Sætninger og Beviser

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sætninger og Beviser"

Transkript

1 Sætninger og Beviser Frank Villa 12. marts 2012 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 At læse en sætning Forudsætninger og konklusion Terminologi Baggrundsviden Forståelse og superhelteevner Et eksempel At læse et bevis Se den røde tråd Vær glad for formalismen Ideer og tricks At formulere en sætning Bogstavbetegnelser Tegninger Struktur Formodninger At bevise en sætning Eksempler Modeksempler Beviser Bevistyper Direkte beviser Modstridsbeviser (indirekte beviser) Induktionsbeviser

3 6.4 Opdeling i specialtilfælde Opdeling af konklusionen

4 Resumé I dette dokument kigger vi på fænomenet sætning og bevis. Vi ser først på hvordan man skal læse sætninger og beviser, og til sidst på hvordan man formulerer (sine egne eller andres) sætninger og beviser dem. 1 Introduktion En matematisk sætning er nok et af de steder i universet hvor mest information er koncentreret på mindst plads. Derfor kan man ikke forvente at læse en matematisk sætning lige så hurtigt som man ville have læst 3-4 linjer tekst i en avis eller en novelle. Vi gennemgår her nogle gode vaner som man bør tillægge sig hvis man vil læse matematiske tekster. Hvis du er vant til at læse stringent og informationspakket tekst (f.eks. regler til meget indviklede spil, instruktionsbøger til komplicerede maskiner eller lovtekster), så vil de fleste af disse råd allerede være naturlige for dig. 2 At læse en sætning Matematisk viden er samlet i såkaldte sætninger. Sætninger er ganske enkelt nogle påstande som vi ved er rigtige 1, og de indeholder de informationer som vi kan bruge til at løse matematiske problemer med. På en måde er navnet sætning lidt fjollet, for en matematisk sætning kan sagtens bestå af flere grammatiske sætninger. Det er med andre ord tilladt at sætte punktummer i en matematisk sætning. Derfor bruger man nogle gange andre ord som f.eks. lemma, proposition eller theorem i stedet for sætning. På den måde 1 Hvis du på et senere tidspunkt kaster dig ud i at lære om udsagnslogik, så vil du forstå hvorfor ordet ved står i anførselstegn. side 1

5 antyder man også hvor vigtig sætningen er, idet små sætninger, der kun skal bruges til at bevise andre sætninger kaldes for lemmaer (hjælpesætning), mens de rigtigt store, vigtige og fantastiske sætninger kaldes for theoremer. Vi vil dog holde os til at bruge ordet sætning i dette dokument. Når man skal læse en sætning kan det være fristende bare at læse den, trække på skuldrene og tænke Nå."eller ligefrem: Og hvad så?. Hvis man gør det, så kan man være helt sikker på at man har glemt sætningen den dag man lige pludselig får brug for den. Derfor kommer her nogle små tips om hvad man kan gøre for at undgå det. 2.1 Forudsætninger og konklusion En matematisk sætning består altid af to dele: Forudsætninger Konklusion Det allerførste man skal gøre når man læser en sætning er at identificere hvad der er forudsætninger og hvad der er konklusion. Alt efter hvor godt sætningen er formuleret, og hvor kompliceret den er, kan det være mere eller mindre svært. Den simpleste måde at skrive en sætning på er formen: Hvis [forudsætninger], så [konklusion]. Men der findes mange andre varianter. Hvis antagelserne er lidt komplicerede kan det f.eks. være en fordel at bruge formuleringen: Antag at [forudsætninger]. Så gælder [konklusion] Nogle sætninger kan tilsyneladende have tomme forudsætninger. Hvis man f.eks. siger at Et reelt tal opløftet i anden potens bliver aldrig negativt! side 2

6 så er det hele nærmest en stor konklusion. Men man kan også formulere det samme faktum som at: Hvis x er et reelt tal, så er x 2 0 og så er der pludselig en klar forudsætning og en konklusion. Advarsel: Byt ikke om på antagelserne og konklusionen! Der er stor forskel på om man siger: Hvis du begår et bankrøveri, så skal du tage elefanthue på eller: Hvis du tager elefanthue på, så skal du begå et bankrøveri. Desværre er der mange som ikke er vant til at bruge ordene hvis og så forsigtigt nok, og derfor kan det være en god ide at passe lidt ekstra på i starten. Logikken i en sætning siger at hver eneste gang forudsætningerne er opfyldt, så gælder konklusionen. Eller sagt på en anden måde: Man kan ikke forestille sig en situation hvor forudsætningerne gælder uden at konklusionen også gælder. Til gengæld kan det sagtens tænkes at konklusionen gælder uden at forudsætningerne er opfyldt. Det siger sætningen nemlig ikke noget som helst om. For eksempel er jeg rimeligt overbevist om at følgende sætning er korrekt: "Hvis datoen er d. 29. april, så er der mindst en person i verden som har fødselsdag. Jeg kan endda argumentere for at det er korrekt ved at vise mit eget sygesikringsbevis frem. Men jeg har ikke påstået at: Hvis der er mindst en person i verden som har fødselsdag, så er datoen d. 29. april Faktisk ved jeg ikke om dette er rigtigt eller forkert, men jeg finder det meget sandsynligt at nogen kan modbevise det. side 3

7 Eksempel 1 (Franks opskrift på lasagne). En anden fejl som rigtigt mange elever laver er at glemme forudsætningerne når de skal fortælle indholdet af en sætning. Hvis man spørger folk hvad Pythagoras sætning siger, så vil mange svare noget i retning af: a 2 + b 2 = c 2 Men det svarer til at give følgende opskrift på hvordan man laver lasagne: Man sætter fadet i ovnen ved 200 C i en halv time Selvom det er en fuldstændig korrekt del af opskriften, så kan den virkelig ikke bruges til meget af folk som ikke kender opskriften i forvejen. Og det er omtrent det samme problem vi har med Pythagoras sætning: Hvis ikke man fortæller at a og b er katetelængder i en retvinklet trekant, og c er længden af hypotenusen, så er det bestemt ikke sikkert at a 2 + b 2 giver c 2. Jeg kunne jo finde på at definere a til at være 1, b til at være 2 og c til at være Det sidste svarer nok til at folk kunne finde på at lægge mange underlige ting i lasagnefadet hvis ikke man fortalte dem hvad der var det rigtige. 2.2 Terminologi Dernæst gælder det selvfølgelig om at forstå hvad forudsætningerne og konklusionen helt præcis er. Derfor har man brug for at sikre sig at man forstår hvert eneste ord, symbol og begreb som indgår i formuleringen af sætningen. Hvis en sætning f.eks. starter med: Hvis f er en kontinuert funktion... og man ikke ved hvad ordet kontinuert betyder (eller hvad en funktion er, for den sags skyld), side 4

8 så kan man være helt sikker på at man ikke forstår hvad sætningen siger. 2.3 Baggrundsviden Ofte vil man have stor nytte af at repetere alt hvad man i forvejen ved om alle de begreber der nævnes i sætningen. Som regel kan man godt forstå selve sætningen uden, men for det første bliver det meget lettere at huske sætningen hvis man kan forbinde den med de ting man ved i forvejen. Nogle gange kan man endda opleve at læse en sætning og samtidigt have en fornemmelse i stil med det havde jeg da allerede gættet. For det andet vil meget af ens baggrundsviden sandsynligvis blive brugt i beviset for sætningen. 2.4 Forståelse og superhelteevner Til sidst kommer den sværeste del, nemlig at opbygge sin forståelse af hvad sætningen siger. Dertil kan man benytte et trick, som består i at stille sig selv følgende spørgsmål (og svare på dem): Kan jeg finde et konkret eksempel hvor forudsætningerne er opfyldt? Gælder sætningens konklusion i mit konkrete tilfælde? (Det er ikke sikkert at du kan se om den gør eller ej, men hvis ikke den gør, så har du fundet et modeksempel og dermed er sætningen forkert!) Er det overraskende at konklusionen gælder i det konkrete tilfælde? Hvis jeg fjerner eller ændrer én af forudsætningerne, kan jeg så finde en konkret situation hvor sætningens konklusion ikke holder? Hvad er de mest ekstreme situationer hvor forudsætningerne stadig er opfyldt? Holder konklusionen? Hvilke konsekvenser har sætningen? Kan man i virkeligheden konkludere endnu mere end sætningen gør? side 5

9 Jeg plejer at bruge et lille hukommelsestrick hver gang jeg møder en ny sætning: Når jeg læser sætningen, så prøver jeg at forestille mig en situation hvor den kunne bruges. Altså: Hvor forudsætningerne er opfyldt, og hvor konklusionen er lige præcis det man har brug for. For at gøre det nemmere at huske kan man forestille sig at man er en superhelt der redder en ellers helt håbløs situation ved at vide at sætningens konklusion gælder Et eksempel En spøjs sætning som afslører en dybsindig og overraskende egenskab ved de reelle tal er følgende: Sætning 1 (Archimedes Princip). Hvis I R er et interval som indeholder mere end ét element, så indeholder I både rationelle tal og irrationelle tal. Hvis man skal læse og forstå denne sætning må man igennem alle de tanker som er beskrevet ovenfor. Allerførst identificerer vi forudsætninger og konklusion: Forudsætninger: Det handler åbenbart om et interval i de reelle tal som indeholder mere end 1 element. Konklusion: Konklusionen er at et sådant interval altid indeholder både rationelle og irrationelle tal. 2 Dette trick er meget flot illustereret her. side 6

10 Terminologi: Dernæst går vi på jagt efter forklaringer af de ord og symboler som vi ikke forstår. Måske skal vi slå op at symbolet betyder en delmængde af, R betyder de reelle tal, at et interval er en delmængde 3 bestående af alle reelle tal mellem en given nedre grænse og en øvre grænse. Og at alt efter om intervallet er lukket, åbent eller halvåbent, vil disse grænser være med i intervallet eller ej. Så skal vi måske også mindes om hvad rationelle og irrationelle tal er. Altså de tal som henholdsvist kan og ikke kan skrives som en brøk (eller hvilket er det samme, som et kommatal der enten har endeligt mange cifre eller er periodisk). Baggrundsviden: Hvis vi overvejer hvad der kunne være relevant baggrundsviden, er der mindst ét resultat som virker oplagt: Nemlig den sætning som siger at 2 ikke er et rationelt tal 4. Forståelse: Det er meget nemt at finde på konkrete eksempler hvor forudsætningerne er opfyldt. F.eks. I = [1; 8] eller eller ligefrem I =] 10; 10[ I =] ; [= R 3 Således har vi faktisk sagt den samme information to gange i formuleringen af sætningen. 4 Læs et bevis for at kvadratroden af 2 er irrationel her side 7

11 Eftersom 2 (heldigvis) ligger i alle disse eksempler, og man lynhurtigt kan finde er rationelt tal i hver af dem (f.eks. ligger 3 2 i dem alle tre) er sætningens konklusion rigtig i alle disse tilfælde. Hvis man fjerner en forudsætning, f.eks. ved at glemme at intervallet skal have mere end 1 element, kunne man risikere at stå med et interval i stil med: I = [6; 6] Dette interval indeholder ingen irrationelle tal, så her bliver sætningens konklusion forkert. De ekstreme tilfælde er selvfølgelig hvis intervallet bliver meget, meget småt. Allerede hvis intervallet hverken indeholder 2 eller nogen af vores andre (meget få) eksempler på irrationelle tal, bliver det lidt overraskende at sætningens konklusion alligevel skulle holde. Det betyder selvfølgelig ikke at sætningen er forkert, men måske ville vi være nødt til at læse beviset for at blive overbevist. Hvis man grubler lidt over det, opdager man at hvis ethvert interval (med mere end 1 element) indeholder både rationelle og irrationelle tal, så kan man jo tage et givet interval og inddele i lige så mange bittesmå delintervaller som man har lyst til. Og så vil hvert af disse delintervaller indeholde både rationelle og irrationelle tal. Dermed kan man indse at ethvert interval (med mere end 1 element) faktisk indholder uendeligt mange rationelle og uendeligt mange irrationelle tal. Se bare: Næsten 2 siders tanker for at læse 3 linjer. 3 At læse et bevis At læse et bevis er mindst lige så svært som at læse en sætning. Især hvis man er typen som plejer at være tilfreds med begrundelsen sådan er det bare. Det er dog beviserne som gør at matematik er så pålideligt som det er. Og mange matematikere vil sågar påstå at selve den matematiske side 8

12 videnskab ligger i beviserne ikke i sætningerne 5. Så hvis du gerne vil være god til matematik, så er det faktisk vigtigere at du forstår beviserne end selve sætningerne. Når du skal forstå et bevis, så er der et par tricks som kan gøre det nemmere at navigere rundt i det. 3.1 Se den røde tråd Bevisets opgave er at lave en række klare, logiske argumenter, som viser at hver eneste gang sætningens forudsætninger er opfyldt, så gælder sætningens konklusion. Hvis beviset derfor er skrevet ordentligt ned, så bør du kunne se et overordnet flow i argumenterne, som peger fra forudsætningerne, og fremad imod at konkludere hvad end sætningen gerne vil konkludere. Desuden kan det være en hjælp at holde øje med hvilken strategi argumentet er bygget op over. Der er mange forskellige strategier, men her er navnene på nogle af de mest anvendte: Direkte bevis Modstridsbevis Induktionsbevis Inddeling i specialtilfælde Inddeling af konklusionen Du kan læse mere om hver af disse strategier i det sidste afsnit, hvor vi ser på hvordan man selv gennemgår (eller ligefrem laver) et bevis. 5 Dette er en fordansket version af hovedbudskabet i den berømte artikel Why do we prove Theorems af Yehuda Rav i Philosophia Mathematica (1999, 7, pp. 5 41). side 9

13 3.2 Vær glad for formalismen Når man har læst et par beviser opdager man at det er de samme formuleringer som går igen hele tiden. Dette skyldes ikke at matematikere har specielt dårlig fantasi, men derimod at man som læser kan lære at bruge disse standardfomuleringer til at læse beviset meget mere effektivt. Her er en lille samling af standardformuleringer som du vil finde i mange beviser: Antag at... Bruges meget ofte til at starte beviset. Vi starter med at antage (= forestille os ) at sætningens forudsætninger er opfyldt. Eftersom... har vi:... Dermed har vi: Ideer og tricks Mange beviser kommer på et tidspunkt til et sted, hvor man pludselig får lyst til at gøre et eller andet som kan virke fuldkommen tilfældigt. Det kunne f.eks. være at lægge et tal til på begge sider af et lighedstegn, eller skrive +0 et eller andet sted. I disse tilfælde kan det være fristende at spørge hvorfor i alverden man får lyst til lige netop dette. Men her er en god nyhed: Det behøver man faktisk ikke altid at forstå! Så længe man kan se at det som foregår er lovligt (f.eks. er det jo fuldkommen rigtigt at et udtryk er præcis det samme hvis man ganger det med 1) er det faktisk det eneste man behøver for at forstå beviset. Man kan godt lege at disse trick er noget man gør fordi man bliver ramt af en guddommelig inspiration. Senere kan det dog være utroligt spændende at undersøge hvordan man bærer sig af med at få en sådan ide, fordi man på den måde kan lære at lave sine egne beviser. Men det er ikke noget som man kan give en opskrift på. side 10

14 4 At formulere en sætning 4.1 Bogstavbetegnelser Ufatteligt ofte hører man både elever og lærere citere Pythagoras sætning som at a 2 + b 2 = c 2 Dette er noget forfærdeligt vrøvl, hvis man ikke siger andet! Hvis f.eks. a = 6, b = 7, og c = , så er a 2 + b 2 absolut ikke det samme som c 2. Det som mangler i ovenstående udtalelse er selvfølgelig en forklaring af at bogstaverne a, b og c skal betegne sidelængder i en retvinklet trekant. Mere præcist skal a og b være længder af kateterne (de to sider som udgår fra den rette vinkel), og c være længden af hypotenusen (den side som ligger over for den rette vinkel) i en retvinklet trekant. Man kan altså aldrig nogen sinde formulere en matematisk sætning, hvori der indgår bogstavbetegnelser uden at man først oplyser hvad disse bogstavbetegnelser dækker over. Når man har vænnet sig til denne tanke, så indser man noget dejligt befriende: Nemlig at bogstavnavnene i Pythagoras sætning overhovedet ikke behøver at være a, b og c. Hvis f.eks. f og y er katetelængder i en retvinklet trekant hvor hypotenuselængden er r, så siger Pythagoras sætning at: f 2 + y 2 = r 2 Bogstaverne er simpelt hen pladsholdere og intet andet. 4.2 Tegninger En tegning kan være en meget stor hjælp til at vise betydningen af de bogstaver som indgår i sætningen. Man skal bare passe på, fordi en tegning næsten aldrig kan være generel nok til at dække alle de tilfælde man ønsker at sætningen skal handle om. side 11

15 4.3 Struktur Mere generelt kan man sige at en velformuleret matematisk sætning altid skal opbygges på følgende måde: 1. Forudsætninger: Hvor man gør det fuldstændig klart hvilke situationer sætningen udtaler sig om. Undervejs indføres eventuelle bogstavnavne til de størrelser som det handler om. Denne del starter meget ofte med formluleringer som: Hvis... Hver gang... Alle... hvor Konklusion: Hvor sætningens egentlige indhold formuleres. Som regel består konklusionen af en eller anden sammenhæng (ofte formuleret som en ligning eller en ulighed) mellem de størrelser som er navngivet under det første punkt. Jo mere overraskende konklusionen er, set i forhold til forudsætningerne, desto mere interessant er sætningen. Denne del vil meget ofte starte med formuleringer som: så er... så gælder at... opfylder at Formodninger En sætning som endnu ikke er blevet bevist af nogen, men som der heller ikke er nogen der kan finde et modeksempel på kaldes en formodning eller nogle gange en hypotese. Det betragtes som noget af det allersejeste man kan gøre som matematiker at fremsætte en formodning som er: Interessant (hvis den handler om nogle begreber som mange mennesker kender og interesserer sig for.) side 12

16 Overraskende (hvis det forekommer helt urimeligt at dens konklusion skulle holde i enhver situation der passer med dens forudsætninger.) Plausibel (hvis der findes masser af eksempler på situationer hvor den er rigtig, mens ethvert forsøg på at finde modeksempler har slået fejl.) Svær (hvis ethvert forsøg på at bevise den viser sig at have huller i form at konklusioner som ikke er tilfredsstillende begrundet.) Et meget berømt eksempel på en formodning, der tog flere hundrede år at bevise (og dermed lave om til en egentlig sætning ) er den såkaldte Fermat s sidste sætning. Navnet skyldes at den matematiker (Pierre de Fermat) som den er opkaldt efter, skrev den i marginen på en bog, sammen med en bemærkning om at han havde lavet et nydeligt lille bevis for den, som der desværre ikke var plads til lige her. Hvorefter han døde 6 og efterlod sig et kæmpe arbejde med at bevise den. Påstanden lyder i al sin enkelhed at hvis n er et naturligt tal, der er større end 2, så findes der ingen hele tal, a, b og c som alle er forskellige fra 0 og hvor a n + b n = c n Der findes masser af andre eksempler på berømte formodninger. Mange af disse er endnu ikke bevist den dag, hvilket er grunden til at der stadig forskes i matematik 7. 6 Historien er nok fremstillet lidt mere dramatisk her end den i virkeligheden er 7 Faktisk er der en ubehagelig tendens til at hver gang en formodning bliver bevist, så opstår der adskillige nye formodninger. side 13

17 5 At bevise en sætning Når man så skal bevise en sætning, så skal man altså argumentere for at hver eneste gang forudsætningerne er opfyldt, så gælder konklusionen. 5.1 Eksempler Det er altså ikke nok at demonstrere en enkelt situation hvor forudsætningerne er opfyldt og hvor konklusionen holder. (Dette kaldes at eksemplificere sætningen). I tilfældet med Pythagoras er det f.eks. ikke nok at tage fat i en konkret retvinklet trekant, måle sidelængderne og vise at de hænger sammen på rigtige måde. Alligevel kan det være en rigtig god ide at eksemplificere en sætning for at forstå hvordan den virker, og måske for at begynde at tro på at sætningen gælder (Man kalder det også at plausibelgøre sætningen når man giver et eksempel som får folk til at tro på den.) 5.2 Modeksempler Hvis man derimod kan finde bare ét eneste eksempel hvor sætningens forudsætninger er opfyldt, og hvor konklusionen ikke holder, så siger man at man har fundet et modeksempel til sætningen. I det tilfælde kan man godt opgive at bevise sætningen, for så er den nemlig forkert. Ofte er det en god ide at lede efter modeksempler til en sætning inden man prøver at bevise den. Når man ikke kan finde et modeksempel, så får man nemlig en fornemmelse af hvorfor sætningen er rigtig, og det er præcis hvad man skal bruge hvis man skal finde på et bevis. 5.3 Beviser Et korrekt bevis vil være et logisk argument som overbeviser selv den mest kritiske læser om at hver eneste gang man har en situation side 14

18 som beskrevet under forudsætning delen, så gælder konklusionen. Det kan godt være at man vælger at illustrere sine argumenter med udgangspunkt i et eksempel (f.eks,. en tegning af en trekant), men så skal man være sikker på at præcis de samme argumenter kunne gentages hvis man tog udgangspunkt i et andet eksempel. Ellers er det omtrent lige så svært at sige noget klogt om hvordan man laver beviser som det er at fortælle hvordan komponerer musik. 6 Bevistyper Når man skal lave et bevis, så er der forskellige skeletter som man kan opbygge sin argumentation efter. Lad os slutte af med at se på nogle af de mest almindelige af disse og hvad de hver især kan bruges til. 6.1 Direkte beviser Et direkte bevis den mest almindelige form for argumentation. Man starter ved sine forudsætninger, og konkluderer sig fremad skridt for skridt, indtil man ender ved konklusionen. Sætning 2. Hvis x er et hvilket som helst reelt tal, så er (x 1)(x + 1) 1 Bevis. Vi omskriver på udtrykket ved hjælp af den tredie kvadratsætning: (x 1)(x + 1) = x 2 1 = ( 1) + x 2. Eftersom x 2 aldrig er negativt, kan vi konkludere at: ( 1) + x 2 ( 1) + 0 = 1 side 15

19 Dette var netop påstanden. 6.2 Modstridsbeviser (indirekte beviser) Et modstridsbevis (eller som det også kaldes: et indirekte bevis ) benyttes som regel når man vil argumentere for en påstand, hvor den modsatte påstand er lettere at tænke på end selve påstanden. Den logiske fremgangsmåde er, at man først antager at det modsatte gør sig gældende, og derefter viser at denne antagelse leder frem til en konklusion som under ingen omstændigheder kan være rigtig. En sådan konklusion kaldes en modstrid. Når antagelsen om den modsatte påstand leder til en modstrid, kan den ikke være rigtig, og derfor må den oprindelige påstand være rigtig i stedet for. Eksempel 2. Argumentationsformen, hvor kryptisk det end lyder, bruges faktisk flittigt i dagligdagen. Hver gang man starter en begrundelse med fordi ellers... laver man faktisk et lille modstridsargument. Når man f.eks. siger: Det er nyttigt at lære matematik, fordi ellers ville det ikke have overlevet som videnskab i 3000 år. så opstiller man først en påstand, nemlig at det er nyttigt at lære matematik. Derefter antager man et øjeblik det modsatte, nemlig at matematik var ubrugeligt, og påpeger at dette strider mod hvad man i øvrigt ved er rigtigt. Modstridsbeviser kan være lidt svære at vænne sig til, fordi det kan virke som snyd at man kun argumenterer for at alternativet ikke er rigtigt. F.eks. er følgende argument overhovedet ikke (logisk) acceptabelt: Alle dyr kan flyve, fordi hvis ingen dyr kunne flyve, så ville der ikke findes fugle side 16

20 Men her har vi også snydt helt vildt med at lave den modsatte påstand helt forkert. Alle dyr kan flyve er nemlig ikke det modsatte af ingen dyr kan flyve. (Fordi der findes muligheder som ikke falder ind under nogen af disse påstande; nemlig at nogle dyr kan flyve, mens andre ikke kan.) Man skal altså øve sig i den ædle kun at lave modsatte påstande. Det kaldes at negere 8 udsagn med et fint ord 9. Som et matematisk eksempel kan vi prøve at bevise følgende vigtige sætning om primtal 10 : Sætning 3. Der findes uendeligt mange primtal. Bevis. Antag (for modstrid) at der kun findes endeligt mange primtal. I så fald kan vi nummerere dem: p 1, p 2,..., p N, hvor N N altså angiver antallet af primtal. Betragt nu tallet: (p 1 p 2 p 3 p N ) + 1 (Altså alle primtallene ganget sammen, plus 1.) Der er ingen af primtallene som går op i dette tal (det giver altid 1 til rest hvis man dividerer et af primtallene op i det). Derfor må tallet selv være et primtal ifølge sætningen om entydig primfaktorisering. Eftersom tallet er større end alle de andre primtal, har vi altså lavet et nyt primtal. Men det giver en modstrid fordi vi jo antog at der ikke var andre primtal end p 1, p 2,..., p N. 8 Udtales med hårdt g. 9 Du kan læse mere om negation af logiske udsagn her. 10 Læs mere om primtal her side 17

21 6.3 Induktionsbeviser Induktionsbeviser er en ret finurlig form for beviser, og de skal ikke bruges særligt meget på gymnasieniveau. Så hvis du synes at dette afsnit er for svært, så kan det godt springes over. Induktion kan benyttes når man vil argumentere for en påstand som involverer et vilkårligt 11 naturligt tal. Et eksempel på en sådan påstand er følgende sætning: Sætning 4. Hvis n er et naturligt tal, så kan summen af alle de naturlige tal fra 0 til n udregnes på følgende måde: n k = k=0 n(n + 1) 2 For eksempel siger sætningen at summen af de 100 første naturlige tal er lig med: = k = k= = Det er utroligt nemt at se at sætningen er rigtig hvis n er et af de første naturlige tal: 11 Ordet vilkårligt betyder noget i retning af ikke nærmere bestemt, og det kan som regel erstattes med hvilket som helst. 12 Resultatet kaldes for Gauss additionsformel, og den er opkaldt efter en af alle tiders største matematikere, Carl Friedrich Gauss. Legenden fortæller at Gauss som 8 årig var en rigtig irriterende elev i matematiktimerne, fordi han altid var færdig med opgaverne inden de andre elever var gået i gang. På et tidspunkt forsøgte læreren at holde ham beskæftiget ved at bede ham om at lægge de 1000 første naturlige tal sammen. Men i stedet for at gå i gang med den besværlige udregning opfandt lille Carl Friedrich den ovennævnte formel og kunne efter ganske få sekunder fortælle læreren det rigtige resultat. side 18

22 Hvis n = 0, siger sætningen bare at 0 er lig med 0 1 = 0, og det er 2 jo rigtigt nok. Hvis n = 1, siger sætningen at er lig med 1 2 = 1, og der er 2 jo også rigtigt. Hvis n = 2, siger sætningen at er lig med 2 3 = 3, og det 2 er sandelig også rigtigt. Et induktionsbevis fungerer på følgende måde: I stedet for at bevise sætningen for et naturligt tal af gangen, sådan som vi gik i gang med ovenover (man bliver jo aldrig færdig på den måde!), så beviser man først sætningen for de første mulige værdier af n, og derefter giver man en opskrift på hvordan man altid kan komme videre fra at have bevist sætningen for en bestemt værdi af n til også at vise den for den næste værdi af n. På den måde har man i princippet vist sætningen for enhver værdi af n. Hvis man for eksempel har brug for at kende sætningen for n = 1000, kan man jo bare sætte sig ned og følge opskriften 1000 gange, og til sidste konkludere at sætningen er rigtig for n = Lad os som et eksempel bevise Gauss additionsformel: Bevis. Sætningen er klart rigtig for n = 0, n = 1 og n = 2. Antag nu at vi har vist sætningen for en bestemt værdi af n. Lad os kalde denne værdi for n ok. Vi ved altså at: n ok k=0 k = n ok(n ok + 1) 2 Vi vil nu give en opskrift på hvordan sætningen kan bevises for den næste værdi af n. Lad os kalde denne værdi for n næste. Altså: Vi ser på summen: n næste k=0 n næste = n ok + 1 k = n ok + n næste side 19

23 Det smarte er nu at summen af alle leddene, undtagen det allersidste, jo lige præcis er den sum som vi ved hvordan man regner ud. Vi kan derfor omskrive: n ok n ok + n næste = k + n næste (1) k=0 = n ok(n ok + 1) + n næste (2) 2 = n ok n næste + n næste (3) 2 = n ok n næste + 2 n næste 2 = (n ok + 2) n næste 2 = (n næste + 1) n næste 2 (4) (5) (6) Og det er jo præcis sætningens påstand for den næste værdi af n. 6.4 Opdeling i specialtilfælde Nogle gange er man nødt til at behandle enkelte specialtilfælde for sig selv, fordi de argumenter som virker i visse situationer ikke giver mening i andre. Et godt eksempel på sådan en situation kommer når man skal bevise den såkaldte nulregel: Sætning 5 (Nulreglen). Hvis x og y er reelle tal, og x y = 0 side 20

24 så er enten eller (eller begge dele). x = 0 y = 0 Bevis. Antag at x og y er to reelle tal, hvor x y = 0 Vi inddeler nu denne antagelse i to tilfælde: x er nul x er ikke nul Det er klart at disse to tilfælde tilsammen dækker enhver situation. Antag først at x er nul. I så fald er det ufatteligt nemt at konkludere at enten x eller y (eller eventuelt dem begge) er nul. For x er jo nul. Antag derefter at x ikke er nul. Det giver os en fordel, nemlig at vi er sikre på at vi må dividere med x. Så vi vidste jo at: x y = 0 Hvis vi dividerer begge sider af dette lighedstegn med x, så får vi: dvs. x y x = 0 x y = 0 Og dermed kan vi konkludere at i dette tilfælde er det y som er nul. Vi har således vist at uanset hvilket af de to tilfælde som forekommer, så er enten x eller y (eller eventuelt dem begge) nødt til at være nul. side 21

25 6.5 Opdeling af konklusionen Andre gange kan det være at sætningens konklusion er så stor og voldsom at det kan være svært at argumentere for det hele på en gang. I disse tilfælde kan man vælge at dele konklusionen ind i flere dele som tilsammen siger hele konklusionen. Og så er ideen at hver af disse side 22

Sætninger og Beviser

Sætninger og Beviser Sætninger og Beviser Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Polynomiumsbrøker og asymptoter Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Pointen med Funktioner

Pointen med Funktioner Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Om problemløsning i matematik

Om problemløsning i matematik Om problemløsning i matematik Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012 Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentiation af Potensfunktioner

Differentiation af Potensfunktioner Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Primtal. Frank Nasser. 20. april 2011

Primtal. Frank Nasser. 20. april 2011 Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Pointen med Differentiation

Pointen med Differentiation Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Kæmpestore tal og uendelig

Kæmpestore tal og uendelig Kæmpestore tal og uendelig Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Polynomier. Frank Villa. 26. marts 2012

Polynomier. Frank Villa. 26. marts 2012 Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Integration. Frank Nasser. 15. april 2011

Integration. Frank Nasser. 15. april 2011 Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Struktureret læsning i Matematik

Struktureret læsning i Matematik Struktureret læsning i Matematik Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011 ULULU (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst? Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Emil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning

Emil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære

Læs mere

Avisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet

Avisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Avisforside Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Vi vil meget gerne høre dine umiddelbare tanker om forsiden til avisen. Hvad forventer du dig af indholdet og giver den dig lyst til

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Tue Tjur: Hvad er tilfældighed?

Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Evaluering af den samlede undervisning 2018 Fokus på matematikundervisningen i 9.kl. på Efterskolen Solgården

Evaluering af den samlede undervisning 2018 Fokus på matematikundervisningen i 9.kl. på Efterskolen Solgården Evaluering af den samlede undervisning 2018 Fokus på matematikundervisningen i 9.kl. på Efterskolen Solgården Evalueringen er udarbejdet af Matematiklærerne i 9.klasse Evalueringen af layoutet og redigeret

Læs mere