Løsning af simple Ligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsning af simple Ligninger"

Transkript

1 Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Simple ligninger Løsningsmetode del En sidebemærkning om logik: Løsningsmetode del Eksempler Komplikationer 12.1 Ikke-injektive operationer Udtryk hvor den ukendte er trukket fra Brøker med den ukendte i nævneren Potenser med den ukendte i eksponenten

3 Resumé I dette dokument gennemgår vi en metode, hvormed alle simple ligninger kan løses ved at følge en helt systematisk fremgangsmåde. 1 Introduktion Ligninger optræder hele tiden i forbindelse med matematiske problemer. De såkaldt simple ligninger er en særlig type af ligninger som har den store fordel at de kan løses ved en skridt-for-skridt -metode. Denne metode gennemgås her. Du har ikke brug for andre forudsætninger end at du ved hvad en ligning er 1 og at du har styr på regneoperationernes rækkefølge. Du vil opleve at metoden kan anvendes i masser af situationer hvor du måske tidligere har været forvirret og tænkt at der foregik et eller andet magisk. Herunder alle de eksempler i fysik og kemi hvor en ukendt størrelse skal isoleres i en ligning. 2 Simple ligninger En ligning kaldes simpel hvis der kun forekommer en ukendt størrelse, og denne ukendte størrelse kun forekommer et sted i ligningen. Her er et eksempel på en simpel ligning: Og her er et andet: x + 1 = 9 ( x Læs en introduktion til ligninger her ) 2 = 8. side 1

4 Det første af de to eksempler burde du ikke være i tvivl om løsningen til! Men allerede ved det andet eksempel kan det godt være svært at overskue, og det er i hvert fald ikke særligt nemt at gætte løsningen. Endnu værre: Selv hvis man gætter en løsning, hvordan kan man så være sikker på at der ikke er andre løsninger? Efter at have læst dette dokument vil du ikke have nogen som helst problemer med at finde løsningen til den anden af de to ligninger, og du vil heller ikke være i tvivl om hvorvidt der findes andre løsninger. Men ikke nok med det: Hvis du ser en ligning med mange ukendte størrelser, f.eks.: a 2 + bx y = k d (hvor a, b, d, k, x og y alle er ukendte reelle tal), så er ligningen naturligvis ikke simpel. Men du vil alligevel kunne bruge metoden i sådanne tilfælde også! Man kan nemlig lege at alle de ukendte størrelser, undtagen én af dem (f.eks. x), er kendte. Og så gå igennem metoden idet man forestiller sig at de andre størrelser er kendte tal. Det vil resultere i at man får et regneudtryk for hvordan x kan regnes ud, blot man kender alle de andre. Et sådant udtryk for hvordan x afhænger af de andre størrelser kan være nyttigt, f.eks. hvis vi har andre sammenhænge som den indgår i. Vi kan nemlig erstatte alle forekomster af x i sådanne sammenhænge med det regneudtryk der er fundet. Dette er den essentielle ide bag løsningsmetoden for flere ligninger med flere ukendte 2. Sidstnævnte kaldes at man isolerer den ene ukendte i ligningen, og det er nyttigt i rigtigt mange situationer. F.eks. har du sikkert allerede haft brug for at isolere strømstyrken, I i Ohms lov fra fysik: U = I R eller temperaturen, T i idealgasloven fra kemi: p V = n R T 2 Læs om løsning af flere ligninger med flere ukendte her side 2

5 2.1 Løsningsmetode del 1 Når man skal løse en simpel ligning går man frem efter følgende fremgangsmåde. Efter hvert punkt laver vi et par bemærkninger og diskuterer hvad der kan være svært og hvordan man kan klare det. Vi går ud fra at du sidder med en simpel ligning foran dig. Du kan eventuelt starte med følgende eksempel: 2 + x + 1 = 4 Fokuser på den ukendte som du vil isolere. Dette er utroligt nemt og virker nærmest fjollet. Men det er ekstremt vigtigt at du starter med at kigge på den størrelse som skal isoleres. (Peg eventuelt på den med fingeren!) Det er nemlig her du skal starte med at læse din ligning! Bemærk således at ligninger ikke skal læses fra venstre mod højre! Vi vil gå ud fra at den ukendte størrelse som skal isoleres hedder x. Det kunne selvfølgelig være alt muligt andet, som eksmplerne fra fysik og kemi ovenover viser. I så fald skal du erstatte x med navnet på den ukendte størrelse i resten af teksten. Spørg dig selv: Hvad er der sket med x? På den side af lighedstegnet som du peger på vil der stå et regneudtryk hvori x indgår. Læs nu dette regneudtryk, idet du starter ved x og læser udad. Forestil dig eventuelt at du fik x oplyst til at være 147, og at du skulle regne hele udtrykket ud på en gammeldags lommeregner, én udregning af gangen. Sådan én hvor man ikke kan indtaste hele regneudtrykket og taste enter, men hvor man kun kan lave én regneoperation af gangen side

6 Man skal især holde øje med i hvilken rækkefølge de forskellige ting er sket. I vores eksempel: 2 + x + 1 = 4 vil man sige at der er sket følgende med x (Tjek selv at det passer!): Først er der lagt 1 til. Derefter er der divideret med. Til sidst er der lagt 2 til. For at få styr på den rigtige rækkefølge, er det meget vigtigt at man kender regneoperationernes rækkefølge, og at man eventuelt sætter alle de usynlige parenteser 4. Vi nævner hurtigt at der er usynlige parenteser omkring... tæller og nævner i brøker. eksponenten i en potensopløftning. Når man har sat alle disse parenteser, vil man opdage at man ganske enkelt skal læse udtrykket udad, idet man starter inde i den parentes hvor x optræder. Eventuelle parenteser som ikke indholder x skal betragtes som et tal, helt for sig selv. I vores eksempel ser ligningen sådan her ud når alle de usynlige parenteser er sat: ( ) (x + 1) 2 + = 4 () Næste skridt er det essentielle i løsningsmetoden: 4 Læs om hvordan man læser regneudtryk her side 4

7 Spørg dig selv: Hvad er det sidste som er sket med x? Hvis man skal løse en simpel ligning, foregår det på præcis samme måde som hvis har taget en hel masse tøj på og skal tage det hele af igen: Man gør alt hvad der er sket baglæns, i omvendt rækkefølge! (Altså: Det sidste stykke tøj man tog på er det første man tager af.) Man kan læse ligningen som at nogen har udsat stakkels lille x for en hel masse ting, og til sidst er det hele endt med at give et eller andet resultat. I vores eksempel tænker vi: Det sidste som er sket med x at der er blevet lagt 2 til, og det har givet En sidebemærkning om logik: Vi har nu læst vores ligning, og vi ved hvad der er gjort ved x, i hvilken rækkefølge det er sket, og hvad der er kommet ud af det. Herefter er det vores opgave at tage tøjet af igen, så vi ender med at finde ud af hvad x oprindeligt var. For at indse hvordan det foregår skal vi lige kigge på ligningen fra det allersimpleste eksempel: x + 1 = 9 I dette eksempel er det sidste (og det eneste) som er sket med x at der er lagt 1 til, og dette har altså givet 9. Det som rent logisk leder os frem til konklusionen (nemlig at x er 8) er følgende vigtige (men ekstremt logiske) faktum: Hvis to størrelser er ens, og man gør det samme ved dem begge, så er de også ens bagefter! side 5

8 og I vores tilfælde er der to størrelser som er ens, nemlig: x Derfor må de to størrelser også være ens hvis man trækker 1 fra hver af dem. Når man trækker 1 fra den første, får man: x = x og når man trækker 1 fra den anden, får man: 9 1 = 8 Dermed kan vi altså konludere at x er det samme som 8, hvilket selvfølgelig også er den rigtige konklusion. Man kan skrive vores logiske konklusion meget kort og præcist sådan her: Vi ved at: x + 1 = 9 at: Eller med andre ord: x = 9 1 x = 8 Man siger at vi trækker 1 fra på begge sider af lighedstegnet. Men hvorfor trak vi 1 fra på begge sider? Hvorfor lagde vi ikke 9 til eller gangede med 17. Det er selvfølgelig fordi det at trække 1 fra er det omvendte af at lægge 1 til, hvilket var det sidste som var sket med x. side 6

9 2. Løsningsmetode del 2 Vi kan nu formulere det sidste skridt i løsningsmetoden: Gør det sidste som er sket med x baglæns på begge sider af lighedstegnet og konkluder at de også er ens bagefter I vores eksempel: 2 + x + 1 = 4 Var det sidste som skete med x at der blev lagt 2 til. Det omvendte af at lægge 2 til er at trække 2 fra. Derfor vil vi trække 2 fra på begge sider af lighedstegnet. Vi kan således konkludere: 2 + x = 4 2 x + 1 = 2 Dermed er vi nået et enkelt skridt nærmere imod at isolere x, svarende til at vi har taget det yderste stykke tøj af. Herefter er det bare et spørgsmål om at gentage punkt og 4 indtil x står helt alene på den ene side af lighedstegnet. Vi samler hele løsningsmetoden for overskuelighedens skyld: Man løser en simpel ligning på følgende måde: 1. Fokuser på den ukendte som du vil isolere. 2. Spørg dig selv: Hvad er der sket med x?. Spørg dig selv: Hvad er det sidste som er sket med x? side 7

10 4. Gør det sidste som er sket med x baglæns på begge sider af lighedstegnet og konkluder at de også er ens bagefter. Dette gentages indtil x er isoleret. Om intuitive huskeregler: Glem alle de forklaringer som du eventuelt har lært om at tal og bogstaver flyver over på den anden side af lighedstegnet! Disse huskeregler er ganske enkelt ikke præcise nok! Hvorfor skal 1-tallet i ligningen: x + 1 = 9 f.eks. trækkes fra når det lander ovre på højresiden? Hvorfor skal det ikke lægges til eller ganges på? Når ligningerne bliver mere komplicerede vil sådanne intuitive huskeregler kun hjælpe dig til at lave fejl. Hvis man holder af fjollede analogier, er der en anden, meget bedre måde at tænke på ligninger på: Alle og enhver kender situationen hvor man ved et uheld læser en trylleformular op og kommer til at trylle et familiemedlem om til et krybdyr... En simpel ligning er præcis det samme: Ligningen siger at hvis man gør noget bestemt (trylleformularen) ved x (vores elskede familiemedlem), så kommer der noget bestemt ud af det (krybdyret). Man står med andre ord med trylleformularen og krybdyret, og man ønsker sig sit familiemedlem tilbage. Som bekendt er der en standardløsning på dette problem, nemlig at læse trylleformularen op baglæns. Så for at finde ud af hvad x oprindeligt var, er man nødt til at tage fat i krybdyret og sige trylleformularen baglæns. Hvert ord udtales baglæns, og ordene udtales i omvendt rækkefølge. Og det er jo præcis hvad der foregår når man løser en simpel ligning: Når man til sidst har isoleret x har man gjort alt det som side 8

11 oprindeligt var gjort ved x baglæns og i omvendt rækkefølge på det som stod på højresiden af lighedstegnet til at starte med. 2.4 Eksempler Eksempel 1 Lad os færdiggøre løsningen af den ligning som har fulgt os gennem hele kapitlet. Vi fik at vide at: 2 + x + 1 = 4 Det sidste som er sket med x er at der er lagt 2 til. Derfor trækker vi 2 fra på begge sider. Vi kan dermed konkludere at x + 1 = 2 Nu er det sidste som er sket at der er divideret med tre. Derfor ganger vi med på begge sider og konkluderer at: eller med andre ord: x + 1 = 2 x + 1 = 6 Nu er det sidste som er sket med x at der er lagt 1 til, så vi trækker 1 fra på begge sider og konluderer: x = 6 1 altså at: x = 5 side 9

12 Når man løser ligninger og skal forklare sig skriftligt behøver man ikke at skrive helt så meget som i det sidste eksempel. Man kan som regel klare sig med meget færre ord uden at det bliver svært for læseren at forstå logikken. Det kan se ud som i det næste eksempel. Prøv at se om du kan følge argumentationen så godt at du selv kunne have gjort det: Eksempel 2 Vi får oplyst om et reelt tal, x at: ( x ( x 2 4 x 4 x 4 ) 2 = 8 ) 2 = 8 6 = 2 2 = 2 2 = 1 = = x = 4 = 12 x = 12 + = 15 Bemærk hvordan den lille mellemregning i hver linje hjælper læseren med at se hvad der er foregået. Bemærk også den lille forkortelse "dvs."mellem hver linje. Den viser læseren at vi kommer fra en information til en logisk konklusion. I hver linje ved vi jo at de to ting på hver side af lighedstegnet er ens, og kan derfor konkludere at de to sider af lighedstegnet i næste linje er ens, fordi vi jo netop har gjort det samme på begge sider. side 10

13 Øvelse 1 Prøv som en øvelse at løse nedenstående ligning. Husk at du kan tjekke at din løsning er rigtig ved at indsætte den i den oprindelige ligning bagefter. 2x = 6 (x R) Eksempel Lad os også vise et eksempel hvor en ukendt størrelse isoleres, selvom der optræder andre ukendte størrelser i ligningen. Vi kan tage udgangspunkt i eksemplet fra afsnit 2: a 2 + bx y = k d (hvor a, b, d, k, x og y alle er ukendte reelle tal. Og lad os prøve at isolere b, bare for variationens skyld. Dermed sætter vi lige fingeren på b i ligningen og forestiller os at alle de andre bogstaver er kendte tal. Vi går frem efter metoden: Vi ved at: a 2 + bx y = k d bx y = k a d 2 (Bemærk at a bare er et tal. Vi kan dog ikke udregne hvad det 2 giver når man trækker det fra på højresiden. Derfor lader vi det bare stå som det gør.) Vi fortsætter og konkluderer at: bx y = ( k a ) d 2 side 11

14 (Bemærk at vi satte en parentes om udtrykket på højresiden. Dette er nødvendigt for at sikre at hele udtrykket bliver ganget med d.) Vi går videre: bx = ( k a ) d + y 2 Og til sidst: ( ) k a 2 d + y b = x Hermed har vi isoleret b i ligningen. Det er endnu ikke muligt at sige hvad b er, men hvis vi får oplyst værdien af alle de andre størrelser, kan vi nemt udregne værdien af b. Øvelse 2 Prøv at isolere a i den samme ligning som det foregående eksempel. (Det kan gøres i kun to skridt!) Komplikationer.1 Ikke-injektive operationer Det er vigtigt at vide at nogle af de ting man kan finde på at gøre ved x i en simpel ligning ikke bare kan udføres baglæns. Et meget vigtigt eksempel på dette er opløftning i anden potens. Problemet er at to forskellige tal godt kan give det samme resultat, når de opløftes i anden potens. F.eks. er både ( 4) 2 = 16 og side 12

15 4 2 = 16. Derfor, hvis man får at vide at x 2 = 16 (x R) så kan man ikke vide om x var 4 eller 4 inden det blev opløftet i anden potens. Man kan altså ikke bare udføre potensopløftningen baglæns på begge sider. Fænomenet kaldes at potensopløftning i anden potens ikke er en injektiv funktion. 5 Når man støder på en operation som ikke er injektiv i en ligning, er man nødt til at stoppe op og tage højde for alle muligheder. Man kan have stor nytte af det logiske tegn for eller : Når man skriver dette tegn imellem to udsagn, så mener man at enten det ene eller det andet udsagn er sandt, eller eventuelt dem begge. Det kan foregå på følgende måde: Eksempel 4 Lad os forestille os at vi får følgende oplysning om et reelt tal x: (x 1) = 6 (x 1) = 6 = 18 (x 1) 2 = 18 9 = 9 Indtil videre er alting gået uden problemer. Men nu skal vi huske at der er to forskellige tal som giver 9 når de opløftes i anden potens. Dermed er der to muligheder for hvad størrelsen 5 Ordet injektiv er temmeligt mærkeligt. For at få en bedre forståelse af det kan du læse om injektive funktioner her. side 1

16 inde i parentesen kan være. Det kan man skrive på følgende måde: (x 1) = (x 1) = (Bemærk at vi slet ikke har kigget på hvad der stod inde i parentesen endnu. Vi har kun konkluderet at eftersom det giver 9 når man opløfter det i anden potens, så må det enten være eller.) Herefter har man to muligheder der hver især skal håndteres som en simpel ligning. I begge tilfælde vil vi fortsætte med at lægge 1 til på begge sider: x = + 1 = 4 x = + 1 = 2 Om kvadratrodstegnet Jamen... siger den vakse læser: Er kvadratroden ikke det omvendte af at opløfte i anden potens? Fremragende spørgsmål! Men svaret er nej. Kvadratroden er det som med et fint ord hedder en højreinvers til potensopløftning i anden potens. Det betyder at kvadratroden af et tal (f.eks. 117) giver et af de tal som giver 117 når det opløftes i anden potens. Dette tal skrives som bekendt: 117 Men det er vigtigt at huske at der findet et tal mere, nemlig det tilsvarende negative tal: 117 I praksis betyder det bare at hver gang man støder på en potensopløftning i anden potens 6 som det sidste der er sket med x, så skal 6 Eller en anden ikke-injektiv operation. side 14

17 man huske at der er to muligheder, som man skal arbejde videre med seperat. Øvelse Om et reelt tal x oplyses at (x 1) = 118 Hvad er x?.2 Udtryk hvor den ukendte er trukket fra Nogle gange kan det være lidt svært at gennemskue hvordan man skal gøre en operation baglæns. En sådan situation opstår hvis den ukendte indgår i et udtryk som er trukket fra noget andet. Betragt f.eks. ligningen: x + 2 = 8 Her er det sidste som er sket med x at hele brøken er trukket fra. Det kan godt være lidt svært at se hvad der er det omvendte af at trække noget fra er. Derfor laver vi et ekstra punkt til løsningsmetoden: Hvis det sidste som er sket med den ukendte er en differens, hvor den ukendte står i det udtryk som er trukket fra, kan man skifte fortegn på begge sider af lighedstegnet. Når man skifter fortegn på en differens, bytter man bare om på de to led. Derfor bliver konklusionen at: x + 2 = 8 side 15

18 Og derefter kører løsningsmetoden som den skal.. Brøker med den ukendte i nævneren Hvis den ukendte størrelse står nede i nævneren af en brøk, kan det også være svært at følge løsningsmetoden. F.eks. i ligningen: 2 x 4 = 8 Her er det sidste som er sket med x at den foregående udregning (x 4) er divideret op i 2. Igen er det ikke så let at gennemskue hvad det omvendte af at dividere noget op i 2 er. Derfor laver vi endnu et punkt til løsningsmetoden: Hvis det sidste som er sket med den ukendte er en brøk, hvor den ukendte står i nævneren, kan man tage reciprokværdien på begge sider af lighedstegnet. Man tager som bekendt reciprokværdien af en brøk ved at vende den på hovedet. Tallet til højre for lighedstegnet kan betragtes som brøken 8. Derfor bliver konklusionen når vi tager reciprokværdi på 1 begge sider: x 4 = og herefter kører løsningsmetoden som den skal..4 Potenser med den ukendte i eksponenten For fuldstændighedens skyld nævner vi lige en sidste komplikation, nemlig hvis vores ukendte størrelse står oppe i eksponenten af en side 16

19 potensopløftning. F.eks. i ligningen: 2 x+4 = 117 Her er det sidste som er sket med x at 2 er blevet opløftet i resultatet fra den sidste udregning. Igen er det svært at gennemskue hvad det omvendte er af at opløfte 2 i noget, så igen er der et trick som er godt at kende: Hvis det sidste som er sket med den ukendte er en potens, hvor den ukendte står i eksponenten, kan man tage en logaritme på begge sider af lighedstegnet. Du har sandsynligvis ikke lært om logaritmefunktioner endnu 7. Men det kan allerede nu afsløres at logaritmerne er en form for regneoperationer som opfylder følgende nyttige regneregel: log(a b ) = b log(a) for alle værdier af a og b, så længe a er et positivt tal. Hvis vi således tager en logaritme på begge sider af ovenstående ligning, kan vi konkludere at: Hvilket kan omskrives til: log(2 x+4 ) = log(117) (x + 4) log(2) = log(117) Og herfra kører løsningsmetoden, idet log(117) og log(2) bare er tal der kan udregnes på en lommeregner. 7 Læs om eksponentialfunktioner og logaritmer her side 17

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011 ULULU (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Ny skriftlighed - Matematik

Ny skriftlighed - Matematik Ny skriftlighed - Matematik Indhold Andres tanker og ideer:... 2 Andre nyttige links:... 2 Kompetencer:... 2 Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer... 3 Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011 Lineær Modellering Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere