Stamfunktionsproblemet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Stamfunktionsproblemet"

Transkript

1 Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Stamfunktioner Antallet af stamfunktioner til en funktion Det seje ved analysens fundamentalsætning Generelle regler Huskeregler Udvalgte beviser Lommeregnere og stamfunktioner Resumé Ubestemt integration Det ubestemte integraltegn Et dumt tegn Opsummering Bevægelse: En anvendelse 21 5 Differentialligninger Stamfunktioner og differentialligninger

3 Resumé I dette dokument indfører vi begrebet en stamfunktion til en given funktion. Vi gennemgår nogle teknikker til at bestemme stamfunktioner og præsenterer nogle generelle resultater om hvilke funktioner der har stamfunktioner. Til sidst indfører vi det ubestemte integraltegn (og forklarer hvorfor det er et dumt tegn.) 1 Introduktion Måske er det særligt udbredt blandt os matematikere, men det er faktisk en ganske almindelig del af den menneskelige natur: Når vi har lært, opdaget eller opfundet en proces af typen 1 : Udgangspunkt Resultat så føler vi ret hurtigt en trang til at forstå sammenhængen mellem udgangspunkt og resultat baglæns. Mere præcist dukker følgende spørgsmål op: Hvis man ønsker et bestemt resultat, hvordan skal man så vælge sit udgangspunkt for at opnå dette resultat? Eksempel 1. Der findes tonsvis af eksempler på dette fænomen i matematik. Tænk f.eks. på den proces at opløfte et tal i anden potens. På et tidspunkt har man gjort det så mange gange at spørgsmålet melder sig: Hvis jeg har lyst til at opløfte et tal i anden potens, og jeg ønsker at det færdige resultat giver 7, hvilket tal skal jeg så starte med? Dette 1 Forestil dig venligst en sådan proces som har betydning i dit liv. Det kunne f.eks. være at bygge et hus, at bage en kage, at blande to forskellige farver maling eller at spille et spil efter en bestemt strategi eller taktik. Man kan få næsten alting til at være et eksempel, bortset fra at se fjernsyn! side 1

4 svarer til at man ønsker en løsning til ligningen: x 2 = 7 hvilket leder til opfindelsen af kvadratrodsfunktionen. I det hele taget kan enhver ligning opfattes som at man ønsker at en bestemt udregning (en proces) skal give et bestemt resultat, og man vil gerne vide hvilket tal man skal starte med. Funktioner kan også betragtes som processer der starter med et udgangspunkt (et element i definitionsmængden) og producerer et færdigt resultat (funktionsværdien). Dermed handler hele historien om injektivitet og inverse funktioner om hvorvidt sådan en proces kan vendes om. Den proces som vi nu vil forsøge at forstå baglæns er differentiation. Forudsætninger Det er nødvendigt at du har godt styr på funktionsbegrebet 2 og på hvordan man differentierer funktioner 3 inden du læser dette dokument. Bemærk: Det er ikke tilstrækkeligt at kunne få sin lommeregner (eller en anden maskine) til at differentiere. Hvis ikke man har prøvet at bruge differentiationsreglerne i hånden, så bliver det enormt svært at følge med når vi skal i gang med at bruge dem baglæns. Desuden bruger vi begrebet kontinuitet flere gange, så det kan også være en god ide at repetere hvad en kontinuert funktion er 4. 2 Stamfunktioner Vi starter med at definere begrebet en stamfunktion : 2 Læs om pointen med funktioner her 3 Læs om differentiation her 4 Læs om kontinuitet her side 2

5 Definition 2. En funktion, F, siges at være en stamfunktion til en anden funktion, f, hvis F er differentiabel og: F = f Med andre ord: En stamfunktion til f er en funktion, F, som differentieret giver f. At finde en stamfunktion til en given funktion går altså ud på at lave differentiation baglæns. Altså at gætte en funktion som giver det rigtige når den differentieres. Bemærkning om bogstaverne: Man kan let komme til at lægge for meget betydning i bogstavbetegnelserne i definition 2. Husk at bogstaverne (lige som i alle andre sætninger og definitioner) bare er navne som gør det nemmere at omtale de to funktioner. Det havde været præcis den samme definition hvis vi havde skrevet Søren i stedet for f og Peter i stedet for F alle steder. Den havde blot været mere irriterende at læse. Det er altså ikke en regel at en stamfunktion altid skal navngives med det tilsvarende store bogstav som den funktion den er stamfunktion til. Det ville være umuligt at overholde en sådan regel hvis man f.eks. besluttede sig for senere at finde en stamfunktion til stamfunktionen. Mange kommer i starten til at skrive formuleringer som: Vi ved at f(x) =..., derfor er F (x) =... Dette er en meningsløs udtalelse hvis ikke man fortæller hvad forholdet mellem de to funktioner er. I stedet vil man ofte bruge formuleringer i stil med: Funktionen, f, givet ved: f(x) =... har en stamfunktion, F, givet ved: F (x) =... side 3

6 Eksempel 3. Hvis man tager oversigten over differentiation af basale funktionstyper og læser den baglæns, så kan man bruge den som en oversigt over stamfunktioner. F.eks. kan man sige at: Sinus er en stamfunktion til cosinus Øvelse 4. Betragt funktionerne f og g givet ved: og f(x) = x 2 g(x) = 2x Hvilken af disse funktioner er en stamfunktion til den anden? 2.1 Antallet af stamfunktioner til en funktion En given funktion kan godt have mere end én stamfunktion! Derfor skal man passe meget på med at tale om f s stamfunktion eller stamfunktionen til f. I stedet bruger man formuleringer som: En af f s stamfunktioner eller en stamfunktion til f. Følgende to sætninger hjælper med at holde styr på hvilke (og hvor mange) stamfunktioner en enkelt funktion kan have. Sætning 5. Hvis F er en stamfunktion til f og hvis k er et reelt tal, så er funktionen G givet ved: også en stamfunktion til f. G(x) = F (x) + k side 4

7 Sagt i ord: Hvis man lægger en konstant til en stamfunktion, så får man en stamfunktion mere. Bevis. Vi antager at F er en stamfunktion til f, dvs. F (x) = f(x) For at vise at G er en stamfunktion til f, differentierer vi den. Eftersom G er defineret ved: kan vi differentiere den ledvist: G(x) = F (x) + k G (x) = F (x) + 0 = f(x) Derfor er G en stamfunktion til f. Sætning 6. Hvis f er en funktion som er defineret på et åbent interval, ]a; b[, og F 1 og F 2 er to forskellige stamfunktioner til f, så findes der en reel konstant, k, sådan at: F 1 (x) = F 2 (x) + k, for alle x ]a; b[ Sagt med smarte ord: To forskellige stamfunktioner vil aldrig afvige med mere end en additiv konstant. Bevis. Beviset for sætning 6 er overraskende svært. I første omgang kan vi sige at hvis F 1 og F 2 er to forskellige stamfunktioner til f, så vil funktionen G, defineret ved: opfylde at: G(x) = F 1 (x) F 2 (x) G (x) = F 1(x) F 2(x) = f(x) f(x) = 0 side 5

8 for alle elementer x i definitionsmængden. Altså: Denne funktion, G, har en grafhældning på nul i alle punkter. Intuitivt er det klart at dette må betyde at G er konstant. Det er dog temmeligt svært at argumentere præcist for. (Blandt andet har man brug for at definitionsmængden er et interval!) Da argumentet handler om differentiation, og ikke integration, vil vi dog gemme det til en andet dokument 5 og bare blive enige om at G selvfølgelig er nødt til at være konstant. Nu er der kun tilbage at give G s konstante funktionsværdi et navn (lad os sige: k) og konkludere at eftersom: F 1 (x) F 2 (x) = G(x) = k så er F 1 (x) = F 2 (x) + k Øvelse 7. Sætning 5 og 6 er nærmest spejlbilleder af hinanden. I sætning 6 har vi dog sneget en ekstra antagelse ind om at funktionerne er defineret på et åbent interval. Prøv at argumentere for hvorfor denne antagelse er nødvendig. Det gør man ved at glemme antagelsen og vise at sætningen derved bliver forkert. Med andre ord: Find et eksempel på en funktion som har to forskellige stamfunktioner, hvor disse to stamfunktioner ikke bare afviger med en konstant. (Det er selvfølgelig en god ide at kigge efter en funktion som ikke er defineret på et åbent interval.) Indtil nu har vi set at hvis en funktion bare har en enkelt stamfunktion, så har den uendeligt mange andre, og de fremkommer alle sammen ved at lægge en konstant til den stamfunktion man allerede har. 5 Du kan finder argumentet her side 6

9 Vi mangler at holde styr på hvilke funktioner der overhovedet har stamfunktioner. Det handler den næste sætning om: Sætning 8 (Analysens Fundamentalsætning, del 1). Hvis f er en funktion som er defineret på et åbent interval: ]a; b[ og som er kontinuert, så har f en stamfunktion. Vi kommer overhovedet ikke i nærheden af at bevise Analysens Fundamentalsætning i dette dokument. (Som navnet antyder, er det en temmelig tung sætning.) I stedet vil vi lige overveje hvor underlig den egentlig er. 2.2 Det seje ved analysens fundamentalsætning Dette afsnit skal betragtes som underholdning for de mest ambitiøse og interesserede læsere. Du kan uden problemer springe det over og hoppe videre til afsnit 2.3. Sætning 8 er fantastisk. Den siger løst sagt at alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner. Det er ikke særligt svært for en funktion at være kontinuert (eftersom enhver differentiabel funktion automatisk er kontinuert, er det f.eks. nemmere at være kontinuert end at være differentiabel), så man kan tænke på at de fleste funktioner er kontinuerte. Dette kan virke mystisk, hvis man tænker over antallet af kontinuerte funktioner i forhold til de differentiable. Hvis hver eneste kontinuert funktion skal have uendeligt mange differentiable funktioner som stamfunktioner (se figur 1), hvordan kan der så være flere kontinuerte funktioner end differentiable? Dette tilsyneladende paradoks skyldes at man skal passe på med at tale om antallet af funktioner. Det viser sig at der godt kan være flere kontinuerte funktioner end differentiable og også være flere differentiable funktioner end kontinuerte, fordi der er uendeligt mange af begge dele 6. 6 Læs mere om kardinalitetsbegrebet og uendelighed her side 7

10 Figur 1: Hver eneste kontinuert funktion har uendeligt mange stamfunktioner. Mere mystik I betragtning af at alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner er det overraskende hvor svært det kan være at finde en stamfunktion i praksis. Allerede en uskyldig produktfunktion, som f.eks. f, givet ved: f(x) = x cos(x) kan være ret svær at finde en stamfunktion til (prøv selv!) Det er endnu værre med sammensatte funktioner, som f.eks. g, givet ved: g(x) = cos(x) 2 Og det bliver hurtigt helt vanvittigt. F.eks. kan jeg roligt udlove øl, chokolade og andre præmier til enhver der finder 7 mig en stam- 7 I forstanden: Opskriver et funktionsudtryk for en stamfunktion, udelukkende ved at bruge almindelige regneoperationer. Altså: Ingen grænseværdier, ingen integraltegn, og ingen navne på funktioner som er defineret seperat (såsom Fresnel funktionerne). side 8

11 funktion til funktionen h, givet ved: h(x) = cos(x 2 ) Eksempel 9. Nogle funktioner har stamfunktioner som slet ikke kan skrives op med almindelige regneoperationer. Et ekstremt vigtigt eksempel er funktionen f, givet ved a : f(x) = 2 π e x2 Denne funktion er pæn og kontinuert (dens graf er tegnet på figur 2), og derfor har den en stamfunktion ifølge sætning 8. Man kan bevise at det ikke kan lade sig gøre at opskrive et funktionsudtryk for en stamfunktion til f, alene ved at bruge almindelige regneoperationer. Eftersom lige netop denne funktions stamfunktioner er utroligt vigtige b har man i stedet valgt at navngive en af dem, nemlig den som har funktionsværdien nul når man tager den i nul. Denne stamfunktion er kendt under navnet Erf c, og man kan altså definere den ved at kræve at: Erf(0) = 0 og at Erf (x) = f(x) hvor f er funktionen defineret ovenover. a Konstanten, 2 π, som er ganget på funktionen, gør det hverken nemmere eller sværere at finde en stamfunktion. Grunden til at have den med er ret teknisk, men det har noget at gøre med anvendelsen af funktionen i sandsynlighedsteori, statistik, kvantemekanik m.m. hvor man ønsker et bestemt areal mellem grafen og x-aksen. (Kan du gætte hvilket?) b Du kan læse lidt om dem her side 9

12 c Det er en forkortelse for Error function. Navnet skyldes ikke at den kan få lommeregnere til at gå i sort, men derimod at den optræder i forbindelse med statistiske beskrivelser af måleusikkerheder Figur 2: Grafen for funktionen f i eksempel 9. Endnu mere mystik: Analysens fundamentalsætning siger at alle kontinuerte funktioner har en stamfunktion. Den siger ikke at det er de eneste funktioner som har stamfunktioner. Der findes masser af funktioner som har stamfunktioner uden at være kontinuerte. Disse gyselige monstre er dog sværere at få øje på end man lige skulle tro. Eksempel 10. Funktionen, F, givet ved gaffelforskriften: F (x) = { x2 sin ( ) 1 x, når x 0 0, når x = 0 side 10

13 er faktisk differentiabel i alle reelle tal (også i x = 0). Dens afledede funktion er: { ( ( ) 2x sin 1 F (x) = x) cos 1 x, når x 0 0, når x = 0 hvilket ikke er kontinuert i x = 0. (Prøv at tegne grafen!) F er altså en funktion som ikke er kontinuert, men som alligevel har en stamfunktion. side 11

14 2.3 Generelle regler Enhver regel for differentiation kan vendes om til en regel om stamfunktioner. Vi har samlet de vigtigste regler her. Basale funktionstyper Funktionen, f, givet ved: har en stamfunktion, F, givet ved: f(x) = k (k R) F (x) = k x f(x) = x a (a 1) F (x) = 1 a+1 xa+1 f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) f(x) = e x F (x) = sin(x) F (x) = cos(x) F (x) = e x f(x) = x 1 (x > 0) F (x) = ln(x) f(x) = ln(x) (x > 0) F (x) = x ln(x) x Regneregler Funktion Stamfunktion Forklaring f + g F + G F er en stamfunktion til f G er en stamfunktion til g f g F G F er en stamfunktion til f G er en stamfunktion til g k f k F k er en konstant F er en stamfunktion til f side 12

15 Der findes to regneregler mere, ved navn substitution 8 og den partielle metode 9. Dem gemmer vi dog til et andet dokument. Øvelse 11. Find stamfunktioner til funktionerne f 1, f 2,... f 7 givet ved: f 1 (x) = sin(x) + cos(x) f 2 (x) = sin(x) 2 f 3 (x) = 3 e x 2 x + cos(x) f 4 (x) = 3 x 2 f 5 (x) = 7 x 2 f 6 (x) = 3x 3 + 4x 2 x + 6 f 7 (x) = e x sin(x) + e x cos(x) Husk hver gang at tjekke at du har fundet en rigtig stamfunktion ved at differentiere den og se at det giver det rigtige. 2.4 Huskeregler Som du kan se, er der desværre ikke så mange generelle regler for at finde stamfunktioner. 2.5 Udvalgte beviser Alle reglerne i sidste afsnit kan bevises ved at man differentierer den påståede stamfunktion og viser at det giver det rigtige. Her tager vi kun to af dem. 8 Læs om substitutionsmetoden her 9 Læs om den partielle metode her side 13

16 Sætning 12. Funktionen f, givet ved: f(x) = ln(x) (x > 0) har en stamfunktion, F, givet ved: F (x) = x ln(x) x (x > 0) Bevis. Vi differentierer F. Der er i første omgang to led (adskilt af et minus) som skal differentieres hver for sig. Det første af disse led består af et produkt, så her skal vi bruge reglen for differentiation af produkter: F (x) = 1 ln(x) + x 1 x 1 = ln(x) = ln(x) Sætning 13. Hvis f er en funktion som har en stamfunktion, F, og k R er en konstant, så har funktionen, g, givet ved: en stamfunktion, G, givet ved: g(x) = k f(x) G(x) = k F (x) Bevis. Vi differentierer G for at vise at den er stamfunktion til g: G (x) = k F (x) = k f(x) = g(x) side 14

17 2.6 Lommeregnere og stamfunktioner At finde en stamfunktion er ikke en udregning! Man kan udtrykke det som: At differentiere er håndværk. At finde stamfunktioner er kunst. Derfor er lommeregnere og andre maskiner ikke brugbare til at bestemme stamfunktioner! Når nogle lommeregnere alligevel har indbygget stamfunktionsberegning, så siger det mere om hvor naive producenterne er end det siger om lommeregnerens kvalitet. Ofte vil den slags lommeregnere lave nogle helt ubrugelige omskrivninger når man beder den om at beregne stamfunktioner. Hvis f.eks. beder den om at finde sin(x 2 ) dx (altså om en stamfunktion til sin(x 2 ) så kan den finde på at give resultatet: 2 2 sin(x2 ) dx Og selvom dette ganske rigtigt er det samme som det vi bad om, så er det ikke ligefrem nyttigt. Endnu værre, kan man risikere at en beregning 10, som burde kunne udføres af lommeregneren, ikke bliver udført fordi lommeregneren undervejs leder efter en stamfunktion som den ikke kan finde. Hvis du alligevel har lyst til at lege med en maskine i forbindelse med stamfunktioner, så smid lommeregneren langt væk og brug et ordentligt matematikprogram Beregning af såkaldte bestemte integraler er ofte et pinligt eksempel. 11 Der ligger f.eks. et på internettet her side 15

18 2.7 Resumé Vi slutter dette afsnit med nogle slogans der opsummerer de vigtigste pointer. De er gode at lære udenad. At finde en stamfunktion svarer til at differentiere baglæns. Man bør tænke på det som en guess and check leg, hvor man i første omgang gætter (mere eller mindre velovervejet) på en funktion og bagefter undersøger om denne funktion giver det rigtige når man differentierer den. En given funktion kan godt have mere end én stamfunktion. Hvis F er en stamfunktion til f, så kan man lave en anden stamfunktion ved at lægge en konstant til F. To forskellige stamfunktioner til den samme funktion vil altid afvige med en additiv konstant, hvis de er defineret på åbne intervaller. Alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner. Det er meget svært at finde stamfunktioner i praksis. De få regneregler som findes er samlet i afsnit 2.3 Lommeregnere og andre maskiner duer ikke til at finde stamfunktioner, blandt andet fordi der findes funktioner hvis stamfunktioner slet ikke kan skrives op med almindelige regneudtryk. 3 Ubestemt integration At finde en stamfunktion er altså en omvendt proces i forhold til at differentiere. Derfor kalder man det også for at integrere 12 en funktion når man finder en stamfunktion til den. 12 At differentiere betyder noget i retning af at skille ad. Man kan tænke på det som at man går ind i hvert eneste punkt på grafen og splitter funktionen ad for at måle dens grafhældning. Omvendt betyder integrere jo samle eller gøre til en helhed. Altså det omvendte af at differentiere. side 16

19 Der er dog to forskellige processer som har fået navnet integration. For at kende forskel på dem taler vi om enten bestemt eller ubestemt integration. Og det er altså ubestemt integration vi snakker om lige nu Det ubestemte integraltegn Hvis f er en funktion, så har man opfundet et symbol som betyder en stamfunktion til f. Det ser sådan her ud: f(x) dx Som vi skal se nærmere på i næste afsnit, så er det et meget svært tegn at bruge rigtigt. I første omgang skal man lægge mærke til følgende: Det ubestemte integraltegn består af to halvdele: Det aflange s - agtige tegn og dx. De fungerer som en slags parentes rundt om den funktion som man leder efter stamfunktioner til. Det ubestemte integraltegn er ikke en regneoperation lige som plus, gange eller for den sags skyld differentiation. Problemet er at hvis en funktion overhovedet har en stamfunktion, så har den uendeligt mange. Det betyder at det ubestemte integral af en en funktion kan være lig med flere forskellige funktioner på en gang. Og der er ikke en som er mere rigtig en de andre. For at løse dette problem er der mange som bruger det ubestemte integraltegn til at betyde alle stamfunktionerne på en gang! Dette har dog en anden ulempe, nemlig at det ubestemte integraltegn symboliserer et meget kompliceret matematisk objekt, nemlig en mængde af funktioner. 13 Du kan læse om bestemt integration her side 17

20 3.2 Et dumt tegn Det ubestemte integraltegn er et temmeligt besværligt tegn at have med at gøre, fordi det er meget nemt at komme til at bruge det forkert. Problemet er at selvom f er en given funktion, så er betydningen af f(x) dx temmeligt uklar. Der er hele tre betydninger, som hver har deres svagheder. Næste gang du møder en person som bruger tegnet, så prøv at spørge hvilken af de tre betydninger han eller hun mener det har. 1: Det er en funktion Dette er den betydning som de fleste vil påstå er den rigtige. Desværre vil de fleste som påstår dette på et eller andet tidspunkt lave en fejl i deres notation, hvor de forveksler funktioner med deres funktionsværdier. F.eks. ville det med denne betydning af tegnet være korrekt at skrive: cos(x) dx = sin og endnu værre: Hvis f er en funktion, så vil f(x) dx være en stamfunktion til f, og dermed vil det være korrekt at skrive stamfunktionens værdi i f.eks. 17 som: f(x) dx(17) Et andet problem ved denne betydning er at tegnet er ekstremt farligt at bruge sammen med lighedstegn. Fordi hvis F 1 (x) = x side 18

21 og F 2 (x) = x så er både F 1 og F 2 stamfunktioner til funktionen f givet ved: f(x) = 2x Derfor kan man skrive at: f(x) dx = F1 og f(x) dx = F 2 Men så må der vel gælde at: F 1 = F 2, og derfor at x = x Det medfører umiddelbart at 3 og 80 er det samme tal, og det er ikke så heldigt. 2: Det er en funktions værdi i integrationsvariablen De fleste mennesker som påstår at betydning nummer 1 er den rigtige mener i virkeligheden dette. Nemlig at f(x) dx er et udtryk for funktionsværdien af en stamfunktion til f i integrationsvariablen. På den måde er det for eksempel korrekt at skrive: cos(x) dx = sin(x) og 2x dx = x Udover at dette er en ekstremt snørklet betydning, så lider denne definition af samme problem som den første, nemlig at tegnet kan betyde to forskellige ting på en gang. side 19

22 3: Det er en mængde af funktioner Dette er en populær måde at lappe problemet med at integraltegnet kan betyde to forskellige ting på en gang på. Man kan vælge at symbolet f(x) dx betyder: mængden af alle stamfunktioner til f. På den måde bliver det forkert kun at skrive x 2 dx = 1 3 x3 I stedet skal man altså skrive: x 2 dx = {f k k R}, hvor f k (x) = 1 3 x3 + k 4: Det er en mængde af funktioner repræsenteret ved deres værdi i integrationsvariablen Dette er faktisk den eneste helt korrekte betydning af tegnet. Til gengæld er den efterhånden blevet så kompliceret at ingen fatter hvad det betyder længere. På denne måde bliver det korrekt at skrive: { } 1 x 2 dx = 3 x3 + k k R Eller som de fleste plejer at skrive det: x 2 = 1 3 x3 + k, k R 3.3 Opsummering Det ubestemte integraltegn betyder altså hverken mere eller mindre end en stamfunktion til eller alle stamfunktionerne til. Faktisk kan man sagtens vælge aldrig at bruge det (det gør jeg selv!) side 20

23 Men man er nødt til at vide hvad det betyder fordi andre kan finde på at bruge det. Det vigtigste at huske på er følgende: Facts om det ubestemte integral Det ubestemte integral består at to dele: og d, og de optræder altid sammen. Den første halvdel læses som integralet af og den anden halvdel læses som med hensyn til. Den første halvdel skal efterfølges af et funktionsudtryk. Altså ikke bare navnet på en funktion, men dens værdi i det samme symbol som står efter d et. Den sidste halvdel kan også være dy, da eller ligefrem dd hvis man er i et fjollet humør. Bogstavet som står efter d kaldes integrationsvariablen. Selvom man beregner det ubestemte integral af en funktion, så skriver man funktionens værdi i integrationsvariablen. Selvom det ubestemte integral beregner en funktion (eller en mængde af funktioner), så skriver man denne funktions (eller disse funktioners) værdi i integrationsvariablen. 4 Bevægelse: En anvendelse Differentiation og integration er oprindeligt opfundet for at beskrive det fysiske fænomen bevægelse. Vi vil her nøjes med at tale om bevægelsen af en enkelt partikel som bevæger sig langs en ret linje, fordi vi på den måde kan tale om en position der kan angives med et enkelt tal som afhænger af tiden. (Det er dog ikke så svært at forestille sig hvad der skal til hvis der er flere partikler som bevæger sig i flere dimensioner ) side 21

24 Eksempel 14. En person der hopper ud fra et tårn vil som regel falde ned og slå sig. Dette har været velkendt lige så længe der har eksisteret personer (og tårne). Galileo Galilei (som mange vil påstå er en af den moderne videnskabs absolutte fædre) indså i 1500-tallet noget ret fantastisk: Nemlig at hvis man ignorerede luftmodstanden, så ville to forskellige personer (eller andre ting) falde på samme måde uanset hvor meget de vejede. Men det var først 200 år senere at Isaac Newton formåede at beskrive præcist på hvilken måde de ville falde og hvorfor. Det klarede han præcis fordi han lige havde opfundet differentiation, og dermed også stamfunktionsbegrebet. Det som Newton indså var at hvis h(t) var den funktion som beskrev personernes højde over jorden som funktion af tiden, så var den helt essentielle størrelse at snakke som: h (t) Den anden afledte af h betegner nemlig accelerationen af personerne altså ændringsraten af deres hastighed. Og det som Newton indså at man kunne sige var at: h (t) = g 9,82m/s 2 altså sagt med ord: Alle genstande som falder frit i tyngefeltet (ihvertfald så længe man holder sig i nærheden af jordens overflade) bliver udsat for præcis den samme acceleration! Dette er faktisk et stamfunktionsproblem. Eller mere præcist: To stamfunktionsproblemer lige efter hinanden. side 22

25 5 Differentialligninger En differentialligning er en ligning, hvor den ukendte størrelse er en funktion. Denne tanke tager ret lang tid at vænne sig til, så vi kan lige så godt nævne det allerede nu. Det viser sig nemlig at når man finder stamfunktioner til en given funktion, så løser man nemlig i virkeligheden et (forholdsvist uskyldigt) eksempel på en differentialligning. Vi begynder med at definere lidt mere præcist hvad vi mener: Definition 15. En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en ukendt funktion, og hvor denne funktion optræder differentieret en eller flere gange. Den højeste antal gange den ukendte funktion er differentieret kaldes ordenen af differentialligningen. At løse en differentialligning vil sige at finde alle de funktioner som (sammen med deres afledede funktioner) får ligningen til at gælde. Eksempel 16. Her er en differentialligning: f (x) = f(x) Ligningen har orden 2, fordi den ukendte funktion f maksimalt forekommer differentieret to gange. En løsning til denne ligning består altså i en funktion, f, som giver sig selv når den differentieres to gange. Det er meget let at gætte en enkelt løsning, nemlig funktionen f, defineret ved: f(x) = e x En lidt mere overraskende løsning er måske funktionen g, defineret side 23

26 ved: g(x) = 1 e x = e x Og vi er bestemt ikke færdige! Hvis man tænker sig om kan man hurtigt finde uendeligt mange funktioner som opfylder ligningen. Nemlig alle funktioner, h, defineret ved: h(x) = a f(x) + b g(x) hvor a og b er vilkårlige reelle tal. Og selv derefter er det meget svært indse om der findes endnu flere. Øvelse 17. Her er en differentialligning af fjerde orden: f (x) = f(x) Hvor mange løsninger kan du finde til denne ligning? Eksempel 18. Der kan sagtens indgå kendte funktionsudtryk i en differentialligning sammen med den ukendte funktion. Det åbner muligheder for endnu mere komplicerede ligninger. Her er et eksempel på en ret ond ligning af anden orden: f (x) + f(x) cos(x) = x 2 + e x En løsning til denne ligning består af en funktion, f, hvor f (x)+ f(x) cos(x) giver det samme som x 2 +e x uanset hvilket x man sætter ind. Kan du finde en løsning? (Jeg aner ikke om der er nogen!) side 24

27 5.1 Stamfunktioner og differentialligninger Nu kan vi så sige hvorfor stamfunktionsproblemet i virkeligheden er en light udgave af en differentialligning. Når man finder stamfunktioner til en given funktion, f, f.eks. f(x) = x 4 + x 2 så leder man efter funktioner, g, som opfylder at: g (x) = x 4 + x 2 Dette er i virkeligheden en differentialligning, eller helt præcist: En simpel 14 differentialligning af første orden. 14 Ordet simpel bruges fordi den ukendte funktion, g, kun optræder et enkelt sted i ligningen. side 25

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger en blid start på Differentialligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2017 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Hf-enkeltfag Fag og niveau Matematik B A, 1 år (2016-2017) Lærer Janne Skjøth Winde Hold maaa (1608) Oversigt over gennemførte

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere