Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1"

Transkript

1 Kinematik Kinematik Indhold. Retlinet beægelse.... Jæn retlinet beægelse Ujæn beægelse Konstant accelereret beægelse Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse Frit fald og lodret kast... Ole Witt-Hansen 975 (5)

2 Kinematik. Retlinet beægelse Kinematik betyder egentlig beægelseslære. I kinematikken søger man at gie en fuldstændig matematisk beskrielse af en beægelse. I denne beskrielse indføres to igtige begreber, nemlig hastighed og acceleration. I det følgende skal i betragte beægelsen af et legeme, som i normalt opfatter som en partikel, ds. et legeme, som matematisk set kan beskries ed et punkt. For udstrakte legemer, skal i kun betragte sådanne, hor alle legemets dele (partikler) udfører den samme beægelse. En sådan beægelse, kaldes for en translation. Retlinet beægelse betyder naturligis, at legemet beæger sig på eller langs en ret linie. Langs denne linie, aflæser man partiklens position s på en orienteret s-akse, kaldet en absisseakse. Partiklens beægelse på s-aksen kan beskries ed en regneforskrift, så man til ethert tidspunkt kan udregne partiklens position s. Er partiklens position s til tidspunktet t, skrier man s s(t ). Symbolet s(t), læses s af t. Idet, der til ethert tidspunkt t sarer netop én position s, siger man at s er en funktion af t. Kender man funktionen s(t), kan man udrenge positionen til ethert tidspunkt t, og man har dermed en matematisk beskrielse af beægelsen. Man får et grafisk oerblik oer funktionen s s(t), ed at tegne det grafiske billede i et koordinatsystem. Dette opnås ed at afsætte t ud af. aksen (absisseaksen) og s ud af. aksen (ordinataksen). Koordinatsystemet kaldes da for et s t diagram. Det grafiske billede fremkommer ed, at man til en passende række tidspunkter: t, t, t 3,.. t n, afsætter de tilsarende positioner: s, s, s 3,.. s n. Når man har afsat punkterne: (t, s ), (t, s ) (t 3, s 3 ),. (t n, s n ) i s t diagrammet, forbindes punkterne med en glat kure, og den fremkomne kure er det grafiske billede af funktionen s s(t). giet P På figuren (.) er ist grafen for en ejfunktion, med forskriften s(t) t 3-9t +t, hor tiden er målt i sekunder og positionen s i meter. F.eks. er s() ˑ 3-9ˑ + ˑ 4. Efter sek., befinder man sig altså 4 m fra start, s(). Af grafen kan f.eks. aflæses, at s( s) 5 m at man kørte forlæns fra t s til t s, og igen fra t s til t 3s, mens man bakkede fra t s indtil t s, at positionen s 4 m ble passeret gange, (t,5 s og t, s) og at alle positioner mellem 4 m og 5 m ble passeret 3 gange. Som i skal se, er hastigheden i beægelsen ikke konstant, for så skulle grafen ære en ret linie.

3 Kinematik 3 I interallet fra s til, s er beægelsen bremsende, (hastigheden aftagende) og fra s til 3 s accelererer beægelse (oksende hastighed).. Jæn retlinet beægelse Den simpleste beægelse er en jæn retlinet beægelse, hor den tilbagelagte ej s er ligefrem proportional med den forbrugte tid t. I dette tilfælde er ejfunktionen: s s(t). (.) s s t t t s er den konstante hastighed i beægelsen. Af den. ligning kan man se, at hastigheden i den jæne beægelse kan udregnes som den tilbagelagte s ej diideret med den forbrugte tid t. Endidere ses det, at SI-enheden for hastighed er m/s, (meter per sek), nemlig SI-enheden for længde diideret med SI-enheden for tid.. Eksempel En bil starter kl., og kører derefter med den konstante hastighed 7 km/h. a) Opskri i SI-enheder sammenhængen mellem den forbrugte tid t og den tilbagelagte ej s. b) Find endidere, hor langt bilen kommer på 5 sek., og hor lang tid det tager den at køre km. Løsning: m 7 km / h 7 m / s s [ m / s] t 36 s 3 s m s(5 s) m/s ˑ 5 s m. t 6 s h 4 min m / s s(t) t er det, man i matematikken kalder et eksempel på en lineær funktion. Indtegner man ejfunktionen s(t) t for en jæn beægelse i et s - t diagram, il punkterne ligge på en ret linie gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (,). For Dette kan efterprøes ed t tegne graferne for nogle retlinede beægelser. Man kan dog også let indse dette, ed at bemærke, at det gælder, (som ist på den nederste figur), at forholdet mellem absissen t og ordinaten s må ære den samme for alle s og t, idet t og s er sider i ensinklede trekanter, (hor forholdet mellem ensliggende sider som bekendt er konstant). His den jæne beægelser ikke begynder i (,), men starter i s (for t ), så den tilbagelagte ej til tiden t er s s. Der må derfor gælde, at s s t.

4 Kinematik 4 For en ilkårlig jæn retlinet beægelse gælder. (.3) s t + s s s t Grafen for s t + s, findes ed at forskyde grafen for s t stykket s op ad s-aksen, som ist på fig... Hastigheden kan ikke længere bestemmes som s/t, men hastigheden kan bestemmes, his man kender positionerne s og s til tidspunkterne t og t. Der gælder nemlig at: s t + s og s t + s Ved at subtrahere den første ligning fra den sidste og sætte udenfor en parentes får man: (.4) s s s s ( t t t t ) s Vi har i det sidste udtryk anendt symbolet Δ (stort græsk D ), i udtrykkene: Δs s s og Δt t t Det læses som: delta s og delta t. Anendelsen af Δ symbolet er meget udbredt i fysikken og matematikken, hor det betegner en tilækst, således er Δs den tilækst man skal gie til s for at få s. Tilækst Δ er ikke det samme som forskel, idet tilækst altid, altid betegnes, som det man slutter med minus det man begynder med. En tilækst kan, (på trods af nanet) godt ære negati, og tilæksten skal regnes med fortegn. His man f.eks. bremser, får man en negati hastighedstilækst. s Det sidste af udtrykkene (.4) er det, som man i almindelighed anender som definition. Hastigheden er den tilbagelagte ej, diideret med den forbrugte tid. På figur (.) forrige side er ist, hordan man kan aflæse Δs og Δt. s Geometrisk kaldes forholdet for hældningskoefficienten for den rette linie, så hastigheden er hældningskoefficienten for linien s t + s i s t diagrammet..5 opgae A og B skal begge nå færgen i færgeby, som ligger km borte. A og B starter samtidig i bil, og A har beregnet, at han netop når færgen, his han kører de km med konstant hastighed 8 km/h. B har et ærinde 45 km fra start, som tager min, men han håber at nå færgen, his han kører med 9 km/h (landeej) før opholdet og resten af ejen med km/h (motorej).. a) Hornår afgår færgen fra det tidspunkt, hor A og B starter? b) Når B færgen? Hornår er B i Færgeby? c) Indtegn graferne for A og B s beægelse i et s - t diagram., og aflæs af graferne, hor og hornår de passerer hinanden. d) Udregn ud fra beægelsesligningerne de nøjagtige tidspunkter, hor de passerer hinanden. 3. Ujæn beægelse His hastigheden i beægelsen ikke er konstant, kaldes beægelsen for ujæn. Figuren (3.) på næste side illustrerer et eksempel på en ujæn beægelse.

5 Kinematik 5 His et legeme har positionerne s og s til tidspunkterne t og t, definerer man middelhastigheden m (den gennemsnitlige hastighed) i tidsrummet Δt t t, som: (3.) m s t s t s Som ist på figuren, kan man geometrisk bestemme middelhastigheden, som hældningskoefficienten for den linie, som forbinder punkterne (t, s ) og (t, s ). Den iste figur sarer til en positi hastighed, men hastigheden kan naturligis ære negati, hilket betyder at man beæger sig baglæns, og at den iste linie på figuren ille pege nedad. For en ujæn beægelse kan man med tilnærmelse finde hastigheden til et giet tidspunkt, f.eks. t, ed at bestemme middelhastigheden i et meget lille tidsinteral Δt omkring t. Man kan sige, at tidsinterallet skal ære så lille, at beægelsen kan antages at ære jæn i interallet, hilket er det samme som at grafen kan betragtes som retlinet i interallet Δt. I matematikken definerer man momentanhastigheden ed differentialkotienten af s(t), hilket s betyder grænseærdien af brøken, når Δt går imod nul. 4. Konstant accelereret beægelse His man kender hastigheden til ethert tidspunkt kender man hastighedsfunktionen (t). På samme måde som for ejfunktionen s s(t),kan man tegne grafen for hastighedsfunktionen i et t (hastighed tid diagram). Eksempler på sådanne grafer er ist på side 7 figur 5.. På samme måde, som den jæne beægelse, (hor strækningen s er proportional med tiden t, s t) er den mest simple beægelse, er den mest simple ujæne beægelse den, hor hastigheden er er proportional med tiden t. aˑt, hor konstanten a, kaldes for accelerationen i beægelsen. Som det ar tilfældet med definition af hastighed, er den generelle definition af accelerationen formuleret ed hjælp af tilækster. Definition af acceleration. (4.) a His er hastigheden til t, så er Δt t og Δ. Heraf følger: a a + t a t SI-enheden ses at ære (m/s)/s m/s

6 Kinematik 6 Det sidste udtryk, er det mest generelle og almindeligt anendte for hastigheden i en konstant accelereret beægelse. His begyndelseshastigheden er, blier udtrykket a t, som tidligere angiet. His og er hastighederne til tidspunkterne t og t, gælder der ifølge det sidste udtryk i 4.: at + at + a( t t) a a t t Ofte formulerer man definitionen af acceleration, som hastighedstilæksten per tidsenhed. His hastigheden aftager med tiden, er hastighedstilæksten negati, og dermed er accelerationen også negati. Man taler da om en bremsende beægelse. Da accelerationen som giet ed 4. er konstant, omtales det som en konstant accelereret beægelse eller en jænt oksende beægelse. His accelerationen ikke er konstant, må definitionsligningen a modificeres derhen til at betyde middelaccelerationen (den gennemsnitlige acceleration) i tidsinterallet Δt. Accelerationen til et bestemt tidspunkt, kan bestemmes ed at lade tidsinterallet Δt gå imod. Både ejfunktionen og hastighedsfunktionen er lineære funktioner, så grafen for hastighedsfunktionen a t + er en ret linie med hældningskoefficient a, og som skærer. aksen i. Se figur 5.3 på side Eksempel En bil accelerer fra hile til 6 km/h på sek. og bremser noget senere, så den fra hastigheden 7 km/h holder stille efter 4 sek. For begge tilfælde ønskes beregnet: a) Den konstante acceleration i beægelsen. b) To ligninger, der iser horledes hastigheden afhænger af tiden. c) Tidspunkter, hor hastigheden er 8 km/h. Løsning: a) 3 6 km / h km / h 5, m a acc 5 km / h s,39 m / s s s 36 s a brems km / h 7 km / h 8 km / h s 5, m / s 4, s s b) acc,39 [m/s ] t brems -5, [m/s ]t+ m/s I det sidste udtryk, har i benyttet, at 7 km/h m/s. I den næste udregning anender i at 8 km/h 5, m/s. c) acc 5, m/s 5, m/s,39 [m/s ] t t 3,6 s brems 5, m/s 5, m/s -5, [m/s 5, m / s m / s ]t+ m/s t 3, s 5 m / s Vi har set, horledes hastigheden afhænger af tiden for en konstant accelereret beægelse, hilket umiddelbart følger af definitionen af acceleration. Horledes positionen afhænger af tiden er lidt mere kompliceret. Vi kan ikke blot anende, at s t, da sel afhænger af tiden. Før i laer en teoretisk udregning, il i se på et forsøg, som kan belyse dette.

7 Kinematik 7 (Nedenstående er en scanning af to sider i den gamle lærebog, da et forsøg, udført på denne måde, næppe il få plads i under isningen længere)

8 Kinematik 8 5. Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse I almindelighed kan det ære en ret kompliceret matematik opgae at bestemme ejfunktionen s(t), når hastighedsfunktionen (t) er kendt. Det matematiske ærktøj kaldes for integration, og i skal ende tilbage til sagen i g. Her skal i blot angie en geometrisk metode, der tillader at beregne s(t) ud fra (t) i nogle simple tilfælde. Nedenfor er tegnet grafen for hastighedsfunktionen for en retlinet, men i ørigt ilkårlig beægelse. Vi minder om, at for en ilkårlig retlinet beægelse kan den tilbagelagte ej Δs i tidsrummet Δt, skries som: Δs m Δt, hor m er (middel)hastigheden i interallet Δt. Af grafen fremgår, at Δs mˑδt kan udregnes geometrisk som arealet af et lille rektangel: højde m gange bredde Δt. Som figuren iser, sarer arealet af den lille strimmel med god tilnærmelse til arealet under grafen for hastighedsfunktionen (t) i tidsinterallet Δt, og tilnærmelsen blier bedre jo mindre Δt er. His man så ønsker at udregne den tilbagelagte ej s i et længere tidsrum, f.eks. fra t til t n, så kan det gøres ed at dele interallet [t, t n ] op i en række små delinteraller Δt, Δt, Δt 3, Δt n, og udregne den tilbagelagte ej Δs Δt, Δs Δt, Δs 3 3 Δt 3,, Δs n n Δt n i hert af disse interaller. Summen af alle Δs erne il ære den samlede tilbagelagt ej, men ifølge det foregående, il det også ære lig med arealet under grafen for (t) i interallet [t, t n ], som ist på den anden figur. Dette fører til følgende sætning (5.): Den tilbagelagte ej s i tidsinterallet fra t, til t n kan geometrisk bestemmes som arealet under grafen for hastighedsfunktionen (t) i interallet [t, t n ]. I nogle tilfælde er det ret simpelt at bestemme arealet under -t grafen, og det il i nu udnytte, had angår beægelse med konstant acceleration.

9 Kinematik 9 Vi betragter først tilfældet: Konstant accelereret beægelse uden begyndelseshastighed, som sarer til grafen til enstre. Her gælder: at. For at bestemme den tilbagelagte ej s fra til t, skal i ifølge det foregående udregne arealet under linien at. Men det er arealet af en trekant med kateterne t og t, så arealet er (½ højde x grundlinie): s ½tˑat > s ½at. Vi ser dernæst på tilfældet konstant accelereret beægelse med begyndelseshastighed, som ist på grafen til højre. Hastighedsfunktionen er: at +. Den tilbagelagte ej s er lig med arealet under linien fra til t. Arealet kan udregnes på to måder: Enten som arealet af et rektangel med siderne og t, som er t plus arealet af en trekant med kateterne t og at + - at, som er ½at. Her med får man udtrykket for tilbagelagte ej: s ½at + t. Arealet kan også udregnes som arealet af et trapez: (½højde x summen af de parallelle sider). s ½t ( + at + ) ½at + t. Vi har antaget at begyndelsesposition s(), men his begyndelsespositionen er s() s, skal denne blot adderes til højre side af udtrykket for s. Idet formlerne for konstant accelereret beægelse er meget igtige, samler i dem nedenfor i skematisk form. 5.3 Grundlæggende formler for beægelse med konstant acceleration Uden begyndelseshastighed Med begyndelseshastighed Hastighed: Position: at at + s ½at s ½at + t + s His man ønsker at kende den strækning, der er gennemløbet, når man har opnået en gien hastighed, så kan det ikke umiddelbart lade sig gøre med formlerne oenfor. Man blier nemlig nødt til at bestemme tidspunktet først. Det er derfor ofte praktisk eller nødendigt at kende sammenhængen mellem position s og hastighed, uden at tiden t indgår. Dette kan gøres ed at eliminere t (fjerne t fra ligningerne) i hert af de to tilfælde oenfor. Uden begyndelseshastighed: t s ½at s ½a as a Med begyndelseshastighed: a t s ½at + t + s s s ½a + a a a a + + a( s s) s s a Vi finder således to formler, som ofte benyttes sammen med 5.3 (s--a formler) (5.4) as a( s s )

10 Kinematik Af formlen 5.4 fremgår blandt andet, at den ejlængde, der skal køres for (med konstant acceleration) at opnå en bestemt hastighed, okser proportionalt med kadratet på hastigheden (proportionalt med ) ed positi acceleration. For negati acceleration betyder formlerne, at bremselængden er proportional med kadratet på hastigheden, noget som bekendt har betydning for fartgrænserne ed bilkørsel. 5.5 Eksempel For en personbil bestemmes bremselængden til,5 m ed hastigheden 36 km/h. Vurder bremselængden ed motorejshastighed 8 km/h. Løsning: Vi antager at bremsningen sker ed den samme konstante acceleration i begge tilfælde. Vi anender den anden af formlerne i (5.4) til at bestemme accelerationen ud fra den første oplysning. Vi indsætter derfor s m, s,5 m, m/s, 36 km/h m/s a ( s s ) m / s a 5 m 4, m / s Bemærk, at a automatisk blier negati, når i anender formlen korrekt. Vi kan nu bestemme bremselængden ed 8 km/h i, ed at indsætte a -4, m/s,, 8 km/h 3ˑ36 km/h 3 m/s i den samme formel, men isolerer nu s s. 9 m / s s s s s, 5 m a 4, m / s Vi har bestemt bremselængden ed først at udregne accelerationen, men i finder det samme resultat ed at bemærke, at bremselængden okser proportionalt med kadratet på hastigheden, sammenholdt med at 8 km/h 3ˑ36 km/h, så bremselængden okser med en faktor 3, og 9ˑ,5 m,5 m. 6. Frit fald og lodret kast Det er en eksperimentel erfaring, at nær jordens oerflade falder alle legemer uafhængig af udformningen og massen med den samme konstante acceleration. Dette gælder dog kun i den udstrækning, at man kan se bort fra luftmodstanden, hilket langtfra altid er tilfældet. His faldet sker i acuum (lufttomt rum), gælder det imidlertid uden indskrænkning. Den konstante acceleration kaldes for tyngdeaccelerationen og betegnes med g. Tyngdeaccelerationen arierer en smule fra sted til sted på jordens oerflade. I Danmark har tyngdeaccelerationen ærdien: g 9,8 m/s På normalstedet i Paris er tyngdeaccelerationen: g Paris 9,8665 m/s Et frit fald er en retlinet beægelse med konstant acceleration g, og ælger i at orientere s-aksen opad, gælder der ifølge (5.3) beægelsesligningerne: (6.) a g gt s s + t gt 6. Eksempel Det lodrette kast er et specielt eksempel på et frit fald, hor en partikel tildeles en begyndelseshastighed lodret opad, horefter partiklen beæger sig kun påirket af den konstante acceleration -g. Vi skal her gennemregne et eksempel, hor partiklen kastes op med en hastighed m/s.

11 Kinematik Idet partiklen starter sin beægelse ed s er beægelsesligningerne ifølge 5.3. a -g gt s t ½ gt Det lodrette kast er skitseret nedenfor sammen med t og s t graferne for beægelsen. t grafen er en ret linie med hældning -g, mens s t grafen er en parabelbue Vi il nu udregne:. Hor langt partiklen når op (stighøjden).. Hor lang tid, der forløber inden partiklen ender tilbage, og had hastigheden er til dette tidspunkt. 3.Hastighed og acceleration, når partiklen befinder sig i den hale stighøjde. Det er almindeligt, at man først laer udregningerne med bogstaer, og enter med at indsætte tallene til sidst. Gør man dette er det også langt lettere at opdage regnefejl. Løsning. Den øerste position, hor partiklen ender er karakteriseret ed at hastigheden er. gt t g Dette tidspunkt, indsættes da for at bestemme positionen s. t s t gt s g g g g Indsætter i her m/s og g 9,8 m/s, finder man stighøjden. ( m / s) s, 4 m 9,8 m / s. Når partiklen ender tilbage er s. Dette indsætter i ud udtrykket for s og løser en. gradsligning for at finde tidspunktet for tilbagekomst. t ½gt t( ½gt) t t g s Vi finder løsningen t i oerensstemmelse med at partiklen afskydes til dette tidspunkt. Tidspunktet for tilbagekomst er da den anden løsning. Ved sammenligning ser man i ørigt, at det er nøjagtig det dobbelte af den tid det tager for partiklen at nå sin øerste position. g

12 Kinematik Indsættes ærdierne fra eksemplet fås: m s t 4 / 4, 7 s 9,8 m / s For at bestemme hastigheden ed tilbagekomsten, indsættes dette tidspunkt i udtrykket for. t g gt g g Partiklen ender altså tilbage med en hastighed, der er lige så stor men modsat rettet begyndelseshastigheden. Vi skal senere se, at dette er en konsekens af en mere omfattende lo om energibearelse. 3. Her kan man med fordel benytte relationen (5.4): a(s s ). Vi indsætter a -g og s s /4g (Den hale stighøjde) og finder: ( g) 4g De to ærdier sarer naturligis til at partiklen er på ej op eller ned. Indsættes m/s fås 4, m/s og -4, m/s. Vi bemærker til slut, at partiklens acceleration er konstant lig med -g den samme under hele kastet. 6.3 Opgaer. En formodentlig sindsforirret mand springer ud fra toppen af rundetårn! (frit fald 36 m). a) Hor mange sekunder arer faldet? b) Med hilken hastighed (km/h) rammes fortoet?. En bil antages at bremse med konstant acceleration. Ved hastigheden 6 km/h er bremselængden m. a) Beregn accelerationen i m/s, og opskri ej- og hastighedsfunktionen for beægelsen under bremsningen. b) Had blier bremselængden, his hastigheden er km/h? I ådt føre nedsættes bremseenen, ds. accelerationen med 4%. c) Beregn for ådt føre bremselængderne ed 6 km/h og km/h. Ofte taler man om den effektie bremselængde, i det man indregner det stykke som bilen beæger sig i førerens reaktionstid, som sættes til sek. fra en forhindring opdages. d)beregn de effektie bremselængder i tørt føre ed hastighederne 6 km/h og km/h. 3. En stilladsarbejder taber en øl fra 4. sals højde. (Frit fald 7 m). a) Hor lang tid forløber der, før han hører flasken knuses. (Det antages at lydens hastighed er 34 m/s) 4. En Morris 85 ( 6 km/h på sek.) holder ed et stoplys ed siden af en BMW. ( 6 km/h på 6, sek.) Når lyset skifter accelerere de bege op til 6 km/h, og holder derefter denne hastighed. a) Hor langt foran Morris en er BMW en, når Morris en når de 6 km/h.

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen Fysik i idræt - Idræt i fysik 006 FORSØGSVEJLEDNING Kasteparablen Formål: At bestemme kastelængden (x-positionen) for kast ed forskellige afleeringsinkler: o Ca. 30 o. o Ca. 45 o. o Ca. 60 o. og ed brug

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Bølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1

Bølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Bølgeligningen Indhold 1. Bølgeligningen.... Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng...3 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Statistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas

Statistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas Statistisk ekanik 5 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Rejsen over Limfjorden

Rejsen over Limfjorden Rejsen oer Limfjorden Indledning Der har gennem de senere år æret stor diskussion om at forandre infrastrukturen omkring Limfjorden i Aalborg ed at oprette en 3. Limfjordsforbindelse. Et spørgsmål som

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel.

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE Når en bilist opdager en fare på vejen - legende børn, en hund, der løber på kørebanen, en kvinde i kørestol eller lignende - vil man forsøge at undgå ulykken.

Læs mere

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

LotusLive. LotusLive Engage og LotusLive Connections Brugervejledning

LotusLive. LotusLive Engage og LotusLive Connections Brugervejledning LotusLie LotusLie Engage og LotusLie Connections Brugerejledning LotusLie LotusLie Engage og LotusLie Connections Brugerejledning Note Læs oplysningerne i Bemærkninger på side 181, før du bruger denne

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Statistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas

Statistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære

Læs mere

En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik

En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Af (f. 1970) er cand.scient i fysik fra Niels Bohr Institutet i 2000. Artiklen bygger på hans speciale. I dag arbejder han som softwareudikler på Danmarks

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse

Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse Det skrå kåst Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse 19/12-2012 Matematik Opstil stedfunktionen s x (t) og s y (t) for den lodrette og den vandrette bevægelse, som funktion af

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Brugsvejledning for Frit fald udstyr

Brugsvejledning for Frit fald udstyr Brugsvejledning for 1980.10 Frit fald udstyr 13.12.10 Aa 1980.10 1. Udløser 2. Tilslutningsbøsninger for prøveledninger 3. Trykknap for udløser 4. Kontaktplader 5. Udfræsning for placering af kugle 6.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Bølgeudbredelse ved jordskælv

Bølgeudbredelse ved jordskælv rojekt: Jordskæl Bølgeudbredelse ed jordskæl IAG 2005 Bølgeudbredelse ed jordskæl V skal dette projekt studere bølgeudbredelse ed jordskæl. Her kommer så ldt teor om bølger. Bølger Man tegner næsten altd

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

I fysik er der forskellige skriftlige discipliner, som du kan læse mere om på denne og de følgende sider.

I fysik er der forskellige skriftlige discipliner, som du kan læse mere om på denne og de følgende sider. Side 1 af 7 Indhold Rapportering rapportskrivning... 1 Løsning af fysikfaglige problemer opgaveregning.... 2 Formidling af fysikfaglig indsigt i form at tekster, præsentationer og lignende... 4 Projektrapporter...

Læs mere

Den Specielle Relativitetsteori

Den Specielle Relativitetsteori Den Speielle Relatiitetsteori Kristian Jersle, 3y, Ringkjøbing Gymnasium 30-01-07-1- Indholdsfortegnelse Indledning... 3 En begienhed... 4 Relatiitetsteori og Kinematik... 4 Tidsforlængelse... 4 Længdeforkortelse...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6

Læs mere