Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Transkript

1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider (4 hvis kvittering ønskes) i 1.dels-administrationen senest torsdag den 20. september kl NB: En sådan besvarelse tæller 5% med i den skriftlige eksamenskarakter, men kun hvis den er bedre løst end eksamenssættet! Lineære Ligningssystemer og Velstillethed Som nævnt i Forelæsningsnote 4, er der for lineære ligningssystemer med m ligninger og n ubekendte følgende muligheder for antallet af løsninger: 0 eller mange, hvis m < n, og 0, 1 eller mange, hvis m n. Hvis ligningssystemet beskriver et virkeligt fænomen korrekt, vil systemet dog altid have mindst én løsning, idet fænomenet jo eksisterer! Og hvis der er mange løsninger, er det som regel, fordi man mangler at specificere hvilken af løsningerne man er interesseret i. Eksempel En partikel bevæger sig gennem rummet R 3, og dens koordinater (x 1, x 2, x 3 ) er beskrevet ved ligningerne 2x 1 2x 2 + 6x 3 = 10 4x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 Vi er dog især interesseret i, hvor tæt partiklen kommer på Origo, dvs. (0, 0, 0), og derfor må vi også specificere dette for at udelukke de andre løsninger til det matematiske problem: Find den løsning x til ligningssystemet 2x 1 2x 2 + 6x 3 = 10 4x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 der har minimal Euklidisk længde og angiv dens længde. Spørgsmål 1 Løs ovenstående matematiske problem. Tip: Find løsningerne x til ligningssystemet og minimér x 2.

2 Lad os nu se på de matematiske problemer, der har netop een løsning, og hvor løsningen udelukkende er beskrevet via et lineært ligningssystem. Som nævnt i indledningen, må sådanne ligningssystemer have mindst ligeså mange ligninger m som ubekendte n, og her er et eksempel på et sådant system med netop een løsning: A x = b, hvor A = og b = Løsningen x = (1.1, 0.25) opfylder systemets tre ligninger, men hvis vi blot ændrer eet af tallene i de givne A eller b uendelig lidt, vil der ikke længere være nogen løsning til 3 2 systemet! Dette er et fænomen, der ses for alle m n systemer med m > n: Ifølge Forelæsningsnote 4 har et ligningssystem A x = b med m n matricen A netop een løsning, hvis og kun hvis d A = n = d. Hvis man har et sådant system, hvor m er større end n, vil visse uendeligt små ændringer af elementerne i A eller b dog bevirke, at trappematricen for den nye totalmatrix får d A = n < d, og dermed en tom løsningsmængde. At løsningsmængden sådan kan forsvinde er et problem, hvis man vil benytte en computer til løsning af ligningssystemet, idet de fleste reelle tal kun repræsenteres med en vis nøjagtighed på maskinen, så elementerne i A og b repræsenteres altså sjældent eksakt(!), medmindre de er heltallige. Det, at løse et lineært ligningssystem med flere ligninger end ubekendte, er altså et dårligt stillet problem: Et matematisk problem siges at være velstillet (eng.: well posed), hvis og kun hvis 1) der eksisterer netop én løsning til problemet, og 2) hvis de data, der er givet i problemet, varieres tilstrækkelig lidt, vil løsningen blot variere som en kontinuert funktion af disse data. Et ikke velstillet problem siges at være dårligt stillet (eng.: ill posed). Spørgsmål 2 a) Vis, at det reelle tal 4.55 ikke kan repræsenteres ved endeligt mange bit. Tips: For alle tal a med a < 1 gælder, at i=0 a i = 1. Vis, at dette 1 a betyder, at 4.55 er ( ) i=0 (2 4 ) i, og konkludér det ønskede.

3 b) Begrund, at m = n = d A skal være opfyldt, for at problemet 3 Givet A og b. Løs A x = b, er velstillet, når A er en m n matrix. Approksimativ løsning af A x = b, A m n, m > n. Som dataloger vil vi ofte være interesserede i at vurdere køretiden af visse programmer. Lad os f.eks. se på Maple s LinearSolve-rutine. Det er klart, at den tid, som kaldet LinearSolve(A, b) tager, afhænger meget af hvor stor n n matricen A er, og lidt mindre af hvilke elementer, der er i A og b. Derfor starter vi med at måle køretiden for matricer, hvor n er hhv. 10, 20, 30, osv., idet vi for hvert n tager gennemsnittet af køretiden for fire forskellige (A, b)-par: with(linearalgebra): tider:=vector(1..10): for i from 1 to 10 do n:=10*i: tid:=0: for j from 1 to 4 do A:=RandomMatrix(n, n): b:=randomvector(n): tid:=tid + time(linearsolve(a,b)): end do: tider[i]:= tid/4: end do: Efter et lille minuts ventetid har vi så nogle køretider, som vi ønsker at se nærmere på. Vi skriver with(plots): listplot(tider, style=point); og får flg. plot over køretiderne: 3,6 3,2 2,8 2,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4 0,0 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8 9,6

4 Fra TØ-Opgave 8, der gennemgås ved næste uges øvelser, ved vi, at køretiden må forventes at ligne et 3.grads-polynomium i n, så vi vil prøve at finde koefficienter x 1, x 2, x 3, x 4, så 4 for n = 10, 20,..., 100. x 1 + x 2 n + x 3 n 2 + x 4 n 3 = tider[iquo(n, 10)] Vi bemærker, at vi her har 10 lineære ligninger med 4 ubekendte, dvs. et ligningssystem på formen A x = b, hvor A er Desværre er der ingen løsninger, så det at løse ligningssystemet er altså et dårligt stillet problem. Vi kan gøre problemet velstillet ved kun at løse 4 af de 10 ligninger, men så vil grafen for polynomiet sikkert ikke fitte punkterne til de andre køretider særlig godt. Derfor er det bedre at beholde alle ligningerne, og så kun kræve dem opfyldt approksimativt (dvs. tilnærmelsesvis) af løsningen. Det, at A x = b ingen løsninger har, kan illustreres på følgende måde. Lad span(a) være mængden af alle de vektorer, der kan skrives som A gange et eller andet x, dvs. som en linearkombination af A s søjlevektorer. Når vi ingen løsning har, er det fordi, at højreside-vektoren b ikke ligger i denne mængde: b span(a) 0 Ax* Som antydet på figuren, kan b altså ikke skrives som A x, men ved at projicere b ned på span(a) finder vi en vektor, der kan skrives som A gange en vektor x, og vi kan så benytte x som vores approksimative løsning, idet A x b.

5 Spørgsmål 3 a) Lad A være en vilkårlig m n matrix. Vis, at hvis den har en søjlevektor, der kan skrives som en linearkombination af de andre søjlevektorer, kan man fjerne denne søjlevektor uden at span(a)-mængden ændres. 5 b) Antag, at man har fjernet alle de søjlevektorer i A, der kunne skrives som en linearkombination af de andre. De tilbageblevne søjlevektorer siges nu at være lineært uafhængige, og man kan vise (I skal ikke), at så eksisterer følgende matrix: P = ( A H A ) 1 A H, hvor A H betegner den Hermite-transponerede af A, dvs. matricen fremkommet ved at transponere A og konjugere elementerne (hvis de er komplekse). b1) Vis, at for x = P b vil A x ligge i span(a). Tip: Hvad er span(a)? b2) Vis, at for alle v span(a) gælder der, at vektoren b AP b står ortogonalt på v. Tips: På side 27 i NVP bør der stå, at x y = X H Y, og vi skal udnytte, at A H A P = A H. b3) Beregn den approksimative løsning x = P b for køretids-eksemplet (de 4 søjlevektorer er lineært uafhængige), og tegn polynomiets graf.