Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
|
|
- Emil Carlsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
2 Sidste gang: Sætning: Der findes ikke noget kort, der har konstant målestok. Sætning: Der findes ikke noget kort, der bevarer både vinkler og areal. Den gode nyhed Der findes kort, der bevarer vinkler Der findes kort, der bevarer areal. Der findes kort, der sender storcirkler i storcirkler (men så bevarer det ikke vinkler) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
3 Hvad er målforhold?? m(γ) = s S. P = γ(0), m(p, γ) = lim t 0 s(t) S(t) af punktet P og retningen, γ (t) Målforhold Idag: Målforhold afhænger Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
4 Sidst Muligt at regne på projektioner: Planprojektioner (λ, ϕ) r(ϕ)(cos λ, sin λ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
5 Stereografisk projektion r(ϕ) = 2 cos ϕ 1+sin ϕ Opgaver sidst: Længden af en breddecirkel før projektion 2π cos ϕ. Efter stereografisk projektion: 2π 2 cos ϕ 1+sin ϕ m(b ϕ ) = sin ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
6 Ortografisk planprojektion r(ϕ) = cos ϕ m(b ϕ ) = 1 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
7 Gnomisk planprojektion r(ϕ) = cos ϕ sin ϕ m(b ϕ ) = 1 sin ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
8 Sidste gang i opgaver Radius i en breddecirkel på kuglen med radius R er R cos ϕ Målestok langs en breddecirkel for stereografisk projektion m(b ϕ ) = m(b π/2 ) = 1. Ellers m(b ϕ ) > sin ϕ Generelt for planprojektioner (λ, ϕ) r(ϕ)(cos λ, sin λ) m(b ϕ ) = r(ϕ) cos ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
9 Spørgsmål Hvordan beregnes målforholdet i et punkt og i en given retning? Hvordan afgør man, om en given projektion er vinkeltro(konform), arealtro,...? Hvordan konstruerer man afbildninger, der er vinkeltro, arealtro,...? Hvordan sørger man for, at målforholdet ikke afviger for meget fra 1 på et givet område? Nøjagtighedskrav Redskaber: Kurvelængde. vinkler mellem kurver (næste gang) arealberegning (næste gang) Differentiation og kædereglen. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
10 Kurver - analytisk beskrivelse Grafer (x, f (x)). Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
11 Kurver - analytisk beskrivelse Hvad med cirklen? - Ikke en graf... Hvad med kurver i 3D? Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
12 Parameterfremstillinger for kurver Eks. γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)) α(t) = (R cos(t), R sin(t)) cirkel β(t) = OP + t v linje γ(t) = (a cos(t), b sin(t)) ellipse (ligning x 2 + y 2 ) a 2 b 2 µ(t) = (r cos(t), r sin(t), at) skruelinje Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
13 γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)) har hastighedsvektor (tangentvektor) γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)) Fart: γ (t) = γ 1 (t)2 + γ 2 (t)2 + γ 3 (t)2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
14 En parametrisering er et valg af gennemløbsfart: α(t) = (cos(2t), sin(2t)) α (t) = 2 β(s) = (cos(s 3 ), sin(s 3 )) samme billedkurve - med passende valg af interval for t og s β (s) = Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
15 Kurver på kuglefladen Eksempel: γ(t) = X Y Z = R cos(2t) cos(t 2 ) R cos(2t) sin(t 2 )) R sin(2t) R cos(ϕ) cos(λ) R cos(ϕ) sin λ) R sin(ϕ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
16 Kurver på kuglefladen X Y Z = γ(t) = R cos(ϕ) cos(λ) R cos(ϕ) sin λ) R sin(ϕ) R cos(ϕ(t)) cos(λ(t)) R cos(ϕ(t)) sin(λ(t)) R sin(ϕ(t)) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
17 Længden af et kurvestykke. Fra γ(t 0 ) til γ(t 1 ) s = t1 t 0 γ (t) dt Ofte vanskeligt at regne ud - ikke pæne stamfunktioner. Eks. buestykker i ellipser. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
18 Målforhold Archimedes arealtro cylinderprojektion Målforhold langs længdegrader afhænger af φ. Der strækkes langs breddecirkler og krympes langs meridianerne. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
19 Målforhold b a (f γ) (s) ds b a γ (s) ds m(γ) = s S = t t (f γ) (s) ds m(p, γ) = lim 0 t t0 t t γ (s) ds 0 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
20 Målforhold m(p, γ) = lim t t0 t t 0 (f γ) (s) ds t t 0 γ (s) ds L Hospitals regel (tænk på Taylorudvikling af tæller og nævner) = lim t t0 d t dt t 0 (f γ) (s) ds t t 0 γ (s) ds d dt = (f γ) (t 0 ) γ (t 0 ) = Df (γ(t 0))γ (t 0 ) γ (t 0 ) Altså m(p, γ (t 0 )) - punkt og retning. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
21 Beregning af forvanskninger PRINCIP Forvanskning ved X Forvanskninger ved f er Forvanskning ved X X(λ, ϕ) koordinater på kuglen/ellipsoiden. X(λ, ϕ) er kortet. Ønskes: Systematisk beregning - samme slags udregninger for X som for X. BEREGNING af forvanskninger ved afbildning fra (λ, ϕ)-planen til kuglen/ellipsoiden/et kort/... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
22 Eksempel X(λ, ϕ) = X Y Z X(λ, ϕ) = = R cos(ϕ) cos(λ) R cos(ϕ) sin λ) R sin(ϕ) 2 cos ϕ (cos λ, sin λ) 1 + sin ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
23 Principskitse Kurver i (λ, ϕ)-planen kurver på kuglen/ellipsoiden/i kortet. Via X og X. Kurver har formen X(λ(t), ϕ(t)) (eller X(λ(t), ϕ(t))) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
24 Eksempler X(λ, ϕ) = R cos(ϕ) cos(λ) R cos(ϕ) sin λ) R sin(ϕ) (λ(t), ϕ(t)) = (λ 0, t) X(λ 0, t) er en parameterkurve (λ(s), ϕ(s)) = (s, ϕ 0 ) X(s, ϕ 0 ) er en parameterkurve X(λ, ϕ) = (λ, ln(tan(π/4 + ϕ/2))) (Mercator projektionen) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
25 Krumme koordinater Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
26 Systematisering af beregningerne γ(t) = X(λ(t), ϕ(t)) Ønskes: Beregning af γ (t) og γ (t) - til brug i vinkel- og længde og målforholdberegninger. Værktøj: Kædereglen... γ (t) = dγ dt (t) = X λ(λ(t), ϕ(t))λ (t) + X ϕ (λ(t), ϕ(t))ϕ (t)) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
27 γ (t) 2 = γ (t) γ (t) = (X λ (λ(t), ϕ(t))λ (t) + X ϕ (λ(t), ϕ(t))ϕ (t)) (X λ (λ(t), ϕ(t))λ (t) + X ϕ (λ(t), ϕ(t))ϕ (t)) = X λ (λ(t), ϕ(t)) X λ (λ(t), ϕ(t))(λ (t)) 2 + 2X λ (λ(t), ϕ(t)) X ϕ (λ(t), ϕ(t))λ (t)ϕ (t) +X ϕ (λ(t), ϕ(t)) X ϕ (λ(t), ϕ(t))(ϕ (t)) 2 Kortere - med indmaden i funktionerne underforstået γ (t) 2 = (X λ X λ )(λ (t)) 2 + 2(X λ X ϕ )λ (t)ϕ (t) + (X ϕ X ϕ )(ϕ (t)) 2 Notation: E(λ, ϕ) = X λ X λ, F(λ, ϕ) = X λ X ϕ, G(λ, ϕ) = X ϕ X ϕ γ (t) 2 = E(λ(t), ϕ(t))(λ (t)) 2 + 2F(λ(t), ϕ(t))λ (t)ϕ (t) + G(λ(t), ϕ(t))(ϕ (t)) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
28 Første fundamentalform Den deformerede Pythagoras. (ds) 2 = E(dλ) 2 + 2Fdλdϕ + G(dϕ) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
29 Første fundamentalform for kuglefladen ( X λ (λ, ϕ) = X(λ, ϕ) = R cos ϕ cos λ R cos ϕ sin λ R sin ϕ ( X ϕ (λ, ϕ) = Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
30 Første fundamentalform for kuglefladen X(λ, ϕ) = X λ (λ, ϕ) = X ϕ (λ, ϕ) = R cos ϕ cos λ R cos ϕ sin λ R sin ϕ R cos ϕ sin λ R cos ϕ cos λ 0 R sin ϕ cos λ R sin ϕ sin λ R cos ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
31 Første fundamentalform for kuglefladen E(λ, ϕ) = X λ X λ = R cos ϕ sin λ R cos ϕ cos λ 0 R cos ϕ sin λ R cos ϕ cos λ 0 = Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
32 Første fundamentalform for kuglefladen F(λ, ϕ) = X λ X ϕ = R cos ϕ sin λ R cos ϕ cos λ 0 R sin ϕ cos λ R sin ϕ sin λ R cos ϕ = Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
33 Første fundamentalform for kuglefladen G(λ, ϕ) = X ϕ X ϕ = R sin ϕ cos λ R sin ϕ sin λ R cos ϕ R sin ϕ cos λ R sin ϕ sin λ R cos ϕ = Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
34 Første fundamentalform for kuglefladen E(λ, ϕ) = R 2 cos 2 (ϕ), F(λ, ϕ) = 0, G(λ, ϕ) = R 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
35 Første fundamentalform for ellipsoiden X(λ, ϕ) = N cos ϕ cos λ N cos ϕ sin λ N (1 e 2 ) sin ϕ E = N 2 cos 2 ϕ Hvor N = F = 0 G = M 2 a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ M = a 2 b 2 (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ) 3/2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
36 Målforhold og første fundamentalform m(p, γ (t 0 )) = (f γ) (t 0 ) γ (t 0 ) = d dt ( X(λ(t), ϕ(t)))(t 0 ) d dt (X(λ(t), ϕ(t)))(t 0) m((λ, ϕ), γ ) 2 = Ẽ(λ ) Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 E(λ ) 2 + 2Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
37 Udregning af målforhold Udregn koefficienterne til første fundamentalform for kuglen/ellipsoiden, E, F og G Udregn koefficienterne til første fundamentalform for kortet, Ẽ, F og G Målforholdet i retning efter kurven givet ved (λ(t), ϕ(t) fås af m((λ, ϕ), γ ) 2 = Ẽ(λ ) Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 E(λ ) 2 + 2Fλ ϕ + G(ϕ ) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
38 Målforhold og retning Sætning Målforholdet afhænger kun af punktet (λ, ϕ) og tangentretningen γ (t) (γ (t)) En retning er givet ved en vinkel: (λ, ϕ ) = (cos α, sin α) - f.eks. givet ved en linje i (λ, ϕ)-planen (λ(t), ϕ(t)) = (λ 0 + t cos α, ϕ 0 + t sin α) m(p, α) 2 = Ẽ cos2 α + 2 F cos α sin α + G sin 2 α E cos 2 α + 2F cos α sin α + G sin 2 α Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 38
Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereKortprojektioner L mm Problemformulering
Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder
Læs mereAALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereKortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet
Kortprojektioner og forvanskninger Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Juni 2006 Chapter 1 Forord Disse noter er skrevet til landinspektørstudiet ved Aalborg Universitet.
Læs mereKortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.
Kortprojektioner L4 2016 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mere9940 8848
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: ca.10:15-12:00 Opgaveregning i grupperummene Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver -
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereOplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv
0. April 2007 Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv Af Astrid Pørtner Nielsen & Lise Danelund Introduktion: Formålet med projektet
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2016 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2017 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup & Iver Ottosen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2017
Læs mereKurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kurver og Flader 2013 Lisbeth Fajstrup (AAU)
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen htx112-mat/a-30082011 Tirsdag den 30. august 2011 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2011 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereAAU Landinspektøruddannelsen
AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereGAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN
GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA03
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereKurver i planen og rummet
Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er
Læs mereRumgeometri med TI-Nspire CAS 3.2: Kuglen, keglen og cylinderen
Rumgeometri med TI-Nspire CAS 3.2: Kuglen, keglen og cylinderen Indhold 1. Kuglen... 1 1.1 Parameterfremstillinger: Betydningen af parametrene t og u... 1 1.2 Kuglens attributer: Gitterinddelinger, transparens
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2019 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Iver Ottosen & Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2019
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx
Læs mereVektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mere2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.
Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen 5 timers skriftlig prøve htx103-mat/a-17122010 redag den 17. december 2010 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2010 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler
Læs mereI det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π
Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereDynamiske Systemer. SIR-modellen. Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104
Dynamiske Systemer SIR-modellen Matematik 3. semester 08 Gr. G2-104 Titel: Dynamiske systemer -SIR-modellen Tema: Dynamiske systemer -iteration og approksimation Projektperiode: MAT1, 3. semester 2008
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04
Læs mereUddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne
Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2017-forår 2018 Institution Videndjurs, Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereGU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA
GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereKurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion
Kurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark 9.5.2011 Normal- og hovedkrumninger i et fladepunkt Normalkrumningen k = k n
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mere