Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.

Transkript

1 Dagens program Afsnit Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1

2 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. En hændelse E Ω, derbestårafk udfald Sandsynligheden for E er givet ved P (E) = Antal udfald i E Antal udfald i Ω = k N 2

3 Kombinatorik I eksperimenter, hvor alle udfald er lige sandsynlige, er det nødvendigt at kunne tælle antallet af udfald. Definition: Multiplikationsprincippet For et eksperiment E sammensat af k eksperimenter E 1,..., E k, hvor antallet af udfald i E i er n i,erantalletafudfaldie lig med n 1 n 2... n k. Eksempel 2, (fra sidst): Rækkefølgen af piger og drenge i familier med 3 børn: 1. Eksperiment: n 1 =2 2. Eksperiment: n 2 =2 3. Eksperiment: n 3 =2 Antal mulige udfald: 2 2 2=8 3

4 Bemærk: Hvis antallet af udfald i et eksperiment afhænger af det foregående eksperiment, så gælder multiplikationsprincippet ikke. Eksempel 2, (fortsat): Familien får børn, indtil der bliver født en dreng. Dog højst 3 børn. Udfaldsrummet: Ω = {D,PD,PPD,PPP} 1. Eksperiment: n 1 =2 2. Eksperiment: Der er 0 udfald hvis udfaldet i Eksperiment 1 er en dreng og 2 udfald hvis udfaldet i Eksperiment 1 er en pige. 4

5 Problemstilling: Udvælgelse af n elementer ud af gruppe med N elementer. Hvor mange måder kan dette gøres på? Rækkefølgen betyder noget: Permutationer Rækkefølgen betyder ikke noget: Kombinationer Eksempel 3: Udvælge 10 tilfældige personer ud af gruppe på 150 personer A. Rækkefølgen betyder noget B. Rækkefølgen betyder ikke noget 5

6 A: (ordnet) 1. Eksperiment: Udvælge 1 person ud af 150: n 1 = Eksperiment: Udvælge 1 person ud af 149: n 2 = Eksperiment:Udvælge1personudaf141:n 10 =141 Antal mulige udfald: n 1 n 2... n 10 = = (150) 10 =

7 B: (ikke ordnet) I forhold til A er antallet af udfald mindre - hvor meget mindre? Rækkefølgen af de 10 udvalgte personer: Person nummer 1 kunne være udvalgt som nummer 1,2,...,10, altså på 10 måder Person nummer 2 kunne være udvalgt som nummer 1,2,...,9, altså på 9 måder... Person nummer 10 kunne være udvalgt på 1 måde Der er = 10! = forskellige rækkefølger af de 10 personer Antal mulige udfald uden ordning: ( ) / ( ) = (150) 10 /10! = Der er 10! = gange så mange udfald i A som i B. 7

8 Resultat: Antal permutationer : (N) n = N (N 1)... (N n +1) Antal kombinationer : µ N n = N (N 1)... (N n +1) n (n 1) Definition: Binomialkoefficient µ N n = N! n!(n n)! = N (N 1)... (N n +1) n (n 1) Bemærk: Vi har N objekter af to typer. Der er n af type 1 og (N n) af type 2. Binomialkoefficienten angiver antallet af forskellige sekvenser af type 1 og type 2 objekter. 8

9 Eksempel 3, (fortsat): Du er blandt en gruppe bestående af 150 personer. 10 personer udvælges tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at du er blandt de 10 udvalgte? Betyder rækkefølgen noget? Udfaldsrummet Ω: E : Du er blandt de 10 udvalgte Antal udfald i udfaldsrummet: Antal udfald i hændelsen E : P (E) = Antal udfald i E Antal udfald i Ω = 9

10 Eksempel 5, (fra sidst): En prøve i matematik består af 4 spørgsmål med hver 2 svarmuligheder - et forkert svar og et rigtigt svar. Hvis man gætter: 1. spørgsmål: 2 mulige svar 2. spørgsmål: 2 mulige svar 3. spørgsmål: 2 mulige svar 4. spørgsmål: 2 mulige svar Ialt =16mulige udfald, som alle er lige sandsynlige Hvor mange udfald har 2 rigtige svar: 4 2 =6 Hvor mange udfald har 3 rigtige svar: 4 3 =4 10

11 Eksempel 6: En gruppe med 23 personer. Hvad er sandsynligheden for, at mindst 2 personer har fødselsdag på samme dag? Udfaldsrummet Ω : A : Mindst 2 personer har fødselsdag samme dag 11

12 Udtagelse af tilfældig stikprøve Hvorfor udtage stikprøver? Eksempler på spørgsmål man kunne være interesseret i: Hvad ville udfaldet blive, hvis der var Folketingsvalg? Hvor mange tror huspriserne falder de næste 6 måneder? Hvad er den gennemsnitlige indkomst for kvinder over 50 år? Hvor mange har læst afsnit inden denne forelæsning? 12

13 Man udtager en tilfældig stikprøve fra en population Eksempler på en population: Den danske befolkning De stemmeberettigede Kvinderover50åriDK Fremmødte studerende til denne forelæsning 13

14 Population: N Stikprøvestørrelse: n Med tilbagelægning: Antal mulige stikprøver: N n Alle er lige sandsynlige Uden tilbagelægning: Antal mulige stikprøver: N n Alle er lige sandsynlige Der er ikke stor forskel på at udtage en stikprøve med eller uden tilbagelægning, når n er lille i forhold til populationen N. 14

15 Opsummering Udtagning af stikprøver fra en population Kombinatorik: Udvælgelse af n elementer fra gruppe bestående af N elementer Antallet af måder dette kan gøres på - Ordnet: Antal permutationer - Ikke ordnet: Antal kombinationer Anvendelser af kombinatorik ved beregning af sandsynligheder - Alle udfald er lige sandsynlige 15

16 Næste gang Torsdag gennemgåes: Afsnit Sandsynligheder i det generelle tilfælde - Hvad er sandsynligheder? Husk: - At lave opgaver til øvelserne 16