Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
|
|
- Nicklas Petersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får: x= 3 2 Der er i denne situation én ligning og én ubekendt, x, og ligningen har en entydig løsning. Hvis vi har en ligninge med to ubekendte, fx 2x+5y=3 vil der være mange løsninger, fx x=1, y=1/5, eller x=3/2, y=0. Hvordan angiver vi på en systematisk måde alle de mulige løsninger? Svar: ved hjælp af begrebet en fri parameter. Hvis vi først vælger en bestemt værdi t for y, har vi at y= t, hvor t er et tal der kan vælges frit blandt alle reelle tal. Men når først tallet er valgt har y en værdi, og nu kan x bestemmes. Vi skriver: x = 1 2 (3 5t) y = t t R. Der er i dette tilfælde uendelig mange løsninger, nemlig lige så mange som der er muligheder for at vælge tallet t. 1
2 2 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Hvis der havde været flere ubekendte, fx z og w, men stadig kun én ligning, altså fx 2x+5y z+4w=3 må vi indføre en fri parameter for alle undtagen 1 variabel. Nu er der flere parmetre, og de kan vælges uafhængigt af hinanden: x = 1 2 (3 t 1+t 2 4t 3 ) y = t 1 z = t 2 w = t 3 (t 1,t 2,t 3 ) R. Bemærk: Vi kunne godt have valgt fri parametre for x,y,z, og så have bestemt den sidste variable, w, ud fra disse valg. Det giver samme løsningsmængde. Man plejer at vælge fri paramtere bagfra og så lade den første ubekendte være udtrykt ved disse, men det er kun en konvention. Uanset hvad man vælger er situationen denne: hvis der er for få ligninger og for mange variable, må man vælge frie paramtere, og får uendelig mange løsninger. Lad os nu se på situationen med 2 ligninger og 2 ubekendte: 2x+5y = 3 x+y = 2 En oplagt måde at løse dette system på er ved at gange den nederste ligning med 2 på begge sider: 2x+5y = 3 2x+2y = 4 og derefter lægger hele den øverste ligning til den nederste ligning. Dette er en operation som ikke ændrer løsningsmængden - hvis en venstreside er lig en højreside er det tilladt at lægge denne værdi til på begge sider af den øverste ligning. Men vi lægger venstreside til venstre side, og højreside til højreside. Herved får vi: 2x+5y = 3 7y = 7 hvoraf det tydeligt fremgår at y=1. Dette indsættes i den øverste ligning: 2x+5 = 3 y = 1
3 1.2. GAUSS ELIMINATION 3 som kan løses for x til; x= 1. Prøv at indsætte x= 1,y=1 i det oprindelige ligningssystem, og check at løsningen passer. Vi har set en situation hvor der er samme antal ubekendte som ligninger, og som, i dette tilfælde, havde en entydig løsning. Den sidste situation der kan forekomme, specielt efter nogle manipulationer, er at man står med en ligning fx af form: 0 x=2 Her må vi konkludere at der ikke findes nogen værdier for x der kan få ligningen til at passe. Der er ingen løsning. Yderligere ligninger vil ikke afhjælpe situationen. 1.2 Gauss elimination Her gives en fremstilling af en metode til systematiske behandling af et lineært ligningssystem. Metoden er opkaldt efter matematikeren C.F. Gauss (17xx-18yy). Vi begynder med et eksempel pået systetem med 3 variable og 3 ligninger. 2x 3y = 3 4x 5y+ z=7 2x y 3z=5 (1.1) og vil gradvis omforme disse, så vi ikke ændrer løsningerne, men når frem til et enklere system, der let løses. Vi vil have leddet med den ukendte x væk i de sidste to ligninger. Derfor ganger vi ligning 1 med -2 og lægger til ligning 2, hvorefter vi ganger ligning 1 med -1 og lægger til ligning 3. Så har vi systemet 2x 3y = 3 y + z = 1 2y 3z=2 (1.2) Nu vil vi yderligere forenkle systemet - igen uden at ændre løsningerne - ved at bortskaffe leddet med den ukendte y i 3. ligning. Derfor ganger vi ligning 2 med -2 og lægger til ligning 3 2x 3y = 3 y + z = 1 5z=0 (1.3)
4 4 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Disse ligninger lader sig nu let løse nedefra ved såkaldt tilbagesubstitution. Sidste ligning giver z=0, der indsat i næstsidste ligning giver y=1. Endelig findes x af første ligning ved at indsætte værdierne for y og z, og vi får x=3. Dette er i alt sin enkelthed princippet i Gauss elimination. Vi ser, at det som er væsentligt i processen er de koefficienter der i det lineære ligningssystem er ganget på x, y, z, osv. Vi behøver slet ikke i de enkelte skridt at skrive x, y, z, osv. Derfor opskriver vi koefficienterne i et talskema. Et sådant talskema kaldes en matrix. Nu foretager vi operationerne der løser ligningssystemet direkte på selve talskemaet. 1.3 Matricer - rækkeoperationer Vi benytter ligningssystemet (??) til at illustrere ideen med indførelse af matricer. I en matrix kaldes de lodrette kolonner for søjler, og de vandrette kolonner for rækker. Vi har i denne fremstilling for tydeligheds skyld valgt at adskille koefficienterne i ligningssystemet fra højre side af ligningssystemet med en lodret streg, men det er kun for overskuelighedens skyld. Højresiden vil altid være en sidste søjle i matricen. Hver enkelt række i matricen (1.4) repræsenterer således en ligning fra (??). De operationer, vi foretog med rækkerne for at løse ligningssystemet, foretager vi nu i denne matrix. Såfremt vi ønsker samtidigt at vise, hvilke operationer vi har foretaget, betegner vi med r i den i te række før operationen, og med r i den i te række efter de udførte regninger. Operationerne på dette ligningssystem vil da blive formuleret således r 2 = 2r 1+r 2 r 3 = 1r 1+r r 3 = 2r 2+r Processen i Gauss elimination består altså i ved såkaldte rækkeoperationer at omforme ligningssystemet til et hermed ækvivalent system, som nemt kan løses nedefra ved tilbagesubstitution. Med ækvivalent menes, at de to ligningssystemer har samme løsningsmængde. Det ses let, at der for ethvert lineært ligningssystem gælder følgende
5 1.4. RANG 5 Rækkeoperationer, der fører til ækvivalente ligningssystemer Hver af følgende operationer på et system af lineære ligninger giver et hermed ækvivalent system a) Ombyt to rækker b) Multiplicér en række med en konstant forskellig fra nul c) Multiplicér en række med en konstant forskellig fra nul og læg den til en anden række Vi har brug for forskellige benævnelser og notation for de to matricer, der fremkommer, når vi enten medtager højre side i ligningssystemet som sidste søjle, eller når vi udelukkende skriver koefficienterne til de ukendte ind i matricen. Den første matrix benævnes totalmatricen, mens den sidste kaldes koefficientmatricen. Vi vil betegne matricer med store bogstaver skrevet med fed type. Således vil vi for ovenstående ligningssystem skrive, idet systemets højre side betegnes og A= for koefficientmatricen A = for totalmatricen I det generelle tilfælde med m ligninger med n ubekendte vil totalmatricen se således ud: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A = a m1 a m2 a mn b m Bemærk, hvorledes koefficienterne er indiceret. Første indeks angiver rækkenummeret, mens andet indeks angiver søjlenummeret. 1.4 Rang Vi vil nu se på spørgsmålet om eksistensen af, og antallet af, løsninger. Vi har her brug for en størrelse knyttet til en matrix, som benævnes rangen af matricen.
6 6 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Hvis vi har en ligninge med to ubekendte, fx 2x+5y=3 kunne man spørge om man ikke bare kunne skrive ligningen en gang til og derved opnå to ligninger 2x+5y = 3 2x+5y = 3 Problemet er, at der i den anden ligning ikke er nogen ny information; ligningen gentager blot den første ligning. Uanset hvor mange gange man gentager ligningen så er der kun information svarende til én ligning. Den mere generelle indgang til begrebet rang tager udgangspunkt i vektorer (vi kan her tænke på matricens rækker som vektorer). En samling af vektorer, (v 1,v 2,,v n ) siges at være lineært uafhængige, hvis ligninngen k 1 v 1 + k 2 v 2 + +k n v n = 0 kun kan opfyldes for k 1 = 0,k 2 = 0,k 3 = 0,,k n = 0. Hvis vektorerne ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. Lineært uafhængige vektorer kan altsåikke frembringes ud fra hinanden. Lineært uafhængige vektorer peger så at sige i forskellige retninger. Rangen af en samling af vektorer er det største antal lineært uafhængige vektorer man kan udtage fra samlingen. Dette tal kan naturligvis ikke være større end det totale antal vektorer i samlingen, men kan godt være mindre. Nul-vektoren bidrager aldrig til rangen, så hvis vi kun regner med vektorer som ikke er nul, er rangen ihvertfald 1. Rangen af en matrix er rangen af matricens rækker, opfattet som vektorer. Eksempel 1.1. MAPLE kan bestemme rang af en matrix med kommandoenrank. > A:=Matrix([[ 2, -3, 0, 3 ], [ 4, -5, 1, 7 ], [ 2, -1, -3, 5 ]]); A :=
7 1.4. RANG 7 Rank(A); 3 Rangen af en matrix A betegnes ρ(a). Der gælder følgende vigtige sætning om eksistens af løsninger til et lineært ligningssystem Sætning 1.1. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at der er løsninger til det lineære ligningssystem er, at rangen af koefficientmatricen er lig rangen af totalmatricen, altså at ρ(a)=ρ(a ). Hvis ρ(a) ρ(a ) er systemet inkonsistent (i analogi til ligningen 0 x = 2), og vi siger da at der ikke findes løsninger, at løsningsmængden er tom. Her er to vigtige egenskaber ved rangen af en matrix: Sætning 1.2. (a) Rangen af en matrix forbliver uændret ved rækkeoperationer (b) Antallet af lineært uafhængige rækker i en matrix er lig antallet af lineært uafhængige søjler Eksempel 1.2. Idet a betegner en given konstant, foreligger der ligningssystemet 3x 2 + x 3 2x 4 = 2 x 1 + 3x 2 2x 3 = 3 2x x 2 + x 3 5x 4 = 11 2x x 2 8x 3 7x 4 = a (1.5) Vi vil løse dette med Gauss elimination og opskriver derfor totalmatricen, hvorefter vi fore-
8 8 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER tager de nødvendige rækkeoperationer A = a r 1 =r 2 r 2 =r 1 r 3 =r 3 2r 2 r 4 =r 4 2r a 6 r 3 =r 3 3r 2 r 4 =r 4 2r a 10 r 4 =r 4+3r a 13 De tre første rækker i koefficientmatricen ses umiddelbart at være lineært uafhængige. Den sidste række er nul-vektoren, og da vektorer i et vektorsystem indeholdende denne altid er lineært afhængige, er rangen ρ(a) af koefficientmatricen lig 3. De tre første søjler i A er klart lineært uafhængige. Når rangen er 3 er der netop 3 lineært uafhængige søjler, og derfor må 4. søjle i A være en linearkombination af de tre første søjler. Hvorvidt der nu er løsninger til ligningssystemet afhænger af rangen ρ(a ) af totalmatricen. Kravet er, at rangen af denne også skal være 3. Vi ser, at hvis a = 13 er sidste række i totalmatricen nul-vektoren, hvorfor rangen er 3 og der er løsninger. Hvis a 13 er 1., 2., 3. og sidste søjle i totalmatricen lineært uafhængige, og rangen af denne derfor 4. Der er altså da ingen løsninger, når a 13 (hvilket også er indlysende, når man betragter den ligning som sidste række repræsenterer). Vi vil afstå fra at foretage tilbagesubstitutionen men anbefaler, at man selv gennemfører regningerne. Når en Gauss-elimination på en koefficientmatrix er ført til ende vil matricen have en struktur som nedenfor (1.6) I hver række vil der være et første fra nul forskelligt element (regnet fra venstre). Disse er i figuren angivet med. Når man er nået frem til et element i sidste (n te) søjle, er eliminationen ført til ende, og man kan nu opskrive løsningen. Bemærk at der kan forekomme rækker hvor det første fra nul forskellige element har et større
9 1.5. STRUKTUREN AF LØSNINGSMÆNGDEN 9 søjlenummer end rækkenummer. Det betyder at der vil være fri parametre svarende til disse variable. I figuren ovenfor er disse søjler (variabelnumre) angivet med ; det er variabel nummer 3, 5 og 6. Da sidste række er en nulrække er rangen af matricen 4, mens der er 7 variable. I almindelighed får vi lige så mange frie variable som der er forskel mellem antallet af variable (n) og koefficientmatricens rang (ρ). 1.5 Strukturen af løsningsmængden Følgende sætning opsummerer Gauss eliminationen og er en hovedsætning i forbindelse med lineære ligningssystemer. Sætning 1.3 (Om antallet af løsninger til m ligninger med n ubekendte). 1. Der er løsninger, hvis og kun hvis koefficientmatricen og totalmatricen har samme rang (benævnt ρ) 2. Hvis ρ = n er der netop 1 løsning (og ingen frie variable) 3. Hvis ρ < n er der en (n ρ)-dobbelt uendelighed af løsninger, dvs (n ρ) fri variable. Eksempel 1.3. Opgave: bestem den fuldstændige løsning (dvs angiv samtlige løsninger) til ligningssystemet x 1 2x 2 + 3x 3 13x 4 + 3x 5 = 7 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 4x 4 20x 5 = 3 2x 1 4x 2 x x 5 = 1 x 1 + 2x 2 + x 4 7x 5 = 0 (1.7) Løsning: Vi opskriver totalmatricen og udfører passende rækkeoperationer for at få den Gauss-eliminerede matrix.
10 10 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER r 3 =r 3+r 2 r 4 =2r 4+r 3 r 3 =r 3/2 r 4 =r 4+r 3 /2 r 2 =r 2 2r 1 r 3 =r 3+2r 1 r 4 =r 4 r (1.8) Vi noterer os nu følgende. Der er de 5 ubekendte, dvs n=5. Rangen af koefficientmatricen er ρ(a)=3. I totalmatricen er der netop tre lineært uafhængige rækker, og den har derfor også rangen 3. Der er altså løsninger til ligningssystemet. Fra hovedsætningen ved vi at vi må forvente n ρ = 5 3=2 frie variable og det et oplagt, hvis vi starter fra den nederste (fra 0 forskellige) ligning, at fx x 4 og x 5 kan vælges frit. For at tydeliggøre den fortsatte del af processen opskriver vi de tre første ligninger med variable indsat: x 1 2x 2 + 3x 3 13x 4 + 3x 5 = 7 8x 2 3x x 4 26x 5 = 11 x 3 2x 4 2x 5 = 1 (1.9) Ligningerne omskrives, idet vi trækker de frie variable over på højre side x 1 2x 2 + 3x 3 = 7+13x 4 3x 5 8x 2 3x 3 = 11 22x x 5 x 3 = 1+2x 4 + 2x 5 (1.10) Lad os sætte x 4 = t 1, x 5 = t 2, (t 1,t 2 ) R 2. Vi får da af (??) ved tilbagesubstitution x 3 = 1+2t 1 + 2t 2 8x 2 = 11+3(1+2t 1 + 2t 2 ) 22t t 2 = 8 16t t 2 dvs. x 2 = 1 2t 1 + 4t 2 x 1 = 7+2( 1 2t 1 + 4t 2 ) 3(1+2t 1 + 2t 2 )+13t 1 3t 2 = 2+3t 1 t 2
11 1.5. STRUKTUREN AF LØSNINGSMÆNGDEN 11 Sammenfattende skriver vi resultatet på vektorform x x 2 x 3 x 4 = t t x (t 1,t 2 ) R 2 (1.11) (Det anbefales, at man kontrollerer dette ved at benytte regneregler for vektorer: Man ganger en vektor med en konstant ved at gange de enkelte komponenter med konstanten, og man adderer vektorer ved at addere komponenter med samme placering). Eksempel 1.4. MAPLE kan (med biblioteket LinearAlgebra indlæst, foretage Gauss elimination, og kan ogsåindføre frie variable. Med totalmatricen i eksemplet ovenfor indført, fx benævnt A, A := > LinearSolve(A); 2+3t 4 t 5 1 2t t 4 + 2t t 4 t 5 som, hvis vi i en søjle skiller tal uden parametre, fra en søjler der indeholder parameteren t 4 og en søjle der indeholder parameteren t 5, er præcis resultatet (??). At MAPLE skriver frie paramtere som t 4 og t 5 i stedet for t 1 og t 2 er uden betydning. Der er intet i dette eksempel, der principielt adskiller det fra ethvert andet lineært ligningssystem, og de konklusioner, vi nu drager ved at generalisere (??), vil have almen gyldighed. Vi vil derfor skrive (??) på generel form, idet vi som ovenfor lader n være antallet af ubekendte og ρ være rangen af matricen. Vi erindrer, at der var (n ρ) frie variable. For at lette læsningen benytter vi her et komma til at adskille indices.
12 12 CHAPTER 1. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER x 1 x 2. = k 2. +t 1 x n k 1 k n v 1,1 v 2,1. v n,1 +t 2 v 1,2 v 2,2. v n,2 + +t n ρ v 1,(n ρ) v 2,(n ρ). v n,(n ρ) eller kort (1.12) x=k+t 1 v 1 +t 2 v 2 + +t n ρ v n ρ Heraf fremgår strukturen af løsningsmængden. Vektoren k er dannet ud fra ligningssystemets højre side efter udførelse af rækkeoperationerne og tilbagesubstitutionen. Hvis højresiden er nul-vektor (i dette tilfælde kaldes ligningssystemet homogent), vil også k vektoren være nul-vektor. Derfor gælder, at x h = t 1 v 1 +t 2 v 2 + +t n ρ v n ρ ( t1,t 2,,t n ρ ) R n ρ (1.13) netop udgør løsningerne til det homogene ligningssystem.
13 Chapter 2 Modulpakke 3: Matrixregning 2.1 Indledning Matricer kan lægges sammen og matricer kan ganges med andre matricer under overholdse af simple regler. I dette afsnit skal vi se hvordan man kan 1. gange en matrix med et tal. 2. lægge matricer sammen og trække dem fra hinanden. 3. gange matricer med hinanden. 3. bestemme determinanten for en kvadratisk matrix. 4. finde den inverse for en kvadratisk matrix. I kapitel 1 indførtes matricer som et hjælpemiddel ved løsning af lineære ligningssystemer. Matrixbegrebet har imidlertid en udbredt betydning, ikke alene for væsentlige dele af matematikken, men også for tekniske discipliner og hertil knyttede fagområder, eksempelvis de statistiske fag og forskellige naturvidenskabelige fag. Vi vil derfor se nærmere på, hvorledes man kan definere nyttige regneregler for matricer og hvilke egenskaber matricer derved opnår. Det vil være bekvemt først at indføre nogle få, nye betegnelser. 1
14 2 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING 2.2 Nogle grundlæggende begreber En matrix med m rækker og n søjler kaldes en m n matrix og man siger, at den er af typen (m,n). Hvis man for en given matrix A har behov for at præcisere, at den eksempelvis er en 4 5 matrix, vil man skrive den som A 45. To matricer A og B er ens, netop når de er af samme type og alle elementerne på samme pladser er ens, altså A=B a i j = b i j i {1,2,,m}, j {1,2,,n} hvor begge matricer er af typen (m,n). Hvis specielt en matrix A er en n n matrix, kaldes den en kvadratisk matrix af n te orden a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A nn = a n1 a n2 a nn En matrix kan indeholde såvel reelle som komplekse tal - hvis den udelukkende rummer reelle tal siger man, at den er en reel matrix. Talsættet (a 11,a 22,,a nn ) i en kvadratisk matrix udgør diagonalen i denne (undertiden benævnt: hoveddiagonalen). En kvadratisk matrix, hvor alle diagonalens elementer er lig 1, og hvor resten af elementerne i matricen er 0, kaldes en enhedsmatrix E nn = En matrix, der udelukkende indeholder 0 er, kaldes en nul-matrix (og betegnes med 0 - eller med 0 mn, hvis det er af betydning at angive matricens type). En enkelt søjle i en matrix A mn kan anskues som en matrix af typen (m,1). Som vi imidlertid så, da vi formulerede lineære ligningssystemer på matrixform, kan det ofte være at foretrække at betragte en søjle som en vektor (som vi så kalder en søjlevektor), og vi vil da skrive den med lille, fed type. Eksempelvis kunne vi skrive første søjle i matricen A som
15 2.3. REGNING MED MATRICER 3 a= a 11 a 21. a m1 hvor vi imidlertid af typografiske grunde ofte vil skrive søjlevektoren på formen(a 11,a 21,,a m1 ). På tilsvarende måde vil man tit tolke en enkelt række i en matrix som en vektor (rækkevektor), og den vil da skrives for eksempel som v= ( a 21 a 22 a 2n ), hvis det er 2. række i en matrix A med n søjler. Bemærk forskellen i skrivemåde på en rækkevektor og en søjlevektor, når de begge skrives horisontalt. 2.3 Regning med matricer Vi er nu klar til at beskrive, hvorledes man kan regne med matricer, idet vi vil indføre multiplikation af en matrix med et tal, addition af matricer af ens type, samt multiplikation af to matricer A mn og B np. Multiplikation af matrix med et tal En vilkårlig m n matrix A kan multipliceres med et vilkårligt reelt eller komplekst tal k. Resultatet er en ny m n matrix, som fremkommer ved, at alle A s elementer multipliceres med k. Produktet skrives ka Eksempel 2.1. Med A givet som A= A= A= A= fås
16 4 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING Addition af matricer Ved summen A + B af to m n matricer forstås den m n matrix, der fremkommer ved at tilsvarende elementer i A og B adderes. Kun matricer af samme type kan adderes. Efter at have indført addition af matricer fremkommer subtraktion på følgende måde: A B = A +( 1)B. Dette betyder, at man blot trækker tilsvarende elementer fra hinanden. Som for addition gælder derfor ligeledes, at man kun kan trække matricer af samme type fra hinanden. Eksempel 2.2. Med A og B givet som A= B= fås A+B= A B= Som den sidste regningsart vil vi endelig se på matrix-matrix multiplikation. Mens man adderer to matricer ved at addere tilsvarende elementer, så defineres multiplikation ikke ved en multiplikation af tilsvarende elementer. Årsagen hertil er, at det viser sig, at der ikke ville komme noget særlig brugbart ud af en sådan definition. Vi tager i stedet udgangspunkt i, hvorledes man på en naturlig måde definerer multiplikation af en matrix med en søjlevektor og vender med henblik herpå tilbage til formuleringen af det lineære ligningssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (2.1) a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mn x n = b m
17 2.3. REGNING MED MATRICER 5 Her indfører vi som tidligere betegnelserne A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in x 1 x 2 x=. x n b 1 b 2 b m b=. a m1 a m2 a mn Hvis vi yderligere betegner den i te rækkevektor i A med a i ser vi, at venstre side i den i te ligning i (??) er skalarproduktet b i x. Vi kan derfor skrive ligningssystemet på følgende måde, hvor alle venstresiderne er skrevet som skalarprodukter mellem rækkevektorerne i A og søjlevektoren x. a 1 x=b 1 a 2 x=b 2... (2.2) a m x=b m Det viser sig nu hensigtsmæssigt at definere produktet Ax som den søjlevektor, der udgøres af venstresiden i (??). I så fald kan ligningssystemet skrives enkelt som Ax = b. Vi vil benytte denne definition til generelt at definere Produkt af matrix med søjlevektor Ved produktet Ax mellem en matrix A af typen m n og en søjlevektor x med n elementer forstås den søjlevektor, hvis elementer er skalarprodukterne mellem rækkevektorerne i A og x. Altså a 1 x a 2 x Ax=. x m x Vi bemærker tre ting. Først: Der skrives ikke gangetegn mellem matricen og vektoren. Dernæst: Definitionen tog sit afsæt i et ligningssystem, men er ikke herefter nødvendigvis knyttet til et sådant. Og en sidste ting. For at skalarprodukterne skal kunne udregnes, må vektoren have
18 6 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING præcis så mange elementer som antallet af søjler i matricen. Kun i sådanne tilfælde defineres produktet. Eksempel 2.3. Med A og x givet som A= x= fås: Ax= = 1 2+( 3) 0+4 ( 1) ( 1) ( 3) 0+4 ( 1)+2 4 = Definitionen af produktet mellem en matrix A af typen m n og en vektor, som vi her vil betegne b, indebærer dels, at vektoren skal have n elementer, og dels, at resultatet bliver en vektor med m elementer. Når vi nu skal definere produktet mellem to matricer A og B, så vil vi gøre dette ved se på de enkelte søjler i B og danne produkterne mellem A og disse søjler. Vi kalder de r søjler i B for b 1,b 2,,b r b 1 b 2 b r b 11 b 12 b 1r b 21 b 22 b 2r b n1 b n2 b nr Vi definerer nu produktet mellem A og B som den matrix, der som søjler har Ab 1, Ab 2,..., Ab r. Altså:
19 2.3. REGNING MED MATRICER 7 Multiplikation af matricer Ved produktet AB af en matrix A af typen m n og en matrix B af typen n r, forstås den matrix, der som søjler har produkterne af A og de enkelte søjler i B. Dette betyder, at elementet (AB) i j på pladsen (i, j) i produktmatricen kan findes som skalarproduktet mellem den i te række i A og den j te søjle i B (såkaldt række-søjle multiplikation). Eksempel 2.4. Med A 43 og B 32 givet som A= B= fås Ab 1 = = 1 ( 2)+( 3) ( 2) ( 2)+( 3) ( 2)+1 0+( 2) 1 = Ab 2 = = 1 1+( 3) ( 3) ( 2) 0 = Produktet af A og B er den matrix, hvis søjler er de to udregnede vektorer AB=
20 8 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING Antallet af søjler i A skal passe med antallet af rækker i B. Vi har tidligere indført nul-matricerne 0 som de matricer, der udelukkende betår af 0 er, samt enhedsmatricerne I som de kvadratiske matricer, der har 1-taller i diagonalen og 0 er udenfor. Det overlades til læseren at gennemtænke, at hvis man ganger en matrix med en nul-matrix, så får man en nul-matrix, og hvis man ganger en matrix A med en enhedsmatrix, så får man igen A. En enhedsmatrix har derfor samme rolle vedrørende multiplikation, som tallet 1 har inden for de reelle og komplekse tal. Som flere gange fremhævet kan man kun danne produktet AB af to matricer, for hvilke søjleantallet i den første matrix er lig rækkeantallet i den anden matrix. Matricerne skal altså være af typen (m,n) og (n,r) henholdsvis. Resultatet bliver en matrix af typen (m,r). Der rejser sig nu spørgsmålet om, hvilke regneregler, der gælder for matrixmultiplikation. Man kan vise sætningen Sætning 2.1 (Regneregler for multiplikation af matricer). 1. Matrixmultiplikation er associativ, dvs. (AB)C = A(BC) 2. Matrixoperationer er distributive, dvs. A(B+C)=AB+AC og(a+b)c=ac+bc 3. Matrixmultiplikation er ikke kommutativ, dvs. almindeligvis gælder: AB BA (hvis overhovedet begge produkter eksisterer). De to første af disse regler kendes fra multiplikation i såvel de reelle tal R som komplekse tal C. Men: mens også den kommutative lov gælder for tal i R og C, så gælder den ikke for matrixmultiplikation, hvilket illustreres i eksemplet nedenfor. Dette medfører, at man ved regning
21 2.3. REGNING MED MATRICER 9 med matricer ikke kan overføre samtlige kendte regler for multiplikation. Specielt fremhæves følgende, hvor det forudsættes, at matricerne er af sådan type, at regningerne kan gennemføres: En kvadratisk matrix A kan ganges med sig selv. Produktet kaldes A 2. Tilsvarende skrives: AA A=A n, hvis der er n faktorer i produktet. (A+B) 2 =(A+B)(A+B)=A 2 + B 2 + AB+BA (A+B)(A B)=A 2 B 2 AB+BA Kan ikke reduceres yderligere. Kan ikke reduceres yderligere. Eksempel 2.5. Med A og B givet som A= ( ) ( ) A ( 3) 2 1 ( 3)+( 3) 5 = ( 3)+5 5 ( ) 1 ( 2)+( 3) ( 1) 1 2+( 3) 4 AB= 2 ( 2)+5 ( 1) ( ) ( 3)+2 5 BA= ( 1) ( 1) ( 3)+4 5 B= ( 2 ) ( ) 5 18 = ( ) 1 10 = 9 24 ( ) 2 16 = 7 23 fås
22 10 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING 2.4 Determinant Der findes for kvadratiske matricer et mål for hvorvidt matricens rækker (eller søjler) er lineært uafhængige. Dette mål kaldes determinanten for en (kvadratisk) matrix, og betegnes det(a), eller A. Hvis matricens tal er reelle tal, bliver determinanten et reelt tal. Hvis matricens tal er komplekse tal, bliver determinanten et komplekst tal. Eksempel 2.6. For en 2 2 matrix ( a11 a A= 12 a 21 a 22 er ) A =a 11 a 22 a 21 a 12 For 3 3 matricer, 4 4 matricer, osv, bliver formlen for determinanten som funktion af matricens indgange lidt mere kompliceret. Determinantværdien sammenæng rangen for en kvadratisk matrix er beskrevet i følgende sætning: Sætning 2.2. Lad A være en kvadratisk matrix. Der gælder da: det(a) 0 hvis og kun hvis A rang ρ(a)=n det(a)=0 hvis og kun hvis A rang ρ(a)<n
23 2.5. INVERS MATRIX 11 Eksempel 2.7. MAPLE kan finde determinanter af kvadratiske matricer. Med biblioteket LinearAlgebra indlæst, er kommandoendeterminant: A := Determinant(A); Matricen i eksemplet her har alså rang Invers matrix Vi har allerede set at man kan lægge matricer sammen med matricer og gange matricer med matricer. Spørgsmålet melder sig om man kan dividere med matricer? Svaret er at det kan man, under visse omstændigheder. Division er en slags omvendt multiplikation. For et reelt (eller komplekst) tal a forskelligt fra nul, taler vi om det inverse tal 1/a, fordi(1/a) a=1. Vi vil i dette afsnit kun beskæftige os med kvadratiske matricer. For en sådan matrix A defineres den inverse matrix som den matrix A 1, der, ganget med A giver enhedsmatricen I (en matrix med 1-taller i diagonalen og nuller uden for denne), dvs: A 1 A=I (2.3) Her rejser sig straks tre spørgsmål: 1) Gælder det også, at AA 1 = I? 2) Er matricen A 1 entydigt bestemt? ( dvs. er der højst Én matrix, der opfylder (??)? ) 3) Har enhver kvadratisk matrix en invers matrix? Svaret er på de to første spørgsmål bekræftende, men på det tredie benægtende. Idet vi betegner den inverse matrix til A med A 1 gælder der således A 1 A=AA 1 = I (2.4) Mens vi vil afstå fra at bevise dette, vil vi gennemføre et bevis for entydigheden i spm. 2 (og venter lidt med beviset for spm. 3). Vi beviser entydigheden ved at antage, at der findes to inverse
24 12 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING matricer B og C til A, hvorefter vi viser, at så må der gælde: B=C. Vi antager altså, at der om B og C gælder BA=AB=I og CA=AC=I Ved at gange fra højre med C på begge sider i ligningen BA=I fås (BA)C=IC=C og da den associative lov altid gælder (se sætning 3.1) fås B(AC)=C og dermed (idet AC=I) B=C Vi skal nu se på, hvilke krav der skal stilles til en kvadratisk matrix A af n te orden, for at den har en invers matrix, og vi vil i det følgende benævne de matricer, for hvilke en sådan eksisterer, som invertible (eller nonsingulære eller regulære). Vi danner først et lineært ligningssystem, idet vi benytter A som koefficientmatrix og som højre side vælger en vilkårlig søjlevektor b med n elementer. Ligningssystemet skrives som tidligere på formen Ax=b (2.5) Hvis A er invertibel, kan vi ved at gange på begge sider af ligningen med A 1 få et explicit udtryk for x. x=a 1 b (2.6) og der findes altså i dette tilfælde netop 1 løsning. Vi erindrer fra sætning 2.4 i kapitel 2, at dette er ensbetydende med, at rangen ρ(a)=n, altså at matricen har, hvad vi kalder fuld rang (størst mulig rang). Der gælder derfor, at de matricer, der er invertible, har fuld rang. Omvendt kan man vise, at de kvadratiske matricer, der har fuld rang, også er invertible. Vi formulerer denne sammenhæng i følgende Sætning 2.3. Den inverse matrix A 1 til en n n matrix A eksisterer, hvis og kun hvis rangen ρ(a)=n. Matricen A er således invertibel (nonsingulær), netop når det(a) 0. Matricen A er ikke-invertibel (dvs den er singulær), netop når det(a)=0.
25 2.6. TRANSPONERET MATRIX 13 Før vi afslutter dette afsnit skal vi angive nogle enkelte, vigtige egenskaber ved invertible matricer. Vi vil ikke vise disse - beviserne forløber dog ganske smertefrit, og det overlades til læseren selv at bevise udvalgte dele - men sammenfatter egenskaberne i følgende Nogle egenskaber ved invertible matricer. Lad A og B være n n matricer og k et reelt tal. Der gælder da 1. A invertibel (A 1 ) 1 = A 2. A invertibel (ka) 1 = 1 k A 1 3. Hvis A er invertibel, så vil: AB=0 B=0 4. Hvis A og B er invertible, så gælder der: (AB) 1 = B 1 A 1 (bemærk rækkefølgen). Den opmærksomme læser vil have bemærket, at man ikke indfører en notation for division mellem matricer. Hvis den kommutative lov havde været gyldig, så havde man kunnet skrive produktet A 1 B som B divideret med A. Men en sådan skrivemåde fortæller jo ikke, om A 1 skal ganges på B fra venstre eller fra højre. Og man får - grundet den manglende kommutativitet - almindeligvis ikke det samme. 2.6 Transponeret matrix Vi har brug for endnu en matrix dannet ud fra A, nemlig den transponerede matrix, betegnet A T. Det er den matrix, der fås, når man ombytter søjler og rækker i A, eksempelvis A= A T = En m n matrix transponeres til en n m matrix. Da en søjlevektor kan opfattes som en m 1 matrix, bliver denne ved transponering til en rækkevektor - og omvendt 2 3 b= 4 1 bt = ( ) og c= ( ) c T = Det kan vises, at der gælder følgende vedrørende transponering af matricer, idet vi antager, at A og B har sådanne størrelser, at matrixoperationerne er mulige
26 14 CHAPTER 2. MODULPAKKE 3: MATRIXREGNING Regler vedrørende transponering 1. (A T ) T = A 2. (A+B) T = A T + B T 3. (AB) T = B T A T Bemærk rækkefølgen 4. (A 1 ) T =(A T ) 1
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereUndervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereMatematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereIndhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereLineære ligningssystemer
Lineære ligningssystemer Olav Geil Januar 000 Eksempel 1 Ligningssystemet 1) kan også skrives Matricen kaldes for koefficientmatricen for ligningssystemet 1) Ligningssystemet 1) er fuldstændig beskrevet
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereUdeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6
Udeladelse af én observation Note til kapitlerne 4, 5 og 6 I de følgende resultater 1-10 bevises en række resultater, der alle vedrører udeladelse af én observation. Derved bevises og uddybes en række
Læs mereCarl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen
Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mere