Orienterede acykliske grafer
|
|
- Minna Olesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Orienterede acykliske grafer Erik Gahner Larsen Kausalanalyse i offentlig politik
2 Hvad skal/kan vi kontrollere for? (White 2016)
3 Hvad skal/kan vi kontrollere for? (White 2016)
4 Hvad skal/kan vi kontrollere for? (White 2016)
5 Hvad skal/kan vi kontrollere for? (White 2016)
6 Hvad skal/kan vi kontrollere for? (White 2016)
7 Hvad skal/kan vi kontrollere for? (White 2016)
8 Hvad skal/kan vi kontrollere for? (White 2016)
9 Dagsorden Kausalitet og orienterede acykliske grafer Terminologi Applikationer Potentielle udfald, validitet og orienterede acykliske grafer
10 Seminaropgaven Næste deadline: I dag Omkring 5 sider Indhold: Kort beskrivelse af emne Gerne én eller to konkrete ideer En reference eller to til relevant litteratur Send til: egl@sam.sdu.dk
11 Kausalmodeller Lektion 3: Rubins kausalmodel Fokus på potentielle udfald Definition af en kausaleffekt Antagelser (SITA, SUTVA) Lektion 4: Campbells kausalmodel Validitetstypologi Forskellige validitetsbegreber Validitetstrusler I dag: Pearls kausalmodel Grafteori Ikke-parametrisk stianalyse Kompatibelt med Rubins kausalmodel
12 Kausaleffekter: Mange veje til Rom Vi er interesseret i kausale mekanismer Mange måder hvorpå de kan studeres Orienterede acycliske grafer En god måde at formulere kausale ideer og evaluere deres konsekvenser Simple regler som alle relevante kontrolvariable siger os ikke meget Hovedpointe: Der er mange måder hvorpå man identificere en kausal effekt Vi skal kigge på tre identifikationsstrategier vha. DAG
13 Fire relationer mellem to variable X og Y kan være forbundne til hinanden på fire måder Direct causation: X Y Reverse causation: X Y Confounding: X C Y Collider: X C Y (Beklager, mange engelske begreber)
14 Directed acyclic graphs (DAGs) DAG Directed acyclic graphs/orienterede acycliske grafer Kausalmodel, graf uden kredse Kausale grafer der forbinder variable gennem pile Framework til at forstå konditionelle korrelationer Ekspliciterer kausale antagelser omkring relationen mellem variable (nodes) En kvalitativ kausalmodel omkring verden Kan bruges til at udlede (partielle) korrelationer mellem variable i modellen Belyse hvilke korrelationer der er af kausal karakter Belyse hvilke korrelationer der ikke er af kausal karakter
15 DAGs: Tre overordnede elementer 1. Variable (nodes) 2. Pile (edges, arcs) 3. Manglende pile (stærke antagelser)
16 DAG, eksempel
17 Node Node: Variabel Illustreret med et bogstav (A, B, C etc.) Observeret stokastisk variabel Representeret med fyldte cirkler ( ) Uobserveret stokastisk variabel Representeret med hule cirkler ( )
18 Pile (directed edges/arcs) En pil i én retning der går fra en node til en anden Forbinder to nodes Mulige kausale effekter Indikerer retningen på en kaual relation Manglende pile er afgørende antagelser Der er også pile der fører til to nodes (bidirected edges) Kurvet sti der viser en uobserveret node der påvirker to nodes
19 Sti (path) En sti er en sekvens af pile, der forbinder to nodes En sti krydser ikke en node mere end en gang Stier kan være åbne eller lukkede (eksempler følger!) Alle stier driver en forbindelse med mindre de er blokeret Blokerede stier kan få fjernet deres blokering En sti med colliding pile er lukket Betinger ( condtions ) man på en collider (evt. kontrollerer i en regression), åbner stien (fjerner blokeringen) Også for nodes der er direkte eller indirekte påvirket af den pågældende node (kontrollerer man på en node der påvirkes af en collider, åbner stien) Betinger man på en ikke-collider, lukker stien Betinger man ikke på en collider, forbliver den lukket Forskellige stier Back-door paths, front-door paths
20 Hvorfor DAGs? Formelt og generelt framework Eksplicit valg og fravalg af variable i empiriske analyser Fokus på kausale antagelser Kan bruges til at udlede implikationer Perfekt til at illustrere mange udfordringer ift. kausal inferens Især mere komplekse kausalmodeller En masse figurer (kan forstås uden algebra) Kan bruges til at visualisere og sammenligne forskellige identifikationsstrategier (Steiner et al. 2015) Kan bruges til at repræsentere nødvendige og tilstrækkelige kausale relationer (kendt fra QCA, process tracing m.v.)
21 Cyklisk graf (ikke en DAG)
22 Orienteret acyclisk graf DAG er orienteret så det ikke er muligt at følge pilene og ramme den samme node igen Ingen simultanitet Vi tillader ikke at to variable simultant påvirker hinanden direkte eller indirekte Tænk tid: Fremtiden kan ikke forårsage fortiden Hvis man er interesseret i feedbacks: komplekst!
23 Hvordan ikke-parametrisk? Ikke-parametrisk fordi der ikke er nogle antagelser omkring parametrene i modellen Mere specifikt ingen antagelser omkring: 1. Distributionen af variablene i DAG 2. Den funktionelle form
24 DAGs, tre elementer Alle DAGs kan konstrueres af tre elementer: Chains Forks X Y X C Y Inverted forks X C Y De elementer skaber korrelationer via: Kausalitet Confounders Colliders
25 DAGs, tre elementer
26 Mere terminologi: familiestrukturen Descendent, child, ancestor, parent, grandparent Eksempel: A B C Parents af en node: alle nodes der direkte påvirker en node pa(c) = {B} Grandparents af en node: alle nodes der påvirker parents gp(c) = {A} Children af en node: alle nodes direkte påvirket af en node child(a) = {B} Descendants af en node: alle nodes direkte eller indirekte påvirket af en node desc(a) = {B, C} Ancestors af en node: alle nodes der direkte eller indirekte påvirker en node an(c) = {A, B}
27 Conditioning Kan finde sted i analysestadiet eller i dataindsamlingsprocessen Betinge en node, conditioning Overordnet: introducere information omkring en variabel i analysen Kan finde sted på mange måder i praksis Kontrol (regression) Stratificering (krydstabulering) Subgroup analyse (split sample) Stikprøveudvælgelse Frafald etc.
28 Collider Collider: En node hvor to eller flere pile mødes Colliders er i relation til en path, ikke én edge Enhver endogen variabel der har to eller flere årsager er en collider i en sti Endogene variable er ofte colliders Desværre ikke noget politologer fokuserer meget på Et af de vigtigste koncepter med væsentlige implikationer! En brugbar indsigt fra Pearl s framework Relateret til selektion på den afhængige variabel og betingning på en endogen variabel Altså hvad der finder sted i mange studier
29 d-seperation og d-connection d-seperation: grafisk test for om to sets af nodes er uafhængige efter kontrol for et tredje set d = directional udleder testbare implikationer af en model To nodes er d-connected hvis der er en åben sti mellem dem Blokeret, d-seperated, ingen forbindelse Ikke blokeret, d-connected, forbindelse Hvis to variable er d-seperated: statistisk uafhængige efter kontrol for en eller flere variable (ingen partiel korrelation) Hvis to variable ikke er d-seperated: afhængige, åbne, d-connected
30 d-seperation og d-connection Eksempel: A B C D E F G Collider: D A-B-C-D er ikke blokeret, så A og D er d-connected D-E-F-G er ikke blokeret, så D og G er d-connected A og G er d-seperated Ved at betinge på D, åbnes stien og A og G er d-connected
31 Betinge på en collider Conditioning on a collider Berksons Paradoks Conditioning på en collider kan skabe en spuriøs korrelation mellem de to nodes i en inverted fork I praksis: Vi kan ikke bare inkludere et hav af kontrolvariable i en regressionsmodel og undgå spuriøse korrelationer Vi kan tværtimod skabe spuriøse korrelationer
32 Eksempel: Regression, confounder og collider Hvilke variable er det OK at kontrollere for? Confounders, generelt OK Colliders, farligt! Og hvis collideren er en del af dataudvælgelsen, kan det ikke klares i analysen
33 Conditioning på en confounder (generelt OK)
34 Eksempel: Regression, confounder og collider (Ogorek 2016)
35 Eksempel: Regression (Ogorek 2016) Confounding N < w <- rnorm(n) x <-.5 * w + rnorm(n) y <-.3 * w +.4 * x + rnorm(n)
36 Eksempel: Regression (Ogorek 2016) Confounding summary(lm(y ~ x))$coef ## Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ## (Intercept) ## x
37 Eksempel: Regression (Ogorek 2016) Confounding summary(lm(y ~ x + w))$coef ## Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ## (Intercept) ## x ## w
38 Eksempel: Regression (Ogorek 2016) Collider x <- rnorm(n) y <-.7 * x + rnorm(n) w <- 1.2 * x +.6 * y + rnorm(n)
39 Eksempel: Regression (Ogorek 2016) Collider summary(lm(y ~ x))$coef ## Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ## (Intercept) ## x
40 Eksempel: Regression (Ogorek 2016) Collider summary(lm(y ~ x + w))$coef ## Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ## (Intercept) ## x ## w
41 Eksempel: College SAT score (A, test score) Motivation (B, interview rating) College (C = 1 for dem der er optaget på college, C = 0 for dem der er afvist) College er en collider A C B Ingen relation mellem A og B (ρ =.035) A og B påvirker C hver (ρ (A,C) =.641, ρ (B,C) =.232) Betinger vi på C, får vi en negativ korrelation mellem A og B
42 Eksempel: College
43 Tre typer af bias Overcontrol Betinge på confounders i en sti Confounding bias Ikke at betinge på bagvedliggende nodes Collider bias Betinge på colliders
44 Hvordan kan vi identificere en kausal effekt? Tre ikke-udtømmende måder Strategi I: Conditioning Conditioning på variable der blokerer alle back-door stier Strategi II: Instrumentelle variable Eksogen variation i en IV Strategi III: Front-door kriterier (mediatorer) Find en isoleret og udtømmende node (eller flere nodes) der medierer effekten
45 Back-door path En back-door sti fra X til Y er en sti der har en direkte edge til X der er en ancestor til X En kausal effekt af X på Y kan identificeres ved at betinge effekten på en observeret variabel der blokerer back-door stier Forskellige strategier Kontrol Instrumentel variabel Mediatorer
46 Back-door kriterier Hvis en eller flere back-door stier forbinder to nodes (T og Y), kan det at betinge på en tredje variabel kun virke hvis alle back-door stier mellem de to nodes blokeres Applicerbar algoritme 1. Find alle back-door stier, der forbinder T og Y 2. Undersøg om disse blokeres naturligt Hvis ja, identifikation 3. Undersøg om de ikke-blokerede stier kan blokeres ved at betinge nodes der ikke er descendants af T Hvis ja, fortsæt; hvis nej, ingen identifikation 4. Undersøg om blokeringen i Step 3 åbnede ikke-kausale stier og undersøg om disse kan blokeres Hvis ja, fortsæt; hvis nej, ingen identifikation 5. Undersøg om nogle variable der skal betinges på for at blokere en back-door sti er på stien mellem T og Y eller er descendants af en variabel på stien mellem T og Y Hvis ja, ingen idenfitikation; hvis nej; identifikation
47 Eksempel: Lagged variable, back-door
48 Eksempel: Lagged variable, back-door Ofte bruger vi en lagged afhængig variabel Yt 1 To back-door stier fra D til Y D V Yt 1 Y D V Y t 1 U Y Y t 1 opfylder ikke back-door kriteriet Blokerer D V Y t 1 Y, men ikke D V Y t 1 U Y Hvad sker der ved at kontrollere for Y t 1? COLLIDER!!! Hvilke nodes?
49 Front-door Identifikation ved hjælp af en mekanisme Z opfylder front-door kriteriet når: Z blokerer alle direkte stier fra X til Y Der ikke er nogle åbne back-door stier fra X til Z X blokerer alle back-door stier fra Z til Y
50 Simpelt eksempel på front-door
51 Øvelse: Hvad er hvad? U er en [child/parent] til X og Y X og Y er [descendants/ancestors] af Z Der er en [direkte/ingen] sti fra Z til Y Der er [to/ingen] stier fra Z til U X er en [collider/ikke-collider] i stien Z X U X er en [collider/ikke-collider] i stien Z X Y
52 Øvelse: Hvad er hvad? U er en [child/parent] til X og Y X og Y er [descendants/ancestors] af Z Der er en [direkte/ingen] sti fra Z til Y Der er [to/ingen] stier fra Z til U X er en [collider/ikke-collider] i stien Z X U X er en [collider/ikke-collider] i stien Z X Y
53 do(x) operator Kontrafaktisk kausalitet i DAGs Operatoren erstatter en stokastisk variabel X med en konstant x Tænk eksperiment, x = 1 (stimuli) og x = 0 (kontrol) Fjerner alle edges der pejer til X Bemærk: Kræver ikke at X er manipulerbar! Kan eksempelvis være køn
54 Kausaleffekt af X på Y (Pearl 2007) Vi kan bruge do-operatoren til at beskrive back-door og front-door kriterierne Pr(Y do(x = x)) Kontrolvariable: S Back-door kriteriet: Pr(Y do(x = x)) = s Front-door kriteriet: Pr(Y X = x, S = s)pr(s = s) Pr(Y do(x = x)) = s s)pr(x = x ) Pr(Y S = s, X = x) x Pr(Y X = x, S =
55 Hvad skal vi betinge på for at identificere effekten af D på Y?
56 Hvad skal vi betinge på for at identificere effekten af D på Y? To back-door stier mellem D og Y D A V F Y D B U A V F Y A er collider i den anden back-door sti. 1. F. F overholder back-door kriteriet, så vi kan identificere effekten af D på Y 2. A og B. A er en midtervariabel i D A V (og kan dermed blokere V). B er midtervariabel i D B U. A er dog også en collider variabel (U A V), så ved at betinge kun på A, vil vi åbne den anden back-door. Altså: A og B
57 Hvilken node vil være et godt instrument?
58 Hvilken node vil være et godt instrument? C. Eksogen variation i D der overholder front-door kriterie Den eneste effekt C kan have på Y er gennem D
59 Opsummering DAG faciliterer diskussioner omkring antagelser ifm. kausal inferens DAG gør os bevidst omkring, at vi ikke skal inddrage alle variable i en analyse, for at identificere en kausal effekt Vi skal fokusere på en bestemt sti Igen: Mange veje til Rom Forskellige identifikationsstrategier tilgængelig i den samme DAG Mere forklarende model for kausalitet: Eksplicit beskrivelse af under hvilke betingelser X forårsager Y
60 Er der nogle ulemper? Ingen DAG er bedre end de antagelser, der gøres Kausale antagelser er ofte svage og kan ikke ekspliciteres med den præcision, der kræves I virkeligheden " skal vi ofte gøre os parametriske antagelser for at estimere kausale effekter Det antages at der er effektheterogenitet (igen: ingen antagelser omkring parametre)
61 Tre kausalmodeller: ligheder og forskelle Se tabel
62 Øvelse: Hvorfor kan vi identificere X Y? (Pearl 1995)
63 Øvelse: Hvorfor kan vi ikke identificere X Y? (Pearl 1995)
64 Næste gang I dag var sidste gang om kausale modeller Potentielle udfald Validitetstypologi Directed acyclic graphs (DAGs) Næste gang: Præsentation af seminaropgave Mandag, samme tid og sted
65 Næste gang: præsentation af idé Jeg holder en miniforelæsning Efterfulgt af præsentationer: 10 minutter (max) Slides Kontekst (emne) Teori (hypotese) Metode (design) Videre overvejelser
Seminaropgave: Præsentation af idé
Seminaropgave: Præsentation af idé Erik Gahner Larsen Kausalanalyse i offentlig politik Dagsorden Opsamling på kausalmodeller Seminaropgaven: Praktisk info Præsentation Seminaropgaven: Ideer og råd Kausalmodeller
Læs merePotentielle udfald og kontrafaktisk kausalitet
Potentielle udfald og kontrafaktisk kausalitet Erik Gahner Larsen Kausalanalyse i offentlig politik Kontrafaktisk kausalitet Dagsorden Kausalitet og kontrafaktiske scenarier Teoretisk framework: Neyman-Rubin
Læs mereEtiske og praktiske overvejelser
Etiske og praktiske overvejelser Erik Gahner Larsen Kausalanalyse i offentlig politik Eksamen og vejledning Dato for aflevering: 2. juni, klokken 12.00 Vejledning I: I dag, efter klokken 13 Send mig hvad
Læs mereValiditetstypologi. Erik Gahner Larsen. Kausalanalyse i offentlig politik
Validitetstypologi Erik Gahner Larsen Kausalanalyse i offentlig politik Dagsorden Kausalitet og validitet Typologi Validitetsudfordringer Validitet og potentielle udfald Seminaropgaven Næste deadline:
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKausale modeller. Konstruktion og analyse
Kausale modeller Konstruktion og analyse 1 Kausale modeller = DAGs (Directed acyclic graphs) defineret ved Fuldstændig ordnet kausal struktur Definition af direkte kausal effekt Antagelser om fravær af
Læs mereWooldridge, kapitel 19: Carrying out an Empirical Project. Information og spørgsmål vedr. eksamen. Økonometri 1: Afslutningsforelæsning 2
Økonometri 1 Afslutningsforelæsning 19. maj 2003 Økonometri 1: Afslutningsforelæsning 1 Evalueringer Kun 23 har udfyldt evalueringsskemaerne ud af ca. 120 tilmeldte til eksamen Resultatet kan ses på hjemmesiden
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereTransparency International Danmark på Roskilde Festival 2018: Har indsatsen nyttet noget?
Transparency International Danmark på Roskilde Festival 2018: Har indsatsen nyttet noget? Udarbejdet af frivillige Frederik Carl Windfeld og Kim Alexander Byrial Juárez Jensen samt sekretariatet i Transparency
Læs merePsykisk arbejdsmiljø og stress
Psykisk arbejdsmiljø og stress - Hvilke faktorer har indflydelse på det psykiske arbejdsmiljø og medarbejdernes stress Marts 2018 Konklusion Denne analyse forsøger at afklare, hvilke faktorer der påvirker
Læs mereØkonometri 1. Målsætning for Økonometri 1. Dagens program: Afslutningsforelæsning 16. December 2005
Dagens program: Økonometri 1 Afrunding og perspektivering af Økonometri 1. Opfølgning af introduktionsforelæsningen. Wooldridge, kapitel 19: Carrying out an Empirical Project Oversigt over økonometriske
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereRegressionsanalyser. Hvad er det statistiske problem? Primære og sekundære problemer. Metodeproblemer.
Regressionsanalyser Hvad er det statistiske problem? Primære og sekundære problemer. Metodeproblemer. Hvilke faglige problemer kan man løse vha. regressionsanalyser? 1 Regressionsanalyser Det primære problem
Læs mereTo samhørende variable
To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereConnie Nielsen Peter Thisted Dinesen Lars Benjaminsen Jens Bonke INTRODUKTION TIL EFFEKT- MÅLING AF SATSPULJEPROJEKTER
Connie Nielsen Peter Thisted Dinesen Lars Benjaminsen Jens Bonke INTRODUKTION TIL EFFEKT- MÅLING AF SATSPULJEPROJEKTER INTRODUKTION TIL EFFEKTMÅLING AF SATSPULJEPROJEKTER Peter Thisted Dinesen Connie Nielsen
Læs mere! Proxy variable. ! Målefejl. ! Manglende observationer. ! Dataudvælgelse. ! Ekstreme observationer. ! Eksempel: Lønrelation (på US data)
Dagens program Økonometri 1 Specifikation, og dataproblemer 10. april 003 Emnet for denne forelæsning er specifikation (Wooldridge kap. 9.-9.4)! Proxy variable! Målefejl! Manglende observationer! Dataudvælgelse!
Læs mereVelkommen til kurset. Teoretisk Statistik. Lærer: Niels-Erik Jensen
1 Velkommen til kurset Teoretisk Statistik Lærer: Niels-Erik Jensen Plan for i dag: 1. Eks: Er euro'en skæv? 4. Praktiske informationer 2. Eks: Regressionsmodel (kap. 1) 5. Lidt om kursets indhold 3. Hvad
Læs mereHver anden vil benytte øget åbningstid i dagtilbud
Børnefamiliers dagtilbud og arbejdsliv 17. maj 18 Hver anden vil benytte øget åbningstid i dagtilbud Halvdelen af alle lønmodtagere med børn mellem -13 år ville benytte sig af udvidede åbningstider i deres
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs mereØkonometri 1. Dagens program: Afslutningsforelæsning 23. maj 2007
Dagens program: Økonometri 1 Afslutningsforelæsning 23. maj 2007 6-trins procedure til IV estimation. Afrunding af IV: Rygning og fødselsvægt. Afrunding og perspektivering af Kvant 2. Opfølgning af introduktionsforelæsningen.
Læs mereConfounding for viderekommende. Laust H Mortensen, Department of Social Medicine University of Copenhagen
Confounding for viderekommende Laust H Mortensen, LAMO@SUND.KU.DK Department of Social Medicine University of Copenhagen Bias i empiriske studier Er det målte interesseparameter (fx OR, HR, RR, RD, mv)
Læs mereGrundlæggende metode og videnskabsteori. 5. september 2011
Grundlæggende metode og videnskabsteori 5. september 2011 Dagsorden Metodiske overvejelser Kvantitativ >< Kvalitativ metode Kvalitet i kvantitative undersøgelser: Validitet og reliabilitet Dataindsamling
Læs mere1. Intoduktion. Undervisningsnoter til Øvelse i Paneldata
1 Intoduktion Før man springer ud i en øvelse om paneldata og panelmodeller, kan det selvfølgelig være rart at have en fornemmelse af, hvorfor de er så vigtige i moderne mikro-økonometri, og hvorfor de
Læs mereMantel-Haenszel analyser. Stratificerede epidemiologiske analyser
Mantel-Haensel analyser Stratificerede epidemiologiske analyser 1 Den epidemiologiske synsvinkel: 1) Oftest asymmetriske (kausale) sammenhænge (Eksposition Sygdom/død) 2) Risikoen vurderes bedst ved hjælp
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereAppendiks Økonometrisk teori... II
Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereArbejdsløshed, arbejdsløshedsforsikring og konjunktursvingninger?
Arbejdsløshed, arbejdsløshedsforsikring og konjunktursvingninger? Mette Ejrnæs og Stefan Hochguertel EPRN konference 19. juni 2015 19. juni 2015 1 / 25 Motivation I Danmark har vi en arbejdsløshedsforsikringsordning
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Specifikation og dataproblemer 2. maj 2007 KM2: F22 1 Program Specifikation og dataproblemer, fortsat (Wooldridge kap. 9): Betydning af målefejl Dataudvælgelse: Manglende observationer
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1
Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære
Læs mereMultipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model
Multipel regression M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Y j 1 X 1j 2 X 2j... m X mj j eller m Y j 0 i 1 i X ij j BEMÆRK! j svarer til individ
Læs mereLogistisk regression
Logistisk regression Test af antagelsen om lineære effekter Modelkonstruktion og modelsøgning Hvilke variable og hvilke interaktioner skal inkluderes i regressionsmodellerne? 1 Logistiske regressionsmodeller
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereEffekten af indvandring på indfødte danskeres løn og beskæftigelse
d. 22.05.2017 Brian Krogh Graversen (DØRS) Effekten af indvandring på indfødte danskeres løn og beskæftigelse I kapitlet Udenlandsk arbejdskraft i Dansk Økonomi, forår 2017 analyseres det, hvordan indvandringen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereEpidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april
Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Specifikation og dataproblemer 30. april 2007 KM2: F21 1 Program for de to næste forelæsninger Emnet er specifikation og dataproblemer (Wooldridge kap. 9) Fejlleddet kan være korreleret
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereMultipel Lineær Regression
Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereEksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet
Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser
Læs mereØkonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2
Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition
Læs mereStatistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable
Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk
Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereFokus på Forsyning. Datagrundlag og metode
Fokus på Forsyning I notatet gennemgås datagrundlaget for brancheanalysen af forsyningssektoren sammen med variable, regressionsmodellen og tilhørende tests. Slutteligt sammenfattes analysens resultater
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Eksamensopgave E05. Socialklasse og kronisk sygdom
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Eksamensopgave E05 Socialklasse og kronisk sygdom Data: Tværsnitsundersøgelse fra 1986 Datamaterialet indeholder: Køn, alder, Højest opnåede
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereKøbenhavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked
N O T A T Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked Baggrund og resume Efter i årevis at have rapporteret om et fastfrosset boligmarked, har de danske
Læs mereAnalyse af binære responsvariable
Analyse af binære responsvariable Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet 23. november 2012 Har mænd lettere ved at komme ind på Berkeley? UC Berkeley
Læs mereBenchmarking af kommunernes sagsbehandling antagelser, metode og resultater
Benchmarking af kommunernes sagsbehandling antagelser, metode og resultater Anna Amilon Materiel vurdering Ved vurderingen af en afgørelses materielle indhold vurderes afgørelsens korrekthed i forhold
Læs mereKommunale data og økonomiske analyser Hvilke muligheder er der i de kommunale data for at måle effekt (og omkostningseffektivitet?
Kommunale data og økonomiske analyser Hvilke muligheder er der i de kommunale data for at måle effekt (og omkostningseffektivitet?) Professor Dorte Gyrd-Hansen Leder, Center for Sundhedsøkonomisk Forskning
Læs mereStatikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereØkonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1
Økonometri 1 Dummyvariabler 13. oktober 2006 Økonometri 1: F10 1 Dagens program Dummyvariabler i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.3-7.6) Dummy variabler for kvalitative egenskaber med flere
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereBILAG 2 DESIGN OG METODE- BILAG
Til Undervisningsministeriet Dokumenttype Bilag Dato August 2014 BILAG 2 DESIGN OG METODE- BILAG BILAG 2 DESIGN OG METODEBILAG INDHOLD Design- og metodebilag Error! Bookmark not defined.1 1.1 Forskningsdesign
Læs mereUndervisningsnoter til øvelse i Panel Modeller. %, it. E(x kjs
4 I afsnit 3 beskæftigede vi os med 1EC modellen og viste, hvordan den kunne estimereres med FGLS - bla under forudsætning af, at det individspecifikke stokastiske led er ukorreleret med de forklarende
Læs mereMultipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression
Multipel Linear Regression Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Test for en eller alle parametre I jagten på en god statistisk model har vi set på følgende to hypoteser og tilhørende
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvalitative egenskaber og dummyvariabler Kvantitative metoder 2 Dummyvariabler 28. marts 2007 Vi har (hovedsagligt) set på kvantitative variabler (løn, priser, forbrug, indkomst, )... Men hvad med kvalitative
Læs mereØkonometri 1. Kvalitative variabler. Kvalitative variabler. Dagens program. Kvalitative variable 8. marts 2006
Dagens program Økonometri 1 Kvalitative variable 8. marts 2006 Kvalitative variabler som forklarende variabler i en lineær regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.1-7.4) Kvalitative variabler generelt Dummy
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereLog-lineære modeller. Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres.
Log-lineære modeller Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres. Kontingenstabel Contingency: mulighed/tilfælde Kontingenstabel: antal observationer (frekvenser)
Læs mereEt oplæg til dokumentation og evaluering
Et oplæg til dokumentation og evaluering Grundlæggende teori Side 1 af 11 Teoretisk grundlag for metode og dokumentation: )...3 Indsamling af data:...4 Forskellige måder at angribe undersøgelsen på:...6
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl. 9.00 12.00 IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5
Læs mereØkonometri 1. Oversigt. Mere om dataproblemer Gentagne tværsnit og panel data I
Oversigt Økonometri 1 Mere om dataproblemer Gentagne tværsnit og panel data I Info om prøveeksamen Mere om proxyvariabler og målefejl fra sidste gang. Selektion og dataproblemer Intro til nyt emne: Observationer
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereØkonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater
Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi
Læs mereNoter til SfR checkliste 3 Kohorteundersøgelser
Noter til SfR checkliste 3 Kohorteundersøgelser Denne checkliste anvendes til undersøgelser som er designet til at besvare spørgsmål af typen hvad er effekten af denne eksponering?. Den relaterer sig til
Læs mereGrundlæggende metode og. 2. februar 2011
Grundlæggende metode og videnskabsteori 2. februar 2011 Dagsorden Metodiske overvejelser Kvantitativ >< Kvalitativ metode Validitet og repræsentativitet Stikprøver Dataindsamling Kausalitet Undervejs vil
Læs mereØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression
! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 8 og 9: Simpel og multipel lineær regression Eksempel 1 AT OPSTILLE EN SIMPEL LINEÆR REGRESSIONSMODEL - GENNEMGÅS AF JAKOB Et stort lager måler løbende sine
Læs mereVejledende studieplan for kvantitativ metode og statistik FYS 514 Modul 14 efteråret 2017
Vejledende studieplan for kvantitativ metode og statistik FYS 514 Modul 14 efteråret 2017 Generelle kommentarer. Undervisningen følger lærebogen og det må kraftigt anbefales at anskaffe denne. Bogen koster
Læs mere12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse
. september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression
Læs mereStudieplan Stamoplysninger Periode Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Oversigt over planlagte undervisningsforløb Titel 1
Studieplan Stamoplysninger Periode August - November 2018 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Grundforløb) Søren Andresen 18-HH11, 18-HH12, 18-HH13
Læs mereKapitel 10 Simpel korrelation
Kapitel 10 Simpel korrelation Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Pearsons r 3 Spearmans ρ 1 Indledning 2 Pearsons r 3 Spearmans ρ Indledning Korrelation
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mere1. Hvad er det for en problemstilling eller et fænomen, du vil undersøge? 2. Undersøg, hvad der allerede findes af teori og andre undersøgelser.
Psykologiske feltundersøgelser kap. 28 (Kilde: Psykologiens veje ibog, Systime Ole Schultz Larsen) Når du skal i gang med at lave en undersøgelse, er der mange ting at tage stilling til. Det er indlysende,
Læs mereHåndbog i litteratursøgning og kritisk læsning
Håndbog i litteratursøgning og kritisk læsning Redskaber til evidensbaseret praksis Hans Lund, Carsten Juhl, Jane Andreasen & Ann Møller Munksgaard Kapitel i. Introduktion til evidensbaseret praksis og
Læs mereEt fysisk hårdt arbejdsliv har store konsekvenser for helbred og tilbagetrækning
Flere gode år på arbejdsmarkedet 5. maj 2017 Et fysisk hårdt arbejdsliv har store konsekvenser for helbred og tilbagetrækning Et hårdt arbejdsliv har store konsekvenser for helbredet og tilknytningen til
Læs mereKvantitative metoder 2
Program for i dag: Kvantitative metoder Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 1. februar 007 Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-) Opsamling fra sidste gang To eksempler To-dimensionale
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereVi vil analysere effekten af rygning og alkohol på chancen for at blive gravid ved at benytte forskellige Cox regressions modeller.
Løsning til øvelse i TTP dag 3 Denne øvelse omhandler tid til graviditet. Et studie vedrørende tid til graviditet (Time To Pregnancy = TTP) inkluderede 423 par i alderen 20-35 år. Parrene blev fulgt i
Læs mere