Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk"

Transkript

1

2 Erik Vestergaard

3 Erik Vestergaard 3 0B1. Potenser og potensregler Hvis a R og n er et helt, positivt tal, så er potensen a som bekendt defineret ved: n (1) n stk n a = a a a Tallet n kaldes for eksponenten og a kaldes grundtallet eller roden. Vi siger, at a er opløftet i n te potens. Imidlertid vil man også gerne kunne arbejde med eksponenter, som er negative eller, som ikke er hele tal. Men hvordan skal de defineres? Definition (1) kan vi ikke bruge til noget, da man jo for eksempel ikke kan have et negativt antal! Derfor må man ty til andre metoder til at udvide potensbegrebet. Lad os ikke gå i detaljer med det her, blot henvise den interesserede læser til appendiks A. På dette sted skal det blot nævnes, at det kan lade sig gøre at definere a, hvor a R+, R, så følgende potensregler gælder: 1) ) a a 3) ( a ) y y a a = a + y = a y y y = a 4) ( ab ) = a b 5) a = b a b 0 6) a = 1 7) 8) a a p q = = q 1 a a p Man bemærker, at vi har måttet begrænse os til en positiv rod a for at kunne definere potensen for enhver reel eksponent. Til venstre har vi de tre potensregler, hvor vi har at gøre med potenser med det samme grundtal a. I midten er der yderligere to potensregler, som omhandler potenser med forskellig grundtal, men ens eksponent: Udvidelsen af potensbegrebet medfører desuden, at man har de tre regler i højre kolonne. 11BEksempel 1 Ved brug af de første tre potensregler kan vi udregne følgende: ( a) b a b 8 = = a b = a b ab 4 a b B Eksempel Her bruger vi flere af potensreglerne, blandt andet regel 8): a b a b 3 3 b ab b ( a b) b a b 3 = = = = a b a b a b

4 4 Erik Vestergaard 1B. Indledning I forrige kapitel så vi på funktioner af typen f ( ) = a+ b, nemlig de lineære funktioner. I dette kapitel skal vi undersøge funktioner, hvor den ubekendte står i eksponenten, nærmere bestemt funktioner af typen f ( ) = b a eller sagt på en anden måde: variabelsammenhængen y = b a. Først skal vi se et eksempel, hvor den nye funktionstype kommer i sving. 13BEksempel 3 Ifølge renteformlen K = K0 (1 + r)n, så vil en startkapital på 1000 kr., der står til en n n årlig rente på 0%, vokse til beløbet K = 1000 (1 + 0,0) = ,0 i løbet af n år. Figuren nedenfor viser beløbets udvikling som funktion af antal år efter startbeløbet blev indsat. Hvis vi lader y svare til K, b svare til 1000, a svare til 1,0 og svare til n, så kan vi se, at vi har at gøre med en eksponentiel funktion: y = b a = ,0. Den eneste bemærkning er, at renteformlen kun har mening for hele værdier af n (svarende til ), da der kun tilskrives renter én gang hvert år. Derfor viser figuren med punkter kontoens årlige opdaterede saldoer. For overskuelighedens skyld har vi afbildet den forbindende graf for alle reelle værdier af. Man ser, at saldoen vokser hurtigere end lineært på grund af renters rente. 14BDefinition 4 En funktion på formen f ( ) = b a, hvor ab, R +, kaldes for en eksponentiel funktion eller en eksponentiel udvikling. Funktionen er defineret for alle, så Dm( f ) = R. Man kan vise, at værdimængden for f er alle positive tal, dvs. Vm( f ) = R +. Hvis b =1, så kaldes funktionen for en eksponentialfunktion.

5 Erik Vestergaard 5 15BEksempel 5 Nedenfor er afbildet graferne for to forskellige eksponentielle funktioner: f( ) = 1,3 og g= ( ) 0,8. Vi ser, at begge grafer skærer y-aksen i (, 0). Som du måske kan gætte, har det noget med b-leddet at gøre. Men hvad siger grundtallet a noget om? I den næste sætning skal vi udlede nogle egenskaber for eksponentielle funktioner og deres grafer. 7BSætning 6 a) Grafen for f skærer y-aksen i (0, b). b) Når øges med 1, så fremskrives (ganges) y-værdien med a. c) Når øges med Δ, så fremskrives (ganges) y-værdien med a Δ. d) Funktionen er voksende, hvis a > 1, aftagende, hvis 0< a < 1 og konstant, hvis a =1. 0 Bevis: f (0) = ba = b 1 = b, idet vi benytter potensregel 6). Dette viser a). For at vise b) indsætter vi + 1 i forskriften for f : () f ( + 1) = b a = b a a = ( b a ) a = f( ) a hvor vi for at få andet lighedstegn har benyttet potensregel 1). Udregningen () viser, at hvis vi giver en tilvækst på 1, så bliver den nye funktionsværdi eller y-værdi a gange så stor som den forrige funktionsværdi.

6 6 Erik Vestergaard Punkt c) fås på lignende måde som punkt b): +Δ Δ Δ Δ (3) f ( +Δ ) = ba = ba a = ( ba ) a = f( ) a Hvad angår d), så kan vi bruge punkt c): Hvis får en positiv tilvækst på Δ, så skal funktionsværdien fremskrives med a Δ. Hvis a > 1, så er a Δ > 1, som viser at funktionsværdien vokser. Tilsvarende med de to andre tilfælde. 16BBemærkning 7 Ikke nok med at funktionen f i eksempel 5 er voksende. Der gælder også, at funktionsværdierne går mod uendelig for gående mod uendelig. I matematikken bruges følgende notation for dette fænomen: f( ) for. Man kan altså få vilkårligt store funktionsværdier, bare man vælger et tilstrækkeligt stort. Desuden haves, at funktionsværdierne går mod 0, når går mod minus uendelig, hvilket skrives f( ) 0 for. Overvej selv, hvad der gælder for funktionen g. 17BDefinition 8 Grundtallet a kaldes også for fremskrivningsfaktoren svarende til en tilvækst på 1 på - aksen, mens a Δ mere generelt kan betegnes fremskrivningsfaktoren svarende til en tilvækst på Δ på -aksen. 18BEksempel 9 (Procentvis vækst) Hvis man lægger 30% til et tal, så ganges eller fremskrives tallet som bekendt med 1+ r = 1+ 0,30= 1,3. I stedet for at sige, at y-værdien ganges med 1,3 hver gang øges med 1, så kan man lige så godt sige, at y-værdien øges med 30%, hver gang øges med 1. Sammenhængen mellem renten og fremskrivningsfaktoren er a = 1+ r. Hvad angår funktionen g i eksempel 5, så vil en tilvækst på 1 på -aksen resultere i, at y-værdien øges med r = a 1 = 0,8 1 = 0, 0 = 0%. Det negative fortegn tolkes derved at y- værdien reduceres med 0% hver gang gives en tilvækst på 1. Endelig kunne man overveje hvad en -tilvækst på betyder for funktionen f: a Δ = 1,3 = 1, 69, så y-værdien vokser altså med r = a Δ 1 = 1, 69 1 = 0, 69 = 69%. Årsagen til, at funktionsværdien vokser med mere end det dobbelte ved en -tilvækst på er, at der er tale om renters rente. Diskussionen i dette eksempel kan samles i følgende sætning: Sætning 10 For en eksponentiel funktion gælder, at samme tilvækster i giver samme procentvise tilvækster i y.

7 Erik Vestergaard 7 Lad os for en kort stund sammenligne eksponentielle funktioner med lineære funktioner: a i forskriften y = a + b for en lineær funktion angiver dét, man skal lægge til y-værdien, når -værdien øges med 1. a i forskriften y = b a for en eksponentiel funktion angiver derimod det, som man skal gange y-værdien med, når -værdien øges med 1. Fælles for funktionerne er, at b angiver skæringen med y-aksen. Vi har tidligere set, at man kan bestemme forskriften for en lineær funktion, når man kender to punkter på dens graf. Dette er også tilfældet med eksponentielle funktioner, som vi skal se i det følgende. Sætning 11 Lad ( 1, y 1) og (, y ) være to punkter for grafen for en eksponentiel funktion med forskrift f ( ) = b a. Fremskrivningsfaktoren (grundtallet) a, kan da bestemmes af følgende formel: (4) a = 1 y y 1 1 Bevis: Da punkterne ligger på grafen, haves y1 = b a og y = b a, som angivet på figuren nedenfor. Her skal 1,, y 1 og y antages at være kendte. Derimod er a og b ukendte. Man ser snedigt, at man kan skaffe sig af med den ene ubekendte, b, ved at tage forholdet mellem de to y-værdier: (5) y ba a y1 ba a = = = 1 1 a 1 hvor vi blandt andet har brugt potensregel ). For at isolere a tages den på begge sider i (5). Herved fås formel (4). ( )' te 1 rod

8 8 Erik Vestergaard 19BEksempel 1 Bestem forskriften for den eksponentielle funktion, hvis graf går igennem de to punkter (,5) og (5,30). Løsning: a y y 7 = 5 ( ) 1 = = = , 917 For at bestemme b indsættes ét af de to opgivne datapunkter, ligegyldigt hvilket: y 30 y = b a b = = = 8,346 5 a 1, 917 Altså fås y = 8,346 1, BEksempel 13 Tabellen nedenfor viser støttepunkterne for en eksponentiel funktion. Resten af tabellen ønskes udfyldt. I princippet kunne vi benytte samme metode som i eksempel 1, da vi kender to støttepunkter på grafen for f altså bestemme forskriften for funktionen og derefter indsætte de tre -værdier, for hvilke y-værdierne er ukendte. Vi kan dog også benytte principperne i sætning 6. Fra = 1 til = 0 er vokset med 1. På samme tid er y blevet multipliceret med 1,4, da 75= 1, 4. Ifølge sætning 6b) er a derfor lig med 1,4. Næste tilvækst i er også på 1, så vi skal også her gange y med 1,4, så vi får 7 1,4 = 9,8. Næste -tilvækst er på, hvorfor y-værdien skal ganges med 1,4, ifølge sætning 6c). Det giver 9,8 1,4 = 19, 08. Til sidst får vi y-værdien i ved at give en negativ tilvækst 1 på 1. Ifølge sætning 6c) skal y da ganges med a Δ = 1, 4, hvilket i øvrigt svarer til at 1 dividere med 1,4. Vi får y-værdien i til 5 1,4 = 3,5714. Som en sidekommentar skal det lige bemærkes, at vi faktisk kan angive forskriften direkte her, da b jo er funktionsværdien i 0. Vi får y = 5 1,4.

9 Erik Vestergaard 9 B3. Titalslogaritmen Nedenfor er afbildet grafen for eksponentialfunktionen f( ) = 10. Hvis vi fra et givet på -aksen går lodret op til grafen og herfra vandret ud til y-aksen, finder vi altså 10. Men hvis vi omvendt kender en y-værdi på y-aksen, kan vi så finde en -værdi, som afbildes i y? Svaret er ja, hvis y > 0. Og -værdien er endda entydigt bestemt, eftersom f er en voksende funktion (Overvej!). Denne værdi for vil vi betegne log( y ), som vist på figuren til højre. Dette giver anledning til den såkaldte logaritmefunktion. Logaritmefunktionen er altså karakteriseret ved at være den omvendte eller inverse funktion til f( ) = 10. Hermed menes, at hvis man først benytter den ene funktion og derefter den anden, så kommer man tilbage til udgangspunktet: (6) log(10 ) = for R (7) log( y) 10 = y for y R + Funktionerne 10 og lo g ophæver altså hinandens virkning. Derfor kaldes 10 også undertiden for antilogaritmen. Fra teorien om omvendte funktioner har vi endvidere, at grafen for log( ) fås ved at spejle grafen for 10 i linjen med ligning y =. Denne graf kan ses på figuren på næste side. Samtidigt får vi definitionsmængden og værdimængden for logaritmen til Dm(log) = R + og Vm(log) = R. 0 1 Ifølge (6) haves log(1) = log(10 ) = 0 ; log(10) = log(10 ) = 1; log(100) = log(10 ) =, 1 etc. Ved at se på negative eksponenter af 10 fås for eksempel log(0,1) = log(10 ) = 1; log(0, 01) = log(10 ) =, etc. Selv om logaritmefunktionen vokser meget langsomt, så har vi alligevel, at y-værdierne nærmer sig til, når nærmer sig til uendelig. Vi skriver log( ) for. Vi har også, at y-værdierne nærmer sig til, når + nærmer sig til 0 fra højre, dvs: log( ) for 0.

10 10 Erik Vestergaard Nu til nogle vigtige egenskaber for logaritmefunktionen. Vi skal udnytte, at logaritmen er den omvendte funktion til 10 samt udnytte potensreglerne. Sætning 14 Om logaritmefunktionen gælder følgende regler: 1) log( ab ) = log( a) + log( b) for ab, R + ) log( ab) = log( a) log( b) for ab, R + 3) log( a ) = log( a) for a R, R + Bevis: Lad os først bevise logaritmeregel 1): log( a) log( b) log( a) + log( b) ( ) ( ) log( ab ) = log = log 10 = log( a) + log( b) log( a) hvor vi i første lighedstegn har udnyttet, at a og b kan skrives som henholdsvis 10 log( b) og 10 ifølge (7). Andet lighedstegn fås ved at benytte potensregel 1). Endelig fås tredje lighedstegn ved at udnytte (6) dvs. at 10 og log ophæver hinandens virkning. Logaritmeregel ) bevises på helt analog vis. Lad os slutte af med at bevise logaritmeregel 3: (( ) ) log( ) ( log( ) ) a a log( a ) = log 10 = log 10 = log( a) log( a) hvor vi i første lighedstegn har udnyttet, at a kan skrives som 10. I andet lighedstegn udnyttes potensregel 3), og endelig fås tredje lighedstegn igen ved at benytte (6).

11 Erik Vestergaard 11 1BEksempel 15 Lad y = 4 1,5. Logaritmereglerne kan bruges til for eksempel at løse ligningen y = 7. Vi skal altså løse følgende ligning, hvor den ubekendte variabel står i eksponenten: 4 1,5 =7. Regningerne går som følger: 41,5 = 7 1, 5 = 7 4 log(1, 5 ) = log( ) 7 4 log(1, 5) = log( ) log( 4) = =,5079 log(1, 5) For at komme fra linje 3 til linje 4 har vi benyttet logaritmereglen 3) fra sætning 14. Bemærk i øvrigt, at der gælder ensbetydende mellem linje og 3, fordi man kan komme både frem og tilbage ifølge (6) og (7) fra tidligere. BEksempel 16 (Jordskælv) I 1935 indførte Charles F. Richter i samarbejde med Beno Gutenberg den berømte Richter-skala til beskrivelse af størrelsen af et jordskælv. På et tidspunkt overvejede Richter at lade udslagets størrelse på en seismograf med en passende korrektion for afstanden til jordskælvet være et udtryk for jordskælvets størrelse. Imidlertid viste det sig, at forskellen på de mindste og største jordskælv var for store. Richters samarbejdspartner Gutenberg foreslog så at afbilde udslagene logaritmisk. Richter var begejstret og det viste sig, at man nu på en hensigtsmæssig måde kunne rangere de forskellige jordskælv. Samtidigt tiltalte det ham, at man også i astronomi havde indført en såkaldt størrelsesklasse for en stjerne (se opgave 37). Ved at bruge logaritmer i definitionen, kunne han nemmere adskille de mange mindre jordskælv fra de få større jordskælv, der på den tid indtraf i Californien. Sammenhængen mellem energien E ud-

12 1 Erik Vestergaard løst ved jordskælvet og Richtertallet M, hvor energien regnes i J (Joule) viser sig at være givet ved følgende formel: (8) log( E) = 1,5 M + 4,8 a) I Danmark bliver jordskælvene heldigvis ikke ret store, blandt andet fordi Danmark ikke befinder sig på randen af nogle af pladerne, som udgør Jordens overflade. Alligevel forekommer der små jordskælv i Danmark, selv om de ofte dårlig kan mærkes. Blandt de skælv, som kan nævnes, var der blandt andet et jordskælv af styrke 4,0 på Richterskalaen, som blev registreret på Thyholm, Mors og det vestligste Salling den 4. december Bestem den energi, som blev udløst ved skælvet. b) Det berømte jordskælv i San Francisco den 18. april 1806 er efterfølgende blevet vurderet til omkring 8,1 på Richter-skalaen. Hvor stor en energi blev frigjort? 15 c) Hvis et jordskælv udløser en energi på 5, 10 J, hvor kraftigt er skælvet da på Richter-skalen? d) Hvor mange gange større var den energi, som blev frigjort ved San Francisco jordskælvet i 1906 sammenlignet med jordskælvet i Danmark i 1997? Kan du besvare spørgsmålet udelukkende udfra forskellen i Richtertal? Løsning: a) Vi benytter antilog på begge sider af formel (8) ovenfor: E 1,5 M + 4,8 1,5 4,0+ 4,8 10,8 10 = 10 = 10 = 10 = 6,3 10 i enheden Joule. b) På samme måde som i spørgsmål a): E 1,5 M + 4,8 1,5 8,1+ 4,8 16,95 16 = 10 = 10 = 10 = 8,9 10 i enheden Joule. c) Vi skal have isoleret M i formel (8): log( E) 4,8 log( E) = 1,5 M + 4,8 log( E) 4,8 = 1,5 M = M 1, 5 log( E) 4,8 log(5, 10 ) 4,8 M = = = 7,3 1, 5 1, 5 15 d) Man kan naturligvis bestemme forholdet ved at dividere resultatet i spørgsmål b) med resultatet i spørgsmål a), men det kan også gøres på følgende måde: Betegn de to Richter-tal med henholdsvis M 1 og M og de tilsvarende energier med henholdsvis E1 og E. Da kan vi udregne forholdet mellem de to energier på følgende måde: E E 1 1,5 M + 4,8 10 = = 10 = 10 1,5 M1+ 4,8 10 1,5 M + 4,8 1,5 M 4,8 1,5 M 1,5 M 1 1 1,5 ( M M ) 1,5(8,1 4,0) 6 = = = ,41 10 Altså blev der ved San Francisco jordskælvet udløst ca. 1,4 million gange så meget energi, som det relativt kraftige jordskælv i Danmark i 1997.

13 Erik Vestergaard 13 3B4. Den naturlige eksponential- og logaritmefunktion Logaritmen, som vi har defineret i begyndelsen af afsnit 3, kaldes også for titalslogaritmen, da det er den omvendte funktion til 10. Vi siger, at logaritmen har grundtal 10. På tilsvarende måde kan man for ethvert andet positivt reelt tal a indføre logaritmen med grundtal a, kaldet log a ( ), som den omvendte funktion til funktionen ( ) f = a. Der er specielt én anden værdi af a, som er interessant, nemlig, Tallet får på grund af dets vigtighed sit eget symbol e. Årsagen til dette tals vigtighed vil først blive afsløret i forbindelse med differentialregningen i g. Eksponentialfunktionen f ( ) = e betegnes den naturlige eksponentialfunktion og den tilhørende omvendte funktion kaldes for den naturlige logaritmefunktion og betegnes med ln( ). Analogt til (6) og (7) har vi: (9) ln( e ) = for R (10) ln( y) e = y for y R + så ln( ) og e ophæver hinandens virkning, ligesom log( ) og 10 gør det. Den naturlige logaritmefunktion adlyder i øvrigt de samme logaritmeregler som dem nævnt i sætning 14 for log( ). Af mange årsager vælger man ofte at udtrykke en hvilken som helst eksponentialfunktion a via den naturlige eksponentialfunktion. Ifølge (10) haves a = e, ln( a) hvorved ln( a) ln( a) (11) ( ) a = e = e = e k k hvor k = ln( a). En fordel ved at benytte e frem for a er, at man i praktiske situationer i f fysik kan lade den fysiske enhed være indeholdt i konstanten k, frem for i grundtallet a (Overvej!). 3BEksempel 17 Vi ønsker at omskrive den eksponentielle funktion f( ) = 3 5 til en form, hvor den naturlige eksponentialfunktion indgår. Løsning: k = ln( a) = ln(5) = 1,6094, hvorved ifølge (11): 1,6094 f( ) = 3 5 = 3 e. 4BEksempel 18 Omskriv,1 f( ) 4 e = til formen f ( ) = b a.,1 Løsning: (,1 f e e ) ( ) = 4 = 4 = 4 0,15.

14 14 Erik Vestergaard 4B5. Lidt fra logaritmernes historie I begyndelsen af 1600-tallet blev de første logaritmer opdaget af skotten John Napier ( ), som er afbildet på billedet til højre. Han var baron på slottet Merchiston i nærheden af Edinburgh. Senere bidrog englænderen Henry Briggs ( ) til indførelsen af de nuværende titalslogaritmer. Siden den tid fik logaritmerne en kolossal betydning som hjælpemiddel til at lette arbejdet ved numeriske beregninger. Først fik logaritmerne stor betydning indenfor astronomien, som var en af de beregningstunge discipliner. Da man på den tid ikke havde lommeregnere eller edb-maskiner til rådighed, var det af stor betydning, at man kunne lette beregningsarbejdet. Logaritmerne er, som vi skal se nedenfor, velegnede i forbindelse med udførelse af multiplikationer, divisioner, roduddragninger og potensopløftninger, der jo normalt tager lang tid at udføre i hånden. Faktisk blev logaritmetabeller anvendt lige indtil 1970 erne, hvor lommeregnerne vandt indpas. I mere end 300 år var logaritmerne således af fundamental betydning for folk, som skulle udføre store beregninger: Astronomer, ingeniører, videnskabsfolk, navigatører etc.... Før vi kigger på et eksempel, vil det være en fordel, hvis du fremskaffer en gammel logaritmetabel, gerne fircifrede tabeller fra Erlang C. Alternativt må du bruge lommeregneren som logaritmetabel. Når vi skal gange to tal sammen, kan vi bruge logaritmeregel 1) fra sætning 14: log( ab ) = log( a) + log( b) Lad os sige, at vi skal gange,349 med 83,37. Logaritmeregel 1) giver da: (1) log(,349 83,37) = log(,349) + log(83,37) = 0, ,910 =, 919 Nu ved vi altså hvad log(,349 83,37) er lig med. For at finde det ønskede produkt udnytter vi sammenhængen (7) fra tidligere, dvs. at funktionen 10 ophæver virkningen af,919 logaritmen. Altså fås:,349 83,37 = 10 = 195,8.

15 Erik Vestergaard 15 Idéen i ovenstående er følgende: Man finder først logaritmen til hver af de to involverede tal, som indgår i multiplikationen. Derefter lægges de to logaritmeværdier sammen, og resultatet bestemmer man antilogaritmen til. Dermed haves det ønskede produkt. I stedet for at gange de to tal sammen i hånden, kan man altså udføre to tabelopslag i en logaritmetabel, en addition samt et opslag i en antilogaritmetabel. Nævnte metode kan virke mere besværlig end at udføre multiplikationen i hånden. Her må man være opmærksom på, at man ved håndmetoden nemmere kommer til at begå fejl (overvej!). Besparelsen vil endvidere være større jo flere cifre, der er i tallene. Ved multiplikation af for eksempel tre eller flere tal vil der være en yderligere besparelse og ved roduddragning og potensopløftning (se opgave 50) en kæmpe besparelse. 5BLige nogle kommentarer i forbindelse med brug af logaritmetabel De fleste logaritmetabeller kan kun anvendes direkte i intervallet [ [ antilogaritmetabeller (10 ) kun i intervallet [ [ 1, 10, og de fleste 0,1. Heldigvis kan man også bestemme logaritmen og antilogaritmen til tal, der ligger udenfor de pågældende intervaller. Man foretager blot nogle få korrektioner, som det fremgår af følgende eksempler: log(83,37) = log(10 8,337) = log(10) + log(8,337) = 1+ log(8,337),919 0,919 0, = = , ,6316 1,6316 0, = 10 = = 0,01 10 Disse korrektioner kan ofte foretages i hovedet. 5B6. Logaritmisk skala Når man afbilder data på en skala, så anvendes som oftest det vi vil kalde en almindelig skala. Det er karakteriseret ved, at den har ækvidistant inddeling, hvorved menes at tal, som har samme indbyrdes forskel, bliver afbildet med samme indbyrdes afstand. Undertiden er det dog hensigtsmæssig at foretage en anden inddeling, for eksempel hvis nogle data klumper sig uhensigtsmæssigt meget sammen, hvis de afbildes på en almindelig skala. Det kan også være, at tallene er meget forskellige i størrelse, så der både er meget små og meget store tal. Den vel næstmest anvendte type inddeling på en akse er den logaritmiske. Indretningen af den logaritmiske skala er illustreret på figuren på næste side. Udfor tallene 0, 1 og på en almindelig skala anbringes på den logaritmiske skala henholdsvis 0 1 tallene 10 = 1, 10 = 10 og 10 = 100 og generelt set anbringes overfor tallet z på en almindelig skala tallet 10 på den logaritmiske skala. Omvendt, så anbringes y på den z logaritmiske skala overfor l og( y) på den almindelige skala. I stedet for at udregne log( y) og afsætte den beregnede værdi på en almindelig skala, kan man altså lige så

16 16 Erik Vestergaard godt anbringe y direkte på den logaritmiske skala placeringen er den samme, som det fremgår af ovenstående! Det fremgår også, at man på den logaritmiske akse kun kan afbilde positive værdier. Til gengæld kan man på den logaritmiske akse afbilde både meget små og meget store tal på samme tid, uden at de små tal klumper sammen. Lad y 1 og y 1 være to positive tal. Omskrivningen log( y) log( y1) = log( y y 1) viser da, at afstanden mellem de to tal på den logaritmiske akse kun afhænger af deres indbyrdes forhold y y 1. Som et eksempel herpå kan vi tage parret 100 og 10 samt parret 10 og 1. Da parrene har samme indbyrdes forhold, nemlig 10, så skal de afbildes med samme afstand på den logaritmiske akse. Vi kan på figuren se, at dette holder stik. Der afsættes altså lige så 1, 10, meget plads til tallene i det lille interval [ ] som der afsættes til tallene i det store interval [ 10,100 ]. Det er ofte en stor fordel. 6BEnkeltlogaritmisk koordinatsystem Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er et koordinatsystem, hvor -aksen er en almindelig akse og y-aksen er logaritmisk. Man kan vise se appendiks B at der gælder en smuk egenskab for eksponentielle funktioner i et sådant koordinatsystem: Sætning 19 En funktion er eksponentiel hvis og kun hvis den i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem har en retlinet graf. Ovenstående egenskab er årsagen til at man fremstiller såkaldt enkeltlogaritmisk papir, som har en alm. -akse og en logaritmisk y-akse. Papiret kan ifølge sætning 19 benyttes til at afgøre, om en bestemt udvikling er eksponentiel: Hvis grafen er en ret linje på enkeltlogpapir, så er der tale om en eksponentiel udvikling. Filosofien er, at det er meget nemmere at afgøre, om en graf er lineær, end at afgøre om en graf krummer på den helt rigtige måde i et almindeligt koordinatsystem. Den logaritmiske skala er opdelt i tre dekader, hvormed menes tre intervaller, der hver spænder over en faktor 10. Papiret er fleksibelt på den måde, at man selv kan vælge hvilke fire på hinanden følgende tipotenser man ønsker at bruge. På enkeltlogpapiret vist på næste side er det valgt at lade den logaritmiske y-akse spænde fra 0,1 til 100. Man kunne lige så vel have valgt at lade aksen spænde fra 1 til 1000 eller 0,01 til 10.

17 Erik Vestergaard 17

18 18 Erik Vestergaard 7BBemærkning 0 I grafregnernes og computernes tidsalder vil man nok ikke så ofte som tidligere benytte enkeltlogaritmisk papir, idet man kan lade disse apparater direkte foretage eksponentiel regression, hvorved det kan afgøres om en given udvikling er eksponentiel eller tilnærmelsesvist eksponentiel. Alligevel kan et enkeltlogaritmisk koordinatsystem undertiden være en meget visuel attraktiv måde at afbilde data på. Bemærk, at man indirekte kan lade grafregneren tegne grafen i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, hvis man i stedet for at afbilde punkterne (, y ) afbilder punkterne (,log( y )). Vi vil se nærmere på eksponentiel regression under afsnittet Eksponentielle modeller. 6B7. Fordoblings- og halveringskonstanter For eksponentielle funktioner gælder der nogle smukke egenskaber, som vi skal se: Sætning 1 Givet en voksende eksponentiel funktion f ( ) = b a (dvs. a > 1). Da vil y-værdien fordobles, når øges med en bestemt størrelse kaldet fordoblingskonstanten, betegnet med bogstavet eller bare T. Der gælder: T (13) T = log() log( a) Bevis: Betragt figuren nedenfor. Lad os give en tilvækst på T. Forholdet mellem funktionsværdierne i og + T er da: y f( + T) b a (14) = = = y f( ) ba 1 + T a + T T = a

19 Erik Vestergaard 19 Betingelsen for at funktionsværdien fordobles er derfor: (15) T T log() a = log( a ) = log() T log( a) = log() T = log( a) hvor vi fra andet til tredje trin har benytte logaritmeregel 3). Man gør nu den vigtige iagttagelse, at den tilvækst vi skal give for at funktionsværdien fordobles, er uafhængig af. Derfor er det fornuftigt at indføre betegnelsen fordoblingskonstant for en voksende eksponentiel funktion. For en aftagende eksponentiel funktion vil vi uden bevis anføre et analogt resultat: Sætning Givet en aftagende eksponentiel funktion f ( ) = b a (dvs. a < 1). Da vil funktionsværdien halveres, når øges med en bestemt størrelse kaldet halveringskonstanten, betegnet med bogstavet eller bare T. Der gælder: T ½ (16) T½ = log(½) log( a) 8BEksempel 3 Tegn grafen for f( ) = 1,3 på et enkeltlogaritmisk papir og løs følgende opgaver: a) Bestem funktionsværdien i = ved aflæsning og ved beregning. b) Løs ligningen f( ) = 15 ved aflæsning og ved beregning. c) Bestem fordoblingskonstanten ved aflæsning og ved beregning. Løsning: Da der ikke står anført noget særligt om definitionsmængden, kan man vælge at tegne grafen i intervallet [ 6,1], hvor 1 cm på -aksen svarer til 1. Ifølge sætning 19 er grafen på enkeltlogpapir en ret linje. Vi behøver derfor blot udregne to støttepunkter. 5 f ( 5) = 1,3 = 0,5387 ; f (10) = 1,3 = 7,57. Disse indtegnes på papiret og linjen igennem dem tegnes. Se på næste side. a) Aflæsning: f ( ) = 3,4. Beregning: f () = 1,3 = 3,38 b) Aflæsning: f( ) = 15 = 7,65. Beregning: f( ) = 15 1,3 = 15 1,3 = 7,5 log(1,3 ) = log(7,5) log(7,5) log(1,3) = log(7,5) = = 7, 6798 log(1,3) 10

20 0 Erik Vestergaard

21 Erik Vestergaard 1 c) Aflæsning: Man opsøger et punkt på grafen, der har en pæn y-værdi, f 1. Så undersøger man, hvor meget -værdien skal øges, for at y-værdien fordobles, dvs. bliver lig med i dette tilfælde. Man ser, at -værdien skal øges med,6, så T =,6, som markeret på figuren på forrige side. log() log() Beregning: T = = =,6419 log( a) log(1,3) Hvis den eksponentielle funktion er på formen f ( ) = b e, jævnfør afsnit 4, så ser formlerne for fordoblings- og halveringskonstanten anderledes ud. Man kan vise (se opgave 73), at følgende gælder: k Sætning 4 k Givet en eksponentiel funktion på formen f ( ) = b e. Hvis k > 0 er funktionen voksende, og den har en fordoblingskonstant givet ved formlen T = ln() k. Hvis derimod k < 0, er funktionen aftagende og den har en halveringskonstant givet ved formlen T = ln(½) k. ½ 9BBemærkning 5 Hvis vi har at gøre med en voksende eksponentiel funktion, så er der som bekendt hertil T knyttet en fordoblingskonstant T. Ifølge beviset for sætning 1 haves a =. Hvis vi opløfter begge sider af denne ligning i T, så fås følgende: T T T T a a a (17) ( ) = = = T hvor vi for at få sidste ensbetydende tegn har benyttet potensregel 3). Indsættes udtrykket for a i forskriften fås: (18) f( ) = b a = b På tilsvarende måde viser man nemt, at hvis f er en aftagende eksponentiel funktion, så kan funktionen skrives på formen: 1 T½ (19) f( ) = b a = b Denne specielle forskrift for den eksponentielle funktion kan være meget hensigtsmæssig i opgaver, hvor fordoblings- eller halveringskonstanten er oplyst i en opgave, for eksempel i eksempel 8 i afsnit 8. T

22 Erik Vestergaard 7B8. Eksponentielle modeller I dette afsnit skal vi kigge på nogle situationer, hvor eksponentielle funktioner dukker op i praksis. Udover at besvare forskellige tekniske spørgsmål, skal vi fokusere på de principper, som er afgørende for, hvorfor udviklingerne bliver eksponentielle. 30BEksempel 6 (Vækst af bakteriekultur) Når man skal beskrive en bakteriekulturs vækst, så inddeler man normalt i fire faser: Nølefasen, den eksponentielle fase, den stationære fase og dødsfasen. Nølefasen er karakteriseret ved, at cellerne først skal indstille sig på at kunne begynde at vokse. Hvis de er gået i dvale kan det være, at der først skal fjernes nogle proteiner, før væksten kan begynde. Cellen skal også begynde at lave cellevægsmateriale etc. I den eksponentielle fase er cellen rede til at vokse, og det kan ske uden videre hindringer. Lad os forestille os, at udviklingen i antal bakterier har udviklet sig som angivet i tabellen nedenfor. a) Påvis, at udviklingen virkeligt er eksponentiel. b) Hvor mange bakterier vil der være tilstede efter 4 timer, hvis udviklingen fortsætter en time mere? c) Hvornår var populationen oppe på 3000 bakterier? d) Hvor stor er fordoblingstiden i den eksponentielle fase? e) Hvor mange procent vokser bakteriekulturen med hvert minut? f) Hvor mange procent vokser bakteriekulturen med for hver 10 minutter? t (min) Antal t (min) Antal

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008. Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: Collage af foto fra blandt andet: istock.com/chuntise istock.com/ihoe Side 11: istock.com/jamesbenet Side 14: Tegning af

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Potenser, rødder og logartime

Potenser, rødder og logartime Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

INTRODUKTION Maple Funktioner Regression

INTRODUKTION Maple Funktioner Regression INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 3 FØRSTE MATEMATIKMODULER... 3 KOM I GANG MED MAPLE...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller Forside Indledning Vi har fået tildelt et skema over nogle observationer af gærceller, ideen ligger i at gærceller på bestemt tidspunkt vokser eksponentielt. Der skal nu laves en model over som bevise

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller Eksponentielle modeller Matematik og Informationsteknologi 06-12-2010 HTX; klasse 2.4 Mathias Sørensen, Martin Schmidt, Andreas Mikkelsen Vejleder: Matematik: Jørn Bendtsen Informationsteknologi: Karl

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere