Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Transkript

1 K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere siger, at man må vælge et referencesystem. I denne lærebog vil vi kun se på bevægelser der foregår langs rette linier, eller langs baner, hvor positionen kan beskrives ved en enkelt koordinat, en stedkoordinat s som funktion af tiden, altså en tidskoordinat t. Vi benytter sådan en stedakse - fx et målebånd på jorden - som vores referencesystem. Vi kalder dette for en lineær bevægelse, selv om det strengt taget ikke foregår langs en ret linie: Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: t / s s / m For at få et overblik over bevægelsen afbilder vi tabellens data i et koordinatsystem. Det er mest praktisk at have tiden t som førstekoordinat. Vi kalder en sådan afbildning for en (t,s)- graf for bevægelsen. Vi siger også, at vi har grafen for s(t), dvs. s som funktion af t.

2 Opgave 1: Af tabellen fås, at fx s(80s) = 550m. Find på samme måde s(20s), s(60s) og s(120s). Løs ligningen s(t) = 330m og ligningen s(t) = 630m. Af (t,s)-grafen ses, at fx s(50s) = 395m. Find ved aflæsning på grafen på samme måde s(10s), s(30s) og s(110s). Løs ved aflæsning på grafen ligningerne s(t) = 120m og s(t) = 590m Opgave 2: Grafen er en (t,s)-graf for en cykeltur, hvor cyklisten vender om to gange. Beskriv denne cykeltur med ord. Opgave 3: Tegn (t,s)-graferne for en 100m-løber, og for en bybus, der kører fra et stoppested til det næste.

3 Opgave 4: Buslinierne fra Jernbanestationen i Sunshine til Caroline Springs, Caroline Springs Tennis Club og til Melton illustreres her af busselskabet i Australien nær Sidney. Prøv at beskrive med dine egne ord hvad det hele går ud på: 1. Bevægelse med konstant hastighed Den simpleste lineære bevægelse er en bevægelse som hele tiden foregår med den samme hastighed. En sådan bevægelse kaldes jævn. Når en partikel bevæger sig jævnt, vil den tilbagelagte vejstrækning være proportional med den tid det tager at tilbagelægge strækningen, og proportionalitetsfaktoren vil være den konstante hastighed v, (af latin: velocitas).

4 Hvis vi lader stedfunktionen s(t) være 0 ved det sted, hvor partiklen befinder sig til tidspunktet t = 0s, altså har s(0s) = 0m får vi en særlig enkel sammenhæng: (1.1) s = v. t Hvis derimod partiklen befinder sig et andet sted s o til tidspunktet t = 0s får vi sammenhængen (1.2) s = v. t + s o Disse udtryk kan også skrives som funktionsudtryk, lidt mere omstændeligt: (1.3) s(t) = v. t og (1.4) s(t) = v. t + s(0s) idet s(0s) er det samme som s o (t,s)-grafen for en jævn bevægelse er en ret linie, hvor hastigheden v er hældningskoefficienten. Med begyndelsessted 0: Med begyndelsessted s o : s = v. t s = v. t + s o Da hastigheden v er hældningenskoefficienten på (t,s)-grafen, kan vi også sige, at hastigheden er vejlængden pr. sekund. Den grundlæggende SI-enhed for v er meter pr. sekund, m/s = m. s -1.

5 Hvis man ikke kender hastigheden, kan den findes ud fra to sæt sammenhørende værdier af t og s. Hvis vi kalder de to sæt værdier for (t 1, s 1 ) og (t 2, s 2 ) har vi: s 1 = v. t 1 + s o s 2 = v. t 2 + s o s 2 - s 1 = v. t 2 - v. t 1 = v. (t 2 - t 1 ) (1.5) v = =, hvor vi som sædvanligt har ladet det græske bogstav betyde "Tilvæksten af..". Fx betyder tilvæksten af stedkoordinaten, eller med andre ord vejstrækningen fra stedet med koordinaten s 1 til stedet med koordinaten s 2. Opgave 5: Opgave 6:

6 2. Bevægelse med varierende hastighed Hvis vi vender blikket tilbage til side 1, kan vi se, at for denne cykeltur er hastigheden ikke konstant. Men hvis den ikke er konstant, må den jo ændre sig. Hvordan kan vi tale om hastigheden på et bestemt tidspunkt, en øjeblikshastighed? Spørgsmålet optog de gamle grækere, som påpegede, at der var et dilemma: Hvis hastighed er et vejstykke divideret med en tid, hvad så med øjeblikshastighed - hvordan kan man dividere med et øjeblik, altså en tid der er 0? Dilemmaet løses i differentialregningen, der blev opfundet i slutningen af 1600-tallet, men den lærer I nærmere om i matematik. Vi vil her indføre en gennemsnitshastighed eller middelhastighed i et tidsrum: I det tidsrum, der går fra t 1 = 40s til t 2 = 100s har cyklisten bevæget sig fra s 1 = 330m til s 2 = 630m, og vi siger derfor at cyklistens gennemsnitshastighed er: v gns = = = 5 = 5 m. s -1. På grafen ovenfor kan vi se, at dette svarer til hældningen af den gule linie, der hedder en sekant. På en (t,s)-graf er en gennemsnitshastighed altså hældningskoefficienten af en sekant, der tegnes ind på grafen i det pågældende tidsrum.

7 Vi vil her definere en øjeblikshastighed, eller hastigheden i et punkt som en gennemsnitshastighed over et meget lille tidsrum omkring øjeblikket / punktet. Det ses, at når tidsrummet bliver meget lille, kommer sekanterne tættere og tættere på den såkaldte tangent i et punkt. Vores hastighed i et punkt er derfor hældningskoefficienten for tangenten i dette punkt. På tegningen her kan øjeblikshastigheden til t = 60s findes som hældningen af den blå tangent, da denne er grænsestilling for de gule sekanter hvis hældninger er gennemsnitshastigheder for tidsrum, der snævrer sig mere og mere sammen on tidspunktet t = 60s. Vi definerer nu en hel hastighedsfunktion, v(t), som angiver øjeblikshastigheden til tidspunktet t. Opgave 7: Find ved aflæsning øjeblikshastigheden v(60s) på grafen ovenfor. Opgave 8: Find ved aflæsning gennemsnitshastigheden over tidsrummet fra t 1 = 10s til t 2 = 30s for cykelturen hvis (t,s)-graf er bragt i opgave 2, side 2. Find ligeledes gennemsnitshastigheden over tidsrummet fra t 1 = 90s til t 2 = 110s. Find ved aflæsning øjeblikshastighederne v(20s), v(50s), v(80s) og v(100s) Beskriv endnu en gang cykelturen med ord, idet du gør rede for hastighedens variation i løbet af turen.

8 Når man har hastighedsfunktionen v(t) kan man afbilde dennes graf i et (t,v)-diagram. Nedenfor ses et eksempel på en (t,s)-graf og den tilhørende (t,v)-graf. Bemærk at anden-akserne har forskellige enheder. Bliv fortrolig med sådanne grafer, og prøv selv at tegne sammenhørende (t,s)- grafer og (t,v)-grafer: Opgave 9: Stedfunktionen for en bevægelse er s(t) = 3,7. t Beregn bevægelsens hastighed v(t).

9 3. Bevægelse med konstant acceleration Hvis (t,v)-grafen for en bevægelse er en ret linie, siger vi, at vi har en jævnt voksende bevægelse eller en bevægelse med konstant acceleration. Accelerationen er defineret som hældningskoeficienten på (t,v)-grafen, dvs. som hastighedstilvæksten pr. sekund. Vi har altså (3.1) a = =, Enheden for acceleration bliver enheden for v divideret med enheden for t, altså = m/s 2 = m. s -2. I et frit fald uden luftmodstand er alle legemer her ved jordoverfladen udsat for en konstant acceleration på g 10m/s 2. I ligningerne (1.1) - (1.4) så vi, hvordan vi kunne finde den tilbagelagte vej ud fra hastigheden gange tiden, men hvad gør vi i dette tilfælde, hvor der ikke er en hastighed, men forskellige hastigheder? Svaret er, at så må vi bruge gennemsnitshastigheden v gns, som også benævnes, idet det i matematikerkredse er almindeligt, at man lader kantede parenteser om en variabel betyde gennemsnittet af variablen.

10 Gennemsnitshastigheden ved en ujævn hastighed kan - ligesom i (1.5) findes som: (3.2) = v gns = =, altså den totale afstand / totale tid, hvis vi lader situation 1 være starten og situation 2 være slutningen på et forløb. Denne kan omformes til (3.3) = s 2 - s 1 = v gns. (t 2 - t 1 ) = v gns. t altså: tilbagelagt vej er gennemsnitshastighed gange forløbet tid. Dette gælder for alle ujævne bevægelser, Men det bliver særligt simpelt at regne på, når vi har at gøre med en bevægelse med konstant acceleration. dvs. en jævnt voksende bevægelse. Her kan gennemsnitshastigheden nemlig findes som middelværdien af starthastigheden og sluthastigheden: (3.4) = v gns = ½. (v start + v slut ) = ½. (v 1 + v 2 ) Under et frit fald, der starter fra hvile (v start = 0) er sluthastigheden (3.5) v slut = g. t. I dette simple tilfælde bliver: (3.6) v gns = ½. (v start + v slut ) = ½. g. t. og så bliver den tilbagelagte vej (3.7) s = v. gns t = ½. g. t. t = ½. g. t 2 også kendt som Galileis faldlov. Opgave 10: En ond lærer falder ned fra et 11,25m højt vindue. Hvad er hans faldtid, og med hvilken hastighed rammer han jorden?