Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske

Transkript

1 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger

2 Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion for en plade med et cirkulært hul... 3 K-1.1. Styrende ligninger... 3 K Ligevægtsligninger... 3 K Kinematiske betingelser... 4 K Konstitutive betingelser... 5 K Kompatibilitetsligninger... 5 K Airy s spændingsfunktion... 6 K-1.2. Bestemmelse af spændingsfordeling omkring et cirkulært hul K-1.3. FEM beregning af en plade med et cirkulært hul... 9 K-2. Analytisk bestemmelse af flytninger for referencebjælken K-2.1. Bestemmelse af flytninger på bjælkemidten med VAP K-2.2. Bestemmelse af flytniner ved flyt K-3. Estimat på primærbjælkens flytning ved fuldt udviklet flydning K-3.1. Elastisk udbøjning K-3.2. Plastisk udbøjning K Flydeled ved midterhul K-3.3. Plastisk udbøjning (over sidehul) K-4. Referenceliste Side II

3 Appendiks K Analytiske overslagsberegninger K-1. Airy s spændingsfunktion for en plade med et cirkulært hul Der opstilles et analytisk udtryk for spændingsfordelingen omkring et hul. Der tages udgangspunkt i en plade med et cirkulært hul. Der påføres en enakset spændingstilstand med spændingen σ 0, se figur 1. Figur 1: Plade med cirkulært hul belastet i aksialretningen. Det analytiske udtryk, for ovenstående geometri, udledes på baggrund af Airy s spændingsfunktion. Der er fundet et standardtilfælde til ovenstående geometri via litteraturen. 1 Formålet er at foretage en indirekte verifikation af FEM-modellen. Findes overensstemmelse mellem den analytiske løsning og en numerisk beregning ved hjælp af FEM, må det formodes, at en FEM model, af en mere kompleks geometri ligeledes giver korrekte resultater.i 2-dimensionelle problemstillinger kan en spændingsfordeling over et tværsnit beskrives ved at sammenholde relationerne mellem ligevægtsligningerne, kinematiske betingelser, konstitutive betingelser, randbetingelserne samt kompatibilitetsbetingelserne. K-1.1. Styrende ligninger K Ligevægtsligninger Ligevægtsligningerne for et kontinuum kan opskrives ved at betragte infinitisimalt kontinuum med siderne x, y, z. Volumenlasten antages i denne udledning at være lig nul. Spændingerne gennem et kontinuum kan variere gennem legemet. Spændingsændringen fra én sideflade til den modstående beskrives ved (K.1). Der tages udgangspunkt i spændingsændringen x-aksen retning. σ xx + σ xx x 1 dx 1 (K.1) Spændingerne virkende i x-aksens retning fremgår af figur 2. 1 Theory of elasticity, third Edition, S.P Timoshenko, J.N. Goodier Side 3

4 Figur 2: Spændingskomposanter virkende i x-aksens retning. Ved projektion i x-aksens retning opskrives ligevægtsligningen. σ xx d x2 d x3 + σ xx + σ xx x1 σ yx d x1 d x3 + σ yx + σ yx x2 d x1 d x2 d x3 d x1 d x1 d x3 σ zx d x1 d x2 + σ zx + σ zx x3 d x3 d x1 d x2 = 0 (K.2) Der divideres igennem med d x1, d x2,d x3. σ xx x1 + σ yx x2 + σ zx x3 = 0 (K.3) Ligevægtsligningen i plan spændingstilstand i x-retningen. σ xx x1 + σ yx x2 = 0 (K.4) Ligevægtsligningen kan tolkes således, at en ændring i normalspændingen σ xx plus en ændring i forskydningsspændingen σ yx tilsammen give nul. Tilsvarende kan ligevægtsligningen opskrives i y- retningen. σ xy x2 + σ yy x1 = 0 (K.5) K Kinematiske betingelser I en plan spændingstilstand gælder følgende kinematiske betingelser. ε x = u x ε y = v y (K.6 a) (K.6 b) Side 4

5 ε xy = u y + v x (K.6 c) K Konstitutive betingelser Spændings-tøjningsrelationen kan opskrives ved (F.7) ud fra antagelsen om, at materialet er lineært elastisk. Relationen benævnes også Hookes generaliserede lov. ε x = 1 E σ xx νσ yy (K.7) ε y = 1 E σ yy νσ xx γ xy = 1 G σ xy = ν E σ xy K Kompatibilitetsligninger Tøjningskomposanterne ε x, ε y, γ xy er jf. (F.6a-c) funktioner af to flytningsfelter u og v. På baggrund af tøjningskomposanterne kan man integrere sig frem til to flytningsfelter u og v. u x, y = ε x d x + f(y) v x, y = ε y d y + g(x) Adderes f(y) differentieret mht. y og g(x) differentieret mht. x findes forskydningstøjningen ε xy. I to vilkårlige flytningsfelter u og v er denne sammenhæng ikke altid opfyldt med mindre, der er en speciel sammenhæng mellem de tre tøjningskomposanter. Denne sammenhæng opstilles ved at differentiere γ xy mht. x og y. γ xy,xy = u,yxy + v,xxy (K.8) (F.6 a) differentieres to gange mht. y og (F.6 b) differentieres to gange mht. x. ε x,yy = u, xyy (K.9) ε y,xx = u, yxx (F.9) indsættes i (F.8). Denne ligning kaldes kompatibilitetsligningen. γ xy,xy = ε x,yy + ε y,xx (K.10) Kompatibilitetsbetingelsen kan udtrykkes i form af spændinger ved at substituere de konstitutive betingelser (F.7) ind i (F.10). Side 5

6 2 x y ν E σ xy = 2 y 2 1 E σ x νσ y + 2 x 2 1 E σ y νσ x (K.11) Ligning (F.11) omskrives med hjælp fra ligevægtsligningerne. Ligevægtsligning (K.4) differentieres mht. x og (F.5) differentieres mht. y. 2 σ xx x σ yx x 2 x 1 = 0 (K.12) 2 σ xy x 1 x σ y y 2 = 0 De to udtrykket adderes og der rykkes rundt på ledene. 2 2 σ yx = 2 σ xx x 2 x 1 x 2 2 σ yy y 2 (K.13) Substitueres dette udtryk ind i (K.11) findes følgende udtryk. 2 x y 2 σ xx + σ yy = 0 (K.14) K Airy s spændingsfunktion Løsningen til (K.14) findes ved at indføre en ny funktion der kaldes Airy s spændingsfunktion. Airy s spændingsfunktioner er defineret ved. σ xx = φ2 y 2 (K.15) σ yy = φ2 x 2 σ xy = φ2 x y Udtrykkene substitueres ind i (K.14). 4 φ x φ x 2 y φ y 4 = 0 (K.16) Spændingsfunktionen φ der opfylder (K.16) vil samtidig også automatisk opfylde ligevægts- og kompatibilitetsligningen. Randbetingelserne indgår i bestemmelsen af spændingsfunktionen. På baggrund af spændingsfunktionen φ findes spændingerne af (K.15). 2 r d r dr φ r 2 θ 2 r dφ r dr + 1 r 2 2 φ θ 2 = 0 (K.17) Ligningen er opskrevet i polære koordinater. Side 6

7 K-1.2. Bestemmelse af spændingsfordeling omkring et cirkulært hul. I et pladefelt svækket med et hul og belastet i en enakset spændingstilstand vil der omkring hullet opstå en spændingskoncentration. Spændingerne vil være normaliserede i en afstand, der benævnes b, forudsat, at b>>a, hvor a er cirklens radius, jf. Saint-Venants princip, se figur 3. Figur 3: Pladefelt med et cirkulært hul og b>>a. Kilde: Timoshenko. Randbetingelserne omkring hullet med r=b bestemmes ved transformationsformel (K.18). Spændingskomposanterne i afstanden b fremgår af figur 4. Figur 4: Spændingskomposanter i pladefeltet i afstanden b fra centrum. ε xy σ rr r=b = n (1)T ε xx ε yx ε n (1) = σ 0 (1 + cos(2θ)) yy 2 (K.18) ε xy σ rθ r=b = n (1)T ε xx ε yx ε n (2) = σ 0 yy 2 sin (2θ) ε xy σ θθ r=b = n (2)T ε xx ε yx ε n (2) = 0 yy hvor n (1) = (cos θ, sinθ) n (2) = ( sin θ, cos θ ) Randbetingelserne omkring hullet med r=a. Spændingskomposanterne på hulranden fremgår af figur 5. Side 7

8 σ rr r=a = 0 (k.19) σ rθ r=a = 0 Figur 5: Spændingskomposanterne på hulranden Det analytiske udtryk opstilles ved at finde en spændingsfunktion φ. Airy s spændingsfunktion opfylder automatisk ligevægtsligningerne samt kompatibilitetsbetingelser. Randbetingelserne (K.18) og (K.19) indgår i bestemmelsen af spændingsfunktionen. Det analytiske udtryk, se (K.20) findes via litteraturen. 2 σ rr = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 4a2 r 2 cos (2θ) (K.20) σ θθ = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 cos (2θ) σ rθ = σ a4 r 4 + 2a2 r 2 sin (2θ) hvor a er hullets radius. r er afstanden hvori spændingen ønskes bestemt. For at danne sammenligningsgrundlag mellem det analytiske udtryk og en tilsvarende FEM model, bestemmes spændingsvariationen langs y-aksen. Det betyder θ = π/2 og r=[-b, b]. σ rr = σ yy = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 4a2 r 2 cos (2θ) (K.21) σ θθ = σ xx = σ a2 r 2 + σ a4 r 4 cos (2θ) σ rθ = σ xy = 0 For at illustrere spændingsvariation langs y-aksen er forholdet mellem r/a plottet som funktion af σ xx /σ 0, se figur 6. 2 Theory og Elasticity, S.P Timoshenko, J.N. Goodier Side 8

9 r/a Spændingsvariation langs y-aksen Hulrand Analytisk udtryk xx / 0 Figur 6: Analytisk udtryk for spændingsvariation langs y-aksen, hvor r/a er plottet som funktion af σ xx /σ 0. I punktet r=a findes σ xx max = 3σ 0. Spændingskoncentrationsfaktoren på randen findes til. SCF = σ xx max σ 0 = 3σ 0 σ 0 = 3 K-1.3. FEM beregning af en plade med et cirkulært hul Det analytiske udtryk sammenholdes med en FEM model. FEM modellen opbygges som en 50x50mm plade med et cirkulært hul med en r=2 mm. Modellen opbygges som en skal- og solidmodel. Der meshes med et free mesh på 1mm. Pladen påføres en enakset spændingstilstand i x- retningen, se figur 7. Figur 7: Plade med et cirkulært, med et free mesh, påført enakset spændingstilstand i x-retningen. x Side 9

10 r/a r/a plottes som funktion af σ xx /σ 0 i samme graf som det analytiske udtryk, se figur Spændingsvariation langs y-aksen Hulrand Analytisk udtryk ANSYS solid model ANSYS skal model xx / 0 Figur 8: Spændingsvariation langs y-aksen, hvor forholdet r/a er plottet som funktion af σ xx /σ 0. Analytisk løsning og FEM beregning. FEM modellerne er i god overensstemmelse med det analytiske udtryk. Afvigelserne kan reduceres yderligere ved anvendelse af et finere mesh omkring hullet. K-2. Analytisk bestemmelse af flytninger for referencebjælken Med formål at danne sammenligningsgrundlag i det elastiske område bestemmes flytningerne analytisk, hvor flytningsmålerne er placeret i forsøgene. Flytningerne bestemmes analytisk ud fra virtuelt arbejdes princip under hensyntagen til forskydningsfleksibilitet. Det er muligt om end besværligt at opstille et analytisk udtryk, da primærbjælkens inertimoment omkring hullerne varierer. Bjælken kan opdeles i en række stykker, hvor flytningerne kan bestemmes, hvilket svare til en FEM løsning. Der opstilles alene et estimat for flytninger for referencebjælken. K-2.1. Bestemmelse af flytninger på bjælkemidten med VAP Det vælges at belaste bjælken med en referencelast på P/2 i de to angrebspunkter. Der påsættes en virtuelle last på 1 i punkterne, hvor flytningerne beregnes, se figur 9. P/2 P/ Figur 9: Angivelse af de to angrebspunkter på bjælken for referencelasterne på P/2, alle mål er i mm. Der anvendes Virtuelt Arbejdes Princip under hensyntagen til forskydningsfleksibiliteten. Flytningen på bjælkemidten bestemmes på følgende måde Side 10

11 w = M o M 1 dx + EI V 0 V 1 GA s dx Der ses først på udbøjningen fra momentbidraget ved en referencelast på 10 kn (M 0 ). 10 kn 10 kn Figur 10: Momentkurve for det virkelige moment 1 Figur 11: Momentkurve for det virtuelle moment w m = 0,7 M 0 M 1 dx + 0,1 EI 0,95 M 0 M 1 dx + 0,7 EI 1,2 0,95 M 0 M 1 dx + EI 1,8 M 0 M 1 dx 1,2 EI Bjælkens symmetri om midten anvendes i integrationen. Kurverne integreres med integrationstabel. 1 w m = 2 0,6 m 6 knm 0,3 m + 1 0,25 m 2 6 knm 0,3 m knm 0,425 m + EI knm 0,425 m+6 knm 0,3 m 1, Nm 3 w m = 2, N m 2 2, m 4 w m = 3,08 mm Bidraget fra forskydningsfleksibiliteten bestemmes. Forskydningsarealet er bestemt som A s = mm 5 mm 15 mm 2 π 7,5 mm 2 = 952 mm 2 Flytningsbidraget beregnes som Side 11

12 Figur 12: Forskydningskraftkurve for den virkelige forskydning Figur 13: Forskydningskraftkurve for den virtuelle forskydning w v = 0,7 V 0 V 1 dx + 0,1 GA s 0,95 V 0 V 1 dx + 0,7 GA s 1,2 0,95 V 0 V 1 GA s dx + 1,8 V 0 V 1 dx 1,2 GA s På sammen måde som før anvendes integrationstabeller og flytningen beregnes til w v = 0,104 mm Den samlede udbøjning i midten af bjælken ved en last på 10 kn findes til w = w m + w v = 3,08 mm + 0,104 mm = 3,18 mm Side 12

13 K-2.2. Bestemmelse af flytniner ved flyt 1 Angrebspunktet for den virtuelle last flyttes jf. figur 14, til en afstand på 570 mm fra understøtningen. Den virkelige last, og dermed momentkurve og forskydningskraftkurve, er uændret. Figur 14: Moment- og forskydningskraftkurver.den virtuelle kraft påført 570 mm fra understøtningen. Flytningen fra til bestemmes efter samme princip som foregående afsnit. w = w m + w v = 2,82 mm + 0,07 mm = 2,89 mm K-3. Estimat på primærbjælkens flytning ved fuldt udviklet flydning Ved belastninger omkring flydegrænsen vil flytningerne ikke udvikle sig lineært, hvorfor estimeringen ikke er mulig. Et udtryk til bestemmelsen af flytningen ved fuldt udviklet flydeled kan opstilles. Bjælken vil danne et flydeled i aksen gennem centrum af et af hullerne. Hvilket hul vides ikke, derfor regnes den analytiske plastiske nedbøjning både for et flydeled i midterhullet og i et af sidehullerne. Til beregning af den elastiske og den plastiske nedbøjning ved flydning er det nødvendigt, at kende det elastiske og det plastiske modstandsmoment i det snit, hvor flydeleddet opstår. Modstandsmomenterne for profilerne med afrundede hjørner og perforerede tværsnit beregnes som forholdet mellem modstandsmomenterne for tværsnit uden afrundede hjørner med og uden hul i tværsnittet, således: W afrundet,ul = W kvadratisk, ul W kvadratisk W afrundet Tværsnittet uden huller og uden rundinger fremgår af figur 15. Side 13

14 Figur 15: Profilets tværsnit uden huller og uden rundinger Det elastiske modstandsmoment for tværsnittet uden huller og uden rundinger beregnes med udgangspunkt i figur 15 som: W el,kvadratisk = I 2 1 = 50 mm mm 3 5 mm mm mm + 50 mm 2,5 mm 2 5 mm 100 mm 2 = 57, mm 3 Det plastiske modstandsmoment for tværsnittet uden huller og uden rundinger beregnes med udgangspunkt i figur 15 som: W pl,kvadratisk = 1 4 b 2 = mm 100 mm mm 90 mm 4 = 67, mm 3 Profilets tværsnit i snittet midt i et hul fremgår af figur 16. Figur 16: Profilets tværsnit uden rundinger i centrum af et hul. elastiske modstandsmoment i snittet, uden medregning af hullerne beregnes med udgangspunkt i figur 16 som: W el,kvadr atisk,ul = I 2 Side 14

15 = 1 50 mm mm 3 5 mm + 50 mm 10 mm 2 5 mm 20 mm mm 3 90 mm + 50 mm 2,5 mm 2 5 mm 90 mm 2 = 53, mm 3 Det plastiske modstandsmoment i snittet, uden medregning af hullerne beregnes med udgangspunkt i figur 16 som: W pl,kvadratisk,ul = 1 b 2 4 = mm 100 mm mm 90 mm mm 60 mm 2 = 58, mm 3 I teknisk ståbi findes det elastiske modstandsmoment til: W el,afrundet = 55, mm 3 I teknisk ståbi findes det plastiske modstandsmoment til: W pl,afrundet = 66, mm 3 Det elastiske modstandsmoment for tværsnittet inklusive rundingerne bliver: W el,ul = W el,kvadratisk, ul W el,kvadratisk W el,afrundet = 53, mm 3 57, mm 3 55,9 103 mm 3 = 52, mm 3 Det plastiske modstandsmoment for tværsnittet inklusive rundingerne bliver: W pl,ul = W pl,kvadratisk, ul W pl,kvadratisk W pl,afrundet = 58, mm 3 67, mm 3 66,4 103 mm 3 = 57, mm 3 K-3.1. Elastisk udbøjning Momentet, der skal til for at skabe flydning, er M el = f y W el = 400 MPa 52, mm 3 = 2, Nm Den samlede last, P, for at skabe flydning beregnes til M = P 600 mm P = 2 M mm = 2 2, Nmm = 70,0 kn 600 mm Side 15

16 Den elastiske udbøjning ved kraften for fuldt udviklet flydning, 76,7 kn, bestemmes ved ANSYS 570 mm fra understøtningerne (Placeringen af flyt 1 og flyt 2): u el = 11,18 mm K-3.2. Plastisk udbøjning Flytningerne ved lastens angrebspunkyer afhænger af, hvor flydeleddet opstår. Det vil for primærbjælken ske over et af hullerne. 3 K Flydeled ved midterhul Momentet, der skal til for at skabe et fuldt udviklet flydeled, er M pl = f y W pl = 400 MPa 57, mm 3 = 2, Nmm For at beregne den plastiske udbøjning tilnærmes systemet med et system med en enkeltkraft på midten, som er vist med stiplet på figur 17. P tilnærmet P/2 P/2 M el M pl l y M el Figur 17: Tilnærmet system illustreret med stiplede linjer. Hældningen, d, af momentkurven bliver d = M pl 850 mm = 2, Nmm = 2, mm Længden af flydeleddet, l y, bliver derfor l y = mm M el d = mm 2, mm = 148 mm 2, Stålkonstruktioner efter DS 412, p 54. Side 16

17 dφ 10ε y y y ε y x 1 x 2 l y ε y y dφ 2 = ε(x) dx 2 Figur 18: Illustration af vinkeldrejningen i et flydeled. Den plastiske vinkeldrejning beregnes med udgangspunkt i figur 18 dφ = ε(x) y dx x2 φ pl = dφ = 2 x1 l y 2 y 10 ε y x2 ε(x) y dx = 2 x1 y x2 ε(x) dx x1 = 2 y x 2 x ε y + ε y Hvor y er den halve tværsnitshøjde. Dermed fås φ pl = 148 mm 100 mm MPa MPa = 0,0282 Den plastiske udbøjning i flydeleddet fås hermed til 1 0, mm = 11,98 mm 2 Hældningen, d, af udbøjningskurven bliver d = u 11,98 mm = 850 mm 850 mm = 0, Det plastiske udbøjningsbidrag 570 mm fra understøtningerne bliver u pl = 570 mm 0, = 8,03 mm Samlet nedbøjning u = u pl + u el = 8,03 mm + 11,18 mm = 19,21 mm Side 17

18 K-3.3. Plastisk udbøjning (over sidehul) For, at beregne den plastiske udbøjning tilnærmes systemet med et system med en enkeltkraft over et af sidehullerne, som er vist med stiplet på figur 19. P/2 P tilnærmet P/2 M el l y1 M pl l y2 M el Figur 19: Tilnærmet system illustreret med stiplede linjer. Momentet for fuldt udviklet flydeled er M pl = f y W pl = 400 MPa 57, mm 3 = 2, Nmm Den samlede last, P, (uden forskydning) bliver M = P 600 mm P = 2 M mm = 2 2, Nmm = 76,67 kn 600 mm Hældningerne, d, af momentkurven bliver d1 = d2 = 730 mm 730 mm = M pl 2, = 3, Nmm 970 mm 970 mm = M pl 2, = 4, Nmm Afstandene mellem momenterne bliver hermed l y1 = 730 mm M el d1 = 730 mm 2, , mm = 64,3 mm l y2 = 970 mm M el d2 = 970 mm 2, , mm = 83,8 mm Side 18

19 10ε y ε y ε y x 1 x 2 x 3 l y1 l y2 Figur 20: Illustration af vinkeldrejningen i et flydeled. De plastiske vinkeldrejninger findes beregnes med udgangspunkt i figur 20 x2 φ pl 1 = dφ = x1 x2 x1 ε x z dx = 1 z x2 ε x dx x1 = 1 z x 2 x ε y + ε y = ly1 2 z 11 ε y ly1 2 z 10 ε y φ pl 2 ly2 2 z 10 ε y Hvor z er den halve tværsnitshøjde. Dermed fås φ pl 1 = φ pl 2 = 64,3 mm 100 mm MPa MPa = 0, ,8 mm 100 mm MPa MPa = 0,01596 Den plastiske udbøjning fås hermed til 1 2 0, mm + 1 0, mm = 12,21 mm 2 Nedbøjning i punktet Hældningerne, a, af nedbøjningskurven bliver a1 = a2 = 730 mm u = 970 mm 12,21 mm = 79, mm 12,21 mm = 59,79 Flytningsmålerne placeres 567 mm fra understøningen i hver side. Udbøjningerne i disse punkter bliver Side 19

20 upunkt1 = upunkt2 = Samlet nedbøjning 567 mm 59, mm 79,44 = 9,48 mm = 7,14 mm u samlet = u plastisk + u elastisk u 1 = 9,48 mm + 11,18 mm = 20,66 mm u 2 = 7,14 mm + 11,18 mm = 18,32 mm Side 20

21 K-4. Referenceliste Theory of Elasticity, 3. udgave 1970, McGraw-Hill, ISBN: Stålkonstruktioner efter DS 412, 3. udgave 2007, Nyt teknisk Forlag, ISBN: Side 21