Laplace transformationen

Transkript

1 MODUL 6 Laplace transformationen Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN 24. juni 214

2 2

3 Indhold 1 Laplace transformationen En lineær transformation Lidt krav til f (t), funktionsklassen L Translation, differentiation, integration og partialbrøker Translation i t-domænet, f (t a) Afledte i t-domænet, f (n) (t) Integraler i t-domænet, t f (τ)dτ Translation i s-domænet Periodiske funktioner Teaser: en lineær partielle differentialligning Tabel: operationer for Laplace transformationen

4 4 INDHOLD

5 Kapitel 1 Laplace transformationen I det følgende skal vi stifte bekendtskab med et matematisk værktøj Laplace transformationen der finder anvendelse indenfor en lang række ingeniørtekniske udfordringer, eksempelvis elektriske kredsløb, varmetransmission, mekaniske svingninger og reguleringsteknik. Mere generelt er det et formidabelt værktøj til at simplificere løsningsprocessen forbundet med differentialligninger. En af de smarte ting ved Laplace transformationen er, at den blandt andet kan transformere differentialligninger til algebraiske problemer som man så løser med simple regneregler og transformerer tilbage, dette er visualiseret i Figur 1.1. Rent formelt er Laplace transformationen, L, af en funktion f (t) defineret ved Definition 1.1. L { f (t)} = F(s) = f (t)e st dt. (1.1) Vi antager desuden at t. Den inverse Laplace transformation noteret som L 1 {F(s)} = f (t). Der findes en inversionsformel, men den er, overraskende nok, praktisk talt unødvendiggjort af f.eks. matematiske programmer som Maple og Mathematica og opslag i lister over Laplace transformationer, se Tabel 1.1. For eksemplets skyld viser vi hvordan transformationen udregnes for to simple funktioner. Først ser vi hvorledes man transformerer en konstant funktion f (t) = 1. 5

6 6 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN L Differentialligning (DL) Algebraisk Ligning (AL) Andre metoder Simpel Algebra Løsning til Differentialligningen Løs den Algebraiske Ligning L 1 Figur 1.1: Fremgangsmåden til løsning af differentialligninger med Laplace transformationen. Algoritmen udføres i tre trin: 1) Laplace transformer differentialligningen (dette gøres ved at anvende alle de sætninger som vi har gennemgået i det foregående); 2) Løs den algebraiske ligning (dette gøres ved at isolere den variabel/funktion som man vil bestemme); 3) bestem den inverse Laplace transformation til den nyligt isolerede ubekendte funktion (dette gøres ved at benytte matematikprogrammer som Matlab, Maple, Mathematica eller tabelopslag eller kompleks integration). Herved er differentialligningen løst. Eksempel 1.1. Givet f (t) = 1 for alle t, find F(s). Vi benytter Ligning (1.1) fra definitionen på Laplace transformationen, altså F(s) = L ( f (t)) = = = = 1 s 1 e st dt, [ 1 s e st ], (s > ). f (t)e st dt, Bemærk at integralet ikke er defineret for s. (Overbevis lige dig selv om dette!)

7 1.1. EN LINEÆR TRANSFORMATION 7 I det næste eksempel finder vi Laplace transformationen F(s) af den rette linie f (t) = ax med hældning a = 1. Eksempel 1.2. Givet f (t) = t for alle t, find F(s). Vi benytter Ligning (1.1) fra definitionen på Laplace transformationen, altså F(s) = L ( f (t)) = = = t e st dt, [( t s 1 ) ] s 2 e st, = 1 s 2 (s > ). f (t)e st dt, Bemærk at integralet ikke er defineret for s. (Overbevis lige dig selv om dette!) Vi skal i det følgende gennemgå de mest essentielle matematiske omstændigheder og udlede en række vigtige regneregler. Ydermere, skal vi undersøge Laplace transformationer for nogle af de ofte anvendte funktioner, f.eks., e λt,cos(ωt),sin(ωt) og Heavisides trinfunktion. Desuden skal vi også vise hvordan man kan behandle en bred vifte af differentialligninger med denne metode. Tanken med modulets opbygning er at det opbygger det matematiske fundament for anvendelsen af Laplace transformationen samtidig med at man lærer at anvende den på relevante ingeniørtekniske problemer. Man vil erfare at man kan håndtere avancerede anvendelser, og inden længe kan man f.eks. løse en lang række lineære differentialligninger! 1.1 En lineær transformation Lad os allerførst overveje betydningen af Ligning (1.1). Vi forestiller os, at f (t) er en vilkårlig funktion af tid, altså f.eks. et elektrisk signal eller udbøjningen af tippen på en bjælke; i dette tilfælde overfører Laplace transformationen f (t) til en ny funktion F(s), altså L : f (t) F(s). (1.2) Transformationen identificerer funktionen f af variablen t med en ny funktion F i en ny variabel s (se figur 1.2). L er en såkaldt lineær operator og dette er kendetegnet ved egenskaberne L ( f 1 (t) + f 2 (t)) = L ( f 1 (t)) + L ( f 2 (t)), (1.3) L (c f (t)) = cl ( f (t)), (1.4)

8 8 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN L f (t) F(s) L 1 Figur 1.2: Laplace transformationen, L afbilder funktioner i den uafhængige variabel t til funktioner i den uafhængige variabel s. Omvendt afbilder den inverse Laplace transformation funktioner i den uafhængige variabel s til funktioner i den uafhængige variabel t. hvor c er en vilkårlig konstant. Vi kalder de to egenskaber additivitet og homogenitet. Begge egenskaber følger direkte af definitionen, L ( f 1 (t) + f 2 (t)) = = ( f 1 (t) + f 2 (t))e st dt, f 1 (t)e st dt + = L ( f 1 (t)) + L ( f 2 (t)). f 2 (t)e st dt, Tilsvarende kan man vise homogenitetsegenskaben. (Gør det lige, for at overbevise dig selv, det tager kun et øjeblik). Desuden er den inverse Laplace transformation også en lineær operator. Bemærk, at disse egenskaber er enormt vigtige. Den ene medfører, at vi kan transformere hvert enkelt led i en ligning hver for sig, og den anden at amplituderne af funktionerne overføres uændret. Se nu hvordan vi f.eks. kan bestemme Laplace transformationen til den lineær funktion f (t) = at + b hvor a, b er vilkårlige konstanter. Eksempel 1.3. (Linearitet af Laplace transformationen). f (t) = at + b. Laplace transformationen kan opslittes på følgende måde, L ( f (t)) = F(s) = L (at + b), = L (at) + L (b), = al (t) + bl (1), hvor vi først har gjort brug af Ligning (1.3) til at splitte ledene fra hinanden og dernæst Ligning (1.4) til at flytte konstanterne udenfor transformationen. Den endelige transformation

9 1.1. EN LINEÆR TRANSFORMATION 9 findes nu ved at anvende resultaterne fra Eksempel 1.1 og Eksempel 1.2 for at opnå, F(s) = a s 2 + b s. Det betyder altså at f (t) = 5t + 6 f.eks. har Laplace transformationen F(s) = s 2 s. Netop pga. disse egenskaber kan vi altså klare os med at kende transformationer for nogle få funktioner hver for sig og i Tabel 1.1 har vi opskrevet de hyppigst forekommende. Tabel over Laplace transformationer F(s) f (t) 1 s 1 1 s 2 1 s n, n = 1,2,... 1 s a ω s 2 +ω 2 s s 2 +ω 2 ω (s a) 2 +ω 2 s a (s a) 2 +ω 2 t t n 1 (n 1)! e at sinωt cosωt e at sinωt e at cosωt e as s, a > u a (t) Tabel 1.1: Laplace transformationer af kendte funktioner (Joel Schiff: The Laplace Transform Theory and Applications ). Vi har foreløbig undgået diskussionen om for hvilke funktioner integralet giver mening heldigvis kan en stor klasse af funktioner anvendes og det vil vi forklare i den følgende sektion.

10 1 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN 1.2 Lidt krav til f (t), funktionsklassen L Vi skal nu beskrive en klasse af funktioner som vi vil holde os indenfor i dette modul. Helt generelt kan man tale om funktionsklassen af alle de funktioner for hvilke Laplace transformationen er meningsfuld, altså de f (t) hvor integralet i Ligning (1.1) kan beregnes. Af praktiske årsager og med tanke på den tekniske anvendelse som vi har for øje, kan vi med fordel begrænse os til en marginalt mindre klasse af funktioner og derved spare os selv for en enorm mængde matematiske spidsfindigheder. Lad os benævne denne klasse af funktioner ved L og definere den på følgende måde, Definition 1.2. Klassen L består af funktionerne f som er stykkevis kontinuerte på [, [, af eksponentiel orden α f (t) Me αt. Intuitivt kan man sige, at de stykkevis kontinuerte funktioner dækker over dem som vi kan tegne med en blyant hvor vi kun må løfte blyanten et endeligt antal gange i ethvert interval [,b]. Geomtrisk set kan man også huske på, at den eksponentielle orden betyder, at f (t) bare skal kunne holdes under kurven for en eksponential funktion Me αt. I praksis dækker disse funktioner over de fleste ingeniørtekniske udfordringer hvor man måler eller beregner en proces hvor input og output ikke eksploderer. I Figur 1.2 giver vi to grafiske eksempler. Vi nævner uden bevis denne meget vigtige sætning vedrørende funktionerne i klassen L, Sætning 1.1. Hvis f (t) L så eksisterer Laplace transformationen F(s) = L ( f (t)) for s > α og integralet er absolut konvergent. Med Sætning 1.1 er vi nu på sikker grund og godt udrustet til at anvende Laplace transformationen. Vi ser nu nærmere på de meget velkendte trigonometriske funktioner og eksponentialfunktionen. Lad os i det følgende eksempel beregne Laplace transformationen for eksponentialfunktionen e λt hvor λ C, altså Eksempel 1.4. Givet f (t) = e λt for alle t, find F(s). Bemærk at f (t) tilhører funktionsklassen L. Dette følger direkte fordi eksponentialfunktionen er af eksponentiel orden α(> Re(λ)) og ydermere kontinuert på intervallet.

11 1.2. LIDT KRAV TIL F(T ), FUNKTIONSKLASSEN L 11 f(t) f(t).5 t.5 t f(t) f(t) M e αt M t t Figur 1.3: Øverst: f (t) = 1/(t.5). Denne funktion har en lodret asymptote og hører ikke til klassen L. Nederst: en stykkevis kontinuert funktion som er begrænset og tilhører klassen L. Dernæst benytter vi Ligning (1.1) fra definitionen på Laplace transformationen, altså F(s) = L ( f (t)) = = e λt e st dt, [ 1 = λ s e(λ s)t = 1 s λ ] f (t)e st dt,, (s > Re(λ)). Bemærk igen, at ligningen kun er gældende når s er større end real-delen af λ fordi dette forbehold sikrer at e (λ s)t når t. Fra det foregående eksempel og ved at gøre brug af superpositionsprincippet fra tidligere og Eulers formel 1 kan man lynhurtigt vise de tilsvarende transformationer for cos(ωt) og sin(ωt). 1 Eulers formel: e iθ = cos(θ) + isin(θ) hvor θ er et reelt tal.

12 12 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN Eksempel 1.5. Givet f (t) = cos(ωt) for alle t, find F(s). Indse først at f (t) tilhører funktionsklassen L. I stedet for at indsætte f (t) i definitionen som i de foregående eksempler, bemærker vi at man vha. Eulers formel kan skrive cos(ωt) = e iωt +e iωt 2. Dermed bliver F(s) = L (cos(ωt)), ( e iωt + e iωt ) = L = L (eiωt ) L (e iωt ), = 1 ( 1 2 s iω + 1 ), (s > ), s + iω s = s 2, (s > ), + ω2 Vis på samme måde resultatet for sin(ωt), nemlig L (sin(ωt)) = ω s 2 +ω 2. Vi nævner uden bevis en sætning som vedrører Laplace transformationers asymptotiske opførsel. Sætning 1.2. Hvis f (t) L så gælder F(s) for s. Dette er et ganske praktisk resultat, fordi det giver os en nødvendig betingelse for at F(s) overhovedet kan være en Laplace transformation af f (t) L. F.eks. kan F(s) = e s ikke være en Laplace transformation af f (t) L. Vi tjekker et par af vores tidligere resultater fra eksemplerne. Eksempel 1.6. Laplace transformationerne for f (t) = 1, f (t) = t og f (t) = e λt. F(s) = L (1) = 1 s, s, F(s) = L (t) = 1, s. s2 Vi ser altså at vores transformationer i det mindste overholder det nødvendige krav. Bemærk, at når et krav en nødvendig betingelse er det ikke tilstrækkeligt til at vise hvorvidt vi har regnet rigtigt!

13 1.3. TRANSLATION, DIFFERENTIATION, INTEGRATION OG PARTIALBRØKER 13 k x m f(t) c Figur 1.4: Mass, spring and damper system diagram. Dette er værd at huske når man regner! I den næste sektion ser vi nærmere på hvordan Laplace transformationen hjælper os med at håndtere f.eks. f (t) og t f (τ)dτ. 1.3 Translation, differentiation, integration og partialbrøker En af de helt store styrker ved Laplace transformationen er som nævnt tidligere at vi kan håndtere differentialligninger på en relativt simpel måde. Det bliver let som en leg at løse såkaldte begyndelsesværdiproblemer 2. Disse kunne f.eks. være det velkendte mekaniske system Masse/fjeder/dæmper system (se figur 1.4): mẍ + cẋ + kx = f (t), (1.5) x() = a og ẋ() = b. (1.6) Hvor m er massekonstanten, c er dæmpningskonstanten og k er fjederkonstanten. Det mekaniske system er under påvirkning af en kraft f (t). Et andet eksempel er det ækvivalente elektriske kredsløb 2 Det er dem hvor man har betingelser der skal opfyldes til tiden t = t.

14 14 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN R E L C Figur 1.5: RLC kredsløb. RLC kredsløb (se figur 1.5): LÏ + Rİ + 1 I = E(t), (1.7) C I() = a og İ() = b. (1.8) Hvor L er induktansen, R er modstanden og c er kapacitansen. Det elektriske kredsløb er drevet af den elektromotoriske kraft E(t). Bemærk, at vi nøjes med at kræve, at hvert led skal tilhøre L. Det betyder, at påvirkningerne f (t) og E(t) kan være meget generelle funktioner. Inden vi er helt klar til at håndtere differentialligninger skal vi først udvide vores repetoire af regneregler Translation i t-domænet, f (t a) Før vi udleder regnereglerne for translation introducerer vi Heavisides trin-funktion, Heavisides trin-funktion (se figur 1.6): 1, t a u a (t) =, t < a. (1.9) Lad os beregne Laplace transformationen af trin-funktionen.

15 1.3. TRANSLATION, DIFFERENTIATION, INTEGRATION OG PARTIALBRØKER 15 f(t) 1 a t Figur 1.6: Heavisides trin-funktion. Eksempel 1.7. Laplace transformationen af trin-funktionen: F(s) = L (u a (t)), = = a u a (t)e st dt, e st dt, = e as, (s > ). s Sammenlign dette resultat med Eksempel 1.1 når a =. Bemærk at trin-funktionen giver os en mere kompakt måde at skrive stykkevis kontinuerte funktioner på. F.eks. kan man på en simpel måde skrive boks-funktionen som en kombination af to trin-funktioner ( f boks (t) = u a (t) u b (t) hvor a < b, skitser funktionen og overvej hvorledes man kan bruge dette til at skrive en stykkevis defineret funktion). Lad os nu vise det følgende resultat. Sætning 1.3. (Translation i t-domænet). Hvis F(s) = L ( f (t)), så gælder L (u a (t) f (t a)) = e as F(s), (a ). (1.1) Bevis. Resultatet følger umiddelbart direkte ved anvendelse af definitionen på Laplace transfor-

16 16 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN mationen. L (u a (t) f (t a)) = Benyt koordinatskiftet τ = t a for at opnå = L (u a (t) f (t a)) = Vi har hermed kommet frem til Ligning (1.1). a e st u a (t) f (t a)dt, e st f (t a)dt. e s(τ+a) f (τ)dτ, = e as e sτ f (τ)dτ, = e as L ( f (τ)), = e as F(s). Sætning 1.3 er enormt praktisk i systemer hvor man tænder og slukker for påvirkninger, f.eks. i et elektrisk kredsløb. En praktisk fortolkning af translation er at man forsinker et signal eller en påvirkning fra t = til t = a Afledte i t-domænet, f (n) (t) Når vi skal håndtere differentialligninger får vi brug for at kunne transformere afledte af f (t), f.eks. f, f, f. Dette er formuleret i de følgende sætninger. Sætning 1.4. (Transformation af afledte). Lad f være kontinuert på [, [ og af eksponentiel orden α og lad f være stykkevis kontinuert på [, [. Så L ( f (t)) = sl ( f (t)) f (), (R(s) > α). (1.11) Bevis. Dette viser vi ved at anvende partiel integration b u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)] b a a b a u (t)v(t)dt hvor vi fra definitionen på Laplace transformationen L ( f (t)) = e st f (t)dt vælger u(t) = e st og v(t) = f (t). Ved direkte indsættelse giver det, e st f (t)dt = [e st f (t)] + s e st f (t)dt, = lim e sτ f (τ) f () + s e st f (t)dt, τ = f () + sl ( f (t)), (R(s) > α).

17 1.3. TRANSLATION, DIFFERENTIATION, INTEGRATION OG PARTIALBRØKER 17 Vi har hermed vist sætningen. Det er fornuftigt at bemærke detaljerne i det ovenstående bevis, altså hvor opstår antagelserne som står i Sætning 1.4. F.eks. er den eksponentielle orden α nødvendig for at vi kan gå fra den næstsidste ligning til den sidste. Det er nærliggende at tænke over hvorledes dette forsætter til højere ordens afledte. Dette er formuleret i følgende generalisering (uden bevis): Sætning 1.5. (Transformation af n te ordens afledte). Lad f (t), f (t),..., f (n 1) (t) være kontinuert på [, [ og af eksponentiel orden α og lad f (n) (t) være stykkevis kontinuert. Så L ( f (n) (t)) = s n L ( f (t)) s n 1 f () s n 2 f () f (n 1) (). (1.12) Det medfører f.eks. resultatet for andenordens afledte, L ( f (t)) = s 2 L ( f (t)) s f () f (). (1.13) (Opskriv tilsvarende udtrykket for L ( f (t)) ved hjælp af Ligning 1.12). Inden vi begiver os ud i at løse vores første differentialligning med Laplace transformationen giver vi et kort overblik over de enkelte trin der er forbundet med denne udfordring. Betragt igen Figur 1.1 som forklarer hvordan Laplace transformationen benyttes til løsning af differentialligninger. Det er vigtigt at nævne at der findes andre løsningsmetoder til lineære differentialligninger og derfor er det nærliggende at undre sig over hvorfor vi finder et behov for at introducere endnu en metode. Det fordelagtige ved denne metode er blandt andre ting at man kan behandle diskontinuerte påvirkninger, f.eks. en elektromotorisk kraft som tænder og slukker på en relativt simpel måde. Desuden fremhæver metoden hvordan enkelte elementer i et system påvirker den komplette løsning og dette kan man med fordel udnytte i f.eks. reguleringsteknik hvor man er interesseret i at regulere et givet systems opførsel. Lad os nu teste vores regneregler for de afledte på den simpleste differentialligning vi kan finde på. Eksempel 1.8. (Bevægelse med konstant hastighed.) Lad x(t) være positionen af en partikel/bil/person/bold der bevæger sig på en linie. Vi kræver, at partiklen bevæger sig med konstant hastighed v. Dette formulerer en ordinær differentialligning dx dt = v.

18 18 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN Vi ved på forhånd at løsningen til denne ligning er x(t) = x() + vt, men lad os alligevel anvende Laplace transformationen: L (x (t)) = L (v), sx(s) x() = v, (s > α), s X(s) = x() + v s s 2. Vi genkender denne transformation fra Eksempel 1.3, og finder x(t), x(t) = L 1 (X(s)), = x() + vt. Det ovenstående eksempel kunne også løses ved direkte integration. For træningens skyld forsætter vi med endnu et simpelt eksempel. Eksempel 1.9. (Frit fald uden friktion). Inden Galileo Galilei udførte sit eksperiment som påviste at legemer falder lige hurtigt i frit fald uanset vægt var det en udbredt misforståelse at tunge legemer faldt hurtigst. Galileo påviste netop, at alle legemerne i frit fald har den samme accelleration nemlig tyngdeacceleration g. Vi lader x(t) angive den vertikale position og specificerer to begyndelsesbetingelser, positionen og hastigheden vi lader x() = x og vælger x () = v. Systemet som vi skal løse er altså x = g, x() = x, x () = v. Vi anvender nu Laplace transformationen på differentialligningen, L (x (t)) = L (g), s 2 X(s) sx() x () = g s, X(s) = x() s + x () s 2 + g s 3. Vi finder nu x(t) ved at transformere hvert led, f.eks. benytter vi at L (t 2 ) = 2/s 3. Hermed finder vi x(t) og indsætter samtidig begyndelsesbetingelserne, x(t) = L 1 (X(s)) = x + v t gt2.

19 1.3. TRANSLATION, DIFFERENTIATION, INTEGRATION OG PARTIALBRØKER 19 I det faktiske eksperiment slap Galileo to legemer af samme materiale fra det skæve tårn i Pisa og viste at det tog den samme tid for legemerne at nå jorden. Vi kan se at han havde ret ifølge vores formel fordi bevægelsesligningen for x(t) er uafhængig af legemets masse. Hvorvidt Galileo rent faktisk udførte det omtalte eksperiment fra det skæve tårn i Pisa er tvivlsomt, men det er en god historie! Lad os nu forsætte med et mere generelt eksempel, nemlig en inhomogen anden-ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter og begyndelsesbetingelser - det ser således ud ax + bx + cx = f (t), (1.14) x() = x, x () = v. (1.15) Bemærk, at a,b,c og f (t) kan vælges så man har et RLC kredsløb eller et masse/fjeder/dæmper system. Rent formelt, tager vi nu Laplace transformationen af Ligning (1.14), altså a [ s 2 X(s) sx() x () ] + b[sx(s) x()] + cx(s) = F(s), X(s) = (as + b)x() + ax () as 2 + bs + c + F(s) as 2 + bs + c. I en mere overskuelig form kan det skrives som hvor X(s) = P(s) Q(s) + F(s) Q(s), (1.16) Q(s) = as 2 + bs + c, P(s) = (as + b)x() + ax (). Man finder nu x(t) ved at anvende den inverse Laplace transformation, altså x(t) = L 1 (X(s)), men dette kræver behandling af flere specialtilfælde. Bemærk, at der findes matematiske programmer som kan håndtere standard Laplace transformationer (også den inverse) direkte, f.eks. Maple, Mathematica og Matlab. Inden man havde programmer der kunne håndtere disse transformationer symbolsk, var man nødsaget til at manipulere udtrykkene P(s)/Q(s) og F(s)/Q(s) ved at splitte dem op i mindre komplicerede dele som man kendte den inverse transformation til. Denne fremgangsmåde er baseret på en opsplitning af en polynomiumsbrøk i dens såkaldte stambrøker (engelsk: partial fraction expansion/decomposition). Lad os give et eksempel på opsplitning i stambrøker,

20 2 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN Eksempel 1.1. (Opsplitning i stambrøker). Bestem den inverse Laplace transformation af F(s) = 5s (s 2 + 1)(s 2 + 2s + 2). Vi kender ikke umiddelbart f (t) = L 1 (F(s)), men det er muligt at splitte F(s) op i dens såkaldte stambrøker. Således kan man opnå, F(s) = 1/2 + i s + i + 1/2 i s i + 1/2 3/2i s + 1 i + 1/2 + 3/2i, s i og til disse kender vi de inverse Laplace transformationer (anvend linearitetsegenskaberne Ligning (1.3) og (1.4) og se Eksempel 1.4 eller en Tabel 1.1). Vi viser hvordan man kan gøre med det første led, ( ) ( ) 1/2 + i 1 L 1 = (1/2 + i) L 1, s + i s + i = (1/2 + i) e it. På samme måde kan man finde de resterende transformationer og ved at anvende Eulers formel på det samlede resultat kan udtrykket reduceres til, f (t) = L 1 (F(s)) = cos(t) + 2sin(t) e t (cos(t) + 3sin(t)) (1.17) Vi skal i dette modul ikke komme ind på hvorledes man systematisk udfører opsplitning til stambrøker, men blot nævne at dette også kan udføres i diverse matematikprogrammer, f.eks. umiddelbart via funktioner som residue() i Matlab eller convert() i Maple eller Apart() i Mathematica. Som nævnt tidligere findes der i Tabel 1.1 en række praktiske transformationer til opslag. Alternativt kan man finde den inverse transformation vha. kompleks integration, men dette forudsætter, som nævnt tidligere, en del kendskab til kompleks funktionsteori som vi ikke skal ind på i dette modul - desuden er konklusionen dog også, at matematik-programmer er meget brugbare i denne sammenhæng. Lad os undersøge det følgende generelle system Eksempel (Anden-ordens differentialligning under harmonisk påvirkning). I dette eksempel tager vi fat på et specialtilfælde af differentiallignings-systemet (1.14) med begyndelsesbetingelserne (1.15). (Systemet er også et specialtilfælde af de tidligere nævnte praktiske systemer givet ved differentialligningerne (1.5) og (1.7)). ẍ + 2ẋ + 2x = 5cos(t), (1.18) x() = 1, ẋ() = 1. (1.19)

21 1.3. TRANSLATION, DIFFERENTIATION, INTEGRATION OG PARTIALBRØKER 21 Ved anvendelse af Ligning (1.16), altså ved at tage Laplace transformationen på systemet, kan vi skrive hvor X(s) ved indsættelse findes som, X(s) = P(s)/Q(s) + F(s)/Q(s), X(s) = s + 1 s 2 + 2s s (s 2 + 1)(s 2 + 2s + 2). Vi finder x(t) ved at bestemme den inverse Laplace transformation, x(t) = L 1 (X(s)), ( ) s + 1 = L 1 s 2 + 2s s (s 2 + 1)(s s + 2) For at bestemme den inverse Laplace transformation til dette udtryk kan vi enten gøre det direkte ved brug af f.eks. invlaplace() i Maple eller ilaplace() i Matlab eller vha. opslitning i stambrøker hvor vi i Eksempel 1.1 håndterede den ene af brøkerne. Vi får således direkte x(t) = cos(t) + (2 3e t )sin(t). Vi tjekker om løsningen er korrekt ved at verificere at den overholder startbetingelserne (til tiden t = ) og differentialligningen (for alle t > ). På den måde er vi helt sikre på at vi har regnet rigtigt. Bemærk, at vi ikke har redegjort for hvorvidt det var meningsfuldt at anvende Laplace transformationen på alle de afledte, altså om antagelserne i Sætning 1.5 er overholdt. Generelt gælder det for n te ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter, at Laplace transformationen er veldefineret for påvirkninger f (t) som er kontinuerte og af eksponentiel orden Integraler i t-domænet, t f (τ)dτ I adskillige anvendelser opstår der naturligt integraler i differentialligningerne og så kalder man dem integro-differentialligninger. Et typisk eksempel på en sådan er det elektriske kredsløb fra Figur 1.7. Integro-differentialligningen for dette kredsløb er, Lİ + 1 C t I(τ)dτ = E(t), hvor L er induktansen, C er kapacitansen og E(t) er den elektromotoriske kraft. Vi skal nu vise, at Laplace transformationen også kan håndtere integralled uden de store kvaler. Lad os vise følgende sætning,

22 22 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN Sætning 1.6. Hvis f er stykkevis kontinuert og af eksponentiel orden α, og så gælder g(t) = t f (τ)dτ, (1.2) L (g(t)) = 1 L ( f (t)), R(s) > α. (1.21) s Bevis. I det første trin skal vi omskrive integralet L(g(t)) til noget mere bekvemt fordi vi gerne vil finde en relation til f (t). Vi beviser dette vha. partiel integration som vi også anvendte i beviset for Sætning 1.4. Lad os gentage formlen, b a b u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)] b a u (t)v(t)dt. a Nu sætter vi a =, b =, u(t) = g(t) og v(t) = 1 s e st. Bemærk, at det følger af integralregningens hovedsætning, at f (t) = g (t) når g(t) = t f (τ)dτ. Vi kan således opnå [ e st g(t)dt = 1 ] s e st g(t) + 1 e st f (t)dt, s [ L (g(t)) = 1 ] s e st g(t) + 1 s L ( f (t)). Vi indser dernæst, at det følger af definitionen 3 af g(t) at g() = og at lim t e st g(t) = fordi R(s) > α. Tilsammen medfører dette, at vi har opnået den ønskede identitet, L (g(t)) = 1 s L ( f (t)). Lad os afslutte med en eksemplarisk anvendelse inden vi forsætter med reglerne for differentiation og integration i s-domænet. Faktisk skal vi nu løse en såkaldt integro-differentialligning! Eksempel Integro-differentialligning LC-circuit (se figur 1.7). Betragt det elektriske kredsløb givet ved 3 Husk at lim t + t f (t)dt = Lİ + 1 C t I(τ)dτ = E. (1.22)

23 1.3. TRANSLATION, DIFFERENTIATION, INTEGRATION OG PARTIALBRØKER 23 E L C Figur 1.7: LC kredsløb. Se Figur 1.7 for et systemdiagram. De tre led repræsenterer henholdsvis induktans, kapacitans og elektromotorisk kraft og L,C og E er positive konstanter. Lad endvidere strømmen I(t) være givet som I() = fra start. Vi Laplace transformerer nu Ligning (1.22) og anvender Sætning 1.4 og Sætning 1.6, for således at opnå L(sL (I) I()) + L (I) = E Cs s, E L (I) = L(s 2 + 1/LC). Man kan, som nævnt tidligere, finde den inverse Laplace transformation ved brug computerprogrammer. Alternativt så kan man også gøre dette ved at anvende Tabel 1.1 man skal blot indse at udtrykket for L (I) minder om inversionen for sinus og så ændre lidt på udtrykket. Vi finder løsningen, ( C 1/ ) LC I(t) = E, L L 1 C = E L sin s 2 + 1/LC ). ( 1 LC t Bemærk, at vi benyttede os af tabelopslaget L (sin(ωt)) = ω, hvor vi havde ω = 1 s 2 +ω 2 LC Translation i s-domænet I dette korte afsnit skal vi se nærmere på hvorledes translation i s-domænet opfører sig i forhold til Laplace transformationen.

24 24 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN Sætning 1.7. Hvis F(s) = L ( f (t)) når R(s) >, så F(s a) = L (e at f (t)), (a R,R(s) > a). (1.23) Bevis. Under forudsætningen af at Laplace transformationen er veldefineret for F(s) = L ( f (t)) når R(s) > følger det af definitionen at F(s a) er veldefineret når R(s) > a. Derfor, F(s a) = = e (s a)t f (t)dt, e st e at f (t)dt, = L (e at f (t)). Lad os give et eksempel på hvordan man kan anvende dette resultat. Eksempel Vi ved fra tidligere, at L (sin(ωt)) = ω s 2 + ω 2. Det betyder, at hvis vi translaterer funktionen fra s til s a og benytter Sætning 1.7 får vi, at L (e at sin(ωt)) = ω (s a) 2 + ω 2. Dette kan være brugbart til at bestemme inverse transformationer direkte. (Bemærk, at dette også er forskellen på en harmonisk svinging og dæmpet svingning). Sætninger vedrørende operationer i s-domænet har umiddelbart lidt mere begrænset anvendelse i forbindelse med f.eks. differentialligninger, og alene derfor skal vi ikke tærske langhalm på disse egenskaber. Vi noterer blot at der findes tilsvarende resultater for differentation og integration i s-domænet (se evt. Tabel 1.2 for flere af disse egenskaber) Periodiske funktioner Vi skal give et resultat for periodiske funktioner. Vi kalder en funktion f (t) T-periodisk hvis f (t) = f (t + T ) for et T > og alle t. (T er den mindste periode for funktionen). Velkendte eksempler på periodiske funktioner er cos(ωt) og sin(ωt) der begge er T-periodiske med T = 2π/ω.

25 1.3. TRANSLATION, DIFFERENTIATION, INTEGRATION OG PARTIALBRØKER 25 Sætning 1.8. Hvis F(s) = L ( f (t)) og f (t) er T-periodisk, så er hvor F(s) = 1 1 e st F 1(s), (1.24) F 1 (s) = T e st f (t)dt (1.25) Bevis. Dette bevis udføres ved et enkelt koordinatskifte - en translation i integrationsvariablen, F(s) = L ( f (t)), = = T = F 1 (s) + e st f (t)dt, e st f (t)dt + T T e st f (t)dt. e st f (t)dt, Observer dernæst, at man ved et koordinatskifte τ = t T i det sidste integral i ovenstående ligning kan opnå hvorved vi har, T e st f (t)dt = e s(τ+t ) f (τ + T )dτ, = e st e sτ f (τ)dτ, = e st F(s), Den ønskede identitet følger straks ved at isolere F(s). F(s) = F 1 (s) + e st F(s). (1.26) Sætning 1.8 giver os en god mulighed for at simplificere udregningen af Laplace funktionen for forskellige periodiske funktioner f (t). Betragt det følgende eksempel på en square-wave funktion. Eksempel Square-wave funktionen er plottet på Figur 1.8 og det ses, at foreskriften på den 2a-periodiske funktion kan gives vha. en trin-funktion på intervallet [,2a[. f 1 (t) = u a (t), for t < 2a.

26 26 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN f(t) 1 a 2a 3a 4a 5a t Figur 1.8: En såkaldt square-wave funktion med periode 2a. Ved anvendelse af Sætning 1.8 finder vi, F(s) findes nu trivielt som F 1 (s) = 2a 2a e st u a (t)dt, = e st dt, a = [ 1s ] 2a e st, = 1 s (e as e 2as ). 1 F(s) = 1 e 2as F 1(s), 1 = s(1 + e as ). Husk at transformationen kun er meningsfuld for R(s) >. a 1.4 Teaser: en lineær partielle differentialligning Lad os afslutningsvist se på et lidt mere indviklet ingeniørteknisk problem - nemlig varmeledning. (Dette eksempel er taget fra Joel L. Schiff The Laplace Transform - Theory and Applications. og er ikke en del af pensum).

27 1.4. TEASER: EN LINEÆR PARTIELLE DIFFERENTIALLIGNING 27 Eksempel T = 2 T, t x2 t >, x l, (1.27) T (x,) = T, (begyndelsesbetingelsen), (1.28) T (,t) =, x (den ene ende er isoleret!), (1.29) T (l,t) = T 1, (den anden ende har konstant temperatur T 1 ). (1.3) Vi anvender nu Laplace transformationen på denne partielle differentialligning i tidsvariablen t. Det betyder at vi forestiller os at T (x,s) = L (T (x,t)). Vi får således, s T T (x,) = 2 T x 2, s T T = 2 T x 2. Husk at man kan opfatte s som en konstant i denne differentialligning. Faktisk kræver vi at s >. Den generelle løsning til ligningen kan skrives som (tjek dette, enten ved selv at finde løsningen eller ved at indsætte den!) T (x,s) = c 1 cosh( sx) + c 2 sinh( sx) + u s. (1.31) Vi har kun brugt begyndelsesbetingelsen T, vi bestemmer c 1 og c 2 ved at bruge de to randbetingelser. Vi transformerer vores randbetingelser, ( ) T L x (,t) = L () =, (1.32) L (T (l,t)) = L (T 1 ) = T 1 s. (1.33) (1.34) Isolerings-randbetingelsen ved x = medfører direkte at c 2 =. I den anden ende, dvs. x = l, er randbetingelsen med konstant temperatur og denne giver os følgende sammenhæng, T 1 s = c 1 cosh( sl) + T 1 s, (1.35) c 1 = (T 1 T ) scosh( sl). (1.36)

28 28 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN Løsningen i s-domænet er altså givet ved, T (x,s) = (T 1 T )cosh( sx) scosh( sl) + T s. (1.37) Vi finder ved den inverse Laplace transformation løsningen i t-domænet til, T (x,t) = T 1 + 4(T 1 T ) ( 1) π n ( ) n=1 2n 1 e(2n 1)2 π 2 t/(4l 2) 2n 1 cos πx. (1.38) 2l Hvor vi har benyttet os af ( ) cosh( sx) L 1 scosh( sl) = π ( 1) n n=1 2n 1 e(2n 1)2 π 2 t/(4l 2) cos ( 2n 1 2l ) πx. Det generelle løsningsudtryk indikerer at vi har sluppet let ved at arbejde i s-domænet! Der findes en lang række andre partielle differentialligninger osv. hvor Laplace transformationen virker formidabelt, dette var bare en smagsprøve!

29 1.5. TABEL: OPERATIONER FOR LAPLACE TRANSFORMATIONEN Tabel: operationer for Laplace transformationen

30 3 KAPITEL 1. LAPLACE TRANSFORMATIONEN Tabel over operationer for Laplace transformationer F(s) f (t) c 1 F 1 (s) + c 2 F 2 (s) c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t) F(as), a > 1 a f ( ) t a F(s a) e at f (t a) e as F(s), a u a (t) f (t a) sf(s) f ( + ) s 2 F(s) s f ( + ) f ( + ) f (t) f (t) s n F(s) s n 1 f ( + ) s n 2 f ( + )... f (n 1) ( + ) F(s) s F (s) F (n) (s) f (n) (t) t f (τ)dτ t f (t) ( 1) n t n f (t) s F(ξ )dξ 1 t f (t) F(s)G(s) lim sf(s) s lim sf(s) s t f (τ)g(t τ)dτ lim f (t) = f t (+ ) + lim f (t) t Tabel 1.2: Relevante operationer for Laplace transformationen (Joel Schiff: The Laplace Transform Theory and Applications ).