Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Transkript

1 Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige måder. Pricippet ka udstrækkes til at omhadle edelige mage mægder. Eksempel.. Ved kofiguratio af e computer ka der vælges mellem 3 skærmtyper, 6 harddiske, 5 størrelser RAM og CPU-fabrikater. I alt ka computere kofigureres på forskellige måder. Eksempel.. E tipskupo ka udfyldes på forskellige måder.. Permutatioer E ordig af e mægde betyder e opstillig af elemetere i e bestemt rækkefølge eller blot e ummerig af elemetere. k elemeter fra e -mægde ka i hehold til multiplikatiospricippet udvælges og ummeres på k... k + forskellige måder. For... beytter vi skrivemåde!, hvorefter k! k! Kovetio: Såvel som! sættes til. Eksempel.3. Bladt asøgere til e stillig skal 3 udvælges og prioriteres. Dette ka gøres på 3 7 forskellige måder. Eksempel.. persoer ka stilles op på! forskellige måder på e række, me ku!! forskellige måder i e cirkel. E afbildig af mægde {,..., } på sig selv kaldes e permutatio. Mægde af permutatioer S udgør e gruppe, de såkaldte symmetriske gruppe af te orde. S, har præcis! elemeter. Fra mægde af forskellige ordiger af e -mægde ka der defieres e bijektiv afbildig på S. Vi siger derfor, at e -mægdes elemeter ka permuteres på! forskellige måder. E bestemt rækkefølge ummererig af -mægdes elemeter kaldes e permutatio af elemetere.

2 Eksempel.5. Elemetere i {α, β, γ} ka permuteres på 3! 6 forskellige måder: α, β, γ, β, γ, α, γ, α, β er lige permutatioer * α, γ, β, β, α, γ, γ, β, α er ulige permutatioer * * med α, β, γ,, 3.3 Kombiatioer k elemeter fra e -mægde ka udvælges ude hesy til rækkefølge på k! k k! k! k! forskellige måder. E k-mægde udtaget fra e -mægde ude efterfølgede ordig kaldes e kombiatio. k er altså atallet af forskellige kombiatioer ved udtagig af k elemeter fra e -mægde. Bemærk, at k k, k,...,. Eksempel.6. E bridgehåd ka forekomme på forskellige måder. Eksempel.7. E bridgehåd med to esser ka forekomme på forskellige måder. 8 k Eksempel.8. E bridgehåd med midst to esser ka forekomme på forskellige måder. Alterativ udregig: ka opdeles i de kombiatioer, der ideholder et givet elemet, og de kombiatioer, der ikke ideholder dette elemet, dvs. +, k,..., k k k Et par adre formler: atal forskellige delmægder af e -mægde, k medreget k k j m j k j m + k, specielt j j j 8 E -mægde ka opdeles i m delmægder med hver k i elemeter, m i k i. Dette ka gøres på k, k,..., k m forskellige måder.! k! k!... k m!

3 Eksempel.9. persoer skal opdeles i tre hold, ét på og to på hver 3 deltagere. Atallet af forskellige holdopdeliger, der ka foretages, er,3,3.. Bemærk, at k,k k, hvor k k og dermed k k.. Udtagig af stikprøver k elemeter udtages bladt. Der skeles mellem udtagig med tilbagelægig efter at det udtage elemet er iagttaget og udtagig ude tilbagelægig. Ved udtagig med tilbagelægig har det ekelte elemet altså mulighed for at komme med i stikprøve flere gage. Der skeles også mellem ordede og uordede stikprøver. Atallet af forskellige stikprøver, der ka forekomme afhægig af vilkåree, fremgår af følgede skema: med tilbagelægig ude tilbagelægig med ordig k k ude ordig k +k k Eksempel.. Atal forskellige møstre af øje, der ka forekomme ved kast af tre teriger, er Summer. Sum, kvadratsum og kubiksum af tallee,..., k k k k k k 3 + Bemærk, at k k3 k k.. Differes- og kvotietrækker a + k d a + a, hvor a a og a a + d k Eksempel.. Summe af tallee, 7,,..., 8 er

4 k a q k a q q eller k a q k a q q q Eksempel.. Summe af tallee 3, 9, 7 8, 8 6, 3 3 er Uedelige kvotietrækker og afledte rækker a q a q, q < eller a q q a q, q < E uedelig kvotietrække kaldes også for e geometrisk række. Eksempel.3., Ved ledvis differetiatio mht. til q i a q tilladt! får vi a q a, q <, og ved fortsat differetiatio q a q a, q <, som er ækvivalet med q 3 a + q a, q <. q 3 Eksempel.. k. Biomialformle a k b k a + b k 3 Tallee k, k,...,, kaldes her for biomialkoefficieter. Formle k k + k, k,...,, udgør samme med og 3 3 grudlaget for 6 Pascals trekat Eksempel.5. a b 3 a 3 3a b + 3ab b 3

5 .5 Diverse rækker +, idet kk + k k k k + + er diverget række kaldes de harmoiske række l π 6 α er α { diverget for α koverget for α > er diverget for α betiget koverget for < α absolut koverget for α > for E række a er absolut koverget, år a kovergerer, og betiget koverget, år a kovergerer, og a divergerer. 3 Calculus 3. E græseværdi R : Bemærk, at lim + e l + l + l +. Avedelse af L Hospitals regel på dette udtryk giver l + lim lim hvoraf resultat følger. + lim +, 5

6 3. Potesrækker E potesrække er e fuktio af forme a. E såda række er absolut koverget i et iterval < λ og diverget for > λ. Tallet λ kaldes rækkes kovergesradius. I itervaledepuktere ka række være absolut koverget, betiget koverget eller diverget. Kovergesitervallet ka udarte til puktet, hvor e potesrække altid er koverget, eller til hele de reelle akse. Ved ledvis differetiatio eller ledvis itegratio a t dt fremkommer e y potesrække med samme kovergesradius. Mage velkedte fuktioer ka udvikles i e potesrække. Ved at beytte udvikligspuktet i Taylors formel og ved at medtage uedelige mage led fremkommer de såkaldte Maclaurirækker. Et lille udvalg med tilhørede kovergesiterval følger her: e! ! , < < , < < , < < de geometriske række l + l , < Mercators række , < Ved at udvide defiitioe af biomialkoefficieter til α αα... α +,,,...,! α, for ethvert reelt α, ka vi udtrykke + α i e potesrække: α α α + α + α , < < 3 Når α N bliver atallet af led edeligt jf. biomialformle, og række kovergerer overalt. Potesrækker for bl.a. si, cos, arcsi, arcta, cosh og sih ka også bestemmes. 6

7 3.3 Specielle fuktioer Phifuktioe Φ : R R, Φ π e t dt Bemærk, at : Φ Φ, Φ Φ Φ Specielle værdier: Φ, lim Φ, lim Φ Ved differetiatio: Φ e π Gammafuktioe Γ : R + R, Γ Bemærk, at t e t dt : Γ + Γ Specielle værdier: Γ, Γ!, N Γ π, Γ +!! π, N Betafuktioe B : R + R + R, B, y Bemærk, at t t y dt, y > : B, y Γ Γy Γ + y 7

8 3. Jacobidetermiater Betragt F : D R m, hvor F f,..., f m C D, D R De partielle afledede f i j, i,..., m, j,...,, ka aturligt arrageres i e m matri, de såkaldte Jacobimatri. Når m, bliver Jacobimatrice kvadratisk. De tilhørede determiat kaldes Jacobidetermiate og oteres J,..., eller f,...,f,...,. Vi har altså J,..., f.... f... f. f Når F er eetydig, ka e ivers afbildig F bestemmes. Edvidere år J,...,, gælder om Jacobidetermiatere for F og F, at J F y,..., y eller med de alterative skrivemåde y,..., y,...,,..., y,..., y.. J F,...,, y i f i i,...,, i,..., Eksempel 3.. Skift fra rektagulære til polære koordiater. F : R {, } R, r, θ + y, arcta y J, y +y y +y y +y +y y + + y 3 + y 3 * + y Iverst koordiatskifte: F : ]; [ [; π[ R,, y r cos θ, r si θ Jr, θ cos θ si θ r si θ r cos θ r cos θ + r si θ r Kotrol : J, y Jr, θ r +y r r Eksempel 3.. Skift fra rektagulære til sfæriske koordiater. F : R 3 {,, z z R} R 3, ρ, ϕ, θ + y + z, arccos z + y + z, arcta y * * Betegelse arcta dækker over flere fuktiosgree. Fortegskombiatioe af og y bestemmer, hvilke gre der beyttes. 8

9 Her er det regetekisk det ekleste først at bestemme Jacobidetermiate hørede til det iverse koordiatskifte: F : ]; [ ]; π[ [; π[ R 3,, y, z ρ si ϕ cos θ, ρ si ϕ si θ, ρ cos ϕ si ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ ρ si ϕ si θ Jρ, ϕ, θ si ϕ si θ ρ cos ϕ si θ ρ si ϕ cos θ cos ϕ ρ si ϕ... ρ si ϕ J, y, z Jρ, ϕ, θ ρ si ϕ... + y + y + z Eksempel 3.3. Betragt de lieære trasformatio F : R R, F A. Idet fi j a ij, i,, j,..., m, har vi umiddelbart J det A. 3.5 Variabelskift i pla- og rumitegraler Plaitegraler Betragt D f, y da samt G g, g : D R, u, v g, y, g, y, hvor G er eetydig. Der gælder f, y da f G u, v J G u, v da. D GD Bemærk, at det er de umeriske værdi af Jacobidetermiate hørede til de iverse afbildig, som idgår i formle. Eksempel 3.. e d π π π π e d π π π [ e r e +y d dy e r r dr dθ ] Eksempel 3.5. Iertimometet mht., af et plat område D med desitet beligggede i første kvadrat mellem hyperblere y, y 3, y og y. I + y da D 9 π e y dy

10 Sæt u y og v y, hvorefter J, y y y y + y. Bemærk, at dvs. + y y + y v + u + y u + v, Ju, v og dermed at I 3 J, y + y u + v, u + v u + v dv du 3 3. Rumitegraler Betragt D f, y, z dv samt G g, g, g s : D R 3, u, v, w g, y, z, g, y, z, g 3, y, z, hvor G er eetydig. Der gælder f, y, z dv f G u, v, w J G u, v, w dv. D GD Eksempel 3.6. Iertimometet om z-akse af e kugle K med radius a og desitet er I z K + y dv. Ved skift til sfæriske koordiater får vi I z π π a π 3.6 Foldig ρ si ϕ ρ si ϕ dρ dϕ dθ π ] π [ ] ρ 5 a 8πa [ 3 cos3 ϕ cos ϕ π a ρ si 3 ϕ dρ dϕ Betragt f, g : R R, hvor f og g er stykkevis kotiuerte, og hvor midst é af fuktioere er absolut itegrabel, de ade begræset. Fuktioe f g, hvor f g t kaldes foldige af f og g. fu gt u du, Hvis f og/eller g er idetisk i visse itervaller, bliver itervallet, der skal itegreres over, e delmægde af ]; [.

11 Eksempel 3.7. { for < f g e for f g t t e u e t u du t e t du te t, t < Eksempel 3.8. f { for < e for g { e for for > f g t Eksempel 3.9. t e u e t u du e t f g π e, < < t e u du e t [ e u] t e t, t < f g t e u π π e t π e t e v π e t u du π e t e u t du ; v dv π e t, < t < 3.7 Stirligs formel Approksimatio af!! + e π for stor π e t e u tu du u t, dv du π e v dv.6. Bo Rosbjerg