganit af typen La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3, hvis MCE er målt i forvejen ved andre metoder. Et materiales MCE kan bestemmes ved at udsætte materialet for en kendt magnetfeltsændring, og derefter måle dets respons i form af en temperaturændring. Det er i princippet også det, der foretages ved 3ω-metoden, omend det foregår på en mere indirekte måde. Når La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 påvirkes af et magnetfelt, der ændrer sig, vil dets temperatur ændre sig som følge af MCE. Da materialets magnetiske permeabilitet, µ, er temperaturafhængig, vil en registrering af ændringen af µ kunne anvendes til bestemmelsen af temperaturændringen. Magnetfeltet over materialet skabes ved at placere det i en spole og sætte en oscillerende spænding over denne, som frembringer et oscillerende magnetfelt og dermed en temperatursvingning. Udover at spolen skaber et magnetfelt, benyttes den også til bestemmelse af den temperaturafhængige µ, da spolens selvinduktion og dermed dens impedans afhænger af µ. Alt i alt betyder det, at hvis der sættes en harmonisk svingende spænding over en spændingsdeler indeholdende spolen med materialet, vil spændingen over spolen ikke være harmonisk. Denne spænding vil være næsten harmonisk, men som følge af temperaturændringerne i materialet, vil der ske en perturbation af den ellers harmoniske spænding. En del af denne perturbation svinger med den tredobbelte frekvens af spændingen over spændingsdeleren, og ved at måle dette 3ω-signal kan der

8 4 Indledning opnås information om materialets MCE. Størrelsen af materialets MCE afhænger af temperaturen og denne temperaturafhængighed undersøges ved at foretage eksperimentet ved forskellige temperaturer. Desuden findes et egnet frekvensområde, hvor forsøgsdesignet tillader målinger med tilstrækkeligt små usikkerheder, og en eventuel frekvensafhængighed undersøges. Målemetodens egnethed vurderes i forhold til andre metoder til bestemmelse af MCE og de fremkomne resultater sammenlignes med resultaterne fra andre undersøgelser.

9 2 Teori I teoriafsnittet er målet at få introduceret de vigtiste begreber og principper der ligger til grund for 3ω-metoden og magnetisk køling. Først vil vi via en mikroskopisk betragtning af entropien, give en kvalitativ beskrivelse af den magnetokaloriske effekt. Den magnetokaloriske effekt konkretiseres derefter via makroskopiske termodynamiske betragtninger. Dernæst ser vi nærmere på de relevante egenskaber ved magnetiske materialer generelt, for til sidst at beskrive de specifikke egenskaber af materialerne La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO Mikroskopisk beskrivelse af magnetisk køling For at forstå princippet bag magnetisk køling skal man blandt andet have fat i et af termodynamikkens grundlæggende begreber, nemlig entropibegrebet. Fortolket mikroskopisk er entropi et mål for graden af uorden i materialet. Mere præcist er entropien proportional med logaritmen til multipliciteten, der angiver det antal mikrotilstande der svarer til en bestemt makroskopisk tilstand. Jo mere ordnet et system er desto færre mulige mikrotilstande findes der til den pågældende makroskopiske tilstand, og entropien er dermed lav. Entropien er givet ved ligning 2.1 S = k ln (Multiplicitet) (2.1) hvor k er Boltzmanns konstant. Den samlede entropi i forbindelse med magnetisk køling af de materialer vi beskæftiger os med i de kommende eksperimentelle undersøgelser vil både have et bidrag fra temperaturen, samt et magnetisk bidrag. Først ser vi på hvordan temperaturens bidrag, kan fortolkes. Temperaturens entropibidrag Et system kan for en given termodynamisk tilstand have forskellige mulige diskrete mikroskopiske tilstande. Alle disse tilstande vil have en energi, hvor sandsynligheden for at finde systemet i en bestemt tilstand afhænger af størrelsen af denne energi E, samt af temperaturen. Sandsynligheden er givet ved den kanoniske sandsynlighedsfordeling: P (Ψ j ) = exp ( E j/ kt ) Z (2.2) hvor E j er energien af tilstanden Ψ j, k er Boltzmanns konstant, T er temperaturen og Z er tilstandssummen. 5

10 6 Teori S/ k H 1 H 2 kt/ mb B Figur 2.1 Entropien af en ideel paramagnet ved to forskellige H-felter, samt effekten af adiabatisk eller isoterm overgang mellem disse. Figuren er tegnet frit efter (Baierlein; 1999) I grænsetilfældet hvor et materiales temperatur går mod nul, går systemet mod tilstanden med lavest energi, svarende til at antallet af sandsynlige tilstande reduceres. Dermed minimeres multipliciteten og entropien bliver lav. Omvendt vil høje temperaturer, og de dertil hørende store termiske fluktuationer, give anledning til mange sandsynlige tilstande, hvilket betyder en stor multiplicitet og høj entropi. Det magnetiske entropibidrag Entropien i et paramagnetisk materiale kan varieres betydeligt ved at påføre et magnetfelt. Ved at påføre et magnetfelt, vil en del af materialets magnetiske dipoler orientere sig i en bestemt retning, hvormed antallet af mulige mikrotilstande mindskes. Således kan det magnetiske bidrag til entropien i materialet reduceres ved at placere materialet i et ydre magnetfelt. Omvendt vil entropibidraget øges, hvis man fjerner det ydre felt. Entropien afhænger af B-feltet og temperaturen som det fremgår kvalitativt af figur 2.1, hvor H 2 er større end H 1. Pilene illustrerer princippet bag en magnetisk køleproces. Den lodrette pil angiver en isoterm magnetisering, og den vandrette pil angiver den efterfølgende adiabatiske demagnetisering, hvor materialet køles. Af figuren ses desuden, at entropien af en paramagnet afhængeer af forholdet mellem magnetfeltet og temperaturen. Magnetisk køling En ideel magnetisk køleproces skal, i lighed med en hvilken som helst ideel termodynamisk proces, foregå reversibelt. Processen at sænke eller fjerne et ydre felt som fører til køling, skal også ved en ideel køleproces foregå adiabatisk. En adiabatisk og reversibel proces er karakteriseret ved at systemet, som i dette tilfælde er det magnetiske materiale, opretholder en konstant entropi. Hvis man således adiabatisk reducerer det magnetiske bidrag til entropien, betyder det, at temperaturen må stige for at øge det termiske bidrag til entropien, sådan at den samlede entropi holdes konstant. Tilsvarende

11 2.2 Makroskopisk termodynamisk beskrivelse af MCE 7 vil en adiabatisk forøgelse af det ydre felt medføre en stigning i systemets temperatur. Da man i praksis ikke ønsker at temperaturen stiger i materialet, vil man i praksis lade denne delproces foregå isotermt, typisk ved at lade systemet være i termisk kontakt med et varmereservoir. 2.2 Makroskopisk termodynamisk beskrivelse af MCE Vi vil nu udlede den magnetokaloriske effekt ved hjælp af makroskopiske termodynamiske betragtninger. Magnetisk køling sker ved ændringer af et ydre magnetfelt. Størrelsen af den magnetokaloriske effekt bestemmer hvor meget temperaturen ændres som funkiton af ændringer af feltet. Ved termodynamiske betragtninger, kan en sammenhæng mellem netop dt og dh udledes. Udledning af den magnetokaloriske effekt Hvis et systems indre energi, U, er en funktion af de termodynamiske variable S, V og B, hvor B er et magnetfelt, vil energidifferentialet være: du = T ds P dv MdB (2.3) hvor M er materialets magnetiske dipolmoment. Da det antages, at materialet er under konstant tryk og konstant temperatur, ønskes differentialet for Gibbs fri energi opskrevet. Dette gøres ved Legendre transformation af U: og differentialet af Gibbs fri energi kan skrives som: G = U T S + P V (2.4) Da størrelsen af dg er: ( ) G dg = T dg = du T ds SdT + P dv + V dp (2.5) = SdT + V dp MdB (2.6) dt + B,P ( ) G dp + P T,B må det sammenholdt med ligning 2.6 gælde at: ( ) G S(T, P, B) = T B,P ( ) G M(T, P, B) = B T,P ( ) G db (2.7) B T,P (2.8) (2.9) Hvis ligningerne 2.8 og 2.9 differentieres med hensyn til henholdsvis B og T fås: ( ) S = 2 G (2.10) B T,P T B

12 8 Teori ( ) M = 2 G T B,P B T Hvoraf der fremkommer Maxwellrelationen: ( ) S = B T,P ( ) M T B,P (2.11) (2.12) som skal bruges i det følgende. Hvis entropien er en funktion af T, P og B er entropidifferentialet givet ved: ds = ( ) S dt + T B,P ( ) S dp + P B,T Varmekapaciteten ved konstant tryk og magnetfelt genkendes som: C P = T ( ) S T B,P ( ) S db (2.13) B T,P (2.14) og hvis processen er reversibel, adiabatisk og foregår under konstant tryk er ds = 0 og dp = 0 og ligning 2.13 kan ved brug af Maxwellrelationen i ligning 2.12 omarrangeres til: dt = T ( ) M db (2.15) C P T B,P Sammenhængen mellem magnetfeltet, B og H-feltet, H er B = µ 0 H og ligning 2.15 kan udtrykkes ved dh: dt = µ 0 T C P ( ) M dh (2.16) T H,P Dette er den infinitesimale temperaturændring der forekommer ved en isobar og adiabatisk infinitesimal ændring af H-feltet. Entropiændringen ved en tilsvarende isoterm proces kan findes ved at lade dt = 0 i ligning 2.13 og substituere db: ( ) M ds M = µ 0 dh (2.17) T H,P Da processen er isoterm, er den temperaturafhænge entropi konstant, og entropiændringen i ligning 2.17 er derfor lig den magnetiske entropiændring, hvorfor den er givet suffixet "M". Ligning 2.16 er det væsentlige resultat i dette afsnit. Den magnetokaloriske effekt er således givet ved målbare makroskopiske størrelser. Dermed er ( ) M T H,P den størrelse det er interessant at bestemme med henblik på at bestemme den magnetokaloriske effekt fra et makroskopisk termodynamisk synspunkt.

13 2.3 Magnetiske materialer Magnetiske materialer Da ( ) M T er central i bestemmelsen af MCE, er det naturligt at se på nogle vigtige H karakteristika ved magnetiske materialer. Herunder hvad der karakteriserer ferromagneter og paramagneter, og især hvad der sker i overgangen fra ferro- til paramagnetiske egenskaber, da det viser sig at det netop er i denne overgang den magnetokaloriske effekt er størst. Ferromagnetiske og paramagnetiske materialers magnetiske egenskaber er forårsaget af magnetiske dipoler i materialet. Dipolerne og deres magnetfelter kan forklares med udgangspunkt i spinnet af materialets uparrede elektroner. Elektronspinnet er en kvantemekanisk effekt der genererer et magnetfelt. Det magnetfelt der dannes svarer til feltet fra en magnetisk dipol. Paramagnetisme Dipolerne i et paramagnetisk materiale orienterer sig tilfældigt og uafhængigt af hinanden, når materialet ikke er påvirket af et ydre magnetfelt. Udsættes materialet for et ydre magnetfelt, vil en del af materialets magnetiske dipoler indrette sig parallelt med det ydre magnetfelt. Dette sker, da dipolerne, hvis dipolmomenter er vinklet i forhold til retningen af det ydre magnetfelt, vil opleve en kraftpåvirkning, som forsøger at indrette dem parallelt med det ydre magnetfelt. Der opstår således en overvægt af dipoler i materialet, som peger i det ydre felts retning, og det vil sige, at materialets totale magnetiske moment nu er større end nul. Feltet materialets dipoler producerer, vil naturligvis forstærke det oprindelige ydre magnetfelt og materialet siges at være blevet magnetiseret. Ved at fjerne det ydre magnetfelt orienterer dipolerne sig igen tilfældigt og materialet demagnetiseres totalt. For paramagnetiske materialer er magnetiseringen, M χ, proportional med styrken af det ydre magnetfelt, H, forudsat at feltstyrken ikke er for stor. Proportionalitetskonstanten, χ m, er dimensionsløs og kaldes den magnetiske susceptibilitet. Ferromagnetisme M χ = χ m H (2.18) I et ferromagnetisk materiale er dipolerne ikke uafhængige, men vil derimod indrette sig parallelt med de omkringliggende dipoler. Derved opstår de såkaldte ferromagnetiske domæner, hvori alle dipolerne peger i samme retning. Domænerne påvirker derfor deres nærmeste omgivelser med en stor magnetisk feltstyrke. Men da et magnetisk materiale indeholder et stort antal domæner, hvis magnetfelter er tilfældigt orienterede, vil det totale magnetiske moment i materialet være nul. Hvis der er et ydre felt, vil dipolerne indrette sig parallelt med dette, afhængig af styrken af det ydre felt. For det ferromagnetiske materiale vil ensretningen ske i domænernes grænseområder. Ved at udsætte materialet for et tilstrækkeligt stort ydre magnetfelt, vil samtlige domæner ensrettes, og magnetiseringen siges at være mættet. Endvidere har ferromagneter den egenskab, at domænerne opretholder en vis magnetisering, selv efter det ydre magnetfelt fjernes. Det ferromagnetiske materiale kan således delvist fastfryse ensretningen af domænerne. Materialets magnetiske historie har derfor stor betydning for de magnetiske egenskaber. Derudover vil magnetiseringen af ferromagnetiske materialer være meget større end magnetiseringen af paramagnetiske materialer, da interaktionen mellem domænerne vil

14 10 Teori M H Figur 2.2 Eksempel på hysteresekurve forstærke kræfterne der forsøger at ensrette dipolerne. Udsættes det ferromagnetiske materiale for et harmonisk svingende ydre magnetfelt, vil materialet magnetiseres og demagnetiseres og derefter magnetiseres i modsatte retning. Da domænerne i de ferromagnetiske materialer delvist opretholder ensretningen, vil den samlede magnetisering ikke følge det ydre felts påvirkning fuldstændigt, men i stedet være forsinket. Man kan sige at magnetiseringen opfører sig "trægt", som illustreret på figur 2.2 der viser, hvordan magnetiseringen bevæger sig i H-M-diagrammet, når det påvirkes af et varierende ydre felt. Det illustrerede fænomen kaldes hysterese. Faseovergange Ved at opvarme et ferromagnetisk materiale tilstrækkeligt vil det opnå paramagnetiske egenskaber. Der er tale om en faseovergang, hvor det ferromagnetiske materiale overgår til at være paramagnetisk. Denne overgang sker ved den karakteriske temperatur, Curietemperaturen. Ved temperaturer over Curietemperaturen er den termiske energi så stor, at de tilfældige termiske vibrationer påvirker dipolerne med større kraft end den der holder dipolerne ensrettet i domænerne. Dermed bliver det umuligt at opretholde ensretningen i domænerne, hvorfor materialet over Curietemperaturen opfører sig paramagnetisk. En faseovergang som den ferro til paramagnetiske, findes i to forskellige varianter. I den ene variant, kaldet en første ordens faseovergang, sker overgangen diskontinuert, hvilket vil sige at ved overgangen fra ferro til paramagnet sker der diskontinuerte ændringer i de af materialets egenskaber, der kan findes som de første afledte af det kemiske potential - det vil sige volumenet, entropien og magnetiseringen (Tishin & Spichkin; 2003). I den anden variant sker overgangen kontinuert, hvilket kaldes en kontinuert eller anden ordens faseovergang. Typen af faseovergang spiller ind på størrelsen af MCE, da denne er proportional med

15 2.4 Susceptibiliteten 11 M T C T Figur 2.3 Eksempel på magnetiseringskurve. Frit efter (Baierlein; 1999) ( M ) T. Jo større hældningen af magnetiseringen som funktion af temperaturen er, jo H større vil MCE være. Ved 1.ordens faseovergange går ( ) M T mod uendelig ved Curietemperaturen, mens hældningen ikke vil være ligeså stor ved kontinuerte faseovergange. H Derfor er MCE størst ved 1.ordens faseovergange. Af figur 2.3 ses, at ( ) M T er størst H ved T C og MCE vil derfor også være størst i og omkring T C Vi har nu forklaret de egenskaber, det forventes at La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 vil udvise, da de netop er ferromagnetiske materialer med ferro til paramagnetisk faseovergang i det relevante temperaturområde Susceptibiliteten Som et led i modellen til bestemmelse af den magnetokaloriske effekt udledes en sammenhæng mellem susceptibiliteten og selvinduktionen for spolen med materialekerne. Permeabiliteten, µ, for et magnetisk materiale er defineret ved den magnetiske susceptibilitet, χ m, og vakuumpermeabiliteten, µ 0. µ = µ 0 (1 + χ m ) (2.19) χ m = µ µ 0 1 (2.20) Nu ønskes susceptibileteten udtrykt som funktion af den tomme spoles selvinduktion, L, samt selvinduktioen for spolen med materialekerne, L 0. Først bestemmes B-feltet gennem den tomme spole, B 0, samt B-feltet gennem spolen med materialekerne, B. Hvis spolen antages at være idéel fås 1 Det er vist, blandt andet i (Mira et al.; 2002), at typen af faseovergang hænger sammen med størrelsen af den magnetokaloriske effekt, samt at blandingsforholdet, x, i La 0,67 Ca 0,33 x Sr xmno 3 afgør hvilken type faseovergang materialet vil udvise.

16 12 Teori B 0 dl = NIµ 0 B 0 = NIµ 0 l Bdl = NIµ B = NIµ l Fluxen gennem spolen beregnes i begge tilfælde til Φ 0 = N Φ = N B 0 da = N 2 AIµ l Bda = N 2 AIµ l Nu beregnes selvinduktionen, og de respektive permeabiliteter isoleres (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) Divideres ligning 2.26 med ligning 2.25 fås L 0 = Φ 0 I = N 2 Aµ 0 l L = Φ I = N 2 Aµ l (2.25) (2.26) µ µ 0 = L L 0 (2.27) Således kan susceptibileteten skrives som funktion af forholdet mellem selvinduktionen for den tomme spole og spolen med materialekerne Endelig kan selvinduktionen udtrykkes ved. χ m = µ µ 0 1 = L L 0 1 (2.28) L = (χ m + 1) L 0 (2.29) Dette resultat giver forholdet mellem selvinduktionerne for spolen med og uden materialekerne. Det viser sig senere, at permeabileteten, µ, er temperaturafhængig, og dermed vil selvinduktionen for spolen med materialekerne ligeledes være temperaturafhængig. Før vi påbegynder modelleringen vil vi først se på materialernes struktur og magnetiske egenskaber. 2.5 Struktur af La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 For at forklare hvorfor materialerne har de egenskaber der gør dem egnede til studier af magnetisk køling, ser vi på den rumlige struktur og sammensætningen af materialerne.

17 2.5 Struktur af La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 13 La 3+, Ca 2+, Sr 2+ O 2 Mn 3+, Mn 4+ Figur 2.4 Enhedscelle i krystal af La 0,67Ca 0,33 xsr xmno 3, frit efter (Coey et al.; 1999)) Sumformlen er som nævnt La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3. Dette stof tilhører stofklassen lanthaniummanganitter, som dækker over en række forskellige stoffer der fremkommer, når ren lanthaniummanganit, LaMnO 3, dopes med forskellige kationer. De magnetiske og elektriske egenskaber og strukturelle karakteristika af de forskellige lanthaniummanganitter kan variere kraftigt, alt afhængigt af mængden og typen af kationer. For at forstå de magnetiske og elektriske egenskaber, er det nødvendigt at kende til materialets rumlige struktur og opbygning. Ionforhold I LaMnO 3 optræder de enkelte atomer med formelle ladninger som La 3+, Mn 3+ og O 2. Hvis en del af La atomerne udskiftes med en divalent metalion som f.eks. Ca 2+ eller Sr 2+ ændres valenstrinnet af en del af Mn atomerne fra 3 til 4. Således kan forholdet mellem mængderne af Mn 3+ og Mn 4+ reguleres ved mængden af den divalente metalion. I sumformlen La 1 x Ca x MnO 3 angiver x således andelen af substitueret La og andelen af Mn, der forekommer som Mn 4+. Forekomsten af Mn i to valenstrin skal senere vise sig at være helt essentielt for de magnetiske egenskaber af La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3. Rumlig struktur Lanthaniummanganitter forefindes med samme krystalstruktur som mineralet perovskit, der har sumformlen CaT io 3. I en ideel perovskitstruktur er enhedscellen kubisk med en stor kation (La 3+ ) i hvert af de 8 hjørner, O 2 i centrum af hver af de 6 flader og en lille kation (Mn 3+ eller Mn 4+ ) midterst i kuben som skitseret i figur 2.4. Perovskitten er kun perfekt kubisk, hvis ionerne har de helt rigtige størrelser i forhold til hinanden. I modsat fald vil ionerne forskubbe sig fra deres ideelle positioner og strukturen afvige fra den kubiske. I La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 betyder det, at strukturen er rhombohedral eller orthorhombisk afhængigt af blandingsforholdet mellem Ca og Sr (Dinesen; 2004). Ligeledes afviger bindingsvinklerne fra det kubiske tilfælde, for eksempel er bindingsvinklen Mn O Mn ikke 180, som i kuben. Netop denne bindingsvinkel skal vise

18 14 Teori e e Mn 4+ O 2 Mn 3+ Figur 2.5 Skitsering af double exchange mekanismen, frit efter (Coey et al.; 1999) sig at have stor betydning for stoffets magnetiske egenskaber. 2.6 Magnetisme i La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 I dette kapitel redegøres for de grundlæggende mekanismer, der er ansvarlige for de magnetiske egenskaber af La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3. En dybdegående opsummering af den hidtil frembragte viden om disse mekanismer vil være for omfattende for denne projektrapport, så hvis læseren vil vide mere herom henvises til (Coey et al.; 1999) og (Dinesen; 2004). Oplysningerne i dette afsnit er hentet fra disse tekster. Double-exchange De magnetiske ioner i lanthaniummanganitter er Mn 3+ og Mn 4+, og deres elektronkonfiguration er henholdsvis 3d 4 og 3d 3. Som konsekvens af Hunds regel vil der være 4 uparrede elektroner i Mn 3+ og tre uparrede elektroner i Mn 4+, hvilket giver et nettospin på henholdsvis 2 og 3/2 og magnetiske momenter på 4m B og 3m B, hvor m B er Bohrs magneton. De andre atomer i materialet sørger blot for gitterstrukturen og afstanden mellem atomerne. I lanthaniummanganitter findes der forskellige interaktioner sted mellem de magnetiske ioner, som gør, at stofferne ikke blot er paramagnetiske, men også kan udvise ferro- og antiferromagnetiske 2 egenskaber. Interaktionerne afhænger af forholdet Mn 3+ /Mn 4+. Når Mn kun findes i det ene af de to valenstrin er stofferne antiferromagnetiske, men når forholdet Mn 3+ /Mn 4+ ligger omkring 2, vil stofferne være ferromagnetiske. I det ferromagnetiske område er interaktionerne domineret af double-exchange. Double-exchange muliggøres af, at Mn forefindes i to valenstrin. I afsnit 2.5 ses, at den korteste vej mellem to Mn-ioner går over en O 2 -ion. Overlap mellem Mn-ionernes d-orbitaler og en af p-orbitalerne på O 2 muliggør, at en elektron kan springe fra Mn 3+ til O 2 samtidigt med at en elektron springer fra O 2 til Mn 4+. Dette er illustreret i figur 2.5. Systemet kan modelleres som to Mn 4+ ionkerner og en enkelt elektron, der kan bevæge sig mellem disse kerner. Ved en kvantemekanisk betragtning viser det sig, at energien minimeres, når de to kerners spin er parallelle. Doubleexchange medfører altså ferromagnetisme. Eksperimentelt er det vist, at ferromagnetis- 2 I antiferromagnetiske materialer vil dipolerne i domænerne forsøge at orientere sig modsat dipolerne i nærliggende domæner. Dette betyder at antiferromagnetiske materialer modvirker magnetisering, modsat ferromagneter der spontant magnetiseres.

19 2.6 Magnetisme i La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 15 men er størst i La 1 x Ca x MnO 3, når x = 0, 33 svarende til at der er dobbelt så mange Mn 3+ som Mn 4+. Ved målinger lavet ved 80K ligger det totale magnetiske moment af La 2/3 Ca 1/3 MnO 3 tæt på, hvad det ville være, hvis magnetiseringen er mættet. Faktorer der påvirker de magnetiske egenskaber Double-exchange mekanismen er ansvarlig for de ferromagnetiske egenskaber i La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3, og da mekanismem foregår via Mn O Mn, er egenskaberne stærkt følsomme overfor ændringer af bindingsvinkel og bindingsafstand i Mn O Mn. Jo større overlap mellem de relevante orbitaler i Mn og O, jo stærkere er den ferromagnetiske kobling. Overlappet kan blandt andet øges ved at øge bindingsvinklen, hvor maksimalt overlap opnås ved en bindingsvinkel på 180. Der er som tidligere nævnt en ret klar sammenhæng mellem styrken af den ferromagnetiske kobling og stoffets Curietemperatur. Curietemperaturen kan siges at være et mål for hvor meget vibrationel energi det enkelte spin skal besidde for at overvinde påvirkningerne fra nabospinsene, som forsøger at holde spinnet parallelt. Jo stærkere ferromagnetisk kobling, jo mere vibrationel energi er påkrævet og jo højere Curietemperatur. Dette viser sig da også eksperimentelt, hvor det for La 0,67 Ca 0,33 x Sr x MnO 3 vedkommende gælder, at T C stiger med x fra 267K når x = 0 til 369K når x = 0, 33. Ionradierne af Ca 2+ og Sr 2+ er henholdsvis 0, 134nm og 0, 144nm, så når Sr 2+ indsættes på bekostning af Ca 2+ øges den gennemsnitlige ionradius af den divalente kation og krystalstrukturen nærmer sig den kubiske perovskitstruktur, hvorved Mn O Mn bindingsvinklen nærmer sig 180 og T C hæves. Som nævnt i afsnit 2.2 er størrelsen af den magnetokaloriske effekt proportional med ( M T ) H,P. Størrelsen af den magnetokaloriske effekt ved temperaturer nær T C, er altså stærkt afhængig af, hvor skarp den ferromagnetisk/paramagnetiske faseovergang er. Det viser sig, at typen af faseovergang skifter fra at være en skarp 1.ordens faseovergang til at være en kontinuert faseovergang et sted i intervallet 0.15 > x > 0.05 (Mira et al.; 2002). Ved skift fra 1.ordens til kontinuert faseovergang mindskes derved den magnetokaloriske effekt. Grunden til denne ændring i typen af faseovergang er endnu ikke fuldstændigt klarlagt, men det er vist, at der ved 1.ordens faseovergange sker en pludselig ændring af krystalparametrene, som tilskrives den dynamiske Jahn-Teller effekt (Dinesen; 2004, s.43).

20 16

21 3 Anvendte metoder til bestemmelse af MCE MCE kan i henhold til afsnit 2.2 både udtrykkes som temperaturændringen, T, der fremkommer ved en adiabatisk ændring af magnetfeltet, eller som ændringen i den magnetiske entropi, S M, ved en isoterm ændring af magnetfeltet. Hvis materialets varmekapacitet kendes, kan der omregnes mellem disse udtryk for MCE. Der skelnes overordnet mellem to slags metoder til bestemmelse af MCE - direkte og indirekte. Ved direkte metoder frembringes en temperaturændring i materialet, som registreres mere eller mindre direkte. En direkte registrering ville være at lade en termoføler måle temperaturændringen, mens en anden direkte metode kan være at registrere den trykændring i en gas, som temperaturændringen giver anledning til, som gjort i (Glorieux et al.; 1996). Indirekte metoder til bestemmelse af MCE tager ikke udgangspunkt i en temperaturændring, men måler i stedet egenskaber som magnetiseringen eller varmekapaciteten og omregner disse til T eller S M. I dette kapitel vil de forskellige metoder blive beskrevet og fordele, ulemper og fejlkilder ved de enkelte metoder vurderet. 3.1 Beskrivelse af metoder Sædvanligvis ønskes MCE bestemt i et temperaturområde omkring T C, da MCE udenfor dette område vil være ubetydelig. I forbindelse med magnetisk køling er både maxværdien og temperaturafhængigheden af MCE interessant. Direkte måling af T Den mest oplagte måde at måle T på er ved at placere prøven i et startmagnetfelt (oftest meget småt eller lig 0), måle dets starttemperatur, øge magnetfeltet og måle sluttemperaturen. T er da givet ved sluttemperaturen minus starttemperaturen. For at opnå nærved adiabatiske forhold, skal prøven være godt isoleret, og magnetfeltet skal påføres forholdsvist hurtigt. Magnetfeltet kan påføres enten ved at skubbe prøven ind i et konstant magnetfelt eller ved at have prøven placeret i feltet fra en elektromagnet og så øge elektromagnetens feltstyrke. Ved at foretage dette ved forskellige temperaturer, findes temperaturafhængigheden af MCE. I (Dinesen; 2004) gøres dette ved konstant at hæve temperaturen med 0, 5K/min og skubbe prøven ind i magnetfeltet en gang hvert halvandet minut og måle temperaturstigningen. Trods det simple princip bag direkte målinger af MCE, lader det ikke til at være en særligt benyttet metode. 17

22 18 Anvendte metoder til bestemmelse af MCE Figur 3.1 Kurverne viser magnetiseringen som funktion af H-feltet ved forskellige temperaturer og angiver metoden til bestemmelse af S M. Figuren er taget fra (Dinesen; 2004). Indirekte bestemmelse af S M ved magnetiseringsmålinger I den indirekte bestemmelse af S M ved magnetiseringsmålinger udnyttes den i afsnit 2.2 udledte sammenhæng mellem S M og magnetiseringens temperaturafhængighed. Af ligning 2.17 fås: H2 ( ) M S M = µ 0 dh (3.1) H 1 T H,P Ved at måle magnetiseringen 1 som funktion af H-feltet ved forskellige temperaturer, kan integralet løses numerisk. En sådan serie af målinger er afbildet i figur 3.1. S M kan ved en given temperatur udregnes som minus µ 0 ganget med arealet mellem to tilstødende isoterme magnetiseringskurver divideret med temperaturforskellen på isotermerne. Arealet er skraveret på figuren og metoden til udregning af S M er angivet i højre side af figuren. Den indirekte bestemmelse af MCE ved magnetiseringsmålinger lader til at være den hyppigst anvendte metode til bestemmelse af MCE ved temperaturer nær stuetemperatur. Se for eksempel (Dinesen; 2004), (Liu et al.; 2002), (Mira et al.; 2002), (Guo et al.; 1997) og (Guo et al.; 1998). Indirekte bestemmelse af S M og T ved måling af varmekapacitet I denne metode udnyttes, at entropien af et materiale kan findes ved sammenhængen S(T ) = T 0 C(T ) dt (3.2) T Ved at måle varmekapaciteten ved H-feltet, H 1, over temperaturintervallet T = 0 T, kan entropien, S H1 (T ), af materialet ved temperaturen, T, og H-feltet, H 1, bestemmes. På tilsvarende vis kan entropien, S H2 (T ), af materialet ved samme temperatur men ved H-feltet, H 2, findes. S M kan så bestemmes ved at trække de to entropier fra hinanden. S M = S H2 (T ) S H1 (T ) = S H2 S H1 (3.3) 1 Magnetiseringsmålinger foregår typisk med et vibrating sample magnetometer som i (Mira et al.; 2002), (Liu et al.; 2002), (Guo et al.; 1997), (Dinesen; 2004), (Guo et al.; 1998) og (Mira et al.; 1991)

23 3.2 Fordele, ulemper og fejlkilder 19 T ad er den adiabatiske temperaturændring, som fremkommer ved ændring af H-feltet. At den er adiabatisk medfører 2, at den også er isentropisk. Ved brug af ligning 3.2 kan entropien findes ved en given temperatur og ved at udnytte dette, kan de to temperaturer, hvor S H1 = S H2, bestemmes som T H1 og T H2. Den adiabatiske temperaturændring er da givet som T ad (T ) = T H2 T H1 (3.4) Det lader ikke til, at denne metode er anvendt til bestemmelse af MCE for den type materialer vi beskæftiger os med. Metoden er beskrevet i (Gschneidner & Pecharsky; 2000) 3.2 Fordele, ulemper og fejlkilder Alle tre metoder har hver deres fordele, ulemper og anvendelsesområder. Ingen af dem giver særligt præcise bestemmelser af MCE, idet usikkerheden typisk er 5 10% og ofte oppe over 20% (Gschneidner & Pecharsky; 2000). I det følgende vil hver af metoderne blive gennemgået. Direkte måling af T Denne metode giver T direkte og kræver altså ingen yderligere databehandling. Til gengæld er selve målingerne tidskrævende i forhold til de indirekte metoder. Da der sker en temperaturændring under målingen, er temperaturen, hvor MCE bestemmes, ikke særligt veldefineret. Det er derfor svært at få en detaljeret bestemmelse af temperaturafhængigheden af MCE. Den primære fejlkilde ved denne metode stammer fra, at den skal foregå under adiabatiske forhold, for at det er den totale MCE der måles. Dette opnås bedst ved god isolering af materialet og hurtig variation af magnetfeltet. En ulempe er, at det er svært at foretage en omfattende vurdering af usikkerhederne. Yderligere fejlkilder er magnetfeltets påvirkning af elektroniske temperaturfølere samt usikkerheder på feltstørrelsen. (Gschneidner & Pecharsky; 2000) Indirekte bestemmelse af S M ved magnetiseringsmålinger Bestemmelsen af S M ud fra magnetiseringsmålinger er en forholdsvist hurtig metode, men kræver en del databehandling grundet den numeriske integration af udtrykket i ligning 3.1. Blandt fordelene er også, at det er muligt at lave en detaljeret bestemmelse af temperaturafhængigheden af MCE i modsætning til den direkte metode. Usikkerhederne er ikke svære at bestemme, idet de stammer fra usikkerheden på bestemmelsen af magnetiseringen og H-feltet. Da løsningen af integralet i ligning 3.1 foretages numerisk, må de infinitesimale størrelser dm, dt og dh approksimeres med de endelige størrelser M, T og H. Også dette gør S M bestemmelsen usikker. (Gschneidner & Pecharsky; 2000) Indirekte bestemmelse af S M og T ved måling af varmekapacitet Af alle metoderne er varmekapacitetsmetoden helt klart den mest præcise ved lave temperaturer, men grundet integrationen i ligning 3.2 som går helt fra T = 0K og den deraf 2 Under antagelse af at processen også er reversibel

24 20 Anvendte metoder til bestemmelse af MCE medfølgende summation af usikkerheder, er usikkerheden ved stuetemperatur sammenlignelig med usikkerhederne ved de to andre metoder. Ligesom i den anden indirekte metode kan temperaturafhængigheden bestemmes detaljeret og usikkerhederne kan vurderes, hvis usikkerheden på varmekapaciteten og feltstørrelsen kendes. (Gschneidner & Pecharsky; 2000) 3.3 Afrunding Bortset fra (Glorieux et al.; 1996) lader det til, at alle eksperimentelle bestemmelser af MCE foregår ved magnetfeltsændringer af størrelsesordener på mellem 1 og 10T. Endvidere er der ikke foretaget undersøgelser af frekvensafhængigheden af MCE, men der er primært fokuseret på temperaturafhængigheden af MCE af diverse magnetokaloriske materialer. Langt de fleste undersøgelser anvender magnetiseringsmålinger til bestemmelse af MCE, og der eksperimenteres tilsyneladende ikke med måleteknikken (igen med (Glorieux et al.; 1996) som undtagelse). Der har været meget fokus på at finde nye materialer, som udviser stor MCE omkring stuetemperatur, samt på at forklare hvorfor nogle materialer udviser 1.ordens ferro/paramagnetisk faseovergang mens andre har en kontinuert faseovergang. De gængse måleteknikker har i rimeligt omfang været tilstrækkelige til disse formål. Det kunne dog også være interessant at undersøge størrelsen af MCE ved lave magnetfelter og ved oscillerende magnetfelter. I dette projekt vil en ny metode til bestemmelse af MCE under disse forhold blive udviklet og afprøvet.

25 4 Modellering I modelleringsafsnittet udledes den 3ω-metode der ligger til grund for de eksperimentelle undersøgelser i denne rapport. Da spolen er central i eksperimentet, er det nødvendigt at modellere dens egenskaber således at det kan afgøres hvordan indvirkningen af materialet vil påvirke spændingsoutputtet. 4.1 Modellering af spolen Materialet, hvis magnetokaloriske effekt vi ønsker at bestemme, placeres som tidligere nævnt i et hylster i en spole. Spolen opfører sig ikke som en ideel spole, da der dels vil være en ohmsk modstand i viklingerne og da den tætviklede ledning også giver anledning til kapacitive egenskaber. For at kunne tage højde for disse effekter i databehandlingen, er det nødvendigt at vide mest muligt om spolens opførsel. Derfor forsøges at lave en model over spolen, som så vidt muligt beskriver den virkelige spoles opførsel. Model af spolen Der tages udgangspunkt i, at spolen kan beskrives ved tre elementer: En selvinduktion med induktansen L 0, en ohmsk modstand med modstanden R p og en kapacitor med kapacitansen C 0. Induktansen kommer selvfølgelig af, at ledningen er viklet som en spole og modstanden stammer fra den elektriske modstand i ledningerne. Når der løber en strøm gennem spolen, vil der være en lille spændingsforskel mellem tilstødende viklinger og dette virker som en lille kapacitor. Da det er den samme strømstyrke, der løber gennem selvinduktionen og den ohmske modstand, svarer det til, at disse to elementer sidder i serie. Den vekselstrøm, der så at sige springer mellem tilstødende viklinger, løber ikke også gennem selvinduktionen og den ohmske modstand. Derfor skal kapacitoren sidde i parallelforbindelse med de to andre elementer. Denne modellering af spolen kan afbildes som det elektriske kredsløb i figur 4.1. Den inverse impedans af kredsløbet er givet ved: 1 Z p = iωc 0 + Impedansen kan omregnes til en induktans ved L = Z p iω. 1 iωl 0 + R p (4.1) Bestemmelse af C 0, L 0 og R p For at bestemme C 0, L 0 og R p i modellen, måles kapacitansen af den tomme spole på et LCR-meter. Målingen blev foretaget ved at forbinde spolen direkte til LCR-meteret via krokodillenæb og foretage et logaritmisk frekvenssweep fra 5Hz til 10000kHz ved stuetemperatur. Den målte kapacitans omregnedes til en induktans og realdelen af 21

26 22 Modellering C 0 V R L 0 Figur 4.1 Model af spole real(l) log(fr) Figur 4.2 Plot af realdelen af den målte induktans målt med LCR-meteret (+ er) og den fittede teoretiske kurve (fuldt optrukken linie) denne plottedes som funktion af logaritmen til frekvensen. I samme koordinatsystem plottedes også den teoretiske induktans og parametrene C 0, L 0 og R p fittedes således, at den teoretiske kurve så vidt muligt faldt sammen med målepunkterne. Den fittede teoretiske kurve og de målte værdier af selvinduktionen er afbildet i figur 4.2 Den teoretiske kurve er fremkommet ved at bruge værdierne L 0 = 34mH, R p = 228Ω og C 0 = F. Det ses, at når frekvensen er mindre end ca. 100Hz, afviger den målte selvinduktion kraftigt fra den teoretiske. Her er modellen slet ikke tilstrækkelig

27 4.1 Modellering af spolen 23 og i fittet er der lagt vægt på at få den teoretiske kurve til at stemme overens med målingerne i området omkring resonansfrekvensen. I frekvensområdet over 100Hz ser det ud til, at modellen er tilstrækkelig til at beskrive den tomme spole. Et muligt bud på afvigelsen fra modellen ved frekvenser under 100Hz er, at modellen beskriver de faktiske forhold i spolen, men at måleudstyret ikke er tilstrækkeligt præcist. Hvis der er en lille fejl i bestemmelsen af fasedrejningen på målingerne, vil det betyde, at den ohmske modstand vil bidrage til realdelen af selvinduktionen. For at nå til denne konklusion noteres først at C 0 er meget lille og derfor kan negligeres ved lave frekvenser i ligning 4.1. Induktansen er så givet som L = L 0 i R p ω (4.2) Heraf ses, at R p kun burde bidrage til den imaginære del af induktansen, men hvis der er en usikkerhed på den målte fasedrejning, vil dette betyde, at leddet R p ω ikke er rent imaginært. Rp ω bliver større jo lavere frekvensen er, og hvis en vis procentdel af denne størrelse som følge af fejl på den målte fasedrejning bidrager til realdelen af L, kan det forklare afvigelsen ved lave frekvenser. Ved at forbedre målepræcisionen, burde afvigelsen forskydes mod endnu lavere frekvenser. Da de endelige målinger foretages med multimeteret, laves en måling af induktansen på multimeteret. Målingen foretages ved cirka 29 C og med opstillingen beskrevet i afsnit 5.3. Der laves et logaritisk frekvenssweep fra 0, 1Hz 100Hz. Kredsløbet der måles på med multimeteret er som vist på figur 5.2. Det følger, at impedansen af spolen Z p er givet ved Z p = R f Ũ (4.3) Ũ Ṽp Heraf udregnes induktansen og realdelen plottes som funktion af logaritmen til frekvensen. Resultatet ses i figur 4.3 sammen med den teoretiske kurve (som bare er en vandret streg med værdien 33, 95mH). Målingerne med multimeteret stemmer noget bedre overens med modellen, idet induktansen først begynder at divergere ved frekvenser mindre end 1Hz. Konklusionen er, at kredsløbet på figur 4.1, er en god modellering af spolen. Ved stuetemperatur opnås det bedste fit, hvis konstanterne er L 0 = 33, 95mH, R p = 228Ω og C 0 = F. Når der måles i frekvensområdet 0, 1 100Hz, er de kapacitive egenskaber så små, at de kan negligeres. Beregning af spolens egenskaber Når en spænding sættes over spolen, vil der løbe en strøm gennem. Dette medfører to ting: For det første vil der som følge af R p afsættes en effekt i spolen, som giver anledning til en opvarmning. For det andet skabes der et magnetfelt i og omkring spolen, og det er ændringerne i dette magnetfelt, som giver temperaturændringerne i materialet via MCE. Der er derfor god grund til at vurdere størrelsen af strømmen gennem spolen. R p og L 0 er temperaturafhængige og strømmen, magnetfeltet og effekten afsat i spolen vil således også være temperaturafhængige, men i det følgende vil der blot blive givet et estimat af disse størrelser, og der vil blive set bort fra, at de afhænger af temperaturen. Da impedansen af spolen, Zp, er frekvensafhængig, vil også strømmen, H-feltet og effekten være frekvensafhængige. Det er derfor vigtigt at undersøge, hvorledes disse størrelser afhænger af frekvensen.