Poul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Poul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k"

Transkript

1 Dagens program: Likelihoodfunktion, begreber : Mandag den 4. februar Den generelle lineære model score-funktion: første afledede af log-likelihood har middelværdien nul observeret information: anden afledede af log-likelihood (krumning) forventet information: middelværdien af den observerede information g det er netop dispersionsmatricen for scorefunktionen Kort om likelihoodfunktion Flerdimensional normalfordeling Generel lineær model Estimation, fordeling af residualer mv Test for modelreduktion Successiv testning Eksempel, hjerneblodgennemstrømning hos malere 3 Likelihoodfunktion : Likelihoodfunktion, transformation af parametre : Kommer fra udtrykket for sandsynlighedstætheden Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k Sandsynlighedstætheden beskriver en hyppighedsfordeling af observationer - for en forelagt værdi af parameteren likelihoodfunktionen er en funktion af parameteren - for forelagte værdier af observationerne likelihoodfunktionen beskriver parameterusikkerhed, nemlig grad af overensstemmelse mellem data og parameter. Da er scorefunktionen (mht β) l β(β; y) =J T l θ(θ(β); y) (2.) hvor J = θ β med elementer J ij = θ i i =,2,...,k; j =,2,...,m β j og den forventede information er [ ] 2 i β (β) = E l(θ(β); Y) = J T i β βt θ (θ(β)) J (2.2) 2 4

2 Normalfordeling : Generel lineær model: f(y; µ,σ 2 )= [ ] ( 2π) k σ k det(σ) exp 2σ (y 2 µ) Σ (y µ) for y R k (3.4) δ Σ (y, y 2 )=y Σ y 2 (3.5) et indre produkt på R k. Tilsvarende ortogonalitetsbegreb (svarende til at det indre produkt er nul), og en norm (defineret ved y Σ = δ(y, y). Med notationen D(y; µ) = y µ 2 Σ=(y µ) Σ (y µ) (3.6) bliver tæthedsfunktionen [ ] f(y; µ,σ 2 )= ( 2π) k σ k det(σ) exp D(y; µ) (3.7) 2σ2 Model (koordinatfri): H 0 : µ L, et lineært (affint) m-dimensionalt underrum af R k (egentlig µ µ 0 L Parametriseret (i koordinater): H 0 : µ(β) =Xβ Søjlerne i X udspænder underrummet L (et lokalt koordinatsystem). β angiver punkternes lokale koordinater. Utallige ækvivalente parametriske fremstillinger af en given model. 5 7 Normalfordeling, scorefunktion og information : Eksempel, sædvanlig endimensional regression: log-likelihood l µ (µ,σ 2 ;y)= (k/2) log(σ 2 ) 2σ (y 2 µ) Σ (y µ) (3.8) Scorefunktion (m.h.t. µ) µ l µ(µ,σ 2 ;y)= [ Σ y Σ µ ] = (y µ) (3.9) σ 2 σ 2Σ bserveret information (m.h.t. µ) Ramushøjder, afsnit 3.5 Alder (år) Højde (mm) x i y i afhænger ikke af observationerne y, hvorfor den forventede information er i(µ) = σ 2Σ. j(µ; y) = σ 2Σ. (3.0) 6 8

3 Eksempel, sædvanlig endimensional regression: Generel lineær model, estimation under model: Model: dvs E[Y ] = β 0 + β x i µ = β 0 + β x µ 2 = β 0 + β x 2 µ 3 = β 0 + β x 3 µ 4 = β 0 + β x 4 µ = Xβ Koordinatfrit: maksimum-likelihood estimatet µ for sættet af middelværdier fås ved at minimere D(y; µ), dvs som den ortogonale (m.h.t δ Σ ) projektion, p L (y) af punktet y ned på det lineære underrum, L. Parametrisk: Vi bruger (2.) og (3.9) og får scorefunktionen [ ] µ β l β(β,σ 2 ;y)= β µ l µ(µ(β),σ 2 ;y)= σ 2X [ Σ y Σ Xβ ] (3.) hvorfor maksimum-likelihood estimatet for β fås som løsning til normalligningen X Σ y = X Σ X β (3.2) Altså m ligninger med m ubekendte. 9 Eksempel, sædvanlig endimensional regression: Generel lineær model, estimation under model: med X = Hvis X har fuld rang (m), er der en entydig løsning, som bestemmes ved β =(X Σ X) X Σ y (3.6) Hatmatricen H = X[X Σ X] X er projektionsmatricen, der overfører y til de fittede værdier µ (nemlig sætter hat på µ erne). idet nemlig µ = p L (y) =X β=hy Residualerne er r = y X β =(I H)y (3.7) 0 2

4 Generel lineær model, residualer og fittede værdier: Generel lineær model, fordeling af estimatorer:: pspaltning: Normalligningen y = X β + r = Hy +(I H)y X Σ (y X β) =0 (3.9) viser, at residualerne r =(y X β)er ortogonale (mht Σ )på underrummet, L, udspændt af X Bruges ved test af enkelte parameterværdier E[ β] = β (3.2) D [ β] = σ 2 (X Σ X) (3.22) D [X β] =σ 2 X[X Σ X] X =σ 2 H rang (frihedsgrader) k m. D[r]=σ 2 (I H) Bruges til at standardisere residualer 3 5 Generel lineær model, opspaltning :: Generel lineær model, estimation af σ 2 :: D(y; 0) = D(y;X β)+d(x β;0) (3.20) = (y X β) Σ (y X β)+(x β) Σ (X β) σ 2 estimeres ved s 2 = r Σ r/(k m) (3.24) x som er uafhængig af µ x x-p(x) P(x) P(x) L 4 6

5 beta 2 P (y) P (y) P2(y) P2(y) y P (y) P(y) P2(y) Y P(y) y P(y) beta Generel lineær model, test af delhypotese: Partielt test, type III opspaltning: Delhypotese: µ L 2 L Antag at H i gælder. Vi vil nu undersøge H i+ H i x x-p(x) Kvotienttestet for H i+ under antagelse af at H i kan opretholdes har teststørrelsen F (y) = D( µ; µ)/(m m 2 ) s 2, (3.33) x-p2(x) P(x) P(x)-P2(x) hvor µ angiver de fittede værdier under H i og µ angiver de fittede værdier under H i+ og s 2 angiver residualvariansen under H i. L2 P2(x) L Testet kaldes det partielle kvotienttest - eller et Type III test. Testet korrigerer for alle de effekter, der er i modellen på det pågældende trin. 7 9 Generel lineær model, kvotienttest af delhypotese:: Successiv testning i hypotesekæde: [ D(y;p 2 (y)) q 2 (y) = D(y; p (y)) + D(p (y); p 2 (y)) k/2 = + D(p (y); p 2 (y)) = D(y; p (y)) ] k/2 + m m 2 k m F k/2 R L M... L 2 L L 0 R k, (3.32) Type I opspaltning udtrykker successice projektioner ned gennem kæden af underrum. Størrelsen af leddene i Type I opspaltningen kan afhænge af rækkefølgen i modelformlen beta 2 P (y) y P (y) Kvotienttestet fører således til F-teststørrelsen F = D(p (y); p 2 (y))/(m m 2 ) D(y; p (y))/(k m ) der følger en F(m m 2,k m )-fordeling (eksakt resultat) P (y) P2(y) P2(y) P(y) P2(y) Y P(y) y P(y) beta 8 20

6 Successiv testning i hypotesekæde: Type III opspaltning svarer til at man fjerner et led - og vurderer reduktionen i model SSQ ved at fjerne det så smider man det ind igen, og fjerner et af de andre. Type III opspaltningen afhænger ikke af rækkefølgen i modelformlen. I praksis tager man udgangspunkt i en type III opspaltning og fjerner mindst betydende - og mest komplicerede led. derefter reestimeres - og reduceres Indskud om multikollinearitet: Det kan ske, at to eller flere af de forklarende variable følges ad (er næsten lineært afhængige). Konsekvenser af dette er, at modellen er signifikant, men estimaterne for de enkelte koefficienter har stor varians (X X er næsten singulær). Desuden er fortolkningen af de enkelte koefficienter højst tvivlsom. Diagnostikker for multikollinearitet udskrives sammen med estimaterne: TL i = Ri 2 hvor Ri 2 er den multiple determinationskoefficient fra regressionen af den i te forklarende variable på de øvrige. Lille TL er tegn på multikollinearitet. V[ β i /TL i VIF i =/T L i Hvis VIF i > 0 grund til bekymring 2 23 Diagnostikker: Eksempel, Blodgennemstrømningsindeks hos malere: versigt over diagnostiske størrelser samt parametriseringer i notens afsnit 3.9. til Eksempel på Brug af forklarende regressionsvariabel til korrektion for forskelle i populationer (Kovariansanalyse) Brug af modelformler Forskel på typei og type III opspaltning 22 24

7 Eksempel, Blodgennemstrømningsindeks hos malere: Først tegnes boxplot for ISI for de to grupper Ikke stærke tegn på forskel Så proves t-test for to uafhængige stikprøver ved brug af FIT-menuen Tegn ISI mod alder, marker de to grupper hver for sig Indikation af sammenhæng mellem ISI og alder Korriger for alderseffekten ved stor model: ISI = RG ALDER RG ALDER To rette linier Test for reduktion af model til to parallelle linier: ISI = RG ALDER Nu er effekten af brugen af opløsningsmidler signifikant. 25

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Module 9: Residualanalyse

Module 9: Residualanalyse Mathematical Statistics ST6: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 9: Residualanalyse 9 Rå residualer 92 Standardiserede residualer 3 93 Ensidig variansanalyse 4 94 Studentiserede residualer

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.

Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ. Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22 Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Vi sætter. (Signal støj- forhold) Poul Thyregod, 25. april Specialkursus vid.stat. foraar Lad Y i angiver observationer fra i te udtagne balle.

Vi sætter. (Signal støj- forhold) Poul Thyregod, 25. april Specialkursus vid.stat. foraar Lad Y i angiver observationer fra i te udtagne balle. Modellens parametre Mandag den 25 april Hierarkiske normalfordelingsmodeller Dagens program: Resume af ensidet variansanalysemodel med tilfældig effekt estimation af tilfældige effekter, fortolkning som

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Dagens program: Andel døde musefostre som fkt af indgivet konc.: Eksponentielle familier af fordelinger: Toxitetsvurdering for kølevæske:

Dagens program: Andel døde musefostre som fkt af indgivet konc.: Eksponentielle familier af fordelinger: Toxitetsvurdering for kølevæske: Dagens program: Mandag den 8. februar Generaliserede lineære modeller Motiverende eksempel, logistisk regression Eksponentielle dispersionsfamilier Generaliseret lineær model Estimation, fordeling af residualer

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Modul 12: Regression og korrelation

Modul 12: Regression og korrelation Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder

Læs mere

Lagrange multiplier test. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet. Konsekvenser af Heteroskedasticitet

Lagrange multiplier test. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet. Konsekvenser af Heteroskedasticitet Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet Antag vi har model: y = β 0 + β 1 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Noter til Specialkursus i videregående statistik

Noter til Specialkursus i videregående statistik Noter til Specialkursus i videregående statistik Poul Thyregod IMM, februar 2005 Indhold Forord 6 1 Momenter og flerdimensionale stokastiske variable 7 1.0 Indledning............................. 7 1.1

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Den lineære normale model

Den lineære normale model Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af

Læs mere

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006 Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W

Læs mere

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 34 Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Antag vi har model: Vi ønsker at teste hypotesen y = β 0 + β 1 x

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,

Læs mere

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........

Læs mere

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS

Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS Jens Ledet Jensen October 31, 2005 1 Indledning Som vist i Notat 1 afsnit 13 er 2 log Q for et test i en multinomialmodel ækvivalent med et test i en poissonmodel.

Læs mere

Modul 11: Simpel lineær regression

Modul 11: Simpel lineær regression Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder Heteroskedasticitet 11. april 007 KM: F18 1 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-): Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Gyldige test

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)

Læs mere

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006 Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Multipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression

Multipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Multipel Linear Regression Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Test for en eller alle parametre I jagten på en god statistisk model har vi set på følgende to hypoteser og tilhørende

Læs mere

Module 3: Statistiske modeller

Module 3: Statistiske modeller Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med

Læs mere

Økonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1

Økonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1 Økonometri 1 Dummyvariabler 13. oktober 2006 Økonometri 1: F10 1 Dagens program Dummyvariabler i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.3-7.6) Dummy variabler for kvalitative egenskaber med flere

Læs mere

Statistiske principper

Statistiske principper Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Modul 6: Regression og kalibrering

Modul 6: Regression og kalibrering Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

To samhørende variable

To samhørende variable To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Multipel Lineær Regression

Multipel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

1 Multipel lineær regression

1 Multipel lineær regression Indhold 1 Multipel lineær regression 2 1.1 Regression med 2 eksponeringsvariable......................... 2 1.2 Fortolkning og estimation................................ 3 1.3 AnovaTabel og multipel R

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

1 Multipel lineær regression

1 Multipel lineær regression 1 Multipel lineær regression Regression med 2 eksponeringsvariable Fortolkning og estimation AnovaTabel og multipel R 2 Ensidet variansanalyse: Dummy kodning Kovariansanalyse og effektmodifikation Tosidet

Læs mere

β = SDD xt SSD t σ 2 s 2 02 = SSD 02 f 02 i=1

β = SDD xt SSD t σ 2 s 2 02 = SSD 02 f 02 i=1 Lineær regression Lad x 1,..., x n være udfald af stokastiske variable X 1,..., X n og betragt modellen M 2 : X i N(α + βt i, σ 2 ) hvor t i, i = 1,..., n, er kendte tal. Konkret analyseres (en del af)

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Specifikation og dataproblemer 2. maj 2007 KM2: F22 1 Program Specifikation og dataproblemer, fortsat (Wooldridge kap. 9): Betydning af målefejl Dataudvælgelse: Manglende observationer

Læs mere

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005 Hierarkiske generaliserede lineære modeller Lee og Nelder, Biometrika (21) 88, pp 987-16 Dagens program: Mandag den 2. maj Hierarkiske generaliserede lineære modeller - Afslutning Hierarkisk generaliseret

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve

Læs mere

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt

Læs mere