Forord s. 34. Indledning s. 35. Platons idélære s. 35. Pythagoræerne s. 36. Proportionslæren s. 36. Timaios fortælling om verdens skabelse s.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forord s. 34. Indledning s. 35. Platons idélære s. 35. Pythagoræerne s. 36. Proportionslæren s. 36. Timaios fortælling om verdens skabelse s."

Transkript

1 Platons Timaios Af Karen Thorsen Indholdsfortegnelse: Forord s. 34 Indledning s. 35 Platons idélære s. 35 Pythagoræerne s. 36 Proportionslæren s. 36 Timaios fortælling om verdens skabelse s. 37 Oplæg til arbejde med Timaios s. 41 Arbejdsplan s. 41 Arbejdsspørgsmål s. 41 Katalog med forslag til arbejdstemaer s. 42 Litteraturliste s

2 Forord Myter og matematik Der findes sikkert mennesker, der ikke kan fascineres af matematik. Der findes mange mennesker, der ikke tror, at de kan fascineres af matematik. Matematikundervisningen i skolen vægter ikke fascinationen højt; der gøres fra politisk hold en stor indsats for at få unge til at interessere sig for naturvidenskab, herunder matematik, og opskriften er overalt den samme: man mener, at hvis eleverne skal gøres interesserede i matematik, skal de opleve, at de kan bruge resultaterne i praksis. Fascinationen anses mest for at være for nørder. Men hvad avler mest interesse for matematik: ved hjælp af en lineær model at finde ud af, at man kan spare 15 kroner om måneden ved at have en mobiltelefon uden abonnement i stedet for én med? 16 Eller at addere 1/7 s periode med sig selv igen og igen og se, at de forunderligste mønstre viser sig indbygget i det (hellige) syvtal 17? Det er denne skribents opfattelse, at det ene ikke lever godt uden det andet, og siden der findes en del gymnasiemateriale om praktisk anvendelige matematiske modeller, følger her en gennemgang af en matematisk myte, der viser et fascinerende kosmos, der helt konsekvent er bygget op på matematiske strukturer. Inden for teologien har man en tradition for at fastholde de forestillinger, som man godt ved ikke er sande i almindelig, objektiv forstand, men som ejer en slags eksistentiel sandhed, og som er uundværlige: mytens sandhed Platons Timaios er en myte, der beretter om skabelsen af verden med matematiske strukturer som skelet. Matematikken er helt fra den første begyndelse et grundlæggende princip i opbygningen af universet og dermed også i mennesket, og den eneste grund til, at vi kan erkende vor omverden, er, at vi har de matematiske strukturer tilfælles med den. Vi kan jo nemlig ikke erkende noget, som vi intet har tilfælles med. At beskæftige sig med matematik bliver derfor at udforske universet Hvor absurd det end kan virke at forestille sig, at den matematik, tonerækken bygger på, samtidig ligger til grund for planeternes bevægelser ( absurd og også forkert, har det vist sig ), eller at alt stof er opbygget af bittesmå regulære mangeflader 18 i atomstørrelse ( det er imidlertid kun delvist forkert ), så rejser den konsekvent gennemtænkte og smukt billedligt fortalte myte spørgsmålet: jamen når det nu ikke er sådan, hvordan er det så? Hvis tallene ikke er indbygget i naturen, hvorfor lærer vi dem da ved at betragte naturen ( ét træ, to træer, tre træer )? Hvordan kan vi skelne kategorier fra hinanden, hvis vi ikke i os har en indbygget forståelse af, hvad det samme og det 16 For slet ikke at tale om de utallige eksamensopgaver, hvor man ved hjælp af tal i et skema skal afgøre om bløddyr vokser eksponentielt eller ifølge potensvækst 17 Læg sammen med sig selv og skriv resultaterne ned. 18 Mangeflade er en fordanskning af det græske ord polyeder; fordanskningen skyldes behovet for senere at kunne beskæftige sig med de specifikke flader uden at kende de græske talord. 34

3 forskellige er, som Platon hævder. Kan vi overhovedet være sikre på, at matematikken er anvendelig på virkeligheden? 19 Arbejde med myte og matematik i gymnasiet Matematiklærere er ikke uddannet til at læse myter. Religions- og oldtidskundskabslærere kan oftest ikke læse matematiske formler. AT giver os mulighed for at arbejde sammen, og derfor kan vi nu finde et skrift frem, som har været glemt i mange år, - men som i hele middelalderen og langt op i renæssancen havde en særdeles stærk indflydelse på europæisk verdensforståelse. 20 Timaios er svær at læse. Selv om denne fremstilling tilbyder en genfortælling, der er lidt enklere end teksten selv, vil man sikkert først kunne bruge den i 3G, - evt. i slutningen af 2G. I det følgende præsenteres nogle indledende oplysninger, dernæst en genfortælling af de relevante dele af Platons tekst. Hertil kommer denne forfatters bud på arbejdsspørgsmål, der forhåbentlig kan fremme forståelsen og hjælpe til med at strukturere diskussionerne. Der følger et idékatalog med områder, som man kan fordybe sig i, samt en liste med henvisning til litteratur, på papir og skærm. Indledning Platons idélære Alting flyder, sagde Heraklit ( ca. 500 f.kr. ) og mente dermed, at alt er i konstant forandring. Man kan ikke bade to gange i den samme flod, - flodens vand er skiftet ud, og mennesket er også i konstant forandring. Denne tilsyneladende indlysende sandhed beror imidlertid på et bedrag, mente Parmenides ( ca. samtidig med Heraklit, nok lidt yngre ), thi forandring er slet ikke mulig. Hvis nemlig noget skal forandre sig, må noget værende blive ikke-værende og noget ikke-værende blive værende. Og det strider imod fornuften, thi om det ikke-værende kan man intet vide og derfor slet ikke bygge en filosofi derpå. Heraklits foranderlige verden er således et bedrag. Platon løser den tilsyneladende uløselige modsætning ved at skelne mellem på den ene side det værende, som altid er til, og hvor ingen forandring er mulig og på den anden side det, der uafladelig bliver til og ikke har egentlig væren. Det værende, også kendt som ideernes verden, erkendes med tanken gennem logisk ræsonnement, det tilblivende/foranderlige, dvs. den verden, vi ser for os hver dag, fornemmes med sanserne; den synlige verden med dens kaotiske omskiftelighed er således blot en forestilling, et billede af den egentligt værende, ordnede verden, og vi kan kun sanse, ikke erkende billedet. 19 Se også Jørgen Ebbesens artikel her: Rotter og indianere. Og kloge Hans. 20 Der er nævnt flere temaer i og omstændigheder omkring Timaios receptionshistorie i den udvidede litteraturliste. 35

4 I skriftet Timaios lader Platon den syditaliske naturfilosof Timaios fortælle om, hvorledes den synlige verden er blevet til som billede af ideernes evige verden 21. Pythagoræerne Alt er tal, menes Pythagoras ( f.Kr.) at have sagt. Ifølge pythagoræernes verdensopfattelse er universet opbygget af bittesmå, udelelige enheder med en vis (meget lille) udstrækning. Disse enheder kunne naturligvis tælles, - hvis man altså kunne se dem. Skønhed opstår, når man sætter ting sammen, hvis antal enheder passer smukt til hinanden, dvs. hvis forhold kan beskrives ved en brøk med små tal i tæller og nævner. Der er skønhed og harmoni mellem to toner, hvis strengelængderne forholder sig til hinanden som 2:1, som 3:2 eller 4:3. Et smukt bygningsværk bygges, hvis man sørger for, at der er samme pæne talforhold mellem f.eks. taghøjde og bygningens højde. Udforskningen af tallenes egenskaber er studier i universets harmoni, matematik er dyrkelse af skønhed og planmæssighed og i sidste ende det guddommelige, der står bag. Proportionslæren Pythagoræernes verdensorden var sikret ved, at alt (i princippet) kunne tælles og dermed sammenlignes: dette var større end hint, - dén streng var lige så lang som dén og ville derfor give samme tone fra sig. Imidlertid gik ordenen i stykker, da man opdagede, at der fandtes tal, man ikke kunne tælle og dermed forekomster, man ikke kunne sammenligne. Lad os sige, at vi har to liniestykker og en enhed: l 1 l 2 enhed l 1 måler 4 enheder, når l 2 måler 3 Lad os nu tage to tilfældige liniestykker: l 3 l 4 Man skulle tro, at man altid kunne finde en enhed, der var lille nok til, at man kunne gøre det samme som ovenfor, - sige, at den ene måler f.eks. 479, når den anden måler 385. Pythagoræerne troede det i al fald, - hele deres verdensopfattelse byggede herpå. Men det kan bevises, at det ikke er tilfældet. F.eks. kan siderne i et kvadrat og diagonalen i samme kvadrat, umuligt måles med samme enhed, uanset hvor lille man gør den. 21 I streng, litterær forstand er der ikke tale om en myte, eftersom den har en forfatter. Beretningen rummer imidlertid så mange fælles træk med myten, at vi her tillader os at betragte den som en sådan. 36

5 Denne opdagelse var rystende for mennesker, hvis fortrøstning til verdensordenen byggede på, at alt bestod af bittesmå enheder, der kunne tælles og dermed forstås. Det var så rystende, at det siges, at man holdt opdagelsen hemmelig og druknede en matematiker, der var kommet til at røbe den. Hemmeligheden holdt ikke; Eudoxos ( ) kendte problemet og løste det, - eller kom i al fald om ved det med sin lære om proportioner: Han siger, at man kan sammenligne to størrelser, hvis det giver mening at sige, at den ene er større end den anden ( : man kan ikke sammenligne en cirkel og en linie, - eller Rundetårn og et tordenskrald ), med andre ord, hvis de to størrelser er af samme art. Det, der kan sammenlignes, kan sammenlignes uanset, om det er fællesmåleligt (kommensurabelt) eller ej. Man kan se, om den ene er større end den anden, og man kan regne på inkommensurable størrelser. I stedet for at regne med tal, og med længde/areal/rumfang, der jo må udtrykkes i tal, kan man arbejde med forhold. Selv om alt ikke kan tælles, kan man alligevel beregne og sammenligne størrelser i omverdenen og således rubricere og systematisere omverdenen. Ordenen er vendt tilbage. Proportioner blev grækernes måde at skabe orden på. Templerne byggedes efter kunstfærdige beregninger, f.eks.: =5 8 ø ø = ø h Pythagoræernes sikkerhed for orden var ødelagt, et nyt var trådt i stedet. Proportionerne binder universet sammen. = 1 3 Timaios fortælling om verdens skabelse. Den synlige verden er bygget af Den store Håndværker som en model af den evigt værende verden. Håndværkeren overtager noget synligt stof, som bevæger sig kaotisk omkring. Det bringer han i sin godhed orden i efter fornuftens matematiske principper: Han bygger først de fire elementer, ild, jord, luft og vand, således at hvert element består af bittesmå bestanddele med hver sin form, - ildens mindste bestanddel er den regulære fireflade, jordens den regulære seksflade, luftens den regulære otteflade og endelig er vandets mindste bestanddel den regulære tyveflade. De fire elementer benytter han til at bygge verden af: ild ( så den er synlig ) og jord ( så man kan røre ved den. ). De to er ikke nok, de må bindes sammen, så alt ikke igen opløser sig i kaotiske former. Da vi har at gøre med rum, må der to mellemformer til; vi får således: 37

6 Verden består af ild, jord, luft og vand i følgende forhold: = = De fire danner en enhed, fordi de forholder sig ens til hinanden, og derfor kan de ikke igen opløses og blive til kaos, - som mennesker kan, ved sygdom og død. Verden er for evigt ordnet harmonisk. Derfor må verden også have den mest harmoniske form, kuglens. Kuglen har nemlig samme afstand til centrum overalt, og det samme og harmoniske er mere fuldkomment end det forskellige og kaotiske. Kuglen er glat og har ingen åbninger, for selv om verden er levende, behøver den, modsat menneskene, ingen næring udefra, - og der findes heller ikke noget uden for verden, for Den store Håndværker har struktureret og bygget af alt det materiale, der var. Kuglen har heller ikke brug for hænder og arme at gribe med, for der er intet at gribe, eller ben at gå på, for der er ingen steder at gå hen. Kuglens eneste bevægelse er den mest harmoniske af alle bevægelser: den roterer om sig selv. I kuglens centrum anbringer Håndværkeren verdenssjælen. Verdenssjælen er verdens herskerinde, fordi sjælen er sæde for fornuften. Eftersom orden og harmoni er evigt til stede i verden, som Håndværkeren har bygget den, må fornuften, den guddommelige skaberkraft, også være det. Og fornuften kan ikke bo i legemet, men må bo i en sjæl. Altså har verden en sjæl, og den er konstrueret således: Udelelig og ens væren Delelig og legemlig væren } blandes til En Tredje Slags Væren Udelelig og ens lighed Delelig og legemlig lighed } blandes til En Tredje Slags Lighed Udelelig og ens forskellighed Delelig og legemlig forskellighed } blandes til En Tredje Slags Forskellighed De tre blandinger blander han igen sammen til et hele, sjælsstoffet. Stoffet har form som et langt bånd, og det deler han i mange intervaller, først efter dobbelte og tredobbelte rækker ( 1, 2, 4, 8 og 1, 3, 9, 27 ), dernæst underdeler han de intervaller efter proportionale regler og opnår derved til sidst de intervaller, som skaber tonerækken. Efter således at have opdelt verdenssjælen i harmoniske stykker river han båndet over på langs, lægger de to dele over kors som et X og føjer enderne sammen, således at der bliver to kredse. 38

7 Den ene gør han til den ydre ring, - den er fiksstjernernes omløbsbane, og den går mod højre; den kaldes Det Samme s bevægelse, fordi fiksstjernerne bevæger sig ens. Den anden kreds bliver den indre ring, og den er planeternes bevægelse; de bevæger sig mod venstre, - og ikke i ensartet bevægelse, hvorfor denne ring kaldes det forskellige. En armillarsfære Det Forskellige s ring 7-deles ved intervallerne I tre af disse kredse sker bevægelsen med samme hastighed, i de øvrige fire med forskellig hastighed, men dog med hastigheder, hvis forhold kan beskrives ved små, hele tal.. Det Samme s ring har forrang, fordi den er enkel og udelt, ligesom fornuften er det, - i modsætning til sanserne. Verdens legeme og verdens sjæl føjes nu sammen: Håndværkeren lægger den kugleformede verdenskrops centrum sammen med centrum for verdenssjælens baner og fletter dernæst legeme og sjæl sammen overalt, således at sjælen gennemsyrer alt og også svøbes uden om verdenskuglen som en skal. Det er verdenssjælens væsen at rotere. Hver gang, den kommer i berøring med noget, meddeler den, - lydløst, uden tale - hvad dette noget er det samme som eller forskelligt fra. Det gælder, hvad enten Det Samme s cirkel berører noget evigt værende ( da opstår fornuftsbaseret viden ), eller det forskelliges cirkel berører noget foranderligt ( da opstår sikre og sande meninger om det sanselige ). Fordi cirklerne er fuldkomne og aldrig bringes i uorden, er verdenssjælens kundskaber altid sande. Den store Håndværker glædede sig over sin verden; men fordi godheden er hans væsen, ville han gøre den endnu skønnere: Håndværkerens forbillede var en evig verden. Også på dette punkt måtte den skabte verden ligne forbilledet, blot mindre fuldkomment: Håndværkeren skabte tiden som et 39

8 billede af evigheden. Det skete ved, at han skabte himmellegemerne og indsatte dem i de cirkler, der passede til dem: sol, måne, 5 andre stjerner, - dvs. planeterne, himmelhvælvingens vagabonder, sattes i Det Forskellige s bane, og således indførtes dag og nat, måneder og år. Solen er vigtigst, fordi dens tidsenhed er mindst, døgnet. Med døgnet som regneenhed kan man lære at beregne de andre enheder ( måneder, år samt mere komplicerede astronomiske beregninger ). Solen giver mennesker talsystemet. Fire slags levende væsener bebor dette univers: i himlen, der består af ild: guder, - dvs. planeterne, fiksstjernerne samt hvad der ellers måtte findes af guder. Hertil fuglene i luften, vanddyrene samt de, der går på fødder på det tørre land. Resten af arbejdet må Den store Håndværker overlade til de mindre guder, som han lige har skabt, både dem, der løber i kreds ( fiksstjerner og planeter ) og dem, der kun åbenbarer sig af og til, - de guder, som vi normalt kalder guder. Nu skal de dødelige skabes, - planter, dyr og mennesker, thi uden dem ville verden ikke være fuldkommen, dvs. rumme alle arter. Det kan Håndværkeren ikke gøre alene, for han kan kun skabe evige, udødelige væsener. Han tager resterne af det stof, verdenssjælen var lavet af, fortynder det for at få nok og deler det derefter omhyggeligt mellem hver gud, der således får materiale til netop én sjæl. Sjælen er nu hos sin gud, og Håndværkeren viser den universets natur og belærer den om skæbnens love: Sjælene skal snart fødes for første gang, og alle fødes som gudfrygtige og retskafne mennesker, - alle sjæle får samme udgangspunkt, men de bliver ikke ens: de bedre fødes som mænd, de ringere som kvinder. Guderne låner lidt ild, jord, vand og luft. Disse dele sammenføjer de med en mængde små, usynlige nagler, ikke med proportionens uløselige bånd, til det menneskelige legeme. Legemets facon er kun delvist kugleformet, - og kuglen er endda ikke glat, men har åbninger og udposninger. Den udødelige del af sjælen bor i den kugleformede del af legemet; den dødelige sjæl, som de lavere guder tilføjede, anbragte de i kroppen, - den udvækst, som det mindre fuldkomne væsen behøver for at kunne gribe ud, bevæge sig omkring osv. I dette legeme indespærrer guderne den udødelige sjæls harmoniske cirkler. Men hvor verdens legeme var bragt i orden, før sjælen blev anbragt der, er legemet kaotisk, og det er sjælens opgave med fornuftens hjælp at bekæmpe legemets kaos: planløse bevægelser, tilfældige berøringer med andre væsener og de stærke fornemmelser, som det afføder: begær, vrede, glæde, - alt sammen Det Forskelliges urolige bevægelser, der forstyrrer og bringer uorden i Det Sammes rolige rotation. Sjælens opgave er at genetablere Det Sammes rolige, fornuftige bevægelser og derved også kontrollere Det Forskelliges bevægelser. Opgaven kan løses: via sit slægtskab med verdenssjælen kan den enkelte sjæl erkende universet/altet og er altså i stand til at hæve sig over den tilsyneladende verdens kaotiske bevægelser og fornemmelser og således bringe orden i det lille univers, som et menneske er. Lykkes det, kan sjælen, når det givne liv er levet, og ild, jord, luft og vand skal afleveres igen, vende tilbage til sin stjernefælle og der leve i lykkelig evighed, - lykkes det ikke, må den blive en kvinde eller endog et dyr ved sin(e) næste fødsel(er). 40

9 Oplæg til arbejde med Timaios: Arbejdsplan: Selv om der er givet en genfortælling, er dette ikke let stof, og det vil sikkert kun give mening at arbejde med det i 3 G, evt. i slutningen af 2G i en god klasse; måske kan en matematikerklasse afslutte faget oldtidskundskab med at arbejde med dette tema; det skulle være muligt at læse Platons egen tekst efter grundigt forarbejde. Man kan forestille sig en indledende læsning af genfortællingen med almindelige tekstlæsningsmetoder ( referat, spørgsmål til tid og sted, genre, tekstens intention osv.osv. ). Herefter vil der utvivlsomt være mange dunkle punkter. Disse kunne oplyses på den måde, at nogle elever påtog sig at orientere om proportionslæren, nogle om de platoniske legemer, nogle om middeltal osv. En forståelse af disse matematiske emner skulle lette læsningen af teksten, således at man i anden omgang kan læse i dybden og sluttelig læse dele af Platons egen tekst. Arbejdsspørgsmål: 1. Spørgsmål, der sigter mod forståelse af teksten: Da teksten er fremmedartet, bør man begynde sit arbejde med den med at gennemgå selve handlingsgangen ret udførligt, enten skriftligt eller i samtaleform. Hvad skabes der af? Hvad skabes der med? Med andre ord: skabelse består i at etablere ønskværdige tilstande ud af noget problematisk. Hvad er det problematiske? Hvad er det ønskværdige? Bygning af verdenssjælen har tæt sammenhæng med den antikke verdens kosmologi. Undersøg, hvad fiksstjerner og planeter er, og hvordan man mente, at de bevægede sig. Banerne kan illustreres i armillarsfæren, s. 39. Hvad betyder det, at himmellegemernes bevægelser forløber langs baner, der er inddelt efter tonerækken? ( Man talte i oldtiden om sfærernes musik : i universet er der bestandig skøn musik, - vi hører den blot ikke, fordi vi har vænnet os til den. Platon nævner den ikke her, men den kan være underforstået ). Hvorfor er det fuldkomment ikke at behøve næring udefra ( jordens legeme ), mindre fuldkomment at have brug for det ( menneskets legeme )? Er det forståeligt at opfatte tiden som et afbillede af evigheden? Hvad er årsagen til / formålet med, at verden er blevet til? 41

10 Hvad betyder det, at der er et formål? ( Vi opererer i vore dage med et naturvidenskabeligt årsagsbegreb ( hvad er det? ). I oldtiden havde man flere opfattelser af årsagsbegrebet; således har Aristoteles, som er lidt senere end Platon, fire årsager. Platons vigtigste årsagsbegreb er det såkaldt teleologiske: årsag = formål. Vi møder det i vore dage vist kun i populærbiologien i ræsonnementer som: myreslugeren har sin tunge, for at den bedre kan fange myrer; en naturvidenskabelig årsagsforklaring ville her være: myreslugeren har overlevet, fordi den havde udviklet den lange, praktiske tunge ). Prøv at beskrive en almindelig dag i jeres liv ud fra Timaios verdensbillede: hvordan skal de forskellige, helt banale situationer som at skændes med sin lillebror, købe et par sko og læse hhv. undervise i matematik forstås? 2. Spørgsmål vedrørende erkendelsesteori, herunder matematik. Den senantikke filosof Proclus ( 400-tallet e.kr. ) siger, at al kundskab opnås ved lighed mellem den erkendende og det erkendte. Med andre ord: man kan ikke forstå det, man ikke er en del af. Overvej, om det er rigtigt. Hvis det er rigtigt, hvad betyder det så, at verdens- og dermed menneskesjælen er bygget op af begreber som deleligt/udeleligt, lighed/forskellighed? Hvad hvis det er rigtigt, men menneskesjælen ikke er bygget af disse begreber? Kan man drive naturvidenskab efter Parmenides opfattelse? Efter Platons? Matematikken er en central del af den evige fornuft, - og den er samtidig indbygget i verden ( planeternes baner og dermed verdenssjælen, solens omløbstid ). Kan vi forstå matematik, hvis det ikke er rigtigt, at den er indbygget i os? Kan vi anvende matematik på verden, hvis det ikke er rigtigt, at den er indbygget i verden? I givet fald hvordan? Katalog med forslag til arbejdstemaer: - Eudoxos' proportionslære med udblik til Dedekind-snit og de reelle tal. - De regulære polyedre med udblik til beviset for, at der ikke findes flere. - harmoniske og geometriske - evt. flere - middeltal, - kan videreudvikles til talfølger og rækker, eller man kan dreje arbejdet mere i retning af matematik musikteori. - al pythagoræisk matematik vil i og for sig være relevant, idet den belyser pythagoræernes opfattelse af, hvorledes matematikken og universet hang sammen. - Timaios betydning i europæisk videnskabshistorie. Der kræves i AT ikke nødvendigvis matematik på A-niveau, selv om eleven har dette. En del af de angivne emner kan dog komme op på et pænt niveau. 42

11 Litteraturliste.. og et par kommentarer: Tekster: Platon: Timaios. 8. bind i Høeg/Ræders udgave Platons skrifter i oversættelse fra En ny oversættelse er på vej, forventes i slutningen af 2012, i Tortzen og Mejers udgave af Platons skrifter. Euklid:Elementer I-IV, oversat af Thyra Eibe. Seneste udgave: Tilgængelig i engelsk version på nettet: Kommentarer til Timaios: Cornford: Plato s Cosmology. Oxford Titlen anføres for en ordens skyld, skønt bogen alene har filologisk og ikke matematisk interesse. Pythagoræisk matematik generelt: Clausen & Falkesgaard: Tal og tanke. Munksgaard En absolut elevvenlig indføring i pythagoræisk matematik med mange eksempler og opgaver. Anvendelig på alle klassetrin. Proportionslæren: Euklid, bog V, rummer proportionslæren Jesper Lützen gennemgår den antikke proportionslære. Kan læses af gode elever. Howard Stein: Eudoxos and Dedekind: On the ancient Greek theory of ratios and its relation to modern mathematics. Synthese, bind 84, 2, s Artiklen er tilgængelig her: Videnskabelig artikel Proportionslæren var massivt til stede i græsk arkitektur. Herom følgende to henvisninger: 43

12 Pedersen, Linda Søndergaard: Tholos i Delfi. Samtiden Anbefalet, Klassikerforeningens Kildehæfter, Fokuserer man på Apollon-templet i Didyma, findes konkrete mål, som man kan regne på, her: ct=building De regulære polyedre alias de platoniske legemer: Euklid XIII rummer konstruktionen af de regulære polyedre. Et sæt noter til især polyedrenes geometri, men også til øvrige matematiske problemer i Timaios. De kan med lidt hjælp anvendes af elever. Undervisningsmateriale, lige til at gå til, også med Eulers polyedersætning og med yderligere henvisninger, findes her: Middeltal og harmonilære: En kort og elevvenlig indføring findes her: homepage.svendborg-gym.dk/rl2/index.php?download...pdf Archytas var den græske foregangsmatematiker på dette område. En udførlig oversigt over hans liv og virke, forså vidt som det kendes, gives her: Især afsnit 2.2 er relevant Stanford-artiklerne er hurtige oversigtsartikler, som sammenfatter relevant forskning. Det kan læses af lærere, undtagelsesvis og i mindre portioner af (gode) elever. Sundberg, Ove Kr.: Pythagoras os de tonende tall. Oslo En bog til inspiration for den lærer, der arbejder med musik og harmoni og filosofi Carstensen, Jens og Petersen, Palle Bak: Uligheder. Eget forlag, 2003 Et afsnit heri behandler de forskellige middeltal. En bog for læreren og den særligt interesserede elev. 44

13 Carstensen, Jens: Talfølger og rækker. Systime Dele findes som e-bog. Kan læses af gode elever. Timaios betydning i europæisk historie Timaios var den eneste af Platons dialoger, der var kendt i Europa indtil renæssancen. Dens betydning for middelalderens kosmologi kan dårligt overvurderes, men langt ind i renæssancen var Timaios stadig central: Her vil jeg blot til illustration anføre nogle adresser, hvor man kan læse om dialogens indflydelse på Johannes Kepler ( ): Også den opfattelse af legeme og sjæl, som var herskende i kirken, - og vel stadig er det i Europa i dag skriver sig i høj grad tilbage til Platon, ikke mindst, som han fortolkedes i nyplatonismen. Det er utvivlsomt for komplekst til et gymnasieprojekt. Det skal nævnes, at der ser ud til at være fornyet interesse for Timaios efter årtusindskiftet; der har således været afholdt flere store forskningsseminarer, og der er udgivet litteratur herom. Endelig gælder, at selv om den platoniske opfattelse af matematikkens genstand: at matematikkens genstand faktisk eksisterer, og at matematisk forskning består i lidt efter lidt at opdage den, - selv om den opfattelse af de fleste er dømt ude, har det vist sig vanskeligt at undvære den, - endsige stille noget i stedet. Den amerikanske matematikfilosof, Reuben Hersh, siger således: The working mathematician is a Platonist on weekdays, a formalist on weekends. On weekdays, when doing mathematics, he's a Platonist, convinced he's dealing with an objective reality whose properties he's trying to determine. On weekends, if challenged to give a philosophical account of this reality, it's easiest to pretend he doesn't believe in it. He plays formalist, and pretends mathematics is a meaningless game. Reuben Hersh: What is Mathematics, Really, London 1997, s. 39f. 45

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Verdensbilleder. Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium

Verdensbilleder. Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium Verdensbilleder Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse Indhold Problemformulering... 3 Underspørgsmål... 3 Materialer, metoder og teorier... 3 Delkonklusioner...

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden Kapitel 1 Musik, matematik og astronomi i oldtiden Pythagoras store opdagelse Erkendelsen af en sammenhæng mellem musik og matematik går langt tilbage i tiden. Ifølge en legende blev forbindelsen opdaget

Læs mere

Øvelse 1. bygges op, modellen

Øvelse 1. bygges op, modellen Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere naturvidenskaberne, og han søgte hele sit liv at finde de fysiske love,

Læs mere

Sandhed del 1. Relativ eller absolut sandhed 1?

Sandhed del 1. Relativ eller absolut sandhed 1? Sandhed del 1 Relativ eller absolut sandhed 1? Dagens spørgsmål: Når det gælder sandhed findes der grundlæggende to holdninger. Den ene er, at sandhed er absolut, og den anden at sandhed er relativ. Hvad

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15)

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15) Loven for bevægelse (Symbol nr. 15) 1. Guddommens jeg og skabeevne bor i ethvert væsens organisme og skabeevne Vi er igennem de tidligere symbolforklaringers kosmiske analyser blevet gjort bekendt med

Læs mere

Hvilke af begreberne har især betydning for synet på mennesket, og hvilke har især religiøs betydning?

Hvilke af begreberne har især betydning for synet på mennesket, og hvilke har især religiøs betydning? Bevidstheden Oplæg til fordybelse 1 Begreber Hvordan kan man inddele naturen? Hvilke kategorier er det nærliggende at inddele naturen og hele virkeligheden i? Det kan gøres på mange forskellige måder:

Læs mere

Figur 2: Forsiden af Dialogue fra 1632.

Figur 2: Forsiden af Dialogue fra 1632. Indledning Når man hører fortællinger om fysikkens historie, virker det ofte som om, der sker en lineær, kontinuert udvikling af naturvidenskaben. En ny og bedre teori afløser straks ved sin fremkomst

Læs mere

Verdensbilleder i oldtiden

Verdensbilleder i oldtiden Verdensbilleder Teksten består af to dele. Den første del er uddrag fra Stenomuseets skoletjeneste(http://www.stenomuseet.dk/skoletj/), dog er spørgsmål og billeder udeladt. Teksten fortæller om hvordan

Læs mere

TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET

TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET TIL UNDERVISEREN Dette undervisningsmateriale tager udgangspunkt i programserien Store Danske Videnskabsfolk og specifikt udsendelsen om Tycho Brahe. Skiftet fra det geocentriske

Læs mere

Projekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi

Projekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi Projekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi I den græske filosof Platons værk Menon beskriver han en dialog mellem Sokrates og adelsmanden Menon, og hvor Sokrates på et tidspunkt

Læs mere

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer Månedens astronom februar 2006 side 1 Verdensbilleder * Det geocentriske * Det geo-heliocentriske * Det heliocentriske 1: kosmologiens fødsel og problemer Astronomien er den ældste af alle videnskaber

Læs mere

- og ORDET. Erik Ansvang.

- og ORDET. Erik Ansvang. 1 - og ORDET var GUD! Erik Ansvang www.visdomsnettet.dk 2 I Joh. 1,1 står der: I begyndelsen var Ordet, og Ordet var hos Gud, og Ordet var Gud! At alt i Universet er opstået af et skabende ord, er i sig

Læs mere

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det

Læs mere

Kommentar til Anne-Marie

Kommentar til Anne-Marie Kommentar til Anne-Marie Eiríkur Smári Sigurðarson Jeg vil begynde med at takke Anne-Marie for hendes forsvar for Platons politiske filosofi. Det må være vores opgave at fortsætte Platons stræben på at

Læs mere

Frelse og fortabelse. Hvad forestiller vi os? Lektion 9

Frelse og fortabelse. Hvad forestiller vi os? Lektion 9 Lektion 9 Frelse og fortabelse De fleste forbinder dommedag, med en kosmisk katastrofe. Men hvad er dommedag egentlig? Er der mennesker, der går fortabt, eller bliver alle frelst? Hvad betyder frelse?

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Mekanicisme og rationalisme

Mekanicisme og rationalisme Ved ANDERS FOGH JENSEN Mekanicisme og rationalisme Om dualisme, rationalisme og empirisme under og efter det naturvidenskabelige gennembrud v.anders Fogh Jensen www.filosoffen.dk 1. Det naturvidenskabelige

Læs mere

en fysikers tanker om natur og erkendelse

en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh

Læs mere

Den syvende himmel. Ib Michelsen. Ikast

Den syvende himmel. Ib Michelsen. Ikast Den syvende himmel Ib Michelsen Ikast 2018 Antikken Den syvende himmel Aristoteles Filosof og matematiker (384f.v.t. 322 f.v.t.), Platons elev, samler Antikkens viden op, som senere overtages af og indgår

Læs mere

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 1.-3. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse!

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 1.-3. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! MUSEET PÅ VEN Lærervejledning 1.-3. klasse Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! Denne vejledning er tænkt som et tilbud for dem der godt kunne tænke sig at

Læs mere

Aristoteles og de athenske akademier

Aristoteles og de athenske akademier lige geometriske genstande, som var evige og foranderlige størrelser i en abstrakt verden. Erkendelse var således ikke erkendelse af sansernes verden, men af en anden verden, kun tilgængelig for ånden.

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Tekster: Jer 23,16-24, Rom 8,14-17, Matt 7,15-21

Tekster: Jer 23,16-24, Rom 8,14-17, Matt 7,15-21 Tekster: Jer 23,16-24, Rom 8,14-17, Matt 7,15-21 750 Nu titte til hinanden Dåb: 448.1-3 + 4-6 41 Lille Guds barn 292 Kærligheds og sandheds ånd (438 Hellig, hellig, hellig 477 Som korn) 726 Gak ud min

Læs mere

Prædiken til Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 1 dåb

Prædiken til Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 1 dåb Prædiken til Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 1 dåb 240 - Dig være ære 448 Fyldt af glæde 236 - Påskeblomst 224 Stat op min sjæl Nadververs: 245 v, 5 Opstandne herre du vil gå 218 Krist stod op af døde Jeg

Læs mere

vi lærer og vi lærer af vore erfaringer der sker noget en hændelse en handling og vi får erfaringer

vi lærer og vi lærer af vore erfaringer der sker noget en hændelse en handling og vi får erfaringer Da Jesus så skarerne, gik han op på bjerget og satte sig, og hans disciple kom hen til ham. Og han tog til orde og lærte dem:»salige er de fattige i ånden, for Himmeriget er deres. Salige er de, som sørger,

Læs mere

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Uddrag af (kilde: http://aigis.igl.ku.dk/2005,1/cgtmen.pdf): Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Kapitel 16: SOKRATES: Sig mig så dreng, ved du, at et kvadratisk areal ser sådan

Læs mere

SANDELIG! INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives

SANDELIG! INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives SANDELIG! STAKKELS PLUTO I 1930 opdagede en astronom fra den amerikanske delstat New Mexico et ganske lille objekt. Ved nærmere efterforskning viste det sig at bevæge sig i en bane omkring solen, der lå

Læs mere

Aristoteles om uendelighed

Aristoteles om uendelighed Aristoteles om uendelighed Af Charlotte Stefansen En af de stridigheder man møder inden for matematik vedrører, om man kan tillade brugen af uendeligheder. Groft sagt kan man dele opfattelser af matematik

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

FILOSOFI, MATEMATIK OG NATURVIDENSKAB I ANTIKKEN

FILOSOFI, MATEMATIK OG NATURVIDENSKAB I ANTIKKEN FILOSOFI, MATEMATIK OG NATURVIDENSKAB I ANTIKKEN Euklid Det fortælles, at følgende sætning stod skrevet over indgangen til Platons Akademi i Athen:»Her træde ingen ind, som er uvidende om matematik.«platon

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Hvad er socialkonstruktivisme?

Hvad er socialkonstruktivisme? Hvad er socialkonstruktivisme? Af: Niels Ebdrup, Journalist 26. oktober 2011 kl. 15:42 Det multikulturelle samfund, køn og naturvidenskaben. Konstruktivisme er en videnskabsteori, som har enorm indflydelse

Læs mere

Når I konfirmander mødes i morgen til blå mandag, så forestiller jeg mig, at det er noget, mange af jer vil høre jer selv sige og spørge de andre om.

Når I konfirmander mødes i morgen til blå mandag, så forestiller jeg mig, at det er noget, mange af jer vil høre jer selv sige og spørge de andre om. 1 Prædiken til konfirmation 27. april kl. 11.00 749 I østen stiger solen op 17 Altmægtige og kære Gud (udvalgte vers) 70 Du kom til vor runde jord 439 O, du Guds lam 15 Op al den ting Hvor meget fik du?

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Matematikken i antikken

Matematikken i antikken Matematikken i antikken Pythagoras (ca. 570 to ca. 490 f.kr.) da de i tallene syntes at se mange ligheder til ting, som eksisterer og kommer til at eksistere, mere end i ild og jord og vand; da de igen

Læs mere

21. søndag efter trinitatis

21. søndag efter trinitatis 21. søndag efter trinitatis Sneum kirke, søndag den 9. november kl.10.15-21.søndag efter trinitatis Gud Fader, Søn og Helligånd, du som er i himlen og på jorden, alle menneskers liv tilhører dig. Tak fordi

Læs mere

Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre

Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre HENRIK KRAGH SØRENSEN Institut for Videnskabshistorie (IVH) Aarhus Universitet, hkragh@imf.au.dk. juni 001 Resumé Formålet med denne note er at sammenfatte

Læs mere

v1 I begyndelsen skabte Gud himlen og jorden. v2 Jorden var dengang tomhed og øde, der var mørke over urdybet, og Guds ånd svævede over vandene.

v1 I begyndelsen skabte Gud himlen og jorden. v2 Jorden var dengang tomhed og øde, der var mørke over urdybet, og Guds ånd svævede over vandene. 1 15 - Op al den ting 448 - Fyldt af glæde 728 - Du gav mig, O Herre 730 - Vi pløjed og vi såe de nadververs 732 v. 7-8 - 729 - Nu falmer skoven 1. Mos. 1, 1ff v1 I begyndelsen skabte Gud himlen og jorden.

Læs mere

Det er en konflikt som rigtigt mange mennesker vil kende til.

Det er en konflikt som rigtigt mange mennesker vil kende til. Tekster: Sl 84, Rom 12,1-5, Luk 2,41-52 Salmer: Evangeliet, vi lige har hørt åbner i flere retninger. Det har en dobbelttydighed, som er rigtigt vigtig ikke bare for at forstå dagens evangelium, men det

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Prædiken til 4. søndag efter påske, Joh 16,5-15. 1. tekstrække. Grindsted Kirke Søndag d. 3. maj 2015 kl. 10.00 Steen Frøjk Søvndal.

Prædiken til 4. søndag efter påske, Joh 16,5-15. 1. tekstrække. Grindsted Kirke Søndag d. 3. maj 2015 kl. 10.00 Steen Frøjk Søvndal. 1 Grindsted Kirke Søndag d. 3. maj 2015 kl. 10.00 Steen Frøjk Søvndal Prædiken til 4. søndag efter påske, Joh 16,5-15. 1. tekstrække Salmer DDS 478: Vi kommer til din kirke, Gud Dåb: DDS 448: Fyldt af

Læs mere

Matematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.

Matematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet

Læs mere

Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du

Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du får en bedre, mere støttende relation til dig selv. Faktisk vil jeg vise dig hvordan du bliver venner med dig selv, og især med den indre kritiske

Læs mere

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Alle religioner har beretninger om verdens skabelse og udvikling, der er meget forskellige og udsprunget af spekulation. Her fortælles om nogle få videnskabelige

Læs mere

nu er kriser nok ikke noget man behøver at anstrenge sig for at opsøge, skabe eller ligefrem opfinde sådan i det daglige

nu er kriser nok ikke noget man behøver at anstrenge sig for at opsøge, skabe eller ligefrem opfinde sådan i det daglige 1 Til sidst viste Jesus sig for de elleve selv, mens de sad til bords, og han bebrejdede dem deres vantro og hårdhjertethed, fordi de ikke havde troet dem, der havde set ham efter hans opstandelse. Så

Læs mere

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996 Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet

Læs mere

JESUS ACADEMY TEMA: GUDS FULDE RUSTNING

JESUS ACADEMY TEMA: GUDS FULDE RUSTNING Tro på Gud Det første punkt i troens grundvold er Omvendelse fra døde gerninger, og dernæst kommer Tro på Gud.! Det kan måske virke lidt underlig at tro på Gud kommer som nr. 2, men det er fordi man i

Læs mere

Om myter. Et undervisningsforløb for overbygningen

Om myter. Et undervisningsforløb for overbygningen Om myter Et undervisningsforløb for overbygningen 1 Definitioner af myten Kraftigt virkende, tidløse historier med magt til at forme og styre vores liv og således enten inspirere os eller ødelægge vores

Læs mere

Prædiken til 14. s.e.trin., Vor Frue kirke, 6. sept. 2015. Lukas 17,11-19. Salmer: 728, 434, 447, 674,1-2, 30 / 730, 467, 476, 11.

Prædiken til 14. s.e.trin., Vor Frue kirke, 6. sept. 2015. Lukas 17,11-19. Salmer: 728, 434, 447, 674,1-2, 30 / 730, 467, 476, 11. Prædiken til 14. s.e.trin., Vor Frue kirke, 6. sept. 2015. Lukas 17,11-19. Salmer: 728, 434, 447, 674,1-2, 30 / 730, 467, 476, 11. Af domprovst Anders Gadegaard Alt er givet os. Taknemmeligheden er den

Læs mere

Solformørkelse. Ali Raed Buheiri Vinding Skole 9.a 2015 Unge forskere Unge forskere junior

Solformørkelse. Ali Raed Buheiri Vinding Skole 9.a 2015 Unge forskere Unge forskere junior Solformørkelse Siden 1851 den 18. juli, er den totale solformørkelse, noget vi hele tiden har ventet på her i Danmark, og rundt i hele verden har man oplevet solformørkelsen, som et smukt og vidunderligt

Læs mere

Mysteriet. elektricitet. Brian Arrowsmith.

Mysteriet. elektricitet. Brian Arrowsmith. 1 Mysteriet elektricitet Brian Arrowsmith www.visdomsnettet.dk 2 Mysteriet elektricitet Af Brian Arrowsmith Fra The Beacon (Oversættelse Ebba Larsen) Manas er elektricitet. Manas er elektricitet. Oplyst

Læs mere

Projekt 3.8. Månens bjerge

Projekt 3.8. Månens bjerge Projekt 3.8. Månens bjerge Introduktion til hvordan man kan arbejde med dette projekt. Det følgende kan integreres i et projekt om verdensbilleder, hvor man både kommer ind på diskussioner om at opnå erkendelse,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

menneskets identitet: skabt i Guds billede helt umiddelbart: en særlig værdighed

menneskets identitet: skabt i Guds billede helt umiddelbart: en særlig værdighed Du gode Gud, jeg takker dig for livet, fordi jeg lever og er til i dag. Jeg rækker hånden ud mod livets gave og mod den kærlighed, der ligger bag. Du giver hele verden liv og ånde og holder gang i alle

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Mayaernes verden. Titel. Forfatter. Hvad forestiller forsidebilledet? Hvad fortæller bagsideteksten om bogen?

Mayaernes verden. Titel. Forfatter. Hvad forestiller forsidebilledet? Hvad fortæller bagsideteksten om bogen? A FØR JEG LÆSER BOGEN Fakta om bogen Titel Forfatter Hvornår er bogen udgivet? _ På hvilken side findes Indholdsfortegnelse? _ Stikordsregister? Bøger og www? Hvor mange kapitler er der i bogen? Hvad forestiller

Læs mere

Lærervejledning til Læs selv matematik

Lærervejledning til Læs selv matematik Lærervejledning til Læs selv matematik Målgruppe 4-7. klasse Formål Formålet med "Læs selv matematik" er at føje en ekstra dimension til matematikundervisningen. Med "Læs selv matematik" vil eleverne opleve,

Læs mere

Eksamen nr. 2. Forberedelsestid: 30 min.

Eksamen nr. 2. Forberedelsestid: 30 min. STX Oldtidskundskab Eksamen nr. 2 Forberedelsestid: 30 min. - Se video: Intro - Forbered opgaven - Se video: Eksamen 2 - Diskuter elevens præstation og giv en karakter - Se video: Votering - Konkluder

Læs mere

mennesker noget andet navn under himlen, som vi kan blive frelst ved. Ap.G. 4,7-12

mennesker noget andet navn under himlen, som vi kan blive frelst ved. Ap.G. 4,7-12 Fra det gamle testamente: Luk retfærdighedens porte op, jeg vil gå ind og takke Herren! Her er Herrens port, her går de retfærdige ind! Jeg takker dig, for du svarede mig og blev min frelse. Den sten,

Læs mere

Maj-juni serien Episode 4

Maj-juni serien Episode 4 15-06-17 Maj-juni serien Episode 4 Velkommen til denne 4 og sidste episode af maj-juni serien hvor vi har arbejdet med hjertet og sjælen, med vores udtryk og finde vores balance i alle de forandringer

Læs mere

risikerer ikke at blive snydt, fordi GPS troede, jeg mente Rom oppe ved Lemvig i Jylland. Jeg må nødvendigvis være mere opmærksom på ruten undervejs.

risikerer ikke at blive snydt, fordi GPS troede, jeg mente Rom oppe ved Lemvig i Jylland. Jeg må nødvendigvis være mere opmærksom på ruten undervejs. Gudstjeneste i Skævinge & Lille Lyngby Kirke den 15. februar 2015 Kirkedag: Fastelavns søndag/a Tekst: Matt 3,13-17 Salmer: SK: 192 * 441 * 141 * 388,5 * 172 LL: 192 * 450 * 388,3 * 441 * 141 * 388,5 *

Læs mere

Selvkontrol. Annie Besant. www.visdomsnettet.dk

Selvkontrol. Annie Besant. www.visdomsnettet.dk 1 Selvkontrol Annie Besant www.visdomsnettet.dk 2 Selvkontrol Af Annie Besant Fra Theosophy in New Zealand (Oversættelse Thora Lund Mollerup & Erik Ansvang) Hvad er det i mennesket, som det ene øjeblik

Læs mere

Tekster: 2 Mos 32, , Åb 2,1-7, Joh 8,42-51

Tekster: 2 Mos 32, , Åb 2,1-7, Joh 8,42-51 Tekster: 2 Mos 32,7-10.30-32, Åb 2,1-7, Joh 8,42-51 Salmer: Lem kl 10.30 330 Du som ud af intet skabte (mel. Peter Møller) 166.1-3 Så skal dog Satans rige (mel. Guds godhed vil) 166.4-7 52 Du Herre Krist

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

ANMELDELSE AF ODENSE KATEDRALSKOLES VÆRDIGRUNDLAG. Det fremgår af jeres værdigrundlag, at Odense Katedralskole ønsker at være

ANMELDELSE AF ODENSE KATEDRALSKOLES VÆRDIGRUNDLAG. Det fremgår af jeres værdigrundlag, at Odense Katedralskole ønsker at være ANMELDELSE AF ODENSE KATEDRALSKOLES VÆRDIGRUNDLAG Dr.phil. Dorthe Jørgensen Skønhed i skolen Det fremgår af jeres værdigrundlag, at Odense Katedralskole ønsker at være en god skole. Dette udtryk stammer

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Prædiken til 9. søndag efter trinitatis, Jægersborg kirke 2014. Salmer: 754 447 674 v. 583 // 588 192 v.7 697

Prædiken til 9. søndag efter trinitatis, Jægersborg kirke 2014. Salmer: 754 447 674 v. 583 // 588 192 v.7 697 Prædiken til 9. søndag efter trinitatis, Jægersborg kirke 2014 Salmer: 754 447 674 v. 583 // 588 192 v.7 697 Læsninger: 1. Mos. 18,20-33 og Luk. 18,1-8 I begyndelsen skabte Gud himlen og jorden. Det er

Læs mere

INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan?

INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan? Indhold INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan? 14 INDFØRING Filosofi 16 Filosofi spørgsmål og svar

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Faglig læsning i matematik

Faglig læsning i matematik Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Børnebiblen præsenterer. Da Gud skabte alt

Børnebiblen præsenterer. Da Gud skabte alt Børnebiblen præsenterer Da Gud skabte alt Skrevet af: Edward Hughes Illustreret af: Byron Unger; Lazarus Bearbejdet af: Bob Davies; Tammy S. Oversat af: Christian Lingua Produceret af: Bible for Children

Læs mere

MENNESKETS SYN PÅ MENNESKET

MENNESKETS SYN PÅ MENNESKET MENNESKETS SYN PÅ MENNESKET HVOR KOMMER MENNESKET FRA? Hvad mennesket er, kan formuleres på uendelig mange måder. Men noget af det mest menneskelige er menneskets fortælling om sig selv. Der er jo ingen

Læs mere

1 Indledning. Erkendelsesteori er spørgsmålet om, hvor sikker menneskelig viden er.

1 Indledning. Erkendelsesteori er spørgsmålet om, hvor sikker menneskelig viden er. Indhold Forord 7 1. Indledning 9 2. Filosofi og kristendom 13 3. Før-sokratikerne og Sokrates 18 4. Platon 21 5. Aristoteles 24 6. Augustin 26 7. Thomas Aquinas 30 8. Martin Luther 32 9. 30-årskrigen 34

Læs mere

Julesøndag, den 30. december 2012 Vor Frue kirke kl. 10. Tekst: Luk 2,25-40 Salmer: 110, 434, 117, 449v.1-3, 129, 109, 116, 123v.

Julesøndag, den 30. december 2012 Vor Frue kirke kl. 10. Tekst: Luk 2,25-40 Salmer: 110, 434, 117, 449v.1-3, 129, 109, 116, 123v. 1 Julesøndag, den 30. december 2012 Vor Frue kirke kl. 10 Af Jesper Stange Tekst: Luk 2,25-40 Salmer: 110, 434, 117, 449v.1-3, 129, 109, 116, 123v.7-8, 716 Gud, lad os leve af dit ord Som dagligt brød

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Figurer med ligesidede trekanter deltaedere

Figurer med ligesidede trekanter deltaedere Figurer med ligesidede trekanter deltaedere I denne aktivitet arbejdes der med den mindste regulære polygon vi har, nemlig den ligesidede trekant. Polygon betyder mangekant. Trekanten er mindst på den

Læs mere

23. søndag efter trinitatis 19. november 2017

23. søndag efter trinitatis 19. november 2017 Kl. 10.00 Burkal Kirke Tema: Hvad Guds er Evangelium: Matt. 22,15-22 Salmer: 745, 367, 448; 728, 266 Her er en 20'er. [Vis en 20 krone-mønt frem!] I ved hvordan den ser ud, selv om I ikke kan se den ordentligt

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Prædiken til 3. s. i advent kl. 10.00 i Engesvang

Prædiken til 3. s. i advent kl. 10.00 i Engesvang 1 Prædiken til 3. s. i advent kl. 10.00 i Engesvang 78 - Blomster som en rosengård 86 - Hvorledes skal jeg møde 89 - Vi sidder i mørket, i dødsenglens skygge 80 - Tak og ære være Gud 439 O, du Guds lam

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Psyken. mellem synapser og samfund

Psyken. mellem synapser og samfund Psyken mellem synapser og samfund Psyken mellem synapser og samfund Af Svend Brinkmann unı vers Psyken mellem synapser og samfund Svend Brinkmann og Aarhus Universitetsforlag 2009 Omslag: Jørgen Sparre

Læs mere

Læs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

Læs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Logik Sandt eller falsk? Lyver han? Taler hun sandt? Det ville

Læs mere

Eksistentialisme Begrebet eksistens Eksistentialismen i kunsten

Eksistentialisme Begrebet eksistens Eksistentialismen i kunsten Eksistentialisme Eksistentialismen er en bred kulturstrømning, der repræsenterer en bestemt måde at forstå livet på. Den havde sin storhedstid imellem 1945 og 1965, men den startede som en filosofi over

Læs mere

Juledag, fredag den 25. december Tekst: (1. Mos 1,1-5) Johs 1,1-14 Salmer: 99, 434, 114, 115, 116, 108 v.4-6, 102

Juledag, fredag den 25. december Tekst: (1. Mos 1,1-5) Johs 1,1-14 Salmer: 99, 434, 114, 115, 116, 108 v.4-6, 102 1 Juledag, fredag den 25. december 2015 Jesper Stange Vor Frue kirke kl. 17 Tekst: (1. Mos 1,1-5) Johs 1,1-14 Salmer: 99, 434, 114, 115, 116, 108 v.4-6, 102 Gud, lad os leve af dit ord som dagligt brød

Læs mere

Forord... 7 Første del... 10

Forord... 7 Første del... 10 Indhold Forord... 7 Første del... 10 Videnskaben - om verden... 11 Universets skabelse... 11 Big Bang teorien... 13 Alternative teorier... 15 Universets skæbne?... 19 Galakserne... 20 Stjernerne... 22

Læs mere

Kyndelmisse 2014 Gettrup, Hurup

Kyndelmisse 2014 Gettrup, Hurup Kyndelmisse 2014 Gettrup, Hurup Det er kyndelmisse. Det er den dag, hvor man i gamle dage, i den katolske kirkes tid, bragte sine stearinlys til kirken, for at få dem velsignet, sammen med kirkens lys.

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Omkring døbefonten. Svar på nogle meget relevante spørgsmål.

Omkring døbefonten. Svar på nogle meget relevante spørgsmål. Omkring døbefonten Svar på nogle meget relevante spørgsmål. *** Og de bar nogle små børn til Jesus, for at han skulle røre ved dem; disciplene truede ad dem, men da Jesus så det, blev han vred og sagde

Læs mere