Formelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1
|
|
- Ida Dahl
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Formelsamling til Kvantemekanik 7. marts 1 Dennis Hansen 1
2 Indhold 1 Grundlæggende ligninger Generelt Postulater i kvantemekanik Vigtige sætninger Kommutatoren Simple kvantemekaniske systemer 6.1 Uendelig potentialbrønd Harmonisk oscillator Fri partikel δ-funktions potential Den bundne tilstande De frie tilstande Endelige potentialbrønd Periodisk potential, båndstruktur Stedoperator og impulsoperator Stedoperator Impulsoperator Kommutatorrelationer Impulstransformation Impulsmoment og spin Impulsmoment Denitioner Egentilstande og egenværdier for L, L z Kommutatorrelationer Hæve/sænkeoperatorer Spin Operatorer og egentilstande Kommutatorrelationer Spin ½ Matrixrepræsentation af operatorerne og egenvektorer Forventningsværdier Kommutatorrelationer og virkning på ikke-egentilstande Total impulsmoment, Spin-Impulsmoment kobling Identiske partikler Symmetrikravet Bosoner Fermioner Atomer 16
3 7 Approksimationer Tidsuafhængig Pertubationsteori Tidsafhængig pertubationsteori Variationsmetoden WKB-approksimation Statistisk kvantemekanik 18 9 Symmetrier 18 1 Operatorer 18 A Appendix A.1 Enheder A. Vigtige integraler A..1 Eksponentiale- og gaussiske integraler A.. Trigonometriske integraler A.3 Vigtige formler A.4 Sfæriske koordinater A.5 Deltafunktionen og stepfunktion
4 1 Grundlæggende ligninger 1.1 Generelt Tidsafhængig Schrödingerligning i d S Ĥ(t) S dt Tidsuafhængige Schrödingerligning (for tidsuafhængige Ĥ). Nyttige relationer, bølgemekanik Ĥ S E S λ v ν π k Usikkerhedsrelationen Ehrenfests sætning (symmetrier) Virialsætningen E ω hν σâσ B 1 i [Â, B], σx σp d Q dt i ] [Ĥ, Q + Q t 1. Postulater i kvantemekanik Påstand 1 (Tilstanden S, Hilbertrum). Ket'en S der opfylder Schrödingers ligning er en repræsentation af vores viden om systemets tilstand. Ethvert system associeres med et Hilbertrum H, hvor S H. Påstand (Normalisering). epræsentationen af tilstanden S skal kunne normaliseres, dvs. S S 1. Påstand 3 (Superpositionsprincippet). En tilstand S kan skrives som en superposition af alle mulige tidsudviklinger for systemet, dvs. S c n Sn. Bemærk at det kan både forekomme at S SN, dvs. netop netop lig én anden tilstand (så den ligger i det komplette sæt), eller at den er en linearkombination af uendelig mange andre tilstande (lineært afhængigt af det komplette sæt). Påstand 4 (Dynamiske variable). En dynamisk variabel er repræsenteret af en hermetisk operator, og Q Q S er en ket som repræsenterer de mulige værdier som vi kan måle. 4
5 Påstand 5 (Borns generaliserede statistiske fortolkning). En måling af en dynamisk variabel vil retunere en af egenværdierne for den tilhørende operator. Absolutværdien af Fourierkoecienten i anden ift. given basis af en-eller-anden observabel Γ (så vi kan skrive S(t, Γ) eγ S eγ dγ) er sandsynligheden for at en måling af Γ har værdien i intervallet [γ, γ + dγ] netop e γ S dγ når spektraet er kontinuert. For en observabel Λ med et diskret spektra (så vi kan skrive S(t, Λ) eλ S eλ ), er sandsynligheden for at måle værdien λ blot e λ Ψ. 1.3 Vigtige sætninger Sætning. Energien for en partikel må altid være større end minima for den potentielle energi, dvs. E > inf x {V (x)}. Sætning. En bølgefunktion ψ kan altid vælges til at være en reel funktion ved fx 1 (ψ + ψ ) eller i (ψ ψ ). Sætning. Givet et 1D system med et lige potential, dvs. V (x) V ( x), da kan bølgefunktionen altid vælges til at være lige eller ulige ved ψ(x) ± ψ( x). Sætning. Givet et 1D system med et lige potential, dvs. V (x) V ( x), da er bølgefunktionen for grundtilstanden altid en lige funktion, og den første eksiterede tilstand er altid en ulige funktion. (Har noget at gøre med energien er lavest for en lige funktion, da den ingen nodepunkter har, da bølgelængden for partiklen da vil være længst). Sætning (Kontinuitet af bølgefunktionen). Bølgefunktionen Ψ skal altid være kontinuert i alle punkter, og dψ/dx skal være kontinuert i alle punkter bortset fra de x hvor V (x ). 1.4 Kommutatoren Sætning 6 (Kommutator og basis). For to operatorer Q, P gælder [ ] det at de diagonaliseres Q, P af det samme komplette sæt af egenvektorer hvis og kun hvis Dette betyder at kan vi vise at de kommuterer, ved vi at har vi en ortonormalbasis for den ene, har vi det også for den anden, dette har vi fx for L z og L. Det følger heraf at når man måler en observabel på et system og den bestemmer sig for en tilstand som målingen returnerer, ved vi når to operatorer kommuterer, vil begge operatorer returnere samme tilstand og vi kan derfor kende begge forventningsværdier på én gang. Dog vil det ikke samtidigt gælde at egenværdierne nødvendigvis er ens. Der er en række nyttige regneregler og identiteter for kommutatoren som kan bruges til at lave manipulationer med:. 5
6 Q, Û, P L (H), λ C : [ Q, Û] [ Q, Q] [ Q + P, Û] [ Q P, Û] [ Q, Û P ] ] [Û, Q [ ], Q, λ [ [ ] Q, Û] + P, Û Q [ ] [ P, Û + Q, Û] P [ ] [ ] Q, Û P + Û Q, P Simple kvantemekaniske systemer.1 Uendelig potentialbrønd Hamiltonoperator { Ĥ p m + V, for x [, a], V (x), ellers Egentilstande (bølgefunktioner) og egenenergier ( πn ) ψ n (x) a sin a x, x [, a], n N E n π n ma Forventningsværdi af impuls og position for n'te egentilstand x a, x ( ) 1 a 3 1 (πn) p, p ( ) π n a Heisenbergs usikkerhedsrelation for den n'te tilstand. Harmonisk oscillator Hamiltonoperator σ x σ p π n 3 Ĥ p m + V, V (x) 1 kx 1 mω x Egentilstande (bølgefunktioner) og egenenergier ( mω ) ( ) ) 1/4 1 mω ψ n (x) π n n! H n x exp ( mωx, x, n N 6
7 ( E n ω n + 1 ) Sammenhæng mellem ω og fjederkonstanten k Hæve/sænkeoperatorerne â /â â ω k/m, k mω 1 mω (ip + mωx), â 1 mω ( ip + mωx) â n n n 1, â n n + 1 n + 1 ââ n (n + 1) n, â â n n n Impuls og position, og potenser deraf x (â + â ) mω mω p i (â â ) x ( (â ) + (â) + ââ + â â) mω p mω ( (â ) + (â) ââ â â) x 3 ( ) 3/ ( (â ) 3 + â (â) + ( â ) ) â + â ââ + (â ( â ) ) + (â) 3 + ââ â + (â) â mω Indre produkter og forventningsværdier af impuls, position, kinetisk og potentiel energi n x m ( mδm 1,n + ) nδ n 1,m, x mω n p m i mω ( mδm 1,n nδ n 1,m ), p x p mω ( ω T n + 1 ), Usikkerhedsrelationen for den n'te tilstand σ x σ p ( n + 1 ) mω ( n + 1 ) V ω ( n + 1 ) ( n + 1 ) 7
8 .3 Fri partikel Hamiltonoperator Ĥ p m Schrödingers ligning og generel løsning for bølgefunktionen d ψ dx k ψ, k me > ψ(x) Ae ikx + Be ikx Sammenhæng mellem impuls og bølgetal for en partikel (de Broglie ligningen) p k Generel løsning for given impulsfordeling Φ(x, ) (som kan ndes fra en given startbølgefunktion Ψ(x, ) ved impulstransformationen) Ψ(x, t) 1 ) px p Φ(x, ) exp (i i dp π m Generel impulstransformation i én dimension Φ(p, t) p x 1 Ψ(x, t)dx π Parsevals sætning.4 δ-funktions potential Hamiltonoperator Ψ(x, t) x p 1 Φ(p, t)dp π Φ(p, t) dp Ψ(x, t) dx 1 Ψ(x, t)e ipx/ dx Φ(p, t)e ipx/ dp Ĥ p m + V, V (x) αδ(x) Schrödingerligningen og generel løsning for E < (bundne tilstande) d ψ dx κ ψ, κ me > ψ(x) Ae κx + Be κx Schrödingerligningen og generel løsning for E > (frie tilstande) d ψ dx k ψ, 8 k me >
9 ψ(x) Ae ikx + Be ikx Aedte af bølgefunktion med et potential V (x) αδ(x) ( ) dψ dψ dψ mα dx dx dx ψ().4.1 Den bundne tilstande + Altid kun én tilstand med bølgefunktionen ψ(x) mα exp ( mα ) x / E mα.4. De frie tilstande 1 En løsning i dette tilfælde svarer til en partikel der kommer ind fra venstre, og da reekteres med en sandsynlighed eller transmitteres med en sandsynlighed T gennem potentialet. { Ae ikx + Be ikx, x < ψ(x) F e ikx, x, hvor B eektionskoecienten Transmissionskoecient iβ 1 iβ A, F 1 1 iβ A, β mα k. T B A.5 Endelige potentialbrønd Hamiltonoperator β 1 + β E mα F A β mα E { Ĥ p m + V V, for x [ a, a], V (x), ellers Schrödingerligningen for de bundne tilstande ( V < E < ) 1 Denne bølgefunktion er ikke normaliserbar og kan da ikke repræsentere en fysisk tilstand, men kan bruges til at sige noget om transmission og reektions sandsynlighederne. 9
10 x [ a, a] d ψ dx l ψ, l m (E + V ) > x > a d ψ dx κ ψ, κ me > Ge κx x < a ψ(x) C sin (lx) + D cos (lx) a x a F e κx x > a Lige løsninger (lige bølgefunktioner, da V er lige) ψ L og ulige løsninger ψ U, og transcendentale ligninger der bestemmer energierne F e κx x < a ψ L (x) D cos (lx) a x a, κ l tan (la) F e κx x > a F e κx x < a ψ U (x) C sin (lx) a x a, κ l cot (la) F e κx x > a.6 Periodisk potential, båndstruktur Hamiltonoperator Ĥ p m + V, med V (x) V (a + x) (a periodisk potential) Blochs sætning fortæller at for et sådant potential, opfylder løsningerne til Schrödingerligningen ψ(x + a) e ika ψ(x), hvor K er en funktion af energien E og/eller nogle kvantetal, der ndes ved at bruge randbetingelser mv. 3 Stedoperator og impulsoperator 3.1 Stedoperator I positionsbasis har denne i tre dimensioner formen r (x, y, z), mens den i et étdimensionelt Hilbertrum reducerer til x x Egenfunktionerne er for hver af komponenterne f y (x) δ(x y) med egenværdien y. 1
11 3. Impulsoperator I positionsbasis er impulsoperatoren givet ved p i i i det tredimensionelle Hilbertrum, og blot p x i x ( ) x, y,, z i én dimension. Egenfunktionerne for hver af komponenterne er f p (x) 1 π e ipx/ for en given egenværdi p. 3.3 Kommutatorrelationer [r, p x ] (i,, ), [r, p y ] (, i, ), [r, p z ] (,, i ) 3.4 Impulstransformation Man kan skifte basis mellem positionsbasis hvor en tilstand givet ved ket'en S er beskrevet ved bølgefunktionerne Ψ(r, t) r S og impulsbasis, hvor tilstandene er beskrevet ved impulsbølgefunktionerne Φ(p, t) p S. Da egenfunktionerne udgør et komplet sæt for Hilbertrummet, har vi at og derfor Og tilsvarende har vi Î r r d 3 r Φ(p, t) p S p Î S 1 (π ) 3/ p p d 3 r 3 Ψ(r, t)e ip r/ d 3 r Ψ(r, t) r S r Î S 1 (π ) 3/ 3 Φ(p, t)e ip r/ d 3 p p r r S d 3 r r p p S d 3 p I 1D: Φ(p, t) p x 1 Ψ(x, t)dx Ψ(x, t)e ipx/ dx π Ψ(x, t) x p Φ(p, t)dp 1 π Φ(p, t)e ipx/ dp 11
12 4 Impulsmoment og spin 4.1 Impulsmoment Denitioner Operatorerne har denitionen Kartesiske koordinater Sfæriske koordinater L x ŷp z ẑ p y, Ly ẑ p x xp z, Lz xp y ŷp x L L x L y L z, L x i L y i L z i L L x + L y + L z ( y z z ) y ( z x x ) z ( x y y ) x L x ( sin φ ) cos φ cot θ i θ φ L y ( cos φ ) sin φ cot θ i θ φ L [ 1 sin θ φ L z i ( sin θ θ θ ) + 1 ] sin θ φ 4.1. Egentilstande og egenværdier for L, L z Egentilstandene er de samme for både L, L z da de kommuterer. I positionsbasis (sfæriske koordinater) er egenfunktionerne de sfæriske harmoniske funktioner ( ) Y m l + 1 l l ml! l (θ, φ) ɛ ( ) 4π l + ml e imlφ P m l! l (cos θ), l N, ml l, der er en ortonormalbasis for L ([, π] [, π]). I Dirac-notation er egenfunktionerne med kvantetallene l, m l da l ml, og har operatorerne har virkningen L l ml l (l + 1) l ml 1
13 L z l ml ml l ml Kommutatorrelationer Vigtige [Lx, L ] y i L z, [Ly, L ] z i L x, [Lz, L ] x i L y [L, L] [Lx, r] (, i ẑ, i ŷ), [Ly, r] ( i ẑ,, i x), [Lz, r] (i ŷ, i x, ) [Lx, p] (, i p z, i p y ), [Ly, p] ( i p z,, i p x ), [Lz, p] (i p y, i p x, ) [L, p ], [L, r ] Knap så vigtige [L, ẑ] [L, p] p + i p L i ( L x y y L x + L ) ( y x + xl y i xl y ŷ L ) x i ẑ [L [L ( ),, r]] rl + L r [r L, L ] i rl Er potentialet sfærisk symmetrisk (altså er potentialet funktion kun af radius r), har vi [Ĥ, L], [Ĥ, L], og de har da fælles egenfunktioner og impuslmomentet i hver retning er bevaret Hæve/sænkeoperatorer L ± L x ± il y L ± l ml (l ml ) (l ± m l + 1) l m l ± 1 l (l + 1) m l (m l ± 1) l m l ± 1 Bemærk at vi specielt har L + l l L l l 13
14 Operatorerne L i termer af hæve/sænke-operatorer L L ± L + L z L z L L + L + L z L z, L L L+ + L z + L z 4. Spin Forgående formler gælder også for spin hvor l må antage halvtallige værdier og nu betegnes med s som siges at være partiklens spin (partiklen har spin s). Vi har da s ½N, 1, 1,..., m s s, s + 1,..., s 1, s. I modsætning til impulsmoment, kan en partikels spin s ikke ændre sig, men har altid samme værdi. En basis for spin-hilbertrummet (der er s dimensionalt og lig C s ) er da givet ved ket'ene på formen s s, s s + 1,..., s ms,..., s s 1, s s, der da skal repræsenteres på en-eller-anden måde vha. s-dimensionelle vektorer Operatorer og egentilstande Ŝ Ŝ x Ŝ y Ŝ z, Ŝ Ŝ x + Ŝ y + Ŝ z Ŝ s ms s (s + 1) s ms Ŝ z s ms ms s ms Ŝ ± s ms (s ms ) (s ± m s + 1) s ms ± 1 s (s + 1) m s (m s ± 1) s ms ± Kommutatorrelationer Spin er fuldstændig afkoblet fra den rumlige del og bygget op som en algebraisk struktur: [ ] [ ] [L, Ŝ] r, Ŝ p, Ŝ [Ŝx Ŝy], i Ŝz, [Ŝy Ŝz], i Ŝx, ] [Ŝ, Ŝ [Ŝz Ŝx], i Ŝy 14
15 4.3 Spin ½ Der ndes to lineært uafhængige tilstande 1 1, 1 1, spin op og spin ned, og dette er et to-dimensionelt Hilbertrum C Matrixrepræsentation af operatorerne og egenvektorer Ŝ x ( ) ( ) ( ) 1, 1 1 x, 1 1 x Ŝ y ( ) ( ) ( ) i, 1 1 y, 1 1 y i i i Ŝ z ( ) ( ) ( ) 1, 1 z, z 1 1 Man bruger normalvis z og z (egentilstande for Ŝ z ) som basis for Hilbertrummet der repræsenterer spin. En generel tilstand er da ( ) χ a + b a b I termer af de andre egenvektorer har vi for en generel tilstand χ a +b ( ) a b da netop χ a + b x + a b b x χ a ib y + a + ib b y χ a z + b z 4.3. Forventningsværdier Kommutatorrelationer og virkning på ikke-egentilstande 4.4 Total impulsmoment, Spin-Impulsmoment kobling Kommutator [L, Ŝ] Denition Ĵ L + Ŝ Ĵ L + Ŝ + L Ŝ, L Ŝ 1 (Ĵ L ) Ŝ Clebsh-Gordan koecienter 15
16 5 Identiske partikler 5.1 Symmetrikravet Ombytningsoperatoren f(r 1, r ) f(r, r 1 ) ] [Ĥ, Spektrum Î σ ( ) { 1, 1} Symmetrikravet er da at der om løsningerne til Schrödingers ligning gælder at ψ(r 1, r ) ±ψ(r, r 1 ) 5. Bosoner Heltalligt spin. Bølgefunktioner skal være symmetriske. 5.3 Fermioner Halvtalligt spin. Bølgefunktionerne skal være antisymmetriske. Slater-determinant 6 Atomer Hydrogen s n l m l ẑ n l ml iff m l m l n l m l ẑ n l ml n l m l x n l ml n l m ẑ l n l ml iff l + l lige Én elektron atomer En Z Z E n, a Z a /Z, Z Z Flerelektron atomer Helium 16
17 Flerpartikel systemer og identiske partikler: Bosoner og fermioner Symmetriseringskrav ψ(r 1, r ) ±ψ(r, r 1 ) 7 Approksimationer 7.1 Tidsuafhængig Pertubationsteori Løsning af problemer på formen Ĥ Ĥ + Ĥ, hvor Ĥ kan og er løst eksakt og ingen af ledene afhænger af tiden. Ikke-udartet En 1 ψn Ĥ ψ n ψn Ĥ ψ m E n m n E n E m 7. Tidsafhængig pertubationsteori Løsning af problemer på formen Ĥ Ĥ + Ĥ (t), hvor Ĥ kan og er løst eksakt og Ĥ (t) afhænger af tiden. Ligning ċ m i H mn(t)e i(em En)t/ H mn ψm Ĥ ψ n n Førsteordens pertubation for et system der starter i tilstand N c 1 N(t) 1 i t H NN(t )dt, c m (t) i t H mn(t )e i(em E N )t / dt (m N) P N M cm (t) 7.3 Variationsmetoden s 7.4 WKB-approksimation Det klassiske område: For E > p(x) m (E V (x)) x φ (x) ± p (x ) dx, ψ(x) C e i φ(x) p(x) Der integereres over hele det klassiske område hvor E > V. 17
18 Tunnelering, det ikke-klassiske område: For E < V har vi nu p(x) m (V (x) E) x φ (x) ± p(x) dx, ψ(x) C e 1 φ(x) p(x) Her integreres over hele det ikke-klassiske område hvor E < V. Patching: For 8 Statistisk kvantemekanik s 9 Symmetrier s 1 Operatorer Projektionsoperator P i Projicerer bølgefunktionen ned på den i'te egentilstand for Ĥ med overgangsamplituden c i P i Ψ c i i Idempotent Spektrum P i P i ( ) σ Pi {, 1} Paritetsoperator Π Kartesiske koordinater Sfæriske koordinater Πf(r) f( r) Π x y z Πf(r, θ, φ) f(r, π θ, φ + π) Cylinder koordinater 18
19 Virkning på sfæriske harmoniske Πf(r, θ, z) f(r, π θ, z) Kommutation ΠY m l ( 1) l Y m l [Ĥ, Π] Π Î Spektrum ) σ (Π { 1, 1} Translationsoperatoren D r Drf(r) f(r + r) [Ĥ, Dr] D r D r Î 19
20 A Appendix A.1 Enheder Størrelse Enhed A magnetisk vektorpotential Tm N/A kg m/ (s A) α polarisabilitet C m/n A s 4 /kg B magnetfelt T N/ (Am) kg/ (s A) χ e elektrisk susceptibilitet enhedsløs χ m magnetisk susceptibilitet enhedsløs D forskydningsfelt C/m A s/m E elektromotorisk kraft V J/C m kg/ (s 3 A) E elektrisk felt V/m m kg/ (s 3 A) ɛ, ɛ (vakuum) permittivitet C / (m N) A s 4 / (m 3 kg) ɛ r relativ permittivitet enhedsløs H H-felt A T/N A/m I strøm C/s A J volumenstrømtæthed C/ (m s) A/m K overadestrømtæthed C/ (ms) A/m C kapacitans F C/V A s 4 / (m kg) L selvinduktans H Vs/A m kg/ (A s ) λ linjeladningstæthed C/m As/m M (gensidig) induktans H Vs/A m kg/ (A s ) M magnetisering A T/N A/m m magnetisk dipolmoment m A µ, µ (vakuum) permeabilitet N/A m kg/ (A s ) µ r relativ permeabilitet enhedsløs N kraftmoment Nm m kg /s P polarisering C V/ (m 3 N) As/m p elektrisk dipolmoment C V/N Asm Φ B magnetisk ux Wb Tm m kg/ (s A) Φ E elektrisk ux Vm m 3 kg/ (s 3 A) Q ladning C As modstand Ω V/A m kg/ (A s 3 ) ρ volumenladningstæthed C/m 3 As/m 3 ρ resistivitet Ωm m 3 kg/ (A s 3 ) σ overadeladningstæthed C/m As/m σ konduktivitet (Ωm) 1 A s 3 / (m 3 kg) V elektrisk potential V J/C m kg/ (s 3 A)
21 A. Vigtige integraler A..1 Eksponentiale- og gaussiske integraler e (ax +bx+c) dx π a e(b 4ac)/4a x n e x/a dx n!a n+1 x n e x /a dx π (n)! ( a n+1 ) n! x n+1 e x /a dx n! an+ cos (bx) e ax dx sin (bx) e ax dx a a + b b a + b A.. Trigonometriske integraler π/ π/ sin n xdx sin n+1 xdx π/ π/ π/ cos n xdx cos n+1 xdx cos p 1 x sin q 1 dx (n 1) π n n π (n + 1) p!q! (p + q)! A.3 Vigtige formler s 1
22 A.4 Sfæriske koordinater Sfæriske koordinater beskriver situationer hvor der er sfærisk symmetri meget simpelt. Arbejdes der med kugler, cirkler mv. i problemet, opnår man en fordel ved at skifte til sfæriske koordinater. For at kunne beskrive ethvert punkt i koordinatsystemet, skal (r, θ, φ) antage følgende værdier: Størrelse Interval r [, ) θ [, π] φ [, π] Skift fra kartesiske koordinater til sfæriske (x, y, z) (r, θ, φ): x r sin θ cos φ y r sin θ sin φ z r cos θ Skift fra sfæriske til kartesiske koordinater (r, θ, φ) (x, y, z): r x + y + z θ arccos (z/r) φ arctan (y/x) Enhedsvektorernes retning i det kartesiske koordinatsystem, er funktioner af θ, φ på følgende vis:
23 r sin θ cos φx + sin θ sin φŷ + cos θẑ θ cos θ cos φx + cos θ sin φŷ sin θẑ φ sin φx + cos φŷ På samme måde kan de kartesiske enhedsvektorer udtrykkes i termer af de sfæriske enhedsvektorer på følgende vis: x sin θ cos φr + cos θ cos φθ sin φ φ ŷ sin θ sin φr + cos θ sin φθ + cos θ φ ẑ cos θr sin θθ A.5 Deltafunktionen og stepfunktion { 1, x > H(x), x {, x δ(x), ellers δ(x)f(x)dx f() H (x) δ(x) 3
Kvant 2. Notesamling....Of doom!
Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig
Læs mereNoter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2)
Noter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.1 Indhold I Kvant 1 4 1 Bølgefunktionen 4 1.1 Schrödingerligningen....................................... 4
Læs mereKvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)
Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position,
Læs mereDen klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Læs mereMinikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber
Minikvant Fysik - nu også med fysik 31 for os aber. enrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereAnvendelser af den kvantemekaniske bølgemekanik
Syddansk Universitet, Teknisk Fakultet Anvendelser af den kvantemekaniske bølgemekanik FY529, projekt nr. 2 Skrevet af: Simon Holst Traberg-Larsen;Søren Emil Wegner Petersen d. 24. marts 2013 Resumé el.
Læs mereHans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé
Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereRektangulær potentialbarriere
Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereUskelnelige kvantepartikler
Kvantemekanik 3 Side af 4 Inden for den klassiske determinisme kan man med kendskab til de kræfter, der virker på et partikelsystem, samt begyndelsesbetingelserne for position og hastighed, vha. Newtons
Læs mereStochastic Variational Method -Used on Small Atoms. 14. september 2011
Stochastic Variational Method -Used on Small Atoms 14. september 2011 Jens Egebjerg Bækhøj Årskortnummer: 20082846 Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Denmark j j j Abstract j In this paper
Læs mereNiels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI. En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi. Noter til Gasfasespektroskopi
Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi Noter til Gasfasespektroskopi KEMISK INSTITUT KØBENHAVNS UNIVERSITET 007 ii Indhold KVANTEMEKANISK
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereNoter til elektromagnetisme
Noter til elektromagnetisme Martin Sparre www.logx.dk 20-06-2007 1 Elektrostatik Coloumbs lov F Q = 1 qq r r 4πε 0 r r 2 r r Det elektriske felt: F Q (r) = QE(r), E(r) = 1 q i r r i 4πε 0 r r i i 2 r r
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereBachelor opgaven. Vincent Appel ( )
Bachelor opgaven Vincent Appel (3088-94). oktober 00 Vejleder: Jens Paaske Indhold Abstract Grundlæggende Gruppeteori. Grupper.................................. Klasser............................ 3. Repræsentationer...........................
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereSINGULÆR PERTURBATIONSTEORI
SINGULÆR PERTURBATIONSTEORI FOR DISKRETE LINEÆRE OPERATORER AALBORG UNIVERSITET Institut for Matematiske Fag Niels Lund 0. semester på matematik Foråret 04 AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereYoungs dobbeltspalteforsøg 1
Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mere1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3
. Indhold 1 Eksamen 1 1 1.1 Spin.................................. 1 1.1.1 Spin-halv-operatorer..................... 3 1.1.2 Spin-orbitaler......................... 3 2 Eksamen 2 5 2.1 Atomer................................
Læs mereHeisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1
Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge
Læs mere2 Lektion Opgave C Opgave Opgave Opgave Opgave a b...
. Indhold 1 Lektion 1 1 1.1 Opgave A............................... 1 1. Opgave 1............................... 1 1..1 1.a.............................. 1 1.. 1.b.............................. 1.3 Opgave
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereMagnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereDETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE
DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En cylinderkapacitor
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereMagnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I
Læs mereLineære systemer med hukommelse.
Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereMatematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses
Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereKvantecomputing. Maj, Klaus Mølmer
Kvantecomputing Maj, 2009 Klaus Mølmer Virkelighed Drøm: Intel Pentium Dual Core T4200-processor, 2,0 GHz, 3072 MB SDRAM. (250 GB harddisk) 5.060 kr Kvantecomputer Ukendt processor 1 khz er fint, 100 Hz
Læs mereStern og Gerlachs Eksperiment
Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her
Læs mereChapter 6. Hydrogen Atom. 6.1 Schrödinger Equation. The Hamiltonian for a hydrogen atom is. Recall that. 1 r 2 sin 2 θ + 1. and.
Chapter 6 Hydrogen Atom 6. Schrödinger Equation The Hamiltonian for a hydrogen atom is Recall that Ĥ = h e m e 4πɛ o r = r ) + r r r r sin θ sin θ ) + θ θ r sin θ φ and [ ˆL = h sin θ ) + )] sin θ θ θ
Læs mereAbstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates
Abstract This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAtomare kvantegasser. Michael Budde. Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik
Atomare kvantegasser Når ultrakoldt bliver hot Michael Budde Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik Aarhus Universitet Plan for foredraget Hvad
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereAtomer og kvantefysik
PB/2x Febr. 2005 Atomer og kvantefysik af Per Brønserud Indhold: Kvantemekanik og atommodeller side 1 Elektronens bindingsenergier... 9 Appendiks I: Bølgefunktioner 12 Appendiks II: Prikdiagrammer af orbitaler
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereDen Brownske Bevægelse
Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs merenr. 495c (2. udgave)
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Opgavesamling til Kvantemekanik Eksamensopgaver stillet i perioden januar 1978 til august 2016 Redigeret af Bo Jakobsen marts 2017 nr. 495c - 2017 (2. udgave) Roskilde
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereMagnetisme. Ladede partikler i bevægelse kan mærke et magnetfelt. Lorentzkraften: F = ee + ev x B
Magnetisme Ladede partikler i bevægelse kan mærke et magnetfelt Lorentzkraften: F = ee + ev x B Magnetiske feltlinier Magnetfelt kan repræsenteres ved feltlinier Retning angiver feltets retning Størrelse
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereGanganalyse. Modellering og estimation. Klaus Kähler Holst. 5. Januar 2006
Ganganalyse Modellering og estimation Klaus Kähler Holst 5. Januar 2006 Oversigt 1 Introduktion 2 Model for ledvinkelsrotation 3 PCA 4 Perspektivering Ganganalyse er studiet af hvordan et menneske bevæger
Læs mereOutline. Chapter 6: (cont d) Qijin Chen. November 21, 2013 NH = =6 CH = 15 4
Chapter 6: Qjn Chen Department of Physcs, Zhejang Unversty November 1, 013 Copyrght c 013 by Qjn Chen; all rghts reserved. ω 3 4 1. (cont d) 1 3 n3n3n 3n (x 1, y 1, z 1 )(x, y, z ) (x 1 x ) + (y 1 y )
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision
Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices Optiske elementer: Styring og fokusering. Bevægelsesligningen og dens løsning. Stabilitet. Typiske latticekonfigurationer.
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mere