MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Lineær Planlægning (programmering) med Excel 2. udgave

2 Indhold FORORD Denne bog forklarer ved anvendelse af nogle typiske eksempler, hvad der er karakteristisk ved LP - problemer. Principperne i Simplexmetoden forklares ved at se på et problem i 2 variable, der kan løses geometrisk. På grundlag heraf løses så samme problem ved anvendelse af Excel, og der forklares detaljeret hvorledes udskrifterne skal tolkes. Tilsidst løses et lidt større LP-problem ved Excel. Februar 2008 Mogens Oddershede Larsen INDHOLD 1 Indledning Geometrisk Løsning Simplex-metoden LP - problemer løst ved Excel... 7 Opgaver Facitliste Stikord ii

3 1 Indledning 1 Indledning I 1947 udviklede George Dantzig der var knyttet til US Department of the Air Force den matematiske teori, og i 1952 udarbejdedes det første computerprogram. Deraf det noget misvisende navn lineær programmering, idet metoden intet har med programmering at gøre. Skal man benytte den på problemer med mange variable, så må man naturligvis benytte et færdigt program, men deri adskiller metoden sig jo ikke fra alle andre. Lineær planlægning (i det følgende forkortet til LP) er uden tvivl en af de mest anvendte og mest effektive planlægningsredskaber. Ved et LP-problem forstås et problem, hvor man søger at finde maksimum eller minimum for en lineær funktion u af typen u( x1, x2,..., xn) = c1x1 + c2x cnxn med begrænsninger som er er lineære uligheder eller ligninger af typen a1x1 + a2x anxn b, a1x1 + a2x anxn b. a x + a x a x = b n n kaldes objektfunktionen, og koefficienter- Funktionen u( x, x,..., x ) = c x + c x c x 1 2 n n n ne c 1, c 2,..., c n kaldes omkostningskoefficienterne (engelsk (cost coefficients), Det følgende eksempel illustrerer et optimeringsproblem af denne art. Eksempel 1.1 Lagerstyring Man skal under en militærøvelse forsyne 4 militærenheder A, B C og D med i alt 600 raketter. Raketterne er placeret i to lagre P og Q. Militærenhedernes behov og lagrenes kapacitet er angivet i følgende skema. Af nedenstående skema kan f. eks. aflæses, at det tager 2 enheder brændstof, at transportere en raket fra lager P til militærenhedenhed B, og at P har et lager på 200 raketter, og at B har behov for 100 raketter. Enhed A B C D Lagre Lagre P Q Bestillinger En officer får til opgave at planlægge leveringen af raketter således, at udgifterne til brændstof bliver mindst mulig. Opskriv objektfunktion og begrænsningerne 1

4 Lineær programmering Løsning: I nedenstående skema er x - værdierne antallet af raketter, der transporteres fra et lager til en enhed Enhed A B C D Lagre Lagre P 3/ x 11 2/ x 12 1/ x 13 4/ x Q 2/ x 21 4/ x 22 6/ x 23 3/ x Bestillinger Brændstofforbruget u er da u = 3 x x12 + x x x x x x24, dvs. vi skal finde minimum for objektfunktionen u = 3 x x12 + x x x x x x24, Begrænsningerne er x11 + x12 + x13 + x x21 + x22 + x23 + x x11 + x21 = 200 x12 + x22 = 100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 x 0, x 0, x 0, x 0, x 0, x 0, x 0, x I den kemiske industri har LP-problemer tit karakter af blandingsproblemer. Et problem i et olieraffinaderi var således det første store LP - problem, der blev løst ved hjælp af et edb program (løst i 1952). Løsningsmetoden forstås bedst ved at betragte et par typiske LP- eksempler, hvor der kun forekommer 2 variable. Man kan så anskueliggøre metoden geometrisk og regnearbejdet er overkommeligt. Med lidt flere variable som i eksempel 1.1 kunne man eventuelt benytte en lommeregner med matrixregning. Vi vil i sådanne tilfælde vise hvordan man kan benytte Excel til at løse problemet. For problemer med mange variable er nødvendigt at benytte et egentligt LP-program på en PC. 2

5 2 Geometrisk løsning 2 Geometrisk løsning Vi vil i dette afsnit betragte et eksempler med kun 2 variable, så de kan løses geometrisk. Fordelen herved er bl.a. at man ser nogle karakteristiske træk ved LP-problemer og deres løsning. Eksempel 1.2 Geometrisk løsning En lille styrke er indesluttet af en større fjendtlig styrke. Der er dog mulighed for at genforsyne den lille styrke fra søen. For at støtte den lille styrke vil man tilføre den yderligere ammunition ved hjælp af et lille forsyningsskib. Forsyningsskibet kan maksimalt medbringe 25 tons og lasten skal kunne være på maksimalt 200 m 2 dæksareal. Den lille styrke har behov for to forskellige typer af ammunition. Ammunition af type A vejer 65 kg pr. stk og optager tilsvarende et dæksareal 0.5 m 2. Ammunition af type B vejer 115 kg pr. stk og fylder 1.5 m 2 dæksareal. Der er behov for minimum 40 stk ammunition af type A og minimum 25 stk. af type B. Problemet for den operative ledelse af forsyningsenheden består i at tilsikre den lille styrke den størst mulige militære nytte af den fremsendte ammunition. Det skønnes, at den militære nytte af ammunition type A er 5 og ammunition af type B er 10. a) Formuler problemet som et LP-problem. b) Løs problemet grafisk. Løsning a) Lad x A og x B være antallet af styk. ammunition indeholdende henholdsvis type A og type B som flyves ud til styrken. Samlet nytte: u = 5 xa + 10 xb Vægtbegrænsning: 65 xa xb xa + 23 xb 4000 Arealbegrænsning: 05. x x 200 x + 3x 400 Behov: x A 40 x B 25 A B A B LP-problem Objektfunktion Find maksimum for funktionen u = 5 x + 10 x Begrænsninger: 13 xa + 23 xb 4000 xa + 3xB 400 x A 40 x B 25 (1) (2) (3) (4) A B 3

6 Lineær programmering b) Geometrisk løsning: Mængden af punkter i planen, der tilfredsstiller ulighederne (1), (2), (3) og (4) er en polygon, der begrænses af linierne 13 xa + 23 xb = 4000 (1a) xa + 3xB = 400 (2a) x A = 40 (3a) x B = 25 (4a) Polygonen er skraveret på figur 1.1. Punkter med en samlet nytte på eksempelvis 200 ligger på linien xa + 2xB = 200 (linien l på figur1.1) En sådan linie kaldes en niveaukurve for objektfunktionen u med niveauet 200 (svarer til højdekurver på et kort. Fig 1.1. Begrænsninger og niveaukurve Det ses, at alle niveaukurver for u er parallelle linier, og jo større niveau (større samlet nytte) jo længere op vil linierne skære x 2 -aksen Da hældningen for linie (1) er α 1 = = 057,, hældningen for linie (2) er α 2 = og 23 3 hældningen for niveaulinierne er α n = 1, ses, at den største nytte fås i vinkelspidsen S. 2 Ved løsning af de to ligninger (1a) og (2a) fås (2a): xa + 3xB = 400 xa = 400 3xB som indsættes i (1a) 13 ( 400 3xB) + 23 xb = xB + 23xB = xB = 1200 xb = 75 Af (1a) fås nu x A = = 175 Vi har, at skæringspunktet er S = ( x, x ) = ( 175, 75) A B Konklusion: Man skal sende 175 stykker ammunnition af typen A og 75 stk ammunition af typen B for at få den største nyttevirkning. Nyttevirkningen bliver u = ) = 1625 Et karakteristisk træk ved løsningen er, at den optimale løsning falder i en vinkelspids i polygonen. Endvidere ses, at selvom omkostningskoefficienterne ændres lidt, skal planen ikke ændres. Så længe hældningskoefficienten α for niveaulinierne ligger mellem α 1 og α 2 er planen uændret. Et skøn for nytten, der eksempelvis bevirkede at α = 1 4 vil derimod flytte den optimale løsning fra S til punktet A på figur

7 1.3 Simplexmetoden 3. Simplexmetoden Er LP-problemet i 2 variable indså vi geometrisk, at en mulig optimal løsning må ligge i en af vinkelspidserne i den polygon, der bestemmes af begrænsningerne. Er LP - problemet i 3 variable kan problemet illustreres geometrisk på følgende måde. En ulighed ax ax ax 3 3 bfremstiller et halvrum begrænset af en plan. Fællesmængden af alle sådanne halvrum danner en punktmængde (på figuren et polyeder.) begrænset af planer.da objektfunktionens niveauflader også er planer, virker det rimeligt, at en optimal løsning i hvert fald findes i en hjørnespids. Generelt gælder det for et LP-problem i n variable, at har problemet en optimal løsning, så findes der en hjørnespids, hvor den optimale løsning indtræffer. Er antallet af variable stort, bliver antallet af mulige hjørnespidser så stort, at det ikke er overkommeligt at undersøge dem alle. Fig 1.2. Polyeder Simplexmetoden (udarbejdet af B.G. Dantzig i 1948) angiver en fremgangsmåde, hvor man ud fra en tilfældig hjørnespids udvælger en der ligger nærmere den optimale, ud fra denne vælger man igen en bedre osv. (svarende til den stiplede linie på figur 1.3). Metoden er regneteknisk ret simpel, og er derfor ret let, at programmere på en computer. Uden denhelt store regnekraft kan man så let løse LP-probkemer med mange hundrede variable og begrænsninger. Det ligger udenfor dette notats formål at gennemgå metoden (der bl.a. kræver et vist kendskab til matrixregning). Excel har imidlertid indbygget et sådant program, som vi vil benytte. Det skal dog her gøres opmærksom på, at et egentligt LP-program, kan dels løse flere varianter (bl.a. hvis ønsket begrænse løsningerne til hele tal) og give flere oplysninger om løsningens følsomhed overfor ændringer i de givne størrelser. 5

8 Lineær programmering 4 LP-problemer løst ved Excel For helt at forstå hvordan inddata skal indtastes, og uddata skal fortolkes, regnes først eksempel 1.2 inden vi så løser det større eksempel 1.1. Først skal vælges et tilføjelsesprogram: I Excel 2003: Vælg Funktioner, Tilføjelsesprogrammer, marker Problemløser I Excel 2007: Vælg Excel-Office-knappen, Excel indstillinger (findes forneden), Tilføjelsesprogrammer, Udfør, marker Problemløser, Installer. Eksempel 1.4. Eksempel 1.2 regnet med Excel Vi havde i eksempel 1.2 følgende LP-problem: Objektfunktion: Find maksimum for funktionen u = 5 x + 10 x Begrænsninger: 13 xa + 23 xb 4000 (1) xa + 3xB 400 (2) x A 40 (3) x B 25 Løsning: (4) Da cellerne i Excel kaldes A1, A2 osv. omdøber vi for simpeheds skyld xa og xb til a1 og a2, og angiver med b1, b2..., c1 i hvilke celler de forskellige udtryk skal stå Vi får Objektfunktion: Find maksimum for c1= 5 a1+ 10 a2 Begrænsninger: b1= 13 a1+ 23 a2 b () 1 b2 = a1+ 3 a2 b2 400 ( 2) b3= a1 b3 40 () 3 b4 = a2 b4 25 ( 4) Excel ordrer: I cellerne a1 til a2 skrives startværdier (vælg f. eks. 0 og 0) I cellen b1 skrives +13*a1+23*a2 svarende til venstre side af begrænsning 1 I cellen b2 skrives +a1+3*a2 svarende til venstre side af begrænsning 2, I cellen b3 skrives +a1 svarende til venstre side af begrænsning 3 I cellen b4 skrives +a2 svarende til venstre side af begrænsning 4, I cellen c1 skrives objektfunktionen +5*a1+10*a2 Der bør nu stå 0 i alle cellerne. Man vælger nu problemløser Findes i Excel 2003 i menuen funktioner Findes i Excel 2007: øverst til højre Skriv i angiv målcelle : c1 lig med marker maks A B 6

9 4 LP-problemer løst ved Excel redigering af celler : a1:a2 Tryk på tilføj. skriv b tryk på tilføj: skriv b2 400 tryk på tilføj: skriv b3 40 tryk på tilføj: skriv b4 25 OK Vælg indstillinger, Marker Antag lineær model og Antag ikke negativ OK Tryk på løs Nu skrives forhåbentlig at en løsning er fundet. Under Rapporter marker Svar, Sensitivitet ( Grænse giver intet nyt, så den udelades) Nederst i regnearket ses de to rapporter Tolkning af rapporterne. Rapporten Svar Celle Navn Oprindelig værdi Slutværdi $C$ Celle Navn Oprindelig værdi Slutværdi $A$ $A$ Celle Navn Celleværdi Formel Status Overskydende $B$ $B$1<=4000 Bindende 0 $B$2 400 $B$2<=400 Bindende 0 $B$3 175 $B$3>=40 Ikke bindende 135 $B$4 75 $B$4>=25 Ikke bindende 50 Det ses heraf, at A1 får værdien 175 og A2 værdien 75, og at maksimum er 1625 Konklusion: Man skal sende 175 stykker ammunnition af typen A og 75 stk ammunition af typen B for at få den største nyttevirkning. Nyttevirkningen bliver u = 1625 Endvidere, at B1= 4000 og B2 = 400. Dette betyder, at vi medbringer det maksimalt tilladte mængde ammunition, både hvad angår vægt og areal. Geometrisk betyder det, at maksimumspunktet ligger på de to linier (1) og (2). (se nedenstående figur) Fig 1.2. Begrænsninger og niveaukurve B3 = 175, dvs. vi er 135 kasser A over det minimum på 40 kasser man ønskede. B4 = 75, dvs. vi er 50 kasser B over det minimum på 25 kasser man ønskede. 7

10 Lineær programmering Sensitivitet Justerbare celler Slut- Reduceret Mål- Tilladelig Tilladeligt Celle Navn værdi omkostning koefficient forøgelse fald $A$ , , $A$ , Betingelser Slut- Skygge Betingelse Tilladelige Tilladelige Celle Navn værdi Pris Højre side Forøgelse Fald $B$ , $B$ , , , $B$ E+30 $B$ E+30 Justerbare celler Disse angiver, at planen ikke ændrer sig, selv om vore skøn af at den militære nytte af 1 stk ammuniton på henholdsvis 5 og 10 af A og B ikke var helt præcise. Vi ser således, at nytten af A kan stige fra 5 til eller falde fra 5 til uden at planen ændres. Geometrisk betyder det, at linien l kan dreje sig så meget uden at man får et andet maksimumspunkt end S. Betingelser Ser vi på linien (1) på tegningen, så vil en forøgelse af højre side af ligningen 13 xa + 23 xb = 4000 fra 4000 til større værdier bevirke en parallelforskydning af linien opad (se figur 1.4). Samtidig rykker maksimumspunktet S nedad indtil vi når punktet C. Fig 1.3. Parallelforskydning af (1) til C B1 begrænsningen fortæller os, er, at hvis vi er i stand til at øge vægtgrænsen på 4000 med 800 fra 4000 til 4800, (dvs S glider nedad til punktet C) så vil maksimumsnytten stige med skyggeprisen pr. ekstra stk. ammunition. Tilsvarende tolkes de øvrige begrænsninger. Da vi gemmer de variable i Excel-cellerne a1, a2 osv. er det praktisk allerede ved formulering af problemet at benyte disse navne. Dette gøres i det følgende eksempel. 8

11 4 LP-problemer løst ved Excel Eksempel 1.5. Eksempel 1. 1 regnet med Excel Man skal under en militærøvelse forsyne 4 militærenheder A, B C og D med i alt 600 raketter. Raketterne er placeret i to lagre P og Q. Militærenhedernes behov og lagrenes kapacitet er angivet i følgende skema. Af nedenstående skema kan f. eks. aflæses, at det tager 2 enheder brændstof, at transportere en raket fra lager P til militærenhedenhed B, og at P har et lager på 200 raketter, og at B har behov for 100 raketter. Enhed A B C D Lagre Lagre P Q Bestillinger En officer får til opgave at planlægge leveringen af raketter således, at udgifterne til brændstof bliver mindst mulig. I eksempel.1 fandtes såvel objektfunktion som begrænsninger. a) Angiv ved et tilsvarende skema som ovenfor hvorledes flytningen af raketterne skal ske, så udgifterne til brændstof bliver mindst mulig. Angiv endvidere hvad dette mindste brændstofforbrug bliver. b) Vurderingen af størrelsen af brændstofforbruget ved at transportere en raket fra P til C er ret usikker. Hvis forbruget ikke var 1 men 2 enheder, vil det så få betydning for den i punkt B angivne plan. c) Hvilken ændring i den spørgsmål B angivne plan ville det have givet, hvis militærenhed C havde et behov på 230 raketter. Løsning: I nedenstående skema er a - værdierne antallet af raketter, der transporteres fra et lager til en enhed Enhed A B C D Lagre Lagre P 3/ a 1 2/ a 2 1/ a 3 4/ a Q 2/ a 5 4/ a 6 6/ a 7 3/ a Bestillinger Vi fandt i eksempel 1.1 en LP-plan. Denne oversætter vi nu til Excelceller. Objektfunktion: Find minimum for c1= 3 a1+ 2 a2+ a3 + 4 a4+ 2 a5+ 4 a6+ 6 a7+ 3 a8 Begrænsninger b1= a1+ a2+ a3+ a4 b1 200 b2 = a5+ a6+ a7+ a8 b2 450 b3= a1+ a5 b3= 200 b4 = a2+ a6 b4 = 100 b5= a3+ a7 b5= 200 b6= a4+ a8 b6= 100 9

12 Lineær programmering Excel-ordrer: I cellerne a1 til a8 skrives startværdierne (vælg f. eks. 0 i alle celler) I cellen b1 skrives +a1+a2+a3+a4 I cellen b2 skrives +a5+a6+a7+a8 I cellen b3 skrives +a1+a5 I cellen b4 skrives +a2+a6 I cellen b5 skrives +a3+a7 I cellen b6 skrives +a4+a8 I cellen c1 skrives objektfunktionen +3*a1+2*a2+a3+4*a4+2*a5+4*a6+6*a7+3*a8 Man vælger nu under menuen funktioner problemløser og skriv i angiv målcelle : c1 i lig med marker min ved redigering af celler : a1:a8 Tryk på tilføj. skriv b1 200 tryk på tilføj: skriv b2 450 tryk på tilføj: skriv b3 = 200 tryk på tilføj: skriv b4 = 100 tryk på tilføj: skriv b5 =200 tryk på tilføj: skriv b6 = 100 OK Vælg indstillinger, Marker lineær model og ikke negativ OK Tryk på løs Nu skrives forhåbentlig at en løsning er fundet. Under Rapporter marker Svar og Sensitivitet. Nederst i regnearket ses de to rapporter. Svar: Målcelle (Min.) Celle Navn Oprindelig værdi Slutværdi $C$ Justerbare celler Celle Navn Oprindelig værdi Slutværdi $A$1 0 0 $A$2 0 0 $A$ $A$4 0 0 $A$ $A$ $A$7 0 2,84217E-14 $A$ Betingelser Celle Navn Celleværdi Formel Status Overskydende $B$5 200 $B$5=200Ikke bindende 0 $B$3 200 $B$3=200Ikke bindende 0 $B$1 200 $B$1<=200Bindende 0 $B$2 400 $B$2<=450Ikke bindende 50 $B$4 100 $B$4=100Ikke bindende 0 $B$6 100 $B$6=100Ikke bindende 0 10

13 4 LP-problemer løst ved Excel Sensitivitet Justerbare celler Slut- Reduceret Mål- Tilladelig Tilladeligt Celle Navn værdi omkostning koefficient forøgelse fald $A$ E+30 6 $A$ E+30 3 $A$ E+30 $A$ E+30 6 $A$ E+30 $A$ E+30 $A$7 2,84217E E+30 3 $A$ E+30 Betingelser Slut- Skygge Betingelse Tilladelige Tilladelige Celle Navn værdi Pris Højre side Forøgelse Fald $B$ $B$ $B$ $B$ E $B$ $B$ Svar på spørgsmål: a) Det ses, af Svar at brændstofudgifterne bliver mindst, nemlig 1300 enheder, hvis flytningen af raketterne sker som vist på nedenstående skema som viser antallet af raketter, der transporteres fra et lager til en enhed Enhed A B C D Lagre Lagre P Q Bestillinger Endvidere fremgår det af betingelser, at kun for begrænsning (2) gælder ulighedstegnet, dvs. i lager Q er der 50 raketter tilbage. b) Under sensitivitet viser skemaet for de justerbare celler dels slutværdierne i cellerne, men også under målkoefficient brændstofforbruget. Ved celle A3 står korrekt at brændstofforbruget tallet 1, som angiver brændstofforbruget ved at flytte en raket fra P til C. Under tilladelig forøgelse står 3. Dette betyder, at øger man brændstofforbruget fra 1 op til 4 enheder giver det ingen ændring i planen. Øges brændstofforbruget derfor til 2 enheder, er flytningen af raketterne den samme som i spørgsmål a) og da Reduceret omkostning er 0, vil der kun ske at 200 raketter giver en forøgelse af brændstofudgifterne på = 200 enheder. (Af den reducerede omkostning ses, at hvis vi (i modstrid med planen) alligevel sendte en raket fra P til A, så vil det forøge brændstofforbruget med 6 enheder.) c) Begrænsningen B5 ( den begrænsning, der sagde, at militærenhed C skulle have 200 raketter) vil så blive øget fra 200 til 230. Under sensitivitet viser skemaet for Betingelser, at en tilladelig forøgelse er 50 11

14 Lineær programmering Vi kan altså godt forøge antallet med op til 50 raketter, uden at planen iøvrigt ville have ændret sig. Ved at sætte tallet op til 230 raketter, så vil det eneste der vil ændre sig være, at der fra lager Q til C ville afgå 20 ekstra raketter, og så ville der kun være 30 tilbage i lager Q. Resten var uændret. Skyggeprisen viser (ikke overraskende), at pr raket ville prisen stige med 6 enheder brændstof. 12

15 1 Opgaver Opgaver Opgave 1 Lad der være givet følgende LP-problem: Maksimer z = 2x1 + 3x2 når 5x1 + 2x2 20, 3x1 + 6x2 30 og x1 0, x2 0 a) Find de værdier af x 1 og x 2 der gør værdien af z størst, og angiv størsteværdien for z. b) Hvis objektfunktionen ændres til z = 3x + 3x vil det så ændre de i spørgsmål a) fundne værdier af x 1 og x Opgave 2 Lad der være givet følgende LP-problem Bestem minimum for funktionen z = x1 + 6x2 + 2x3 under opfyldelse af begrænsningerne x1 + 2x2 + x3 2 (1) 2x1 + x2 4 (2) 3x1 + 4x3 3 (3) og x1 0, x2 0, x3 0 a) Find de værdier af x 1, x 2 og x 3 der gør værdien af z mindst, og angiv mindsteværdien for z. b) En af begrænsningerne kunne udelades uden at det havde betydning for løsningen. Hvilken? c) Hvor meget skal højresiden i den i spørgsmål b) fundne begrænsning ændres for at den får betydning for løsningen. Opgave 3 Lad der være givet følgende LP-problem Bestem minimum for funktionen z = 2x1 3x2 + 6x3 under opfyldelse af begrænsningerne 3x1 4x2 6x3 2 (1) 2x1 + x2 + 2x3 11 (2) x1 + 3x2 2x3 5 (3) og x1 0, x2 0, x3 0 a) Find de værdier af x 1, x 2 og x 3 der gør værdien af z mindst, og angiv mindsteværdien for z. b) En af begrænsningerne kunne udelades uden at det havde betydning for løsningen. Hvilken? c) Hvor meget skal højresiden i den i spørgsmål b) fundne begrænsning ændres for at den får betydning for løsningen. 13

16 Lineær programmering Opgave 4 En fabrik fremstiller i en afdeling to slutprodukter A og B, som kan sælges med nettofortjenester på henholdsvis 80 kr/ton og 180 kr/ton. Både A og B skal passere 3 maskiner. Driftstimer og maksimal driftstid ses af skemaet: Driftstimer for 1 ton A Drifttimer for 1 ton B Største totale antal driftstimer pr uge for hver maskine Maskine Maskine Maskine Lad x 1 og x 2 betegne det antal ton, der produceres pr. uge af henholdsvis produkt A og B. Planlæg produktionen så den giver størst overskud, dvs. find de værdier af x 1 og x 2 som giver størst overskud. a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger b) Løs problemet, dvs. angiv hvor mange ton A og B der skal produceres pr uge for at få det største overskud, samt værdien af dette overskud. c) Vil det ændre produktionsplanen, hvis nettofortjenesten for produkt B falder til 100 kr/ton, mens nettofortjenesten på produkt A er uændret?. Opgave 5 En logistikofficer skal planlægge en forsyning med to typer forsyningsgenstande A og B. Forsyningen skal ske med én helikopter, der dog er begrænset i løftekapacitet både hvad angår volumen og vægt. Der kan kun flyves én gang. Helikopteren har en maksimal nyttevolumen på 2000 liter og kan højst løfte 900 kg. Forsyningsgenstande af typen A fylder 60 liter og vejer 24 kg pr stk. Forsyningsgenstande af typen B fylder 20 liter og vejer 18 kg pr. stk. Den militære nytte af typen A er dobbelt så stor som af typen B. Logistikofficeren skal beregne det optimale antal af de to forsyningsgenstande, idet den militære nytte skal maksimeres. a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger. b) Løs problemet, dvs. angiv hvor mange forsyningsgenstande af typerne A og B der skal medbringes, for at den militære nytte kan blive så stor som mulig. c) Vil det ændre ovennævnte plan, hvis man antager, at den militære nytte af typen A er 3 gange så stor som af typen B. Opgave 6 Forsvaret skal gennemføre en række organisationsændringer i base- og støttestrukturen. I den forbindelse skal to ammunitionsdepoter A og B tømmes og ammunitionen overføres til to nye depoter C og D. A indeholder 300 stk ammunition, og B indeholder 500 stk ammunition. Flytningen medfører omkostninger for forsvaret. For 1 stk ammunition vil det koste 130 kr at flytte fra A til C og 150 kr at flytte fra A til D. Tilsvarende er flytteomkostningerne 220 kr fra B til C og 180 kr fra B til D. 14

17 15 1 Opgaver Overførslen af ammunition fra de gamle depoter A og B til de nye depoter C og D skal ske for den for forsvaret billigste måde, idet de nye depoter hver skal indeholde mindst 200 stk ammunition. a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger. b) Løs problemet, dvs. angiv hvor mange stk ammunition der skal flyttes fra A og B til henholdsvis C og D, så flytteomkostningerne bliver så små som muligt. c) Vil det ændre ovennævnte plan, hvis omkostningen ved at flytte 1 stk ammunition fra A til C stiger fra 130 kr til 140 kr? d) Vil det ændre ovennævnte plan, hvis der ønskes, at der i depot C skal anbringes mindst 350 stk ammunition? Opgave 7 I to havnebyer A og B står der henholdsvis 12 og 8 tankbiler. Bilerne, som er lige store, skal transportere olie til byerne S og T, men der må ikke sendes over 16 biler til nogen af de to byer. Afstanden ( i km) fra A og B til S og T er S T A B Hvordan skal bilerne fordeles på de to byer, når de tilsammen skal køre det mindst mulige antal kilometer? a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger. b) Løs problemet, dvs. angiv hvor mange biler der skal køre fra A til S, fra A til T, fra B til S og fra B til T. Angiv endvidere det kørte antal km.. c) Vil det ændre ovennævnte plan, hvis man sletter den begrænsning, at der ikke må sendes over 16 biler til byen S? Opgave 8 Søværnet har fået til opgave at stille et skib til rådighed for at kunne transportere forsyninger til et katestroferamt område. Forsyningslagrene består af meget store mængder af 4 forskellige varetyper. Nytteværdi, vægt og rumfang af 1 stk af hver af de tre varetyper fremgår af nedestående skema. Transportflyet har en maksimal transportkapacitet på 260 vægtenheder eller 300 volumenenheder. Varetype 1 Varetype 2 Varetype 3 Varetype 4 Vægt pr. stk Rumfang pr. stk Nytteværdi pr. stk En logistikofficer skal beregne det optimale antal af de 4 varetyper, idet nytteværdien skal maksimeres. a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger b) Løs problemet, dvs. angiv hvor mange stk af hver varetype der skal medbringes, så nytteværdien bliver så stor som muligt. (Bemærk: Excel-løsningen er ikke et hele tal, så man må rette lidt på denne løsning)

18 Lineær programmering Opgave 9 Under indsatsen i Afganistan består en eskadrille af 12 F16-fly. I eskadrillen planlægges en mission med det mål, at få en vigtig bro med omkringliggende installationer neutraliseret. Under denne mission kan et F16-fly medbringe 2 stk. MK84-bomber eller 6 stk. MK82-bomber. Én MK-84 bombe vejer 2000 lbs og erfaringsmæssigt ved man, at 50% af sådanne bomber vil ramme målet. Én MK-82 bombe vejer 500 lbs og erfaringsmæssigt ved man, at 1 3 af sådanne bomber vil ramme målet. Til loadning af flyene forud for missionen kan højst anvendes 120 minutter. Én MK84-bombe loades på flyet på 7 minutter og 1 MK82-bombe loades på flyet på 1 minut. Den tjenestegørende CAT-gruppe kan kun loade 1 bombe ad gangen. Eskadrillen ønsker den samlede bombelast (bombemasse), der forventes at ramme målet, maksimeret, hvorfor man gerne vil have oplyst det antal F16-fly, der skal oploades med henholdsvis 2 MK84-bomber og 6 MK82-bomber til missionen. a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger. b) Løs problemet, dvs. angiv det antal F16-fly, der skal oploades med henholdsvis 2 MK84- bomber og 6 MK82-bomber så den samlede bombelast der forventes at ramme målet, maksimeres. Angiv endvidere den samlede bombelast. c) Vil det ændre ovennævnte plan, hvis man i stedet skønner, at også 50% af MK-82 bomberne rammer målet? Opgave 10 Forsvaret deltaget med personel og materiel i en øvelse i Nordnorge. En dansk officer får til opgave at forsyne fire deployerede enheder A, B, C og D med nødgeneratorer. De deployerede enheders behov er henholdsvis 9, 6, 7 og 9 nødgeneratorer. Nødgeneratorerne er i det uvejsomme område placeret i to bunkers P og Q. De to bunkers har henholdsvis 15 og 13 nødgeneratorer. Kun én nødgenerator ad gangen vil med helikopter kunne flyttes fra en bunker til en enhed. Af skemaet herunder fremgår de udgifter (i 100 kr) der er forbundet med levering af 1 nødgenerator. A B C D P Q Den danske officer har fået til opgave at planlægge leveringen af nødgeneratorer på en sådan måde, at udgifterne med leveringen minimeres. a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger b) Løs problemet, dvs. angiv hvor mange nødgeneratorer der skal flyttes fra P til A, fra P til B osv. så udgifterne bliver mindst. Angiv endvidere de samlede udgifter ved dette. c) Da der er færre generatorer i lagrene end behovet, kan ikke alle behov opfyldes. Angiv hvilke enheder der ikke får deres behov dækket. 16

19 1 Opgaver Opgave 11 FMT fordeler reservedele fra lagre på de tre flyvestationer til de respektive eskadriller. Fem eskadriller A, B, C, D og E efterspørger henholdsvis 11, 17, 7, 17 og 24 stykker af samme reservedel til levering på samme tidspnkt. Lagrene på flyvestationerne Skrydstrup, Karup og Aalborg har henholdsvis 19, 28 og 25 eksemplarer af reservedelen til levering på det pågældende tidspunkt. Hver reservedel skal transporteres seperat på en blokvogn. Prisen (i 100 kr) for transport af en reservedel fra flyvestationslageret til eskadrille fremgår af følgende skema: A B C D E Skrydstrup Karup Aalborg Der skal opstilles et transportskema, således at den samlede transportpris minimeres. a) Angiv LP-problemets objektfunktion og begrænsninger b) Løs problemet, dvs. angiv hvor mange reservedele der skal flyttes fra Skrydstrup til A, til B osv. så udgifterne bliver mindst. Angiv endvidere de samlede udgifter ved dette. c) Da der er færre reservedele i lagrene end behovet, kan ikke alle behov opfyldes. Angiv hvilke enheder der ikke får deres behov dækket. Opgve 12 Tre legeringer L 1, L 2 og L 3 ønskes blandet til en ny legering. Der ønskes fremstillet i alt 10 tons af denne nye legering, og den skal indeholde mindst 15% zink og højst 37% tin (vægtprocent). Sammensætning og priser er angivet i nedenstående tabel: L 1 L 2 L 3 Tin 40% 40% 30% Zink 30% 20% 10% Andet 30% 40% 60% Pris i 1000 i kr/ton Find den blanding af L 1, L 2 og L 3, der tilfredsstiller ovennævnte krav og er billigst. 17

20 Facitliste Facitliste for udvalgte opgaver Kapitel 1 1) (a) x1 = 25., x2 = 375., z = (b) nej 2) (a) x1 = 1, x2 = 05., x3 = 0 (b) begrænsning (2) (c ) fra 4.5 til 2.5 3) (a) x1 = 0, x2 = 4, x3 = 35. (b) begrænsning (1) (c ) under -37 (d) -5 nej, -2 ja 4) (a) - (b) x1 = 6, x2 = 5, z = 1380 (c) uændret 5) (a) - (b) Antal af A: 30, af B: 10 (c ) nej 6) (a) - (b) 300 fra A til C, 500 fra B til D, (c ) nej (d) ja 7) (a) - (b) 12 fra A til S, 4 fra B til S, 4 fra B til T (c ) nej 8) (a) - (b) 47 stk af type 2 og 33 stk af type 4 9) (a) - (b) 6 fly med MK84 og 6 fly med MK 82 (c ) nej 10) (a) - (b) P til A: 0, P til B 6, P til C 3 osv. Mindste udgift 547 (c ) D 11) (a) - (b) S til A: 0, K til A 11, Aa til A 0 osv. Mindste udgift kr (c ) E (12) (a) - (b) L 1 : 0, L 2 : 5 L 3 : 5 18

21 Stikord STIKORD A B begrænsninger 1, 3 C cost coefficients 1 svarraport 7, 10 T tolkning af rapport 7, 11 U V D E Excel, løsning 6, 7, 9 F G geometrisk løsning 3, 5 H I,J K L LP - problem 1, 3 Lagerstyring 1, 5 M N O objektfunktion 1, 3 omkostningskoefficienter 1 opgaver 13 P R S sensivitetsraport 8, 11 simplexmetoden 5 19

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (QQRWHRPOLQH USURJUDPPHULQJ Lineær programmering, eller LP-modeller, som de ofte kaldes, var en metode, der blev udviklet i 50'erne og 60'erne. I Danmark var især

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI Afrund til nærmeste hele tal 1. 254 + 568 = 13. 29,85 2. 756 239 = 14. 88,16 3. 3 515 =

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI Afrund til nærmeste hele tal 1. 254 + 568 = 13. 29,85 2. 756 239 = 14. 88,16 3. 3 515 = AEU december 010 Navn: CPR: TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI Afrund til nærmeste hele tal 1. 54 + 568 = 13. 9,85. 756 39 = 14. 88,16 3. 3 515 = 4. 390 : 5 = Løs ligningen 5. x + 8 = 6 x = 6. 6x = 16 x = 7. 35 %

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM En blandt mange af Family Tree Maker s styrker er evnen til at præsentere data på mange forskellige måder, og i dette skrift vil bogfunktionen blive gennemgået. Funktionen

Læs mere

Kapitel 4 ØVELSER. Øvelse 1 a) 100 kr. b) 10 km. c) 6,7 km. d) 63 kr. Øvelse 2 - Øvelse 3 - Øvelse 4 - Øvelse 5 a). b) og. c) d) Højst 6 km.

Kapitel 4 ØVELSER. Øvelse 1 a) 100 kr. b) 10 km. c) 6,7 km. d) 63 kr. Øvelse 2 - Øvelse 3 - Øvelse 4 - Øvelse 5 a). b) og. c) d) Højst 6 km. 1 af 19 FACITLISTE, HHX MAT C, 3. udgave Udskriv siden Kapitel 4 ØVELSER Øvelse 1 a) 100 kr. 10 km. c) 6,7 km. d) 63 kr. Øvelse 2 - Øvelse 3 - Øvelse 4 - Øvelse 5 a). og. c) d) Højst 6 km. Øvelse 6 Kurverne

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Køretøjernes dimensioner angives i afsnit 2. Placeringen på tværs er positiv til højre og negativ til venstre, og er kaldt placering til højre.

Køretøjernes dimensioner angives i afsnit 2. Placeringen på tværs er positiv til højre og negativ til venstre, og er kaldt placering til højre. Et regneark til beregning af luminans af vejtavler Kai Sørensen, 29. april 2015 Forord Regnearket erstatter det regneark, der er omtalt i notatet Et regneark til beregning af luminans af vejtavler af 27.

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for nye måder at arbejde med Diagrammer på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Prøveskydning af 18 punds kanon model 1757 i Oksbøl skydeterræn tirsdag den 29. august 2006.

Prøveskydning af 18 punds kanon model 1757 i Oksbøl skydeterræn tirsdag den 29. august 2006. September 2006 Prøveskydning af 18 punds kanon model 1757 i Oksbøl skydeterræn tirsdag den 29. august 2006. Foto H.U. Hansen (HAS) - 2 - Forord. Rapporten er udarbejdet af ingeniør Jørgen Svender, som

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

EEAW. EPAF Expeditionary Air Wing. Europæisk kampflysamarbejde

EEAW. EPAF Expeditionary Air Wing. Europæisk kampflysamarbejde EEAW EPAF Expeditionary Air Wing Europæisk kampflysamarbejde Tekst: Georg Ask Lunden Jensen, Flyvertaktisk Kommando. Fotos: Flyvevåbnets Fototjeneste. EEAW i aktion Flyvertaktisk Kommando DK-7470 Karup

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen maj 2000. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen maj 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/a-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk.

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen juni 999 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Kort til Husdyrgodkendelse / Excel data og Næsgaard Markkort

Kort til Husdyrgodkendelse / Excel data og Næsgaard Markkort Kort til og Næsgaard Markkort Kun i ADVICER Dette afsnit er kun relevant hvis du arbejder med AD- VICER udgaven af Næsgaard Markkort (rådgiverudgaven). Funktionen findes IKKE i PLUS og OPTI udgaven af

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Opgaver. Notater. Opgave 1: Find kursus hjemmeside og bladre lidt rundt på siderne.

Opgaver. Notater. Opgave 1: Find kursus hjemmeside og bladre lidt rundt på siderne. Opgaver Opgaverne er stillet i henhold til medleverede brugervejledning, og som er en facitliste for opgaverne. Brug den undervejs til at løse opgaverne med, og kom med de punkter som den måtte mangle,

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

VisiRegn og folkeskolens skriftlige afgangsprøve i matematik, maj-juni 2000 Inge B. Larsen (ibl@dpu.dk)

VisiRegn og folkeskolens skriftlige afgangsprøve i matematik, maj-juni 2000 Inge B. Larsen (ibl@dpu.dk) VisiRegn og folkeskolens skriftlige afgangsprøve i matematik, maj-juni 2000 Inge B. Larsen (ibl@dpu.dk) I det følgende gives et forslag til, hvordan en elev i 9. klasse med programmet VisiRegn til rådighed

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

5 Ligninger og uligheder

5 Ligninger og uligheder 5 Ligninger og uligheder Faglige mål Kapitlet Ligninger og uligheder tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Regler for løsning af ligninger og uligheder: kende reglerne for ligningsløsning og uligheder

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets. Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Google Apps. Lær at oprette, organisere, dele og slette dokumenter. Udarbejdet af PLC, version 2013!!!!!!! Side 1 af 9

Google Apps. Lær at oprette, organisere, dele og slette dokumenter. Udarbejdet af PLC, version 2013!!!!!!! Side 1 af 9 Lær at oprette, organisere, dele og slette dokumenter. Udarbejdet af PLC, version 2013!!!!!!! Side 1 af 9 Arbejde i faner Google Apps arbejder i faner, derfor er det vigtigt, du er bekendt med det. Mappen

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere